giáo trình giải tích chương 10 ứng dụng vào kinh tế

Toán cao cấp : Giải tích 203
Chương X ỨNG DỤNG VÀO KINH TẾ
1. Ký hiệu :
A
C
D
E
G
I
K
L
M
P
π

Q
R
S
T
U
W
Y
:
:
:
:
:
:
:
:

:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
Advertising
Cost, consumption
Demand
Elasticity
Government
Income, investment, investor
Capital
Labor, liquidity
Money
Price
Profit
Quantity
Revenue, rate of interest
Supply
Tax
Utility
Wage
Income
2. Các khái niệm cơ bản:
a- Biên tế (biên)( marginal): Trong kinh tế, khái niệm biên tế

dùng để chỉ sự thay đổi của một biến kinh tế này được gây ra bởi sự
thay đổi của một biến kinh tế khác.Cho y = f(x) và f là hàm khả vi,
ta có biên tế của y tại x là
(
)
( ) '
My x f x
=

Ví dụ: Gọi x là lượng sản phẩm của một xí nghiệp, y là tổng chi phí
sản xuất. Giả sử y phụ thuộc vào x như sau :

Toán cao cấp : Giải tích 204
(
)
y f x ax bx c
= = + +
2
(a, b, c : hằng số dương)
Khi đó, ta có chi phí biên tế của xí nghiệp là :
(
)
'
MC f x ax b
= = +
2

Chú ý: Khi
(
)

y f x ax b
= = +
thì My = a. Như vậy, trong trường hợp
hàm số là bậc nhất, giá trò biên tế chính là độ thay đổi của hàm số
khi biến số tăng thêm 1 đơn vò.
Ví dụ: Giả sử tổng chi phí của một nhà máy tính theo công thức
o
C WL rK
= −
Trong đó L chỉ số lượng lao động, W chỉ tiền lương cho mỗi lao
động, K
o
chỉ tiền vốn, r là lãi suất của vốn.
Ta có chi phí biên tế theo lao động là : MC = W. Đây là chi phí
tăng thêm khi thêm một lao động.
b- Độ co dãn (Elasticity): Trong nhiều ứng dụng kinh tế, tốc độ
thay đổi của một hàm số thường phụ thuộc vào đơn vò tính của biến
độc lập x và biến phụ thuộc y. Để tránh điều này, các nhà kinh tế
sử dụng khái niệm độ co dãn. Độ co dãn của biến y theo biến x
được đònh nghóa như sau :
( )
/
( ) . ' .
/
yx
dy y dy x x
x y x
dx x dx y y
ε
= = =

Ví dụ: Tìm độ co dãn của y theo x, nếu :
a) y = e
x
;
( )
' . .
x
x x
y x e
y y
ε
= =
Khi x = 100 thì y = e
100
.
Khi x = 101 thì y = e
101

Ta có dy/y = (e
101
– e
100
)/e
100
= e – 1 ≈ 1,7=
%
170

Mặt khác :
( ) . /

yx
e dy y
e
ε
= = ≠
100
100
100
100 100


Toán cao cấp : Giải tích 205
b) y = 3x + 5 ;
( )
' .
x x
y x
y x
ε
= =
+
3
3 5

Khi x = 100 thì y = 305.
Khi x = 101 thì y = 308
Ta có dy/y = (308 – 305)/305 = 3/305 =
%
300
305

Mặt khác
( )
. / . /
dy y
ε
= + = =
300
3 100 3 100 5
305

Chú ý: Khi y = f(x) = ax + b thì độ co dãn của y theo x chính là sự
thay đổi của y tính theo phần trăm khi x tăng thêm 1%.
3. Bài toán cực đại, cực tiểu hóa:
a.Hàm lồi, hàm lõm:
i) Tập lồi: Cho D
n
⊂
ℝ
. D được gọi là tập lồi nếu
(
)
(
)
, ' , , '
∀ ∈ ∀ ∈ ⇒ + − ∈
0 1 1
x x D x x D
λ λ λ

ii) Hàm số y = f(x) gọi là lồi ngặt trên tập lồi D
n
⊂
ℝ
nếu
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
' ' ,
+ − < + −
1 1
f x x f x f x
λ λ λ λ
(
)
, ' , ,
∀ ∈ ∀ ∈
0 1
x x D
λ
.
iii) Hàm số y = f(x) gọi là lõm ngặt trên tập lồi D
n

⊂
ℝ
nếu
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
' ' , , 'f x x f x f x x x
λ λ λ λ
+ − > + − ∀ ∈
ℝ
1 1
,
(
)
,
λ
∀ ∈
0 1
.
b- Cực trò đòa phương, cực trò toàn cục của hàm số thực theo
một biến số thực
Xét hàm số : y = f(x),
x D

∈ ⊂
ℝ

•
Hàm số f gọi là đạt cực đại đòa phương tại
o
x D
∈
nếu :
(
)
(
)
(
)
: , :
o o o
x x x D f x f x
ε ε ε
∃ > ∀ ∈ − + ∩ ≤
0

•
Hàm số f gọi là đạt cực tiểu đòa phương tại
o
x
nếu :
(
)
(

)
(
)
: , :
o o o
x x x D f x f x
ε ε ε
∃ > ∀ ∈ − + ∩ ≥
0

•
Hàm số f gọi là đạt cực đại toàn cục trên D tại x
o
nếu :
(
)
(
)
,∀ ∈ ≤
o
x D f x f x


Toán cao cấp : Giải tích 206
• Hàm số f gọi là đạt cực tiểu toàn cục trên D tại x
o
nếu :
(
)
(

)
,∀ ∈ ≥
o
x D f x f x

Chú ý:
- Một cực trò đòa phương không chắc là cực trò toàn cục.
- Không phải hàm số nào cũng có cực trò toàn cục.
- Trong các ứng dụng kinh tế, hầu hết các hàm số chỉ có một
cực trò đòa phương duy nhất và đó cũng là cực trò toàn cục.
- Trên tập lồi D
⊂
ℝ
, đối với các bài toán kinh tế thường gặp
ta có:
+ Nếu f”(x) > 0,
x D
∀ ∈
thì f lồi ngặt toàn cục trên D. Khi đó,
một điểm cực tiểu đòa phương cũng là cực tiểu toàn cục trên D.
+ Nếu f”(x) < 0,
x D
∀ ∈
thì f lõm ngặt toàn cục trên D. Khi
đó, một điểm cực đại đòa phương cũng là cực đại toàn cục trên D.
c- Cực trò đòa phương, cực trò toàn cục của hàm số thực theo hai
biến số thực
Xét hàm số
(
)

(
)
, , ,z f x y x y D= ∈ ⊂
2
ℝ

Đặt
( ) ( ) ( ) ( )
{
}
/
( , ), , / ,
o o o o
B x y x y x x y y
ε ε ε
 
= − + − < >
 
1 2
2 2
0

• Hàm số f gọi là đạt cực đại đòa phương tại
(
)
,
o o
x y D
∈
nếu

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
: , , , : , ,
o o o o
x y B x y D f x y f x y
ε ε
∃ > ∀ ∈ ≤
0
∩

• Hàm số f gọi là đạt cực tiểu đòa phương tại
(
)
,
o o
x y
nếu
(
)
(
)
(

)
(
)
(
)
: , , , : , ,
o o o o
x y B x y D f x y f x y
ε ε
∃ > ∀ ∈ ≥
0
∩

• Hàm số f gọi là đạt cực đại toàn cục tại
(
)
,
o o
x y D
∈
nếu
(
)
(
)
(
)
, , , ,
o o
x y D f x y f x y

∀ ∈ ≤

• Hàm số f gọi là đạt cực tiểu toàn cục tại
(
)
,
o o
x y D
∈
nếu
(
)
(
)
(
)
, , , ,
o o
x y D f x y f x y
∀ ∈ ≥


Toán cao cấp : Giải tích 207
Các chú ý ở trường hợp hàm một biến vẫn đúng cho trường hợp hai
biến.
 Điều kiện cần của cực trò đòa phương (điều kiện cấp 1)
Nếu hàm f đạt cực trò đòa phương tại (x
o
, y
o

) và f có các đạo
hàm riêng tại (x
o
, y
o
) thì
(
)
(
)
' , ' ,
x y
f x y f x y
= =
0 0 0 0
0

 Điều kiện đủ của cực trò đòa phương (điều kiện cấp 2)
Nhắc lại: Cho z = f (x,y) có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục,
ta có vi phân cấp 1 và vi phân cấp 2 của f lần lượt như sau :
' '
x y
dz f dx f dy
= +
;
" " "
xx xy yy
d z f dx f dxdy f dy
= + +
2 2 2

2

Ta có :
" " " "
"
" "
xy xx yy xy
xx
xx xx
f dy f f f
d z f dx dy
f f
   
−
= + +
   
   
   
2
2
2 2
( giả sử ''
xx
f
≠
0
)
Suy ra:
+ Nếu
"

xx
f
< 0 và
"
xx
f
"
yy
f
-
"
xy
f
2
> 0 thì d z
<
2
0

+ Nếu
"
xx
f
>0 và
"
xx
f
"
yy
f

-
"
xy
f
2
> 0 thì d z
>
2
0

Bây giờ, ta có điều kiện đủ của cực trò đòa phương như sau :
• Nếu df(x
o
,y
o
) = 0 và d
2
f(x
o
,y
o
) < 0 thì f đạt cực đại đòa phương
tại (x
o
,y
o
).
• Nếu df(x
o
,y

o
) = 0 và d
2
f(x
o
,y
o
) > 0 thì f đạt cực tiểu đòa phương
tại (x
o
,y
o
).
Ta đặt:
"
"
"
"
xy
xx
yx
yy
f
f
H
f
f


=







(H gọi là ma trận Hesse);
//
,
xx
H f H H
= =
1 2

Ta có :
i) ,H H thì d f
< > <
2
1 2
0 0 0
(cực đại đòa phương)
ii) ,H H thì d f
> > >
2
1 2
0 0 0
(cực tiểu đòa phương)

Toán cao cấp : Giải tích 208
+ Nếu

(
)
(
)
, , ,
d z x y x y D
> ∀ ∈
2
0
thì f lồi ngặt toàn cục trên D.
Khi đó, một điểm cực tiểu đòa phương cũng là cực tiểu toàn cục trên
D.
+ Nếu
(
)
( , ) , ,
d z x y x y D
< ∀ ∈
2
0
thì f lõm ngặt toàn cục trên D.
Khi đó, một điểm cực đại đòa phương cũng là cực đại toàn cục trên
D.
d- Đònh lý: Cho z = f (x,y) có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục trên
tập mở và lồi
D
⊂
ℝ
2
. Giả sử , tại

(
)
,
x y D
∈
0 0
ta có
(
)
(
)
' , ' ,
x y
f x y f x y
= =
0 0 0 0
0
.Khi đó
i) Nếu ( , ) , ( , ) , ( , )
H x y H x y x y D
> > ∀ ∈
1 2
0 0

thì f đạt cực tiểu toàn cục trên D tại
(
)
,
x y
0 0

ii ) Nếu ( , ) , ( , ) , ( , )
H x y H x y x y D
< > ∀ ∈
1 2
0 0

thì f đạt cực đại toàn cục trên D tại
(
)
,
x y
0 0

3. Các ví dụ về kinh tế:
Ví dụ 1:
Giả sử hàm lợi nhuận của một xí nghiệp đối với một loại sản phẩm
có dạng :
R C T PQ cQ tQ f
∏ = − − = − − −

trong đó
∏
là lợi nhuận, R là doanh thu, C là chi phí gồm đònh phí f
(độc lập với sản lượng) và biến phí cQ (c : biến phí đơn vò trên 1
sản phẩm, Q : sản lượng), t là thuế trên một đơn vò sản phẩm, T là
tổng thuế.
Giả sử: P = a – bQ (a, b > 0)
Khi đó, ta có :
(

)
aQ bQ c t Q f
∏ = − − + −
2

Để đơn giản, ta giả sử : a = 10, b = 1, c = 2, f = 1. ta có :

Toán cao cấp : Giải tích 209
(
)
Q Q t Q
∏ = − − + −
2
10 2 1

Bài toán đặt ra là xí nghiệp muốn xác đònh mức sản lượng Q để lợi
nhuận đạt cực đại. Đồng thời nhà nước cũng muốn xác đònh mức
thuế t trên một đơn vò sản phẩm để tổng thuế T đạt cực đại.
Trước tiên, ta đứng trên cương vò của xí nghiệp, xem t như là tham
số thì
π
là hàm số thực theo một biến số thực Q.
Điều kiện cấp 1 :
( )
/
Q
t
Q t Q t
−
∏ = − + − = ⇔ = < <

8
2 8 0 0 8
2

Điều kiện cấp 2 :
//
QQ
∏ = − <
2 0

Vậy hàm
π
lõm ngặt toàn cục nên đạt cực đại toàn cục khi :
( )
*
t
Q Q t
−
= = < <
8
0 8
2

Với Q = Q
*
, ta có :
*
t t
T tQ
−

= =
2
8
2

Điều kiện cấp 1 :
'
"
t
tt
t
T t
T
−
= = ⇔ =
= − <
8 2
0 4
2
1 0

Vậy hàm T lõm ngặt toàn cục nên đạt cực đại toàn cục khi :
t = t
*
= 4 (thỏa điều kiện 0 < t < 8)
Khi đó, ta có : Q = Q
*
= 2
P = P
*

= a – bQ
*
= 10 – 2 = 8
Và
*
.
∏ = ∏ = − − − =
20 4 6 2 1 3

Ví dụ 2: Giả sử hàm lợi nhuận của một công ty đối với một sản
phẩm là :
R C PQ wL rK
∏ = − = − −


Toán cao cấp : Giải tích 210
trong đó
∏
là lợi nhuận, R là doanh thu, C là chi phí, L là lượng lao
động, w là tiền lương của một lao động, K là tiền vốn, r là lãi suất
của tiền vốn, P là đơn giá bán.
Giả sử Q là hàm sản xuất Cobb-Douglas dạng
/ /
Q L K
=
1 3 1 3

Giả sử w = 1, r = 0,02, P = 3
Khi đó, ta có :
/ /

,
L K L K
Π = − −
1 3 1 3
3 0 02

/ / / / / /
; ,
L K
L K L K
− −
∏ = − ∏ = −
2 3 1 3 1 3 2 3
1 0 02

Ta có điều kiện cần để
Π
đạt cực trò tại (L,K) là:
/ / / / / /
,
L K
L K L K
− −
∏ = − = ∏ = − = ⇔
và
2 3 1 3 1 3 2 3
1 0 0 02 0

( )
( , ) ( , )

( , )
K
K
K L
L
L vì L
L
L K L
K

=

=


=
  
⇔ ⇔
  
= >
= =





=


2

2
3 2 3 4
3
2
1
2500
50 0
0 02 0 02
0 02
Ta có ma trận Hesse :
/ / / /
// //
// //
/ / / /
LL LK
KL KK
L K L K
H
L K L K
− − −
− − −
 
−
 
 
∏ ∏
= =
 
 
∏ ∏

 
 
 
−
 
 
5 3 1 3 2 3 2 3
2 3 2 3 1 3 5 3
2 1
3 3
1 2
3 3

Điều kiện cấp 2 :
/ /
H L K
−
= − <
5 3 1 3
1
2
0
3

/ / / / / /
,H L K L K L K do L K
− − − − − −
= − = > > >
4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3
2

4 1 1
0 0 0
9 9 3

Suy ra
Π
lõm ngặt toàn cục. Do đó,
Π
đạt cực đại toàn cục tại :
K v L
= =
à
2500 50

Ví dụ 3: Giả sử một xí nghiệp sản xuất một loại sản phẩm và bán
tại hai thò trường tách biệt. Giả sử đơn giá bán tại thò trường 1 là P
1

cao hơn đơn giá bán tại thò trường 2 là P
2
: P
1
> P
2


Toán cao cấp : Giải tích 211
Giả sử tổng chi phí là : C = C(Q) + tq
2

trong đó Q = q
1
+ q
2
là lượng hàng bán được ở cả hai thò trường. q
1
,
q
2
lần lượt là

lượng hàng bán được ở thò trường 1 và thò trường 2, t
là chi phí tăng thêm trên một đơn vò sản phẩm ở thò trường 2.
Ta có hàm lợi nhuận :
(
)
Pq P q C Q tq
∏ = + − −
1 1 2 2 2

Để đơn giản, ta giả sử
, , ( ) ,
p p C Q q q q q t
= = = + + + =
2 2
1 2 1 1 2 2
7 6 3 1

Khi đó ta có :
q q q q q q q

∏ = + − − − − −
2 2
1 2 1 1 2 2 2
7 6 3

q q q q q q
= − − − + + −
2 2
1 2 1 2 1 2
7 5 3

Điều kiện cấp 1 :
/
/
q
q
q q q q
q q q q

∏ =
− − + = + =
 

⇔ ⇔
  
− − + = + =
∏ =
 



1
2
1 2 1 2
1 2 1 2
0
2 7 0 2 7
2 5 0 2 4 10
0

q
q
=

⇔

=

1
2
3
1

Điều kiện cấp 2 :
Ma trận Hesse
// //
// //
q q q q
q q q q
H
 

∏ Π
− −
 
= = 
 
− −
∏ Π
 
 
 
1 1 1 2
2 1 2 2
2 1
1 2

,
H H H
= − = − < = = >
1 2
2 2 0 3 0

Vậy
Π
lõm ngặt toàn cục, do đó
Π
đạt cực đại toàn cục khi :
* *
vàq q q q
= = = =
1 1 2 2

3 1

Khi đó :
*
∏ = ∏ = − − − + + − =
9 1 3 21 5 3 10

Ví dụ 4: Một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và tiêu
thụ trên 2 thò trường riêng biệt. Giả sử các hàm cầu trên 2 thò

Toán cao cấp : Giải tích 212
trường 1 và 2 lần lượt là Q
D1
= 80 -
P
1
3
, Q
D2
= 80 -
P
2
4
, hàm tổng
chi phí là C(Q) = Q
2
+ 30Q + 10.
Trong đó P
i
là đơn giá trên thò trường thứ i, i = 1, 2 ; Q là tổng

sản lượng.
Tìm khối lượng sản phẩm công ty cung cấp cho các thò trường
để lợi nhuận cao nhất ?
Giải: Giả sử công ty cung cấp cho thò trường i là Q
i
. Ta có :
Q
1
= 80 -

P
1
3
, Q
2
= 80 -

P
2
4
; và Q
1
+ Q
2
= Q

⇒
P
1
= 240 - 3Q

1
, P
2
= 320 - 4Q
2


⇒
R
1
= (240 - 3Q
1
)Q
1
, R
2
= (320 - 4Q
2
)Q
2
.
Với R
i
là doanh thu trên thò trường thứ i, i = 1,2
Điều kiện cần để
π
= R
1
+ R
2

- Q
2
- 30Q - 10 đạt cực trò là

Q Q
π π
∂ ∂
= =
∂ ∂
1 2
0


⇔
( )
( )

Q Q Q
Q Q Q
− = + +


− = + +

1 1 2
2 1 2
240 6 30 2
320 8 30 2
⇔

Q Q
Q Q
+ =


+ =

1 2
1 2
4 105
5 145


⇔
(Q
1
, Q
2
) = (20, 25).

; ;
Q Q Q Q
π π π
∂ ∂ ∂
= − =− =−
∂ ∂ ∂ ∂
2
2 2
2 2

1 2 1 2
8 10 2

H =

− −
 
 
− −
 
8 2
2 10
, H
2
=
>0
− −
− −
8 2
2 10
, H
1
= -8 < 0,
(
)
,
Q Q
∀
1 2

⇒

π
lõm ngặt toàn cục

⇒

π
đạt cực đại tòan cục tại
( , )
Q Q
1 2
= (20, 25).
Vậy công ty cung cấp cho :
- Thò trường thứ 1 là Q
1
= 20 đơn vò hàng với đơn giá là
P
1
= 240 - 3Q
1
= 180
- Thò trường thứ 2 là Q
2
= 25 với đơn giá P
2
= 320 - 4Q
2
= 220

4.
Cực trò ràng buộc của hàm số thực theo hai biến số thực
:
Xét bài toán tìm cực trò hàm f(x, y) với ràng buộc
g(x, y) = g
o
( giả sử g
0
> 0)

Toán cao cấp : Giải tích 213
Trước tiên, ta lập hàm Lagrange :
(
)
(
)
(
)
(
)
, ; , ,
o
L x y f x y g g x y
λ λ
= + −

(
λ
gọi là nhân tử Lagrange)
Ta thấy cực trò của hàm f với ràng buộc g(x, y) = g

o
cũng chính là
cực trò của hàm Lagrange L.
Ta có điều kiện cấp 1 tương tự trường hợp cực trò không ràng buộc
Điều kiện cấp : Nếu L đạt cực trò đòa phương tại (x
o
, y
o
,
o
λ
)
thì
(
)
' ' '
,
tại
= = = = =
0 0 0 0
x y
L L L hay dL
λ
(x
o
, y
o
,
o
λ

)
Điều kiện cấp 2:
Ta đònh nghóa Hessian bao như sau :
" "
''
" " "
" " ''
xx xy
x
yx yy y
x y
L L
L
H L L L
L L L
λ
λ
λ λ λλ




=








Đặt
" ''
" ''
,
λ
λ λλ
 
= =
 
 
 
1 2
xx x
x
L L
H H H
L L

Ta có các đònh lý sau :
• Nếu dL(x
o
, y
o,
o
λ
) = 0 và H
<
1
0

tại (x
o
, y
o
,
o
λ
), H
>
2
0

tại (x
o
, y
o
,
o
λ
) thì L đạt cực đại đòa phương tại (x
o
, y
o
,
o
λ
).
• Nếu dL(x
o
, y

o,
o
λ
) = 0 và H
<
1
0
tại (x
o
, y
o
,
o
λ
), H
<
2
0

tại (x
o
, y
o
,
o
λ
) thì L đạt cực tiểu đòa phương tại (x
o
, y
o

,
o
λ
).
• Nếu dL(x
o
, y
o,
o
λ
) = 0 và H
<
1
0
, H
>
2
0
,
(
)
, ,
x y
λ
∀
thì
(x
o
, y
o

) là điểm cực đại toàn cục của f với ràng buộc g(x
o
, y
o
)
= g
o
.

Toán cao cấp : Giải tích 214
• Nếu dL(x
o
, y
o,
o
λ
) = 0 và H
<
1
0
, H
<
2
0
,
(
)
, ,
x y
λ

∀
thì
(x
o
, y
o
) là điểm cực tiểu toàn cục của f với ràng buộc
g(x
o
, y
o
) = g
o
.
Chú ý: Bài toán tìm cực trò hàm f(x, y) với ràng buộc g(x, y) = g
o
có
thể giải đơn giản bằng cách từ ràng buộc, rút y theo x (hay x theo y)
và thế vào f. Từ đó, bài toán đưa về việc tìm cực trò của hàm một
biến. Tuy nhiên, không phải lúc nào ta cũng rút được biến này theo
biến kia. Hơn nữa, phương pháp Lagrange áp dụng được cho trường
hợp hàm nhiều biến tổng quát với nhiều ràng buộc và nhân tử
Lagrange
λ
có ý nghóa đặc biệt trong kinh tế.
Ví dụ 1: Giả sử hàm lợi ích đối với hai sản phẩm là
(
)
, ln ln
x y x y

= +
∪
trong đó x là lượng hàng thứ nhất, y là lượng
hàng thứ hai. Giả sử người tiêu dùng có thu nhập I phải dùng hết
để mua hai sản phẩm trên, P
x
và P
y
lần lượt là đơn giá của hai mặt
hàng. Bài toán đặt ra là cần tìm x và y để cực đại hóa
∪
với ràng
buộc P
x
x + P
y
y = I ( điều kiện ;
x y
I P I P
≥ ≥
2 2
).
Hàm Lagrange của bài toán :
(
)
ln ln
x y
L x y I P x P y
λ
= + + − −

Điều kiện cấp 1 :
'
'
'
x
x
y y
x y
P
x
L
L P
y
L
I P x P y
λ
λ
λ

− =


=



= ⇔ − =
 
 

=


− − =


1
0
0
1
0 0
0
0


Toán cao cấp : Giải tích 215
x y
x x
y y
I
xP yP
I
x
P P
I
I
y
P P
λ
λ

λ
λ
λ


=


= =


 
⇔ ⇔ = =
 
 
=
 

= =



2
1 1
1
2
2
1
2

Hessian bao :
/
x
y
x y
x P
H P
y
P P
 
− −
 
 
= − −
 
 
 
− −
 
2
2
1 0
1
0
0
;
/
,
x
x

x
x P
H P
P
− −
= = − <
−
2
2
1
1
0
0

, , , ( , )
= = + > ∀ ≥ ≥
2
2
2
2 2
0 1 1
y
x
P
P
H H x y x y
y x
λ

Vậy

∪
đạt cực đại toàn cục với ràng buộc g(x,y) = I tại :
*
x
I
x x
P
= =
2
và
*
y
I
y y
P
= =
2

Khi đó : ln ln ln
x y x y
I I I
P P P P
= + =
2
2 2 4
∪
Ví dụ 2: Giả sử hàm lợi ích phụ thuộc vào số tiền tiêu dùng tại cuối
hai thời kỳ 1 và 2 là C
1
và C

2
như sau :
∪
= C
1
C
2
.
Giả sử lãi suất tại cuối thời kỳ thứ 1 là r = 0,5%, tổng thu nhập tại
cuối thời kỳ thứ 1 là I. Giả sử ta có ràng buộc
C
C I
r
+ =
+
2
1
1

(C
2
/(1+r) là hiện giá của C
2
tại cuối thời kỳ thứ 1).
Bài toán đặt ra là tìm C
1
, C
2
để cực đại hóa hàm lợi ích
∪

.
Ta có hàm Lagrange của bài toán :

Toán cao cấp : Giải tích 216
( )
, ,
,
λ λ
 
= + − −
 
 
2
1 2 1 2 1
1 005
C
L C C C C I C
Điều kiện cấp 1:
'
'
'
,
,
,
λ
λ
λ
λ
λ



− =

=

=



 
= ⇔ − = ⇔ =
  
  
=

=



− − =


1
2
2
2
1 1
1
2
1

0
0
0 0 1 005
1 005
2
0
0
1 005
C
C
C
L
C
L C C
C I
L
C
I C

,
,
I
C
I
C
I
λ

=




⇔ =



=


1
2
2
1 005
2
1 005
2

Hessian bao :
,
,
H
 
 
−
 
 
= −
 
 
 

− −
 
 
0 1 1
1
1 0
1 005
1
1 0
1 005

Điều kiện cấp 2 :
,
, ,
−
= = − < = = + >
−
1 2
0 1
1 1
1 0 0
1 0
1 005 1 005
H H H
(
)
, ,
C C
λ
∀

1 2

Vậy
∪
đạt cực đại toàn cục khi
* *
, ,= = = =
1 1 2 2
1 005
2 2
I I
C C C C


Toán cao cấp : Giải tích 217
Ví dụ 3: Giả sử một xí nghiệp cần xác đònh lượng lao động L, lượng
vốn K để cực tiểu hóa chi phí C(L,K) = wL + rK. Trong đó w = 400
là tiền lương cho mỗi lao động, r = 0,01 là lãi suất của vốn vay .
Giả sử xí nghiệp phải sản xuất Q
o
= 1000 đơn vò sản phẩm và hàm
sản phẩm là :Q = F(L,K) = L
1/2
K
1/2

Hàm Lagrange :
F
(L,K,
λ

) = wL + rK +
λ
(Q
o
– L
1/2
K
1/2
)
Điều kiện cấp 1 :
/ /
'
' / /
'
/ /
( )
( , )
λ
λ
λ
λ
λ
−
−


=
− =




=





= ⇔ − = ⇔ =
  
  
=

 
− =
=
 


2
1 2 1 2
2
2
1 2 1 2
2
1 2 1 2
6
0
800
1
0

2
0
1 0 02
0 0
2
0
0
10
L
K
K
w L K
L
F
L
F r L K
K
F
Q L K
LK

.
L
K
λ
=


⇔ =



=

4
5
200 000

Hessian bao:
/ / / / / /
/ / / / / /
/ / / /
L K L K L K
H L K L K L K
L K L K
λ λ
λ λ
− − − −
− − − −
− −
 
− −
 
 
 
= − −
 
 
 
− −
 

 
3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 3 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1
4 4 2
1 1 1
4 4 2
1 1
0
2 2

/ / / /
/ /
L K L K
H L K
L K
λ
− −
−
−
−
= = − <
−
3 2 1 2 1 2 1 2
1
1
1 2 1 2
1 1
1

4 2
0
1
4
0
2

/ / / / / / / /
H H L K L K L K L K
λ λ λ λ
− − − − − − − −
= = − − − − <
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2
1 1 1 1
0
16 16 16 16


Toán cao cấp : Giải tích 218
, ,L K
λ
∀ >
0
. Vậy, hàm chi phí C đạt cực tiểu toàn cục khi
L = L
*
= 5, K = K
*
= 200.000.