Hàm cơ sở theo bán kính và ứng dụng giải bài toán Dirichlet với phương trình Poisson

Số hóa bởi trung tâm học liệu />Số hóa bởi trung tâm học liệu />R
d
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Số hóa bởi trung tâm học liệu />([ ], [ ], [ ])
([ ], [ ])
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Số hóa bởi trung tâm học liệu />n n
x
1
, x
2
, ··· , x
n















a
11
x
1
+ a

12
x
2
+ ··· + a
1n
x
n
= b
1
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ ··· + a
2n
x
n
= b
2
···
a
n1
x
1
+ a
n2

x
2
+ ··· + a
nn
x
n
= b
n
Ax = b
A =



a
11
··· a
1n
··· ··· ···
a
n1
a
n2
a
nn



, x = (x
1
, x

2
, ··· , x
n
)
T
, b = (b
1
, b
2
, ··· , b
n
)
T
.
detA = 0 (1.1)
x
j
=
detA
j
detA
A
j
A
j b.
(1.2)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />a
ij
= a
ji

i = j
a
ii
= 1, i = 1, 2, ··· , n
A =






a
11
a
12
··· a
1n
0 a
22
··· a
2n
· · ··· ·
0 0 ··· a
nn







a
ij
= 0 i > j.
A
A =






a
11
0 ··· 0
a
21
a
22
··· 0
· · ··· ·
a
n1
a
n2
··· a
nn







a
ij
= 0 i < j.
A = A
∗
a
ij
= a
ji
, (i, j = 1, 2, ··· , n).
Số hóa bởi trung tâm học liệu />a)
A = (a
ij
)
m×n
m × n A
||A||
∞
= max
1≤i≤m
n

j=1
|a
ij
|
||A||
1

= max
1≤j≤n
m

i=1
|a
ij
|
||A||
2
=


n
i=1

n
j=1
|a
ij
|
2

1/2
x = (x
1
, x
2
, ··· , x
n

) ∈ R
n
||x||
1
=
n

i=1
|x
i
|; ||x||
2
=

n

i=1
|x
i
|
2

1/2
; ||x||
∞
= max
1≤i≤n
|x
i
|.

Số hóa bởi trung tâm học liệu />














a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ ··· + a
1n
x
n
= a
1,n+1
a

21
x
1
+ a
22
x
2
+ ··· + a
2n
x
n
= a
2,n+1
···
a
n1
x
1
+ a
n2
x
2
+ ··· + a
nn
x
n
= a
n,n+1
a
(0)

ij
= a
ij
, (i = 1, 2, , n; j = 1, , n + 1)
x
1
n − 1
a
11
= 0
a
11
x
1
+ b
12
x
2
+ ··· + b
1n
x
n
= b
1,n+1
b
1j
=
a
(0)
1j

a
(0)
11
, j = 2, , n + 1
(1.3) (1.4)
−a
(0)
i1
, i = 2, ··· , n















a
(1)
22
x
2
+ a

(1)
23
x
3
+ ··· + a
(1)
2n
x
n
= a
(1)
2,n+1
a
(1)
32
x
2
+ a
(1)
33
x
3
+ ··· + a
(1)
3n
x
n
= a
(1)
3,n+1

···
a
(1)
n2
x
2
+ a
(1)
n3
x
3
+ ··· + a
(1)
nn
x
n
= a
(1)
n,n+1
a
(1)
ij
= a
(0)
ij
− a
(1)
i1
b
1j

, i = 2, , n; j = 2, , n + 1.
(1.4) (1.5)
(1.5) x
2
m
x
m
+ b
m,m+1
x
m+1
+ ··· + b
m,n
x
n
= b
m,n+1
a
(m)
m+1,m+1
x
m+1
+ ··· + a
(m)
m+1,n
x
n
= a
(m)
m+1,n+1

Số hóa bởi trung tâm học liệu />
a
(m)
n,m+1
x
m+1
+ ··· + a
(m)
n,n
x
n
= a
(m)
n,n+1
.
b
mj
= a
(m−1)
mj
/a
(m−1)
mm
, j = m + 1, ··· , n + 1
a
(m)
ij
= a
(m−1)
ij

− a
(m−1)
im
b
mj
, i = m + 1, , n; j = m + 1, , n + 1.
n
x
1
+ b
12
x
2
+ ··· + b
1n
x
n
= b
1,n+1
x
2
+ ··· + b
2n
x
n
= b
2,n+1
···
x
n

= b
n,n+1
.
b
mj
= a
(m−1)
ij
/a
(m−1)
mm
, m = 1, , n; j = m + 1, , n + 1
a
(m)
ij
= a
(m−1)
ij
− a
(m−1)
im
b
mj
; i = m + 1, , n; j = m + 1, , n + 1
a
(m−1)
mm
m = 1, , n
(1.6)
x

n
= b
n,n+1
x
k
= b
k,n+1
−
n

j=k+1
b
kj
x
j
, k = n −1, , 1.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Ax = f, A
A =








c
1
−b
1

0 ··· 0 0
−a
2
c
2
−b
2
··· 0 0
· · · ··· · ·
0 0 0 ··· · −b
n−1
0 0 0 ··· −a
n
c
n


















c
1
x
1
− b
1
x
2
= f
1
−a
i
x
i−1
+ c
i
x
i
− b
i
x
i+1
= f
i
, (i = 2, ··· , n − 1)
−a
n
x

n−1
+ c
n
x
n
= f
n
c
i
= 0, (i = 1, , n)
x
1
=
b
1
c
1
x
2
+
f
1
c
1
i = 2
x
2
x
3
(1.10)

x
i
= α
i
x
i+1
+ β
i
α
i
, β
i
x
i−1
= α
i−1
x
i
+ β
i−1
i −1 (i ≥ 2)
x
i
x
i+1
x
i
=
b
i

c
i
− a
i
α
i−1
x
i+1
+
f
i
+ a
i
β
i−1
c
i
− a
i
α
i−1
.
(1.12)
α
i
=
b
i
c
i

− a
i
α
i−1
, β
i
=
f
i
+ a
i
β
i−1
c
i
− a
i
α
i−1
, i = 2, ··· , n − 1.
(1.11)
α
1
=
b
1
c
1
, β
1

=
f
1
c
1
Số hóa bởi trung tâm học liệu />(1.14), (1.13)
α
i
, β
i
, i = 1, , n − 1 i = n − 1 (1.12) x
n−1
=
α
n−1
x
n
+ β
n−1
(1.10)
x
n
=
f
n
+ a
n
β
n−1
c

n
− a
n
α
n−1
.
x
n
α
i
, β
i
(1.12)
x
i
i = n − 1, n − 2, ··· , 1
• α
1
=
b
1
c
1
, β
1
=
f
1
c
1

,
α
i
=
b
i
c
i
− a
i
α
i−1
, β
i
=
f
i
+ a
i
β
i−1
c
i
− a
i
α
i−1
, i = 2, , n − 1.
• x
n

= β
n
x
i
= α
i
x
i+1
+ β
i
, i =
n − 1, ··· , 1.
Ax = b
a
ii
x
i
+

j=i
a
ij
x
j
= b
i
, i = 1, 2, , n.
x
(0)
a

ii
x
i
(k+1)
+

j=i
a
ij
x
j
(k)
= b
i
, i = 1, 2, , n.
a
ii
= 0. (1.15)
x
i
(k+1)
= −

j=i
a
ij
a
ii
x
j

(k)
+
b
i
a
ii
; i = 1, , n; k = 0, 1,
Số hóa bởi trung tâm học liệu />0 < q < 1 ∀i = 1, 2, ··· , n
n

j=i
a
ij
≤ q|a
ii
|, ∀i = 1, 2, , n
Ax = b
x
(0)
||x
(k)
− x||
∞
≤
q
k
1 − q
||x
(0)
− x

(1)
||
∞
, k = 0, 1, ···
||x
(k)
− x||
∞
≤
q
1 − q
||x
(k)
− x
((k−1))
||
∞
, k = 0, 1, ···
x
Ω
Γ Oxy
∂u
∂t
= k(
∂
2
u
∂x
2
+

