Tính ổn định của phổ các số mũ đặc trưng của nghiệm phương trình vi phân tuyến tính

Số hóa bởi trung tâm học liệu />Số hóa bởi trung tâm học liệu />Số hóa bởi trung tâm học liệu />m
m
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Số hóa bởi trung tâm học liệu />n−
m
m
m m m
m
m n−
m − 1
Số hóa bởi trung tâm học liệu />e
αt
α α > 0 e
αt
→ +∞
t → +∞ α = 0 e
αt
= 1 t ≥ t
0
α < 0
e
αt
→ 0 t → +∞ α
e
αt
α e
αt
t → +∞
t → ∞ t → +∞ ∞ +∞
f(t)
[t
0

, ∞) t
0
−∞ |f(t)| = e
α(t).t
Số hóa bởi trung tâm học liệu />α(t) =
1
t
ln |f(t)| t
|f(t)| α(t)
−∞, ∞
χ[f] = lim
t→∞
1
t
ln |f(t)|
f(t)
χ[0] = −∞ ln 0 = −∞
χ[c t
m
] = 0 m c = 0
χ[c t
m
] = lim
t→∞
1
t
ln |c t
m
| = li m
t→∞

ln |c| + m ln |t|
t
= lim
t→∞
ln |c|
t
+ m lim
t→∞
ln |t|
t
= 0 + m.0 = 0.
χ[e
αt
] = α
χ[e
αt
] = lim
t→∞
1
t
ln |e
αt
| = lim
t→∞
αt
t
ln e = α.
χ[t
t
] = ∞

χ[t
t
] = lim
t→∞
1
t
ln |t
t
| = li m
t→∞
t ln |t|
t
= lim
t→∞
ln |t| = ∞.
χ[t
−t
] = −∞
χ[t
−t
] = lim
t→∞
1
t
ln |t
−t
| = − lim
t→∞
ln |t| = −∞.
χ[e

t
2
] = ∞
χ[e
t
2
] = lim
t→∞
1
t
ln |e
t
2
| = li m
t→∞
t
2
. ln e
t
= lim
t→∞
t = ∞.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />χ[e
±t sin t
] = 1
χ[e
t sin t
] = lim
t→∞
1

t
ln |e
t sin t
| = lim
t→∞
t sin t
t
ln e = lim
t→∞
sin t = 1.
χ[e
−t sin t
] = lim
t→∞
(− sin t) = 1.
χ[e
±t cos
1
t
] = 1
χ[e
±t cos
1
t
] = lim
t→∞
1
t
ln




e
±t cos
1
t



= lim
t→∞

± cos
1
t

= 1.
χ[e
te
sin t
] = e
χ[e
te
sin t
] = lim
t→∞
1
t
ln |e
te

sin t
| = lim
t→∞
e
sin t
= e.
χ[e
−te
sin t
] = −e
−1
χ[e
−te
sin t
] = lim
t→∞
1
t
ln |e
−te
sin t
| = lim
t→∞

−e
sin t

= −e
−1
.

χ[f] = α = ±∞ ε > 0
lim
t→∞
|f(t)|
e
(α+ε)t
= 0;
lim
t→∞
|f(t)|
e
(α−ε)t
= ∞ t
k
→ ∞
lim
t
k
→∞
|f(t
k
)|
e
(α−ε)t
k
= ∞.
α ε > 0
χ[f] ≤ α χ[f] ≥ α
f(t) α = ±∞ |f(t)|
e

(α+ε)t
t → ∞ t
k
→ ∞
e
(α−ε)t
Số hóa bởi trung tâm học liệu />f
1
(.), f
2
(.), . . . , f
n
(.)
[t
0
, ∞)
χ[f] = χ[|f|]
χ[cf] = χ[f] c = 0
|f
1
(t)| ≤ |f
2
(t)| t ≥ T ≥ t
0
χ[f
1
] ≤ χ[f
2
]
χ


n

i=1
f
i
(t)

≤ max
i
χ[f
i
(t)] 1 ≤ k ≤ n
χ[f
k
(t)] > χ[f
i
(t)] i = k, i = 1, . . . , n χ

n

i=1
f
i
(t)

= χ[f
k
(t)]
χ


n

i=1
f
i
(t)

≤
n

i=1
χ[f
i
(t)]
f(t)
χ[f] = lim
t→∞
1
t
ln |f(t)|.
f(.)
χ[f] + χ

1
f

= 0,
χ[fg] = χ[f] + χ[g],
f(.) g(.) [t

0
, ∞)
χ[e
αt
.f (t)] = α + χ[f].
f(t)
F (t) =
t

a
f(τ)dτ, a =

t
0
, χ[f] ≥ 0,
∞,
χ[f] < 0,
Số hóa bởi trung tâm học liệu />F (t) χ[F ] ≤ χ[f]
F (t) = [f
ij
(t)], i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m, m ≤ n,
f
ij
(t) [t
0
, ∞)
−∞, ∞
χ[F ] = max
i,j
χ[f

ij
]
F (t)
F (t) =

e
2t
e
t sin t
5 e
−t sin t

.
χ[F ] = max{χ[e
2t
], χ[e
t sin t
], χ[5], χ[e
−t sin t
]} = max{2, 1, 0, 1} = 2.
χ[F ] = χ[F
∗
] F
∗
F
χ[F ] = χ[||F ||]
A = [a
ij
] n × n
||A||

I
= max
i
n

j=1
|a
ij
|,
||A||
II
= max
j
n

i=1
|a
ij
|,
||A||
III
=


n

i,j=1
|a
ij
|

2


1
2
Số hóa bởi trung tâm học liệu />F
1
(t), . . . , F
n
(t) p × q
[t
0
, ∞)
χ

n

i=1
F
i
(t)

≤ max
i
χ[F
i
(t)] 1 ≤ k ≤ n
χ[F
k
(t)] > χ[F

i
(t)] i = k, i = 1, . . . , n χ

n

i=1
F
i
(t)

= χ[F
k
(t)]
χ

n

i=1
F
i
(t)

≤
n

i=1
χ[F
i
(t)]
˙x = A(t)x, t ≥ t

0
,
x(t) ∈ R
n
A(t) ∈ C
[t
0
,∞)
n × n
A(t) [t
0
, ∞)
A(t)
[t
0
, ∞) sup
t
||A(t)|| ≤ M x(t)
−M ≤ χ[x] ≤ M.
−∞ ∞
n x
i
(t) = (x
i1
(t), . . . , x
in
(t))
T
, i = 1, . . . , n
x

10
= ( 1, 0, . . . , 0)
T
, . . . , x
n0
= ( 0, 0, . . . , 1 )
T
F
T
F x(t)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />x(t) =
n

i=1
c
i
x
i
(t).
χ[x(t)] = χ

n

i=1
c
i
x
i
(t)


≤ max
1≤i≤n
χ[x
i
(t)].
α
1
≤ α
2
≤
. . . ≤ α
m
, m ≤ n
n n
n
n− R
n
A(t) ∈ C
[t
0
,∞)
, sup
t
||A(t)|| ≤ M
m ≤ n −∞ < α
1
≤ α
2
≤
. . . ≤ α

m
< ∞
n−
X(t) = {x
1
(t), x
2
(t), . . . , x
n
(t)}
n
k
α
k
, k = 1, . . . , m n
k
σ
X
=
m

k=1
n
k
α
k
,
m

k=1

n
k
= n
X(t)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />
˙x
1
˙x
2
˙x
3

=

1 0 0
0 2 0
0 0 3

x
1
x
2
x
3

⇔



˙x

1
= x
1
˙x
2
= 2x
2
˙x
3
= 3x
3
X
1
(t) = {(e
t
, 0, 0)
T
, (0, e
2t
, 0)
T
, (0, 0, e
3t
)
T
},
X
2
(t) = {(e
t

, 0, e
3t
)
T
, (0, e
2t
, e
3t
)
T
, (0, 0, e
3t
)
T
}.
X
1
(t) 1
2 3
X
2
(t) 3
σ
X
1
= 1.1 + 1.2 + 1.3 = 6, σ
X
2
= 3.3 = 9.
n σ

X
X(t)
X(t)
x
1
(t), x
2
(t), . . . x
n
(t)
k

i=1
c
i
x
i
(t), c
i
= 0, k ≤ n,
x
i
(t), i = 1, . . . , k
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Z(t) = {z
1
(t), z
2
(t), . . . , z
n
(t)}

C
C =




1 0 · · · 0
c
21
1
c
n1
· · · c
n,n−1
1




X(t) = Z(t) C = {x
1
(t), x
2
(t), . . . , x
n
(t)}
S =
n

i=1

α
i
=
m

k=1
n
k
α
k
, m ≤ n
n
X(t)
σ
X
≥ χ

e
t

t
0
A(τ) dτ

= lim
t→∞
1
t
t


t
0
A(u) du
A(t) =
n

k=1
a
kk
(t) A(t)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />x(t) ∈ R
n
A(t) ∈ C
[t
0
,∞)
sup
t≥t
0
||A(t)|| ≤ M
L(t)
L ∈ C
1
[t
0
,∞)
L(t) 1
[t
0
, ∞)

L(t), L
−1
(t)
˙
L(t) [t
0
, ∞)
sup
t
||L(t)|| < ∞,
sup
t
||L
−1
(t)|| < ∞,
sup
t
||
˙
L(t)|| < ∞, t
0
≤ t < ∞.
x = L(t)y
L(t) x y
˙y = B(t)y
x = L(t)y
B(t) = L
−1
(t) A(t) L(t) − L
−1

(t)
˙
L(t).
˙x = A(t)x ˙y = B(t)y
˙y = B(t)y ˙z = C(t)z ˙x = A(t)x
˙z = C(t)z
Số hóa bởi trung tâm học liệu />˙x = A(t)x ˙y = B(t)y
˙y = B(t)y ˙x = A(t)x
˙x = A(t)x ˙y = B(t)y
x = L(t)y ˙x = −A
∗
(t)x ˙y = −B
∗
(t)y
x = [L
−1
(t)]
∗
y
˙y = [p
1
(t), p
2
(t), . . . , p
n
(t)]y
X(t)
G(X)
||x
1

(t)||
2
.||x
2
(t)||
2
. . . ||x
n
(t)||
2
≥ ρ > 0, t ≥ t
0
,
G(X) =





x
1
x
1
x
1
x
2
· · · x
1
x

n
· · · · · · · · · · · ·
x
n
x
1
x
n
x
2
· · · x
n
x
n





x
i
(t) =

x
i
1
, · · · , x
i
n


T
x
i
x
j
=
n

k=1
x
i
k
x
j
k
i, j = 1, . . . , n
x(t) ∈ R
n
, A(t) ∈ C
[t
0
,∞)
, sup
t≥t
0
||A(t)|| ≤ M,
Số hóa bởi trung tâm học liệu />−∞ < λ
1
≤ λ
2

≤ . . . ≤ λ
n
< ∞,
˙y = [A(t) + Q(t)]y,
Q(t) ∈ C
[t
0
,∞)
, sup
t≥t
0
||Q(t)|| ≤ δ,
−∞ < λ
′
1
≤ λ
′
2
≤ . . . ≤ λ
′
n
< ∞.
λ
i
= λ
′
i
, i = 1, . . . , n
ε > 0 δ > 0
sup

t≥t
0
||Q(t)|| ≤ δ
|λ
i
− λ
′
i
| < ε, i = 1, . . . , n.
˙x = a(t)x x(t), a(t) ∈ R
x(t) = x(t
0
)e
t

t
0
a(τ) dτ
.
λ = χ[x] = lim
t→∞
1
t
t

t
0
a(τ) dτ.
˙y = [a(t) + q(t)] y, |q(t)| ≤ δ q(t) ∈ R, t ≥ t
0

,
y(t) = y(t
0
)e
t

t
0
[a(τ)+q(τ)] dτ
,
Số hóa bởi trung tâm học liệu />e
t

t
0
a(τ) dτ−δt
≤
y(t)
y(t
0
)
≤ e
t

t
0
a(τ) dτ+δt
.
t t → ∞
λ − δ ≤ λ

′
≤ λ + δ, |λ − λ
′
| ≤ δ.
y(t)
λ
′
= χ[y] = lim
t→∞
1
t
t

t
0
[a(τ ) + q(τ)] dτ.
||Q(t)|| → 0 t → ∞,
X(t) = {x
1
(t), x
2
(t), . . . , x
n
(t)}
χ[x
i
] = λ
i
, i = 1, . . . , n.
˙x = [A(t) + G

T
(t)]x,
G
T
(t) ≡ 0 t ≥ T ≥ t
0
[t
0
, T ) X
T
(t)
X
T
(T ) = X(T ) G
T
(t)
t ≥ T ≥ t
0
X
T
(t) ≡ X(t), t ≥ T ≥ t
0
.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />X(t) X(t) X
T
(t)
X
T
(t) X
T

(t)
||Q(t)|| → 0 t → ∞,
j
|λj − λ
′
j
| = a > 0.
ε =
a
2
δ > 0 sup
t≥t
0
||R(t)|| ≤ δ
α
1
≤ α
2
≤ . . . ≤ α
n
˙y = [A(t) + R(t)]y
|λ
i
− α
i
| <
a
2
, i = 1, . . . , n.
δ > 0 T ≥ t

0
||Q(t)|| < δ t ≥ T.
R(t)
||R(t)|| < δ t ∈ [t
0
, T ),
R(t) ≡ Q(t) t ≥ T.
α
i
= λ
′
i
, i = 1, . . . , n,
R(t) Q(t)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />

˙x
1
= −ax
1
,
˙x
2
= (sin ln t + cos ln t − 2a)x
2
,
t ≥ 1, 1 > a >
1
2
,


˙y
1
= −ay
1
,
˙y
2
= −e
−at
y
1
+ (sin ln t + cos ln t − 2a)y
2
,
1 < 2a < 1 +
1
2
e
−π
Q(t) =

0 0
−e
−at
0

.
||Q(t)|| → 0 t → ∞
x

1
= c
1
e
−at
,
x
2
= c
2
e
t sin ln t−2at
,
y
1
= c
1
e
−at
,
y
2
= e
t sin ln t−2at


c
2
+ c
1

t

1
e
−τ sin ln τ
dτ


,
c
1
, c
2
λ
1
= χ[x
1
] = χ[c
1
e
−at
] = χ[e
−at
] = −a,
λ
2
= χ[x
2
] = χ[c
2

e
t sin ln t−2at
] = χ[e
t sin ln t−2at
]
= lim
t→∞
1
t
ln |e
t sin ln t−2at
| = lim
t→∞
t sin ln t − 2at
t
ln e
= lim
t→∞
(sin ln t − 2a) = 1 − 2a,
λ
′
1
= χ[y
1
] = χ[c
1
e
−at
] = −a.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />lim

t→∞
|y
2
(t)| = ∞ c
1
= 0.
t
n
= e
(2n+
1
2
)π
, n = 0, 1, 2, . . .
e
(2n−
1
2
)π
≤ τ ≤ e
(2n−
1
6
)π
t
n
e
−π
≤ τ ≤ t
n

e
−2π
3
,
− sin ln τ ≥
1
2
·
t
n

1
e
−τ sin ln τ
dτ >
t
n
e
−2π
3

t
n
e
−π
e
−τ sin ln τ
dτ > (e
−2π
3

− e
−π
)t
n
e
1
2
t
n
e
−π
.
|y
2
(t)| > |c
1
|e
[1−2a+
1
2
e
−π
]t
n
t
n
→ ∞ n → ∞.
λ
′
2

= χ[y
2
] = lim
t→∞
1
t
ln |y
2
(t)| = ∞.
λ
2
= λ
′
2
Số hóa bởi trung tâm học liệu />˙x = [a
1
(t), a
2
(t), . . . , a
n
(t)]x,
x(t) ∈ R
n
, a
i
(t), i = 1, . . . , n
[t
0
, ∞)
a

k+1
(t) − a
k
(t) ≥ a > 0, k = 1, . . . , n − 1, t ≥ t
0
.
a
i
(t), i = 1, . . . , n
||Q(t)|| → 0 t → ∞
λ
′
i
= λ
i
= lim
t→∞
1
t
t

t
0
a
i
(τ) dτ, i = 1, . . . , n.
a
1
(t), a
2

(t) . . . , a
n
(t) [t
0
, ∞)
a > 0 d ≥ 0
t

s
[a
i+1
(τ) − a
i
(τ)] dτ ≥ a(t − s) − d,
t ≥ s ≥ t
0
, i = 1, . . . , n − 1
sin t 1 t ≥ s ≥ t
0
t

s
[1 − sin τ]dτ = (t − s) − (− cos t + cos s)
≥ (t − s) − (1 − 1) = (t − s).
Số hóa bởi trung tâm học liệu />a = 1, d = 0 sin t 1
t
k
=
π
2

+ k2π > 0
k = 0, 1, . . .
1 − sin t = 0.
x
1
(t), x
2
(t), . . .
x
n
(t) a > 0, d ≥ 1
||x
i+1
(t)||
||x
i+1
(s)||
:
||x
i
(t)||
||x
i
(s)||
≥ d.e
a(t−s)
, i = 1, . . . , n − 1,
t ≥ s ≥ t
0
˙x = [a

1
(t), a
2
(t), . . . , a
n
(t)]x
˙x = A(t)x
˙z = [p
1
(t), p
2
(t), . . . , p
n
(t)]z = P(t)z,
p
i
(t) =
d
dt
ln ||x
i
(t)||, i = 1, . . . , n.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />H−
p(t) [t
0
, ∞)
p
H
(t) =
1

H
t+H

t
p(τ )dτ
p(t) H(H > 0)
H−
A(t)
A
d
(t) = (a
d1
(t), . . . , a
dn
(t))
T
H > 0
A
H
d
(t) =
1
H
t+H

t
A
d
(τ) dτ.
x = e

t

t
0
[A
d
(τ)−A
H
d
(τ)] dτ
y
H−
L(t) = e
t

t
0
[A
d
(τ)−A
H
d
(τ)] dτ
.
A(t) [t
0
, ∞) A
d
(t)
A

H
d
(t) [t
0
, ∞)
t

t
0
[A
d
(τ) − A
H
d
(τ)]dτ a
di
(t)
i = 1, . . . , n
|a
di
(t)| ≤ M, t ≥ t
0
, i = 1, . . . , n,
Số hóa bởi trung tâm học liệu />