Lý thuyết Nevanlynna đối với toán tử sai phân
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (431.42 KB, 38 trang )
ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
VŨ SỸ MINH
LÝ THUYẾT NEVANLINNA
ĐỐI VỚI TỐN TỬ SAI PHÂN
LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC
THÁI NGUN – NĂM 2013
Số hóa bởi trung tâm học liệu />ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
VŨ SỸ MINH
LÝ THUYẾT NEVANLINNA
ĐỐI VỚI TỐN TỬ SAI PHÂN
Chun ngành: Tốn Giải tích
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC
Người hướng dẫn khoa hoc: PGS. TSKH. TRẦN VĂN TẤN
THÁI NGUN – NĂM 2013
Số hóa bởi trung tâm học liệu />1
Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
0.1. Mục đích và lý do chọn luận văn . . . . . . . . . . . . . . 2
0.2. Nội dung nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
0.3. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Chương 1. Lý thuyết Nevanlinna cổ điển 4
1.1. Cơng thức Poisson -Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Các hàm Nevanlinna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Các định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. Quan hệ số khuyết và định lý Picard . . . . . . . . . . . 10
1.5. Định lý 5 điểm Nevanlinna . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Chương 2. Lý thuyết Nevanlinna đối với tốn tử sai phân 18
2.1. Một số bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2. Định lý cơ bản thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3. Quan hệ số khuyết và định lý Picard . . . . . . . . . . . 27
2.4. Các hàm chung các giá trị . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5. Áp dụng cho các phương trình sai phân . . . . . . . . . . 31
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Tài liệu tham khảo 36
Số hóa bởi trung tâm học liệu />2
Mở đầu
0.1. Mục đích và lý do chọn luận văn
Một số ước lượng liên quan đến đạo hàm f → f
của một hàm phân
hình đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng và ứng dụng của lý
thuyết Nevanlinna cổ điển. Mục đích của nghiên cứu này là mở rộng lý
thuyết Nevanlinna cổ điển tới lý thuyết Nevanlinna đối với tốn tử sai
phân f → ∆
c
f = f (z + c) − f(z).
Năm 2006, R. G. Halburd và R. J. Korhonen đã nghiên cứu lý thuyết
Nevanlinna đối với tốn tử sai phân. Về sau, hướng nghiên cứu này
đã thu hút được nhiều nhà tốn học trong và ngồi nước. Với mong
muốn tiếp cận hướng nghiên cứu này tơi đã chọn luận văn: "Lý thuyết
Nevanlinna đối với tốn tử sai phân". Mục đích chính của luận văn
là tìm hiểu và trình bày lại một cách chi tiết bài báo "Nevanlinna theory
for the difference operator" của R. G. Halburd và R. J. Korhonen đã
đăng trên "Annales Academie Sientiarum Fennice, Methematica, Số 31
năm 2006".
0.2. Nội dung nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu sự mở rộng Lý thuyết Nevanlinna cổ điển tới lý
thuyết Nevanlinna đối với tốn tử sai phân f → ∆
c
f = f (z + c) − f (z).
0.3. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu cơ bản: Đọc bài báo của tác giả theo hướng
nghiên cứu, từ đó tìm ra những ý tưởng mới để nghiên cứu. Luận văn
giải quyết các vấn đề trọng tâm:
Chương 1. Lý thuyết Nevanlinna cổ điển
Chương này tập trung trình bày về những kiến thức cơ sở của Lý
thuyết Nevanlinna cổ điển: Cơng thức Poisson – Jensen, các hàm Nevan-
Số hóa bởi trung tâm học liệu />3
linna, các định lý cơ bản, Quan hệ số khuyết, định lý Picard và định lý
5 điểm Nevanlinna.
Chương 2. Lý thuyết Nevanlinna đối với tốn tử sai phân
Trong chương này, chúng tơi trình bày một số kết quả mở rộng Lý
thuyết Nevanlinna cổ điển tới lý thuyết Nevanlinna cho tốn tử sai
phân. Một trong những kết quả chính là mơ hình hóa định lý cơ bản
thứ hai của lý thuyết Nevanlinna. Hệ quả của định lý bao gồm các
mơ hình hóa của quan hệ số khuyết, định lý Picard, định lý năm điểm
Nevanlinna. Nghiên cứu ứng dụng cho phương trình sai phân và đưa ra
một số ví dụ minh họa cho kết quả đã trình bày.
Trong q trình học tập và thực hiện luận văn, tơi đã nhận được sự
dạy bảo tận tình của các thầy cơ giáo ở trường Đại Học Sư Phạm - Đại
Học Thái Ngun, Đại Học Sư Phạm Hà Nội, Viện Tốn Học. Đặc biệt
là sự chỉ bảo và hướng dẫn tận tình của PGS. TSKH. Trần Văn Tấn.
Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, cơ giáo đã giúp đỡ tơi trong
suốt thời gian qua. Xin cảm ơn gia đình và các bạn bè đồng nghiệp đã
giúp đỡ và động viên tơi hồn thành bản luận văn này.
Thái Ngun, ngày 07 tháng 7 năm 2013
Tác giả
Vũ Sỹ Minh
Số hóa bởi trung tâm học liệu />4
Chương 1
Lý thuyết Nevanlinna cổ điển
Trong chương này chúng tơi trình bày một số kiến thức cơ sở của Lý
thuyết Nevanlinna cổ điển.
1.1. Cơng thức Poisson -Jensen
Điểm z = a được gọi là điểm bất thường cơ lập của hàm f (z) nếu
hàm f(z) là hàm chỉnh hình trong một lân cận nào đó của a, trừ ra tại
chính điểm đó.
Điểm bất thường cơ lập z = a của hàm f(z) được gọi là cực điểm của
hàm f(z) nếu lim
z→a
f (z) = ∞
Điểm z = a được gọi là cực điểm cấp m > 0 của hàm f(z) nếu trong
lân cận của a, hàm f (z) =
1
(z − a)
m
.h (z) trong đó h(z) là hàm chỉnh
hình trong lân cận của a và h (a) = 0
Hàm f(z) được gọi là hàm phân hình trong miền D nếu nó là hàm
chỉnh hình trong D, trừ ra tại một số bất thường là cực điểm.
Định lý 1.1.1. (Cơng thức Poisson -Jensen) Cho f (z) là hàm phân
hình trong hình tròn {|z| ≤ R} ; 0 < R < +∞ và f (z) ≡ 0. Giả sử
a
µ
(µ = 1, 2, , M) là các khơng điểm, mỗi khơng điểm được kể một số
lần bằng bội của nó, b
v
(v = 1, 2, , N) là các cực điểm của f trong hình
tròn đó, mỗi cực điểm được kể một số lần bằng bội của nó. Khi đó nếu
z = r.e
iθ
, (0 < r < R) , f (z) = 0, f (z) = ∞ thì:
log |f (z)| =
1
2π
2π
0
log
f
Re
iθ
R
2
− r
2
R
2
− 2Rrcos (φ − θ) + r
2
dθ
+
M
µ=1
log
R (z − a
µ
)
R
2
− a
µ
z
−
N
v=1
log
R (z − b
v
)
R
2
− a
v
z
, (1.1)
Cơng thức (1.1) chỉ ra rằng nếu biết giá trị của mơđun f(z) trên
biên, các cực điểm và khơng điểm của f(z) trong |z| < R thì ta có thể
Số hóa bởi trung tâm học liệu />5
tìm được giá trị của mơđun f(z) bên trong đĩa |z| < R.
Trường hợp đặc biệt tại z = 0 cơng thức (1.1) có dạng:
log |f (0)| =
1
2π
2π
0
log
f
Re
iθ
dθ +
M
µ=1
log
|a
µ
|
R
−
N
v=1
log
|b
v
|
R
, (1.2)
với giả thiết f(0) = 0; f(0) = ∞.
1.2. Các hàm Nevanlinna
Ta định nghĩa:
log
+
(x) = Max {log x; 0} .
Cho f là hàm phân hình trên đĩa D (r) = {z ∈ C : |z| < r}, với 0 <
r ≤ ∞. Ta kí hiệu n(r, f) là số cực điểm của f trong đĩa đóng D(r).
Hàm đếm tại cực điểm của f , ký hiệu N(r, f) và được xác định như
sau
N (r, f ) =
r
0
n (t, f) − n (0, f)
t
dt + n (0, f) log r,
trong đó n (0, f) = lim
t→0
inf n (t, f).
Hàm xấp xỉ của hàm f được kí hiệu m(r, f) và được xác định bởi:
m (r, f ) =
1
2π
2π
0
log
+
f
re
iθ
dθ.
Hàm đặc trưng Nevanlinna của f, ký hiệu là T (r, f ) và được xác định
bởi
T (r, f) = m (r, f ) + N (r, f ) .
Với mỗi a ∈ C, ký hiệu n(r;
1
f − a
) là số các a− điểm của f kể cả bội
trong đĩa đóng D(r).
Hàm đếm tại các a− điểm của f, ký hiệu là N(r;
1
f − a
), được xác
Số hóa bởi trung tâm học liệu />6
định bởi
N(r,
1
f − a
) =
r
0
n(t,
1
f − a
) − n(0,
1
f − a
)
t
dt + n
0,
1
f − a
log r.
Hàm xấp xỉ tại các a− điểm của hàm f, được ký hiệu m(r,
1
f − a
),
được xác định bởi
m(r,
1
f − a
) =
1
2π
2π
0
log
+
1
|f (re
iθ
) − a|
dθ.
Hàm đặc trưng Nevanlinna tại các a− điểm của hàm f, được ký hiệu
T (r,
1
f − a
), được xác định bởi:
T (r,
1
f − a
) = m(r,
1
f − a
) + N(r,
1
f − a
).
Với x > 0 thì log x = log
+
x − log
+
1
x
, suy ra
1
2π
2π
0
log
f
re
iθ
dθ =
1
2π
2π
0
log
+
f
re
iθ
dθ−
1
2π
2π
0
log
+
1
|f (re
iθ
)|
dθ.
Cơng thức (1.2) có dạng
log |f (0)| =
1
2π
2π
0
log
+
f
re
iθ
dθ +
N
v=1
log
r
|b
v
|
−
1
2π
2π
0
log
+
1
|f (re
iθ
)|
dθ +
M
µ=1
log
r
|a
µ
|
Suy ra
log |f (0)| = m (r, f) + N (r, f) −
m
r,
1
f
+ N
r,
1
f
.
Vậy
log |f (0)| = T (r, f) − T
r,
1
f
.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />7
Hay
T
r,
1
f
= T (r, f ) − log |f (0)| . (1.3)
Một số tính chất của các hàm Nevanlinna
1. m(r,
n
k=1
f
k
) ≤
n
k=1
m(r, f
k
) + log n;
2. m(r,
n
k=1
f
k
) ≤
n
k=1
m (r, f
k
);
3. N (r,
n
k=1
f
k
) ≤
n
k=1
N(r, f
k
);
4. N (r,
n
k=1
f
k
) ≤
n
k=1
N (r, f
k
);
5. T (r,
n
k=1
f
k
) ≤
n
k=1
T (r, f
k
) + log n;
6. T (r,
n
k=1
f
k
) ≤
n
k=1
T (r, f
k
).
Trong trường hợp đặc biệt với n = 2, f
1
(z) = f(z), f
2
(z) = −a (a là
hằng số) ta có
T (r, f − a) ≤ T (r, f ) + T (r, a) + log 2,
suy ra
T (r, f − a) ≤ T (r, f ) + log
+
|a| + log 2.
Vậy
T (r, f) − T (r, f − a) ≥ −
log
+
|a| + log 2
. (1.4)
Với f
1
(z) = f (z) − a, f
2
(z) = a ta có
T (r, f) = T (r, f − a + a) ≤ T (r, f − a) + T (r, a)
Suy ra
T (r, f) ≤ T (r, f − a) + log
+
|a| + log 2.
Vậy
T (r, f) − T (r, f − a) ≤ log
+
|a| + log 2. (1.5)
Từ (1.4) và (1.5) ta được
|T (r, f) − T (r, f − a)| ≤ log
+
|a| + log 2, ∀a ∈ C. (1.6)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />8
1.3. Các định lý cơ bản
Định lý 1.3.1. (Định lý cơ bản thứ nhất) Cho f là hàm phân hình
khác hằng trên đĩa đóng D(r) = {z ∈ C : |z| ≤ r}. Khi đó ta có:
T (r,
1
f − a
) = T (r, f) − log |f (0) − a| + ε (r, a) , (1.7)
trong đó |ε (r, a)| ≤ log
+
|a| + log 2.
Hay
T
r,
1
f − a
= T (r, f ) + O (1) , (1.8)
trong đó O(1) là đại lượng bị chặn.
Chứng minh. Theo (1.3) ta có
T
r,
1
f − a
= T (r, f − a) − log |f (0) − a| .
Theo (1.6) ta có
T (r, f − a) = T (r, f) + ε (r, a) ,
trong đó |ε (r, a)| ≤ log
+
|a| + log 2. Do đó
T
r,
1
f − a
= T (r, f ) − log |f (0) − a| + ε (r, a) .
Suy ra
T
r,
1
f − a
= T (r, f ) + O (1) .
Định lý được chứng minh.
Định lý 1.3.2. (Bất đẳng thức cơ bản) Cho f là hàm phân hình
khác hằng trên đĩa đóng D(r). Giả sử a
1
, a
2
, , a
q
là các số phức phân
biệt, δ > 0 và |a
µ
− a
v
| ≥ δ; 1 ≤ µ < v ≤ q. Khi đó
m (r, f ) +
q
j=1
m
r,
1
f − a
j
≤ 2T (r, f) − N
1
(r, f ) + S (r, f ) , (1.9)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />9
trong đó
N
1
(r, f ) = N
r,
1
f
+ 2N (r, f) − N (r, f
) ,
S (r, f) = m
r,
f
f
+m
r,
q
j=1
f
f − a
j
+qlog
+
3q
δ
+log 2+log
1
|f
(0)|
.
Định lý 1.3.3. (Định lý cơ bản thứ hai) Cho f là hàm phân hình
khác hằng trên C và a
1
, a
2
, , a
q
là các số phức phân biệt. Khi đó với
mọi ε > 0 ta có bất đẳng thức
(q − 1)T (r, f) ≤
q
j=1
N(r,
1
f − a
j
) + N(r, f ) − N
1
(r, f ) + S(r, f ) (1.10)
đúng với mọi r > 0 đủ lớn nằm ngồi một tập có độ đo Lebesgue hữu
hạn, trong đó
N
1
(r, f ) = N
r,
1
f
+ 2N (r, f) − N (r, f
) , S(r, f ) = o(T (r, f )).
Chứng minh. Theo bất đẳng thức cơ bản ta có
m (r, f ) +
q
j=1
m
r,
1
f − a
j
≤ 2T (r, f) − N
1
(r, f ) + S (r, f ) .
Cộng hai vế với N (r, f ) +
q
j=1
N
r,
1
f − a
j
ta có
m (r, f ) + N (r, f ) +
q
j=1
m
r,
1
f − a
j
+ N
r,
1
f − a
j
≤ 2T (r, f) + N (r, f) +
q
j=1
N
r,
1
f − a
j
− N
1
(r, f ) + S (r, f ).
Theo định nghĩa hàm đặc trưng và Định lý cơ bản thứ nhất ta có
m (r, f ) + N (r, f ) = T (r, f ) ,
m
r,
1
f − a
j
+ N
r,
1
f − a
j
= T
r,
1
f − a
j
,
Số hóa bởi trung tâm học liệu />10
T
r,
1
f − a
j
= T (r, f − a
j
) + O (1) .
Do đó
(q + 1) T (r, f) + O (1) ≤ 2T (r, f) +
N
j=1
N
r,
1
f − a
j
+N (r, f ) − N
1
(r, f ) + S (r, f ) .
Vậy
(q − 1) T (r, f) ≤
N
j=1
N
r,
1
f − a
j
+ N (r, f) − N
1
(r, f ) + S (r, f ) .
Định lý được chứng minh.
Hàm a(z) được gọi là hàm đủ nhỏ của hàm phân hình f(z) nếu
T (r, a) = S(r, f ). Trong đó S(r, f) = o(T (r, f)) khi r → +∞ ngồi một
tập có độ đo hữu hạn.
Nhà tốn học K. Yamanoi ([1]) đã tổng qt định lý cơ bản thứ hai
cho hàm đủ nhỏ. Kết quả của tác giả như sau:
Định lý 1.3.4. Cho f là hàm phân hình khác hằng trên C và
a
1
(z), a
2
(z), , a
q
(z) là các hàm phân hình đủ nhỏ của f. Khi đó ta
có bất đẳng thức sau:
(q − 2)T (r, f) ≤
q
j=1
N(r,
1
f − a
j
) + S(r, f ) (1.11)
1.4. Quan hệ số khuyết và định lý Picard
Cho a là hằng số. Ký hiệu: n(t, a) = n(t, a, f) là số nghiệm của phương
trình f(z) = a trong |z| < t, nghiệm bội được tính cả bội. n (t, a) là số
nghiệm phân biệt của phương trình f(z) = a trong |z| < t. Khi đó ta
định nghĩa
N (r, a, f) =
r
0
n (t, a) − n (0, a)
t
dt + n (0, a) log r,
Số hóa bởi trung tâm học liệu />11
N (r, a, f) =
r
0
n (t, a) − n (0, a)
t
dt + n (0, a) log r.
Nếu a = ∞. Khi đó ta ký hiệu N(r, f) thay cho N(r, a, f) và N(r, f)
thay cho N(r, a, f).
Ta thấy N(r, f) và N
1
(r, f ) sai khác nhau một đại lượng vơ cùng nhỏ.
Chúng ta giả sử rằng hàm f(z) là hàm phân hình trong |z| < R
0
.
Số khuyết của giá trị a, được ký hiệu δ(a), được xác định bởi
δ (a) = lim
r→R
0
m (r, a)
T (r, f)
= 1 − lim
r→R
0
N (r, a)
T (r, f)
.
Chỉ số bội của giá trị a, được kí hiệu θ(a) được xác định bởi
θ (a) = lim
r→R
0
N (r, a) − N (r, a)
T (r, f)
.
Đặt
Θ (a) = 1 − lim
r→R
0
N (r, a)
T (r, f)
.
Khi đó, với mỗi ε > 0, r đủ gần R
0
ta có
N (r, a) − N (r, a) > {θ (a) − ε} T (r, f)
N (r, a) < {1 − δ (a) + ε} T (r, f )
Suy ra
N (r, a) < {1 − δ (a) − θ (a) + 2ε} T (r, f)
Kéo theo
δ (a) + θ (a) ≤ Θ (a) .
Định lý 1.4.1. (Quan hệ số khuyết) Giả sử f(z) là hàm phân hình
khác hằng số trong |z| < r. Khi đó tồn tại khơng q đếm được giá trị
a ∈ C sao cho Θ(a) > 0. Đồng thời ta có
a∈C∪{∞}
{δ (a) + θ (a)} ≤
a
Θ (a) ≤ 2. (1.12)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />12
Chứng minh. Giả sử q ≥ 2, a
1
, a
2
, . . . , a
q
là q số phức phân biệt. Khi đó
theo định lý cơ bản thứ hai ta có
(q − 1)T (r, f) ≤
q
j=1
N(r,
1
f − a
j
) + N(r, f ) − N
1
(r, f ) + S(r, f )
=
q
j=1
N(r,
1
f − a
j
) + N(r, f ) − N(r,
1
f
) − 2N (r, f ) + N (r, f
) + S(r, f )
=
q
j=1
N(r,
1
f − a
j
) − N(r,
1
f
)
+ {N (r, f
) − N (r, f )} + S(r, f ).
Xét hiệu
{N (r, f
) − N (r, f )}
Nếu b là một cực điểm của f bội k thì log
r
|b|
được tính k lần trong tổng
N(r, f ).
Do b là cực điểm bội (k + 1) của f
nên log
r
|b|
được tính k + 1 lần
trong tổng N(r, f
).
Như vậy log
r
|b|
được tính một lần trong {N (r, f
) − N (r, f )} . Do đó
{N (r, f
) − N (r, f )} = N(r, f).
Xét hiệu
q
j=1
N(r,
1
f − a
j
) − N(r,
1
f
)
.
Ta có
q
j=1
N(r,
1
f − a
j
) lấy theo cực điểm của hàm
1
f − a
j
, tức là lấy theo
các khơng điểm của hàm (f − a
j
), đồng nghĩa là nghiệm của phương
trình f − a
j
= 0.
Giả sử b là một nghiệm bội k của phương trình f −a
j
= 0. Khi đó log
r
|b|
được tính một lần trong tổng
q
j=1
N(r,
1
f − a
j
).
Lại có b là nghiệm bội (k − 1) của phương trình f
= 0 nên b là cực
điểm cấp (k − 1) của hàm
1
f
. Suy ra log
r
|b|
được tính (k − 1) lần trong
N(r,
1
f
).
Số hóa bởi trung tâm học liệu />13
Vậy đại lượng log
r
|b|
được tính đúng một lần trong
q
j=1
N(r,
1
f − a
j
) − N(r,
1
f
)
.
Nên ta có
q
j=1
N(r,
1
f − a
j
) − N(r,
1
f
)
=
q
j=1
N(r,
1
f − a
j
) − N
0
(r, f ).
trong đó N
0
(r, f ) là số khơng điểm của hàm f
mà khơng là nghiệm của
phương trình: f − a
j
= 0.
Vậy
q
j=1
N(r,
1
f − a
j
) − N(r,
1
f
)
≤
q
j=1
N(r,
1
f − a
j
)
Do đó
(q − 1)T (r, f) ≤
q
j=1
N(r,
1
f − a
j
) + N(r, f ) + S(r, f ). (1.13)
Chọn dãy r
n
→ ∞ sao cho
S (r
n
, f)
T (r
n
, f)
→ 0. Suy ra
(q − 1) ≤
q
j=1
N
r,
1
f − a
j
T (r
n
, f)
+
N (r
n
, f)
T (r
n
, f)
+
S (r
n
, f)
T (r
n
, f)
Cho r
n
→ ∞ ta có:
q − 1 ≤
q
j=1
(1 − Θ (a
j
)) + (1 − Θ (∞))
Suy ra
q − 1 ≤ q + 1 −
Θ (∞) +
q
j=1
Θ (a
j
)
.
Vậy
Θ (∞) +
q
j=1
Θ (a
j
)
≥ 2.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />14
Xét tập hợp A = {a ∈ C : Θ(a) > 0}. Ta cần chứng minh tập A khơng
q đếm được. Ta có A =
∞
∪
n=1
A
n
trong đó A
n
= {a ∈ C : Θ(n) >
1
n
}. Vì
q
j=1
Θ (a
j
) ≤ 2
Do đó A
n
có khơng q 2n phần tử nên A là tập hợp khơng q đếm
được.
a∈C∪{∞}
Θ (a) + Θ (∞) là tổng của chuỗi mà mọi tổng riêng nhỏ
hơn hoặc bằng 2. Như vậy
a∈C∪{∞}
Θ (a) ≤ 2.
Định lý được chứng minh.
Định lý 1.4.2. (Định lí Picard) Mọi hàm phân hình khác hằng nhận
mọi giá trị trong C ∪ {∞}, trừ ra cùng lắm hai giá trị phân biệt.
Chứng minh. Giả sử f là hàm phân hình khác hằng khơng nhận ba giá
trị phân biệt a
1
, a
2
, a
3
∈ C ∪ {∞}. Khi đó
N(r, a
1
) = N(r, a
2
) = N(r, a
3
) = 0.
Suy ra
Θ(a
1
) = Θ(a
2
) = Θ(a
3
) = 1.
Nên
a∈C∪{∞}
Θ (a) ≥ 3.
Điều này là mâu thuẫn với quan hệ số khuyết.
Định lý được chứng minh.
1.5. Định lý 5 điểm Nevanlinna
Định lý 1.5.1. Giả sử f(z), g(z) là hai hàm phân hình trên C và tồn
tại 5 giá trị phân biệt a
j
với j = 1, . . . , 5 sao cho f
−1
(a
j
) = g
−1
(a
j
) với
j = 1, . . . , 5. Khi đó
f ≡ g hoặc f, g là hàm hằng.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />15
Chứng minh. Ta xét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: Giả sử một trong hai hàm f, g là hàm hằng, khơng
mất tính tổng qt coi f là hàm hằng. Khi đó f khác ít nhất 4 trong
năm giá trị a
j
với j = 1, . . . , 5, giả sử 4 giá trị đó là a
j
với j = 1, . . . , 4.
Ta có:
N(r,
1
f − a
j
) = 0; j = 1, . . . , 4.
Vì f
−1
(a
j
) = g
−1
(a
j
) với j = 1 . . . , 4 nên
N(r,
1
g − a
j
) = 0; j = 1, . . . , 4.
tức là g(z) khơng nhận 4 giá trị phân biệt a
j
với j = 1, . . . , 4, theo định
lý Picard g(z) phải là hàm hằng.
Trường hợp 2: Giả sử f, g khác hàm hằng và f ≡ g. Khi đó áp dụng
định lý cơ bản thứ hai cho hàm f và năm giá trị a
j
với j = 1, . . . , 5 ta
có
4T (r, f ) ≤
4
j=1
N(r,
1
f − a
j
) + N(r, f ) − N
1
(r, f ) + S(r, f )
=
5
j=1
N(r,
1
f − a
j
) + N(r, f ) − N(r,
1
f
) − 2N (r, f ) + N (r, f
) + S(r, f )
=
5
j=1
N(r,
1
f − a
j
) − N(r,
1
f
)
+ {N (r, f
) − N (r, f )} + S(r, f ).
Lập luận tương tự như chứng minh trong quan hệ số khuyết để suy ra
bất đẳng thức (1.13) ta có
4T (r, f ) ≤
5
j=1
N(r,
1
f − a
j
) + N(r, f ) + S(r, f ).
Vì S(r, f ) = o(T (r, f )) và N(r, f) ≤ N(r, f ) ≤ T (r, f ) nên
4T (r, f ) ≤
5
j=1
N(r,
1
f − a
j
) + T (r, f ) + o(T (r, f)).
Số hóa bởi trung tâm học liệu />16
Suy ra
{3 + O(1)}T (r, f) ≤
5
j=1
N(r,
1
f − a
j
).
Tương tự đối với hàm g ta có
{3 + O(1)}T (r, g) ≤
5
j=1
N(r,
1
g − a
j
).
Theo giả thiết f
−1
(a
j
) = g
−1
(a
j
) với j = 1, . . . , 5 nên
N(r,
1
f − a
j
) = N(r,
1
g − a
j
), ∀j = 1 . . . , 5.
Vì f ≡ g ⇒
1
f − g
là hàm phân hình. Theo định lý cơ bản thứ nhất ta
có
T (r,
1
f − g
) = T (r, f − g) + O(1)
≤ T (r, f ) + T(r, g) + O(1)
≤
2
3
5
j=1
N(r,
1
f − a
j
) + S(r, f ).
Vì
T (r,
1
f − g
) ≥ N(r, f − g),
N(r,
1
f − g
) ≥
5
j=1
N(r,
1
f − a
j
).
Nên ta nhận được
5
j=1
N(r,
1
f − a
j
) ≤
2
3
5
j=1
N(r,
1
f − a
j
) + S(r, f ).
Điều này vơ lý vì f khác hằng số và S(r, f ) là đại lượng vơ cùng nhỏ.
Như vậy f ≡ g. Định lý được chứng minh.
Ta thấy nghịch ảnh của 5 điểm đủ xác định một hàm phân hình. Số
5 là tốt nhất khơng thể thay thế bởi số nhỏ hơn.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />17
Ví dụ
Xét hai hàm f (z) = e
z
, g(z) = e
−z
tại các điểm a
1
= 0, a
2
= 1, a
3
= −1,
a
4
= ∞. Ta thấy f
−1
(a
j
) = g
−1
(a
j
) với j = 1, . . . , 4 nhưng f, g khác hàm
hằng và f ≡ g. Như vậy khơng thể thay số 5 trong định lý 1.5.1 bằng số
4.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />18
Chương 2
Lý thuyết Nevanlinna đối với tốn
tử sai phân
Cho f là hàm phân hình trên C. Khi đó ta định nghĩa:
Bậc của f, ký hiệu là ρ(f) và được xác định bởi
ρ (f) = lim
r→∞
sup
log T (r, f )
log r
.
Nếu ρ(f) < +∞ thì ta nói hàm f có bậc hữu hạn.
Hàm f được gọi là tuần hồn với chu kỳ c ∈ C nếu với mọi z ∈ C ta
có
f(z + c) = f (z).
Tốn tử sai phân của hàm f, ký hiệu là ∆
c
f, được xác định bởi
∆
c
f = f (z + c) − f(z).
Trước khi đi vào chi tiết sự phân bố giá trị của sai phân chính xác,
đầu tiên chúng ta phải trả lời chính xác cho câu hỏi: Cái gì là mơ hình
sai phân của một điểm với bội số cao? Do hình thức rời rạc của đạo hàm
f
(z), chúng ta thu được
f(z + c) − f (z)
c
=:
∆
c
f
c
, (2.1)
trong đó c ∈ C
Các a-điểm của f trong đó đạo hàm triệt tiêu là các điểm đóng vai
trò đặc biệt trong lý thuyết Nevanlinna. Cơng thức (2.1) cho thấy rằng
các a-điểm xuất hiện theo từng cặp cách nhau một hằng số cố định c và
có vai trò quan trọng tương tự tốn tử ∆
c
.
2.1. Một số bổ đề
Theo kết quả của R. G. Halburd và R. J. Korhonen [4] đã khẳng định:
Số hóa bởi trung tâm học liệu />19
Bổ đề 2.1.1. Cho f là hàm phân hình khác hằng số, bậc hữu hạn, c ∈ C
và δ < 1. Khi đó
m
r,
f(z + c)
f(z)
= o
T (r, f )
r
δ
, (2.2)
đúng với r đủ lớn nằm ngồi một tập E với độ đo logarit hữu hạn
E
dr
r
< ∞.
Số hạng sai số ở vế phải của (2.2) là T (r + |c|, f ) thay vì T(r, f). Kết
quả của R. G. Halburd và R. J. Korhonen trong [4] còn khẳng định
T (r + |c|, f) = (1 + O(1))T (r, f ),
với mọi r ở ngồi của tập có độ đo logarit hữu hạn và f có bậc hữu hạn.
Cho f (z) là một hàm phân hình khác hằng số với bậc hữu hạn, và
a(z) là hàm tuần hồn cấp hữu hạn chu kì c thỏa mãn f(z) ≡ a(z). Ta
kí hiệu
∆
c
f := f (z + c) − f(z)
∆
n
c
f := ∆
n−1
c
(∆
c
f)
với mọi n ∈ N, n ≥ 2.
Áp dụng Định lý 2.1.1 với hàm f(z) − a(z) chúng ta có
m
r,
∆
c
f
f − a
= m
r,
f(z + c) − a(z + c)
f(z) − a(z)
+ O(1) (2.3)
= o
T (r, f − a)
r
δ
+ O(1), (2.4)
ở ngồi tập có độ đo logarit hữu hạn.
Ta kí hiệu S(f ) là tập tất cả các hàm phân hình g thỏa mãn
T (r, g) = o(T (r, f))
với mọi r ở ngồi tập có độ đo logarit hữu hạn. Nếu g ∈ S(f) ta kí hiệu
T (r, g) = S(r, f).
Từ (2.3) ta có
m
r,
∆
c
f
f − a
= S(r, f − a). (2.5)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />20
Bằng quy nạp thu được kết quả sau
T (r, f (z + 1)) ≤ (1 + ε)T (r + 1, f(z))
với mọi ε > 0 khi r đủ lớn.
Bổ đề 2.1.2. Cho T : (0, +∞) → (0, +∞) là một hàm liên tục khơng
giảm, s > 0, α < 1 và cho F ∈ R
+
là tập các số r thỏa mãn
T (r) ≤ αT (r + s). (2.6)
Nếu độ đo logarit của F là vơ hạn
F
dt
t
= ∞ thì ta có
lim sup
r→∞
log T (r)
log r
= ∞.
Bổ đề 2.1.3. Cho c ∈ C, n ∈ N và f là hàm phân hình cấp hữu hạn.
Khi đó với mọi hàm tuần hồn nhỏ a ∈ S(f) ta có
m
r,
∆
n
c
f
f − a
= S(r, f ),
đúng với r đủ lớn nằm ngồi một tập có độ đo logarit hữu hạn.
Theo kết quả của Valiron và Mohon’ko [4] ta có
Bổ đề 2.1.4. Nếu R(z, f) là một hàm hữu tỷ với f và có các hệ số phân
hình nhỏ. Khi đó
T (r, R(z, f)) = deg
f
(R)T (r, f ) + S(r, f ). (2.7)
2.2. Định lý cơ bản thứ hai
Bổ đề về đạo hàm logarit là một trong những phần chính trong chứng
minh của Định lý cơ bản thứ hai của lý thuyết Nevanlinna. Chúng ta
kết hợp các phương pháp trong chứng minh Định lý cơ bản thứ hai với
Định lý 2.1.1 thu được kết quả là một dạng khác của Định lý cơ bản thứ
hai, trong đó thay vì số hạng phân nhánh thơng thường có một số nhất
định các số hạng của các điểm lặp của hàm f đang xét.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />21
Định lý 2.2.1. Cho c ∈ C và f là một hàm phân hình cấp hữu hạn
thỏa mãn ∆
c
f ≡ 0, cho q ≥ 2 và a
1
(z), , a
q
(z) là các hàm phân hình,
tuần hồn chu kì c sao cho a
k
∈ S(f) với mọi k = 1, , q. Khi đó
m(r, f ) +
q
k=1
m
r,
1
f − a
k
≤ 2T (r, f ) − N
pair
(r, f ) + S(r, f ) (2.8)
đúng với r đủ lớn nằm ngồi một tập có độ đo logarit hữu hạn, trong đó
N
pair
(r, f ) := 2N(r, f) − N(r, ∆
c
f) + N
r,
1
∆
c
f
.
Chứng minh. Chúng ta kí hiệu
P (f ) :=
q
k=1
(f − a
k
).
Ta có
1
P (f )
=
q
k=1
α
k
f − a
k
,
trong đó α
k
∈ S(f) là các hàm tuần hồn xác định với chu kì c.
Từ (2.5) ta thu được
m
r,
∆
c
f
P (f )
≤
q
k=1
m
r,
∆
c
f
f − a
k
+ S(r, f) = S(r, f)
và do đó
m
r,
1
P (f )
= m
r,
∆
c
f
P (f )
.
