kinh nghiệm giải bài toán tìm độ dài đoạn thẳng thông qua phương trình bậc hai

KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN TÌM ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG THÔNG
QUA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
*****
A. ĐẶT VẤN ĐỀ.
Đối với phân môn hình học, việc tính độ dài đoạn thẳng là một trong những
yêu cầu thường xuyên và căn bản. Ngay từ đầu cấp THCS, học sinh đã phải tìm
độ dài đoạn thẳng một cách trực tiếp thông qua đo đạc. Tiếp đến các lớp trên khi
học sinh được tiếp cận ngày càng nhiều các khái niệm hình học, nắm được ngày
càng vững chắc tính chất và mối quan hệ giữa các hình thì việc tìm độ dài đoạn
thẳng thông qua các thao tác vật chất giảm dần. Thay vào đó việc tìm độ dài
đoạn thẳng một cách gián tiếp ngày càng tăng. Đặc biệt khi các em học đến lớp
9, thời điểm tích luỹ vốn kiến thức về phân môn hình học tương đối phong phú
thì việc tìm độ dài đoạn thẳng, hơn bao giờ hết phải đòi hỏi sự tổng hợp kiến
thức tương đối cao. Ở đó việc tìm độ dài đoạn thẳng không chỉ thuần tuý hình
học mà còn sử dụng tương đối nhiều kiến thức từ đại số chẳng hạn như ; tỉ lệ
thức, tính chất đẳng thức, bất đẳng thức…, qua đó ta có thể thấy rằng bài tập về
tìm độ dài đoạn thẳng là tương đối đa dạng.
Để các em đỡ lúng túng và linh hoạt hơn tromg tư duy khi gặp loại toán tìm
độ dài đoạn thẳng, có lẽ ta nên giúp các em nắm được một số dạng của loại toán
này. Chính vì lí do đó mà tôi đã tập hợp và phân loại dưới dạng toán Sau đây tôi
giới thiệu kinh nghiệm giải bài toán “Tìm độ dài đoạn thẳng thông qua
phương trình bậc hai” cho học sinh lớp 8,9. Qua sáng kiến này tôi hy vọng
nhận được sự trao đổi quý báu từ các bạn đồng nghiệp.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
I - ĐIỀU TRA THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI NGHIÊN CỨU.
Năm học 2006 – 2007 trở về trước khi chưa phân loại và dang toán: tìm
độ dài đoạn thẳng thông qua phương trình bậc hai thì các em học sinh lớp 9 giải
bài tập loại này thường đạt hiệu quả không cao. Biểu hiện cụ thể ; học sinh
4
thường mất nhiều thời gian cho việc tìm lời giải và việc trình bầy thì chưa thật
hợp lý.

II – KIẾN THỨC ĐƯỢC SỬ DỤNG.
. Phân môn đại số : tính chất của đẳng thức, tính chất của tỉ lệ thức, biến
đổi phương trình bậc hai , Đặc biệt trong sáng kiến này quan tâm nhiều đến
các cách giải phương trình bậc hai.
+ Phương pháp : đưa hai vế của phương trình về hai luỹ thừa cùng bậc.
+ Phương pháp : vận dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử để biền
đổi phương trình bậc hai về phương trình tích.
+ Phương pháp : nhẩm nghiệm, tìm nghiệm theo công thức.
. Phân môn hình học : Mỗi bài toán sử dụng một cách riêng lẻ hoặc sự tổng
hợp nhiều kiến thức từ lớp 6 đến lớp 9. Đặc biệt trong sáng kiến này quan tâm
nhiều đến quan hệ đồng dạng của tam giác, đến đường tròn, đến diện tích của
một số hình mà học sinh đã học.
III – NHỮNG CÔNG VIỆC ĐÃ LÀM.
1) TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.
Học sinh THCS tiếp cận tam giác đồng dạng từ lớp 8 và kiến thức đó được
bổ sung và sử dụng tương đối nhiều trong quá trình học tập sau này của các em.
Từ sự đồng dạng của tam giác ta suy ra quan hệ về độ dài giữa các đoạn thẳng
hay nói khác đi ta có thể thiết lập được phương trình về độ dài đoạn thẳng.
* Chú ý : Tính chất đường phân giác trong tam giác, một số hệ thức trong
tam giác vuông được xây dựng nhờ sự đồng dạng của tam giác.
*Bài tập 1.
Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH, AB = 20cm, HC = 9cm. Tính
độ dài AH?
Bài giải :

