MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SINH BỞI PHƯƠNG TRÌNH pptx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (454.47 KB, 12 trang )
Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số
1
MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY
SINH BỞI PHƯƠNG TRÌNH
Huỳnh Chí Hào
Trường THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp
A. Một số kiến thức bổ trợ
1) Định lý tồn tại nghiệm của hàm số liên tục:
Định lý: Nếu hàm số
()
f
x
liên tục trên đoạn
;ab
và
().() 0fa fb thì tồn tại ít nhất một điểm
;cab
sao cho
() 0fc
2) Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính đơn điệu:
Định lý:
Cho hàm số
()yfx
có đạo hàm trong khoảng (a;b)
a) Nếu
'( ) 0fx
với mọi
;
x
ab
thì hàm số
()yfx
đồng biến trên khoảng đó
b) Nếu '( ) 0fx với mọi
;
x
ab
thì hàm số ()y fx nghịch biến trên khoảng đó
2) Liên hệ giữa tính đơn điệu và nghiệm của phương trình:
Định lý:
Nếu hàm số
yfx
đồng biến trên
a;b
và
ygx
làm hàm hằng hoặc là một hàm số nghịch
biến trên
a;b
thì phương trình
fx gx
có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng
a;b
Dựa vào tính chất trên ta suy ra:
Nếu có
0
xa;b
sao cho
00
fx gx
thì phương trình
fx gx
có nghiệm duy nhất trên
a;b
3) Nguyên lý kẹp:
Cho ba dãy số
,,
nn n
uvw
sao cho:
00
,,
lim
lim lim
nn n
n
n
nn
nn
nnnnuvw
va
uwa
4) Tiêu chuẩn hội tụ:(Tiêu chuẩn Weierstrass)
1) Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ.
2) Một dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
3) Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.
5) Định lý LAGRANGE:
Nếu
()
f
x
là hàm số liên tục trên đoạn
;ab
, có đạo hàm trong khoảng
;ab
thì tồn tại
;cab
sao cho
() ()
'( )
f
bfa
fc
ba
hay ( ) ( ) '( )( )
f
bfa fcba
2
B. Các bài toán.
Bài toán 1.
Xét phương trình
22
11 1 11
14 1 1 12xx kx nx
trong đó n là số nguyên dương.
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong
1;
và ký
hiệu nghiệm đó là
n
x
.
2) Chứng minh rằng
lim 4
n
n
x
Hướng dẫn tư duy:
+ Sử dụng tính liên tục và đơn điệu chứng minh nghiệm duy nhất.
+ Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass và định lý Lagrange để tìm giới hạn.
Lời giải
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong
1;
Xét phương trình
22
11 1 11
14 1 1 12xx kx nx
với
1;x
(1)
Biến đổi
22
11 1 1 1
(1) ( ) 0
2141 1 1
n
fx
xx kx nx
(2)
Khảo sát tính đơn điệu của ( )
n
f
x trên
1;
Dễ thấy rằng f(x) liên tục trên
1;
Do
22
'
22 2
2
2
14
( ) 0, 1;
1
141
1
n
kn
fx x
nx
xx
kx
nên ( )
n
f
x nghịch biến trên
1;x
. (3)
Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (2) trên
1;
Do ( )
n
f
x liên tục trên
1; và
1
lim ( )
1
lim ( )
2
n
x
n
x
fx
fx
nên tồn tại
0
1;x
sao cho
0
()0
n
fx
(4)
Từ (3) và (4) suy ra với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong
1;
.
2) Ký hiệu nghiệm đó là
n
x
.Chứng minh rằng lim 4
n
n
x
So sánh ( )
nn
f
x và (4)
n
f , ta có
22
22
2
11 1 1 1
(4)
22141
21 21
111111 11 1111
1 1 ( Do )
233521212121 22121
21
1
0
22 1
n
f
kn
kk nn kk
k
n
3
Do ( ) 0
nn
fx nên ( ) (4)
nn n
fx f .
Do ( )
n
f
x nghịch biến trên
1;
và ( ) (4)
nn n
fx f nên theo định nghĩa tính đơn điệu suy ra 4
n
x
Lại tiếp tục đánh giá
n
x
. Áp dụng định lý Lagrange cho ( )
nn
f
x trên
;4
n
x , ta suy ra với mỗi số n
nguyên dương, tồn tại
;4
nn
cx sao cho
''
1
4 ( ) ( )(4 ) ( )
22 1 4
nn nn n nn
n
ffxfcxfc
nx
Mặt khác
22
'
22 2
2
2
14 1
( )
9
1
141
1
nn
n
nn
n
kn
fc
nc
cc
kc
(Do
2
2
11
14019
9
1
nn n
n
xc c
c
) nên
11 9
4
22 1 4 9 22 1
n
n
x
nx n
Tóm lại ta luôn có:
9
44
22 1
n
x
n
với mỗi số nguyên dương n (5)
Từ (5) và theo nguyên lý kẹp ta suy ra được lim 4
n
n
x
.
Bài toán 2.
Xét phương trình
22
11 1 1 1
0
214xx x x k xn
trong đó n là số nguyên dương.
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong
0;1
và ký
hiệu nghiệm đó là
n
x
.
2) Chứng minh rằng tồn tại giới hạn hữu hạn lim
n
n
x
Hướng dẫn tư duy:
+ Sử dụng tính liên tục và đơn điệu chứng minh nghiệm duy nhất
+ Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để tìm giới hạn
Lời giải
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong
0;1
Xét phương trình
22
11 1 1 1
0
214xx x x k xn
với
0;1x (1)
Đặt
22
11 1 1 1
( )
214
n
fx
x
xx xk xn
Khảo sát tính đơn điệu của ( )
n
f
x trên
0;1
Do
'
22 2 2
22
21 1 1
( ) 0, 0;1
21
n
fx x
xx
xk xn
nên ( )
n
f
x nghịch biến trên
0;1 . (2)
4
Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (1) trên
0;1
Do ( )
n
f
x liên tục trên
0;1 và
0
1
lim ( )
lim ( )
n
x
n
x
fx
fx
nên tồn tại
0
0;1x sao cho
0
()0
n
fx
(3)
Từ (2) và (3) suy ra với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong
0;1 .
2) Chứng minh rằng tồn tại giới hạn hữu hạn lim
n
n
x
Khảo sát tính đơn điệu và bị chặn của
n
x
Với mỗi số nguyên dương n ta có:
1
22
22
1
2
11 1 1 1 1 1
( ) ( )
214
11
1
( ) 0 (do 0 1)
1
nn nn
nn n n n
nn
nn n
n
fx fx
xx x xk xn
xn xn
fx x
xn
Mặt khác
1
0
lim ( )
n
x
fx
và
1
()
n
f
x
nghịch biến trên
0;
n
x
nên suy ra phương trình
1
() 0
n
fx
có
duy nhất nghiệm trên
0;
n
x
, gọi nghiệm duy nhất này là
1n
x
. Do
0; 0;1
n
x nên
1
0
nn
x
x
Dãy
n
x
là dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên tồn tại giới hạn hữu hạn lim
n
n
x
.
Bài toán 3.
Xét phương trình
2
10
n
xxx trong đó n là số nguyên dương và
2n
.
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương 2n , phương trình trên có một nghiệm dương duy nhất và ký
hiệu nghiệm đó là
n
x
.
2) Tìm lim
n
n
x
Hướng dẫn tư duy:
+ Sử dụng tính liên tục và đơn điệu chứng minh nghiệm duy nhất
+ Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để tìm giới hạn
Lời giải
1)
Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương
2n
, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong
0;
Xét phương trình
2
10
n
xxx với
1;x
Đặt
2
1
n
f
xxxx
Khảo sát tính đơn điệu của ( )
f
x trên
0;
Do
1
'( ) 2 1
n
f
xnx x
nên ( )
n
f
x nghịch biến trên
1;x . (3)
Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (2) trên
1;
Do ( )
n
f
x liên tục trên
1; và
1
lim ( )
1
lim ( )
2
n
x
n
x
fx
fx
nên tồn tại
0
1;x
sao cho
0
()0
n
fx
(4)
5
Từ (3) và (4) suy ra với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong
1;
.
2)
Ký hiệu nghiệm đó là
n
x
.Chứng minh rằng
lim 1
n
n
x
Do x
n
là nghiệm của phương trình (1) nên :
22
10 1
n
n
nnn n nn
xxx x xx
Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:
2
2
22
sô 1
1 sô 1
1 1 1
1 1 .1.1 1
nn
nnn
n
n
nnn nn
n
xx
x
xn
xxx xx
nn
(5)
(Trong (5) không có dấu bằng bởi vì 1
n
x nên
2
11
nn
xx
)
Kết hợp với 2
n
x , với mọi 1,2 n ta được:
2
6
nn
xx
(6)
Từ (5) và (6) suy ra:
6
11
n
x
n
Do
6
lim 1 1
n
n
và theo nguyên lý kẹp suy ra lim 1
n
n
x
Bài toán 4.
Xét phương trình
21
1
n
x
x
trong đó n là số nguyên dương .
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có một nghiệm duy nhất và ký
hiệu nghiệm đó là
n
x
.
2) Tìm lim
n
n
x
Hướng dẫn tư duy:
+ Sử dụng tính liên tục và đơn điệu chứng minh nghiệm duy nhất
+ Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để tìm giới hạn
Lời giải
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương, phương trình trên có một nghiệm duy nhất
Xét phương trình
21
1
n
x
x
với x
(1)
Ta có:
21 2
111
nn
xx xx
(2)
+
Với 1x thì
2
1
n
x nên (2) 0VT
, suy ra (2) vô nghiệm trên
;1
+ Với 01
x
thì
2
1
n
x nên (2) 0VT
, suy ra (2) vô nghiệm trên
0;1
+ Với
10x
thì
21
01
n
x
x
nên (2) 1VT
, suy ra (2) vô nghiệm trên
1; 0
Suy ra: (2) vô nghiệm trên
;1 nên (1) vô nghiệm trên
;1
(3)
Khảo sát tính đơn điệu của
21
1
n
f
xx x
trên
1;
Dễ thấy rằng f(x) liên tục trên
1;
Ta lại có:
2
'( ) 2 1 1 0, 1;
n
fx n x x
nên ( )
f
x đồng biến trên
1;x
. (4)
Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (2) trên
1;
6
Do ( )
f
x liên tục trên
1;
và
21
(1) 1 0
(2) 2 3 0, 1,2,
n
f
fn
nên tồn tại
0
1;x sao cho
0
()0fx
(5)
Từ (3), (4), (5) suy ra với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm .
2) Ký hiệu nghiệm của phương trình (1) là x
n
. Tìm lim
n
n
x
Do x
n
là nghiệm của phương trình (1) nên : 1
n
x và
21
21
11
n
n
nn n n
xx x x
Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:
2n sô 1
21
2 sô 1
1 111 1
21
1 .1.1 1
21 21
21
21
21
2
n
n
n
nn
n
n
n
n
x
xn
xx
nn
xn
x
n
n
x
n
Kết hợp với 1
n
x , với mọi 1, 2 n ta được:
21
1
2
n
n
x
n
Do
21
lim 1
2
n
n
n
và theo nguyên lý kẹp suy ra lim 1
n
n
x
Vậy lim 1
n
n
x
Bài toán 5.
Xét phương trình
1
1 0
nn
xx x
trong đó n là số nguyên dương và
2n
.
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương 2n , phương trình trên có một nghiệm dương duy nhất và ký
hiệu nghiệm đó là
n
x
.
2) Tìm lim
n
n
x
.
Hướng dẫn tư duy:
+ Sử dụng tính liên tục và đơn điệu chứng minh nghiệm duy nhất
+ Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để tìm giới hạn
Lời giải
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương
2n
, phương trình trên có một nghiệm dương duy nhất
Xét phương trình:
1
1 0
nn
xx x
(1)
Khảo sát tính đơn điệu của
1
( ) 1
nn
n
f
xxx x
trên
0;
Dễ thấy rằng f(x) liên tục trên
0;
Do
'1 2
( ) 1 1 0
nn
n
fx nx n x
với mọi
0;x
và
2n
nên ( )
n
f
x là hàm số đồng biến trên
0;
(2)
Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (1) trên
0;
Do ( )
n
f
x liên tục trên
0; và
(0) 1 0
(1) 1 0
n
n
f
fn
nên tồn tại
0
0;x
sao cho
0
()0
n
fx
(3)
7
Từ (2) và (3) suy ra với mỗi số nguyên dương 2n , phương trình trên có duy nhất nghiệm trong
0; .
2) Ký hiệu nghiệm đó là
n
x
.Tìm lim
n
n
x
Do
n
x
là nghiệm của phương trình (1) nên: 0
n
x và
2
1
n
nn n
xx x
(4)
Vì 0
n
x nên từ (4) suy ra (
n
x
) là dãy giảm , mặt khác lại bị chặn dưới bởi 0, nên tồn tại giới hạn hữu
hạn lim
n
n
x
a
(5)
Ta lại có:
2
1
1
1
n
n
n
nn n n
n
x
xx x x
x
và lim 0
n
n
n
x
nên kết hợp với (4), (5) suy ra
11
1
12
aa
a
Vậy
1
lim
2
n
n
x
Bài toán 6.
Xét phương trình
n
x
xn trong đó n là số nguyên dương 2n .
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương, phương trình trên có một nghiệm dương duy nhất và ký
hiệu nghiệm đó là
n
x
.
2) Tìm lim
n
n
x
Hướng dẫn tư duy:
+ Sử dụng tính liên tục và đơn điệu chứng minh nghiệm duy nhất
+ Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để tìm giới hạn
Lời giải
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương
2n
, phương trình trên có một nghiệm dương duy nhất
Xét phương trình:
n
x
xn
(1)
Khảo sát tính đơn điệu của ( )
n
f
xxxn trên
1;
Do
'1
() 1 0
n
n
fx nx
với mọi
1;x
nên ( )
n
f
x là hàm số đồng biến trên
1;
(2)
Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (1) trên
0;
Do ( )
n
f
x liên tục trên
0; và
(1) 0
(1) 2 0
n
n
n
fn
fnn
nên tồn tại
0
0;x
sao cho
0
()0
n
fx
(3)
Từ (2) và (3) suy ra với mỗi số nguyên dương 2n , phương trình trên có duy nhất nghiệm trong
0; .
2) Ký hiệu nghiệm đó là
n
x
.Tìm lim
n
n
x
Do
n
x
là nghiệm của phương trình (1) nên 11 2
n
n
n
nn n n
x
xxxnn
Vì lim 2 1
n
n
n
, theo nguyên lý kẹp ta được lim 1
n
n
x
Vậy lim 1
n
n
x
8
Bi toỏn 7.
Cho số thực a > 2. Đặt
10 10
() 1
nn
n
f
xax x x
(n = 1,2, ). Chứng minh rằng với mỗi n phơng
trình ()
n
f
xa có đúng một nghiệm (0; )
n
x
. Chứng minh dãy số ()
n
x
có giới hạn hữu hạn khi
n .
Li gii
Với mỗi n, đặt
() ()
nn
gx fx a; khi đó ()
n
gx l hm liên tục, tăng trên [0;+ ). Ta có (0) 1
n
ga
<0;
10
(1) 1 0
n
gana nên () 0
n
gx có nghiệm duy nhất
n
x
trên (0;+
).
Để chứng minh tồn tại giới hạn lim
n
n
x
, ta chứng minh dãy
n
x
tăng v bị chặn.
Ta có
1
10
10
1
11
11
11
1
n
n
n
a
ga a
aa
a
=
19 1
99
11 1
1111(1)10
nn
aa a a
aa a
.
Suy ra
n
x
<
1
1
a
n .
Mặt khác, từ
10 10
( ) 1 0
nn
nn n n
gx ax x a
, suy ra
10 11 1
() 0
nn
nn n n n n n
xg x a x x x ax
=>
1
() ()1 1 0
nn nnn n n
gx xgx axaax a
do
1
1
n
x
a
.
Do
1n
g
l hm tăng v
11 1
0()()
nn nn
gx gx
nên
1
.
nn
x
x
Vậy dãy
n
x
tăng v bị chặn nên tồn tại
lim
n
n
x
.
Chú ý: Có thể chứng minh
1
lim 1
n
n
x
a
bằng cách đánh giá
1
9
111
1(1)11 1
n
n
aa x
aaa
.
Thật vậy, ta có
10 2
10 10 10
11 1
1 1 1 1 1
nn
nn
nn n n
aax x x a x
aa a
.
Suy ra
10 2 1
10
111
111 1
nn
n
aa a x
aaa
,
kéo theo
1
9
11
1(1)11
n
n
xaa
aa
.
9
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Phan Huy Khải. Các bài toán về dãy số. NXBGD 2007.
[2] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Thủy Thanh. Giới hạn dãy số & hàm số. NXBGD 2002.
[3] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Văn Tiến.
Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi THPT. NXBGD 2009.
[4] Phạm Văn Nhâm. Một số lớp bài toán về dãy số . Luận văn thạc sĩ khoa học 2011.
[5] Tuyển tậ
p đề thi OLYMPIC 30/4 lần thứ XV – 2009.
[6] Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30/4 lần thứ XVI – 2010.
Trần Nam Dũng – ĐH KHTN Tp HCM
Trong bài viết nhỏ này, chúng ta sẽ đề cập đến một tình huống căn bản khác, đó là khảo sát
những dãy số xác định bởi dãy các phương trình:
“Cho dãy các hàm số f
n
(x) xác định bởi công thức tường mình hoặc truy hồi thoả mãn điều
kiện: các phương trình f
n
(x) = 0 có nghiệm duy nhất x
n
D. Cần khảo sát các tính chất của x
n
như khảo sát sự hội tụ, tìm giới hạn …”
Chúng ta bắt đầu từ một bài toán thi tuyển sinh vào khoa Toán trường Đại học Độc lập
Matxcơva năm 2000
Bài toán 1. Ký hiệu x
n
là nghiệm của phương trình:
1 1 1
0
1
x x x n
thuộc khoảng (0,
1)
a) Chứng minh dãy {x
n
} hội tụ
b) Hãy tìm giới hạn đó.
Bình luận: x
n
được xác định duy nhất vì hàm số
1 1 1
( )
1
n
f x
x x x n
liên tục và
đơn điệu trên (0, 1). Tuy nhiên, ta không thể xác định được giá trị cụ thể của x
n
. Rất may mắn,
để chứng minh tính hội tụ của x
n
, ta không cần đến điều đó. Chỉ cần chứng minh tính đơn điệu
và bị chặn là đủ. Với tính bị chặn, mọi thứ đều ổn vì 0 < x
n
< 1. Với tính đơn điệu, ta chú ý
một chút đến mối liên hệ giữa f
n
(x) và f
n+1
(x):
1
1
( ) ( )
1
n n
f x f x
x n
. Đây chính là chìa khoá để chứng minh tính đơn điệu của x
n
.
Lời giải: Rõ ràng x
n
được xác định 1 cách duy nhất, 0 < x
n
< 1. Ta có f
n+1
(x
n
) = f
n
(x
n
) + 1/(x
n
-
n-1) = 1/(x
n
-n-1) < 0, trong khi đó f
n+1
(0
+
) > 0. Theo tính chất của hàm liên tục, trên
khoảng (0, x
n
) có ít nhất 1 nghiệm của f
n+1
(x). Nghiệm đó chính là x
n+1
. Như thế ta đã chứng
minh được x
n+1
< x
n
. Tức là dãy số {x
n
} giảm. Do dãy này bị chặn dưới bởi 0 nên dãy số có
giới hạn.
Ta sẽ chứng minh giới hạn nói trên bằng 0. Để chứng minh điều này, ta cần đến kết quả quen
thuộc sau: 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n > ln(n)
(Có thể chứng minh dễ dàng bằng cách sử dụng đánh giá ln(1+1/n) < 1/n)
Thật vậy, giả sử lim x
n
= a > 0. Khi đó, do dãy số giảm nên ta có x
n
a với mọi n.
Do 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n khi n nên tồn tại N sao cho với mọi n N ta có 1 + 1/2
+ 1/3 + … + 1/n > 1/a.
Khi đó với n N ta có :
1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0
1 1 2
n n n n
x x x n x n a a
Mâu thuẫn. Vậy ta phải có lim x
n
= 0.
Bài toán 2. Cho n là một số nguyên dương > 1. Chứng minh rằng phương trình
x
n
= x + 1 có một nghiệm dương duy nhất, ký hiệu là x
n
. Chứng minh rằng x
n
dần về 1 khi n
dần đến vô cùng và tìm
)1(lim
n
n
xn
.
Lời giải:
Rõ ràng x
n
> 1. Đặt f
n
(x) = x
n
– x – 1. Khi đó f
n+1
(1) = - 1 < 0 và f
n+1
(x
n
) = x
n
n+1
– x
n
– 1 > x
n
n
– x
n
– 1= f
n
(x
n
) = 0. Từ đó ta suy ra 1 < x
n+1
< x
n
. Suy ra dãy {x
n
} có giới hạn hữu
hạn a. Ta chứng minh a = 1. Thật vậy, giả sử a > 1. Khi đó x
n
a với mọi n và ta tìm được n
đủ lớn sao cho: x
n
n
a
n
> 3 và x
n
+ 1 < 3, mâu thuẫn ví f
n
(x
n
) = 0.
Để giải phần cuối của bài toán, ta đặt x
n
= 1 + y
n
với lim y
n
= 0. Thay vào phương trình f
n
(x
n
)
= 0, ta được (1+y
n
)
n
= 2 + y
n
. Lấy logarith hai vế, ta được
nln(1+y
n
) = ln(2+y
n
)
Từ đó suy ra : lim nln(1+y
n
) = ln2
Nhưng lim ln(1+y
n
)/y
n
= 1 nên từ đây ta suy ra lim ny
n
= ln2, tức là :
lim ( 1) ln 2.
n
n
n x
Bài toán 3. (VMO 2007) Cho số thực a > 2 và f
n
(x) = a
10
x
n+10
+ x
n
+ …+x + 1.
a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình f
n
(x) = a luôn có đúng một
nghiệm dương duy nhất.
b) Gọi nghiệm đó là x
n
, chứng minh rằng dãy {x
n
} có giới hạn hữu hạn khi n dần đến vô
cùng.
Lời giải. Kết quả của câu a) là hiển nhiên vì hàm f
n
(x) tăng trên (0, +). Dễ dàng nhận thấy 0
< x
n
< 1. Ta sẽ chứng minh dãy x
n
tăng, tức là x
n+1
> x
n
. Tương tự như ở những lời giải trên, ta
xét
f
n+1
(x
n
) = a
10
x
n
n+11
+ x
n
n+1
+ x
n
n
+ … + x + 1 = x
n
f
n
(x
n
) + 1 = ax
n
+ 1
Vì ta đã có f
n+1
(1) = a
10
+ n + 1 > a nên ta chỉ cần chứng minh ax
n
+ 1 < a là sẽ suy ra x
n
< x
n+1
< 1. Như vậy, cần chứng minh x
n
< (a-1)/a. Thật vậy, nếu x
n
(a-1)/a thì
1
10
10 10
1
1
1 1 1
( ) ( 1) ( 1)
1
1
n
n n n
n n
a
a a a
a
f x a a a a a
a
a a a
a
(do a – 1 > 1). Vậy dãy số tăng {x
n
} tăng và bị chặn bởi 1 nên hội tụ.
Nhận xét: Một lần nữa mối liên hệ f
n+1
(x) = xf
n
(x) + 1 lại giúp chúng ta tìm được mối quan hệ
giữa x
n
và x
n+1
. Từ lời giải trên, ta có thể chứng minh được rằng
lim x
n
= (a-1)/a. Thật vậy, đặt c = (a-1)/a < 1, theo tính toán ở trên thì
f
n
(c) – f
n
(x
n
) = kc
n
(với k = (a-1)((a-1)
9
– 1) > 0)
Theo định lý Lagrange thì : f
n
(c) – f
n
(x
n
) = f’()(c – x
n
) với thuộc (x
n
, c)
Nhưng f’() = (n+10)a
10
n+9
+ n
n-1
+ …+ 1 > 1 nên từ đây suy ra: kc
n
> c - x
n
Từ đó ta có : c – kc
n
< x
n
< c . Và có nghĩa làm lim x
n
= c.
Bài toán 4. (VMO 2002) Cho n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng phương trình
2
1 1 1 1
1 4 1 2
1
x x
n x
có một nghiệm duy nhất x
n
> 1. Chứng minh rằng khi n dần
đến vô cùng, x
n
dần đến 4.
Bình luận: Việc chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất x
n
> 1 là hiển nhiên. Mối liên
hệ f
n+1
(x) = f
n
(x) + 1/((n+1)
2
x-1) cho thấy x
n
là dãy số tăng (ở đây
2
1 1 1 1
( )
1 4 1 2
1
n
f x
x x
n x
). Đề bài cho sẵn giới hạn của x
n
là 4 đã làm cho bài
toán trở nên dễ hơn nhiều. Tương tự như cách chứng minh lim x
n
= c ở nhận xét trên, ta sẽ
dùng định lý Lagrange để đánh giá khoảng cách giữa x
n
và 4. Để làm điều này, ta cần tính
f
n
(4), với
2
1 1 1 1
( )
1 4 1 2
1
n
f x
x x
n x
. Rất may mắn, bài tính f
n
(4) này liên quan
đến 1 dạng tổng quen thuộc.
Lời giải: Đặt f
n
(x) như trên và gọi x
n
là nghiệm > 1 duy nhất của phương trình f
n
(x) = 0. Ta có
2
1 1 1 1 1 1 1 1
(4)
4 1 16 1 2 1.3 3.5 (2 1)(2 1) 2
4 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 3 3 5 2 1 2 2 4
n
f
n n
n
n n n
Áp dụng định lý Lagrange, ta có : 1/4n = |f
n
(x
n
) – f(4)| = |f’(c)||x
n
-4| với c thuộc (x
n
, 4)
Nhưng do
2 2
1 4 1
| '( )|
9
( 1) (4 1)
n
f c
c c
Nên từ đây |x
n
– 4| < 9/4n, suy ra lim x
n
= 4.
Trong ví dụ trên (và trong phần nhận xét ở bài toán 3) chúng ta đã sử dụng định lý Lagrange
để đánh giá hiệu số giữa x
n
và giá trị giới hạn. Ở ví dụ cuối cùng của bài viết này, ta tiếp tục
nếu ra ứng dụng dụng định lý này trong một tình huống phức tạp hơn.
Bài toán 5. Cho n là một số nguyên dương > 1. Chứng minh rằng phương trình x
n
= x
2
+ x +
1 có một nghiệm dương duy nhất, ký hiệu là x
n
. Hãy tìm số thực a sao cho giới hạn
)(lim
1
nn
a
n
xxn
tồn tại, hữu hạn và khác 0.
Bình luận. Dễ thấy giá trị a, nếu tồn tại, là duy nhất. Tương tự như ở bài toán 2, có thể chứng
minh được rằng x
n
~ 1 + ln(3)/n. Từ đó có dự đoán là a = 2. Định lý Lagrange sẽ giúp chúng ta
đánh giá hiệu x
n
– x
n+1
và chứng minh dự đoán này.
Lời giải. Đặt P
n
(x) = x
n
– x
2
– x – 1.
Ta có P
n+1
(x) = x
n+1
– x
2
– x – 1 = x
n+1
– x
n
+ P
n
(x) = x
n
(x-1) + P
n
(x).
Từ đó P
n+1
(x
n
) = x
n
n
(x
n
-1) + P
n
(x
n
) = (x
n
2
+x
n
+1)(x
n
-1) = x
n
3
– 1.
Áp dụng định lý Lagrange, ta có: (x
n
2
+x
n
+1)(x
n
– 1) = P
n+1
(x
n
) – P
n+1
(x
n+1
) = (x
n
– x
n+1
)P
n+1
’(c)
với c thuộc (x
n+1
, x
n
), P
n+1
’(x) = (n+1)x
n
– 2x – 1. Từ đó
(n+1)(x
n+1
+1+1/x
n+1
) – 2x
n+1
– 1 = P
n+1
’(x
n+1
) < P
n+1
’(c) < P
n+1
’(x
n
)= (n+1)(x
n
2
+x
n
+1) – 2x
n
– 1.
Từ đây, với lưu ý lim x
n
= 1, ta suy ra :
'
1
( )
lim 3
n
n
P c
n
.Tiếp tục sử dụng lim n(x
n
– 1) = 3,
ta suy ra:
' 2
1 1
' '
2 2
1 1
1 1
lim ( )( ) lim ( 1)( 1) 3ln(3)
( ) ( )
lim ( ). 3ln(3) lim ( ) lim 3ln(3)
n n n n n n
n n
n n
n n n n
n n n
nP c x x n x x x
P c P c
n x x n x x
n n
2 2
1 1
lim ( )3 3ln(3) lim ( ) ln(3)
n n n n
n n
n x x n x x
Vậy với c = 2 thì giới hạn đã cho tồn tại, hữu hạn và khác 0. Dễ thấy với c > 2 thì giới hạn đã
cho bằng vô cùng và nới c < 2 thì giới hạn đã cho bằng 0. Vậy c = 2 là đáp số duy nhất của bài
toán.
Qua các ví dụ trên, chúng ta thấy công cụ cơ bản để khảo sát các dãy số cho bởi dãy các
phương trình là các định lý cơ bản của giải tích (về hàm liên tục, hàm đơn điệu, định lý về sự
hội tụ của dãy số đơn điệu và bị chặn, định lý Lagrange) và mối liên hệ mang tính truy hồi
giữa các phương trình. Hy vọng rằng việc phân tích các tình huống ở 5 ví dụ trên đây sẽ giúp
chúng ta có một cách nhìn tổng quát cho các bài toán ở dạng này.