1
∆
c
f
≤ m
r,
1
∆
c
f
+ S(r, f). (2.9)
Kết hợp Định lý cơ bản thứ nhất, cơng thức (2.9) và đồng nhất thức
Valiron-Mo’honko (2.7), chúng ta có
T (r, ∆
c
f) = T
r,
1
∆
c
f
+ O(1).
Số hóa bởi trung tâm học liệu />22
T (r, ∆
c
f) = m
r,
1
∆
c
f
+ N
r,
1
∆
c
f
+ O(1)
≥ m
r,
1
P (f )
+ N
r,
1
∆
c
f
+ S(r, f)
= qT (r, f) −
q
k=1
N
r,
1
f − a
k
+ N
r,
1
∆
c
f
+ S(r, f)
=
q
k=1
m
r,
1
f − a
k
+ N
r,
1
∆
c
f
+ S(r, f).
Vì T (r, ∆
c
f) = N(r, ∆
c
f) + m(r, ∆
c
f) nên ta suy ra
q
k=1
m
r,
1
f − a
k
≤ N(r, ∆
c
f) + m(r, ∆
c
f) − N
r,
1
∆
c
f
+ S(r, f).
Do đó cộng hai vế của bất đẳng thức trên với m(r, f) ta được
m(r, f ) +
q
k=1
m
r,
1
f − a
k
≤ m(r, f ) + N(r, ∆
c
f) + m(r, ∆
c
f)
− N
r,
1
∆
c
f
+ S(r, f).
Thay m(r, f) = T (r, f ) − N(r, f ) và kết hợp với cơng thức (2.5) ta có
m(r, f ) +
q
k=1
m
r,
1
f − a
k
≤ T (r, f ) + N(r, ∆
c
f) + m(r, ∆
c
f)
− N
r,
1
∆
c
f
− N (r, f ) + S(r, f )
≤ T (r, f ) + N(r, ∆
c
f) + m(r, f ) − N
r,
1
∆
c
f
− N (r, f ) + S(r, f )
= 2T (r, f ) + N(r, ∆
c
f) − N
r,
1
∆
c
f
− 2N (r, f ) + S(r, f ).
Định lý được chứng minh.
Bây giờ chúng ta phân tích kết luận của Định lý 2.2.1 chặt chẽ hơn.
Do bổ đề 2.1.2 ta có
N(r + |c|, f) = (1 + o(1))N (r, f ).
Số hóa bởi trung tâm học liệu />23
với mọi r ở ngồi tập có độ đo logarit hữu hạn. Do đó
N
pair
(r, f ) ≥ N(r, f)−N(r+|c|, f)+N
r,
1
∆
c
f
= N
r,
1
∆
c
f
+S(r, f ).
Như vậy, Định lý 2.2.1 nói về sự phân bố giá trị của các hàm phân
hình cấp hữu hạn. Để giải thích ý nghĩa của các số hạng N
pair
(r, f ) thì
chúng ta cần một số định nghĩa.
Điểm z = z
0
được gọi là a− điểm lặp chu kỳ c của hàm f trong đĩa
đóng D(r) = {z : |z| ≤ r} nếu nó thỏa mãn f (z
0
) = a và f(z
0
+ c) = a
Điểm z = z
0
được gọi là cực điểm lặp chu kỳ c của hàm f trong đĩa
đóng D(r) = {z : |z| ≤ r} nếu nó thỏa mãn f(z
0
) = ∞ và f(z
0
+ c) = ∞
Hàm đếm n
c
(r, a), a ∈ C đếm số các số hạng bằng nhau trong bắt
đầu của chuỗi Taylor suy rộng của hàm f(z) và f(z + c) trong một lân
cận của z
0
. Như vậy hàm đếm n
c
(r, a), a ∈ C đếm số lượng các điểm z
0
trong đó f(z
0
) = a và f(z
0
+ c) = a.
Cụ thể nếu f(z) = a với bội số q và f (z + c) = a với bội số p với
q < p thì q số hạng đầu tiên trong chuỗi suy rộng của f(z) và f(z + c)
là đồng nhất và do đó điểm này được đếm q lần trong n
c
(r, a).
Tương tự, nếu trong một lân cận của z ta có:
f(z) = a + c
1
(z − z
0
) + c
2
(z − z
0
)
2
+ α(z − z
0
)
3
+ 0((z − z
0
)
4
)
và
f(z + c) = a + c
1
(z − z
0
) + c
2
(z − z
0
)
2
+ β(z − z
0
)
3
+ 0((z − z
0
)
4
)
trong đó α = β thì điểm z
0
được đếm 3 lần trong n
c
(r, a).
Tích phân hàm đếm được định nghĩa như sau
N
c
(r, a) :=
r
0
n
c
(t, 0) − n
c
(0, a)
t
dt + n
c
(0, a) log r.
Tương tự
N
c
(r, ∞) :=
r
0
n
c
(t, ∞) − n
c
(0, ∞)
t
dt + n
c
(0, ∞) log r.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />
