Một số phương pháp dựng hình trong hình học phẳng

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
ĐÀM MINH TUẤN
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP DỰNG HÌNH
TRONG HÌNH HỌC PHẲNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Chun ngành : PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP
Mã số : 60. 46. 01. 13
Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN VĂN MINH
THÁI NGUN - 2013
Số hóa bởi trung tâm học liệu />2
Mục lục
Mở đầu 4
LỜI CẢM ƠN 6
1 Một số vấn đề chung 7
1.1 Vài nét về lịch sử hình học dựng hình . . . . . . . . . . . 7
1.2 Tại sao dựng hình lại chỉ dùng hai dụng cụ là thước và
compa? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Giải một bài tốn dựng hình là gì? . . . . . . . . 8
1.2.2 Tại sao chỉ dùng thước và compa? . . . . . . . . . 9
1.2.3 Giải một bài tốn dựng hình là gì? . . . . . . . . 9
1.2.4 Dựng hình bằng các dụng cụ khác . . . . . . . . . 10
1.2.5 Giá trị lí luận và thực tiễn của các dụng cụ dựng
hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Các phép dựng hình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1 Loại đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2 Loại đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.3 Loại tỉ lệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.4 Loại diện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Các bước giải một bài tốn dựng hình . . . . . . . . . . 13

1.4.1 Bước phân tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.2 Bước cách dựng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.3 Bước chứng minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.4 Bước biện luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Số hóa bởi trung tâm học liệu />3
2 Một số phương pháp dựng hình bằng thước và compa 20
2.1 Dựng hình bằng các phương pháp biến hình . . . . . . . 20
2.1.1 Dựng hình bằng phương pháp tịnh tiến . . . . . . 20
2.1.2 Dựng hình bằng phương pháp đối xứng tâm . . . 22
2.1.3 Dựng hình bằng phương pháp đối xứng trục . . . 24
2.1.4 Dựng hình bằng phương pháp vị tự . . . . . . . 27
2.1.5 Dựng hình bằng phương pháp quay . . . . . . . 29
2.1.6 Dựng hình bằng phương pháp đồng dạng . . . . 30
2.2 Dựng hình bằng phương pháp nghịch đảo . . . . . . . . . 32
2.3 Dựng hình bằng phương pháp quỹ tích . . . . . . . . . . 33
2.4 Dựng hình bằng phương pháp đại số . . . . . . . . . . . 36
2.5 Dựng hình bằng phương pháp trải phẳng . . . . . . . . . 42
3 Dựng hình chỉ bằng compa 46
Kết luận 55
Tài liệu tham khảo 56
Số hóa bởi trung tâm học liệu />4
Mở đầu
Tốn học là một mơn học có vai trò rất quan trọng trong đời sống
xã hội. Tốn học được ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành nghề khác
nhau. Hình học là một phần của tốn học. Dựng hình là chủ đề rất
quan trọng trong hình học phẳng, đóng vai trò then chốt trong việc hình
thành kĩ năng giải tốn hình học. Để giải tốt loại tốn này u cầu cần
nắm vững kiến thức cơ bản, có kĩ năng dự đốn, phân tích và kĩ năng
chứng minh hình học. Ngược lại, nắm vững dựng hình sẽ phục vụ rất
tốt cho các bài tốn chứng minh, tính tốn hình học, cực trị.

1. Lý do chọn đề tài
Các bài tốn dựng hình nói chung có vai trò quan trọng trong hệ thống
kiến thức của mơn hình học ở trường THCS. Đặc biệt khi giải tốn quỹ
tích, muốn xác định hình dạng, vị trí và độ lớn của quỹ tích ta phải vẽ
được quỹ tích đó. Đây là vấn đề khó của bài tốn quỹ tích nếu học sinh
khơng nắm rõ được phương pháp dựng hình. Như vậy phép dựng hình
giúp ta giải được bài tốn quỹ tích dễ hơn.
Qua thực tế giảng dạy mơn hình học liên tục trong nhiều năm tơi thấy
có nhiều học sinh ngại và lo sợ khi giải bài tốn dựng hình, khi giải tốn
quỹ tích lúng túng khi vẽ hình do khơng nắm vững phương pháp giải
bài tốn dựng hình. Để giải các bài tốn dựng hình có rất nhiều phương
pháp như: Dựng hình bằng phương pháp đại số, dựng hình bằng phương
pháp biến hình, dựng hình bằng dụng cụ hạn chế (phương pháp dựng
hình Steiner) Nhận thức rõ được tầm quan trọng của việc giảng dạy và
học tập tốn dựng hình ở cấp THCS nói chung, việc bồi dưỡng học sinh
giỏi nói riêng nên tơi chọn đề tài "Một số phương pháp dựng hình
trong hình học phẳng". Vì dựng hình có rất nhiều phương pháp,
Số hóa bởi trung tâm học liệu />5
trong khn khổ của đề tài này tơi sẽ tìm hiểu về phương pháp dựng
hình chỉ bằng compa.
Tơi mong muốn rằng đề tài tơi nghiên cứu sẽ là tài liệu cho các bạn đồng
nghiệp có thể sử dụng để bồi dưỡng học sinh giỏi nhằm nâng cao chất
lượng của bộ mơn Tốn. Là tài liệu tham khảo cho các bạn u thích bộ
mơn Tốn và nhất là hình học dựng hình.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là tổng quan về các phương pháp dựng
hình, định lí, các bài tốn dựng hình cơ bản trong hình học phẳng. Tìm
hiểu phương pháp dựng hình chỉ bằng com pa
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Trình bày các phương pháp dựng hình trong hình học phẳng.

