giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình trong chương trình môn toán lớp 9

3
MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết
Khi giảng dạy cho các em học sinh ở bậc THCS môn Toán, tôi nhận thấy các
em học sinh lớp 9 gặp rất nhiều khó khăn khi giải các dạng toán bằng cách lập
phương trình, hệ phương trình. Mặc dù các em đã biết cách giải dạng toán đố ở Tiểu
học, các bài toán số học ở lớp 6, 7, các dạng phương trình ở lớp 8, giải hệ phương
trình ở lớp 9, phương trình bậc hai ở lớp 9. Nhưng khi gặp bài toán giải bằng cách lập
phương trình, hệ phương trình thì các em lại thấy khó mặc dù các em đã nắm được
quy tắc chung (các bước giải). Có nhiều em nắm được rất rõ các bước giải nhưng lại
không biết vận dụng vào giải bài tập vì các em không biết xuất phát từ đâu để tìm lời
giải hoặc không biết tìm sự liên quan giữa các đại lượng để lập phương trình, hệ
phương trình. Mà dạng toán này là một dạng toán cơ bản, thường xuất hiện trong các
bài kiểm tra học kỳ, các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, nhưng đại đa số học sinh
bị mất điểm ở bài này do không nắm chắc cách giải, cũng có những học sinh biết cách
làm nhưng không đạt điểm tối đa vì thiếu nhiều ý.
Trong phân phối chương trình môn Toán THCS ở lớp 9 số lượng tiết học về
giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình là 6 tiết nên bản thân giáo
viên và học sinh cũng chưa có sự tìm hiểu một cách thấu đáo, sách vở tài liệu tham
khảo ở các trường về dạng bài tập này cũng còn thiếu.
Trường tôi đang giảng dạy là một trường DTNT nên đa số các em đều là đồng
bào dân tộc thiểu số nên trình độ tiếp thu còn rất hạn chế đặc biệt là về các môn khoa
học tự nhiên, nhiều em con đọc viết rất chậm khi lên lớp 6 do đó quá trình tiếp thu
môn Toán của các em tương đối còn yếu, còn chậm.
Từ một vài kinh nghiệm của bản thân khi giảng dạy “Giải bài toán bằng cách
lập phương trình và hệ phương trình trong chương trình môn Toán lớp 9” đã thôi
thúc tôi ý tưởng trình bày sáng kiến của mình để cùng trao đổi kinh nghiệm với các
đồng nghiệp trong quá trình dạy học môn Toán.
4
2. Mục đích nghiên cứu
Để giảng dạy học sinh lớp 9 thực hiện dễ dàng hơn trong việc “Giải bài toán

bằng cách lập phương trình và hệ phương trình trong chương trình môn Toán lớp
9”, ứng dụng của Toán học trong cuộc sống, kích thích sự yêu thích, tìm hiểu môn
Toán cũng như các môn khoa học khác.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Hướng dẫn học sinh cách lập phương trình, hệ phương trình rồi giải phương
trình, hệ phương trình một cách kỹ càng, chính xác.
Giúp các em học sinh có kỹ năng thực hành giải toán tương đối thành thục khi
gặp bài toán đòi hỏi bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
4. Đối tượng nghiên cứu
Các phương pháp tìm lời giải bài toán, các bài toán giải bằng cách lập phương trình
và hệ phương trình trong chương trình toán THCS ở lớp 9
5. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài được nghiên cứu và áp dụng giảng dạy cho học sinh THCS ở lớp 9 trên
cơ sở các bài toán về “Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình” của Chương
III - Đại số Toán 9 tập 2, các bài toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình”
của Chương IV - Đại số Toán 9 tập 2, các bài toán giải bằng cách lập phương trình và
hệ phương trình trong các sách tham khảo.
6. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp trực quan
Phương pháp tìm tòi
Phương pháp làm việc với sách
7. Đóng góp khoa học của sáng kiến
Kinh nghiệm “Giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình
trong chương trình môn Toán lớp 9” đã được vận dụng trong quá trình giảng dạy
môn Toán lớp 9 ở trường PT DTNT Tây Nguyên và bước đầu đã giúp cho học sinh
hứng thú hơn trong việc học Toán.
5
Việc vận dụng đề tài áp dụng vào giảng dạy môn Toán, đặc biệt là đối với học
sinh lớp 8, lớp 9 sẽ giúp cho học sinh dễ dàng hơn trong việc giải các bài toán bằng
cách lập phương trình và hệ phương trình qua đó kích thích lòng say mê tìm hiểu môn

Toán, yêu thích môn Toán cũng như các môn khoa học khác.
8. Kết cấu của đề tài gồm Mở đầu, hai phần, kết luận, tài liệu tham khảo.
Phần 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TRẠNG VIỆC GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP
PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH CỦA HỌC SINH LỚP 9
1.1 Cơ sở lý luận
Toán học có vai trò rất quan trọng đối với đời sống và đối với các ngành khoa
học. Ngay từ thế kỉ 13, nhà tư tưởng Anh R. Bêcơn (R. Bacon) đã nói rằng: “Ai
không hiểu biết toán học thì không thể hiểu biết bất cứ một khoa học nào khác và
cũng không thể phát hiện ra sự dốt nát của bản thân mình.”. Đến giữa thế kỉ 20, nhà
vật lí học nổi tiếng (P.Dirac) khẳng định rằng khi xây dựng lí thuyết vật lí “không
được tin vào mọi quan niệm vật lí”, mà phải “tin vào sơ đồ toán học, ngay cả khi sơ
đồ này thoạt đầu có thể không liên hệ gì với vật lí cả.”. Sự phát triển của các khoa học
đã chứng minh lời tiên đoán của C.Mac (K. Marx): “Một khoa học chỉ thực sự phát
triển nếu nó sử dụng được phương pháp của toán học.”.
Mục tiêu cơ bản của Giáo dục nói chung, của Nhà trường nói riêng là đào tạo
và xây dựng thế hệ học sinh trở thành những con người mới phát triển toàn diện, có
đầy đủ phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế hiện nay.
Để thực hiện được mục tiêu đó, trước hết chúng ta phải biết áp dụng phương pháp dạy
học hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết
vấn đề, rèn luyện thành nề nếp tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các
phương pháp tiên tiến, phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, dành thời gian tự
học, tự nghiên cứu cho học sinh.
Đồng thời bản thân mỗi giáo viên cũng phải tự giác, tích cực tìm ra những
phương pháp dạy học mới, khắc phục lối truyền thụ một chiều, phát huy tính tích cực,
6
tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh trong các môn học, đặc biệt là môn học có
tính đặc thù cao là môn Toán.
Trong thời đại hiện nay, nền giáo dục của nước ta đã tiếp cận được với khoa
học hiện đại. Các môn học đều đòi hỏi tư duy sáng tạo và hiện đại của học sinh. Đặc

