Về các nghiệm ψ mờ dần của hệ phương trình vi phân tuyến tính

1

Môc lôc

Trang

lêi nãi đầu ...........................................................................................2
Chơng 1. Một số kiến thức cơ bản của lý thuyết ổn định........................4
1.1. Tính ổn định của hệ phơng trình vi phân..............................................4
1.2.Tính ổn định về hệ phơng trình vi phân tuyến tính................................6
1.3. Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất..............................9
1.4. Tính ổn định của hệ phơng trình vi phân tuyến tính với ma
trận hằng.......................................................................................................10
Chơng 2. Tính - bị chặn và tính - mờ dầncủa hệ phơng trình
vi phân tuyến tính.......................................................................................12
2.1. Tính - bị chặn của hệ phơng trình vi phân tuyến tính......................12
2.2. Tính - mờ dần của hệ phơng trình vi phân tuyến tính......................32
kết luận.................................................................................................45
tài liệu tham khảo.........................................................................46

2

Lời nói đầu

Lý thuyết ổn định đóng vai trò quan trọng trong nhiỊu øng dơng thùc tiƠn,
lµ mét bé phËn quan träng của lý thuyết định tính của phơng trình vi phân. Với
những lí do trên lý thuyết ổn định đà và đang đợc quan tâm nghiên cứu mạnh mẽ
và đợc áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, nhất là trong lÜnh vùc kinh tÕ vµ
khoa häc kü thuËt, trong lÜnh vực sinh thái học và môi trờng... Nói một cách hình
tợng, một hệ thống đợc gọi là ổn định tại một trạng thái cân bằng nào đó nếu các
nhiễu nhỏ của các dữ kiện hoặc cấu trúc ban đầu của hệ thống không làm cho hệ

thống thay đổi nhiều so với hệ thống cân bằng đó. Bài toán ổn định hệ thống đợc
nhiều nhà toán học, đặc biệt là V.lyapunov nghiên cứu và đến nay đà trở thành
nột hớng nghiên cứu trong lý thuyết phơng trình vi phân, lý thuyết hệ thống và
ứng dụng. Đặc biệt từ những năm 60 của thế kỷ XX, ngời ta bắt đầu nghiên cứu
tính ổn định, ổn định hóa của hệ điều khiển.

Xét hệ phơng trình vi ph©n trong Rn .
x’ = f(t, x), t 0,

trong ®ã x = x(t)  R n , f : R Rn Rn là hàm vectơ cho trớc.
Khi đó các khái niệm ổn định, ổn định đều, ổn định tiệm cận đợc trình bày

đầy đủ và chi tiết trong các tài liệu nh: Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu, Phạm
Ngọc Bội...

Trong không gian hữu hạn chiều các kết quả về tính ổn định của phơng trình
vi phân tuyến tính:

x’(t) = A(t)x(t) + f(t),
với A(t), f(t) liên tục đợc viết đầy đủ và chi tiết.

Để nghiên cứu một cách tổng quát các kết quả trên ngời ta đa ra cách nhìn
khác nhằm mục đích mở rộng lớp phơng trình vi phân tuyến tính ổn định. Trong
khuôn khổ luận văn này chúng tôi nghiên cứu một số vấn đề sau: Xét hệ phơng
trình vi phân tuyến tính thì khi đó nghiên cứu tính - bị chặn trên R+ với hàm
f(t) là - bị chặn trên R+, và tính - mờ dần trên R+ với hàm f(t) là - mờ
dần trên R+. Với mục đích đó chúng tôi tiếp cận đề tài Về tính - mờ dần
nghiệm của hệ phơng trình vi phân tuyến tính.

Luận văn đợc chia thành hai chơng

Chơng 1. Một số kiến thức cơ bản của lý thuyết ổn định.

Chơng này chúng tôi hệ thống lại các kiến thức cơ bản của lý thuyết ổn định,
nhằm phơc vơ cho ch¬ng hai, gåm:

1.1. TÝnh ổn định của hệ phơng trình vi phân.

3

1.2. Tính ổn định của hệ phơng trình vi phân tuyến tính.
1.3. Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất.
1.4. Tính ổn định của hệ phơng trình vi phân tuyến tính với ma trận hằng.
Chơng 2. Tính - bị chặn và tính - mờ dầncủa hệ phơng trình vi phân
tuyến tính.
Đây là nội dung chính của luận văn, chơng này chúng tôi trình bày theo hai
mục sau:
2.1. Tính - bị chặn của hệ phơng trình vi phân tuyến tính.
2.2. Tính - mờ dần của hệ phơng trình vi phân tuyến tính.

Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn tận tình của Thầy giáo PGS.
TS. Phạm Ngọc Bội. Tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy - ngời
đà dành cho tác giả những sự quan tâm và giúp đỡ tận tình trong quá trình hoàn
thành luận văn.

Qua đây tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo trong
tổ Giải tich, trong khoa Toán và khoa Sau Đại học trờng Đại học Vinh cùng các
bạn học viên cao học 15 Toán, những ngời đà quan tâm, giúp đỡ tạo điều kiện
thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này.

Rất mong đợc sự góp ý chỉ bảo của các thầy cô giáo và bạn bè.

Vinh, tháng 12 năm 2009
Tác giả

ch¬ng 1
mét sè kiÕn thøc cơ bản của lý thuyết ổn định

1.1 Tính ổn định của hệ phơng trình vi phân
Xét hệ phơng trình vi phân

x' f (t, x), t 0 (1.1)

trong ®ã x x(t)  n ,f :  n  n là hàm véctơ cho tríc.



1.1.1 Định nghĩa 3 . Hàm x x(t) n xác định và khả vi trên khoảng (a,

b) đợc gọi là nghiệm của phơng trình (1.1) nếu
x'(t) f (t, x) , víi mäi t 0 .

4

Gi¶ thiÕt f(t,x) là hàm thoả mÃn các điều kiện sao cho bài toán Cauchy hệ
(1.1) với điều kiện ban đầu x(t0) = x0 , t0 0 lu«n cã nghiƯm duy nhÊt. Khi đó
dạng tích phân của nghiệm đợc cho bởi công thức:

t

x(t) x0  f (s, x(s))ds.
t0

1.1.2 Định nghĩa  1  . NghiÖm x(t),(a  t  ) của hệ (1.1) đợc gọi là ổn

định (theo nghĩa Liapunov) khi t (nói ngắn gọn là ổn định) nÕu víi mäi
  0 víi mäi t0 thuéc (a; ∞) tån t¹i (, t0) > 0 sao cho tÊt cả các

nghiệm y(t) của hệ (1.1) thoả mÃn điều kiện y(t0) x(t0) thì xác định

trong khoảng [t0, ∞) vµ y(t)  x(t)   khi t0  t < .
1.1.3. Định nghĩa ([1]). Nếu số nói trong định nghĩa (1.1.2) không phụ
thuộc vào t0, tức là = () thì nghiệm x(t) đợc gọi là ổn định đều.

1.1.4 Định nghĩa ([1]). Nghiệm x(t),(a t ) của hệ (1.1) đợc gọi là ổn
định tiệm cận (theo nghÜa Liapunov) khi t   (nãi ng¾n gän là ổn định tiệm
cận ) nếu

i, Nghiệm x(t) ổn định,
ii, Víi mäi t0 thuéc (a;) tån tại (t0) 0 sao cho tất cả các

nghiệm y  y(t), t0  t   nÕu tho¶ m·n ®iỊu kiƯn y(t0)  x(t0)   th×

lim y(t)  x(t) 0

t 

NhËn xÐt: B»ng phÐp biÕn ®ỉi (x y) z , hệ phơng trình (1.1) đa đợc

về dạng

z’ = F(t, z) (1.2)

trong ®ã F(t, 0)  0. Râ rµng hƯ (1.2) cã nghiƯm z 0. Ta gọi nó là hệ quy

đổi. Khi đó sự ổn định của nghiệm x(t) nào đó của hệ (1.1) sẽ đa về nghiên

cứu tính ổn định của nghiệm 0 cđa hƯ (1.2). Do ®ã ®èi víi hƯ quy ®ỉi (1.2) ta

cã thĨ nãi vỊ sù ỉn ®Þnh cđa nghiƯm tÇm thêng z  0.

NghiƯm tÇm thêng z  0 của hệ (1.2) ổn định nếu với bất kỳ  > 0, víi

mäi t0 thc (a; ∞) tån t¹i   t0 )  0 sao cho tÊt c¶ c¸c nghiƯm x(t) cđa hƯ

5

(1.2) thoả mÃn điều kiện x(t0) thì xác định trong khoảng [t0, ) và
x(t) khi t0  t < ∞.

NghiƯm tÇm thêng z  0 cđa hƯ (1.2) ổn định tiệm cận nếu hệ ổn định
và với mọi t0 thuéc (a; ∞) tån t¹i  = (t0) > 0 sao cho tất cả các nghiệm x =
x(t), t0 t < nếu thoả mÃn điều kiện x(t0)   th×

lim x(t) 0

t 

1.1.5. Ví dụ. Xét phơng trình vi phân sau trong
x’ = ax, t  0.

NghiƯm x(t) víi x(t0) = x0 cho bëi c«ng thøc

x(t) x0ea(t t0 ) , t t0.

Nếu a 0 thì với mỗi  > 0, t0 ℝ+ chän sè  =  > 0 khi ®ã víi bÊt kú

nghiƯm x = x(t) thoả mÃn x(t0) thì x(t0 ) x0ea(t t0 )  x0    víi

mäi t  t0. Vậy hệ ổn định đều.
Vậy a < 0 thì hệ ổn định, mặt khác lim x(t) 0 nên hệ ổn định tiệm

t 

cËn.
1.1.6. Bæ đề (Gronwall Bellman) ([3]). Giả sử hàm liên tục dơng u(t) trên

(a; b) và với mọi giá trị t, s (a; b) thoả mÃn bất đẳng thức tích ph©n

t

u(t) u(s)  f (t1)u(t1) dt1 ,
s

trong đó f(t) là hàm số thực liên tục và không âm trên (a; b).

Khi đó, với a < t0 t < b đánh giá sau đây đợc thoả mÃn

t t

 f (t1)dt1 f (t1)dt1
u(t0 )e t0 u(t) u(t0 )et0 .

1.2. Tính ổn định của hệ phơng trình vi phân tuyến tính

Xét hệ phơng trình vi phân tuyến tính

x = A(t)x + f(t). (1.3)
(1.4)
x’ = A(t)x,

6

ở đây A(t) là ma trận làm liên tục trên + , hàm f: ℝ+  ℝn liªn tơc trªn ℝ+.

Xét hệ phơng trình vi phân tuyến tính (1.3) và hệ phơng trình vi phân
tuyến tính thuần nhất tơng ứng (1.4).
1.2.1. Định nghĩa ([3]). Hệ phơng trình vi phân tuyến tính (1.3) đợc gọi là ổn
định nếu tất cả các nghiệm x = x(t) của nó ổn định.
1.2.2. Định nghĩa ([3]). Hệ phơng trình vi phân tuyến tính (1.3) đợc gọi là ổn
định đều nếu tất cả các nghiệm x = x(t) của nó ổn định đều.
1.2.3. Định nghĩa ([3]). Hệ phơng trình vi phân tuyến tính (1.3) đợc gọi là ổn
định tiệm cận nếu tất cả các nghiệm x = x(t) của nó ổn định tiệm cận.
1.2.4. Định lý ([3]). Điều kiện cần và đủ để hệ phơng trình vi phân tuyến tính
(1.3) ổn định với số hạng tự do bất kỳ f(t) là nghiệm tầm thêng

x 0 0, (t0  t  ); t0 ( )
của hệ thuần nhất tơng ứng (1.4) ổn định.
Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử x = x(t), (t0 < t < +∞) lµ mét nghiƯm ổn

định nào đó của hệ vi phân tuyến tính (1.3). Điều đó có nghĩa là với mỗi > 0

tồn t¹i  > 0 sao cho víi nghiƯm bÊt kú y = y(t) cña (1.3) khi (t0 < t < +) ta có

bất đẳng thức

y(t)  x(t)   (1.5)

khi

y(t0)  x(t0)   (1.6)

nhng

y (t) y(t)  x(t) (1.7)

là một nghiệm của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.4) và ngợc lại một

nghiệm y (t) có thể biểu diễn đợc dới dạng (1.7). Nh vậy các bất đẳng thức

(1.5) và (1.6) tơng đơng với bất đẳng thức sau:

y (t)   khi t0 t   , nÕu y (t0)   .

Tõ ®ã suy ra nghiƯm tÇm thêng x 0 0 cđa hệ vi phân tuyến tính thuần

nhất (1.4) ổn định theo Liapunov khi t  +∞.

Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm tầm thờng x 0 0 của hệ vi phân tuyến

tính thuần nhất (1.4) ổn ®Þnh theo Liapunov khi t  +∞. Khi ®ã, nÕu

7

y y (t),(t0 t ) là một nghiệm bất kỳ của hệ phơng trình vi phân tuyến
tính thuần nhất sao cho

y (t0 )  ( t0)
th× y (t)   khi t0  t < +∞. Nh vËy, nÕu x(t) lµ mét nghiƯm nào đó của hệ vi

phân tuyến tính (1.3) và y(t) là một nghiệm bất kỳ của hệ đó thì từ bất đẳng

thức y(t0) x(t0) suy ra bất ®¼ng thøc

y(t)  x(t) khi t0 t .

Điều đó có nghĩa là nghiệm x(t) ổn định.

1.2.5. Định lý ([3]). Điều kiện cần và đủ để hệ phơng trình vi phân tuyến tính

(1.3) ổn định đều với số hạng tự do bất kỳ f(t) là nghiệm tầm thờng

x 0 0, (t0  t ); t0 (a;)

của hệ thuần nhất tơng ứng (1.4) ổn định đều.

1.2.6. Định lý ([3]). Điều kiện cần và đủ để hệ phơng trình vi phân tuyến tính

(1.3) ổn định tiệm cận với số hạng tự do bất kỳ f(t) là nghiệm tầm thờng

x 0 0, (t0  t  ); t0 (a;)

của hệ thuần nhất tơng ứng (1.4) ổn định tiệm cận.

Việc chứng minh các định lý này, hoàn toàn tơng tự nh chứng minh

định lý trên.

1.2.7. Hệ quả ([3]). Hệ phơng trình vi phân tuyến tính ổn định khi ít nhất một

nghiệm của nó ổn định và không ổn định nếu một nghiệm nào đó của nghiệm

không ổn định.

1.2.8. Hệ quả ([3]). Hệ phơng trình tuyến tính ổn định khi và chỉ khi hệ phơng

trình vi phân tuyến thuần nhất tơng ứng ổn định.

1.3. Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất

1.3.1. Định lý ([1]). Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.4) ổn định khi và chỉ

khi mỗi nghiệm x = x(t), (a < t0 t < +) của hệ đó bị chặn trên nửa trục

t0 t < +.

Chứng minh. Điều kiện đủ: Giả sử mỗi một nghiệm của (1.4) là bị chặn trên

[t0; +), gọi X(t) = [xik(t)] là ma trận cơ bản của hệ (1.4) chuẩn hoá tại t0

(X(t0) = I). Khi đó mỗi một hàm xjk(t) bị chặn trên [t0; ∞) nªn

8

X(t) M, t [t0;) , trong đó M là một hằng số dơng. Nh đà biết mỗi
nghiệm x = x(t) của hệ (1.4) đều có thĨ biĨu diƠn d¹ng tÝch x(t) = X(t) x(t0).

Víi bÊt kú sè  > 0 cho tríc ta chän    , khi đó rõ ràng nếu
M

x(t0)   th× x(t)  X(t) . x(t0)   t [t0;) , nh vËy nghiƯm x  0 cđa
hƯ (1.4) ổn định. Vậy theo định lý (1.2.4) hệ (1.4) là ổn định.

Điều kiện cần: Giả sử ngợc lại tồn tại nghiệm z(t) của hệ (1.4) không bị
chặn trên [t0; +), z(t0) 0 vì z(t) không phải nghiệm tầm thờng của hệ (1.4).
Do nghiệm x 0 của hệ (1.4) ổn định nên với mỗi > 0, tồn tại > 0 sao cho

mäi nghiƯm x(t) cđa hƯ (1.4) mµ x(t0)   th× x(t)   , t  [t0; ∞). XÐt

nghiƯm x(t)  z(t)  cđa hƯ (1.4) cã x(t0) nhng không bị chặn, tức là
z(t0) 2

không thoả mÃn x(t) t[t0;) . Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy

mọi nghiệm của hệ (1.4) bị chặn.

1.3.2. Định lý ([1]). Hệ phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.4) ổn

định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm x = x(t) của nó dần tới không

khi t  +∞, tøc lµ

lim x(t) 0 (1.8)

x 

Chøng minh. §iỊu kiện đủ: Giả sử nghiệm x(t) tuỳ ý của hệ (1.4) tho¶ m·n
lim x(t) 0 .

x 

Khi đó x(t) bị chặn. Vì vậy theo định lý (1.3.1) hệ (1.4) ổn định. Kết hợp với
hệ thức (1.8) suy ra x(t) ổn định tiệm cận. Vậy hệ(1.4) ổn định tiƯm cËn.

§iỊu kiƯn cần: Vì hệ (1.4) ổn định tiệm cận nên với nghiệm bất kỳ y(t)

của hệ này tồn tại =  (t0) > 0 sao cho nÕu y(t0)  0 th×:

lim x(t) 0. (1.9)

x 

9

Đặt y(t) x(t)  2 x(t , khi ®ã y(t 0) 0) 2 nên ta có (1.9). Từ đó

suy ra (1.8).

1.4. Tính ổn định của hệ phơng trình vi ph©n tun tÝnh víi ma trËn h»ng

XÐt hƯ: x’ = Ax, (1.10)

trong ®ã A = [aik] lµ ma trËn h»ng cì (n  n).

1.4.1. Định lý ([3]). Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.10) với ma trận hằng

A ổn định khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trng j = j (A) của A đều có

phần thực không dơng tức là Re j(A) 0( j 1,2,...,n) và các nghiệm đặc trng

có các phần thực bằng không đều có ớc cơ bản đơn ( nó ứng với các ô Joocdan

chỉ có một phần tử).
1.4.2. Định lý ([3]). Hệ phơng trình vi phân tun tÝnh thn nhÊt (1.10) víi

ma trËn h»ng A ỉn định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trng j

= j(A) của A đều có phần thực âm, tức là
Re j(A)  0 ( j 1,..., n).

1.4.3. Ví dụ. Xét tính ổn định cđa hƯ

x1'  x1  x2
'
x2 x1  x2

ta thÊy A   1  1

 1  1

Vậy giá trị riêng cđa A lµ 1 = -1 + i, 2 = -1 - i nên Re1,2 < 0. Hệ ổn
định tiệm cËn.

Nh vËy ®Ĩ xét một hệ tuyến tính có ổn định hay không ta chỉ cần tìm

nghiệm phơng trình đa thức đặc trng hay giá trị riêng của ma trận A.

10

Ch¬ng 2
TÝnh - bị chặn và tính - mờ Dần
của hệ phơng trình vi phân tuyến tính

2.1 Tính - bị chặn của hệ phơng trình vi phân tuyến tính
n là không gian Euclid n - chiỊu. Chn cđa x = (x1, x2, ... , xn)T đợc

xác định x max x1 , x2 ,..., xn  . Ma trËn thùc A cì (n  n) víi chuÈn

A sup Ax .

x 1

Cho i: ℝ+  (0; ∞), i = 1, 2, , n là các hàm liên tơc vµ

 diag 1,2,...,n .

Nhận thấy ma trận (t) là ma trận khả nghịch với mọi t 0.
2.1.1 Định nghĩa ([5]). Hàm : + n đợc gọi là - bị chặn trên + nếu
(t) đo đợc và (t) (t) bị chặn trên +.

2.1.2 Chú ý. nếu t) c vµ  1t) c   víi 0  t < , khi đó hàm

x(t) bị chặn trên + tơng đơng với x(t) là - bị chặn trên +.

2.1.3 Định nghĩa ([5]). Hàm : + n đợc gọi là - khả tích Lơbe trên +

nếu (t) đo đợc và (t) (t) khả tích Lơbe trên +.

Xét hệ phơng trình vi phân tuyến tính

x = A(t) x + f(t), (2.1)

víi hµm f là - khả tích Lơbe trên +.

Cho A(t) là ma trận hàm vuông cấp n liên tục trên + và phơng trình vi

phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng lµ

y’ = A(t)y. (2.2)

Ký hiƯu Y(t) lµ ma trận cơ bản của (2.2) chuẩn hoá tại 0 (Y(0) = In).

Ký hiÖu X1  u  Rn | u x(0), x(t) là nghiệm - bị chặn của hệ 2.2 .

Ký hiệu X2 là một không gian con ®ãng cđa ℝn sao cho X1  X2 Rn .

11

Giả sử P1, P2 là các phép chiếu tơng ứng của n lên X1, X2 tức là

P12 P1, P22 P2, Im P1 X1, Im P2 X2.
2.1.4 Chó ý. Khi thay + bởi - trong các định nghĩa (2.1.1) và định nghĩa

(2.1.3), ta có các khái niệm - bị chặn trên và - khả tích Lơbe trên
của hàm (t).

2.1.5 Bổ đề (Massera và Schaffer) ([4]). Cho h(t) là hàm không âm, khả tích
địa phơng sao cho

t 1

 h(s)ds c , víi mäi t  ℝ.
t

NÕu  > 0 th× víi mäi t  ℝ,

  s t)  1 ,
 e h(s)ds c 1  e  (2.3)
t

t  s t)  1 .
 e h(s)ds c 1  e  (2.4)



Chøng minh: Ta chứng minh (2.3), còn (2.4) chứng minh tơng tự .

tm1  s t ) tm1  m  m
Tõ  e h(s)ds  e h(s)ds ce
kÐo theo tm t m

  s t)    tm1 (s t )   1
t e h(s)ds   e  m
tm h(s)ds c e c 1  e  . 

m0 m0

2.1.6 Định lý ([5]). Giả sử A(t) là ma trận thực cỡ (n n) liên tục theo t +.

Khi đó với mỗi hàm f là - khả tích Lơbe trên ℝ+ hƯ (2.1) cã Ýt nhÊt mét

nghiƯm  - bÞ chặn trên + khi và chỉ khi có hằng số d¬ng K sao cho

t)Y(t)P1Y 1(s) 1(s) K, víi 0 s t; (2.5)
t)Y(t)P2Y 1(s) 1(s) K, víi 0 s s;

Chứng minh. Điều kiện cần:
Đặt: C = {x: x: + n; x là - bị chặn và liên tục trên +},

 = {x: x: ℝ+  ℝn; x là - khả tích Lơbe trên +},

D = {x: x: + n; x là liên tục tuyệt đối trên đoạn J +, - bị

chặn trên +, x(0) X2, x(t) - A(t) x(t) thuéc B}.

12

Ta nhận thấy C là không gian Banach với chuẩn

x C sup t)x(t) ,
 t0

và nhận thấy B là không gian Banach víi chuÈn



x B t)x(t) dt.
0

Tập D là không gian tuyến tính víi chuÈn

x D sup t)x(t)  x ' A(t)x B .

t0

víi chn ®ã  D, . D là không gian Banach . Thật vËy, lÊy

 xn n , n 1, 2,... lµ d·y cơ bản trong D thì xn n là dÃy cơ bản trong C. Vì

vậy, tồn tại hàm liên tục và bị chặn x: + n sao cho

lim t)xn (t) x(t) đều trên +.

n

Đặt x(t) 1(t)x(t)  C. tõ

xn (t)  x(t)   1(t) . t)xn (t)  x(t) ,

suy ra lim xn (t) x(t) ®Ịu trªn mäi tËp compact cña ℝ+. VËy x(0)  X2.

n 

XÐt d·y,  fn (t) ,n 1, 2,... víi f n (t ) t )( x ' ( t )  A(t)xn (t)) lµ d·y c¬
n

bản trong L, với L là không gian Banach của tất cả các hàm vectơ khả tích

Lơbe trên + với chuÈn



f t)f (t) dt.
0

Vì vậy tồn tại hàm f trong L sao cho



lim fn (t)  f (t) dt 0.

n 
0

Đặt f (t) 1(t)f (t), do đó f (t)  B.

Cố định t 0, ta có

13

x(t)  x(0) lim(xn (t)  xn (0))

n 

t

li m x ' (s ) ds
n  n

0

t

li m  x ' (s )  A(s)xn (s))  A(s)xn (s)
n  n

0

t

lim   1(s) fn (s)  f (s)  f (s)  A(s)xn (s)
n 
0

t

 f (s)  A(s)x(s) ds.
0

VËy x '(t) A(t)x(t) f (t) B và x(t) là liên tục tuyệt đối trên đoạn

J+ nên . Tõ lim t)xn (t) (t)x(t) đều trên + và

n 



li m  ( t )  x ' ( t )  A(t)xn (t))  (x '(t)  A( t ) x ( t ))  dt 0.
n  n

0

V× vËy lim xn  x D 0 . VËy  D, . D lµ kh«ng gian Banach(đpcm).

n 

xét ánh xạ

T: D  B, Tx = x’ - A(t)x.

Ta nhận thấy, T là tuyến tính và bị chặn, víi T 1. Cho Tx = 0 th×

x’ = A(t)x, x D. Điều này chứng tỏ x là nghiệm - bị chặn của (2.2). Ta có
x(0) X1  X2 = {x: 0}. VËy x = 0 nªn toán tử T là một - một.

Cho f  B vµ cho x(t) là nghiệm - bị chặn trên + của hệ (2.1). Cho
z(t) là nghiệm của bài toán Cauchy
z = A(t)z + f(t), z(0) = P2x(0).

Cho nên x(t) - z(t) là nghiệm của (2.2) với P2(x(0) - z(0)) = 0, ở đây
x(0) - z(0) X1. Vì vậy x(t) - z(t) là - bị chặn trên + nên z(t) là - bị chặn
trên +. Ta có z(t) D và Tz = f. Suy ra T là toàn ánh. Theo định lý Banach

thì T-1 cũng là toán tử bị chặn và tồn t¹i h»ng sè K  T 1  1 sao cho víi fB
vµ víi nghiƯm x  D cđa hƯ (2.1) th×

14



sup t)x(t) Kt)f (t) dt. (2.6)

t0 0

Víi s  0,  > 0,   ℝn, xÐt hµm f: ℝ+  ℝn,

f (t)  1(t) víi s t s   
0 t  s;s 

thì f B và f B . Khi đó nghiệm x D tơng ứng là

s

x(t)  G(t,u)f (u)du,
s

ë ®©y G(t,u) Y(t)P1Y 1(u) víi 0 u t

1
 Y(t)P2Y (u) với 0 t u.

Nhận thấy G liên tục trên đờng th¼ng t = u,

s

t)x(t)  t)G(t, u) 1(u)du K f B K  .

s

Suy ra: t)G(t,s) 1(s) K  .

VËy t)G(t,s) 1(s) K.

Đó là điều phải chứng minh.

Điều kiện đủ: Xét hàm

t 

x(t) Y(t)P1Y 1(s)f (s)ds  Y(t)P2Y 1(s)f (s)ds, t 0,
0 t

ở đây f là hàm - khả tích Lơbe trên +, nhận thấy x(t) là nghiệm - bị chặn

trên + của (2.1). Đó là điều phải chứng minh.

Từ định lý (2.1.6.) ta thu đợc kết quả sau:

2.1.7 Định lý. Giả sư A(t) lµ ma trËn thùc cì n  n liên tục theo t . Khi

đó với mỗi hàm f là - khả tích Lơbe trên  hƯ (2.1) cã Ýt nhÊt mét nghiƯm
 - bÞ chặn trên khi và chỉ khi có hằng sè d¬ng K sao cho

15

t)Y(t)P2Y 1(s) 1(s) K, víi s t 0; (2.7)
t)Y(t)P1Y 1(s) 1(s) K, với t s 0.

Chứng minh. Chứng minh định lý này hoàn toàn tơng tự nh chứng minh

trên(khi ta thay P1 bëi - P2, thay -∞ bëi +∞).
2.1.8 VÝ dô. XÐt hệ phơng trình vi phân tuyến tính (2.2) với

a 0
A(t)   ,

0 b
ở đây a, b .
Ma trận cơ bản của hệ phơng trình (2.2) chuẩn hoá tại 0

Y(t)  eat 0 
bt  .
0 e 

XÐt hµm  e (a1)t (1 b)t 0  .
(t)  e

0

1 0 0 0
Víi c¸c phÐp chiÕu: P1   , P2  .
Ta cã 0 0 0 1

1 1  es t 0 
t)Y(t)P1Y (s) (s)  
 0 0

1 1 0 t s  0 .
t)Y(t)P2Y (s) (s)  e
0

t)Y(t)P1Y 1(s) 1(s) 1
VËy

t)Y(t)P2Y 1(s) 1(s) 1.

Víi hµm f (t)  e(a1)t ,e(b 2)t  T khi ®ã (t) f(t) = (1, e-t)T khả tích Lơbe

trên + nên f là - khả tích Lơbe trên +.
Vậy hệ phơng trình vi phân tuyến tính (2.1) đà cho là - bị chặn trên +.

2.1.9 Định lý ([5]). Gi¶ sư
(1) Ma trận cơ bản Y(t) của (2.2) chuẩn hoá tại 0 thoả mÃn điều kiện:

16

a) lim t)Y(t)P1 0; víi 0 s t;

t 

b) t)Y(t)P1Y 1(s) 1(s) K,

t)Y(t)P2Y 1(s) 1(s) K, víi 0 t s.

(2) Hµm f: ℝ+  ℝn lµ  - khả tích Lơbe trên +.
Khi đó với mọi nghiệm - bị chặn x(t) cđa (2.1) tho¶ m·n
lim t)x(t) 0.

t 

Chøng minh. Cho x(t) là nghiệm - bị chặn của (2.1). Nên tồn tại hằng số d-

ơng M sao cho t)x(t) M víi mäi t  0.

XÐt hµm

t 

y(t) x(t)  Y(t)P1x(0)  Y(t)P1Y 1(s)f (s)ds  Y(t)P2Y 1(s)f (s)ds,
0 t

víi mäi t  0.
Ta nhận thấy y(t) là nghiệm - bị chặn của (2.2), y(0) X1. Mặt khác,

P1y(0) = 0 thì y(0) = P2y(0)  X2. VËy y(0) = 0 nªn y(t) = 0 víi t  0.
Víi t  0 ta cã

t 

x(t) Y(t)P1x(0)  Y(t)P1Y 1(s)f (s)ds  Y(t)P2Y 1(s)f (s)ds.
0 t

víi mäi t  0, tån t¹i t1  0 sao cho

 

(s)f (s) ds  víi t  t1.

t 2K

Mặt khác, tồn t¹i t2 > t1 sao cho víi t  t2,

   1 t1   1

t)Y(t)P1   x(0)  Y (t)f (s) ds .
2  0 

Víi t  t2 ta cã

t1

t)x(t)  t)Y(t)P1 . x(0)  tY(t)P1 . Y 1(s)f (s) ds
0
t1
 tY(t)P1Y 1(s) 1(s) . (s)f (s) ds
0

17



 tY(t)P2Y 1(s) 1(s) . (s)f (s) ds
t

 t1 
tY(t)P1  x(0)  Y 1(s)f (s) ds
 0 



 K(s)f (s) ds  
t

VËy lim t)f (t) 0. Đó là điều phải chứng minh. 
t 

2.1.10 Chó ý ([5]). Điều kiện f là - khả tích Lơbe trên + không thể thay

thế bởi các điều kiện khác nhẹ hơn chẳng hạn f là - bị chặn trên +. Ngay
cả f là hàm thoả mÃn điều kiện

lim t)f (t) 0.

t 

VÝ dơ sau sÏ minh ho¹ cho nhËn xét trên:

2.1.11 Ví dụ ([5]). Xét hệ phơng trình vi phân tuyến tính (2.2) với A(t) = O2.
Thì Y(t) = I2 là ma trận cơ bản của phơng trình (2.2) chuẩn hoá tại 0.

Xét t) t 1 1 0 .
 0 t 1

Ta cã (t)Y(t) = (t), víi c¸c phÐp chiÕu

1 0 0 0
P1   , P2  .
0 0 0 1

Giả thiết của định lý thoả mÃn với K = 1. Khi ®ã, ta lÊy

f (t)  t 1,(t 1) 2 T thì lim t)f (t) 0.Mặt khác nghiệm hƯ (2.1) lµ
t 

2 3
 (t 1)2  c1 
xt)  3 .
1
   c2  

 t 1

Nghiệm này là không - bị chặn trên +.

18

2.1.12 Chó ý ([5]). XÐt hµm
f (t) (t 1) 1, (t 1) 3)T.

Ta cã 

s)f (s) ds 1.

0

MỈt khác nghiệm của hệ (2.1) là

 ln(t 1)  c1 

xt)  1 2 .
  (t 1)  c2 
2 

NhËn thÊy nghiƯm x(t) lµ - bị chặn trên + nếu và chỉ nếu c2 = 0.

Trong trờng hợp này thì lim t)x(t) 0.

t

Xét trờng hợp f là hàm - bị chặn trên +.

2.1.13 Định lý ([8]). Giả sử ma trận cơ bản Y(t) chuẩn hoá tại 0 của hệ (2.2)
thoả mÃn

t)Y(t)Y 1(s) 1(s) Ket s), víi t  s  0,

trong ®ã K,  là các hằng số dơng.
Khi đó với mỗi hàm f và bị chặn trên + hệ (2.1) có ít nhất một nghiệm

- bị chặn trên + nếu và chỉ nếu có các hằng số dơng K1 và sao cho

t)Y(t)P1Y 1(s) 1(s) K1et s), víi t s 0, (2.8)
t)Y(t)P2Y 1(s) 1(s) K1es t), với0 t s.

Chứng minh. Điều kiện đủ: Giả sử phơng trình (2.1) thoả mÃn điềukiện (2.8).
Xét hàm

t 1  1
x (t) t)Y(t)P1Y (s)f (s)ds   t)Y(t)P2Y (s)f (s)ds

0 t

t 1 1

t)Y(t)P1Y (s) (s)sds
0

 1 1

  t)Y(t)P2Y (s) (s)s)ds,
t

víi t  0. Ta chøng minh hàm x (t) là bị chặn +. Thật vậy, do f là - bị chặn

trên + nên ta có

19

t 1

 t)f (s) ds c , víi t  0.
t

thì bổ đề (2.1.5), ta cã

t  t s)    1
e t)f (s) ds c(1  e ) ,
0

  t s)    1

 e t)f (s) ds c(1  e ) .
0

Nên hàm x (t) là bị chặn trên +.

t

Đặt x(t) 1(t)x (t) Y(t)P1Y 1(s)f (s)ds  Y(t)P2Y 1(s)f (s)ds
0 t

th× x(t) là - bị chặn và liên tục trên ℝ+.

t  

x '(t) A(t)  Y(t)P1Y 1(s)f (s)ds  Y(t)P2Y 1(s)f (s)ds
0 t 

 Y(t)P1Y 1(t)f (t) Y(t)P2Y 1(t)f (t) A(t)x(t) f (t)

nên x(t) là nghiệm của hệ (2.1). Suy ra điều kiện đủ đợc chứng minh.

Điều kiện cần: Đặt

C = {x: x: + n; x là - bị chặn và liên tục trên +}.

Nhận thấy C là không gian Banach với chuẩn

x C sup tx(t) .
 t0

Chøng minh hÖ (2.1) cã duy nhất nghiệm x(t) là - bị chặn và x(0)X2

với f C. Ngoài ra tồn tại hằng số dơng r không phụ thuộc vào f sao cho

x C r f C . (2.9)

ThËt vËy, gi¶ sư f  C. Tõ gi¶ thiÕt tån tại nghiệm x(t) là - bị chặn
của hệ (2.1). Giả sử y(t) là nghiệm của bài toán Cauchy

y’ = A(t)y; y(0) = -P1x(0).

NghiÖm y(t) là - bị chặn xác định trên X1. Nhng z = x + y là nghiệm

- bị chặn cđa hƯ (2.1) víi
P1z(0) P1x(0)  P12x(0) 0.

VËy z(0)  X2. Nªn nghiƯm z(t) là - bị chặn của hệ (2.1) với z(0)X2.

20

Chøng minh tÝnh duy nhÊt: Cho x(t) vµ y(t) lµ nghiệm - bị chặn của
hệ (2.1) với x(0) X2, y(0)  X2. VËy x - y lµ nghiƯm - bị chặn của hệ (2.2)
và x(0) - y(0)  X2. Nhng x(0) - y(0)  X1. Ta cã x(0) = y(0),
vËy x = y (®pcm).

Chứng minh bất đẳng thức (2.9): Xét ánh xạ T: C C đợc xác định
Tf = x, với x là nghiệm - bị chặn của hƯ (2.1) víi x(0)  X2. Ta chøng minh
T liªn tơc. ThËt vËy

Gi¶ sư xn = Tfn, fn  f vµ xn  x. Cố định t, ta có

t

lim  fn (s)  f (s) ds

n 
0

t (2.10)

lim  1(s) s)fn (s)  sf (s)
n 
0

t

lim fn  f C  1(s) ds 0.
n   0

Mặt khác

t

lim A(s)[xn (s)  x(s)ds

n 
0

t (2.11)

lim A(s) 1(s) s)xn (s)  sx(s) ds
n 
0

t

lim xn  x C A(s) 1(s) ds 0.
n   0

Tõ (2.10) vµ (2.11) ta cã

x(t)  x(0) lim(xn (t)  xn (0))

n 

t

lim  A (s ) x n (s )  x ' ( t )  A(s)xn (s)ds
n  n

0

t

lim  A(s)xn (s)  fn (s)ds
n 
0

t

 A(s)x(s)  f (s)ds.
0

VËy x(t) lµ nghiệm của (2.1). Từ x(t) là - bị chặn trên + và