Phương pháp sai phân đối với bài toán truyền nhiệt đối lưu không dừng có hệ số liên tục

®¹i häc th¸I nguyªn
Tr-êng ®¹i häc khoa häc



Tr-¬ng tiÕn hoµng




PH¦¬ng ph¸p sai ph©n ®èi víi
bµi to¸n trun nhiƯt ®èi l-u
kh«ng dõng cã hƯ sè liªn tơc




ln v¨n th¹c sÜ to¸n häc




Th¸i nguyªn, n¨m 2013
Số hóa bởi trung tâm học liệu />

®¹i häc th¸I nguyªn
Tr-êng ®¹i häc khoa häc

Tr-¬ng tiÕn hoµng

PH¦¬ng ph¸p sai ph©n ®èi víi
bµi to¸n trun nhiƯt ®èi l-u
kh«ng dõng cã hƯ sè liªn tơc

Chuyªn ngµnh: To¸n øng dơng
M· sè : 60 46 01 12


ln v¨n th¹c sÜ to¸n häc

Ng-êi h-íng dÉn khoa häc:
Ts. Ngun ®×nh b×nh

Th¸i nguyªn, n¨m 2013
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Mục lục
Lời mở đầu iii
1 Phương pháp sai phân giải phương trình truyền nhiệt
một chiều 1
1.1 Phát biểu bài tốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Lưới sai phân và hàm lưới . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Lưới sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Hàm lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Xấp xỉ các đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Phương pháp ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.1 Xây dựng phương pháp . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.2 Bài tốn sai phân đối với sai số . . . . . . . . 6
1.4.3 Sự xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.4 Sự ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.5 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Phương pháp sai phân hiện . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5.1 Xây dựng phương pháp . . . . . . . . . . . . . 8
1.5.2 Bài tốn sai phân đối với sai số . . . . . . . . 9
1.5.3 Sự xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.4 Sự ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.5 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Phương pháp sai phân với bài tốn Truyền nhiệt đối
lưu khơng dừng có hệ số liên tục 13
i
Số hóa bởi trung tâm học liệu />2.1 Bài tốn đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Lưới sai phân, hàm lưới và đạo hàm lưới . . . . . . . 15
2.2.1 Lưới sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.2 Hàm lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.3 Đạo hàm lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Bài tốn sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.1 Ký hiệu chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.2 Xấp xỉ các đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . 18
2.3.3 Phát biểu bài tốn sai phân . . . . . . . . . . 25
2.4 Phương pháp giải bài tốn sai phân . . . . . . . . . . 26
2.4.1 Quy bài tốn sai phân về dạng hệ phương
trình ba đường chéo . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.2 Phương pháp truy đuổi . . . . . . . . . . . . . 30
3 Sự ổn định, hội tụ và sai số 32
3.1 Sự ổn định của phương pháp sai phân . . . . . . . . . 32
3.1.1 Khái niệm về sự ổn định, bất đẳng thức ổn định 36
3.1.2 Xét bài tốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.3 Ý nghĩa của bất đẳng thức ổn định . . . . . . 42
3.2 Sự hội tụ và sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Kết luận 44

Tài liệu tham khảo 45
ii
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Lời mở đầu
Bài tốn truyền nhiệt là một trong ba bài tốn vật lý tốn cơ
bản mà chúng ta hay gặp trong thực tế. Việc giải các bài tốn đó
để có được đáp số bằng số là một u cầu quan trọng của thực tiễn.
Trong một số ít trường hợp, chúng ta có thể tìm được nghiệm tường
minh. Tuy nhiên trong đa số trường hợp, đặc biệt đối với các bài
tốn có hệ số hàm thì nghiệm tường minh của bài tốn là khó có
thể xác định được, hoặc nghiệm tường minh ở dạng rất phức tạp.
Vì vậy trong trường hợp này chúng ta thường dựa vào các phương
pháp giải gần đúng để tìm nghiệm.
Phương pháp sai phân là phương pháp được áp dụng rộng rãi
trong nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật. Nội dung của nó là đưa
bài tốn cần xét về việc giải phương trình sai phân hoặc hệ phương
trình sai phân sao cho việc tính tốn thuận tiện, đồng thời vẫn đảm
bảo được tính ổn định của lược đồ, cũng như đánh giá được tốc độ
hội tụ của nghiệm gần đúng tìm được tới nghiệm đúng của bài tốn.
Trong phạm vi của bản luận văn này, tác giả tìm hiểu về phương
pháp sai phân với bài tốn Truyền nhiệt đối lưu khơng dừng có hệ
số liên tục, mà cụ thể được trình bày theo bố cục sau
Chương 1: Phương pháp sai phân giải phương trình truyền nhiệt
một chiều.
Chương 2: Phương pháp sai phân với bài tốn Truyền nhiệt đối lưu
khơng dừng có hệ số liên tục.
Chương 3: Sự ổn định, hội tụ và sai số.
Luận văn được thực hiện và hồn thành tại trường Đại học Khoa
iii
Số hóa bởi trung tâm học liệu />học - Đại học Thái Ngun. Qua đây tác giả xin gửi lời cảm ơn tới
các thầy cơ giáo Khoa Tốn ứng dụng, Ban Giám hiệu, Phòng Đào