biệt là môn Toán, nó đòi hỏi tư duy rất tích cực của học sinh, đòi hỏi học sinh tiếp thu
kiến thức một cách chính xác, khoa học và hiện đại. Vì thế để giúp các em học tập
môn toán có kết quả tốt giáo viên không chỉ có kiến thức vững vàng, một tâm hồn đầy
nhiệt huyết, mà điều cần thiết là phải biết vận dụng các phương pháp giảng dạy một
cách linh hoạt, sáng tạo truyền thụ kiến thức cho học sinh một cách dễ hiểu nhất.
1.2 Thực trạng của vấn đề
Chương trình môn Toán ở bậc THCS rất rộng và đa dạng, các em được lĩnh hội
nhiều kiến thức. Trong đó có một nội dung kiến thức theo các em trong suốt quá trình
học tập là phương trình. Ngay từ những ngày mới cắp sách đến trường, học sinh đã
được giải phương trình. Đó là những phương trình rất đơn giản dưới dạng điền số
thích hợp vào ô trống và dần dần cao hơn là tìm số chưa biết trong một đẳng thức và
cao hơn nữa các em phải làm một số bài toán phức tạp. Đến lớp 8, lớp 9 các đề toán
trong chương trình đại số về phương trình là bài toán có lời. Các em căn cứ vào lời
bài toán đã cho phải tự mình thành lập phương trình, hệ phương trình và giải phương
trình, hệ phương trình. Kết quả tìm được không chỉ phụ thuộc vào kỹ năng giải
phương trình, hệ phương trình mà còn phụ thuộc rất nhiều vào việc thành lập phương
trình, hệ phương trình. Đó là dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình,
hệ phương trình”. Dạng toán này tương đối khó và mới mẻ, nó mang tính trừu tượng
rất cao, đòi hỏi học sinh phải có các kiến thức về số học, đại số, hình học, vật lí và
phải biết tìm mối liên hệ giữa các yếu tố của bài toán đã cho với thực tiễn đời sống.
Nhưng thực tế cho thấy phần đông học sinh không đáp ứng được những khả năng trên
nên không giải được các dạng của bài toán lập phương trình.
Việc giải các bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình đối với học
sinh THCS là một việc làm mới mẻ. Đề bài cho không phải là những phương trình, hệ
7
phương trình có sẵn mà là một đoạn văn mô tả mối quan hệ giữa các đại lượng, học
sinh phải chuyển đổi được mối quan hệ giữa các đại lượng được mô tả bằng lời văn
sang mối quan hệ toán học. Hơn nữa, nội dung của các bài toán này, hầu hết đều gắn
bó với các hoạt động thực tế của con người, xã hội hoặc tự nhiên,… Do đó trong quá
trình giải học sinh thường quên, không quan tâm đến yếu tố thực tiễn dẫn đến đáp số

vô lý. Một đặc thù riêng của loại toán này là hầu hết các bài toán đều được gắn liền
với nội dung thực tế. Chính vì vậy mà việc chọn ẩn số thường là những số liệu có liên
quan đến thực tế. Do đó khi giải toán học sinh thường mắc sai lầm và thoát ly thực tế.
Từ những lý do đó mà học sinh rất ngại làm loại toán này. Mặc khác, cũng có
thể trong quá trình giảng dạy do năng lực, trình độ của giáo viên mới chỉ dạy cho học
sinh ở mức độ truyền thụ tinh thần của sách giáo khoa mà chưa biết phân loại toán,
chưa khái quát được cách giải cho mỗi dạng. Kỹ năng phân tích tổng hợp của học sinh
còn yếu, cách chọn ẩn số, mối liên hệ giữa các dữ liệu trong bài toán, dẫn đến việc
học sinh rất lúng túng và gặp rất nhiều khó khăn trong vấn đề giải loại toán này. Đối
với việc giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình các em mới được
học nên chưa quen với dạng toán tự mình làm ra phương trình, hệ phương trình. Xuất
phát từ thực tế đó nên kết quả học tập của các em chưa cao. Nhiều em nắm được lý
thuyết rất chắc chắn nhưng khi áp dụng giải bài tập thì lại không làm được. Do vậy
việc hướng dẫn giúp các em có kỹ năng lập phương trình để giải toán, ngoài việc nắm
lý thuyết, thì các em phải biết vận dụng thực hành, từ đó phát triển khả năng tư duy,
đồng thời tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm nâng cao chất lượng học tập.
Xuất phát từ thực tế là các em học sinh ngại khó khi giải các bài toán, tôi thấy
cần phải tạo ra cho các em có niềm yêu thích say mê học tập, luôn tự đặt ra những câu
hỏi và tự mình tìm ra câu trả lời. Khi gặp các bài toán khó, phải có nghị lực, tập trung
tư tưởng, tin vào khả năng của mình trong quá trình học tập. Để giúp học sinh bớt khó
khăn và cảm thấy dễ dàng hơn trong việc “Giải bài toán bằng cách lập phương
trình, hệ phương trình” lớp 8, lớp 9 tôi thấy cần phải hướng dẫn học sinh cách lập
8
phương trình, hệ phương trình rồi giải phương trình, hệ phương trình một cách kỹ
càng, yêu cầu học sinh có kỹ năng thực hành giải toán phần này cẩn thận.
Việc hướng dẫn học sinh tìm ra phương pháp giải toán phù hợp với từng dạng
bài là một vấn đề quan trọng, chúng ta phải tích cực quan tâm thường xuyên, không
chỉ giúp các em nắm được lý thuyết mà còn phải tạo ra cho các em có một phương
pháp học tập cho bản thân, rèn cho các em có khả năng thực hành. Nếu làm được điều
đó chắc chắn kết quả học tập của các em sẽ đạt được như mong muốn.

Kết luận phần 1
Từ những lí do nêu trên, do đó giáo viên không chỉ truyền thụ cho học sinh
những kiến thức như trong sách giáo khoa (SGK) mà còn dạy cho học sinh cách giải
bài tập. Giáo viên khi hướng dẫn cho học sinh giải các bài toán dạng này phải dựa
trên các quy tắc chung là: yêu cầu về giải một bài toán, quy tắc giải bài toán bằng
cách lập phương trình, phân loại các dạng toán, làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các đại
lượng dẫn đến lập được phương trình dễ dàng. Và khi lập được phương trình rồi thì
đòi hỏi phải giải cho chính xác, tìm ra kết quả rồi sau cùng mới kết luận bài toán. Đây
là bước đặc biệt quan trọng và khó khăn không những đối với học sinh mà còn đối với
giáo viên. Do đó giáo viên không những cố gắng rèn luyện cho học sinh cách giải mà
cần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải để học sinh phát huy được khả năng tư
duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài toán, tạo được lòng say mê, sáng tạo, ngày
càng tự tin, không còn tâm lý ngại ngùng đối với việc giải bài toán bằng cách lập
phương trình, hệ phương trình.
9
Phần 2
GIẢI PHÁP HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP
PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH CỦA HỌC SINH LỚP 9
2.1 Phân tích, tìm hiểu dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phương
trình và hệ phương trình”
Từ những khó khăn cơ bản của học sinh cũng như những yếu tố khách quan
khác, tôi đã cố gắng tìm ra những giải pháp khắc phục nhằm đạt được hiệu quả cao
trong công tác. Nắm bắt được tình hình học sinh ngại khó khi giải bài toán bằng cách
lập phương trình nên tôi đã đưa ra các dạng bài tập khác nhau để phân loại cho phù
hợp với khả năng nhận thức của từng đối tượng. Các bài tập ở dạng từ thấp đến cao để
các em nhận thức chậm có thể làm tốt những bài toán ở mức độ trung bình, đồng thời
kích thích sự tìm tòi và sáng tạo của những học sinh khá, giỏi.
Bên cạnh đó tôi thường xuyên hướng dẫn, sửa chữa chỗ sai cho học sinh, lắng
nghe ý kiến của các em. Cho học sinh ngoài làm việc cá nhân còn phải tham gia trao
đổi nhóm khi cần thiết. Tôi yêu cầu học sinh phải tự giác, tích cực, chủ động, có trách

nhiệm với bản thân và tập thể.
Mặc dù khả năng nhận thức và suy luận của học sinh trong mỗi lớp chưa đồng
bộ nhưng khi giải bài toán bằng cách lập phương trình tất cả đều phải dựa vào một
quy tắc chung: Đó là các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình. Cụ thể như
sau :
Bước 1: Lập phương trình (hệ phương trình) gồm các công việc sau
- Chọn ẩn số ( ghi rõ đơn vị ) và đặt điều kiện cho ẩn;
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình)
- Tùy từng phương trình (hệ phương trình) mà chọn cách giải cho ngắn gọn
và phù hợp.
10
Bước 3: Trả lời (Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình ( nghiệm
của hệ phương trình), nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi
kết luận).
Lưu ý: Trước khi thực hiện bước 1, học sinh cần phải đọc kỹ đề bài, nhận
dạng bài toán là dạng toán nào, sau đó tóm tắt đề bài rồi giải. Bước 1 có tính chất
quyết định nhất. Thường đầu bài hỏi số liệu gì thì ta đặt cái đó là ẩn số. Xác định
đơn vị và điều kiện của ẩn phải phù hợp với thực tế cuộc sống.
2.2 Phân tích, tìm hiểu những yêu cầu khi giải bài toán bằng cách lập
phương trình và hệ phương trình
Tuy đã có quy tắc trên nhưng người giáo viên trong quá trình hướng dẫn cần
đảm bảo cho học sinh thực hiện theo các yêu cầu sau :
Yêu cầu 1 : Lời giải không phạm sai lầm và không có sai sót mặc dù nhỏ.
Để học sinh không mắc phải sai lầm này người giáo viên phải hướng dẫn học
sinh tìm hiểu đề toán. Do đó trước khi giải giáo viên phải yêu cầu học sinh đọc thật kỹ
đề bài, đọc lại đề bài nhiều lần, từng câu, từng chữ trong đề bài để nắm được đề bài đã
cho những gì, yêu cầu tìm những gì. Từ đó giúp học sinh hiểu kỹ đề toán và trong quá
trình giải không có sai sót nhỏ hoặc không phạm sai lầm. Việc hiểu kỹ nội dung đề

bài là tiền đề quan trọng trong việc giải bài tập toán. Nó giúp học sinh rất nhiều trong
việc chọn ẩn, đặt điều kiện của ẩn, suy luận, lập luận logic, kỹ năng tính toán, …
Giáo viên phải rèn cho học sinh thói quen đặt điều kiện cho ẩn và đối chiều với
điều kiện của ẩn cho thích hợp để tránh việc sai sót khi kết luận bài toán.
Ví dụ 1 : Bài tập 37 SBT Toán 9 tập 2 - trang 09
Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn
hơn số đã cho là 63. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99. Tìm số đã cho
Phân tích :
Học sinh cần phải nắm được cấu tạo số trong hệ thập phân:
+ số có hai chữ số
ab
thì được biểu diễn là
10a b
+
11
Ta thấy hai đại lượng chưa biết là chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị của
số cần tìm. Theo giả thiết, khi viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại, ta vẫn được
một số có hai chữ số. Điều đó chứng tỏ rằng hai chữ số ấy đều phải khác 0.
Giải :
Gọi chữ số hàng chục của số cần tìm là x (ĐK :
0 9x< ≤
)
chữ số hàng đơn vị của số cần tìm là y (ĐK :
0 9y< ≤
)
Theo đề bài ta có :
Số ban đầu cần tìm là :
10xy x y= +
Khi viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại, ta được số mới là :
yx 10y x= +

Theo các điều kiện của đề bài ta có hệ phương trình :
( ) ( )
( ) ( )
10 10 63
7
9
10 10 99
y x x y
x y
x y
x y y x
+ − + =

− + =


⇔
 
+ =
+ + + =



Giải hệ ta được :
1
8
x
y
=



=

Vậy số ban đầu cần tìm là : 18
Sau khi tìm ra
1
8
x
y
=


=

, giáo viên lưu ý học sinh đối chiếu với điều kiện ban đầu
của đề bài xem đã thỏa mãn các điều kiện chưa.
Yêu cầu 2 : Lời giải phải có căn cứ chính xác.
Khi giải bài toán bằng cách lập phương trình, giáo viên cần lưu ý học sinh lập
luận phải có căn cứ và phải chính xác, khoa học. Vì mỗi câu lập luận trong bài giải
đều liên quan đến ẩn số và các dữ kiện đã cho trong đề toán. Do đó giáo viên cần phải
giúp học sinh hiểu được đâu là ẩn số, đâu là các dữ kiện đã cho trong bài toán, để từ
đó dựa vào những yếu tố và các mối liên quan giữa các đại lượng đã cho và ẩn số để
lập luận và lập nên phương trình. Vì thế, trước khi hướng dẫn học sinh giải bài toán
bằng cách lập phương trình, giáo viên nên hướng dẫn học sinh luyện tập các phương
pháp biểu diễn sự tương quan giữa các đại lượng bởi một biểu thức chứa ẩn, trong đó
ẩn số đại diện cho một đại lượng nào đó chưa biết. Học sinh có thể sử dụng cách lập
12
bảng (có thể viết ngoài giấy nháp) để biểu diễn các đại lượng chưa biết bởi những
biểu thức của ẩn cùng với các quan hệ của chúng.
Ví dụ 2 : Bài toán SGK toán 9 tập 2 - trang 22

Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong. Mỗi
ngày, phần việc đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi
đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu ?
Phân tích :
Từ giả thiết hai đội cùng làm trong 24 ngày thì xong cả đoạn đường (và được xem
là xong 1 công việc), ta suy ra trong một ngày cả hai đội làm chung
1
24
công việc.
Tương tự, số phần công việc mà mỗi đội làm trong một ngày và số ngày cần thiết để
đội đó hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Khi đó nếu gọi :
+ x là số ngày để đội A làm một một mình hoàn thành toàn bộ công việc
+ y là số ngày để đội B làm một một mình hoàn thành toàn bộ công việc
Ta có bảng sau :
Công việc Năng suất Thời gian
Đội A 1
1
x
x ngày (x > 0)
Đội B 1
1
y
y ngày (y > 0)
Cả hai
đội
1
1 1 1
24x y
+ =

24 ngày
Hệ PT
1 1 1
24
1 3 1
.
2
x y
x y

+ =




=


Trong ví dụ trên, nếu chọn ẩn số theo cách khác :
Nếu gọi :
+ x là số phần công việc làm trong một ngày của đội A
+ y là số phần công việc làm trong một ngày của đội B
13
Ta có bảng sau :
Công việc Năng suất Thời gian
Đội A 1 x
1
x
ngày (x > 0)
Đội B 1 y

1
y
ngày (y > 0)
Cả hai đội 1
1
24
x y+ =
24 ngày
Hệ PT
1
24
3
.
2
x y
x y

+ =




=


Qua đó ta thấy rằng khi chọn ẩn là “thời gian” thì hệ phương trình phức tạp
hơn so với khi chọn ẩn là “năng suất làm việc”. Do đó khi giải cần chú ý đến việc
chọn ẩn.
Yêu cầu 3 : Lời giải phải đầy đủ và mang tính toàn diện.
Giáo viên khi giảng dạy cho học sinh giải loại toán này cần phải chú ý đến tính

toàn diện của bài giải. Nghĩa là lời giải của bài toán phải đầy đủ, chính xác, không
thừa cũng không thiếu. Phải làm sao sử dụng hết tất cả các dữ kiện của đề bài, không
bỏ sót một dữ kiện, một chi tiết nào dù là nhỏ, khi đã sử dụng hết tất cả các dữ kiện
của bài toán, lập được phương trình, giải tìm được kết quả thì cuối cùng các em phải
chú ý đối chiếu kết quả với điều kiện của ẩn hoặc có thể thử lại kết quả để trả lời, kết
luận bài toán cho chính xác. Có như vậy mới thể hiện được tính đầy đủ và toàn diện
nhất.
Ví dụ 3: Bài tập 30 SGK Toán 9 tập 2- trang 22
Một ô tô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc
35km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ
đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất
phát của ôtô tại A.
Hướng dẫn giải :
Gọi độ dài của quãng đường AB là x (km)
thời gian dự định đi từ A đến B là y (giờ)
14
Ta có bảng sau :
Quãng đường (km) Vận tốc (km/h) Thời gian (giờ)
Dự định x (x > 0) - y (y > 0)
Đi chậm x 35 km/h
35
x
giờ
Đi nhanh x 50 km/h
50
x
giờ
Hệ PT
2
35

1
50
x
y
x
y

+ =




− =


Giải hệ ta được :
350
8
x
y
=


=

Lưu ý học sinh : Thời điểm xuất phát của ôtô là : 12 – 8 = 4 giờ sáng
Yêu cầu 4: Lời giải bài toán càng đơn giản càng tốt
Bài giải phải đảm bảo được 3 yêu cầu trên không sai sót, có lập luận, mang tính
toàn diện và phù hợp kiến thức, trình độ của học sinh, đại đa số học sinh hiểu và làm
được

Ví dụ 4: Bài toán cổ SGK toán 8 tập 2 - trang 24
“Vừa gà vừa chó
Bó lại cho tròn
Ba mươi sáu con
Một trăm chân chẵn.
Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó?”
Hướng dẫn :
Gọi số con gà cần tìm là x (
,0 36x Z x
+
∈ < <
)
và số con chó cần tìm là y (
,0 36y Z y
+
∈ < <
)
Theo đề ra ta có hệ phương trình :
36
2 4 100
x y
x y
+ =


+ =

Nếu ta giải quyết bài toán theo hướng trên thì lời giải ngắn gọn, hệ phương
trình dễ giải hơn
15

Nhưng nếu ta chọn ẩn số như sau :
Gọi số chân gà là x (
,0 100x Z x
+
∈ < <
) và số chân chó là y (
,0 100y Z y
+
∈ < <
)
Theo đề ra ta có hệ phương trình :
100
36
2 4
x y
x y
+ =



+ =


Nếu ta giải quyết bài toán theo hướng trên thì việc giải hệ phức tạp hơn, dễ có sai
lầm hơn.
Yêu cầu 5 : Lời giải phải trình bày khoa học.
Khi giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình chúng ta cần lập
luận dựa vào các dữ kiện của đề bài. Tuy nhiên khi lập luận trình bày lời giải cần phải
có thứ tự, vấn đề nào cần lập luận trước, vấn đề nào cần lập luận sau. Giữa các bước
lập luận biểu diễn sự tương quan giữa các đại lượng phải logic, chặt chẽ với nhau,

bước sau là sự kế thừa của bước trước, bước trước nêu ra nhằm chủ ý cho bước sau
tiếp nối. Không nên diễn giải lung tung, không có trình tự, dài dòng giữa các bước.
Trên đây là 5 yêu cầu quan trọng khi thực hiện giải bài toán bằng cách lập
phương trình và hệ phương trình mà giáo viên cần lưu ý cho học sinh. Ngoài việc
nhắc nhở học sinh nắm vững các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình,
phương trình, nắm vững các yêu cầu đặt ra trong việc giải toán, học sinh là đối tượng
để giải tốt các bài tập, nhưng việc quan trọng nhất trong thành công dạy học vẫn là do
người giáo viên. Để học sinh học được tốt, hiểu được bài, vận dụng được lý thuyết để
giải bài tập thì trước hết giáo viên phải soạn bài thật tốt, chuẩn bị một hệ thống các
câu hỏi phù hợp, một số bài tập trắc nghiệm, tự luận đơn giản phù hợp với từng đối
tượng học sinh. Phân tích thật rõ ràng và tỉ mỉ các ví dụ trong sách giáo khoa ở các
tiết dạy trên lớp hoặc phân tích thật kĩ các bài tập mẫu cho học sinh qua các giờ học tự
chọn để làm nền tảng cho học sinh giải các bài tập khác. Mặt khác giáo viên có thể
chia học sinh thành các nhóm nhỏ, mỗi nhóm có một nhóm trưởng tổ chức thảo luận
các bài tập mẫu để các em học sinh yếu kém có thể hiểu được bài một cách sâu hơn,
giúp các em có thể giải được một số bài tập tương tự, làm cho các em không chán
16
nản, không ngại khó khi giải bài tập giải bài toán bằng cách lập phương trình. Từ đó
giúp các em có hứng thú giải những bài tập dạng khó hơn. Do vậy giáo viên cần phải
cho học sinh những bài tập tương tự để các em tự làm và cũng cần phải phân loại rõ
ràng cho học sinh từng dạng toán giải bài toán bằng cách lập phương trình để từ đó
học sinh có thể chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.
2.3 Phân loại và hướng dẫn giải các dạng toán cụ thể về giải bài toán bằng
cách lập phương trình và hệ phương trình
2.3.1 Dạng bài toán về chuyển động
- Phương pháp giải
Toán chuyển động gồm 3 đại lượng: Quãng đường, vận tốc, thời gian.
S = v.t quãng đường = vận tốc
´
thời gian

t =
S
v
thời gian = quãng đường : vận tốc
v =
S
t
vận tốc = quãng đường : thời gian
Đi nhanh hơn thì vận tốc lớn hơn;
Đi chậm hơn thì vận tốc nhỏ hơn;
Đến sớm hơn (đến trước) thì thời gian ít hơn;
Đến muộn hơn ( đến chậm, đến sau) thì thời gian nhiều hơn.
Thường chọn vận tốc làm ẩn và phương trình là phương trình thời gian.
- Một số dạng bài tập thường gặp và ví dụ minh họa
+ Dạng “Khởi hành cùng lúc, cùng nơi và đi cùng chiều” :
Ví dụ 5: Bài 47/Trang 59 (SGK)
Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài 30 km,
khởi hành cùng một lúc. Vận tốc xe của Bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe của cô Liên là 3
km/h nên bác Hiệp đã đến tỉnh trước cô Liên nửa giờ. Tính vận tốc xe của mỗi người.
17
+ Dạng “Tìm vận tốc thực, tìm vận tốc xuôi (ngược) dòng”:
Vận tốc thực : Là vận tốc của vật đi được khi dòng chảy đứng yên.
v
xuôi
= v
thực
+ v
dòng
v
ngược

= v
thực
- v
dòng
v
dòng
= (v
xuôi
- v
ngược
) : 2 v
thực
= (v
xuôi
+ v
ngược
) : 2.
Ví dụ 6: Bài 52 /Trang 60 (SGK)
Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30 km. Một canô đi từ bến A đến bến
B, nghỉ 40 phút ở bến B rồi quay lại bến A. Kể từ lúc khởi hành đến khi về tới bến A
hết tất cả 6 giờ. Hãy tìm vận tốc của canô trong khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc
của nước chảy là 3 km/h.
Đk: x > 3 S(km) v(km/h) t(h)
Ca nô đi khi nước đứng yên
x
Khi xuôi dòng 30
3x +
30
3x +
Khi ngược dòng 30

3x
−
30
3x −
Phương trình
30 30 2
6
3 3 3x x
+ + =
+ −
+ Dạng “có nghỉ ở dọc đường và thay đổi vận tốc”:
Ví dụ 7: Bài 43/Trang 58 (SGK).
Một xuồng du lịch đi từ thành phố Cà Mau đến Đất Mũi theo một đường sông
dài 120 km. Trên đường đi, xuồng có nghỉ lại 1 giờ ở thị trấn Năm Căn. Khi về,
Đk: x > 0 S(km) v(km/h) t(h)
Bác Hiệp
(nhanh)
30
x
30
x
Cô Liên
(chậm)
30
3x +
30
3x +
Phương trình
30 30 1
3 2x x

− =
+
18
xuồng đi theo đường khác dài hơn đường lúc đi là 5 km và với vận tốc nhỏ hơn vận
tốc lúc đi là 5 km/h. Tính vận tốc của xuồng lúc đi, biết rằng thời gian về bằng thời
gian đi.
2.3.2 Loại toán “lao động sản xuất”
- Phương pháp giải
Tổng số lượng công việc = số đối tượng
×
lượng c.việc của mỗi đối tượng
Lượng c.việc của mỗi đối tượng = (Tổng số lượng c. việc) : (số đối tượng)
Lượng công việc : số tấn hàng, số cây, số m
2
, số bàn ghế,…
Đối tượng : số xe, số người, số tàu,…
Thường chọn số đối tượng làm ẩn.
- Một số dạng bài tập thường gặp và ví dụ minh họa
Ví dụ 8:
Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ học sinh được giao nhiệm vụ trồng 56
cây. Vì có 1 bạn trong tổ được phân công đi làm việc khác nên để trồng đủ số cây được
giao, mỗi bạn còn lại trong tổ đều trồng tăng thêm 1 cây so với dự định lúc đầu. Hỏi tổ
học sinh có bao nhiêu bạn, biết rằng số cây phân cho mỗi bạn trồng đều bằng nhau.
(ĐS: 8 h/s).
Đk: x >0 S(km) v(km/h) t(h)
Lúc đi
(nhanh)
120
x
120

x
Lúc về
(chậm)
125
5x −
125
5x −
Phương trình
120 125
1
5x x
+ =
−
19
Đk: x Số cây
(cây)
Số h/s
(nguời)
Số cây của mỗi h/s
(cây/ người)
Lúc đầu
56

x


56
x

Lúc sau

56

1x
−


56
1x −

Phương trình
56 56
1
1x x
− =
−
2.3.3 Loại toán “công việc”
- Phương pháp giải
Năng suất lao động : là lượng công việc làm được trong một đơn vị thời gian.
Lượng công việc = thời gian
´
năng suất
⇒
Năng suất = lượng công việc : thời gian
Năng suất và thời gian tỉ lệ nghịch với nhau.
Thường chọn thời gian làm ẩn.
“Công việc” = 1
Làm nhanh hơn ( năng suất cao hơn) thì ít thời gian hơn;
làm chậm hơn ( năng suất thấp hơn) thì nhiều thời gian hơn.
công việc = thời gian
×

năng suất
Năng suất = công việc : thời gian
Thường chọn thời gian làm ẩn x. Đk : x > thời gian cả hai.
Phương trình thường là : Năng suất I + Năng suất II = Năng suất cả hai
- Một số dạng bài tập thường gặp và ví dụ minh họa
Ví dụ 9:
Hai đội học sinh tham gia ngày “Lao động xây dựng Tổ quốc” cùng làm chung
trong 4 giờ thì xong công việc đã được phân công. Nếu để mỗi đội làm một mình thì
20
đội I làm nhanh hơn đội II là 6 giờ. Tính xem nếu mỗi đội làm một mình thì phải bao
nhiêu thời gian mới xong công việc.
(Đáp số: 6 giờ và 12 giờ)
2.3.4 Loại toán “liên quan đến hình học”
- Phương pháp giải
Nên vẽ hình (ngoài nháp cũng được).
Các kích thước của hình: là độ dài các cạnh của hình.
Phải thuộc các hệ thức, công thức, định lý, hệ quả … liên quan đến hình để
vận dụng vào bài toán.
Đối với hình chữ nhật:
chu vi = ( dài + rộng). 2 ; diện tích = dài
´
rộng

Þ
Dài =
2
vichu
- rộng ; Rộng =
2
vichu

- dài
Nếu chọn chiều rộng là ẩn thì điều kiện là: 0 < rộng <
chu vi
4
.
Nếu chọn chiều dài làm ẩn thì điều kiện là:
chu vi
4
< dài <
chu vi
2
:
Đk : x > 4
Công việc Thời gian

(giờ) Năng suất
(
cv/giờ)
Đội I (nhanh) 1
x

1
x

Đội II (chậm) 1

6x
+


1
6x +

Cả hai đội 1 4
1
4
Phương trình
1 1 1
6 4x x
+ =
+
21
Đối với tam giác vuông:
Nếu chọn một cạnh góc vuông làm ẩn x thì Đk là: 0 < x < cạnh huyền.
Diện tích tam giác =
ñaùy cao
2
´
- Một số dạng bài tập thường gặp và ví dụ minh họa
Ví dụ 10:
Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 10 m. Hai cạnh góc vuông hơn kém
nhau 2 m. Tìm các cạnh góc vuông của tam giác đó.
Giải
Gọi độ dài của cạnh góc vuông nhỏ là x (m),( 0 < x < 10 );
Độ dài của cạnh góc vuông lớn là x + 2 (m)
Áp dụng định lý Pitago, ta có phương trình: ( x + 2)
2
+ x
2
= 10

2

Ví dụ 11 : Bài 48/Trang 59 (SGK)
Từ một miếng tôn hình chữ nhật người ta cắt ở 4 góc bốn hình vuông có cạnh
bằng 5 dm để làm thành một cái thùng không nắp có dung tích 1500 dm
3
. Hãy tính
kích thước của miếng tôn lúc đầu, biết rằng chiều dài của nó gấp đôi chiều rộng.
Giải
Gọi chiều rộng miếng tôn là x (dm), (x > 10)
Chiều dài miếng tôn là 2x (dm)
Chiều rộng của thùng là x – 10 (dm)
Chiều dài của thùng là 2x – 10 (dm)
Vì thể tích của thùng = dài
´
rộng
´
cao nên ta có phương trình:
1500 = (2x – 10).(x – 10). 5
(ĐS: rộng= 20dm và dài =40 cm).
2.3.5 Loại toán “liên quan vật lí, hóa học”
- Phương pháp giải
Cần nắm vững các công thức vật lý, hóa học cũng như các công thức suy
ra để vận dụng vào bài toán.
5 dm
5 dm
5 dm
5 dm
x
2x

22
D =
V
M

3
3
D : laứ khoỏi lửụùng rieõng (kg/m )
M : laứ khoỏi lửụùng (kg)
V : laứ theồ tớch (m ) :
ỡ
ù
ù
ù
ù
ớ
ù
ù
ù
ù
ợ
ị

M
V
D
=
v M = V. D
Vớ d v dung dch:
Nng dung dch mui l 12 % thỡ ta nờn hiu:

Trong 100 gam dung dch cú 12 gam mui.
2
% .100%
dd ct H O
ct
dd
m m m
m
C
m
= +
=

Nu cỏc n v o ca cựng mt i lng cha cựng n v thỡ phi i v
cựng mt n v.
- Mt s dng bi tp thng gp v vớ d minh ha
Vớ d 12 : Bi 50/Trang 59 (SGK)
Ming kim loi th nht nng 880 g, ming kim loi th hai nng 858 g. Th
tớch ca ming th nht nh hn th tớch ca ming th hai l 10 cm
3
, nhng khi
lng riờng ca ming th nht ln hn khi lng riờng ca ming th hai l 1
g/cm
3
. Tỡm khi lng riờng ca mi ming kim loi.
(S: 8,8 g/cm
3
v 7,8 g/cm
3
).

Vớ d 13 : Bi 51/Trang 59(SGK)
k: x >
Khi lng (M)
(g)
Th tớch (V)
(cm
3
)
Khi lng riờng (D)
(g/cm
3
)
Ming th nht 880
880
x
x
Ming th hai 858
858
1x
1x

Phng trỡnh
858 880
10
1x x
=

23
Người ta đổ thêm 200 g nước vào một dung dịch chứa 40 g muối thì nồng độ
của dung dịch giảm đi 10%. Hỏi trước khi đổ thêm nước thì dung dịch chứa bao

nhiêu nước ?
Đk: x > 0 Số gam nước Số gam muối Nồng độ dung dịch
Lúc đầu x 40
40
40x +
Lúc sau x + 200 40
40 40
200 40 240x x
=
+ + +
Phương trình
40 40 10
40 240 100x x
− =
+ +
2.3.6 Loại toán “Quan hệ giữa các số”
- Phương pháp giải
Cần phân biệt tổng các bình phương với bình phương của tổng.
+ Tổng các bình phương của hai số a và b là a
2
+ b
2
+ Bình phương của tổng hai số a và b là (a + b)
2
.

b
a
và
a

b
là nghịch đảo của nhau. Số x có nghịch đảo là
x
1
.
Phân tích một số ra hai thừa số là biến đổi số đó thành hai số khác nhân với nhau.
Ví dụ: 6 = 2 . 3
Cho tổng hai số : Nếu gọi số thứ nhất là x, thì số thứ hai là: Tổng – x
Cho hiệu hai số : Nếu gọi số lớn là x, thì số nhỏ là : x – hiệu .
Nếu gọi số nhỏ là x, thì số lớn là : x + hiệu.
- Một số dạng bài tập thường gặp và ví dụ minh họa
Ví dụ 14: Bài 41/Trang 58 (SGK)
Trong lúc học nhóm, bạn Hùng yêu cầu bạn Minh và bạn Lan mỗi người chọn
một số sao cho hai số này hơn kém nhau là 5 và tích của chúng phải bằng 150. Vậy
hai bạn Minh và Lan phải chọn những số nào ? (ĐS: 10 và 15 hoặc: – 10 và –15).
Giải
Gọi số nhỏ mà một bạn đã chọn là x
Số lớn bạn kia chọn là x + 5
24
Theo bài ra ta có phương trình x(x + 5) = 150. (HS tự giải tiếp)
Ví dụ 15 : Bài 44/Trang 58 (SGK)
Đố. Đố em tìm được một số mà một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị rồi nhân
với một nửa của nó bằng một nửa đơn vị. (ĐS: 2 hoặc –1).
Giải :
Gọi số phải tìm là x thì một nửa của nó là
x
2
Một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị là
x 1
-

2 2
Theo bài ra ta có phương trình
x 1 x 1
- . =
2 2 2 2
æ ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø

Ví dụ 16 : Bài 45/Trang 58 (SGK)
Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109.
Tìm hai số đó. (ĐS: 11 và 12).
Giải
Gọi số tự nhiên bé là x , (x
Î
N, x > 0)
Số tự nhiên liền sau là: x + 1
Tích của chúng là: x.(x + 1) = x
2
+ x
Tổng của chúng là: x + (x + 1) = 2x + 1
Theo bài ra ta có phương trình (x
2
+ x) – (2x + 1) = 109
2.3.7 Một số bài tập đề nghị :

Bài 1: Hai giá sách có 450 cuốn. Nếu chuyển từ giá thứ nhất sang giá thứ hai
50 cuốn thì số sách ở giá thứ hai bằng
4
5
số sách ở giá thứ nhất.Tìm số sách lúc đầu ở
mỗi giá.
Bài 2: Một đoàn xe vận tải nhận chuyên chở 15 tấn hàng. Khi sắp khởi hành
thì 1 xe phải điều đi làm công việc khác, nên mỗi xe còn lại phải chở nhiều hơn 0,5
tấn hàng so với dự định. Hỏi thực tế có bao nhiêu xe tham gia vận chuyển. (biết khối
lượng hàng mỗi xe chở như nhau)
25
Bài 3: Hai vòi nước cùng chảy vào 1 cái bể không có nước trong 6 giờ thì đầy
bể. Nếu để riêng vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ, sau đó đóng lại và mở vòi thứ hai
chảy tiếp trong 3 giờ nữa thì được
2
5
bể. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể
trong bao lâu?
Bài 4: Một người đi xe máy khởi hành từ Hoài Ân đi Quy Nhơn. Sau đó 75
phút, trên cùng tuyến đường đó một Ô tô khởi hành từ Quy Nhơn đi Hoài Ân với vận
tốc lớn hơn vận tốc của xe máy là 20 km/giờ. Hai xe gặp nhau tại Phù Cát. Tính vận
tốc của mỗi xe, giả thiết rằng Quy Nhơn cách Hoài Ân 100 km và Quy Nhơn cách
Phù Cát 30 km.
Bài 5: Một Ô tô khách và một Ô tô tải cùng xuất phát từ địa điểm A đi đến địa
điểm B đường dài 180 km do vận tốc của Ô tô khách lớn hơn Ô tô tải 10 km/h nên Ô
tô khách đến B trước Ô tô tải 36 phút. Tính vận tốc của mỗi Ô tô. Biết rằng trong quá
trình đi từ A đến B vận tốc của mỗi Ô tô không đổi.
Bài 6: Một mô tô đi từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc và thời gian
đó dự định. Nếu mô tô tăng vận tốc thêm 5km/h thỡ đến B sớm hơn thời gian dự định
là 20 phút. Nếu mô tô giảm vận tốc 5km/h thì đến B chậm hơn 24 phút so với thời

gian dự định. Tính độ dài quảng đường từ thành phố A đến thành phố B.
Bài 7: Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km ;
cùng lúc đó, cũng từ A về B một bè nứa trôi với vận tốc dòng nước là 4 km/h. Khi đến
B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa tại địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc thực
của ca nô.
Bài 8: Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 180 km. Một Ô tô đi từ A đến
B, nghỉ 90 phút ở B, rồi lại từ B về A. Thời gian lúc đi đến lúc trở về A là 10 giờ. Biết
vận tốc lúc về kém vận tốc lúc đi là 5 km/h. Tính vận tốc lúc đi của Ô tô.
Bài 9: Cho một thửa ruộng hình chữ nhật có diện tích 100m
2
. Tính độ dài các
cạnh của thửa ruộng. Biết rằng nếu tăng chiều rộng của thửa ruộng lên 2m và giảm
chiều dài của thửa ruộng đi 5m thì diện tích của thửa ruộng tăng thêm 5m
2
.
26
Bài 10: Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ gồm 13 học sinh (cả nam và
nữ) đã trồng được tất cả 80 cây. Biết rằng số cây các bạn nam trồng được và số cây
các bạn nữ trồng được là bằng nhau ; mỗi bạn nam trồng được nhiều hơn mỗi bạn nữ
3 cây. Tính số học sinh nam và số học sinh nữ của tổ.
Bài 11: Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km,
cùng lúc đó cũng từ A một bè nứa trôi với vận tốc dòng nước 4 km /h. Khi đến B ca
nô quay lại ngay và gặp bè nứa trôi tại một địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc
thực của ca nô.
Bài 12: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu
người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ 2 làm 6 giờ thì họ làm được 25% công việc.
Hỏi mỗi người làm một mình công việc đó trong mấy giờ thì xong?
Bài 13: Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất được 800 sản phẩm. Sang tháng thứ hai
tổ 1 vượt 15%.tổ 2 vượt 20%. Do đó cuối tháng cả hai tổ xản xuất đựoc 945 sản
phẩm. Tính xem trong tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm

Bài 14: Hai hợp tác xã đã bán cho nhà nước 860 tấn thóc. Tính số thóc mà mỗi
hợp tác xã đã bán cho nhà nước. Biết rằng 3 lần số thóc hợp tác xã thứ nhất bán cho
nhà nước nhiều hơn hai lần số thóc hợp tác xã thứ hai bán là 280 tÊn.
Bài 15: Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất được 800 sản phẩm. Sang tháng thứ hai
tổ 1 vượt 15%.tổ 2 vượt 20%. Do đó cuối tháng cả hai tổ xản xuất đựoc 945 sản
phẩm. Tính xem trong tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm
Kết luận phần 2
Với những giải pháp đã nêu trên tôi đã vận dụng vào trong quá trình hướng dẫn
cho học sinh giải các bài toán dạng này thì nhận thấy các em đã nắm được quy tắc
giải bài toán bằng cách lập phương trình, phân loại được các dạng toán, làm sáng tỏ
mối quan hệ giữa các đại lượng dẫn đến lập được phương trình (hệ phương trình) dễ
dàng, từ đó việc giải phương trình (hệ phương trình) tìm ra đáp số của bài toán chính
xác không gặp phải những khó khăn và sai lầm khi gặp dạng bài toán này, kích thích
27
học sinh lòng say mê tìm hiểu cách giải để học sinh phát huy được khả năng tư duy
linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài toán.
KẾT LUẬN
Từ thực tế nghiên cứu giảng dạy, tôi nhận thấy việc giảng dạy giải bài toán bằng
cách lập phương trình, hệ phương trình có ý nghĩa thực tế rất cao. Nó rèn luyện cho học
sinh tư duy logic, khả năng sáng tạo, khả năng diễn đạt chính xác nhiều quan hệ toán học,
… Do đó khi giải dạng toán này ở lớp 8, lớp 9 giáo viên cần lưu ý học sinh đọc kỹ đề bài,
nắm được các mối quan hệ đã biết và chưa biết giữa các đại lượng để lập phương trình, hệ
phương trình.
Các bài toán, ví dụ được nêu lên đều chủ yếu là toán bậc nhất, nghĩa là các bài toán
dẫn đến phương trình có thể quy về bậc nhất. Lên đến lớp 9 thì việc giải bài toán bằng
cách lập phương trình cũng tuân theo các bước như ở lớp 8 nhưng phương trình có thể quy
về phương trình bậc hai hoặc hệ phương trình. Vì thế giáo viên cần phân tích kỹ các bước
giải, cũng như lưu ý rõ cho học sinh các yêu cầu trong khi giải và từng dạng toán cơ bản
để học sinh có được kiến thức vững chắc phục vụ cho việc giải toán.
Bên cạnh đó, giáo viên cũng tạo hứng thú cho học sinh trong các giờ học, hướng

dẫn học sinh cách học bài, làm bài và cách nghiên cứu trước bài mới ở nhà. Tăng cường
phụ đạo học sinh yếu kém, tìm ra những chỗ học sinh đã bị hổng để phụ đạo. Điều đó đòi
hỏi người giáo viên phải có lòng yêu nghề, yêu thương học sinh và phải có một lượng kiến
thức vững chắc, có phương pháp truyền thụ phù hợp với từng đối tượng học sinh.