4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu trực tiếp từ các loại sách, báo, tạp chí có liên quan đến đề
tài. Các cơng trình nghiên cứu các vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài
(các luận văn, luận án, chun đề )
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Tạo được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi
cấp trung học cơ sở, trung học phổ thơng. Đề tài có thể dùng làm tài
liệu tham khảo cho giáo viên giảng dạy bộ mơn Tốn.
6. Cấu trúc của luận văn
Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và 3 chương
Chương 1: Một số vấn đề chung
Chương 2: Một số phương pháp dựng hình bằng thước và compa
Chương 3: Dựng hình chỉ bằng com pa.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />6
LỜI CẢM ƠN
Trong q trình học tập và làm luận văn, tác giả đã nhận được sự
quan tâm giúp đỡ của Khoa Tốn, Phòng Đào Tạo trường ĐHKH -
ĐHTN. Tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ q báu đó.
Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đã quan tâm động viên
và tạo điều kiện tốt nhất để tác giả hồn thành luận văn.
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn tới các bạn học viên lớp tốn K5A
trường ĐHKH - ĐHTN, cùng các thầy cơ trong Nhà trường và Ban Giám
Hiệu trường THCS Lương Thơng, huyện Thơng Nơng, tỉnh Cao Bằng
đã giúp đỡ và tạo điều kiện để tác giả hồn thành luận văn này.
Đặc biệt tác giả xin gửi lời biết ơn sâu sắc nhất đến thầy TS Nguyễn
Văn Minh đã trực tiếp hướng dẫn chỉ bảo tận tình trong q trình làm
luận văn để tác giả hồn thành tốt luận văn của mình.
Thái Ngun, tháng 5 năm 2013
Tác giả
Đàm Minh Tuấn

Số hóa bởi trung tâm học liệu />7
Chương 1
Một số vấn đề chung
1.1 Vài nét về lịch sử hình học dựng hình
Vào các thế kỉ thứ tư và thứ năm trước cơng ngun các nhà tốn học Hi
lạp nổi tiếng đã quan tâm đến hình học dựng hình như Pitago, Hipocrat,
Ơclit, Acsimet, Apơlơniut. Trường phái Pitago đã thành cơng trong một
số bài tốn tương đối phức tạp như dựng ngũ giác đều. Vào thế kỉ thứ
năm trước cơng ngun có ba bài tốn nổi tiếng:
- Chia ba một góc: "Chia ba một góc cho trước thành ba phần bằng
thước và compa".
- Gấp đơi hình lập phương: "Dựng cạnh của một hình lập phương có thể
tích gấp đơi thể tích của một hình lập phương đã cho".
- Cầu phương hình tròn: "Tìm một đoạn thẳng x sao cho diện tích hình
vng cạnh x bằng diện tích hình tròn bán kính r tức là x
2
= πr
2
".
Các bài tốn trên khơng giải được bằng thước và compa.
Đến thế kỉ thứ sáu trước cơng ngun các nhà tốn học Hi lạp đã khảo
sát q trình giải một bài tốn dựng hình với bốn bước: Phân tích, cách
dựng, chứng minh và biện luận được sử dụng cho đến ngày nay.
Ba trăm năm trước cơng ngun, Ơclit người sáng lập hệ hình học đầu
tiên đã nêu lên những tiền đề quan trọng nhất của hình học chứng tỏ
vai trò của dựng hình trong tốn học như:
- Có thể vẽ một đường thẳng khi biết hai điểm.
- Biết tâm và bán kính có thể vẽ được một đường tròn.
Các nhà hình học cổ Hilap đã giải được những bài tốn dựng hình khó
Số hóa bởi trung tâm học liệu />8

bằng thước và compa, chẳng hạn Apơlơni Pecxki đã giải được bài tốn
nổi tiếng mang tên ơng: “Dựng một đường tròn tiếp xúc với ba đường
tròn cho trước”. Họ lại gắn đại số với dựng hình như: Giải phương trình
bậc nhất và phương trình bậc hai bằng dựng hình.
Từ thế kỉ thứ 17 đến nay, lí thuyết về dựng hình đã tiến xa hơn và đang
phát triển một cách căn bản dựa vào sự thành lập những phân khoa tốn
học mới: Hình học giải tích, hình học xạ ảnh, lí thuyết phương trình đại
số, lí thuyết về hàm số giải tích, về đại số và số siêu việt.
Những người sáng lập ra tốn học hiện đại đã quan tâm nhiều đến các
bài tốn dựng hình. Đê Cac và Niutơn đã giải bài tốn chia ba góc bằng
các thiết diện hình nón, giải được bài tốn Apơlơni.
Từ khi xuất hiện mơn hình học Lơbasepxki đã có một hệ tiên đề khác
và lí thuyết dựng hình khác với hình học Ơclit về nhiều điểm. Năm 1832
nhà tốn học Hungari Bơliai đã giải một loạt bài tốn dựng hình quan
trọng trong mặt phẳng phi Ơclit.
Việc khảo cứu nhiều vấn đề hình học đã dựa vào phép dựng hình, đặc
biệt đối với cách chứng minh sự tồn tại chẳng hạn sự tồn tại tâm của
một đường tròn nội tiếp trong tam giác sự tồn tại của những đường
thẳng song song , . đều được chứng minh bằng phép dựng hình.
1.2 Tại sao dựng hình lại chỉ dùng hai dụng cụ là
thước và compa?
1.2.1 Giải một bài tốn dựng hình là gì?
Giải một bài tốn dựng hình là tìm được một hình thỏa mãn những
điều kiện của bài tốn. Nói như vậy là chưa đủ vì điều quan trọng là
dùng những dụng cụ gì để dựng hình.
Ví dụ với bài tốn “ Cho một tia làm cạnh, hãy dựng một góc bằng 20
0
,”,
nếu dùng thước đo góc thì bài tốn rất đơn giản, nhưng nếu chỉ dùng
thước và compa thì bài tốn này khơng giải được. (Người ta đã chứng

minh được rằng chỉ dùng thước và compa thì khơng dựng được góc 20
0
).
Ví dụ khác “Dựng một ngũ giác đều nội tiếp trong một đường tròn”. Nếu
Số hóa bởi trung tâm học liệu />9
dùng thước đo góc thì thật dễ chỉ việc chia góc ở tâm làm năm phần
bằng nhau mỗi góc 72
0
này chắn một cung bằng
1
5
đường tròn, nếu sử
dụng thước và compa thì bài tốn sẽ khó hơn.
1.2.2 Tại sao chỉ dùng thước và compa?
Các nhà tốn học cổ Hilap chỉ xem phép dựng dùng thước và compa
là hợp pháp, có tính chất hình học chân chính và khơng cơng nhận việc
sử dụng các dụng cụ khác để dựng hình. Quan niệm đó vẫn tồn tại đến
ngày nay. Họ cũng đã thành cơng trong việc giải những bài tốn dựng
hình khó bằng thước và compa. Họ coi thước kẻ là vơ hạn vì chỉ có một
cạnh, coi compa có tính chất dùng để vẽ những đường tròn có bán kính
tùy ý.
Cơ sở lí luận của hình học dựng hình là những tiên đề sau:
1. Tất cả những dữ kiện của bài tốn dựng hình đã cho như điểm, đường
thẳng, đường tròn, . đều coi như dựng được.
2. Những điểm lấy tùy ý trong mặt phẳng đều coi như là dựng được.
3. Nếu hai đường thẳng dựng được mà cắt nhau thì thì giao điểm của
chúng coi như dựng được.
4. Một đường thẳng xác định bởi hai điểm dựng được thì coi như dựng
được.
5. Một đường tròn xác định bởi một tâm dựng được, một bán kính dựng

được thì coi như dựng được.
1.2.3 Giải một bài tốn dựng hình là gì?
Giải một bài tốn dựng hình bằng thước và compa là chỉ rõ thứ tự
áp dụng các tiên đề 1, 2, 3, 4, 5 ở trên để đưa những yếu tố chưa biết về
những yếu tố dựng được. Tuy nhiên nhiều khi người ta khơng nêu hai
tiên đề 1, 2 mà phát biểu như sau: Giải một bài tốn dựng hình bằng
thước và compa là thực hiện một số hữu hạn ba phép dựng hình cơ bản
sau:
- Kẻ đường thẳng đi qua hai điểm đã biết.
- Dựng đường tròn có tâm và bán kính đã biết.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />10
- Lấy giao điểm của hai đường đã biết.
1.2.4 Dựng hình bằng các dụng cụ khác
Nếu ta khơng dựng hình bằng thước và compa mà vẫn dùng những
dụng cụ khác để dựng như: Thước thẳng có hai biên, ê ke, thì ta vẫn
dùng ba tiên đề 1, 2 , 3 nêu trên còn hai tiên đề 4, 5 được thay bằng các
tiên đề khác phản ánh tính chất của những dụng cụ mới.
a, Dựng hình bằng thước hai biên: Có ba tiên đề về thước hai biên:
- Tiên đề về thước thường dùng( một biên).
- Một đường thẳng song song với một đường thẳng dựng được và cách
nó một khoảng d thì xem như dựng được ( hằng số d ứng với bề rộng
của thước hai biên) (*)
- Nếu có hai điểm dựng được A và B và AB > d thì hai cặp đường thẳng
cách nhau một khoảng d và theo thứ tự đi qua A và B được xem như
dựng được.
Ví dụ 1.1. Ví dụ: Dựng phân giác của góc

xOy.
Hình 1.1
Cách dựng:

