Phương pháp RBF FD giải phương trình POISSON trong không gian hai chiều

Số hóa bởi trung tâm học liệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN







-


Chuyên ngành: Khoa học máy tính
Mã số: 60.48.01





Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:




THÁI NGUYÊN - 2013


Số hóa bởi trung tâm học liệu

i

TS. Oanh.
.
Thái Nguyên, ngày 15 tháng 9 năm 2013
Tác giả luận văn


Nguyễn Thị Minh Thùy















Số hóa bởi trung tâm học liệu

ii

i
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT iv
v

vii
MỞ ĐẦU 1
CHƢƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2
1.1. Điều kiện vật lý dẫn đến phƣơng trình Poisson 2
1.1.1. Bài toán truyền nhiệt trong thanh vật chất 2
1.1.2. Bài toán truyền nhiệt trong môi trƣờng phẳng 5
1.2. Một số định nghĩa 6
1.2.1. Nội suy dữ liệu phân tán 7
1.2.2. Ma trận xác định dƣơng và hàm xác định dƣơng 7
1.2.3. Hàm bán kính 8
1.2.4. Hàm xác định dƣơng 8
1.2.5. Hàm bán kính xác định dƣơng 8
1.3. Nội suy dữ liệu phân tán với hàm xác định dƣơng 10
12
1.4.1. Hệ phƣơng trình đại số tuyến tính 12
1.4.2. Các loại phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình đại số tuyến tính 14
1.4.3. Phƣơng pháp Gauss giải hệ phƣơng trình tuyến tính 14
1.4.4. Phƣơng pháp Jacobi giải hệ phƣơng trình đại số tuyến tính 17
1.4.5. Phƣơng pháp truy đuổi 3 đƣờng chéo giải hệ phƣơng trình đại số
tuyến tính 19
CHƢƠNG 2. PHƢƠNG PHÁP RBF-FD GIẢI BÀI TOÁN DIRICHLET
VỚI PHƢƠNG TRÌNH POISSON 22
2.1. Phƣơng pháp FD giải phƣơng trình Poisson trong miền chữ nhật 22


Số hóa bởi trung tâm học liệu

iii
2.1.1. Phát biểu bài toán 22
2.1.2. Rời rạc hóa bài toán Dirichlet 22

2.1.3. Lƣợc đồ sai phân hữu hạn giải bài toán Dirichlet với phƣơng trình
Poisson 23
2.2. Lƣợc đồ RBF-FD giải bài toán Dirichlet với phƣơng trình Poisson 23
23
2.2.2. Lƣợc đồ RBF-FD dựa trên hàm RBF 25
2.2.3. Ƣu nhƣợc điểm của phƣơng pháp RBF-FD 25
2.3. Thuật toán chọn tâm 26
CHƢƠNG 3. THỬ NGHIỆM SỐ 30
30
- 37
45
46






Số hóa bởi trung tâm học liệu

iv
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

BST
: Binary Search Tree
FD
: Fnite Different
Gauss
: Gaussian
IMQ

: Inverse Multiquadric
LLF
: Lee Liu Fan
MQ
: Multiquadric
RBF
: Radial Basis Function
W33
: Wendlend‟s C
6

















Số hóa bởi trung tâm học liệu

v

Hình 1.1: Thanh vật chất đặt trên trục
Ox
từ
xa
đến
x a L b
2
Hình 1.2: Bản mỏng vật chất có đƣờng biên là một đƣờng cong khép kín 5
h 30
(Adaptive) trong pdetoolbox 31
32
- -FD
[0,1]
2
32
(Adaptive) trong pdetoolbox 32
33
- -FD tr [0,1]
2
. 34
(Adaptive) trong pdetoolbox 34
35
- -
[0,1]
2
35
(Adaptive) trong pdetoolbox 36
-FD

36
- -FD
[0,1]
2
37
(Adaptive) trong pdetoolbox 37
3.14 38
3.16: B
(Adaptive) trong pdetoolbox 38


Số hóa bởi trung tâm học liệu

vi
3.16 39
(Adaptive) trong pdetoolbox 40
3.18 40
(Adaptive) trong pdetoolbox 41
3.20 41
(Adative) trong pdetoolbox 42
3.22 42
(Adaptive) trong pdetoolbox 43
3.24 43
(Adaptive) trong pdetoolbox 44
3.26 44
(Adaptive) trong pdetoolbox 45
3.28 45