nhà trường đã trang bị kiến thức cơ bản và tạo điều kiện tốt nhất
cho tác giả trong q trình học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS
Nguyễn Đình Bình, người đã tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp
đỡ tác giả có thêm nhiều kiến thức, khả năng nghiên cứu, tổng hợp
tài liệu để hồn thành luận văn.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và các đồng
nghiệp đã động viên, giúp đỡ tác giả q trình học tập của mình.
Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên luận văn khơng tránh
khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các
thầy cơ để luận văn được hồn thiện hơn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn!
Thái Ngun, ngày 05 tháng 08 năm 2013.
Tác giả
Trương Tiến Hồng
iv
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Chương 1
Phương pháp sai phân giải
phương trình truyền nhiệt một
chiều
Trong chương này tác giả trình bày một số kiến thức chuẩn bị về
bài tốn, lưới sai phân, hàm lưới và hai phương pháp cơ bản để giải
bài tốn sai phân.
1.1 Phát biểu bài tốn
Cho các số a, b thỏa mãn a < b và T > 0. Xét
Q
T
= (a, b) × (0, T ]; Q
T
= [a, b] × [0, T ]

Xét bài tốn biên thứ nhất đối với phương trình truyền nhiệt
Tìm hàm số u(x, t) thỏa mãn
Lu ≡
∂u
∂t
−
∂
2
u
∂x
2
= f(x, t); (x, t) ∈ Q
T
, (1.1)
u(x, 0) = g(x); a < x < b, (1.2)
u(a, t) = g
a
(t); u(b, t) = g
b
(t); 0 < t ≤ T, (1.3)
trong đó f(x, t), g(x), g
a
(t), g
b
(t) là những hàm số cho trước.
Phương trình (1.1) là phương trình loại parabol với u(x, t) là
nhiệt độ tại vị trí x. thời điểm t và phương trình (1.1) là phương
1
Số hóa bởi trung tâm học liệu />trình truyền nhiệt một chiều. với x là biến khơng gian, t là biến thời
gian.

Bài tốn (1.1)÷ (1.3) là bài tốn vừa có điều kiện ban đầu (điều
kiện (1.2)) vừa có điều kiện biên (điều kiện (1.3)) nên đó là bài tốn
biên loại 1 đối với phương trình (1.1). Giả sử (1.1)÷ (1.3) có nghiêm
duy nhất đủ hơn trong Q
T
.
1.2 Lưới sai phân và hàm lưới
1.2.1 Lưới sai phân
Chọn 2 số ngun N ≥ 1, M ≥ 1. Đặt
h =
b − a
N
; x
i
= a + ih; i = 0, 1, 2, N,
τ =
T
M
; t
i
= jτ; j = 0, 1, M.
Hình 1.1
Chia miền Q
T
thành ơ bởi đường thẳng x = x
i
, t = t
j
. Mỗi điểm
(x

i
, t
i
) gọi là một nút. Nút (x
i
, t
j
) viết gọn là (i, j). h là bước đi theo
khơng gian, τ gọi là bước đi theo thời gian.
2
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Tập tất cả các nút tạo thành một lưới sai phân trên Q
T
.
Lưới trên (a, b]( lưới khơng gian).
- Tập Ω
h
= {x
i
= |i = 1, 2, , N − 1} gọi là tập các nút lân cận
trên [a, b].
- Tập Γ
h
= {x
i
= |i = 0, N} gọi là tập các nút trên [a, b]. Nút 0
và nút N là hai nút biên.
- Tập Ω
h
= Ω
h

∪Γ
h
gọi là một lưới sai phân trên [a, b]. Lưới trên
[0, T] (lưới thời gian).
- Tập Ω
τ
= {t
j
|j = 1, 2, M} gọi là một lưới sai phân trên (0,
T].
- Tập {Ω
τ
= {t
j
|j = 0, 1, M} = Ω
τ
∪ {t
0
= 0} gọi là một lưới
sai phân trên [0, T], nút t
0
= 0 là nút ban đầu.
- Tập Ω
hτ
= Ω
h
× Ω
τ
là tập các nút trên Q
T

.
- Tập Γ
hτ
−
= {x
0
= a} × Ω
τ
gọi là tập các nút bên trái.
- Tập Γ
hτ
+
= {x
0
= b} × Ω
τ
gọi là tập các nút bên phải.
- Tập Γ
0
hτ
=
Ω
h
× {t
0
= 0} gọi là tập các nút ban đầu.
vậy tập Ω
hτ
= Ω
h

× Ω
τ
là lưới sai phân trên Q
T
.
Ta phân lưới sai phân Q
T
thành nhiều lớp.
Lớp thứ j tạo bởi các nút ứng cùng một giá trị thời gian t
j
là
Ω
j
h
= {(x
i
, t
j
), i = 0, 1, , N},
nút (x
0
, t
j
) = (a, t
j
) với (x
N
, t
j
) = (b, t

i
) là hai nút biên.
1.2.2 Hàm lưới
Hàm số xác định tại các nút của một lưới nào đó gọi là hàm lưới.
Giá trị của hàm lưới v tại nút (i, j) viết là v
j
i
. Các giá trị của hàm
3
Số hóa bởi trung tâm học liệu />lưới v tại các nút của lớp Ω
j
h
tạo thành hàm lưới v
j
xác định trên
Ω
h
. Ta có
v
j
= (v
j
0
, v
j
1
, , v
j
N
) ∈ R

N+1,
,
trong tập các hàm lưới này ta xét hai chuẩn
 v
j

∞
= max
0≤i≤N
{|v
j
i
|}.
 v
i

2
=

(v
i
0
)
2
+ (v
i
1
)
2
+ + (v

i
N
)
2
.
Mỗi hàm số u(x, t) xác định trên Q
T
có giá trị tại (i, j) là u(x
j
, t
j
)
và tạo ra hàm lưới u xác định bởi u
j
i
= u(x
i
, t
j
).
1.3 Xấp xỉ các đạo hàm
Áp dụng cơng thức Taylor
F (x, x) = F (x) +
x
1!
F

(x) +
(x)
2

2!
F

(x) + +
(x)
m
m!
F
(m)
(x) + O((x)
m+1
).
ta có
u(x
i
, t
j+1
) − u(x
i
, t
j
)
τ
=
∂u
∂t
(x
i
, t
j

) + O(τ), (1.4)
u(x
i
, t
j+1
) − u(x
i
, t
j
)
τ
=
∂u
∂t
(x
i
, t
j+1
) + O(τ), (1.5)
u(x
i
, t
j+1
) − u(x
i
, t
j
)
τ
=

∂u
∂t
(x
i
, t
j
+ l/2) + O(τ
2
), (1.6)
u(x
i+1
, t
j
) − 2u(x
i
, t
j
) + u(x
i−1
, t
j
)
h
2
=
∂
2
u
∂x
2

(x
i
, t
j
) + O(h
2
), (1.7)
u(x
i+1
, t
j+1
) − 2u(x
i
, t
j+1
) + u(x
i−1
, t
j+1
)
h
2
=
∂
2
u
∂x
2
(x
i

, t
j+1
) + O(h
2
),
(1.8)
1
2

u(x
i+1
, t
j+1
) − 2u(x
i
, t
j+1
) + u(x
i−1
, t
j+1
)
h
2
+
u(x
i+1
, t
j
) − 2u(x

i
, t
j
) + u(x
i−1
, t
j
)
h
2

=
∂
2
u
∂x
2
(x
i
, t
j
+ τ/2) + O(h
2
+ τ
2
),
(1.9)
4
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Vậy ta có nhiều cách xấp xỉ phương trình đạo hàm riêng (1.1)
nên ta suy ra có nhiều phương án khác nhau thay thế bài tốn vi

phân bởi bài tốn sai phân.
1.4 Phương pháp ẩn
1.4.1 Xây dựng phương pháp
Áp dụng (1.5),(1.8) ta có
u(x
i
, t
j+1
) − u(x
i
, t
j
)
τ
−
u(x
i+1
, t
j+1
) − 2u(x
i
, t
j+1
) + u(x
i−1
, t
j+1
)
h
2

=
∂u
∂t
(x
i
, t
j+1
) −
∂
2
u
∂x
2
(x
i
, t
j+1
) + O(h
2
+ τ).
(1.10)
Để có v
j
i
≈ u(x
i
, t
j
), ta viết bài tốn sai phân sau đây thay thế cho
bài tốn vi phân

L
hT
v =
v
j+1
i
− v
j
i
T
−
v
j+1
i+1
− 2v
j+1
i
+ v
j+1
i−1
h
2
= f(x
i
, t
j+1
). (1.11)
v
0
i

= g(x
i
); i = 0, 1, 2, , N. (1.12)
v
j
0
= g
a
(t
j
); v
j
N
= g
b
(t
j
); j = 0, 1, 2, , M. (1.13)
Mỗi phương trình (1.11) chứa ba ẩn v
j+1
i−1
, v
j+1
i
, v
j+1
i+1
ở lớp trên j
+ 1 và một ẩn v
j

i
ở lớp dưới j theo hình 1.3.
5
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Hình 1.3
Cũng như trên ta đặt γ = τ /h
2
, khi đó (1.11) viết
γv
j+1
i−1
− (1 + 2γ)v
j+1
i
= −v
j
i
− τf(x
i
, t
j+1
). (1.14)
Tác dụng của các điều kiện (1.12),(1.13) cũng như ở phương án
hiện: chúng cho v
0
i
, v
j
0
, c
j

N
nhưng ở đây khi biết v
j
i
ở lớp j muốn
tính v
j+1
i
ở lớp j +1 ta phải giải hệ đại số tuyến tính (1.14) đối với
v
j+1
1
, v
j+1
2
, , v
j+1
N
. Theo nghĩa đó ta nói phương sai sai phân (1.11),
(1.12), (1.13) là một phương pháp ẩn. Nó còn có tên là phương pháp
ẩn cổ điển. Phương pháp này có sơ đồ ở hình 1.3. Sơ đồ này gọi là
sơ đồ ẩn bốn điểm.
Hệ (1.31) là một hệ ba đường chéo có thể giải bằng phương pháp
truy hồi.
1.4.2 Bài tốn sai phân đối với sai số
Gọi v là nghiệm của bài tốn sai phân (1.11), (1.12), (1.13) và u
là nghiệm của bài tốn vi phân (1.1), (1.2), (1.3).
Đặt z = v - u thì z là sai số phương pháp.
Ta có
L

hτ
z = L
hτ
v − L
hτ
u.
Do đó
L
hτ
z = ϕ, ϕ = f − L
hτ
u.
6
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Đồng thời
z
0
i
= v
0
i
− u
0
i
= 0,
z
j
0
= v
j
0

− u
j
0
= 0,
z
j
N
= v
j
N
− u
j
N
= 0,
vậy z thỏa mãn
L
hτ
z = ϕ, z
0
i
= 0, z
j
0
= 0, z
j
N
= 0. (1.15)
1.4.3 Sự xấp xỉ
Từ (1.10) ta có
L

hτ
u = Lu + O(τ + h
2
). (1.16)
Do đó ta nói tốn tử L
hτ
xấp xỉ tốn tử L. Từ đó hàm ϕ ở (1.15)
viết
ϕ = f − L
hτ
u = f − [Lu + O(τ + h
2
)]
= f − Lu + O(τ + h
2
).
vậy
ϕ = L
hτ
z, (1.17)
trong đó
ϕ = 0(τ + h
2
). (1.18)
Ta nói bài tốn sai phân (1.11) - (1.13) xấp xỉ bài tốn vi phân
(1.1) - (1.3), cấp xấp xỉ là cấp một đối với τ và cấp hai đối với h.
1.4.4 Sự ổn định
Phương trình (1.17) viết
(1 + 2γ)z
j

i
= γ(z
j
i−1
+ z
j
i+1
) + z
j−1
i
+ τϕ
j
i
.
Ta suy ra
(1 + 2γ)|z
j
i
| = |γ(z
j
i−1
+ z
j
i+1
) + z
j−1
i
+ τϕ
j
i

|,
7
Số hóa bởi trung tâm học liệu />≤ γ(|z
γ
i−1
j| + |z
j
i+1
|) + |z
j−1
i
| + τ|ϕ
j
i
|.
Do đó và các điều kiện biên (1.15)
(1 + 2γ)  z
j

∞
= γ( z
j

∞
+  z
j

∞
)+  z
j−1


∞
+τ  ϕ
j

∞
.
(1.19)
vậy
 z
j

∞
≤ x
j−1

∞
+τ  ϕ
i

∞
. (1.20)
Do đó,
 ϕ
i

∞
≤ ϕ
0


∞
+
j

s=0
τ  ϕ
s

∞
. (1.21)
Đây là bất đẳng thức ổn định , nó nói lên sự ổn định của nghiệm
của bài tốn sai phân đối với vế phải và điều kiện ban đầu.
1.4.5 Sự hội tụ
Từ bất đẳng thức ổn định (1.21),kết hợp với các điều kiện phụ
thuần nhất ở (1.15) cho
 z
j

∞
≤
j

s=0
τ  ϕ
s

∞
. (1.22)
Do đó, sự xấp xỉ (1.18) cho
 z

j

∞
:= v
j
− u
j

∞
= 0(τ + h
2
). (1.23)
Đó là sự hội tụ và đánh giá sai số.
1.5 Phương pháp sai phân hiện
1.5.1 Xây dựng phương pháp
Ta tính v
j
i
≈ u(x
i
, t
j
) tại mọi nút (x
i
, t
j
). Sử dụng (1.4), (1.7) ta
suy ra
u(x
i

, t
j+1
) − u(x
i
, t
j
)
τ
−
u(x
i+1
, t
j
) − 2u(x
i
, t
j
) + u(x
i−1
, t
j
)
h
2
=
∂u
∂t
(x
i
, t

j
) −
∂
2
u
∂x
2
(x
i
, t
j
) + O(h
2
+ τ).
(1.24)
8
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Do đó để có v
j
i
≈ u(x
i
, t
j
). Dựa vào (1.24), (1.2), (1.3) ta viết bài
tốn sai phân sau thay thế cho bài tốn vi phân (1.1), (1.2), (1.3)
L
hT
v =
v
j+1

i
− v
j
i
T
−
v
j
i+1
− 2v
j
i
+ v
j
i−1
h
2
= f(x
i
, t
j
). (1.25)
v
0
i
= g(x
i
); i = 0, 1, 2, , N. (1.26)
v
j

0
= g
a
(t
j
); v
j
N
= g
b
(t
j
); j = 0, 1, 2, , M. (1.27)
Mỗi phương trình (1.25) chứa một ẩn v
j+1
i
ở lớp trên j + 1 với 3
ẩn v
j
i−1
; v
j
i
; v
j
i+1
ở lớp dưới j theo sơ đồ hình 1.2. Đặt γ = τ/h
2
. Giải
(1.25) ra ẩn v

j+1
i
.
v
j+1
i
= (1 − 2γ)v
j
i
+ γ(v
j
i+1
+ v
j
i−1
) + τf(x
i
, t
j
). (1.28)
Điều kiện (1.26) cho v
0
i
ở lớp 0. Điều kiện (1.27) cho v
j
0
và v
j
N
ở

2 nút biên (0, j) và (N, j) của
Ω
j
h
. vậy (1.25) tức (1.28) và điều kiện
(1.27).
Hình 1.2
1.5.2 Bài tốn sai phân đối với sai số
Gọi v là nghiệm của bài tốn sai phân (1.25), (1.26), (1.27) và u
là nghiệm của bài tốn vi phân (1.1), (1.2), (1.3). Đặt z = v - u thì
z là sai số phương pháp. Ta có
L
hτ
z = L
hτ
v − L
hτ
u = f − L
hτ
u,
9
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Do đó
L
hτ
z = ϕ, ϕ = f − L
hτ
u, (1.29)
Đồng thời
z
0

i
= v
0
i
− u
0
i
= 0,
z
j
0
= v
j
0
− u
j
0
= 0,
z
j
N
= v
j
N
− u
j
N
= 0.
Vậy z thỏa mãn:
L

hτ
z = ϕ, z
0
i
= 0, z
j
0
= 0, z
j
N
= 0. (1.30)
1.5.3 Sự xấp xỉ
Từ (1.24) ta có
L
hτ
u = Lu + O(τ + h
2
).
Ta nói tốn tử L
hτ
xấp xỉ tốn tử L. Từ đó hàm ϕ ở (1.30) viết
được
ϕ = f − L
hτ
u = f − [Lu + O(τ + h
2
)]
= f − Lu + O(τ + h
2
).

Vậy
ϕ = O(τ + h
2
). (1.31)
Do có (1.30),(1.31), ta nói bài tốn sai phân (1.25) - (1.27) xấp
xỉ bài tốn vi phân (1.1) - (1.3), cấp xấp xỉ là cấp một đối với τ và
cấp hai đối với h.
1.5.4 Sự ổn định
Phương trình L
hτ
z = ϕ ở (1.30) viết
z
j+1
i
= (1 − 2γ)z
j
i
+ γ(z
j
i+1
+ z
j
i−1
) + τϕ
j
i
,
i = 1, 2, N − 1.
10
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Phương trình này có dạng (1.28) trong đó thay v bởi z và f bởi

ϕ. Ta suy ra
|z
j+1
i
| ≤ |1 − 2γ|.|z
j
i
| + γ{|z
j
i+1
| + |z
j
i−1
|} + τ|ϕ
j
i
|,
|z
j+1
i
| ≤ max
0≤i≤N
{|z
j
i
|}{|1 − 2γ| + 2γ} + τ|ϕ
j
i
|. (1.32)
Giả sử giữa τ và h có hạn chế

γ =
τ
h
2
≤
1
2
. (1.33)
thì
1 − 2γ ≥ 1 − 2
τ
h
2
≥ 0 ⇒ |1 − 2γ| = 1 − 2γ.
Do đó (1.32) thành
|z
j+1
i
| ≤ max
0≤i≤N
{|z
j
i
|} + τ|ϕ
j
i
|.
vì theo (1.30) còn có z
j
0

= z
j
N
= 0 nên ta suy ra
 z
j+1

∞
≤ z
j

∞
+τ  ϕ
i

∞
.
trong đó
 ϕ
i

∞
= max
1≤i≤N−1
{|ϕ
j
|}.
Do đó, với hạn chế (1.33) ta có
 ϕ
i


∞
≤ ϕ
0

∞
+
j−1

s=0
τ  ϕ
s

∞
. (1.34)
Đó là bất đẳng thức nói lên sự ổn định của z đối với vế phải ϕ và
điều kiện ban đầu z
0
.
1.5.5 Sự hội tụ
Từ bất đẳng thức ổn định (1.34), sự xấp xỉ (1.31) và z
0
i
= 0, theo
(1.30) ta suy ra
 z
i

∞
≤

j−1

s=0
τ  ϕ
s

∞
. (1.35)
11
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Do đó, với hạn chế (1.33), sự xấp xỉ (1.31) cho
 z
i

∞
:= v
i
− u
i

∞
= 0(τ + h
2
). (1.36)
Đó là sự hội tụ: Khi τ và h dần đến số khơng mà vẫn ln tn
theo hạn chế (1.33) thì sai số z
j
= v
j
− u
j

→ 0, đồng thời sai số có
đánh giá (1.36) là một vơ cùng bé bậc một đối với τ và bậc hai đối
với h.
12
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Chương 2
Phương pháp sai phân với bài
tốn Truyền nhiệt đối lưu khơng
dừng có hệ số liên tục
Trong chương này sẽ trình bày về "bài tốn biên loại 3" (bài tốn
về truyền nhiệt trên một thanh vật chất mỏng, đồng chất có chiều
dài 1 đơn vị dài, có các hệ số vật lý là các hàm số liên tục trên miền
xét là 1 đơn vị dài và khoảng thời gian là 1 đơn vị thời gian). Đây
cũng chính là nội dung chính của luận văn.
2.1 Bài tốn đạo hàm riêng
Tìm hàm u(x, t) thỏa mãn các điều kiện
Lu =
∂u
∂t
(x, t) −
∂
∂x

A(x, t)
∂u
∂x

− B(x, t)
∂u
∂x
+ D(x, t)u = f(x, t),

0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 1 (2.1)
u(x, 0) = g(x) , x ∈ [0, 1], (2.2)
l
0
u = −A(0, t)
∂u
∂x
(0, t) + σ
0
(t)u(0, t) = g
0
(t), (2.3)
l
1
u = A(1, t)
∂u
∂x
(1, t) + σ
1
(t)u(1, t) = g
1
(t). (2.4)
13
Số hóa bởi trung tâm học liệu />trong đó A(x, t), B(x, t), D(x, t), f(x, t), σ
0
(t), σ
1
(t), g(x), g
0
(t), g

1
(t)
là những hàm số cho trước thỏa mãn





















0 < C
0
≤ A(x, t) < C
1
,
|B(x, t)| < C

2
,
0 ≤ D(x, t) < C
3
, C, C
0
, C
1
, C
2
, C
3
là các hằng số dương,
σ
1
(t) ≥ C > 0, σ
0
≥ 0,
σ
0
(t) ≥ C > 0, σ
1
≥ 0.
(2.5)
và



∂A
∂t

(x, t)



≤ C
4
,



∂B
∂t
(x, t)



≤ C
5
,



∂D
∂t
(x, t)



≤ C
6

, (2.6)
C
4
, C
5
là các hằng số dương.
Giả sử bài tốn (2.1) ÷ (2.4) có nghiệm duy nhất u(x, t) và nghiệm
đó đủ trơn đến cấp cần thiết (đạo hàm liên tục đến cấp 4 đối với x,
cấp 2 đối với t).
Nhận xét về bài tốn đạo hàm riêng đã đặt ra
*)
∂
∂x

A(x, t)
∂u
∂x

là đại lượng khuếch tán (ở đây là khuếch tán
nhiệt), A(x, t) là hệ số khuếch tán nhiệt.
*) B(x, t)
∂u
∂x
là đại lượng đối lưu, B(x, t) là hệ số đối lưu.
Chính vì hai lý do trên mà bài tốn đạo hàm riêng (2.1) ÷ (2.4)
có tên gọi là bài tốn "khuếch tán - đối lưu".
• Bài tốn đạo hàm riêng (2.1) ÷(2.4) có nghiệm duy nhất u(x, t),
hàm u(x, t) chính là hàm nhiệt độ của thanh vật chất ở vị trí x và
thời điểm t.
• Hàm A(x, t) khơng thể khuyết, còn các hàm số khác: hàm

B(x, t),,D(x, t) và hàm f(x, t) có thể khuyết trong phương trình
(2.1).
• Nếu bài tốn cho trên đoạn a ≤ x ≤ b, 0 ≤ t ≤ T thì bằng
14
Số hóa bởi trung tâm học liệu />cách biến đổi như sau



x = (b − a)x

+ a
t = T t

ta đưa được bài tốn đã cho có biến x và t về bài tốn có biến x

và
t

xác định trên đoạn 0 ≤ x

≤ 1, 0 ≤ t

≤ 1.
Do đó, từ đây về sau chỉ cần quan tâm đến x và t xác định trên
đoạn [0,1] là đủ.
2.2 Lưới sai phân, hàm lưới và đạo hàm lưới
2.2.1 Lưới sai phân
Đặt Q
T
:= {0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ T ≤ 1}. Theo phương diện hình học,

Q
T
là một hình chữ nhật.
Có nhiều cách chia miền Q
T
khác nhau. Trong bài này sẽ dùng
cách chia đều trên mỗi trục 0x, 0t.
Hình 2.1
Chia Q
T
thành các miền nhỏ bởi các đoạn thẳng song song với
các trục 0x, 0t.
15
Số hóa bởi trung tâm học liệu />0x gọi là chiều của khơng gian (khơng gian 1 chiều).
0t gọi là chiều của thời gian.
Giả sử chia đoạn [0,1] thành N đoạn con bằng nhau với x
i
= ih,
h =
1
N
, h gọi là bước chia theo khơng gian.
Giả sử chia đoạn [0,1] thành M đoạn con bằng nhau với t
j
= jτ,
τ =
1
M
, τ gọi là bước chia theo thời gian.
Giao điểm của hai đường x = x

i
và t = t
j
tạo thành một nút lưới
(x
i
, t
j
).
Tập các điểm (x
i
, t
j
), i = 0, N, j = 0, M gọi là lưới sai phân.
Tập hợp nút lưới Ω
h
, Ω
t
được xác định