- Dựng x// x’ và cách x một khoảng d (tiên đề (*))
- Tương tự dựng y// y’ (theo tiên đề (*))
Số hóa bởi trung tâm học liệu />11
- Lấy giao điểm A của x’và y’ (tiên đề 3)
- Vẽ đường thẳng đi qua O và A (tiên đề 4)
b. Dựng hình bằng êke
- Đường thẳng đi qua một điểm dựng được và tạo với một đường thẳng
dựng được một góc bằng 90
0
, 60
0
, 30
0
hoặc 90
0
và 45
0
thì xem như dựng
được.(**).
- Một điểm của một đường thẳng dựng được mà từ đó ta thấy hai điểm
dựng được dưới một góc α thì ta xem như dựng được(***).
Ê ke thường có ba góc 90
0
, 60
0
, 30
0
hoặc 90
0
và 45

0
Ví dụ 1.2. Gấp đơi một đoạn thẳng AB bằng êke
- Qua B dựng đường thẳng tạo với AB một góc 60
0
và qua A dựng
đường vng góc với AB (tiên đề (**)).
- Lấy giao điểm của hai đường vừa dựng ( tiên đề 3).
- Trên BA kéo dài dựng điểm C nhìn BD dưới góc 60
0
(tiên đề (***))hoặc
qua D dựng đường thẳng tạo với BD một góc 60
0
.
1.2.5 Giá trị lí luận và thực tiễn của các dụng cụ dựng hình
Bốn dụng cụ dựng hình: Compa, thước, thước hai biên và êke đều
quan trọng như nhau về giá trị lí luận chặt chẽ, chính xác và giá trị thực
tế của chúng trong đời sống và sản xuất.
Năm 1787 nhà khoa học Ý Maxkêrơni đã chứng minh được rằng : Bất
kì bài tốn nào giải được bằng thước và compa đều giải được bằng một
mình compa.
Năm 1890 Ađơle đã chứng minh được rằng: Bất kì bài tốn nào giải được
bằng thước và compa đều có thể giải được chỉ bằng thước hai biên hoặc
chỉ bằng êke.
Trong thực tế ta thấy ba dụng cụ compa, thước và ê ke là những dụng
cụ cần thiết và tiện lợi nhất cho người vẽ.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />12
1.3 Các phép dựng hình cơ bản
Có thể sắp xếp và phân loại các phép dựng hình cơ bản thành 4 loại
về đường thẳng, đường tròn, tỉ lệ và diện tích.
1.3.1 Loại đường thẳng

a. Dựng một đoạn thẳng có độ dài cho trước trên một đường thẳng
nhất định.
b. Dựng một góc bằng một góc cho trước trên một cạnh đã biết.
c. Dựng phân giác của một góc cho trước.
d. Dựng trung trực của một đoạn thẳng cho trước.
đ. Tìm trung điểm của một đoạn thẳng cho trước.
e. Qua một điểm cho trước dựng một đường thẳng vng góc với một
đường thẳng cho trước.
g.Qua một điểm cho trước dựng một đường thẳng song song với một
đường thẳng cho trước.
h. Chia một đoạn thẳng cho trước ra nhiều phần bằng nhau.
i. Dựng tam giác biết ba cạnh(c.c.c), biết hai góc và cạnh kề hai góc đó
(g.c.g), biết hai cạch và góc xen giữa(c.g.c).
k. Dựng tam giác đều hoặc hình vng khi biết một cạnh của nó.
l. Dựng hình chữ nhật khi biết hai cạnh kề nhau.
m. Lấy một đường thẳng đã biết làm một cạnh dựng một góc 60
0
hoặc
30
0
.
1.3.2 Loại đường tròn
a. Dựng đường tròn ngoại tiếp của một tam giác cho trước.
b. Dựng đường tròn nội tiếp của một tam giác cho trước.
c. Lấy một đoạn thẳng cho trước làm bán kính dựng một dường tròn.
d. Chia đơi một cung cho trước.
đ. Từ một điểm cho trước ở ngồi hoặc ở trên đường tròn dựng tiếp
tuyến của đường tròn đó.
e. Dựng cung chứa góc.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />13