Số hóa bởi trung tâm học liệu

vii



Bảng 1.1: Một số hàm cơ sở bán kính dùng trong báo cáo, trong đó
k
r x x
9
Bảng 1.2: Một số hàm cơ sở bán kính với tham số hình dạng >0 9







1

Số hóa bởi trung tâm học liệu

MỞ ĐẦU
Nhiều hiện tƣợng khoa học và kỹ thuật dẫn đến các bài toán biên của
phƣơng trình vật lý toán. Giải các bài toán đó đến đáp số bằng số là một yêu
cầu quan trọng của thực tiễn. Trong một số ít trƣờng hợp thật đơn giản, việc
đó có thể làm đƣợc nhờ vào nghiệm tƣờng minh của bài toán dƣới dạng các

công thức sơ cấp, các tích phân hoặc các chuỗi hàm. Còn trong đại đa số
trƣờng hợp khác, đặc biệt là đối với các bài toán có hệ số biến thiên, các bài
toán phi tuyến, các bài toán trên miền bất kỳ thì nghiệm tƣờng minh của bài
toán không có, hoặc có nhƣng rất phức tạp. Trong những trƣờng hợp đó việc
tính nghiệm phải dựa vào các phƣơng pháp giải gần đúng.
. Tuy nhiê
.
Muốn sử dụng các phƣơng pháp trên ta cần một lƣới các điểm. Vì vậy
cần chi phí cho sinh lƣới, duy trì lƣới và cập nhật lƣới. Hơn nữa trong trƣờng
hợp miền có hình học phức tạp thì việc sinh lƣới, duy trì lƣới và cập nhật lƣới
gặp khó khăn và thậm chí nghiệm xấp xỉ thu đƣợc khác xa nghiệm chính xác.
S tìm hiểu -
.
3 chƣơng:
Chƣơng 1:
Chƣơng 2: Phƣơng p -

Chƣơng 3:
2

Số hóa bởi trung tâm học liệu

CHƢƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Điều kiện vật lý dẫn đến phƣơng trình Poisson
1.1.1. Bài toán truyền nhiệt trong thanh vật chất
Xét một thanh vật chất đồng chất, dài
L cm
, có thiết diện thẳng nhỏ
không đổi là

2
()S cm
, có khối lƣợng riêng là
3
( / )g cm
, có nhiệt dung là
0
( / . )C cal g C
. Xét một bộ phận vật chất có thể tích
3
()V cm
.
[9]
Nếu bộ phận đó
có nhiệt độ không đổi thì nhiệt độ
0
()uC
và nhiệt lƣợng
()H cal
của nó liên hệ
với nhau theo công thức:
H u CV
. (1.1)
Ngƣời ta quan sát thấy khi thanh vật chất có vùng nóng vùng lạnh thì
nhiệt lƣợng có khả năng khuếch tán từ vùng nóng sang vùng lạnh. Ta gọi suất
khuếch tán nhiệt là
2
( / ).k cm s

Chú ý 1: Đôi khi người ta cũng gọi

c k C
là suất dẫn nhiệt
0
[ / ( . . )]cal scm C
của vật chất.
Cả k và c đều là những tham số phản ánh khả năng truyền nhiệt của
vật chất.
Bây giờ giả sử thanh vật chất bị cách nhiệt khỏi môi trƣờng xung quanh, trừ
tại hai đầu mút. Xét diễn biến theo thời gian của phân bố nhiệt độ trong thanh.
Giả sử thanh vật chất đặt trên trục
Ox
từ
xa
đến
x a L b
nhƣ hình 1.1

Hình 1.1: Thanh vật chất đặt trên trục
Ox
từ
xa
đến
x a L b

Gọi
( , )u x t
là nhiệt độ của thanh tại điểm
x
ở thời điểm
t

.
3

Số hóa bởi trung tâm học liệu

Nhiệt truyền từ nơi có nhiệt độ cao tới nơi có nhiệt độ thấp hơn.
[9]
Sự
lan truyền nhiệt diễn ra dọc theo thanh vật chất tức là theo phƣơng
x
, và tuân
theo định luật truyền nhiệt thực nghiệm của Fourier:
Luồng nhiệt
2
( / ( . ))q cal cm s
theo phƣơng
x
(tức là nhiệt lƣợng khuếch tán
qua một đơn vị diện tích của thiết diện thẳng nhỏ
S
trong một đơn vị thời gian) tỉ
lệ với vận tốc biến thiên của nhiệt độ
u
dọc theo phƣơng
x
, tức là tỉ lệ với
u
x
:
u

q k C
x
, (1.2)
Dấu trừ (-) ở vế phải ý nói rằng nhiệt truyền theo chiều giảm của nhiệt độ.
Do có định luật bảo toàn nhiệt lƣợng nên có sự cân bằng nhiệt ở mỗi
phân tố nhỏ
Sx
của thanh từ
x
đến
xx
trong thời gian
t
. Sự cân bằng
này diễn đạt bằng công thức:
Nhiệt truyền vào phân tố - Nhiệt ra khỏi phân tố = Nhiệt tích lũy trong
phân tố.
Nhiệt truyền vào phân tố là
( , )q x t S t
;
Nhiệt ra khỏi phân tố là
( , )q x x t S t
;
Nhiệt tích lũy trong phân tố là
,S x C u
trong đó
u
là biến thiên của
nhiệt độ trong thời gian
t

.
Vậy có:
( , ) ( , )q x t S t q x x t S t S x C u
,
Chia cho
S x t
ta đƣợc:
( , ) ( , )q x t q x x t u
C
xt
,
Chuyển qua giới hạn (bằng cách cho
0x
,
0
t
) ta có:
qu
C
xt
,
4

Số hóa bởi trung tâm học liệu

Áp dụng định luật Fourier (1.2) ta suy ra:
2
2
uu
k

xt
,
, 0, ons 0a x b t k c t
(1.3)
Phƣơng trình (1.3) mô tả hiện tƣợng truyền nhiệt trong thanh vật chất
đồng chất, gọi là phƣơng trình truyền nhiệt của thanh, còn gọi là phƣơng trình
truyền nhiệt một chiều.
Chú ý 2: Khi
onsk c t
thì phƣơng trình (1.3) có dạng:
( ) ;
uu
k
x x t

,a x b t o
(1.4)
Nói chung
k
phụ thuộc x, t, u nghĩa là
( , , )k k x t u
và phƣơng trình
truyền nhiệt trong thanh vật chất có dạng:
[ ( , , ) ] ;
uu
k x t u
x x t

a x b
, t > 0 (1.5)

quát hơn, khi thanh vật chất còn có một nguồn nhiệt (sinh hay
hấp thụ nhiệt) đặc trƣng bởi hàm
( , )f x t
thì ta có phƣơng trình:
[ ( , , ) ] + f(x,t,u) = ;
uu
k x t u
x x t

,0a x b t
(1.6)
Nếu k và f không phụ thuộc u thì ta có phƣơng trình truyền nhiệt
tuyến tính:
[ ( , ) ] ( , ) ( , ),
uu
k x t q x t u f x t
t x x

,0a x b t
(1.7)
Nếu trong môi trƣờng truyền nhiệt còn có hiện tƣợng đối lƣu thì có
phƣơng trình :
[ ( , ) ]+ r(x,t) ( , ) ( , ),
u u u
k x t q x t u f x t
t x x x

a xb
, t > 0 (1.8)
Trong đó số hạng

( , )
u
r x t
x
mô tả hiện tƣợng đối lƣu.
5

Số hóa bởi trung tâm học liệu

1.1.2. Bài toán truyền nhiệt trong môi trường phẳng
Nay ta thay thanh vật chất bằng 1 “bản mỏng” vật chất có đƣờng
biên là một đƣờng cong khép kín , đặt trong mặt phẳng
Oxy
(hình 1.2).
[9]

Hình 1.2: Bản mỏng vật chất có đường biên là một đường cong khép kín
, đặt trong mặt phẳng
Oxy

Khi đó ta có phƣơng trình truyền nhiệt trong môi trƣờng phẳng đồng chất:
22
22
( ), ( , ) , 0,
u u u
k x y t k const
t x y
, (1.9)
Hay trong trƣờng hợp tổng quát hơn:
12

[ ( , , , ) ]+ [ ( , , , ) ]+ ( , , , ),( , ) , 0
u u u
k x y t u k x y t u f x y t u x y t
t x x y y
, (1.10)
Hay khi
12
,,k k f
không phụ thuộc
u
thì có phƣơng trình tuyến tính:
12
[ ( , , ) ]+ [ ( , , ) ]- ( , , ) + ( , , ),( , ) , 0
u u u
k x y t k x y t q x y t u f x y t x y t
t x x y y
. (1.11)
Các phƣơng trình (1.9), (1.10), (1.11) còn gọi là phƣơng trình truyền
nhiệt hai chiều.
Phương trình truyền nhiệt dừng
Nếu đến một lúc nào đó phân bố nhiệt độ trên thanh vật chất, bản mỏng
vật chất đã ổn định không thay đổi theo thời gian nữa thì ta nói hiện tƣợng
truyền nhiệt đã dừng.
[9]
6

Số hóa bởi trung tâm học liệu

Từ lúc đó nhiệt độ không thay đổi theo thời gian nên
0

u
t
, và do đó
ta có các phƣơng trình truyền nhiệt dừng nhƣ sau:
Trong trƣờng hợp một chiều ta có:
2
2
0
du
dx
, a < x < b (1.12)
Hay
, ( , )
d du
k x u f u x
dx dx
, a < x < b (1.13)
Hay
( ) ( )
d du
k x q x u f x
dx dx
, a < x < b (1.14)
Trong trƣờng hợp hai chiều ta có:
22
22
0
uu
xy
, (x, y) (1.15)

Hay
12
k , , + k , , = ( , , )
y
uu
x y u x y u f x y u
x x y
, (x, y) (1.16)
Hay
12
, k , - ( , ) ( , )
uu
k x y x y q x y u f x y
x x y y
, (x, y) (1.17)
Phƣơng trình (1.15) còn có tên là phƣơng trình Laplace hai chiều.
Khi vế phải của (1.15) khác 0 ta có phƣơng trình :
22
22
( , ),
uu
f x y
xy
(x, y) (1.18)
Ngƣời ta gọi chúng là phƣơng trình Poisson hai chiều.
1.2. Một số định nghĩa
Cho miền trong không gian Ơcơlit
d
R
với biên . Ta sẽ dùng thuật

7

Số hóa bởi trung tâm học liệu

ngữ “Tâm” nhƣ là một điểm thuộc miền .
1.2.1. Nội suy dữ liệu phân tán
Cho bộ dữ liệu
,
ii
xy
,
1, 2, ,in
,
d
i
xR
,
i
yR
, trong đó
i
x
là các
vị trí đo,
i
y
là các kết quả tại vị trí đo. Cho
12
, , ,
n

B B B
là các hàm cơ sở của
không gian tuyến tính các hàm liên tục
d
biến.
[6]
Ký hiệu:
12
1
, , , ,
n
n k k k
k
F span B B B c B c R
;
Bài toán nội suy: tìm hàm
Pf F
sao cho
ii
Pf x y
,
1, 2, ,in
; (1.19)
Vì
Pf F
nên:
1
()
n
kk

k
Pf x c B x
,
d
xR
; (1.20)
Từ (1.19) và (1.20) ta có:
,Ac y
(1.21)
trong đó:
1 1 1
1
( ) ( )

( ) ( )
n
n n n
B x B x
A
B x B x


(1.22)

1
,
T
n
c c c

1
, ,
T
n
y y y
.
Hệ phƣơng trình (1.21) và (1.22) có nghiệm duy nhất nếu
detA 0
.
1.2.2. Ma trận xác định dương và hàm xác định dương
Định nghĩa 1:
[6]
Ma trận giá trị thực, đối xứng A được gọi là nửa xác
định dương nếu dạng toàn phương tương ứng là không âm:
n
j
n
k
jkkj
Acc
1 1
0
(1.23)
8

Số hóa bởi trung tâm học liệu

Với c = (c
1
, ,c

n
)
T
. Ma trận A được gọi là xác định dương khi và chỉ
khi c = (0, ,0)
T
.
Tính chất quan trọng của ma trận xác định dƣơng là nó có tất cả các giá
trị riêng đều dƣơng và không suy biến.
Định nghĩa 2: Hàm : R
d
R liên tục, được gọi là xác định dương
trên R
d
nếu và chỉ nếu nó là hàm chẵn và với mọi bộ tâm phân biệt từng đôi
một X =
12
, , ,
d
n
x x x R
,
nN
và mọi véc tơ c =
12
, , ,
n
n
c c c R
thì dạng

toàn phương
11
( ) 0
nn
j k j k
jk
c c x x
(1.24)
Và công thức (1.24) là đẳng thức khi và chỉ khi c là véc tơ 0.
1.2.3. Hàm bán kính
Hàm
:
d
RR
đƣợc gọi là hàm bán kính nếu tồn tại hàm một biến
: 0, R
sao cho
xx
với mọi
.
d
xR
[6]
1.2.4. Hàm xác định dương
Hàm
:
d
RR
liên tục, gọi là xác định dƣơng trên
d

R
nếu và chỉ nếu nó
là hàm chẵn và với mọi bộ tâm phân biệt từng đôi một
12
, , , ,
d
n
X x x x R n N

và mọi véc tơ c
12
, , ,
n
n
c c c R
thì dạng toàn phƣơng:
11
0
nn
j k j k
jk
c c x x

1.2.5. Hàm bán kính xác định dương
Ta ký kiệu:
( ) ( )
k k k
x x x x x
với
1,2, ,kn

,
d
xR
(1.25)
Khi đó, nội suy hàm số dựa trên các hàm cơ sở bán kính có nghĩa là
tìm hàm:
9

Số hóa bởi trung tâm học liệu

11
()
nn
k k k k
kk
Pf x c x c x x

thỏa mãn điều kiện (1.19)
Lƣu ý 1.1:
1. Hàm cơ sở phải gắn liền với đối tƣợng nghiên cứu. Vì vậy, để giải
phƣơng trình đạo hàm riêng thì các hàm cơ sở bán kính phải là các hàm khả vi
liên tục và thậm chí là khả vi liên tục vô hạn lần.
2. Để bài toán nội suy có nghiệm duy nhất, ta cần chọn hàm Φ phù
hợp sao cho det A ≠ 0.
Bảng 1.1: Một số hàm cơ sở bán kính dùng trong báo cáo, trong đó
k
r x x

Tên hàm
Viết tắt

Định nghĩa
Multiquadric
MQ
mq
(r) =
2
1r

Inverse multiquadric
IMQ
imq
(r) = 1/
2
1r

Gaussian
Gauss
g
(r) =
2
r
e

Wendland‟C
6

W33
w33
(r) =
8

1 r
(32r
3
+ 25r
2
+ 8r + 1)
Vì hàm (x) vẫn là xác định dƣơng khi
r
đƣợc nhân một số lớn hơn
không, nên một tham số hình dạng >0 đƣợc đƣa vào hàm và ta có bảng
1.2 tƣơng ứng.
Bảng 1.2: Một số hàm cơ sở bán kính với tham số hình dạng >0
Tên hàm
Viết tắt
Định nghĩa
Multiquadric
MQ
mq
( r) =
22
r

Inverse multiquadric
IMQ
imq
( r) = 1/
22
r

Gaussian

Gauss
g
( r) =
2
()r
e

10

Số hóa bởi trung tâm học liệu

Wendland‟C
6

W33
8
32
w33
r 1 r 32 ( r) 25 ( r ) 8 r 1

Giả sử
()x
là hàm xác định dƣơng và đƣợc xác định theo công thức
(1.25). Khi đó mà trận A của bài toán nội suy theo hàm
()x
có dạng.

1
12
21

2
12
()
(0) ( )
()
()
(0)

( ) ( ) (0)
n
n
nn
xx
xx
xx
xx
A
x x x x

(1.26)
C =
1
, ,
T
n
cc
, y =
1
, ,
T

n
yy

Theo định nghĩa hàm xác định dƣơng thì det A ≠ 0, hơn nữa A là ma
trận đối xứng và xác định dƣơng.
1.3. Nội suy dữ liệu phân tán với hàm xác định dƣơng
Nội suy dựa trên hàm cơ sở bán kính với độ chính xác đa thức có nghĩa
là cần tìm
P f(x) =
11
()
nM
kk
k
c x x d p x


,
d
xR
,
trong đó
1
1
1
1!
dim
1 ! !
d
dm

m
m
dm
MC
md
là số chiều của không gian các
đa thức có bậc ≤ m – 1 của d biến và
1, 2
, ,
M
p p p
là cơ sở của không gian đó.
Theo điều kiện nội suy nên ta có P f(x
i
) = y
i
, i = 1, 2,…., n, dẫn đến hệ
n phƣơng trình với n + M ẩn c
k
và
d

. Để đƣợc sự “chính xác” về nội suy về
các tâm, ta thêm các điều kiện
( ) 0
kk
c p x

,
1,2, ,M

.
Do đó ta có điều kiện nội suy suy rộng
11

Số hóa bởi trung tâm học liệu

11
()
nM
k i k i
k
c x x d p x


= y
i
,
, 1, 2, ,
d
x R i n

()
kk
c p x

= 0,
1, 2, ,M

12
( ), ( ), 1, 2, , , 1, 2, , , ( , , , )

T
i i i M
P p p p x M i n d d d d
  


Đây là hệ n + M phƣơng trình đối với các ẩn số
12
, ,
n
c c c
và
12
, , ,
M
d d d
. Hệ này có thể viết trong dạng
00
T
A P c y
Pd

Định nghĩa (Hàm xác định dƣơng có điều kiện)
()x
đƣợc gọi là xác định dƣơng có điều kiện bậc

nếu với mọi bộ
tâm phân biệt từng đôi một
12
, , , ,

d
n
x x x R n N
, mọi véctơ
12
, , ,
n
n
c c c c R
và mọi đa thức P giá trị thực bậc nhỏ hơn

, thỏa mãn
1
0
n
jj
j
c p x

Thì:
11
0
nn
j k j k
jk
c c x x
(1.27)
và công thức (1.27) là đẳng thức khi và chỉ khi c là véc tơ 0.
Nhận xét:
Nếu một hàm là xác định dƣơng có điều kiện bậc


trong không gian
R
d
thì nó sẽ là xác định dƣơng có điều kiện với mọi bậc lớn hơn

. Cụ thể là
nếu một hàm là xác định dƣơng
0
thì sẽ là xác định dƣơng với mọi bậc 1.
Ma trận A với các phần tử
,j k j k
A x x
tƣơng đƣơng với hàm chẵn,
liên tục và xác định dƣơng có điều kiện bậc

, có thể đƣợc xem nhƣ là hàm
xác định dƣơng trên không gian véc tơ c sao cho

1
0
n
jj
j
c p x

12

Số hóa bởi trung tâm học liệu

Trong đó p là đa thức bậc nhỏ hơn


1.4. phƣơng pháp số trong đại số tuyến tính
1.4.1. Hệ phương trình đại số tuyến tính
Xét một hệ phƣơng trình gồm n phƣơng trình tuyến tính với n ẩn số
12
,
n
x x x
[10]
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2




nn
nn
n n nn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
(1.28)
Hệ phƣơng trình này có thể viết dƣới dạng ma trận Ax = b, trong đó
11
21
1
.

n
a
a
a

12
22
2
.
n
a
a
a






1
2
.
n
n
nn
a
a
a
, x =
1

2
.
n
x
x
x
, b =
1
2
.
n
b
b
b
.
Nếu det A ≠ 0 thì hệ phƣơng trình có nghiệm duy nhất và nghiệm của
nó có thể tính theo công Cramer
x
j
=
det
det
j
A
A

trong đó A
j
là ma trận nhận đƣợc từ ma trân A bằng cách thay cột thứ j
bởi cột b.

Một số dạng đặc biệt của ma trận
Ma trận đƣờng chéo: Ma trận vuông cấp n mà mọi phần tử nằm ngoài
đƣờng chéo chính bằng 0, tức là a
ij
= a
ji
= 0 với i ≠ j, đƣợc gọi là ma trận
đƣờng chéo.
Nếu mà trận đƣờng chéo có a
ii
= 1 (i = 1,…,n) thì ta gọi A là ma trận
đơn vị và ta thƣờng ký hiệu là E hoặc I
13

Số hóa bởi trung tâm học liệu


1
0
.
0
E

0
1
.
0

0
0
.
1


Ma trận tam giác trên: Ma trận vuông A đƣợc gọi là ma trận tam giác
trên, nếu A có dạng
11
0
.
0
a
A

12
22
.
0
a
a

1
2
.
n
n
nn
a
a
a

tức là a
ij
= 0 nếu i > j.
Ma trận tam giác dƣới: Tƣơng tự, ma trận vuông A đƣợc gọi là ma trận
tam giác dƣới, nếu A có dạng
11
21
1
.
n
a
a
A
a

22
2
0
.
n

a
a






0
0
.
nn
a

tức là a
ij
= 0 nếu i < j.
Ma trận thƣa: Ma trận thƣa là ma trận có rất nhiều phần tử bằng 0.
Trong trƣờng hợp, nếu a
ij
= 0 khi
i j m
và m<<n thì ma trận có tên gọi là
ma trận băng. Nếu m = 1 thì ma trận băng có dạng ba đƣờng chéo
11
21

0
0
a

a
A
……….
12
22

0
0
a
a
…
23
0

0
0
a
….
,1
0
0


nn
a

1,
0
0
nn

nn
a
a

Ma trận đối xứng: Ma trận A đƣợc gọi là đối xứng nếu
*
,AA
tức là a
ij

= a
ji
(i, j = 1,…, n).
14

Số hóa bởi trung tâm học liệu

Ma trận xác định dƣơng: Ma trận A đƣợc gọi là xác định dƣơng nếu
tích vô hƣớng (Ax, x) > 0 với mọi x ≠ 0.
Tiêu chuẩn Sylvestơ: Một ma trận là xác định dƣơng khi và chỉ khi tất
cả các định thức con góc đều dƣơng.
1.4.2. Các loại phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính
Ngƣời ta chia các phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình đại số tuyến tính
thành 2 loại: các phƣơng pháp trực tiếp và các phƣơng pháp lặp.
[10]
Phƣơng pháp trực tiếp là phƣơng pháp cho ta nghiệm đúng của hệ
phƣơng trình sau một số hữu hạn các phép tính (với giả thiết không có sai
số làm tròn).
Phƣơng pháp lặp là phƣơng pháp xây dựng một dãy vô hạn các xấp xỉ
x

(k)
, mà giới hạn của nó là nghiệm đúng của hệ.
Trong phần này ta nghiên cứu phƣơng pháp trực tiếp sau: phƣơng pháp
khử Gauss và một số biến dạng của nó để giải hệ phƣơng trình với ma trận ba
đƣờng chéo. Phƣơng pháp lặp đƣợc xét đến là phƣơng pháp Jacobi.
1.4.3. Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính
Ý tƣởng của phƣơng pháp khử Gauss là khử dần các ẩn để dƣa hệ ban
đầu về hệ với ma trận tam giác trên bằng các phép biến đổi tƣơng đƣơng nhƣ:
Đổi chỗ hai phƣơng trình bất kỳ
Nhân một phƣơng trình bất kỳ với một số khác không.
tổ hợp tuyến tính của một số
phƣơng trình khác.
Nhƣ vậy phƣơng pháp Gauss gồm 2 quá trình:
Quá trình thuận: đƣa hệ về dạng tam giác trên.
Quá trình ngƣợc: giải hệ tam giác trên từ dƣới lên trên.
Quá trình thuận: Để viết cho gọn ta xét hệ
15

Số hóa bởi trung tâm học liệu

11 1 12 2 1 1, 1
21 1 22 2 2 2, 21
1 1 2 2 , 1




n n n
n n n
n n nn n n n

a x a x a x a
a x a x a x a
a x a x a x a
(1.29)
Và đặt
0
ij ij
aa
(i = 1,…, n; j = 1,…, n+1)
Bước 1: Dùng phƣơng trình đầu tiên để khử x
1
trong n – 1 phƣơng trình
còn lại:
Giả sử a
11
≠ 0 (ta luôn có đƣợc điều này bằng cách đổi chỗ hai phƣơng trình).
Chia hai vế của phƣơng trình thứ nhất cho a
11
ta đƣợc phƣơng trình
1 12 2 1 1, 1

n n n
x b x b x b
(1.30)
với
00
1 1 11
/
jj
b a a

, (j = 2,…, n+1).
Cộng vào phƣơng trình thứ i của hệ (1.28) phƣơng tr (1.29) sau khi
đã nhân với
0
n
a
(i = 2,…, n) ta đƣợc hệ

1 1 1 1
22 2 23 3 2 2, 1
1 1 1 1
32 2 33 3 3 3, 1
1 1 1 1
2 2 3 3 , 1




n n n
n n n
n n nn n n n
a x a x a x a
a x a x a x a
a x a x a x a
(1.31)

với
1 0 0
ij ij il lj
a a a b

, (i = 2,…,n; j = 2,…, n+1) j
Nhƣ vậy sau bƣớc 1 ta thu đƣợc phƣơng trình (1.30) và hệ (1.31).
Bước 2: Dùng phƣơng trình đầu tiên trong (1.31) khử x
2
trong các
phƣơng trình còn lại tƣơng tự nhƣ đã làm trong bƣớc 1.
Quá trình đƣợc tiếp tục nhƣ vậy. Kết quả sau bƣớc thứ m ta thu đƣợc hệ
, 1 1 , , 1
1, 1 1 1, 1, 1
, 1 1 , 1




m m m m m n n m n
m m m
m m m m n n m n
m m m
n m m nn n n n
x b x b x b
a x a x a
a x a x a

16

Số hóa bởi trung tâm học liệu

Với
11
/

mm
mj mj mm
b a a
(j = m + 1,…, n + 1)
m m-1 1
ij ij
m
im mj
a a a b
(i = m + 1,…, n; j = m + 1,…, n + 1)
Cuối cùng, sau n bƣớc khử ta thu đƣợc hệ phƣơng trình với ma trận tam
giác trên sau đây

1 12 2 1 1, 1

n n n
x b x b x b


2 2 2, 1


n n n
x b x b
(1.32)

,1n n n
xb

Các hệ số đƣợc tính theo công thức

11
/
mm
mj mj mm
b a a
(m = 1,…, n; j = m + 1,…, n + 1)
m m-1 1
ij ij
m
im mj
a a a b
(i = m + 1,…, n; j = m + 1,…, n + 1) (1.33)
Các phần tử
1m
mm
a
(m = 1, ,n) đƣợc gọi là các phần tử trụ hay các phần
tử chủ đạo.
Quá trình ngược: Giải hệ (1.32) từ dƣới lên trên

,1
, 1 ,
1
( 1, ,1).
n n n
n
k k n k j j
jk
xb
x b b x k n

(1.34)
Khối lƣợng tính toán: Dễ thấy rằng số phép toán nhân, chia và trừ để
thực hiện quá trình thuận (1.33) là
2
1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 4 1 /6
n n n
m k k
n m n m n m k k k k k n n n

Số phép toán để thực hiện quá trình ngƣợc là n (n - 1).
Do đó, tổng số phép toán của phƣơng pháp Gauss là
32
4 9 7 /6n n n

hay cỡ
3
2 /3n
khi n đủ lớn.
Nhận xét 1: Trong quá trình thuận ta phải thực hiện phép chia cho phần
17

Số hóa bởi trung tâm học liệu

tử trụ. Nếu nó bằng 0 thì quá trình không thực hiện đƣợc. Ngoài ra nó có trị
tuyết đối nhỏ thì khi chia cho nó sai số làm tròn sẽ lớn, do đó có thể làm giảm
độ chính xác của nghiệm tìm đƣợc. Để khắc phục khó khăn trên ngƣời ta
thƣờng dùng phƣơng pháp Gauss với phần tử trụ có trị tuyết đối lớn nhất
trong cột. Khi đó thuật giải hệ phƣơng trình bằng phƣơng pháp Gauss có thể
tóm tắt nhƣ sau:

Thuận: Với m = 1, , n.
Tìm r để
1 m-1
im
ax a ,
m
rm
a m m i n
.
Nếu
1
0
m
rm
a
hệ suy biến.
Trong trƣờng hợp
1
0
m
rm
a
: nếu r = m thì ta giữ nguyên thứ tự các
phƣơng trình, còn nếu khác thì cần đổi chỗ hai phƣơng trình thứ r và m.
Tính
m
ij
,
mj
ba

theo các công thức (1.33).
Ngƣợc: Tính x
n
, x
n-1
,…, x
1
theo công thức (1.34)
Nhận xét 2: Trong phƣơng pháp khử Gauss ta sử dụng các phép biến
đổi lên ma trận nhƣ chia một hàng cho một số, trừ đi từ hàng một hàng khác
nhân với một số và đổi chỗ hai hàng. Do đó, định thức của ma trận A có thể
tính theo công thức
0 1 1
11 22
det 1 ,
k
n
nn
A a a a

Trong đó k là số lần đổi chỗ các hàng.
1.4.4. Phương pháp Jacobi giải hệ phương trình đại số tuyến tính
Ta viết hệ phƣơng trình Ax = b trong dạng chi tiết
ijii i j i
ji
a x a x b
, i = 1, 2,…, n. (1.35)
Khi đó xuất phát từ một xấp xỉ
0
x

bất kỳ có thể tính các thành phần
của các xấp xỉ tiếp theo của hệ từ phƣơng trình