Một phương pháp lai ghép tìm nghiệm chung của bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
TRẦN THỊ HÀ GIANG
MỘT PHƯƠNG PHÁP LAI GHÉP
TÌM NGHIỆM CHUNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
BIẾN PHÂN VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2014
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
TRẦN THỊ HÀ GIANG
MỘT PHƯƠNG PHÁP LAI GHÉP
TÌM NGHIỆM CHUNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
BIẾN PHÂN VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.01.12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY
THÁI NGUYÊN - 2014
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
TRẦN THỊ HÀ GIANG
MỘT PHƯƠNG PHÁP LAI GHÉP
TÌM NGHIỆM CHUNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
BIẾN PHÂN VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.01.12

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2014
Công trình được hoàn thành tại:
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
Người hướng dẫn khoa học:TS.Nguyễn Thị Thu Thủy
Phản biện 1:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phản biện 2:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại:
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
Vào hồi giờ ngày tháng năm 2014
Có thể tìm hiểu luận văn tại trung tâm học liệu Đại học Thái Nguyên
Và thư viện Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên.
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
1 Giới thiệu về bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm
bất động 1
1.1 Không gian Hilbert thực . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Định nghĩa không gian Hilbert thực . . . . . . . 1
1.1.2 Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Ánh xạ đơn điệu. Ánh xạ không giãn . . . . . . 5
1.2.2 Phép chiếu mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.4 Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động . . 11
1.3 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert . . 15
1.3.1 Bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2 Nghiệm chung của bất đẳng thức biến phân và
bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Tìm nghiệm chung của bất đẳng thức biến phân và bài

toán điểm bất động 19
i
2.1 Một số kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Phương pháp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2 Sự hội tụ mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Kết luận 36
Tài liệu tham khảo 37
i
MỞ ĐẦU
Bất đẳng thức biến phân được Stampacchia và các cộng sự đưa ra
nghiên cứu vào những năm đầu của thập kỷ 60 trong khi nghiên cứu
bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng. Từ đó phương pháp
bất đẳng thức biến phân được quan tâm nghiên cứu rộng rãi và trở
thành một công cụ hữu hiệu trong việc xây dựng các kỹ thuật để giải
số các bài toán cân bằng trong kinh tế tài chính, bài toán vận tải, lý
thuyết trò chơi và nhiều bài toán thuộc lĩnh vực vật lý và kỹ thuật.
Nhiều bài toán trong toán học được phát biểu dưới dạng bất đẳng
thức biến phân như bài toán bù phi tuyến, bài toán tối ưu, bài toán
điểm bất động . . . .
Một trong những phương pháp giải bất đẳng thức biến phân là dựa
trên cách tiếp cận thông qua điểm bất động. Nội dung của phương
pháp này là đưa bất đẳng thức biến phân về bài toán tìm điểm bất
động của một ánh xạ nghiệm thích hợp. Phương pháp chiếu gradient
là một kết quả theo hướng tiếp cận này bằng cách sử dụng phép chiếu
mêtric P
C
để xây dựng một dãy lặp hội tụ mạnh đến nghiệm của bất
đẳng thức biến phân.
Mục đích của đề tài luận văn là đọc hiểu và trình bày lại một kết

quả công bố năm 2013 trong [8] cho bài toán tìm nghiệm chung của
bất đẳng thức biến phân và tập điểm bất động chung của một họ vô
hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert.
Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương:
Chương 1 trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về không
ii
gian Hilbert, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm bất
động và một số phương pháp lặp giải các bài toán này.
Chương 2 trình bày và làm chi tiết hơn kết quả nghiên cứu trong [8]
về sự hội tụ mạnh của phương pháp tìm nghiệm chung của bất đẳng
thức biến phân và tập điểm bất động chung của một họ vô hạn các
ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert.
Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới người Thầy, người hướng
dẫn luận văn cao học của mình, TS. Nguyễn Thị Thu Thủy - giảng
viên trường Đại học Khoa học, đại học Thái Nguyên. Người đã dành
nhiều thời gian và tâm huyết để hướng dẫn và giải quyết những thắc
mắc cho tôi trong suốt quá trình tôi làm luận văn. Tôi cũng xin bày
tỏ lời cảm ơn chân thành tới các Thầy Cô trong hội đồng chấm luận
văn thạc sĩ, các Thầy Cô giảng dạy lớp Cao học Toán K6B, gia đình,
bạn bè, đồng nghiệp đã tạo những điều kiện thuận lợi nhất để tôi có
thể hoàn thiện khóa học cũng như luận văn của mình.
Hải Phòng, tháng 5 năm 2014.
Học viên
Trần Thị Hà Giang
iii
BẢNG KÝ HIỆU
R
n
không gian Euclide n chiều
D(A) miền xác định của toán tử A