5
9
?
20
x

H
C
B
A
* Đặt BH = x cm ( 0 < x < 20 )
nên BC = x +9 cm
Xét
ABC
∆
và
∆
ABH có
·
·
0
90BAC AHB
= =

µ
B
chung
⇒

( . )ABC HBA g g
∆ ∆
:
AB BC
BH AB
⇒ =
⇒

AB
2
= BH .BC
Thay số : 20
2
= (x + 9)x
⇔
x
2
+ 9x – 400 = 0
⇔
( x+ 25 ) ( x - 16) = 0
⇔
x = - 25 hoặc x =16
Do ( 0 < x < 20 ) nên chỉ có x =16 là thoả mãn
Vậy AH = 16
*Bài tập 2.
Cho tam giác ABC , đường phân giác trong và ngoài của góc A cắt BC
theo thứ tự ở D và E . Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A kẻ tia Dx sao
cho và góc ADx bằng góc ADB Từ A kẻ AH vuông góc với Dx( H thuộc Dx).
Biết DH = 27 cm ,AD = 45 cm ,BC = 40 cm . Tính độ dài DB,DC
Bài giải :
Đặt DB = x , DC = y ( 0 < x ,y < 40)
Vì AD là phân giác trong của tam giác ABC và AE là phân giác ngoài của
tam giác ABC nên góc DAE bằng 90
0
(góc hợp bởi hai tia phân giác của hai góc
kề bù là góc vuông )
Xét
∆

ADE và
∆
ADH có :

·
·
·
·
0
90
( )
EAH AHD
ADB ADH gt
= =
=

EAD AHD
⇒ ∆ ∆
:
(gg)
6

AD DH
DE AD
⇒ =

AD
2
= DE.DH

⇒
DE =
2 2
45
27
AD
DH
=
= 75
- Theo tích chất đường phân giác trong và ngoài của tam giác ta có :

75
75
DB EB x x
DC EC y y
−
= ⇒ =
+
(1)
Mặt khác x + y = 40
thay y = 40 – x vào (1) và rút gọn ta có :
x
2
– 115x + 1500 = 0

⇔
(x
2
– 15x) – (100x – 1500) = 0

⇔
(x – 15)(x – 100) = 0
* Do 0 < x < 40 nên chỉ có x = 15 là thoả mãn.
* Vậy DB = 15cm, DC = 25cm.
*Lời giải hai bài toán trên áp dụng cho học sinh lớp 8 ,còn học sinh lớp 9 lời giải
đơn giản hơn
*Bài tập 3.
Cho tam giác ABC vuông tại A, trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các
điểm K, M, H sao cho AKMH là hình vuông. Biết BC =
15cm
, hình vuông
cạnh đó có độ dài 1cm.Tính độ dài đoạn thẳng AB ?
Bài giải :

*Đặt AB = x , AC = y , (1 < x <
15
, 1 < y <
15
)
* Xét tam giác vuông ABC ta có :
7
M
K
H
C
B
A
x
2
+ y

2
= 15
*Do AHMK là hình vuông MK / / CH suy ra tam giác KBM đồng dạng
với tam giác HMC , do dó

1 1
1 1
BK MK x
MH CH y
−
= ⇒ =
−

⇒
xy = x +y (1)
Đặt x + y = m ( m > 2 ) , ta có :
x
2
+ y
2
= 15
⇔
x
2
+ y
2
+2xy – 2xy = 15
⇔
(x + y )
2

- 2 ( x+y) =15
⇔
m
2
– 2m +1 = 16
⇔
( m - 1)
2
= (
±
4)
2
Trường hợp 1 : m – 1 = 4

⇔
m = 5

Trường hợp 2: m - 1 = - 4

⇔
m = - 3
Do m > 2 nên chỉ có m =5 là thỏa mãn
* Với m = 5
⇒
x + y = 5

⇒
y = 5 – x , thay vào phương trình (1) ta có
x( 5 –x ) = x + 5 - x

⇔
x
2
– 5 x + 5 = 0

⇔
( x -
5
2
)
2
=
5
4


⇔
( x -
5
2
)
2
=
2
5
( )
2
±
Trường hợp 1 : x -
5

2
=
5
2
;
1
5 5
2
x
+
=
Hoặc
2
5 5
2
x
−
=
Đều thoả mãn điều kiện
Vậy AB =
5 5
2
+
cm hoặc AB =
5 5
2
−
cm
2) ĐỐI VỚI ĐƯỜNG TRÒN VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.
Đến lớp 9 học sinh được tìm hiểu về đường tròn một cách hệ thống hơn .

Trong đó tính chất tiếp tuyến , quan hệ giữa đường kính và dây cung , quan hệ
giữa góc và đường …, được đề cập một cách thường xuyên hơn . Chính từ
những vấn đề đó làm nảy sinh sự đồng dạng , sự vuông góc và như vậy quan hệ
bậc hai về độ dài xuất hiện ngày càng nhiều hơn .
• Bài tập 1 .
8
Cho nửa đường tròn tâm 0 đường kính AD .Các điểm B,C,thuộc nửa đường
tròn sao cho AB = BC = 2
5
cm , CD = 6 cm . Tính bán kính của đường tròn
Bài giải

* Gọi giao điểm của AC và OB là H .
* Do AB = BC , OA = OC nên OB là đường trung trực của AC suyra
OB
⊥
AC và AH = HC mặt khác ta có OH là đường trung bình của tam giác
ACD Do đó OH =
1
2
CD = 3 ( cm ) và HC =
1
2
AC
* Gọi bán kính của đường tròn có độ dài là x (cm) ( x> 3 )
* Tam giác ADC vuông ở C nên ta có :
AC
2
= AD
2

– DC
2
( Định lý Pitago )

⇒
2 2 2
1 1 1
(2 ) .6
4 4 4
AC x
= −

2 2
1
9
4
AC x
⇒ = −

⇒
HC
2
= x
2
– 9 (1)
* Tam giác BCH vuông ở H nên ta có :
HC
2
= BC
2

– BH
2

⇒
HC
2
= (2
5
)
2
– (OB – HO)
2

⇒
HC
2
= 20 – (x – 3)
2
(2)
* Từ (1) và (2) ta có phương ttrình :
x
2
– 9 = 20 – (x – 3)
2
⇔
x
2
– 3x – 10 = 0

⇔

(x – 5)x + (x – 5)2 = 0
⇔
(x – 5)(x + 2) = 0
* Do x > 3 nên chỉ có x = 5 là thoả mãn điều kiện.
* Vậy bán kính có độ dài là 5cm.
• Bài tập 2
9
Cho đường tròn tâm O bán kính R, đường kính AB, hình thang ABCD
nội tiếp trong đường tròn đó và ngoại tiếp được một đường tròn khác. Tính độ
dài đoạn thẳng CD ?
Bài giải

x
y
D
E
F
I
O
C
A
B
* Đặt DC = x, BC = y ( 0 < x, y < 2.R )
* Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp hình thang ABCD , suy ra các cạnh của
hình thang đều là các tiếp tuyến của đường tròn (I ) từ đó dễ dàng chứng minh
được
DC + AB = AD + BC
⇒
x + 2R = 2y

⇒
y =
2
x
+ R (1)
* Do tam giác ABC vuông ở C nên ta có :
AC
2
= AB
2
– BC
2
( Định lý Pitago )

⇒
AC
2
= 4R
2
– y
2
(2)
* Kẻ DE, CF vuông góc với AB ( E ,F thuộc AB ), từ đó ta suy ra được
OE = OF =
2
x
* Tam giác ABC vuông ở C đường cao CF nên :
AC
2
= AF .AB

⇒
AC
2
= (R +
2
x
).2R
⇒
AC
2
= 2R
2
+ Rx (3)
* Từ (1), (2), (3) ta có ;
2R
2
+ Rx = 4R
2
– (
2
x
+ R)
2
10
⇔
2
4
x
+ 2 Rx - R
2

= 0
⇔
x
2
+ 8Rx – 4R
2
= 0
∆
’ = 16R
2
+ 4R
2
= 20R
2
x
1
= - 4R + 2
5
R ( thoả mãn).
x
2
= - 4R - 2
5
R ( loại).
* Vậy CD = 2R(
5
- 2) ( đơn vị độ dài)
• Bài tập 3. (Bộ đề ôn thi TNTHCS và thi vào THPT năm 2001 – 2002 )
Cho đường tròn tâm O bán kính R đường kính AB, M là một điểm thuộc đường
tròn sao cho MA < MB. Qua B vẽ đường thẳng d vuông góc với AB. Tiếp tuyến

tai M cắt d ở N và cắt AB tại K. Đường thẳng d cắt đường thẳng MO tại H.
Đường thẳng AM cắt HK ở C. Biết MNOC là bình hành. Tính OH theo R.
Bài giải
Bài giải

Đặt OH = x ( x > 0 )
Ta có tam giác OBH đồng dạng với tam giác NMH

⇒

BH OH
MH NH
= ⇒
BH.NH = OH.MH

⇒
BH (BN + BH ) = OH ( R + OH )

⇒
BH . BN + BH
2
= OH .R + OH
2
BH . BN + x
2
– R
2
= R x + x
2
BH . BN = R ( R + x) (1 )

* Do N giao của hai tiếp tuyến NB , NM suy ra BN = MN , mặt khác tứ
giác MNOC là hình bình hành nên MN = OC , từ đó ta có : BN = OC ( 2 )
11
O
M
N
K
d
H
C
B
A
* Từ ( 1 ) , ( 2) ta có
BH . OC = R ( R + x )

⇒
BH
2
. OC
2
= R
2
( R + x )
2
( 3 )
Do tứ giác MNOC là hình bình hành nên MN // OC mà MN
⊥
MH
nên OC
⊥

MH
Do BK
⊥
NH , MH
⊥
KN
⇒
O là trực tâm của tam giác KNH

⇒
ON
⊥
HK
Mặt khác MC // ON ( do tứ giác MNOC là hình bình hành )
suy ra MC
⊥
HK.
Tam giác MHC vuông ở C đường cao OC nên :
OC
2
= OM. OH ( 4 )
Từ ( 3 ) và ( 4 ) ta suy ra :
BH
2
. MO . OH = R
2
( R + x)
2

⇒
(x
2
– R
2
) R .x = R
2
( R + x)
2


⇔
( x – R ) x = R ( R + x )

⇔
x
2
– 2R x - R
2
= 0

'
∆
= R
2
+

R
2
= 2R

2
x
1
= R – R
2
( loại )
x
2
= R + R
2
(thoả mãn )
Vậy OH = R ( 1 +
2
) đơn vị độ dài

3) DIỆN TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.

Riêng về các công thức tính diện tích , xét về phương diện đại số: chúng
là các hàm số bậc hai về độ dài. Do đó nếu cho quan hệ diện tích giữa các hình
thì có thể làm xuất hiện phương trình bậc hai .
Bài tập 1 ( Phát triển từ bài tập 83 – 84 hình học SGK toán 9)
Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C . Vễ trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là
đường thẳng AB hai nửa đường tròn có đường kính lần lượt là AB, AC còn trên
nửa mặt phẳng đối vẽ nửa đường tròn đường kính BC . AB = 8 cm
đặt S là diện tích của hình được giới hạn bởi ba đường tròn nói trên và AC = x .
Tìm x để S bằng diện tích của nửa dường tròn đường kính AC
12
Bài giải
Diện tích S là
( ) ( )

2
2
1 1
8 8 2 8
8 8
x x x
π π π π
− + − = −
( cm
2
)
Để S bằng diện tích của nửa đường tròn đường kính AC thì :

( )
2
1
2 8
8
x x
π π
= −

⇔
x
2
+ 16 x – 128 =0
∆
’ = 64 + 128 = 192
x
1

= - 8 - 8
3
< 0 ( loại )
x
2
= - 8 + 8
3
> 0 ( thoả mãn )
* Khi x = 8
3
- 8 cm thì S bằng diện tích của nửa hình tròn đường kính AC.
* Bài tập 2 ( Phát triển từ bài tập hình học trong SGK – SBT toán 8 )
Cho hình vuông ABCD có cạnh 4cm. Gọi M, N, E, F lần lượt là các điểm di
động trên các cạnh AB, BC, CD, DA sao cho AM = BN = CE = DF. Tính độ dài
đoạn thẳng MF để diện tích của tứ giác MNEF bằng
5
8
diện tích hình vuông
ABCD.
Bài giải
13
Diện tích của nửa đường tròn dường kính AB l :à

2
1 8
( ) 8
2 2
π π
=
( cm

2
)
• Diện tích của nửa đường tròn đường kính AC l :à

2 2
1 1
( )
2 2 8
x
x
π π
=
( cm
2
)
• Diện tích của nửa đường tròn đường kính BCl :à

( )
2
2
1 8 1
( ) 8
2 2 8
x
x
π π
−
= −
( cm
2

)

* Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA
mà AM = BN = CE = DF
⇒
AB – AM = BC – BN = CD – CE = DA – DF
⇒
MB = NC = DE = AF từ đó suy ra ;
∆
AMF =
∆
BMN =
∆
CEN =
∆
DFE
⇒
MF = NM = EN = EF (1)
và
·
·
·
·
·
·
·
0
0
90
90

AMF BNM
AMF BMN BNM BMN
NMF
=
⇒ + = + =
⇒ =
* Từ (1) và (2) suy ra MNEF là hình vuông.
* Đặt AM = y ( 0 < y < 4 ). Ta có ;
S
AMF
∆
= S
BNM
∆
= S

CEN
∆
= S

DFE
∆
=
1
2
y(4 – y)
S

MNEF
= S

ABCD
- 4S

AMF
∆
= 4
2
– 2y(4 – y)
* Theo giả thiết diện tích của tứ giác MNEF bằng
5
8
diện tích hình vuông
ABCD nên :
4
2
– 2y(4 – y) =
5
8
.4
2
⇔
y
2
– 4y +3 = 0
Ta có a + b + c = 0
y
1
= 1 (thoả mãn)
y

2
= 3 (thoả mãn)
- Với AM = 1
⇒
AF = 4 – 1 = 3 khi đó MF =
2 2
3 1 10+ =

- Với AM = 3
⇒
AF = 4 – 3 = 1 khi đó MF =
2 2
3 1 10+ =
- Vậy MF =
10
cm
14
N
M
E
F
D
C
B
A
(2)
* Bài tập 3 ( Phát triển từ bài tập trong SGK toàn 8).
Cho các điểm A, B thuộc cạnh MP, các điểm C, D lần lượt thuộc các cạnh
NP, MN của tam giác NMP sao cho ABCD là hình chữ nhật. Biết MP = 30cm,
chiều cao NH = 10cm (H thuộc MP), hình chữ nhật có diện tích 63cm

2
.Tính các
kích thước của hình chữ nhật.
Bài giải

p
h
i
n
m
d
c
b
a
* Đặt BC = x ( 0 < x < 10 ), CD = y ( 0 < y < 30 ). Gọi I là giao điểm
NH và DC.
* Do tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên DC // MP suy ra tam giác NDC
đồng dạng tam giác NMP
⇒

NI DC
NH MP
=

⇒

10
10 30
NH HI DC x y
NH MP

− −
= ⇒ =

⇒
3(10 – x) = y
* Vì hình chữ nhật ABCD có diện tích là 63cm
2
nên ;
xy = 63
⇒
3x(10 – x) = 63
⇒
x
2
– 10x + 21 = 0
∆
’ = 25 – 21 = 4
x
1
= 5 – 2 = 3 (thoả mãn).
x
2
= 5 + 2 = 7 (thoả mãn).
- Với x = 3
⇒
y = 21
- Với x = 7
⇒
y = 9
Vậy hình chữ nhật có kính thước là 3cm ,21 cm hoặc 7 cm ,9cm .

15
4) MỘT SỐ BÀI TẬP BỔ SUNG.
Bài tập 1
Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Tia phân giác góc HAC
cắt HC ở D. Gọi K là hình chiếu của D trên AC……….? DK = 6cm. Tính độ dài
AB
Bài tập 2
Cho hình vuông ABCD có cạnh 5cm. Tính cạnh của tam giác đều AEF có E
thuộc cạnh CD và F thuộc cạnh BC ?
Bài tập 3
Tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD. Tia phân giác của góc
A cắt BD tại I. Biết BI = 10
5
cm, ID = 5
5
cm. Tính độ dài đoạn thẳng DC ?
Bài tập 4
Tam giác ABC vuông tại A, gọi I là giao diểm của đường phân giác.
Biết AB = 5cm, IC = 6cm. Tính độ dài đoạn thẳng BC ?
Bài tập 5
Cho tam giác ABC cân tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác.
Biết IA = 2
5
cm, IB = 3cm. Tính độ dài đoạn thẳng AB ?
Bài tập 6
Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AD, H là trực tâm. Tính độ dài
đoạn thẳng AD ? Biết AH = 14cm, BH = HC = 30cm.
Bài tập 7
Cho nửa đường tròn tâm O, bán kính 5cm, đường kính AB, M là điểm
thuộc cung AB, H là một điểm chính giữa cung AM, tia BH cắt tiếp tuyến Ax tại

K. Tìm vị trí của M để MK vuông góc với Ax ?
Bài tập 8
Tam giác vuông có một cạnh góc vuông là 12cm. Tỉ số giữa bán kính
đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác vuông đó là 2 : 5. Tính độ dài bán
kính đường tròn nội tiếp ?
16
Bài tập 9
Cho đường tròn tâm O bán kính R, điểm A cố định trên đường tròn. Kẻ
tiếp tuyến Ax, điểm M tuỳ ý trên Ax, kẻ tiếp tuyến thứ hai MB với đường tròn
(B là tiếp điểm ). I là trung điểm của MA, BI cắt đường tròn tâm O ở K, tia MK
cắt đường tròn (O) ở C.
a) Chứng minh tam giác MIK đồng dạng tam giác BIM và BC // MA.
b) Tìm vị trí của M trên tia Ax để tứ giác AMBC là hình bình hành ?
5) Chú ý.
Trong ba phần ; tam giác đồng dạng, đường tròn, diện tích, mỗi
phần chuyên đề xét ba bài tập.
Bài 1; Mức độ kiến thức vừa phải, học sinh có lực học trung
bình trở lên đều có thể làm được.
Bài 2, 3; đòi hỏi sự vận dụng nhiều đơn vị kiến thức hơn, sự vân
dụng linh hoạt hơn, sáng tạo hơn, các phần này học sinh có lực học
khá và giỏi có thể làm được.
17
TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG THÔNG QUA PHƠNG TRÌNH BẬC 2
A. MỤC TIÊU.
- Hs biết tính độ dài đoạn thẳng thông qua p ,trình bậc 2 một cách thành thạo.
- Vận dụng linh hoạt vào giải bài tập.
- Rèn kỹ năng vẽ hình, trình bầy tính toán.
B. CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS.
- Hs học kỹ cách tính độ dài đoạn thẳng thông qua phương trình bậc 2 ,
- Gv soạn bài, đọc bài, phấn màu.

C. HOẠT ĐỘNG CỦA THÀY VÀ TRÒ.
1- Kiểm tra bài cũ.
- Cho
∆
ABC vuông tại A, đờng cao
AH, AC = 15cm, HB = 16cm
. Tính độ dài AH.
Bài giải.
- Đặt HC = x ( 0 < x < 15 )
Xét
∆
HAC
:

∆
ABC (gg)

⇒

AC HC
BC AC
=

⇔
AC
2
= BC.HC

⇔
15

2
= (x + 16)x

⇔
x
2
+ 16x – 225 = 0

⇔
(x – 9)(x + 15) = 0 Vì 0 < x < 20 nên x = 9 nhận
2- Bài giảng.
* Bài tập 1; Điểm M nằm trên cạnh huyền của một tam giác vuông. Diện tích
100cm
2
và có khoảng cách đến 2cạnh góc vuông bằng 4cm và 8cm. Tính độ dài
các cạnh góc vuông.
Bài giải.
Gv giới thiệu nội dung bài học.
- Gv :Ta không thể dùng các
phơng pháp tính thông
thờng vào để tính được các
cạnh AB, AC.
Hỏi : Em nào tìm được cách
tính. HS suy nghĩ trả lời.
- Gv: nói và ghi lên bảng. Đặt
BH = x, KC = y.
- Gọi
∆
MKC đồng dạng với
tam giác nào ?

- GV : cho Hs lên bảng làm.
Tìm ra xem xy = ? (1)
18
- Vẽ MH
⊥
AC, MK
⊥
AB. Đặt BH = x, KC = y,
x > 0, y > 0. Vì
∆
BHM
:
∆
MKC (gg).
Nên
BH HM
MK KC
=
hay
4
8
x
y
=

⇔
xy = 32 (1)
Ta có tứ giác AHMK l hình chà ữ nhật nên
MH = AK = 4cm, MK = AH = 8cm
M AB.AC = 2à

S
ABC

⇔
(x + 8)(y + 4) = 200

⇔
xy + 4x + 8y + 32 = 200
⇔
32 + 4x + 8y + 32 = 200
⇔
4x + 8y = 136 (2)
h
c
B
A
- Gv theo đề bài diện tích
∆
ABC vuông ở A bằng
100cm
2
nên ta có PT nào.
- HS: (x + y)(y + 4) 200 (2)
- GV: Kết hợp (1), (2) một Hs
lên tìm x hoặc y.
- Hs lên bảng trình bày
- Gv gọi Hs nhận xét lời giải của
bài toán.
* Bài tập 2;Tính chiều cao một hình thang cân có diện tích bằng 12 cm

2
,đờng
chéo 5 cm.
Bài giải.
- GV cho Hs chép bài, ghi giả thiết,
vẽ hình, kết luận của bài toán.
- Gv : Vì hình thang ABCD cân,
đờng cao BH, AK,
- Tìm quan hệ BH với AB, DC.
- Hỏi : Hs DH =
2
AB DC+
- Gv : Đặt BH = x
⇒
DH = ?
- Hs DH=
2
25 x
−
- Gv ; Diện tích hình thang 12cm
2

ta có PT nào ?
- Hs lên bảng trình bày
- Gv cùng Hs nhận xét bài làm
19
-Từ (1), (2)
⇒
y
2

– 17y + 16 = 0
⇔
(y – 1)(y – 16) = 0
⇔

1
16
y
y
=


=

(nhận
- Với y = 1 thì x = 3. Ta có AC = 1 + 4 = 5 cm
AB = 32 + 8 = 40 cm
- Với y = 16 thì x = 2. Ta có AC = 20 cm
AB = 2 + 8 = 10 cm
- Vậy AC = 5 cm, AB = 40 cm, hoặc AC = 20
cm,
AB = 10 cm.
- Gọi BH l à đờng cao của hình thang cân ABCD.
Ta có
∆
ADK =
∆
BHC (cạnh huyền góc nhọn)
⇒
DK = HC

V tà ứ/g ABHK l hình chà ữ nhật nên AB = HK
⇒
2DH = 2DC – HC
⇔
DH =
2
AB DC+
M dià ện tích hình thang l 12cmà
2

nên DH.BH = 12cm
2
(1). Đặt BH = x, (0 < x < 25)
⇒
y =
2
25 x
−
(2). Từ (1) v (2) ta có :à
x
2
25 x
−
= 12
⇔
x
4
– 25x
2
+ 144 = 0

Đặt x
2
= t

(t 0)

⇔
t
2
– 25t + 144 = 0

⇔
(t – 16)(t – 9) = 0

⇔
16
9
t
t
=


=

(nhận)
K
y
x
H
C

D
B
A
của bạn.
- Gv chốt lại kết luận của bài toàn.
- Với t = 16
⇒
x = 4 (vì x > 0)

- Với t = 16
⇒
x = 4 ( vì x> 0 )
- Với t = 9
⇒
x = 3 (vì x > 0)
- Đường cao của hình thang bằng 4cm
hoặc 3cm.
* Bài tập 3; Cho 2 đường tròn (O
1
), (O
2
) có cùng bán kính R cắt nhau tại M, N.
Và OD
1
= R, Hình vuông ABCD có A, D nằm trên cung nhỏ MN của (O
2
) và B,
C nằm trên cung nhỏ MN của (O
1
). Tình cạnh hình vuông theo R.

Bài giải.
- Gv cho Hs đọc đề, phân tích đề,
vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận của bài toán
- Gv : Em nào có cách làm bài tập này.
- Gv : Gọi cạnh hình vuông là x và E, F
là giao điểm của O
1
O
2
với AD và (O
2
)
- Gv: Tại sao AD
⊥
O
1
O
2

và O
1
E.EF = EA.ED ,
O
1
E =
2
R x−
; EF =
3
2

R x
+
- Gv; ta có PT nào ?
- Gọi Hs lên bảng trình bày. Cách giải của
bài toán này.
- Gv cùng Hs nhận xét bài làm của bạn
20
- Gọi cạnh hình vuông l x, (x > 0)à
AB = BC = CD = DA = x
- Gọi E, F lần lợt l giao à điểm của O
1
O
2
với
AD v (Oà
2
).
Ta có AD
⊥
O
1
O
2

O
1
E.EF = EA.ED (1)
O
1
E =

2
R x−
(2)
EF =
3
2
R x+
(3)
- Từ (1), (2), (3) ta có :
2
3
.
2 2 2
x R x R x
− − +
 
=
 ÷
 


⇔
2x
2
+ 2Rx – 3R
2
= 0 (4)

∆
’ = R

2
+ 6R
2
= 7R
2

⇒
' 7R
∆ =
x
1
=
7
2
R R− +
; x
2
=
7
2
R R− −
- Vì x > 0 nên chỉ x
1
thoả mãn
N
M
D. CỦNG CỐ.
- Rèn kỹ năng tính độ dài đoạn thẳng rất quan trọng nó giúp chúng ta giải các
bài tập trong hình học.
- Vì vậy các em đọc kỹ đầu bài, kỹ năng thành thạo tìm độ dài đoạn thẳng.