∂
2
u
∂y
2
), (x, y) ∈ Ω, t > 0, k = const
∂u
∂t
=
∂
∂x

k
1
(x, y, t, u)
∂u
∂x

+
∂
∂y

k
2
(x, y, t, u)
∂u
∂y

+ f(x, y, t, u), (x, y) ∈ Ω, t > 0.
k

1
, k
2
, f u
∂u
∂t
=
∂
∂x

k
1
(x, y, t)
∂u
∂x

+
∂
∂y

k
2
(x, y, t)
∂u
∂y

− q(x, y, t)u + f(x, y, t), (x, y) ∈ Ω, t > 0
(1.19), (1.20), (1.21)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />∂u
∂t

= 0
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
= 0, (x, y) ∈ Ω
∂
∂x

k
1
(x, y, u)
∂u
∂x

+
∂
∂y

k
2
(x, y, u)
∂u

∂y

= f(x, y, u), (x, y) ∈ Ω.
∂
∂x

k
1
(x, y)
∂u
∂x

+
∂
∂y

k
2
(x, y)
∂u
∂y

− q(x, y)u = f(x, y), (x, y) ∈ Ω.
(1.22) 0
∂
2
u
∂x
2
+

∂
2
u
∂y
2
= f(x, y), (x, y) ∈ Ω.
(1.25)
Γ Ω
u(x, y) = g(x, y), (x, y) ∈ Γ
u = u(x, y)
Ω Γ Ω
g(x, y)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />f(x) x
i
∈ [a, b], (i ∈ 0, n)
P
n
(x) =
n

k=0
c
k
x
k
P
n
(x
i
) = f(x

i
), (i ∈ 0, n)
c
k















c
0
+ c
1
x
0
+ ··· + c
n
x
n
0

= f(x
0
)
c
0
+ c
1
x
1
+ ··· + c
n
x
n
1
= f(x
1
)
···
c
0
+ c
1
x
n
+ ··· + c
n
x
n
n
= f(x

n
)
∆ =










1 x
0
x
2
0
··· x
n
0
1 x
1
x
2
1
··· x
n
1
· · ··· ·

1 x
n
x
2
n
··· x
n
n










=

n≥k>m≥0
(x
k
− x
m
) = 0
x
0
, x
1

, , x
n
l
i
(x) =
(x − x
0
) (x − x
i−1
)(x − x
i+1
) (x − x
n
)
(x
i
− x
0
) (x
i
− x
i−1
)(x
i
− x
i+1
) (x
i
− x
n

)
=
n

j=i,j=0
x − x
j
x
i
− x
j
.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />l
i
(x
j
) = δ
ij
=



1, i = j
0, i = j
L
n
(x)
L
n
(x) =

n

i=0
f(x
i
)l
i
(x) =
n

i=0
f(x
i
)
n

j=i,j=0
x − x
j
x
i
− x
j
L
n
(x
i
) = f(x
i
), (i = 0, , n).

L
n
(x) f(x) x
i
, (i = 0, , n)
L
n
(x)
P
n
(x)
L
n
(x) =
n

i=0
f(x
i
)
W
n+1
(x)
W
n+1
(x
i
)(x − x
i
)

W
n+1
(x) = (x − x
0
)(x − x
1
) (x − x
n
).
•
n = 1 x
0
, x
1
L
1
(x) = f(x
0
)
x − x
1
x
0
− x
1
+ f(x
1
)
x − x
0

x
1
− x
0
.
•
n = 2 x
0
, x
1
, x
2
L
2
(x) = f(x
0
)
(x − x
1
)(x − x
2
)
(x
0
− x
1
)(x
0
− x
2

)
+ f(x
1
)
(x − x
0
)(x − x
2
)
(x
1
− x
0
)(x
1
− x
2
)
+ f(x
2
)
(x − x
0
)(x − x
1
)
(x
2
− x
0

)(x
2
− x
1
)
.
y = L
2
(x) A(x
0
, f(x
0
)), B(x
1
, f(x
1
))
C(x
2
, f(x
2
))
Số hóa bởi trung tâm học liệu />y = sin πx
x
0
= 0, x
1
=
1
6

, x
2
=
1
2
.
1/6 1/2
1/2
(1.37)
L
2
(x) = 0.
(x −
1
6
)(x −
1
2
)
(0 −
1
6
)(0 −
1
2
)
+
1
2
.

(x − 0)(x −
1
2
)
(
1
6
− 0)(
1
6
−
1
2
)
+1.
(x − 0)(x −
1
6
)
(
1
2
− 0)(
1
2
−
1
6
)
=

7
2
x−3x
2
.
f(x) x
f(x) − L
n
(x)
f(x) ∈ C
n+1
[a, b]
n+ 1 [a, b] x
i
, (i = 0, , n)
R
n
(x) = f(x) − L
n
(x)
R
n
(x) =
f
n+1
(ξ)
(n + 1)!
W
n+1
(x),

ξ x [a, b]
f(x)
x
0
, ·, x
n
∈ [a, b]
|f(x) − L
n
(x)| ≤
M
n+1
(n + 1)!
|W
n+1
(x)|,
M
n+1
= max
a≤x≤b
|f
(n+1)
(x)|
Số hóa bởi trung tâm học liệu />f(x) [a, b]
a = x
0
< x
1
< < x
n

= b
f(x) x
i
f(x
i
)
f(x) x
i
x
j
f(x
i
, x
j
) =
f(x
i
) − f(x
j
)
x
i
− x
j
.
f(x) x
i
, x
j
, x

k
f(x
i
, x
j
, x
k
) =
f(x
i
, x
j
) − f(x
i
, x
k
)
x
j
− x
k
.
k f x
0
, x
1
, , x
k+1
f(x
0

, x
1
, , x
k+1
) =
f(x
0
, x
1
, , x
k
) − f(x
1
, x
2
, , x
k+1
)
x
0
− x
k+1
.
f(x
i
, x
j
) = f(x
j
, x

i
)
f(x
i
, x
j
, x
k
) = f(x
k
, x
j
, x
i
)
. . . . . .
f(x
0
, x
1
, , x
k
) = f(x
k
, x
k−1
, , x
0
).
P

n
(x) n P
n
(x, x
0
)
n − 1 P
n
(x, x
0
, x
1
)
n − 2 n + 1 P
n
(x, x
0
, x
1
, , x
n
)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />P
n
(x) = P
n
(x
0
) + (x − x
0

).P
n
(x, x
0
),
P
n
(x, x
0
) = P
n
(x
0
, x
1
) + (x − x
1
).P
n
(x, x
0
, x
1
),
. . . . . .
P
n
(x, x
0
, , x

n−1
) = P
n
(x
0
, x
1
, , x
n
) + (x − x
n
).P
n
(x, x
0
, x
1
, , x
n
).
P
n
(x, x
0
, x
1
, , x
n
) = 0
P

n
(x) = P
n
(x
0
) + (x − x
0
)P
n
(x
0
, x
1
) + (x − x
0
)(x − x
1
)P
n
(x
0
, x
1
, x
2
) +
+ (x − x
0
)(x − x
1

) (x − x
n−1
)P
n
(x
0
, x
1
, , x
n
).
P
n
(x) f(x) x
0
, x
1
, , x
n
P
n
(x
i
) = f(x
i
), (i = 0, , n)
P
n
(x) = f(x
0

) + (x − x
0
)f(x
0
, x
1
) + (x − x
0
)(x − x
1
)f(x
0
, x
1
, x
2
) +
+ (x − x
0
)(x − x
1
) (x − x
n−1
)f(x
0
, x
1
, , x
n
)

P
n
(x) = f(x
0
) +
n

i=1
(x − x
0
)(x − x
1
) (x − x
i−1
)f(x
0
, x
1
, , x
i
)
P
n
(x)
x
0
P (x) = f(x
0
) + (x − x
0

)[f(x
0
, x
1
) + (x − x
1
)[f(x
0
, x
1
, x
2
)
+ (x − x
2
)[f(x
0
, x
1
, x
2
, x
3
) + ]]]
Số hóa bởi trung tâm học liệu />x
n
x
0
P
n

(x) = f(x
n
) + (x − x
n
)f(x
n
, x
n−1
) + (x − x
n
)(x − x
n−1
)f(x
n
, x
n−1
, x
n−2
)
+ + (x − x
n
)(x − x
n−1
) (x − x
1
)f(x
n
, x
n−1
, , x

0
)
n = 4
x
0
f(x
0
) f(x
0
, x
1
) f(x
0
, x
1
, x
2
) f(x
0
, x
1
, x
2
, x
3
) f(x
0
, x
1
, x

2
, x
3
, x
4
)
x
1
f(x
1
) f(x
1
, x
2
) f(x
1
, x
2
, x
3
) f(x
1
, x
2
, x
3
, x
4
)
x

2
f(x
2
) f(x
2
, x
3
) f(x
2
, x
3
, x
4
)
x
3
f(x
3
) f(x
3
, x
4
)
x
4
f(x
4
)
y = f(x).
y = f(x)

x
0
y = f(x)
f(1, 25)
(1.41)
P
4
(x) = 1 + x(x − 2)(−
2
3
) + x(x − 2)(x − 3)
3
10
+ x(x − 2)(x − 3)(x − 5)(−
11
120
)
= −
11
120
x
4
+
73
60
x
3
−
601
120

x
2
+
413
60
x + 1.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />f(1, 25) ≈ P
4
(1, 25) = 3, 9312
f(x)
f(x) = f(x
0
) + (x − x
0
)f(x
0
, x
1
) + + (x − x
0
)(x − x
1
)
(x − x
n−1
)f(x
0
, x
1
, , x

n
) + (x − x
0
)(x − x
1
) (x − x
n−1
)f(x, x
0
, x
1
, , x
n
).
f(x) = P
n
(x) + W
n+1
(x)f(x, x
0
, x
1
, , x
n
).
f(x) − P
n
(x) = W
n+1
(x)f(x, x

0
, x
1
, , x
n
)
W
n+1
(x) = Π
n
i=0
(x − x
i
).
Ξ([ ] Ξ
[ ]) D
X = {x
1
, , x
n
}
Số hóa bởi trung tâm học liệu />R
n
D
Du(x) ≈
n

i=1
w
i

(x)u(x
i
),
w
i
= w
i
(x) w = [w
1
, w
2
, , w
n
]
T
Ξ
ζ
ζ
x
i
x
i
Φ : R
d
−→ R
φ : [0, +∞) −→ R
Φ(x) = φ(||x||
2
), ∀x ∈ R
d

||x||
2
Φ : R
d
→
R
X = {x
1
, , x
n
} ⊂ R
d
, n ∈ N c ∈ R
n
n

j=1
n

k=1
c
j
c
k
Φ(x
j
− x
k
) ≥ 0.
c

φ : [0, ∞) → R
R
d
Φ(x) := φ(||x||
2
), x ∈ R
d
R
d
(x
i
, y
i
), i = 1, 2, n, x
i
∈ R
d
, y
i
∈ R x
i
y
i
Số hóa bởi trung tâm học liệu />B
1
, B
2
, , B
n
F =

n

k=1
c
k
B
i
, i = 1, 2, , n.
P f ∈ F
P f(x
i
) = y
i
, i = 1, 2, , n.
P f ∈ F
P f(x) =
n

k=1
c
k
B
k
, x ∈ R
d
.
Ac = y.
A =




B
1
(x
1
) ··· B
n
(x
1
)
··· ··· ···
B
1
(x
n
) ··· B
n
(x
n
)



,
c = [c
1
, ··· , c
n
]
T

, y = [y
1
, ··· , y
n
]
T
det A = 0
{B
1
, B
2
, , B
n
} det A = 0?
{B
1
, B
2
, , B
n
} = {1, x, x
2
, , x
n−1
}.
F ⊂ C(Ω)
{B
1
, B
2

, , B
n
} F Ω
d
⊂ R
d
det A = 0 x
1
, x
2
, , x
n
Ω
A
Ω ⊂ R
d
Ω
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Φ
k
, k = 1, 2, , n
Φ
k
(x) = Φ(x − x
k
) = φ(||x − x
k
||
2
), x ∈ R
d

P f(x) =
n

k=1
c
k
Φ
k
(x) =
n

k=1
c
k
φ(||x − x
k
||)
Φ
det A = 0.
φ
mq
(r) =
√
1 + r
2
φ
imq
(r) = 1/
√
1 + r

2
φ
g
(r) = e
−r
2
C
6
φ
33
(r) = (1 −r)
8
+
(32r
3
+ 25r
2
+ 8r + 1)
r = ||x − x
k
||
2
Φ
k
(x)
P f(x
i
) = y
i
, i = 1, 1, , n.

n

k=1
c
k
φ(||x
i
− x
k
||) = y
i
, i = 1, 2, , n.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />