Nguyên lý phân rã trong quy hoạch tuyến tính

Số hóa bởi trung tâm học liệu />Số hóa bởi trung tâm học liệu />Số hóa bởi trung tâm học liệu />z =
n
1

j=1
c
j
x
j
+
n

j=n
1
+1
c
j
x
j
→ Min
Số hóa bởi trung tâm học liệu />n
1

j=1
a
ij
x
j
= b
i
, i = 1, , m

1
n
1

j=n
1
+1
a
ij
x
j
= b
i
, i = m
1
+ 1, , m
x
j
≥ 0, j = 1, 2, , n.
z = (c
0
)
T
x
0
+ (c
1
)
T
x

1
+ + (c
k
)
T
x
k
→ Min
A
0
x
0
+ A
1
x
1
+ . . . + A
K
x
K
= b
B
1
x
1
= b
1
B
K
x

K
= b
K
x
0
≥ 0, x
1
≥ 0, , x
K
≥ 0.
x
k
x
0
Số hóa bởi trung tâm học liệu />x
1
z = (c
1
)
T
x
1
+ (c
2
)
T
x
2
+ (c
3

)
T
x
3
+ (c
4
)
T
x
4
→ min
A
11
x
1
= b
1
,
A
21
x
1
+ A
22
x
2
= b
2
,
A

32
x
2
+ A
33
x
3
= b
3
,
A
43
x
3
+ A
44
x
4
= b
4
,
x
1
≥ 0, x
2
≥ 0, x
3
≥ 0, x
4
≥ 0.

Số hóa bởi trung tâm học liệu />A
ii
A
i,i−1
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Số hóa bởi trung tâm học liệu />R
n
αa + (1 − α)b ∈ C ∈ C 0 ≤ α ≤ 1.
∅, R
n
•
H =

x ∈ R
n
: a
T
x = α, a ∈ R
n
\ {0} , α ∈ R }.
H
+
=

x ∈ R
n
: a
T
x ≤ α

, H

−
=

x ∈ R
n
: a
T
x ≥ α}.
H
+
=

x ∈ R
n
: a
T
x < α

, H
−
=

x ∈ R
n
: a
T
x > α}.
B(a, r) = {x ∈ R
n
: x − a ≤ r} (a ∈ R

n
r > 0 .)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />•
C ⊂ R
m
, D ⊂ R
n
C × D = {(x, y) : x ∈ C, y ∈ D}
R
m+n
M M = a + L a ∈ M
M
M M
M = {x ∈ R
n
: Ax = b, A ∈
R
m+n
, b ∈ R
m
}.
x ∈ R
n
x = λ
1
a
1
+λ
2
a

2
+ +λ
k
a
k
a
i
∈ R
n
, λ
i
≥ 0, λ
1
+ λ
2
+ + λ
k
= 1
a
1
, a
2
, , a
k
.
x ∈ R
n
x = λ
1
a

1
+ λ
2
a
2
+ + λ
k
a
k
a
i
∈ R
n
, λ
i
≥
0, λ
1
+ λ
2
+ + λ
k
= 1 a
1
, a
2
, , a
k
.
x ∈ R

n
x = λ
1
a
1
+λ
2
a
2
+ +λ
k
a
k
a
i
∈ R
n
, λ
i
≥ 0
a
1
, a
2
, , a
k
.
E R
n
.

E E,
E. E
E E,
E. E.
M,
M,
dim φ = −1
C, E,
C C
R
n
dimC = n
Số hóa bởi trung tâm học liệu />a
1i
x
1
+ a
12
x
2
+, , +a
1n
x
n
≤ b
i
, i = 1, 2, , m,
Ax ≤ b A = (a
ij
) ∈ R

m×n
b = (b
1
, , b
m
)
T
a
1i
x
1
+ a
12
x
2
+, , +a
1n
x
n
= b
i
i = 1, 2, , m,
a
1i
x
1
+ a
12
x
2

+, , +a
1n
x
n
≤ b
i
i = p + 1, , m,
R
2
D = {x ∈ R
n
: Ax = b, x ≥ 0} , D
D
≥ D
D
Ay = 0, e
T
y = 1, y ≥ 0 e = (1, , 1)
T
D =
{x ∈ R
n
: Ax = b, x ≥ 0}
D
D.
x = x
Ax = b, x ≥ 0












x =
p

i=1
α
i
u
i
+
q

j=1
β
j
v
j
1 =
p

i=1
α
i

u
i
α
i
≥ 0, i = 1, , p, β
j
≥ 0, j = 1, , q,
Số hóa bởi trung tâm học liệu />
u
i
 
v
i

D
x = x α
i
, i =
1, , p β
j
, j = 1, , q x = x ≥ 0 α
i
≥ 0 β
j
≥ 0
Au
i
= b Av
j
= 0

Ax = A
p

i=1
α
i
u
i
+ A
q

j=1
β
j
v
j
=
p

i=1
α
i
(Au
i
) +
q

j=1
β
j

(Av
j
)
=
q

j=1
α
i
b +
q

j=1
β
j
(0) = b x
x = x α
i
≥ 0, β
i
≥ 0
α
i
, β
i
















p

i=1
α
i
u
i
+
q

j=1
β
j
v
j
= x
p

i=1
α

i
u
i
= 1
α
i
≥ 0, i = 1, , p,
β
j
≥ 0, j = 1, , q,
π =
(π
1
, , π
n
)
T
γ = γ



( a) π
T
u
i
+ γ ≥ 0
(b) π
T
v
i

≥ 0
(c) π
T
x + γ < 0
min {πw : Aw = b, w ≥ 0}.
π

u
i

Au
i
= b
Số hóa bởi trung tâm học liệu />
v
i

Av
j
= 0.
w = x
π
T
v
j
≥ 0,
π
T
x < π
T

u
i
w = x
α
i
α
i

D =

x ∈ R
2
: x
1
+ x
2
≥ 2, x
1
≥ 0, x
2
≥ 0

,
E u
1
= (2, 0)
T
u
2
= (0, 2)

T
.
D (x
1
≥ 2, x
2
= 0)
(x
1
= 0, x
2
≥ 2).
D v
1
= (1, 0)
T
v
2
= (0, 1)
T
Số hóa bởi trung tâm học liệu />x ∈ D
x = α
1

2
0

+ α
2


0
2

+ β
1

1
0

+ β
2

0
1

α
1
≥ 0, α
2
≥ 0 β
1
≥ 0 β
2
≥ 0 x = (1, 3)
T
α
1
= 0, α
2
= 1, β

1
= β
2
= 0 α
1
= α
2
= 0, 5; β
1
=
0, β
2
= 2











f(x) =
n

j=1
c
j

x
j
→ min
n

j=1
a
ij
x
j
= b
i
, i = 1, , m,
x
j
≥ 0, j = 1, 2, , n,
a
ij
b
i
c
j
a
i1
x
1
+ a
i2
x
2

+, , +a
in
x
n
= b
i
(i = 1, 2, , m).
x
j
x ∈ R
n
D
D = {x ∈ R
n
: Ax = b, x ≥ 0} .
D
D = ∅
D
Số hóa bởi trung tâm học liệu />A = (a
ij
) ∈ R
m×n
, b = (b
1
, , b
m
)
T
, c = (c
1

, , c
n
)
T
, x =
(x
1
, , x
n
)
T
.
min

f (x) = c
T
x : Ax = b, x ≥ 0

.
x ∈ D D
D.
x = γx
1
+ (1 − γ)x
2
0 < γ < 1 x
1
, x
2
∈ D

x = x
1
= x
2
.
x
0
=

x
0
1
, x
0
2
, , x
0
n

A
j
A x
j
> 0
A
Số hóa bởi trung tâm học liệu />P
f(x) = c
1
x
1

+ c
2
x
2
+, , +c
n
x
n
→ min
a
i1
x
1
+ a
i2
x
2
+, , +a
in
x
n
= b
i
, i = 1, 2, , m, .
x
j
≥ 0, j = 1, 2, , n,
Q
g(y) = b
1

y
1
+ b
2
y
2
+, , +b
n
y
n
→ max,
a
1j
y
1
+ a
2j
y
2
+, , +a
mj
y
m
≤ c
j
, i = 1, 2, , n.
f(x) = c
T
x → min,
Ax = b, x ≥ 0

g(y) = b
T
x → max,
A
T
y ≤ c, x ≥ 0
Số hóa bởi trung tâm học liệu />f (x) = c
1
x
1
+ c
2
x
2
+, , +c
n
x
n
≥ g(y) = b
1
y
1
+ b
2
y
2
+, , +b
m
y
m

(P ) (Q)
x
T

c − A
T
y

= 0 x
i

c
j
−
m

i=1
a
ij
y
i

= 0, j = 1, , n.
m × m,
m × n
m
n
min

f(x) = c

T
x : Ax = b, x ≥ 0

.
j = {j
1
, j
2
, , j
m
} ,
A
i
1
, A
i
2
, , A
i
m
x
i
1
, x
i
2
, , x
i
m
Số hóa bởi trung tâm học liệu />B = (A

i
1
, A
i
2
, , A
i
m
) ×
Z
k
= (z
1k
, z
2k
, , z
1k
)
T
A
k
B
c
B
= (c
i
1
, c
i
2

, , c
i
m
)
T
x
B
= (x
i
1
, x
i
2
, , x
i
m
)
T
x
B
= B
−1
b, f (x) = (c
B
)
T
B
−1
b, Z
k

= B
−1
A
k
, k = 1, 2, , n
∆
k
= (c
B
)
T
Z
k
− c
k
x
k
A
s
B B A
i
r
Z
rs
= 0 B

B
A
s
A

r
r
Q = B
−1
= (q
ik
)
m×n
, Q

= (B

)
−1
= (q

ik
)
m×n
.
q
,
ik
q
ik
q
,
ik
=


q
ik
− (q
rk
/z
rs
)z
is
, i = r
q
rk
/z
rs
) , i = r,
i, k = 1, , m.
1.1 1.2. m + 1 a
ij
b
i
c
ij
m + 2
∆
k
x
k
Số hóa bởi trung tâm học liệu />c
B
B
−1

m
Z
s
A
s
∆
s
.
(q
m+1,1
, q
m+1,2
, , q
m+1,m
) = (c
B
)
T
B
−1
J B = {A
ij
: j ∈ J} ,
m
q
m+1,0
= (c
B
)
T

B
−1
b q
m+1,k
(k = 1, , m)
c
B
k B
−1
(1.10).
x
k
(1.8) : ∆
k
m + 1 1.2
A
k
c
k
∆
k
≤ 0 k = 1, , m
A
s
∆
s
= max {∆
k
: ∆
k

≥ 0, k /∈ j} .
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Z
s
Z
s
= B
−1
A
s
B
−1
A
s
1.1 Z
s
1.2.
∆
s
.
z
is
≤ 0 i = 1, , m (1.7)
θ
0
=
q
r0
z
rs
= min


q
i0
z
is
: z
is
> 0

θ q
i0
/z
is
. z
is
≥ 0.
x
i
r
x
s
. c
B
,
c
i
r
c
s
(q

ik
)
(m×n)×(m+1)
Z
s
, z
rs
> 0.
z
rs
.
×z
is
.
f (x) = 26x
1
+ 35x
2
+ 34x
3
+ 37x
4
+ 25x
5
+ 31x
6
→ min .
28x
1
+ 34x

2
+ 28x
3
+ 30x
4
+ 30x
5
+ 34x
6
= 32
x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
+ x
5
+ x
6
= 1
x
1
≥ 0, x
2
≥ 0, x
3
≥ 0, x

4
≥ 0, x
5
≥ 0, x
6
≥ 0
∆
k
A
1
A
2
B = (A
1
,A
2
) =

28 34
1 1

⇒ B
−1
=

−
1
6
17
3

1
6
−
14
3

Số hóa bởi trung tâm học liệu />
x
1
x
2

=

−
1
6
17
3
1
6
−
14
3

×

32
1


=

1
3
2
3

f
1
=
1
3
× 26 +
2
3
× 35 = 32
(y
1
, y
2
) = (26, 35)

−
1
6
17
3
1
6
−

14
3

= (1, 5; −16)
∆
1
= A
T
y − c = (0, 0, −8, −8, 4, 4) . A
5
A
1
z
15
=
2
3
∆
2
= A
T
y − c = (−1, 0, −14, −12, 0, 4)
A
6
A
2
∆
3
= A
T

y − c = (−4, −4, −12, −12, 0, 0) .
x
∗
= (0, 0, 0, 0, 0, 5, 0, 5)
T
f
min
= f (x
∗
) = 28
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Số hóa bởi trung tâm học liệu />f (x) =
n

j=1
c
j
x
j
→ min
n

j=1
a
ij
x
j
= b
i
, i = 1, 2, , m,
n


j=1
d
ij
x
j
= h
i
, i = 1, 2, , p,
x
1
≥ 0, x
2
≥ 0, , x
n
≥ 0.
A = (a
ij
) ∈ R
m×n
, D = (d
ij
) ∈ R
p×n
c = (c
1
, , c
n
)
T

∈ R
n
b = (b
1
, , b
m
)
T
∈ R
m
h = (h
1
, , h
p
)
T
∈ R
p
,
x = (x
1
, , x
n
)
T
∈ R
n
Số hóa bởi trung tâm học liệu />f(x)
min {c
T

x : Ax = b, Dx = h, x ≥ 0}
(m + p)
(p + 1)
G
G
G
G G u
1
, u
2
, , u
q
G u
k
=

u
k
1
, u
k
2
, , u
k
n

T
, k = 1, 2, , q.
x ∈ G
x =

q

k=1
z
k
u
k
x
j
=
q

k=1
z
k
u
k
j
, j = 1, 2, , n
z
k
≥ 0, k = 1, 2, , q
q

k=1
z
k
= 1
G
Số hóa bởi trung tâm học liệu />z

1
, z
2
, , z
q
:
g (z) =
n

j=1
c
j

q

k=1
z
k
u
k
j

=
q

k=1

n

j=1

c
j
u
k
j

z
k
→ min,
n

j=1
d
ij

q

k=1
z
k
u
k
j

=
q

k=1

n


j=1
d
ij
u
k
j

z
k
= h
i
, i = 1, 2, , p
q

k=1
z
k
= 1, z
k
≥ 0, k = 1, 2, , q
α
k
= c
T
u
k
=
n


j=1
c
j
u
k
j
,
P
k
= Du
k
p
ik
=
n

j=1
d
ij
u
k
j
, i = 1, , p, k = 1, , q,
g (z) =
q

k=1
α
k
z

k
→ min,
q

k=1
p
ik
z
k
= h
i
, i = 1, 2, , p,
q

k=1
z
k
= 1, z
k
≥ 0, k = 1, 2, , q
min{g (z) = α
T
z :
q

k=1
P
k
z
k

= Q,z ≥ 0},
α = (α
1
, α
2
, , α
q
)
T
, z = (z
1
, z
2
, , z
q
)
T
,
P
k
=








p

1k
.
.
.
p
pk
1








(k = 1, 2, , q) Q =








h
1
.
.
.
h

p
1








Số hóa bởi trung tâm học liệu />