R(A) miền giá trị của toán tử A
H không gian Hilbert thực
C tập con lồi đóng của H
I ánh xạ đơn vị
P
C
Phép chiếu mêtrix H lên tập con lồi đóng C của H
x
n
→ x dãy {x
n
} hội tụ mạnh tới x
x
n
 x dãy {x
n
} hội tụ yếu tới x
iv
Chương 1
Giới thiệu về bất đẳng thức biến
phân và bài toán điểm bất động
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả
về không gian Hilbert thực H, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài
toán điểm bất động trong không gian Hilbert và một số phương pháp
xấp xỉ nghiệm của các bài toán này. Nội dung của chương này được
viết dựa trên các tài liệu [1], [2], [5], [6], [8] và một số tài liệu trích
dẫn trong đó.
1.1 Không gian Hilbert thực
1.1.1 Định nghĩa không gian Hilbert thực
Định nghĩa 1.1. Cho H là một không gian tuyến tính trên R. Một

tích vô hướng trong H là một ánh xạ, ký hiệu ·, · : H ×H → R thỏa
mãn các điều kiện sau:
i) x, x ≥ 0, ∀x ∈ H; x, x = 0 ⇔ x = 0;
ii) x, y = y, x , ∀x, y ∈ H;
iii) αx, y = αx, y, ∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R;
1
iv) x + y, z = x, z + y, z, ∀x, y, z ∈ H.
Không gian tuyến tính H cùng với tích vô hướng ·, · được gọi là
không gian tiền Hilbert.
Định nghĩa 1.2. Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không
gian Hilbert.
Ví dụ 1.1. l
2
là một không gian Hilbert với tích vô hướng
x, y =
∞

n=1
ξ
n
η
n
trong đó x = (ξ
n
), y = (η
n
) là hai dãy số thực thuộc l
2
.
Ví dụ 1.2.

l
n
p
là không gian Banach hữu hạn chiều nhưng không phải
là không gian Hilbert với p = 2. Thật vậy, với x = (1, 1, 0, 0, . . .) và
y = (1, −1, 0, 0 . . .) ta có
x + y = (2, 0, 0, . . .) và x − y = (0, 2, 0, 0, . . .).
Do đó
x =
n

i=1
|x
i
|
p
1
p
= (1
p
+ 1
p
)
1
p
= 2
1
p
,
y = (1

p
+ 1
p
) = 2
1
p
,
x + y = (2
p
)
1
p
= 2,
x − y = (2
p
)
1
p
= 2.
Nếu p = 2 thì quy tắc hình bình hành:
x + y
2
+ x − y
2
= 2x
2
+ 2y
2
thỏa mãn, do đó
l

n
p
, p = 2 là không gian Hilbert. Nếu p = 2 thì quy
tắc hình bình hành không thỏa mãn, do đó
l
n
p
không là không gian
Hilbert với p = 2.
2
Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập con của H.
Định nghĩa 1.3. Tập C ⊂ H là một tập lồi nếu với mọi x
1
, x
2
∈ C
và với mọi số thực λ ∈ [0, 1] ta đều có λx
1
+ (1 − λ)x
2
∈ C.
Từ định nghĩa trên ta thấy tập ∅ là một tập lồi.
Định nghĩa 1.4. Hàm f : C → R được gọi là:
(i) lồi trên C nếu với mọi λ ∈ [0, 1], với mọi x, y ∈ C thì
f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) ;
(ii) lồi chặt trên C nếu với mọi λ ∈ (0, 1), với mọi x, y ∈ C, x = y
thì
f (λx + (1 − λ) y) < λf (x) + (1 − λ) f (y) .
1.1.2 Một số tính chất
Bổ đề 1.1. Cho H là một không gian Hilbert thực. Khi đó:

(i) x + y
2
= x
2
+ y
2
+ 2x, y, ∀x, y ∈ H;
(ii) tx+(1−t)y
2
= tx
2
+(1−t)y
2
−t(1−t)x−y
2
∀t ∈ [0, 1],
∀x, y ∈ H;
(iii) Nếu {x
n
} là một dãy phần tử trong H hội tụ yếu tới z ∈ H,
thì lim sup
n→∞
x
n
− y
2
= lim sup
n→∞
x
n

− z
2
+ y − z
2
.
Bổ đề 1.2. Cho H là không gian Hilbert thực, C là một tập con lồi
đóng trong H và các phần tử x, y, z thuộc H. Với một số thực a bất
kỳ, tập hợp
v ∈ C : y − v
2
≤ x − v
2
+ z, v + a
là tập lồi đóng trong H.
3
Định lý 1.1. Nếu C là một tập hợp lồi đóng trong không gian Hilbert
H thì tồn tại một phần tử duy nhất x
0
của C sao cho
x
0
 ≤ x với mọi x ∈ C.
Chứng minh. Áp dụng đẳng thức hình bình hành ta có
x + y
2
+ x − y
2
= 2

x

2
+ y
2

với mọi x, y ∈ C.
Do đó
x − y
2
= 2

x
2
+ y
2

− 4





x + y
2





2
(1.1)

Đặt d = inf
x∈C
x. Vì C là một tập lồi nên
x + y
2
∈ C. Do đó





x + y
2





≥ d.
Từ đó và từ đẳng thức (1.1) suy ra
x − y
2
≤ 2x
2
+ 2y
2
− 4d
2
. (1.2)
Nếu x = d và y = d thì từ (1.2) suy ra x = y. Do đó phần tử x

0
nói trong định lý, nếu tồn tại, là duy nhất. Do định nghĩa của d, tồn
tại một dãy phần tử {x
n
} của C sao cho lim
n→∞
x
n
 = d. Theo (1.2),
với mọi n ta có
x
n
− x
m

2
≤ 2x
n

2
+ 2y
n

2
− 4d
2
.
Do đó lim
n→∞
m→∞

x
n
− x
m
 = 0. Vậy {x
n
} là một dãy Cauchy trong không
gian Hilbert H đầy đủ nên dãy {x
n
} hội tụ đến x
0
∈ H. Do C là một
tập đóng trong H nên x
0
∈ C. Ngoài ra, x
0
 = lim
n→∞
x
n
 = d.
Hệ quả 1.1. Nếu C là một tập hợp con lồi đóng trong không gian
Hilbert thực H thì với mỗi phần tử x của H, tồn tại duy nhất một
phần tử y của C sao cho
x − y = dist (x, C) = inf
u∈C
x − u .
4
1.2 Bài toán điểm bất động
1.2.1 Ánh xạ đơn điệu. Ánh xạ không giãn

Cho H là không gian Hilbert thực, A : H → H là một ánh xạ với
miền xác định là D(A), miền giá trị là R(A).
Định nghĩa 1.5. Ánh xạ A được gọi ánh xạ đơn điệu nếu
A(x) − A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A).
Định nghĩa 1.6. Ánh xạ A được gọi là η-đơn điệu mạnh nếu tồn tại
một hằng số η > 0 sao cho
A(x) − A(y), x − y ≥ ηx − y
2
, ∀x, y ∈ D(A).
Định nghĩa 1.7. Ánh xạ A được gọi là k-ngược đơn điệu mạnh nếu
tồn tại một hằng số k > 0 sao cho
A(x) − A(y), x − y ≥ kA(x) − A(y)
2
, ∀x, y ∈ D(A).
Định nghĩa 1.8. Ánh xạ đa trị T : H → 2
H
là đơn điệu cực đại nếu
T là ánh xạ đơn điệu và đồ thị G(T ) của nó không là tập con thực sự
của đồ thị của bất cứ một ánh xạ đơn điệu nào khác, trong đó, theo
định nghĩa G(T ) = {(x, T (x)) : x ∈ H}.
Ví dụ 1.3. Xét các ánh xạ T
i
: R → 2
R
(i = 1, 2) cho bởi các công
thức:
T
1
(x) =










{1} , x ≥ 0
∅, x < 0,
T
2
(x) = {1} ∀x ∈ R.
Ta thấy T
1
và T
2
đều là các ánh xạ đơn điệu. Tuy nhiên T
1
không phải
là ánh xạ đơn điệu cực đại vì G(T
1
) chứa thực sự trong G(T
2
).
5
Mệnh đề 1.1. Giả sử T : H → 2
H
là ánh xạ đơn điệu. Khi đó ánh
xạ T là đơn điệu cực đại khi và chỉ khi với mọi (a, b) ∈ H × H, nếu

b − u, a − x ≥ 0 ∀(x, u) ∈ G (T )
thì b ∈ T(a).
Mệnh đề 1.2. Ánh xạ đa trị T : H → 2
H
là đơn điệu cực đại khi và
chỉ khi λT là ánh xạ đơn điệu cực đại với λ > 0.
Chứng minh. Giả sử T là ánh xạ đơn điệu cực đại và λ > 0. Khi đó
λT là ánh xạ đơn điệu. Để chứng minh λT là ánh xạ đơn điệu cực đại
ta giả sử (a, b) ∈ H × H thỏa mãn
b − u, a − x ≥ 0 ∀(x, u) ∈ G (λT ) .
Vì
(x, u) ∈ G (λT ) ⇔ u ∈ λT (x) ⇔

x, λ
−1
u

∈ G (T )
điều kiện đó kéo theo

λ
−1
b − λ
−1
u, a − x

≥ 0,

x, λ
−1

u

∈ G (T ) .
Do T là ánh xạ đơn điệu cực đại nên λ
−1
b ∈ T (a). Suy ra b ∈ (λT )(a).
Vậy λT là ánh xạ đơn điệu cực đại.
Ngược lại, giả sử λT là ánh xạ đơn điệu cực đại và λ > 0. Đặt

T = λT , khi đó T = λ
−1

T là ánh xạ đơn điệu cực đại. Mệnh đề được
chứng minh.
Định nghĩa 1.9. Cho H là một không gian Hilbert thực và một ánh
xạ T : H → H. Ánh xạ T được gọi là liên tục Lipschitz với hằng số
Lipschitz L > 0 nếu
T (x) − T (y) ≤ L x − y với mọi x, y ∈ D(T ).
6
Nếu 0 < L < 1 thì T là ánh xạ co; nếu L = 1 thì T là ánh xạ không
giãn.
1.2.2 Phép chiếu mêtric
Định nghĩa 1.10. Cho C là một tập con lồi đóng của không gian
Hilbert thực H, phép chiếu mêtric P
C
từ H lên C cho tương ứng mỗi
x ∈ H với phần tử P
C
(x) ∈ C thỏa mãn
x − P

C
(x) ≤ x − y với mọi y ∈ C.
Bổ đề 1.3. Giả sử C là một tập con lồi đóng của không gian Hilbert
thực H, phần tử x ∈ H và z ∈ C. Khi đó z = P
C
(x) nếu và chỉ nếu
x − z, y − z ≤ 0 với mọi y ∈ C.
Bổ đề 1.4. Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng bất kỳ trong không
gian Hilbert thực H, các phần tử x, y ∈ H, khi đó phép chiếu mêtric
P
C
từ H lên C thỏa mãn tính chất sau
P
C
(x) − P
C
(y)
2
≤ x − y
2
− (P
C
(x) − x) − (P
C
(y) − y)
2
.
Mệnh đề 1.3. Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không
gian Hilbert H và P
C

là phép chiếu mêtric từ H lên C. Khi đó những
điều sau thỏa mãn:
(a) P
C
(P
C
(x)) = P
C
(x) với mọi x ∈ H;
(b) P
C
là ánh xạ đơn điệu mạnh, nghĩa là
P
C
(x) − P
C
(y) , x − y ≥ P
C
(x) − P
C
(y)
2
, ∀x, y ∈ H;
(c) P
C
là ánh xạ không giãn, nghĩa là
P
C
(x) − P
C

(y) ≤ x − y , ∀x, y ∈ H;
7
(d) P
C
là ánh xạ đơn điệu, nghĩa là
P
C
(x) − P
C
(y) , x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ H;
(e) Nếu x
n
 x
0
và P
C
(x
n
) → y
0
thì P
C
(x
0
) = y
0
.
Chứng minh. (a) Giả sử P
C
(x) ∈ C với mọi x ∈ H và P

C
(z) = z với
mọi z ∈ C, khi đó P
C
(P
C
(x)) = P
C
(x) với mọi x ∈ H.
(b) Với mọi x, y ∈ H ta có
x − P
C
(x) , P
C
(x) − P
C
(y) ≥ 0
và
y − P
C
(y) , P
C
(x) − P
C
(y) ≥ 0.
Điều đó kéo theo
x − y, P
C
(x) − P
C

(y) ≥ P
C
(x) − P
C
(y)
2
.
(c) là hệ quả trực tiếp của (b).
(d) được suy ra từ (b).
(e) Từ Bổ đề 1.3 ta có:
x
n
− P
C
(x
n
) , P
C
(x
n
) − z ≥ 0 với mọi z ∈ C.
Vì x
n
 x
0
và P
C
(x
n
) → y

0
nên từ bất đẳng thức trên suy ra
x
0
− y
0
, y
0
− z ≥ 0 với mọi z ∈ C.
1.2.3 Bài toán điểm bất động
Cho H là không gian Hilbert thực, T : H → H là một ánh xạ phi
tuyến.
8
Định nghĩa 1.11. Phần tử x ∈ D(T ) trong không gian Hilbert H
được gọi là một điểm bất động của ánh xạ T nếu x = T(x).
Ký hiệu tập các điểm bất động của ánh xạ T là Fix(T ). Chú ý rằng
tập điểm bất động của ánh xạ không giãn T trong không gian Hilbert,
nếu khác rỗng, là một tập con lồi và đóng của H.
Bài toán điểm bất động được phát biểu như sau: Cho C là một tập
con lồi của không gian Hilbert H, T : C → H là một ánh xạ.
Hãy tìm phần tử x
∗
∈ C sao cho T (x
∗
) = x
∗
. (1.3)
Việc tìm nghiệm của bài toán điểm bất động (1.3) tương đương với
việc giải phương trình toán tử:
T (x) − x = 0. (1.4)

Định lý điểm bất động Banach được đưa ra trong luận án của
Banach vào năm 1922 như sau
Định lý 1.2. Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và T : X → X
là ánh xạ co. Khi đó, T có duy nhất điểm bất động q trong X và
với xấp xỉ ban đầu tùy ý x
0
∈ X, dãy lặp {x
n
} được định nghĩa bởi
x
n+1
= T (x
n
), với n ≥ 0, hội tụ mạnh tới q.
Chứng minh. a) Sự tồn tại
Với x
0
tùy ý thuộc X, đặt x
n+1
= T (x
n
) với n ≥ 0. Do T là ánh xạ
co trong không gian mêtric X nên tồn tại hằng số k ∈ [0, 1) sao cho
d(T (x), T(y)) ≤ kd(x, y).
9
Xét:
d(x
n
, x
n+1

) = d(T (x
n−1
), T(x
n
)) ≤ kd(x
n−1
, x
n
)
≤ k
2
d(x
n−2
, x
n−1
)
≤ · · · ≤ k
n
d(x
0
, x
1
).
Lấy m > n ta có:
d(x
n
, x
m
) ≤ d(x
n

, x
n+1
) + d(x
n+1
, x
n+2
) + . . . + d(x
m−1
, x
m
)
≤ (k
n
+ k
n+1
+ . . . + k
m−1
)d(x
0
, x
1
)
≤ k
n
(1 + k + . . . + k
m−n−1
+ . . .)d(x
0
, x
1

)
≤ k
n
1
1 − k
d(x
0
, x
1
) → 0 khi n → ∞.
Vậy {x
n
} là dãy Cauchy trong không gian mêtric đầy đủ X. Do đó
dãy {x
n
} hội tụ tới phần tử q ∈ X. Với mỗi n ≥ 0 ta có
0 ≤ d(q, T (q)) ≤ d(q, x
n
) + d(x
n
, T(q))
= d(q, x
n
) + d(T (x
n−1
), T(q))
≤ d(q, x
n
) + kd(x
n−1

, q).
Vì dãy {x
n
} hội tụ về phần tử q ∈ X nên d(q, x
n
) + kd(x
n−1
, q) → 0
khi n → ∞. Từ đó 0 ≤ d(q, T(q)) ≤ 0 suy ra d(q, T(q)) = 0 hay
T (q) = q. Vậy q là điểm bất động của ánh xạ T .
b) Tính duy nhất
Giả sử tồn tại p ∈ X sao cho T (p) = p. Khi đó
d(q, p) = d(T (q), T (p)) ≤ kd(q, p).
Với k ∈ [0, 1) thì từ đẳng thức trên suy ra d(q, p) = 0 do đó q = p.
Vậy q là duy nhất.
10
Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn được trình bày
trong định lý sau
Định lý 1.3. Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập lồi
đóng giới nội của H, T : C → C là một ánh xạ không giãn. Khi đó T
có ít nhất một điểm bất động trong C.
Định nghĩa 1.12. Ánh xạ T : H → H được gọi là d-compact, nếu nó
thỏa mãn tính chất với mỗi dãy {x
n
} bị chặn trong H và {T (x
n
) − x
n
}
hội tụ mạnh thì tồn tại một dãy con {x

n
k
} của {x
n
} cũng hội tụ mạnh.
Tính chất của tập điểm bất động của ánh xạ không giãn được công
bố trong định lý sau
Định lý 1.4. Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập con
lồi đóng và giới nội của H. Giả sử T : C → C là một ánh xạ không
giãn và d-compact. Khi đó tập điểm bất động của ánh xạ T là một tập
lồi và khác rỗng.
1.2.4 Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động
Sau đây là một số phương pháp lặp cơ bản để tìm điểm bất động
của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert.
Phương pháp lặp Mann được Mann đề xuất năm 1953. Với phương
pháp này, dãy lặp {x
n
} được xác định như sau:
x
0
∈ C, x
n+1
= (1 − α
n
) x
n
+ α
n
T (x
n

), n = 0, 1, 2, . . . (1.5)
ở đây, dãy {α
n
}
∞
n=0
⊂ (0, 1). Ông đã chứng minh được rằng, nếu dãy số
{α
n
}
∞
n=0
⊂ (0, 1) thỏa mãn điều kiện
∞

n=0
α
n
(1 − α
n
) = ∞ thì dãy lặp
11
(1.5) hội tụ yếu tới một điểm bất động của ánh xạ T , với T : C → H
là ánh xạ không giãn.
Phương pháp lặp Ishikawa được đề xuất bởi Ishikawa vào năm
1974 như sau:


















x
0
∈ C, tùy ý,
y
n
= (1 − β
n
) x
n
+ β
n
T (x
n
),
x
n+1
= (1 − α

n
) x
n
+ α
n
T (y
n
) n = 0, 1, 2, . . .
(1.6)
trong đó {α
n
}
∞
n=0
và {β
n
}
∞
n=0
là các dãy số thực trong [0, 1]. Để ý rằng
khi β
n
= 0, với mọi n thì dãy lặp Ishikawa trở về dãy lặp Mann.
Phương pháp lặp Halpern được Halpern đề xuất năm 1967 để tìm
phần tử x
∗
∈ Fix(T ) của ánh xạ không giãn T : C → C:
x
0
∈ C, x

n+1
= α
n
u + (1 − α
n
)T (x
n
), n = 0, 1, 2, . . .
(1.7)
trong đó u, x
0
là hai phần tử xác định thuộc C và {α
n
} ⊂ [0, 1]. Ông
chứng minh kết quả sau:
Định lý 1.5. Cho C là một tập lồi đóng bị chặn của không gian Hilbert
thực H và T : C → C là một ánh xạ không giãn trên C. Khi đó với
u ∈ C và dãy số thực {α
n
}
∞
n=0
⊂ [0, 1] sao cho α
n
= n
−θ
, θ ∈ (0, 1),
thì dãy lặp {x
n
}