Ω
h
= {(x
i
, t
j
), i = 1, N − 1, j = const},
Ω

t
:= {(x
i
, t
j
), j, = 1, M, i = const.}
Cho i = 1, N − 1, j = 1, M ta được tập điểm Ω
ht
gọi là tập các
điểm lưới trong.
Ω
ht
= Ω
h
× Ω
t
= {(x
i
, t
j
), i = 1, N − 1, j = 1, M}.
Γ
0
= {(0, t
j
), j = 1, M}, Γ
1
= {(1, t
j
), j = 1, M}.

gọi là tập các điểm lưới biên.
Ω
h0
= {(x
i
, 0), i = 0, N},
gọi là điểm lưới ban đầu ứng với t = 0 (thời điểm đầu).
Ω
ht
= Ω
ht
∪ Γ
0
∪ Γ
1
∪ Γ
h0
.
gọi là lưới phủ được Q
T
:= {0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 1}.
2.2.2 Hàm lưới
Xét hàm ϕ(x, t) xác định tại mọi (x
i
, t
j
), i =
1, N − 1, j giữ
ngun.
Ta viết ϕ

j
i
= ϕ(x
i
, t
j
), i = 1, N − 1 gọi là hàm lưới,
ϕ
j
i
= ϕ(x
i
, t
j
), i = 1, N gọi là hàm lưới kể cả trên biên x − x
0
,
x = x
N
, j =
0, M.
16
Số hóa bởi trung tâm học liệu />2.2.3 Đạo hàm lưới
Đạo hàm lưới của các hàm v
j
i
được định nghĩa như sau
(v
x
)

j
i
=
v
j
i+1
− v
j
i
h
gọi là đạo hàm sai phân tiến theo biến số x.
(v
x
)
j
i
=
v
j
i
− v
j
i−1
h
gọi là đạo hàm sai phân lùi theo biến số x.
(v
t
)
j
i

=
v
j+1
i
− v
j
i
τ
gọi là đạo hàm sai phân tiến theo thời gian t.
(v
t
)
j
i
=
v
j
i
− v
j−1
i
τ
gọi là đạo hàm sai phân lùi theo thời gian t.
Trong đó i = 1, N − 1, j = 1, M − 1.
2.3 Bài tốn sai phân
2.3.1 Ký hiệu chung
Đặt
B
+
= 0.5(B + |B|), B

−
= 0.5(B − |B|),
⇒ B
+
≥ 0, B
−
≤ 0, B = B
+
+ B
−
, |B| = B
+
+ B
−
.
Xét các hàm lưới a, a
+1
, d, b
−
, b
+
, R, r, S
0
, S
1
, s
0
, s
1
xác định

như sau
d
j
i
= D(x
i
, t
j
) ; a
j
i
= A(x
i
− 0.5h, t
j
) ;
(a
(+1)
)
j
i
= a
j
i+1
= A(x
i
+ 0.5h, t
j
) ;
(b

+
)
j
i
=
B
+
(x
i
, t
j
)
A(x
i
, t
j
)
; (b
−
)
j
i
=
B
−
(x
i
, t
j
)

A(x
i
, t
j
)
;
R
j
i
= 0.5h
|B(x
i
, t
j
)|
A(x
i
, t
j
)
; r
j
i
= 1 − R
j
i
+ (R
j
i
)

2
;
(S
0
)
j
= 0.5h
B(0
i
, t
j
)
A(0, t
j
)
; s
j
i
= 1 + (S
0
)
j
+ ((S
0
)
j
)
2
;
(S

1
)
j
= 0.5h
B(1
i
, t
j
)
A(1, t
j
)
; s
j
i
= 1 − (S
1
)
j
+ ((S
1
)
j
)
2
.
Theo cách đặt này thì mọi h > 0 và τ > 0 ta ln có r
j
i
, s

j
0
, s
j
1
≥
3
4
.
17
Số hóa bởi trung tâm học liệu />2.3.2 Xấp xỉ các đạo hàm riêng
Theo giả thiết, hàm u(x, t) thỏa mãn điều kiện của đạo hàm liên
tục đến cấp bốn đối với x, cấp hai đối với t và hàm số A(x, t) thỏa
mãn điều kiện có đạo hàm liên tục đến cấp ba đối với x và cấp một
đối với t.
Do đó, ta sử dụng được cơng thức khai triển Taylor cho các hàm
số u(x, t) và A(x, t) như sau
a) Tại các nút lưới trong x
i
(i = 0 và i = N).
Khai triển hàm u(x, t) theo t tại điểm (x
i
, t
j
) với bước −τ ta có
u(x
i
, t
j−1
) = u(x

i
, t
j
− τ) = u(x
i
, t
j
) − τ
∂u
∂t
(x
i
, t
j
) + O(τ
2
)
⇒
u(x
i
, t
j
) − u(x
i
, t
j−1
)
τ
=
∂u

∂t
(x
i
, t
j
) + O(τ)
⇒ u
t
(x
i
, t
j
) =
∂u
∂t
(x
i
, t
j
) + O(τ).
(2.7)
Khai triển hàm u(x, t) theo x tại điểm (x
i
, t
j
) với bước h ta có
u(x
i+1
, t
j

) = u(x
i
+ h, t
j
)
= (x
i
, t
j
) + h
∂u
∂t
(x
i
, t
j
) +
h
2
2
∂
2
u
∂x
2
(x
i
, t
j
) +

h
3
6
∂
3
u
∂x
3
(x
i
, t
j
) + O(h
4
).
⇒
u(x
i+1
, t
j
) − u(x
i
, t
j
)
h
=
∂u
∂t
(x

i
, t
j
) +
h
2
∂
2
u
∂x
2
(x
i
, t
j
) +
h
6
∂
3
u
∂x
3
(x
i
, t
j
) + O(h
3
).

(2.8)
Khai triển hàm A(x, t) theo x tại điểm (x
i
, t
j
) với bước h/2, ta có
A(x
i+1/2
, t
j
) = A

x
i
+
h
2
, t
j

= A(x
i
, t
j
) +
h
2
∂A
∂x
(x

i
, t
j
) +
h
2
8
∂
2
A
∂x
2
(x
i
, t
j
) + O(h
3
).
(2.9)
18
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Từ (2.8) và (2.9) ta suy ra
A(x
i+1/2
, t
j
)
u(x
i+1
, t

j
) − u(x
i
, t
j
)
h
=
= A(x
i
, t
j
)
∂u
∂t
(x
i
, t
j
) +
h
2
{A(x
i
, t
j
)
∂
2
u

∂x
2
(x
i
, t
j
) +
∂A
∂x
(x
i
, t
j
)
∂u
∂x
(x
i
, t
j
)}+
+ h
2
{
1
6
A(x
i
, t
j

)
∂
3
u
∂x
3
(x
i
, t
j
) +
1
4
∂A
∂x
(x
i
, t
j
)
∂
2
u
∂x
2
(x
i
, t
j
)

+
1
8
∂
2
A
∂x
2
(x
i
, t
j
)
∂u
∂x
(x
i
, t
j
)} + O(h
3
).
(a
(+1)
u
x
)(x
i
, t
j

) =

A
∂u
∂x

(x
i
, t
j
)+
h
2

∂u
∂x

A
∂u
∂x

(x
i
, t
j
)+
j
i
+O(h
3

).
Trong đó

j
i
= h
2

1
6
A(x
i
, t
j
)
∂
3
u
∂x
3
(x
i
, t
j
) +
1
4
∂A
∂x
(x

i
, t
j
)
∂u
2
∂x
(x
i
, t
j
)
∂u
2
∂x
2
(x
i
, t
j
)
+
1
8
∂
2
A
∂x
2
(x

i
, t
j
)
∂u
∂x
(x
i
, t
j
)

.
Khai triển hàm u(x, t) theo x tại điểm (x
i
, t
j
) với bước -h ta có
u(x
i
−h, t
j
) = A(x
i
, t
j
)−h
∂u
∂x
(x

i
, t
j
)+
h
2
2
∂
2
u
∂x
2
(x
i
, t
j
)−
h
3
6
∂
3
u
∂x
3
(x
i
, t
j
)+O(h

4
).
⇒
u(x
i
, t
j
) − u(x
i−1
, t
j
)
h
=
∂u
∂x
(x
i
, t
j
)−
h
2
∂
2
u
∂x
2
(x
i

, t
j
)−
h
2
6
∂
3
u
∂x
3
(x
i
, t
j
)+O(h
3
).
(2.10)
Khai triển hàm A(x, t) theo x tại điểm (x
i
, t
j
) với bước −h/2, ta có
A(x
i+1/2
, t
j
) = A(x
i

, t
j
).
A(x
i+1/2
, t
j
) = A(x
i
, t
j
) −
h
2
∂A
∂x
(x
i
, t
j
) +
h
2
8
∂
2
A
∂x
2
(x

i
, t
j
) + O(h
3
).
(2.11)
Từ (2.10) và (2.11) ta suy ra
A(x
i−1/2
), t
j
)
u(x
i
, t
j
) − u(x
i−1
, t
j
)
h
= A(x
i
, t
j
)
∂u
∂x

(x
i
, t
j
)−
h
2

A(x
i
, t
j
)
∂
2
u
∂x
2
(x
i
, t
j
)+
∂A
∂x
(x
i
, t
j
)

∂u
∂x
(x
i
, t
j
)

+
h
2

1
6
A(x
i
, t
j
)
∂
3
u
∂u
3
(x
i
, t
j
)+
1

4
∂A
∂x
(x
i
, t
j
)
∂u
2
∂x
2
(x
i
, t
j
)+
1
8
∂
2
A
∂x
2
(x
i
, t
j
)
∂u

∂x
(x
i
, t
j
)

.
(au
x
−)(x
i
, t
j
) =

A
∂u
∂x

(x
i
, t
j
)−
h
2

∂
∂x


A
∂u
∂x

(x
i
, t
j
)+
j
i
+O(h
3
).
(2.12)
19
Số hóa bởi trung tâm học liệu />