E. HỚNG DẪN.
- Về nhà tự làm lại các bài đã chữa.
- Làm các bài tập bổ xung trong sáng kiến này, (Gv photocopy đa Hs bài tập).
IV ) KẾT QUẢ
Sau một thời gian áp dụng những biện pháp trên vào thực tế giảng
dạy tôi thấy
Hứng thú học tập của học sinh được nâng lên rõ rệt ở các đối tượng
học sinh . Trước đây một bộ phận không nhỏ học sinh sợ ,ngại học
môn toán . Nhưng sau khi áp dụng các biện pháp trên các em trở lên
tin tưởng hơn ,vững vàng hơn ,say mê hăng hái học môn toán . Điều
đó chứng tỏ nếu có cách giải phù hợp cho một bài toán ,với từng đối
tượng học sinh thì chắc chắn kết quả thu được của giáo viên rất tốt
hiệu quả giáo dục được nâng lên. Đối với học sinh khá , giỏi “Tìm
độ dài đoạn thẳng thông qua phương trình bậc hai” còn áp dụng
với nhiều loại toán khác .Phát huy được trí tuệ thông minh của học
sinh.
* Kết quả khảo sát lớp 9 A.
Giỏi Khá Trung/b Yếu
SL % SL % SL % SL %
Khi chưa áp dụng sáng kiến. 10 23,8 12 28,6 13 30,9 7
16,7
Khi áp dụng sáng kiến. 17 40,5 16 38,1 8 19 1 2,4
* Kết quả học sinh thi vào cấp 3 của trường đỗ tỉ lệ cao so với
các trường khác trong huyện.
21
* Kết quả khảo sát qua các đội tuyển.
Nhiều năm kết quả học sinh giỏi của trường đã đạt kết quả cao .
Kết quả đội tuyển học sinh giỏi lớp 9 năm học 2007- 2008 do tôi phụ
trách xếp thứ 3 trên 26 trường trong huyện có 1 em được gọi vào bồi
dưỡng đội tuyển để thi học sinh giỏi cấp tỉnh

V) ĐIỀU KIỆN ÁP DỤNG SÁNG KIẾN .
Sáng kiến “Tìm độ dài đoạn thẳng thông qua phương trình
bậc hai” được áp dụng cho học sinh lớp 9 sau khi các em học hết
chương trình hình học phẳng. Tuy nhiên khi học xong mỗi chương
trình hình học 9 thì học sinh có thể làm được một số bài tập của
chuyên đề.
Sáng kiến “Tìm độ dài đoạn thẳng thông qua phương trình
bậc hai” thích hợp nhất cho đối tượng học sinh có lực học khá, giỏi.
Mặc dù vậy học sinh có học lực trung bình có thể làm đượng một số
bài đơn giản trong chuyên đề.
VI ) NHỮNG ĐỀ XUẤT VÀ KIẾN NGHỊ
Trong thời gian tới rất mong các cấp lãnh đạo các tổ chuyên môn
quan tâm tổ chức các chuyên đề , ngoại khóa để các đồng nghiệp cố
thể cố thể trao đổi học hởi kinh nghiện lẫn nhau nhiều hơn .Học sinh
hứng thú hăng say học tập góp phần ngày càng nâng cao hiệu quả dạy
học .
22
C. KẾT LUẬN.
Dạy học giải các bài toán thông qua các phương pháp là một
nghệ thuật để giúp các em nắm được bài ,hiểu bài và có hứng thú ,kỹ
năng .Nhất là bài tập khó trong giờ luyện tập ,bồi dưỡng học sinh giỏi
Dạy học các phương pháp tìm lời giải các bài toán có ý nghĩa rất
quan trọng đòi hỏi người giáo viên phải có sự say mê lương tâm nghề
nghiệp sẽ đạt được kết quả mong muốn
Tuy nhiên không phải đối với tất cả học sinh chúng ta đều phải
truyền tải nội dung trên .Mà cần xác định đúng đối tượng để cung cấp
những bài phù hợp với học sinh . Cung cấp cho học sinh hệ thống từ
bài dễ đến bài khó để tạo tiền đề cho học sinh có tư duy sáng tạo trong
việc giải các bài toán nâng cao
Khi được tiếp cận dạng toán này, học sinh giải loại toán tìm độ

dài đoạn thẳng đạt hiệu quả cao hơn như ; thời gian giải toán được
giảm bớt, số lượng bài tập làm được ngày càng nhiều, kỹ năng trình
bày được nâng lên, ngoài ra học sinh thêm phần tự tin trong giải toán.
Tất cả những điều đó góp phần làm cho ngày càng nhiều học sinh say
mê môn toán.
Qua sáng kiến này, tôi hy vọng được đồng nghiệp ủng hộ và rất
mong được sự trao đổi quý báu các bạn đồng nghiệp để sáng kiến
23
“Tìm độ dài đoạn thẳng thông qua phương trình bậc hai” ngày
một hoàn thiên hơn.
24
CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Toán 8. NXB Giáo dục.
2. Sách bài tập Toán 8. NXB Giáo dục.
3. Sách giáo khoa Toàn 9. NXB Giáo dục.
4. Sách bài tập Toán 9. NXB Giáo dục.
5.Một số vấn đề phát triển Toán 8. Vũ Hữu Bình.
6.Một số vấn đề phát triển Toán 9. Vũ Hữu Bình.
25