∞
n=0
xác định bởi (1.7) hội tụ mạnh tới điểm bất động
của T .
Năm 1977, Lions đã chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy lặp (1.7)
đến một điểm bất động của ánh xạ không giãn T trong không gian
12
Hilbert H, với dãy số {α
n
}
∞
n=0
thỏa mãn các điều kiện:
(L
1
) : lim
n→∞
α
n
= 0;
(L
2
) :
∞

n=0
α
n
= ∞;
(L

3
) : lim
n→∞
|α
n
− α
n+1
|
α
2
n
= 0.
Năm 1992, Wittmann cũng có kết quả cho sự hội tụ mạnh của dãy lặp
(1.7) đến một điểm bất động của ánh xạ không giãn T trong không
gian Hilbert, với dãy số {α
n
}
∞
n=0
thỏa mãn các điều kiện (L
1
), (L
2
) và
(L
4
) :
∞

n=0

|α
n+1
− α
n
| < ∞.
Bauschke là người đầu tiên vận dụng phương pháp lặp Halpern để
tìm điểm bất động chung cho một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn
trong không gian Hilbert, bằng cách thay điều kiện (L
4
) bằng điều
kiện
(L
5
) :
∞

n=0
|α
n+N
− α
n
| < ∞.
Kết quả đó được trình bày trong định lý sau.
Định lý 1.6. Cho C là một tập lồi khác rỗng trong không gian Hilbert
thực H và {T
i
}
N
i=1
: C → C là một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn,

sao cho F =
N

i=1
Fix (T
i
) = ∅ và thỏa mãn
F = Fix (T
N
T
N−1
· · · T
1
)
= Fix (T
1
T
N
· · · T
2
)
= · · · = Fix (T
N−1
T
N−2
· · · T
1
T
N
) .

(1.8)
Giả sử rằng {α
n
}
∞
n=0
là một dãy số thực thỏa mãn các điều kiện (L
1
),
(L
2
) và (L
5
). Khi đó với u và x
0
tùy ý thuộc C, dãy {x
n
}
∞
n=0
xác định
13
bởi:
x
n+1
= α
n+1
u + (1 − α
n+1
) T

[n+1]
(x
n
), n ≥ 0
(1.9)
trong đó T
[n]
= T
n mod N
hội tụ mạnh tới P
F
u.
Sau này, O’Hara có một kết quả khác bằng việc thay điều kiện (L
5
)
bằng điều kiện
(L
6
) : lim
n→∞
α
n
α
n+N
= 1 hoặc lim
n→∞
α
n
− α
n+N

α
n+N
= 0
để có kết quả sau
Định lý 1.7. Cho C là một tập lồi khác rỗng trong không gian Hilbert
thực H và {T
i
}
N
i=1
: C → C là một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn
sao cho F =
N

i=1
Fix (T
i
) = ∅ và thỏa mãn điều kiện (1.8). Giả sử rằng
{α
n
}
∞
n=0
là một dãy các số thực thỏa mãn các điều kiện (L
1
), (L
2
) và
(L
6

). Khi đó với u và x
0
tùy ý thuộc C, dãy {x
n
}
∞
n=0
xác định bởi
x
n+1
= α
n+1
u + (1 − α
n+1
) T
[n+1]
(x
n
), (1.10)
ở đây T
[n]
= T
n mod N
hội tụ mạnh tới P
F
u.
Gần đây, Alber đã đề xuất một phương pháp đường dốc:
x
n+1
= P

C
(x
n
− µ
n
(x
n
− T(x
n
))) ∀n ≥ 0, x
0
∈ C, (1.11)
và ông đã chỉ ra rằng nếu µ
n
> 0,

∞
n=0
µ
2
n
< ∞ và dãy {x
n
} bị chặn,
thì
(i) tồn tại điểm tụ yếu ˜x ∈ C của dãy {x
n
};
(ii) tất cả các điểm tụ yếu của {x
n

} thuộc Fix(T );
(iii) Nếu Fix(T ) là tập hợp gồm một phần tử, nghĩa là Fix(T ) = {˜x}
thì dãy {x
n
} hội tụ yếu tới ˜x.
14
1.3 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert
1.3.1 Bất đẳng thức biến phân
Cho H là một không gian Hilbert thực với tích vô hướng ., . và
chuẩn ., C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H và A : H → H
là một ánh xạ phi tuyến. Bài toán bất đẳng thức biến phân được phát
biểu như sau: Tìm điểm x
∗
∈ C sao cho
A(x
∗
), x − x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ C. (1.12)
Ký hiệu tập nghiệm của (1.12) là Ω
A
. Nếu A là ánh xạ đơn điệu mạnh
và liên tục Lipschitz trên C, thì bài toán (1.12) có nghiệm duy nhất.
Lý thuyết bất đẳng thức biến phân đóng vai trò quan trọng trong
nghiên cứu nhiều lĩnh vực khác nhau, chẳng hạn phương trình vi
phân, điều khiển tối ưu, tối ưu hóa, quy hoạch toán học, cơ học, tài
chính, . . . . Một trong những phương pháp giải bất đẳng thức biến
phân là dựa trên cách tiếp cận thông qua điểm bất động. Nội dung
của phương pháp này là đưa bất đẳng thức biến phân về bài toán
tìm điểm bất động của một ánh xạ nghiệm thích hợp. Bài toán (1.12)

tương đương với
u
∗
= P
C
(u
∗
− µA(u
∗
)), (1.13)
trong đó P
C
là phép chiếu mêtric từ H lên C và µ > 0 là hằng số.
Nếu A là ánh xạ đơn điệu mạnh, liên tục Lipschitz trên C và µ > 0
đủ nhỏ, thì ánh xạ được xác định bởi vế phải của (1.13) là ánh xạ co.
Do đó, nguyên lý ánh xạ co Banach bảo đảm rằng dãy lặp Picard
x
n+1
= P
C
(x
n
− µA(x
n
))
15
hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất của bài toán (1.12). Phương pháp
này được gọi là phương pháp chiếu. Phương pháp này có ưu điểm là
dễ lập trình và tốc độ hội tụ nhanh. Tuy nhiên với phương pháp này
thì việc tính toán phép chiếu mêtric P

C
không đơn giản vì sự phức tạp
của tập con lồi đóng bất kỳ C của H. Để khắc phục khó khăn này,
Yamada đã đề xuất phương pháp lai đường dốc nhất vào năm 2001
để giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ
không giãn trong không gian Hilbert. Từ đó đến nay đã có nhiều công
trình mở rộng hướng nghiên cứu của Yamada để giải bất đẳng thức
biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn.
Phương pháp lai đường dốc (hybrid steepest descent) được Ya mada
đề xuất năm 2001 để tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ
điển trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn T trong không
gian Hilbert thực H như sau: Cho H là không gian Hilbert thực và
T : H → H là một ánh xạ không giãn sao cho C = Fix(T ) = ∅. Giả
sử A : H → H là một ánh xạ η-đơn điệu mạnh và L-liên tục Lipchitz
trên D(A). Cho µ ∈

0,
2η
L
2

và {λ
n
}
n≥1
⊂ (0, 1] là một dãy số thực
thỏa mãn điều kiện:
(C
1
) : lim

n→+∞
λ
n
= 0;
(C
2
) :
∞

n=1
λ
n
= +∞;
(C
3
) : lim
n→+∞
λ
n
− λ
n+1
λ
2
n+1
= 0.
Lấy tùy ý phần tử x
0
∈ H, dãy lặp {x
n
}

∞
n=1
được xác định bởi:
x
n+1
= T (x
n
) − λ
n+1
µA (T (x
n
)) , n = 0, 1, 2, . . .
(1.14)
16