1.3.3 Loại tỉ lệ
a. Cho trước ba đoạn thẳng dựng đoạn tỉ lệ thứ tư.
b. Chia một đoạn thẳng cho trước thành hai phần sao cho tỉ số của
chúng bằng tỉ số đã biết
m
n
.
c. Dựng doạn trung bình nhân của hai đọan thẳng cho trước.
1.3.4 Loại diện tích
a. Dựng hình vng có diện tích bằng tổng diện tích của hai hình
vng cho trước.
b. Dựng hình vng có diện tích bằng hiệu diện tích của hai hình vng
cho trước.
1.4 Các bước giải một bài tốn dựng hình
Ngay từ thế kỉ thứ tư trước cơng ngun, các nhà hình học cổ Hi Lạp
đã tìm ra cách chung để giải một bài tốn dựng hình. Giải một bài tốn
dựng hình gồm 4 bước: Phân tích, dựng hình, chứng minh và biện luận.
1.4.1 Bước phân tích
Phân tích là bước quan trọng nhất nó giúp ta lập phương án dựng để
tìm ra lời giải của bài tốn trên cơ sở xác định được mối quan hệ giữa
các yếu tố đã cho và các yếu tố phải tìm làm cơ sở để tiến hành các bước
dựng.
- Trước hết ta vẽ phác hình giả sử dựng được như trên (u cầu của bài
tốn), có thể vẽ thêm những hình phụ.
- Tìm mối tương quan giữa cái đã biết và cái chưa biết để đưa việc
dựng hình F quy về dựng hình F
1
, quy việc dựng hình F
1
về dựng hình

F
2
, ,F
n
. Trong đó F
n
là hình cơ bản đã biết cách dựng. Hình là một tập
điểm, hình cơ bản đơi khi là những điểm chốt, từ đó ta đưa ra đường lối
dựng.
Như vậy trước hết ta phải vẽ một hình tương ứng với hình phải dựng
(Tức là giả sử hình vẽ đã dựng được thỏa mãn điều kiện của bài tốn).
Số hóa bởi trung tâm học liệu />14
Qua hình vẽ phát hiện những yếu tố cho trước và những yếu tố phải
dựng.
Hình 1.2
Ví dụ 1.3. “Dựng tam giác ABC biết cạnh đáy AC = b, góc

A = α kề
với đáy và tổng của hai cạnh kia AB + BC = s ”
Trước hết ta giả sử tam giác ABC đã dựng được. Trên hình vẽ ta đã
biết cạnh đáy AC, góc

A, còn tổng hai cạnh kia khơng có. Để thể hiện
tổng s ta kéo dài cạnh AB và đặt trên đường kéo dài cạnh BC

= BC
vậy ta có AC

= s đã cho.
Nếu nối C với C


thì ∆AC

C có thể dựng được ngay (dựng tam giác biết
hai cạnh và góc xen giữa).
Dựng được ∆AC

C này chỉ còn phải dựng điểm B trên cạnh AC

để có
được ∆ABC cần dựng.
(Chú ý rằng nếu ta thể hiện tổng s bằng cách kéo dài cạnh CB trên
đó đặt đoạn BA

= BA để có CA

= s thì việc dựng ∆AA

C khơng dễ
Số hóa bởi trung tâm học liệu />15
dàng).
Vậy bước phân tích liên quan tới hình vẽ ban đầu do đó hình vẽ để phân
tích phải được vẽ cẩn thận và chính xác.
1.4.2 Bước cách dựng
Là bước chỉ ra một số hữu hạn và có thứ tự các phép dựng cơ bản và
các bài tốn dựng hình cơ bản rồi dựng ngược từ F
n
đến F
n−1
. . . cuối

cùng được hình F .
Bước này gồm hai bước:
a. Kể theo thứ tự nhất định tất cả các phép dựng cơ bản cần thực hiện
được suy ra từ bước phân tích.
b. Thực hiện các phép dựng đó bằng các dụng cụ thước và compa khơng
phải chỉ thực hiện cách dựng mà còn phải mơ tả cách dựng đó.
Với bài tốn trên, cách dựng như sau:
- Trên đường thẳng bất kì xy dựng đoạn AC = b.
- Lấy AC làm cạnh dựng

A = α.
- Kéo dài AB, trên đường kéo dài dựng đoạn BC

= BC.
- Dựng ∆AC

C (biết góc

A và hai cạnh AC

, AC).
- Dựng trung trực của CC

.
- Lấy giao điểm B của trung trực này với AC

. Ta được ∆ABC phải
dựng.
Ta phải nêu cách thực hiện phép dựng vì cùng một phép dựng có thể có
những phương pháp khác nhau.

Ta xét ví dụ sau: “Dựng hình bình hành ABCD biết góc nhọn

BAD = α
Hình 1.3
Số hóa bởi trung tâm học liệu />16
và hai đường chéo AC = d và BD = e”.
Giả sử đã dựng được hình bình hành ABCD. Vì các đường chéo cắt
nhau tại trung điểm của mỗi đường nên có thể dựng được ngay ∆ABD
biết đáy BD = e góc ở đỉnh

BAD = α và trung tuyến AO =
1
2
d.
Dựng được ∆ABD này ta hồn thiện nó thành hình bình hành ABCD.
Ta suy ra cách dựng như sau:
- Trên đường thẳng bất kì xy dựng đoạn BD bằng đường chéo nhỏ e
ứng với góc nhọn cho trước α .
- Dựng cung chứa góc α vẽ trên đoạn BD.
- Dựng đường tròn có tâm là trung điểm của BD và có bán kính
d
2
.
- Lấy giao điểm của cung chứa góc và đường tròn (có hai giao điểm).
- Nối các giao điểm này với B và D, ta được ∆BAD (và ∆BA

D).
Có thể bổ sung tam giác thành hình bình hành (tức là xác định đỉnh
thứ tư C của hình bình hành ) bằng nhiều phương pháp, chẳng hạn:
- Qua B dựng BC//AD, qua D dựng DC//AB.

- Trên BD dựng tam giác biết hai cạnh BC = AD và CD = AB.
- Kéo dài AO về phía O và đặt OC = AO , nối C với các điểm B và D,
. . .
Chú ý:
- Các bước dựng phải là các phép dựng cơ bản hay các bài tốn dựng
hình cơ bản.
- Mỗi bước dựng nếu cần có thể viết thêm điều kiện có thể dựng được
các phép dựng ấy.
- Các bước dựng phải theo một thứ tự xác định, tránh lộn xộn.
- Số các bước dựng phải hữu hạn.
1.4.3 Bước chứng minh
Sau khi đã dựng được hình cần phải xác nhận xem hình đó đã thỏa
mãn các điều kiện của bài tốn hay chưa? Tức là phải chứng minh rằng
hình dựng được thỏa mãn tất cả các điều kiện của đề bài, cách chứng
minh này phụ thuộc vào cách dựng. Nói cách khác nếu khơng biết rõ hai
bước phân tích và cách dựng thì khơng thể nói rằng chứng minh đúng
Số hóa bởi trung tâm học liệu />17
hay sai, vì có thể có những phương pháp giải bài tốn khác nhau và ngay
cả khi đã phân tích giống nhau thì cũng có những cách khác nhau để
thực hiện, tức là có cách dựng khác nhau. Nếu cách dựng đã rõ ràng thì
bước chứng minh cũng đơn giản.
Với bài tốn dựng tam giác ở trên ( bước phân tích), ta chứng minh như
sau:
∆ABC có

A = α (theo cách dựng).
Cạnh đáy AC = b, tổng AB + BC

= AB + BC = s.
Vậy tam giác này thỏa mãn các điều kiện của bài tốn nên tam giác

∆ABC là tam giác cần dựng.
Với bài tốn dựng hình bình hành ( bước cách dựng) cách chứng minh
phụ thuộc vào cách xác định đỉnh C. Nếu cách xác định đỉnh C bằng
cách dựng BC//AD và qua D dựng DC//AB thì bước chứng minh sẽ
như sau:
- Tứ giác ABCD là hình bình hành vì có hai cặp cạnh song song
(AD//BC, AB//DC).
- Nó có góc nhọn

BAD = α, đường chéo BD = e, đường chéo AC =
2AO = d (theo cách dựng ∆ABD).
Vậy hình bình hành này thỏa mãn các điều kiện của đầu bài nên ABCD
là hình bình hành cần dựng.
1.4.4 Bước biện luận
Trong bài tốn dựng hình chúng ta thường đặt ra những câu hỏi như:
Với những yếu tố cho trước như thế nào thì bài tốn dựng được hay
khơng dựng được? Vì mỗi bài tốn là một u cầu về dựng một hình
thỏa mãn các điều kiện xác định, các điều kiện này thường được cho bởi
các giá trị và vị trí của một số yếu tố của hình đó.
Việc giải một bài tốn dựng hình chỉ được coi là xong nếu nêu được các
điều kiện để lời giải tìm được đáp án của bài tốn. Một bài tốn dựng
hình có thể có một nghiệm hình, hai hoặc hơn hai nghiệm hình, có vơ
số nghiệm hình (vơ định) hoặc khơng có nghiệm nào (vơ nghiệm).
Nếu một bài tốn mà các giả thiết đối với yếu tố cho trước được thu hẹp
Số hóa bởi trung tâm học liệu />18
thì phạm vi các giá trị thích hợp của các yếu tố đó sẽ hẹp đi và bước
biện luận sẽ đơn giản đi.
Tóm lại bước biện luận là bước khi nào bài tốn có nghiệm và nếu có thì
có bao nhiêu nghiệm, hay là để xét xem những yếu tố nào đã cho phải
thỏa mãn điều kiện nào để có thể dựng được hình phải tìm, nếu dựng

được thì có bao nhiêu nghiệm hình. Biện luận theo cách dựng hình là
ở mỗi bước dựng đó xét xem phải thỏa mãn điều kiện gì thì bước dựng
này thực hiện được và nếu dựng được thì có bao nhiêu nghiệm.
Xét ví dụ sau: “Dựng đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng cho trước
và với một đường tròn cho trước”.
Vì đề bài cho hai đường thẳng bất kì nên chúng có thể cắt nhau, hoặc
song song với nhau. Nếu chúng cắt nhau thì phần biện luận sẽ phức tạp
nhưng nếu chúng song song thì sẽ đơn giản hơn.
Ví dụ:
“Dựng tam giác biết hai cạnh và góc đối diện với một trong hai cạch đó”
Thì góc đã biết có thể là góc nhọn, vng hoặc tù, vì thế khi biện luận
phải xét đến các trường hợp ấy, để đơn giản bước biện luận có thể giới
hạn độ lớn của góc, chẳng hạn cho góc nhọn đối diện với một trong hai
cạnh ấy, hay có thể hạ thấp hơn mức độ bằng cách cho góc nhọn đối
diện với cạnh nhỏ.
Ví dụ 1.4. Dựng tứ giác ABCD biết AB = a, BC = b, CD = c,
DA = d và đường chéo AC là phân giác

A.
Phân tích: Giả sử tứ giác ABCD đã dựng được. Giả sử d < a ta lấy
điểm D

đối xứng với D qua AC, suy ra: AD

= AD = d ⇒ D

B = a−d.
Ta có D

C = c vậy ta dựng được ∆BCD


khi biết ba cạnh. Dựng được
∆BCD

từ đó ta dựng được điểm A và điểm D
Cách dựng:
i, Trước tiên ta dựng tam giác ∆BCD

biết ba cạnh BC = b, BD

= a−d
và D

C = c.
ii, Trên tia BD

lấy A sao cho D

A = d
iii, Lấy D đối xứng với D

qua AC ta được tứ giác ABCD phải dựng.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />19
Hình 1.4
Chứng minh:
- Theo bước dựng i thì: BC = b
- Theo bước dựng ii thì: AB = AD

+ D


B = d + (a −d) = a
- Theo bước dựng iiithì: AD = AD

= d, CD = CD

= c và

DAC =

D

AC hay AC là phân giác

A
Vậy ABCD là tứ giác thỏa mãn những điều kiện của đầu bài.
Biện luận: ∆BCD

dựng được nếu thỏa mãn 3 điều kiện sau:

b + (a −d) > c
b + c > a − d
c + (a −d) > b
∆BCD

dựng được ta có một nghiệm.
Khi:

a = d
b = c
Bài tốn có vơ số nghiệm.

Nếu:

a = d
b = c

a = d
b = c
Bài tốn vơ nghiệm.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />20
Chương 2
Một số phương pháp dựng hình
bằng thước và compa
(Để cho thuận tiện trong luận văn này ta kí hiệu C(O; r) là đường
tròn tâm O, bán kính r)
Đứng trước một bài tốn dựng hình muốn xác định xem có thể giải bằng
phương pháp nào cần biết những dấu hiệu đặc trưng nhất của bài tốn
giải được bằng phương pháp này hay phương pháp khác. Mỗi phương
pháp đều có giá trị riêng của nó. Các phương pháp thường sử dụng là:
dựng hình bằng phương pháp biến hình (Phương pháp đối xứng, phương
pháp tịnh tiến, phương pháp quay, phương pháp đồng dạng ) phương
pháp quỹ tích, phương pháp đại số
2.1 Dựng hình bằng các phương pháp biến hình
Dựng hình bằng các phương pháp biến hình là áp dụng các phép đối
xứng, phép tịnh tiến, phép quay, phép đồng dạng Ta quy việc dựng
một hình về việc dựng một điểm M. Dựng trực tiếp điểm M đơi khi
gặp khó khăn. Trong trường hợp này ta chọn một phép biến hình là một
song ánh f ( để có f
−1
(M


) = M)).
2.1.1 Dựng hình bằng phương pháp tịnh tiến
Ví dụ 2.1. Cho hai đường tròn tâm (O) và tâm (O

). Dựng một đoạn
thẳng AB có độ dài a cho biết song song với một đường thẳng d cho
trước, sao cho hai mút lần lượt nằm trên hai đường tròn đã cho.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />21
Hình 2.1
Phân tích:
Giả sử đã dựng được mút A của đoạn thẳng AB nằm trên đường tròn
tâm (O).
Ta tịnh tiến đường tròn (O) song song với đường thẳng d một khoảng
bằng a. Ta được đường tròn (O
1
).
Giao điểm của đường tròn (O
1
) với đường tròn (O

) xác định cho ta điểm
B.
Ta tịnh tiến điểm B ngược với phép tịnh tiến trên ta được điểm A.
Cách dựng:
- Tịnh tiến đường tròn tâm (O) song song với d một khoảng bằng a ta
được đường tròn (O
1
).
- Giao điểm của đường tròn (O
1

) và đường tròn (O

) cho ta điểm B.
- Tịnh tiến điểm B ngược trở lại với phép tịnh tiến ban đầu ta được
điểm A.
Chứng minh:
Vì ta sử dụng phép tịnh tiến một khoảng bằng a nên AB = a và AB//d
thỏa mãn.
Biện luận:
Vì ta có thể tịnh tiến đường tròn (O) theo hai chiều khác nhau để được
các đường tròn (O
1
) và (O
2
) nên bài tốn có tối đa bốn nghiệm hình.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />22
Ví dụ 2.2. Có hai làng A và B ở hai phía của một con sơng, hãy dựng
một cầu nối hai bờ sơng sao độ dài đi từ làng A đến làng B là ngắn nhất
và cầu phải vng góc với bờ sơng. Cho biết chiều rộng con sơng là h.
Cách dựng:
- Từ A ta tịnh tiến một khoảng bằng h ta được điểm A

.
Hình 2.2
- Nối A

B cắt d

tại D. Dựng DC⊥d cắt d tại C.
Đoạn CD chính là vị trí cây cầu phải dựng.

Chứng minh:
Ta có: AC + CD + DB = AC + DB + h = A

D + DB + h
Mà A

D + DB nhỏ nhất vì A

, D, B thẳng hàng.
2.1.2 Dựng hình bằng phương pháp đối xứng tâm
Ví dụ 2.3. Ví dụ: Dựng đa giác n đỉnh biết n trung điểm của n cạnh.
Phân tích:
Giả sử đa giác đã dựng được với các đỉnh A
1
, A
2
, , A
n
với các trung
điểm:
Số hóa bởi trung tâm học liệu />23
Hình 2.3
M
1
là trung điểm của A
1
A
2
M
2

là trung điểm của A
2
A
3


M
n−1
là trung điểm của A
n−1
A
n
M
n
là trung điểm của A
n
A
1
Chọn điểm B
1
bất kì.
Lấy điểm B
2
đối xứng với B
1
qua M
1
Điểm B
3
đối xứng với B

2
qua M
2


Điểm B
n
đối xứng với M
n−1
qua B
n−1
Điểm B
n−1
đối xứng với M
n
qua B
n
.
Ta có:
A
2
B
2
song song và bằng A
1
B
1
A
3
B

3
song song và bằng A
2
B
2

A
n
B
n
song song và bằng A
n−1
B
n−1
A
1
B
n+1
song song và bằng A
n
B
n
Số hóa bởi trung tâm học liệu />24
Do đó: A
1
B
1
song song và bằng A
1
B

n−1
. Hay A
1
là trung điểm của đoạn
thẳng B
1
B
n+1
Cách dựng:
- Dựng B
1
tùy ý từ đó ta dựng được các điểm B
2
, B
3
, , B
n+1
.
- Dựng trung điểm của đoạn thẳng B
1
B
n+1
đó là đỉnh A
1
của đa giác.
Dựng A
2
đối xứng A
1
qua M

1
Tương tự như vậy ta dựng đa giác n
cạnh.
Biện luận:
- Với n lẻ bài tốn có duy nhất một nghiệm, đa giác dựng được có thể
lồi, lõm hoặc tự cắt.
-Với n chẵn theo suy luận trên: A
1
B
n+1
song song và bằng A
1
B
1
và
A
1
B
n+1
trùng A
1
B
1
.
Nếu B
n+1
khơng trùng B
1
thì bài tốn khơng có nghiệm.
Nếu B

n+1
trùng B
1
thì bài tốn có vơ số nghiệm.
2.1.3 Dựng hình bằng phương pháp đối xứng trục
Ví dụ 2.4. Cho đường thẳng d và hai điểm A,B nằm ngồi đường thẳng
d. (A,B nằm cùng nửa mặt phẳng bờ d).Tìm điểm C nằm trên d sao
cho chu vi ∆ABC nhỏ nhất.
Hình 2.4
Cách dựng:
Ta dựng B

đối xứng B qua d. Nối B

với A cắt d tại C. Vậy C là điểm
Số hóa bởi trung tâm học liệu />25
cần dựng.
Chứng minh:
Thật vậy ∀C ∈ d ta ln có AC +BC = AC +B

C (tính chất đối xứng),
mà AC +B

C > AB

(độ dài đường gấp khúc ln lớn hơn đường thẳng).
Vậy điểm C ở vị trí như trên hình 2.3 thì chu vi ∆ABC nhỏ nhất.
Ví dụ 2.5. Cho

xOy (


xOy < 90
0
), một điểm M cố định nằm trong

xOy
tìm điểm A ∈ Ox, B ∈ Oy sao cho chu vi ∆ABM nhỏ nhất.
Cách dựng:
Qua Ox dựng M

đối xứng với M, Qua Oy dựng M

đối xứng với M.
Hình 2.5
Nối M

với M

cắt Ox tại A, Oy tại B, hai điểm A, B là hai điểm cần
dựng.
Chứng minh:
Thật vậy, ∀A

∈ Ox, ∀B

∈ Oy ta có MA

+ MB

+ A


B

= M

A

+
A

B

+ B

M

( tính chất đối xứng), mà
M

A

+ A

B

+ B

M

≥ M


M

và M

M

chính là chu vi tam giác MAB.
Vậy hai điểm A, B ở trên là hai điểm cần dựng.
Ví dụ 2.6. Cho đường thẳng d cắt đoạn thẳng AB. Tìm trên d một điểm
M sao cho đường thẳng d là phân giác của góc

AMB.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />