Giáo án toán hình học 12 (từ tiết 50 57)

Trêng THPT Ngun §×nh ChiĨu H×nh Häc 12
Tiết chương trình: 49-50-51
ÔN TẬP CHƯƠNG III
I. Mục tiêu bài dạy
* Hướng dẫn học sinh ôn tập, hệ thống và củng cố lại các kiến thức đã học trong chương III.
* Học sinh làm lại các dạng toán trong chương III.
* Rèn luyện và phát triển tư duy trừu tượng, kó năng tính toán cho học sinh.
II. Chuẩn bò của giáo viên và học sinh
* Học đọc bài và soạn bài trước ở nhà.
* Giáo viên nghiên cứu sách giáo khoa + tài liệu có liên quan, chuẫn bò bảng phụ và các phương tiện dạy học khác.
III. Tiến trình bài dạy.
. Ổn đònh lớp : (1’)
Ổn đònh trật tự, kiểm tra só số.
. Kiểm tra bài cũ: (3’)
 Tiến hành dạy bài mới.
T
gian
Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Nội dung ghi bảng
Hoạt động 1. Hướng dẫn hs giải bài tập1.
<H>
AB
=?,
BC
= ?,
CA
= ?,
CD
= ?
Suy ra:
ABCDCABCAB
2

).( +
= ?

<H> Diện tích tam giác ACD: S = ?
<H> A, B, C, D đồng phẳng ⇔ ?
Hoạt động 2 Hướng dẫn hs giải bài tậpï 2.
<H> Xác đònh một điểm thuộc dt ∆ và ∆’ và
các vtcp của chúng ?
<H> Hai đường thẳng ∆ avf ∆’ chéo nhau
khi nào ?
[
u
,
'u
].
/
00
MM
≠ 0 nên hai đường thẳng này
chéo nhau.
*
)2,1,1(=AB
,
aBC )5,1,4(
−−−=
,
)3,0,3(
=
CA
,

)0,3,3(
−=
CD
.
*
ABCDCABCAB
2
).( +
= (-27,
18, -9).
* S =
2
39
|].[|
2
1
=
CDCA
.
c, A, B, C, D đồng phẳng ⇔
0].;[ =CDCBCA
.
* Đường thẳng ∆ đi qua M
0
(3, -1,
4), có vtcp
u
= (1,2,0) và đường
thẳng ∆’ đi qua M
0

’(1, 1, 2) có
vtcp
'u
= (1, 1, 2).
*Khi [
u
,
'u
].
/
00
MM
≠ 0.
* vtpt
n
= [
u
,
'u
] = (4, -1, -1)
Bài tập 1.
a, Ta có:
)2,1,1(=AB
,
aBC )5,1,4( −−−=
,
)3,0,3(
=
CA
,

)0,3,3(
−=
CD
.
Vậy ta có:
ABCDCABCAB
2
).( +
= (-27, 18, -9).
b, Diện tích tam giác ACD: S =
2
39
|].[|
2
1
=
CDCA
.
c, Ta có:
0].;[ =CDCBCA
nên
CDCBCA ,,
đồng phẳng nên A, B,
C, D đồng phẳng.
Bài 3.
a, Đường thẳng ∆ đi qua M
0
(3, -1, 4), có vtcp
u
= (1,2,0) và đường

thẳng ∆’ đi qua M
0
’(1, 1, 2) có vtcp
'u
= (1, 1, 2) nên dễ thấy:
[
u
,
'u
].
/
00
MM
≠ 0 nên hai đường thẳng này chéo nhau.
b, Mặt phẳng (α) đi qua ∆ song song với ∆’ có vtpt
n
= [
u
,
'u
] =
(4, -1, -1) nên nó có pttq: 4x - 2y - x + 10 = 0.
c, Mặt phẳng đi qua M
0
vuông góc với ∆ có pt: x + 2y - 3 = 0.
Trang 46
Trêng THPT Ngun §×nh ChiĨu H×nh Häc 12
<H> Mặt phẳng (α) đi qua ∆ song song với
∆’ có vtpt
n

= ? suy ra pttq của nó ?
<H> Mặt phẳng đi qua M
0
vuông góc với ∆
có pt là gì ?
<H> Khoảng cách giữa ∆ và ∆’ là: d = ?
Hoạt động 3. Hướng dẫn hs giải bài tập 4.
<H> Xác đònh một điểm mà dt đi qua, vtcp
của đường thẳng ∆, vtpt
n
của mp (α) ?
Suy ra vò trí tương đối của đt và mp ?
<H> Mặt phẳng đi qua M
0
vuông góc với ∆
có pt là gì ?
<H> Mp (β) chứa ∆ và vg với (α) có pt vtpt
n
= ? Suy ra pttq của nó ?
Vậy pt mp(β) là: 8x - 7y -11z - 22 = 0.
<H> Hình chiếu của ∆ trên mp(α) là gì ?
<H> Mp(α) là mp trung trực của AA’ ⇔ ?
Hoạt động 4. Hướng dẫn hs giải bài tập 9. a,
<H> Ta có:
AB
= ?
AC
= ?,
AD
= ? .

Vậy ta có: [
AB
;
AC
] = (-18, 36, 0).
<H> 4 điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ
diện khi nào ?
<H> Thể tích tứ diện là: V = ?
Gọi I(a, b, c) là tâm của mặt cầu ngoại tiếp
tứ diện A, B, C, D.
<H> Ta có: ?
nên nó có pttq: 4x - 2y - x + 10
= 0.
* có pt : x + 2y - 3 = 0.
* d =
|]',[|
|].',[|
'
0
uu
MMuu
o
=
21
20
.
* Đường thẳng ∆ đi qua M
0
(12,
9, -1), có vtcp

u
= (4,3,1) và
mp(α) vtpt
n
= (3, 5, -1).
* Đường thẳng và mp cắt nhau.
* Mặt phẳng đi qua M
0
vuông
góc với ∆ có pt: 4x + 3y - z - 9
= 0.
* vtpt
n
= (8, -7, -11).
Vậy pt mp(β) là: 8x - 7y -11z -
22 = 0.
* Hình chiếu của ∆ trên mp(α)
là giao tuyến của hai mp(α) và
(β).
* Khi A’ đối xứng với A qua
(α).
*
AB
=(-6, 3, 3),
AC
= (-4, 2,
-4),
AD
= (-2, 3, -3).
* Khi

AB
,
AC
,
AD
không đồng
phẳng ?
* V =
6
1
|[
AB
;
AC
].
AD
| = 12.
d, Khoảng cách giữa ∆ và ∆’ là: d =
|]',[|
|].',[|
'
0
uu
MMuu
o
=
21
20
.
Bài tập 4.

a, Đường thẳng ∆ đi qua M
0
(12, 9, -1), có vtcp
u
= (4,3,1) và
mp(α) vtpt
n
= (3, 5, -1) nên nó chúng cắt nhau.
Toạ độ giao điểm của mp(α) và dt ∆ là ngiệm của hpt:





−
−
=
−
=
−
=−−+
1
1
3
9
4
12
0253
zyx
zyx

⇔





−=
=
=
2
0
0
z
y
x
.
b, Mặt phẳng đi qua M
0
vuông góc với ∆ có pt: 4x + 3y - z - 9 = 0.
c, Mp (β) chứa ∆ và vg với (α) có pt vtpt
n
= (8, -7, -11). Vậy pt
mp(β) là: 8x - 7y -11z - 22 = 0.
Hình chiếu của ∆ trên mp(α) là giao tuyến của hai mp(α) và (β)
nên nó có pt là:



=−−+
=−−−

0253
0221178
zyx
zyx
.
d, Mp(α) là mp trung trực của AA’ ⇔ A’ đối xứng với A qua (α).
Phương trình đường thẳng d đi qua A vg với mp(α) là:





−−
+=
t
t
tx
1
5
31
.
Tham số t ứng với giao điểm H của d với (α) là nghiệm của pt:
3(1+3t) + 25t - (-1 -t) - 2 = 0 ⇔ t =
35
2−
.
Vậy toạ độ điểm H là:







−−
35
31
,
7
4
,
35
23
, suy ra toạ độ điểm A’ là:






−−
35
31
,
7
4
,
35
23
.
Bài 9.

a, Ta có:
AB
=(-6, 3, 3),
AC
= (-4, 2, -4),
AD
= (-2, 3, -3).
Trang 47
Trêng THPT Ngun §×nh ChiĨu H×nh Häc 12
<H> Bán kính của mặt cầu: R = ?.
Vậy pt mcc cần tìm là ?
: (x - 2)
2
+ (y + 1)
2
+ (x - 3)
2
= 17.
<H> Mặt phẳng (ABC) có vtpt:
n
= ?
Suy ra ptmp(ABC) ?
Suy ra pt đường tròn ?
[
AB
;
AC
] = (6, 12, 0) đi qua điểm C(2, 0,
-1) nên nó có pt: 6x + 12y - 12 = 0 ⇔ x + 2y
- 2 = 0.

Bước 4. Củng cố.
Nắm vững phương trình mcc, giao của mp
và mcc.
Làm hết các bài tập agk.
* Ta có:





=
=
=
22
22
22
IDIA
ICIA
IBIA
⇔





=
−=
=
3
1

2
c
b
a
.
Bán kính của mặt cầu: R = IA =
17
.
* Vậy pt mcc cần tìm là: (x - 2)
2
+ (y + 1)
2
+ (x - 3)
2
= 17.
* vtpt:
n
= [
AB
;
AC
] = (6, 12,
0)
pt: 6x + 12y - 12 = 0 ⇔ x + 2y -
2 = 0.
* Vậy đường tròn (C) qua ba
điểm A, B, C có pt là:




=+
=+++
02-2yx
17 3) -(x 1) (y 2) -(x
222
Vậy ta có: [
AB
;
AC
] = (-18, 36, 0).
Do đó: [
AB
;
AC
].
AD
= -72 ≠ 0 nên 4 điểm A, B, C, D là 4 đỉnh
của một tứ diện.
b, Thể tích tứ diện là: V =
6
1
|[
AB
;
AC
].
AD
| = 12.
c, Gọi I(a, b, c) là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A, B, C, D.
Ta có:






=
=
=
22
22
22
IDIA
ICIA
IBIA
⇔





=
−=
=
3
1
2
c
b
a
.

Bán kính của mặt cầu: R =
17
.
Vậy pt mcc cần tìm là: (x - 2)
2
+ (y + 1)
2
+ (x - 3)
2
= 17.
d, Mặt phẳng (ABC) có vtpt:
n
= [
AB
;
AC
] = (6, 12, 0) đi qua
điểm C(2, 0, -1) nên nó có pt: 6x + 12y - 12 = 0 ⇔ x + 2y - 2 = 0.
Vậy đường tròn (C) qua ba điểm A, B, C có pt là:



=+
=+++
02-2yx
17 3) -(x 1) (y 2) -(x
222
.
Đường thẳng d qua I vuông góc với (α) có pt:






=
+−=
+=
3
21
2
z
ty
tx
.
Tâm của đường tròn (C) có tâm là giao điểm của d và (α) có toạ
độ (






− 3,
5
1
,
5
12
.
Tuần học thứ: 33. Ngày soạn: 19/4. Tiết chương trình: 52-53-54-55-56-57

ÔN TẬP HỌC KÌ II
I. Mục tiêu bài dạy
* Hướng dẫn học sinh ôn tập, hệ thống và củng cố lại các kiến thức đã học trong HKII.
Trang 48
Trêng THPT Ngun §×nh ChiĨu H×nh Häc 12
* Rèn luyện và phát triển tư duy trừu tượng, kó năng tính toán cho học sinh.
II. Chuẩn bò của giáo viên và học sinh
* Học đọc bài và soạn bài trước ở nhà.
* Giáo viên nghiên cứu sách giáo khoa + tài liệu có liên quan, chuẫn bò bảng phụ và các phương tiện dạy học khác.
III. Tiến trình bài dạy.
. Ổn đònh lớp : (1’)
Ổn đònh trật tự, kiểm tra só số.
. Kiểm tra bài cũ: (3’)
 Tiến hành dạy bài mới.
T
gian
Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Nội dung ghi bảng
Híng dÉn hs «n tËp l¹i c¸c kiÕn thøc vỊ ®-
êng th¼ng, ®êng trßn vµ ba ®êng c«nic
trong mỈt ph¼ng.
Gäi hs gi¶i bµi tËp 1.
<H> Vect¬ ph¸p tun cđa ∆ lµ g× ?
Suy ra vtpt cđa ®t d ?
VËy ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng d lµ g× ?
<H> §t ®i qua
)2;1(
0
−M
vµ vu«ng gãc víi
®êng th¼ng

012:)( =+− yxa
cã vect¬ ph¸p tun lµ g× ?
<H> §t ®i qua hai ®iĨm
)2;3(,)3;1( BA
.
Cã vtpt lµ g× ? Suy ra pttq cđa nã ?
XÐt bµi tËp 2.
<H> §Ĩ x¸c ®Þnh tËp vµ b¸n kÝnh cđa ®êng
trßn
01246
22
=−−++ yxyx
ta lµm ntn ?
• Vect¬ ph¸p tun cđa
)3;2(: =∆ n

• Nã còng chÝnh lµ vect¬ ph¸p
tun cđa ®êng th¼ng ph¶i t×m d.
* pt
)3;2(=n

lµ:
0832
0)2(3)1(2
=−+⇔
=−+−
yx
yx
<H> §i qua hai ®iĨm
)2;3(,)3;1( BA

. Ta cã:
)1;2( −=AB
Suy ra:
)2;1(=⊥ nAB

Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB ®i
qua
)3;1(A
vµ cã vect¬ ph¸p
tun
)2;1(=n

lµ:
0720)3(2)1(1
=−+⇔=−+−
yxyx
*
25)2()3(
25)44()96(
22
22
=−++⇔
=+−+++⇔
yx
yyxx
VËy ®êng trßn cã t©m
)2;3(−I
vµ b¸n kÝnh R = 5.
I. Ph ¬ng ph¸p to¹ ®é trong mỈt ph¼ng.
1/. ViÕt ph¬ng tr×nh cđa ®êng th¼ng trong mçi trêng hỵp sau:

a/. §i qua
)2;1(M
vµ song song víi ®êng th¼ng
0532: =++∆ yx
Vect¬ ph¸p tun cđa
)3;2(: =∆ n

còng chÝnh lµ vect¬ ph¸p
tun cđa ®êng th¼ng ph¶i t×m d.
Ph¬ng tr×nh cđa ®êng th¼ng d ®i qua
)2;1(M
vµ cã vect¬ ph¸p tun
)3;2(=n

lµ:
0832
0)2(3)1(2
=−+⇔
=−+−
yx
yx
b/. §i qua
)2;1(
0
−M
vµ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng
012:)( =+− yxa
Vect¬ ph¸p tun cđa
)2;1(:)( −=na


. Ta cã:
)1;2(' =⊥ nn

§êng th¼ng b ®i qua
)2;1(
0
−M
vµ vu«ng gãc víi (a) sÏ nhËn
)1;2(' =

n
lµm vect¬ ph¸p tun cã ph¬ng tr×nh lµ:
022
0)2(1)2(2
=−+⇔
=++−
yx
yx
c/. §i qua hai ®iĨm
)2;3(,)3;1( BA
. Ta cã:
)1;2( −=AB
Suy ra:
)2;1(=⊥ nAB

Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB ®i qua
)3;1(A
vµ cps vect¬ ph¸p tun
Trang 49
Trờng THPT Nguyễn Đình Chiểu Hình Học 12

Tơng tự cho đờng tròn

02364
22
=++ yxyx
?
Gọi hs giải bài tập 3.
Xét elíp
1
925
:)(
22
1
=+
yx
E
<H> Ta có: a = ?, b = ?, c = ?
Suy ra: các tiêu điểm, trục lớn, trục nhỏ,
Tâm sai của elíp.
Tơng tự cho elíp:
1
25169
:)(
22
2
=+
yx
E
Gọi hs giải bài tập 4.
Xét hỷpbol:

1
1625
:)(
22
=
yx
H
.
<H> Ta có: a= ?, b = ?, c = ?
Suy ra tiêu điểm
trục thực, trục ảo, tâm sai của hypebol.
Tơng tự cho hypebol:
1
916
:)'(
22
=
yx
H
*
02364
22
=++ yxyx
36)3()2(
36)96()44(
22
22
=++
=++++
yx

yyxx
Vậy đờng tròn có tâm
)3;2( I
và bán kính R = 6.
3/. Tìm tọa độ các tiêu điểm,
độ dài các trục và tâm sai của
elip:
a/.
1
925
:)(
22
1
=+
yx
E
Ta có:
416,39,525
======
cba
Vậy
)(
1
E
có: Tiêu điểm
)0;4(,)0;4(
21
FF
Trục lớn: 2a = 10. Trục bé: 2b =
6. Tâm sai:

5
4
==
a
c
e
*
41,416,525
=====
cba
Vậy
)(H
có: Tiêu điểm
)0;41(,)0;41(
21
FF
Trục thực: 2a = 10. Trục ảo: 2b
= 8. Tâm sai:
5
41
==
a
c
e
.
)2;1(=n

là:
0720)3(2)1(1 =+=+ yxyx
2/. Tìm tâm và bán kính của các đờng tròn:

a/.
01246
22
=++ yxyx
25)2()3(
25)44()96(
22
22
=++
=++++
yx
yyxx
Vậy đờng tròn có tâm
)2;3(I
và bán kính R = 5.
b/.
02364
22
=++ yxyx
36)3()2(
36)96()44(
22
22
=++
=++++
yx
yyxx
Vậy đờng tròn có tâm
)3;2( I
và bán kính R = 6.

3/. Tìm tọa độ các tiêu điểm, độ dài các trục và tâm sai của elip:
a/.
1
925
:)(
22
1
=+
yx
E
Ta có:
16925,9,25
22222
===== bacba
Suy ra:
416,39,525 ====== cba
Vậy
)(
1
E
có: Tiêu điểm
)0;4(,)0;4(
21
FF
Trục lớn: 2a = 10. Trục bé: 2b = 6. Tâm sai:
5
4
==
a
c

e
b/.
1
25169
:)(
22
2
=+
yx
E
có:
14425169,25,169
22222
===== bacba
Suy ra:
12144,525,13169 ====== cba
Vậy
)(
2
E
có: Tiêu điểm
)0;12(,)0;12(
21
FF
Trục lớn: 2a = 26. Trục bé: 2b = 10. Tâm sai:
13
12
==
a
c

e
.
4/. Tìm tọa độ các tiêu điểm, độ dài các trục và tâm sai của
hypebol:
a/.
1
1625
:)(
22
=
yx
H
.
Trang 50
Trêng THPT Ngun §×nh ChiĨu H×nh Häc 12
Híng dÉn hs «n tËp l¹i c¸c kiÕn thøc vỊ ®-
êng th¼ng, mỈt ph¼ng, mỈt cÇu trong
kh«ng gian.
Hướng dẫn hs giải bài tập1.
<H> 4 điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ
diện khi nào ?
<H> Thể tích tứ diện V = ?
Suy ra độ dài đường cao kẻ từ A của có :
Hướng dẫn hs giải bài tập ï 2.
Trong khäng gian cho hai mp:
(
α
) l màût phàóng cọ pt: Ax + By + Cz
+ D = 0 cọ vtpt
n

= (A; B; C). (
α
) l màût ’
phàóng cọ pt: A x + B y + C z + D = 0 cọ ’ ’ ’ ’
vtpt
'n
= (A ; B ; C ).’ ’ ’
<H> (
α
) v (
α
) càõt nhau ’ ⇔ ?
<H> (
α
) v (
α
) trng nhau ’ ⇔ ?.
<H> (
α
) v (
α
) song song ’ ⇔ ?
Gọi hs giải bài tập 2b.
<H> Mp (β) qua giao tuún ca hai mp: (
α
): 2x y + z + 1 = 0 v (–
α
):x + 3y z + 2 = ’ –
0 cọ pt dảng ?
<H> Mp (γ) qua giao tuún ca hai mp: (

α
): 2x y + z + 1 = 0 v (–
α
):x + 3y z + 2 = ’ –
• khi
ADACAB ],
≠ 0.
* Ta cọ thãø têch tỉï diãûn l:
|],[|
6
1
ADACABV =
=
2
1
.
* âäü di âỉåìng cao k tỉì A
l:
BCD
S
V3
= 1.
* (
α
) v (
α
) càõt nhau ’ ⇔
A:B:C :B :C .’ ’ ’
* (
α

) v (
α
) trng nhau ’ ⇔
'''' D
D
C
C
B
B
A
A
===
.
* (
α
) v (
α
) song song ’ ⇔
'''' D
D
C
C
B
B
A
A
≠==
.
Ta cã:
411625,16,25

22222
=+=+=== bacba
Suy ra:
41,416,525 ===== cba
VËy
)(H
cã: Tiªu ®iĨm
)0;41(,)0;41(
21
FF −
Trơc thùc: 2a = 10. Trơc ¶o: 2b = 8. T©m sai:
5
41
==
a
c
e
.
b/.
1
916
:)'(
22
=−
yx
H
Ta cã:
25916,9,16
22222
=+=+=== bacba

Suy ra:
525,39,416 ====== cba
VËy
)'(H
cã: Tiªu ®iĨm
)0;5(,)0;5(
21
FF −
Trơc thùc: 2a = 8. Trơc ¶o: 2b = 6. T©m sai:
4
5
==
a
c
e
.
II. Ph ¬ng ph¸p to¹ ®é trong kh«ng gian.
Bài tập 1. Cho 4 A(1; 0; 0); B(0; 1; 0); C(0; 0; 1); D(-2; 1; -1).
a, Chứng minh A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
b, Tìm góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ diện.
c, Tính thể tích của tứ diện và độ dài đường cao kẻ từ A của tứ
diện.
a) [
ADACAB ],
= -3 ≠ 0 Váûy ba vectå khäng âäưng phàóng hay
A; B; C; D l 4 âènh ca mäüt tỉï diãûn.
b, Gi α l gọc tảo båíi hai âỉåìng thàóng AB v CD. Ta
cọ: cosα =
2
1

nãn α =
4
π
.
Gi β l gọc tảo båíi hai âỉåìng thàóng BC v AD. Ta cọ:
cosβ =
22
2
.
c, Ta cọ thãø têch tỉï diãûn l:
|],[|
6
1
ADACABV =
=
2
1
.
Váûy âäü di âỉåìng cao k tỉì A l:
BCD
S
V3
= 1.
Bài 2. Cho hai màût phàóng: (
α
): 2x y + z + 1 = 0 v (–
α
):x + ’
Trang 51
Trêng THPT Ngun §×nh ChiĨu H×nh Häc 12

0 cọ pt dảng ?
Hướng dẫn hs giải bài tập3 .
<H> Hçnh chiãúu vng gọc ca âthàóng
â cho lãn mp: x + y + z - 7 = 0 l ?
<H> vtpt ca mp (P) l: ? Suy ra pttq ca
(P).
<H> Váûy pttq ca âthàóng cáưn tçm l: ?
Hướng dẫn hs giải bài tập 4
<H> Ta có:
AB
= ?
AC
= ?
<H> Vậy ta có: [
AB
;
AC
] = ? Suy ra pt
mp(ABC) ?
<H> 4 điểm A, B, C, S là 4 đỉnh của một tứ
diện khi nào ?
Gọi I(a, b, c) là tâm của mặt cầu ngoại tiếp
tứ diện A, B, C, D.
<H> Ta có điều gì ?
<H> Bán kính của mặt cầu: R = ?.
Vậy pt mcc cần tìm là ?
* Dạng: λ(2x y + z + 1) + – µ( x +
3y z + 2) = 0, – λ
2
+ µ

2
≠ 0.
* Dạng:
λ(2x y + z + 1) + – µ( x + 3y z +–
2) = 0, λ
2
+ µ
2
≠ 0
Hay (2λ + µ)x+(-λ + 3µ)y + (λ -
µ)z + (λ + 2µ) = 0.
* Hçnh chiãúu vng gọc ca
âthàóng â cho lãn mp: x + y
+ z - 7 = 0 l giao tuún ca
hai mp x + y + z - 7 våïi mp (P)
chỉïa ât v cọ mäüt vtcp l
u
= (1, 1, 1).
* Vtpt ca mp (P) l:
)3,1,2()
11
41
;
11
12
;
11
24
( −==n
.

*pt mp (P) l: 2x + y - 3z + 1 =
0.
* pttq ca âthàóng cáưn tçm
l:



=−++
=+−+
01
0132
zyx
zyx
.
* :
AB
=(-4, 0, -2),
AC
= (-1,
-4, -3),
[
AB
;
AC
] = (-8, -10, -16).
3y z + 2 = 0. –
a, Cm (
α
) v (
α

) càõt nhau.’
b, Viãút pt mp (β) qua giao tuún ca (
α
) v (
α
) v qua M(1, ’
2, 3).
c, Viãút pt mp (γ) qua giao tuún ca (
α
) v (
α
) v vng ’
gọc våïi mp: x y + 3z 2 = 0.– –
Gii: a, Ta cọ: 2:-1:1≠ 1:3:-1 nãn hai mp (
α
) v (
α
) càõt nhau.’
b, Mp (β) qua giao tuún ca hai mp: (
α
): 2x y + z + 1 = 0 v (–
α
):x + 3y z + 2 = 0 cọ pt dảng:’ –
λ(2x y + z + 1) + – µ( x + 3y z + 2) = 0, – λ
2
+ µ
2
≠ 0.
Vç mp (β) âi qua M(1, 2, 3) nãn 4λ + 6µ = 0.
Chn λ = 3 thç µ = -2. Váûy pt mp (β) l: 4x 9y z 1 = 0.– – –

c, Mp (γ) qua giao tuún ca hai mp: (
α
): 2x y + z + 1 = 0 v (–
α
):x + 3y z + 2 = 0 cọ pt dảng:’ –
λ(2x y + z + 1) + – µ( x + 3y z + 2) = 0, – λ
2
+ µ
2
≠ 0
Hay (2λ + µ)x+(-λ + 3µ)y + (λ - µ)z + (λ + 2µ) = 0.
Vç mp (γ) vng gọc våïi mp: x y + 3z 2 = 0 nãn – –
(2λ + µ) - (-λ + 3µ) + (λ - µ)3 = 0 ⇔ 6λ + 4µ = 0.
Chn λ = 2 thç µ = -3. Váûy pt mp (β) l: x 11y + 5z 4 = 0.– –
Bài tập 3. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường
thẳng



=+−
=++−
032
052
zx
zyx
lên mp: x + y + z - 1 = 0.
Hçnh chiãúu vng gọc ca âthàóng â cho lãn mp: x + y + z -
7 = 0 l giao tuún ca hai mp x + y + z - 7 våïi mp (P) chỉïa ât
v cọ mäüt vtcp l
u

= (1, 1, 1).
Váûy vtpt ca mp (P) l:
)3,1,2()
11
41
;
11
12
;
11
24
( −==n
.
Váûy pt mp (P) l: 2x + y - 3z + 1 = 0.
Váûy pttq ca âthàóng cáưn tçm l:



=−++
=+−+
01
0132
zyx
zyx
.
Bài 4. Trong không gian cho 4 điểm A(6, -1, -4), B(2, -1, -6), C(5,
-5, -7) và S(3, -5, -3).
a) Chứng minh A, B, C, S là 4 đỉnh của một tứ diện.
b) Viết phương trình mcc ngoại tiếp tứ diện.
c) Viết phương trình đường tròn (C) là giao tuyến của (S) và

mp(ABC).
Trang 52
Trêng THPT Ngun §×nh ChiĨu H×nh Häc 12
<H> Mặt phẳng (ABC) có vtpt:
n
= ?
Suy ra ptmp(ABC) ?
Suy ra pt đường tròn ?
[
AB
;
AC
] = (6, 12, 0) đi qua điểm C(2, 0,
-1) nên nó có pt: 6x + 12y - 12 = 0 ⇔ x + 2y
- 2 = 0.
Hướng dẫn hs giải bài tập 4d.
Hướng dẫn hs giải bài tập 5 <H> Xác đònh
một điểm và một vtcp của mỗi đường
thẳng ?
<H> Hai đường thẳng này chéo nhau khi
nào ?
<H> Mặt phẳng (P) đi qua ∆
1
và song song
với ∆
2
nên nó có vtpt
n
= ?
Suy ra pttq mp(P) ?

<H> Khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆
1

và ∆
2
là: d = d(M, ∆
1
) =
23
1611
|51221|
=
++
−−−
.
Hướng dẫn hs ôn tập lại góc giữa hai đường
thẳng.
• Khi S ∉ (ABC).
* Ta có:





=
=
=
22
22
22

IDIA
ICIA
IBIA
⇔





−=
−=
=
5
3
4
c
b
a
.
* R =3.
Vậy pt mcc cần tìm là: (x - 4)
2
+
(y + 3)
2
+ (x + 5)
2
= 9.
* Đường thẳng ∆
1

đi qua M
0
(-
23, -10, 0), có vtcp
u
= (8, 4, 1)
và đường thẳng ∆
2
đi qua M
0
’(3,
-2, 0) có vtcp
'u
= (2, -2, 1) nên
* [
u
,
'u
].
/
00
MM
≠ 0 nên hai
đường thẳng này chéo nhau.
Giải. a, Ta có: :
AB
=(-4, 0, -2),
AC
= (-1, -4, -3),
Vậy ta có: [

AB
;
AC
] = (-8, -10, -16).
Vậy pt mp(ABC): 4x + 5y - 8z - 51 = 0.
Dễ thấy S không thuộc mp này nên 4 điểm A, B, C và D không
đồng phẳng.
b, Gọi I(a, b, c) là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A, B, C, D.
Ta có:





=
=
=
22
22
22
IDIA
ICIA
IBIA
⇔





−=

−=
=
5
3
4
c
b
a
.
Bán kính của mặt cầu: R =3.
Vậy pt mcc cần tìm là: (x - 4)
2
+ (y + 3)
2
+ (x + 5)
2
= 9.
d, Mặt phẳng (ABC) có vtpt:
n
= [
AB
;
AC
] = (6, 12, 0) đi qua
điểm C(2, 0, -1) nên nó có pt: 6x + 12y - 12 = 0 ⇔ x + 2y - 2 = 0.
Vậy đường tròn (C) qua ba điểm A, B, C có pt là:



=+

=+++
02-2yx
17 3) -(x 1) (y 2) -(x
222
.
Đường thẳng d qua I vuông góc với (α) có pt:





=
+−=
+=
3
21
2
z
ty
tx
.
Tâm của đường tròn (C) có tâm là giao điểm của d và (α) có toạ
độ (






− 3,

5
1
,
5
12
.
Bài 5. Trong không gian cho hai đường thẳng: ∆
1
:



=+−
=+−
0104
0238
zy
zx
và ∆
2
:



=++
=−−
022
032
zy
zx

.
a, Chứng minh ∆
1
và ∆
2
chéo nhau.
b, Viết phương trình mp(P) chứa ∆
1
và song song với ∆
2
.
c, Tính khoảng cách giữa ∆
1
và ∆
2
.
d, Viết phương trình mặt phẳng ∆ song song với trục Oz và cắt cả
Trang 53
Trêng THPT Ngun §×nh ChiĨu H×nh Häc 12
Bước 4. Củng cố.
Nắm vững phương trình mcc, giao của mp
và mcc.
Làm hết các bài tập sgk.
* Mặt phẳng (P) đi qua ∆
1
và
song song với ∆
2
nên nó có vtpt
n

= [
u
,
'u
] = (6, -6, -24).
Vậy pttq mp(P) là: x - y -4z +13
= 0.
* Ta có: M(1, -2, 0) ∈ ∆
2
.
Khoảng cách giữa hai đường
thẳng ∆
1
và ∆
2
là: d = d(M, ∆
1
)
=
23
1611
|51221|
=
++
−−−
.
hai đường thẳng ∆
1
và ∆
2

.
Giải. a, Đường thẳng ∆
1
đi qua M
0
(-23, -10, 0), có vtcp
u
= (8, 4,
1) và đường thẳng ∆
2
đi qua M
0
’(3, -2, 0) có vtcp
'u
= (2, -2, 1) nên
dễ thấy:
[
u
,
'u
].
/
00
MM
≠ 0 nên hai đường thẳng này chéo nhau.
b, Mặt phẳng (P) đi qua ∆
1
và song song với ∆
2
nên nó có vtpt

n
=
[
u
,
'u
] = (6, -6, -24).
Vậy pttq mp(P) là: x - y -4z +13 = 0.
c, Ta có: M(1, -2, 0) ∈ ∆
2
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆
1

và ∆
2
là: d = d(M, ∆
1
) =
23
1611
|51221|
=
++
−−−
.
Bài tập làm thêm:
Bài 1. Cho hai mp(α) và mp(β) có pt: (α): 2x - y + 3z + 1 = 0,
(β): x + y - z + 5 = 0. và điểm M(1, 0, 5).
a, Tính khoảng cách từ M đến giao tuyến d của (α) và (β).
b, Tính góc giữa hai mp(α) và (β).

c, Viết phương trình mp đi qua giao tuyến của hai mp (α) và (β),
vuông góc với mp: 3x - y + 1 = 0.
d, Viết phương trình đường thẳng đi qua M vuông góc với giao
tuyến của (α) và (β) và cắt giao tuyến ấy.
Trang 54