môđun cohen - macaulay với chiều s và một số kết quả trên môđun đối đồng điều địa phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM


DƯƠNG THỊ GIANG




MƠĐUN COHEN-MACAULAY VỚI CHIỀU
> s VÀ MỘT SỐ KẾT QUẢ TRÊN MƠĐUN
ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG











2013
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />> s
> s
> s
a
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />(R, m) a R M
R dim M = d s  −1
M > s

f
M > −1, 0, 1
M > s
M > s
> s
f
f
> −1, 0, 1
> s
3 1
1.5 1
f f
2
3 2 > s
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Ext M s  0
a R dim M/aM > s
M > s a M
> s M > s a
i
dim(Supp(H
i
a
(M))) > s, i
dim(Ext
i
R
(R/a, M)) > s > s
M a depth(a, M, > s). 2
> s
> s M > s

(Supp(M))
>s
dim M = dim R/p
p ∈ (Supp(M))
>s
M
p
R
p
p ∈ (Supp(M))
>s
. R
M
> s m

M M
> s
> s
M = R R
M
M f
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />R M R
dim M = d.
M R p
R M 0 = x ∈ M
p = Ann
R
(x).
Q M M
M/Q = 0 a ∈ ZD(M/Q), n ∈ N a

n
(M/Q) = 0.
p =

Ann
R
(M/Q) R, Q
p M.
N R M N
Q
i
i = 1, . . . , n,
N = Q
1
∩ . . . ∩ Q
n
p
i
N = 0 N = 0 N
p
i
Q
i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />i = 1, . . . , n
Q
j
⊆
n

i=1;i=j

Q
i
.
N
{p
1
, . . . , p
n
}
N
M/N Ass
R
M/N Q
i
, i = 1, . . . , n
N p
i
Ass
R
M/N
Q
i
Q
i
p M N
R M N R/p.
p R Ass(R/p) = {p}.
p Ann(x),
0 = x ∈ M. p ∈ Ass(M). M = 0 Ass(M) = ∅.
ZD(M) M

M.
Ass

R

M =

p∈Ass M
Ass

R

M/p

M.
R
0 −→ M

−→ M −→ M

−→ 0.
Ass
R
(M

) ⊆ Ass
R
(M) ⊆ Ass
R
(M


) ∪ Ass
R
(M

)
Supp
R
(M) = Supp
R
(M

) ∪ Supp
R
(M

).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />M R Ass
R
(M)
Ass
R
(M) ⊆ Supp
R
(M). Ass
R
(M)
Supp
R
(M)

, (R, m) M R
d x
1
, . . . , x
d
∈ m

R
(M/(x
1
, . . . , x
d
)M) < ∞ M.
(x
n
) ⊆ R m
k ∈ N n
0
x
n
− x
m
∈ m
k
n, m ≥ n
0
. (x
n
) ⊆ R k ∈ N
n

0
x
n
∈ m
k
n ≥ n
0
.
(x
n
), (y
n
)
(x
n
− y
n
)

R
(x
n
) + (y
n
) = (x
n
+ y
n
)
(x

n
)(y
n
) = (x
n
y
n
)

R

R
m

R.

R
m R
(z
n
) ⊆ M m
k ∈ N n
0
z
n
− z
m
∈ m
k
M

n, m ≥ n
0
.
m

R

M.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />x ∈ m M x /∈ p,
p ∈ Ass(M) dim R/p = d. x
1
, . . . , x
d
∈ m
M x
i+1
/∈ p, p ∈ Ass
R
(M/(x
1
, . . . , x
i
)M)
dim R/p = d − i, i = 1, . . . , d − 1.
x
1
, . . . , x
t
∈ m t  d
dim(M/(x

1
, . . . , x
t
)M) ≥ dim M − t.
x
1
, . . . , x
t
M.
x
1
, . . . , x
d
M
a
1
, . . . , a
d
, x
a
1
1
, . . . , x
a
d
d
M.
x
1
, . . . , x

d
M

M,

M m M.
Ext
M, N R n  0
n Hom(−, N) M
M N, Ext
n
R
(M, N).
Ext
n
R
M
. . . → P
2
.u
2
→ P
1
.u
1
→ P
0
ε
→ M → 0.
Hom(−, N)

0 → Hom(P
0
, N)
u
∗
1
→ Hom(P
1
, N)
u
∗
2
→ Hom(P
2
, N) → . . .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Ext
n
R
(M, N) = Ker u
∗
n+1
/ Im u
∗
n
n
M
Ext
0
R
(M, N)

∼
=
Hom(M, N).
M N Ext
n
R
(M, N) = 0 n  1.
0 → N

→ N → N

→ 0
Ext
n
R
(M, N

) → Ext
n+1
R
(M, N

) n  0
0 → Hom(M, N

) → Hom(M, N) → Hom(M, N

) → Ext
1
R

(M, N

)
→ Ext
1
R
(M, N) → Ext
1
R
(M, N

) → Ext
2
R
(M, N

) → . . .
0 → M

→ M → M

→ 0
Ext
n
R
(M

, N) → Ext
n+1
R

(M

, N) n  0
0 → Hom(M

, N) → Hom(M, N) → Hom(M

, N) → Ext
1
R
(M

, N)
→ Ext
1
R
(M, N) → Ext
1
R
(M

, N) → Ext
2
R
(M

, N) → . . .
M, N Ext
n
R

(M, N) n.
I R M R
M I, H
i
I
(M),
H
i
I
(M) = R
i
(Γ
I
(M)),
R
i
(Γ
I
(M)) i I Γ
I
(−)
M.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />I R. δ
0 → L
f
→ M
g
→ N → 0
R
0 → H

0
I
(L)
H
0
I
(f)
→ H
0
I
(M)
H
0
I
(g)
→ H
0
I
(N)
→ H
1
I
(L)
H
1
I
(f)
→ H
1
I

(M)
H
1
I
(g)
→ H
1
I
(N) → . . .
→ H
i
I
(L)
H
i
I
(f)
→ H
i
I
(M)
H
i
I
(g)
→ H
i
I
(N) → H
i+1

I
(L) → . . .
H
i
I
(M) = 0 i > d (R, m) 0 = M
R H
d
m
(M) = 0.
R M
M R 0 0 = x ∈ R
M M = xM x M
x
1
, . . . , x
n
∈ R M M
M/(x
1
, . . . , x
n
)M = 0
x
i
M/(x
1
, . . . , x
i−1
)M i = 1, . . . , n.

x
1
, . . . , x
n
∈ m M
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />x
1
, . . . , x
n
M
a
1
, . . . , a
n
x
a
1
1
, . . . , x
a
n
n
M
R M R
x
1
, . . . , x
n
M
x

1
, . . . , x
n
M
x
1
, . . . , x
n
M
M x
1
, . . . , x
n
∈ m M
x
i
/∈ p p ∈ Ass
R
M/(x
1
, . . . , x
i−1
)M.
M R
I R IM = M n
Ext
i
R
(N, M) = 0 i < n R N
Supp(N) ⊆ V (I)

Ext
i
R
(R/I, M) = 0 i < n;
Ext
i
R
(N, M) = 0 i < n R N
Supp(N) = V (I);
M n I.
I R M R
M = IM M I
I M
I M I
depth(I, M). M = IM depth(I, M) = ∞.
depth(I, M) M
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />depth M  dim R/p  dim M, p ∈ Ass M.
I R
depth(I, M) = inf{i | Ext
i
R
(R/I, M) = 0} = inf{i | H
i
I
(M) = 0}.
depth(I, M) = n.
Ass
R
(Ext
n

R
(R/I, M)) = Ass
R
(H
n
I
(M)).
p ∈ Supp(M/IM) \{m}. x
1
, . . . , x
n
M
Ext
n
R
p
(R
p
/IR
p
, M
p
)
∼
=
Hom
R
p
(R
p

/IR
p
, M
p
/(x
1
/1, . . . , x
n
/1)M
p
).
R, M R
f f
M M = 0
M = 0 depth M = dim M. R
R
M p ∈ Ass
R
M, dim R/p =
dim M. M
M M
H
i
m
(M) = 0, i = d.
M M
p
R
p
p ∈ Spec R M

p
= 0 depth(p, M) = depth
R
p
M
p
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />x
1
, . . . , x
n
M M
M/(x
1
, . . . , x
n
)M .
dim
R
M = dim

R

M depth M = depth

M;
M

M .
x

1
, . . . , x
t
m
M i = 1, . . . , t
(x
1
, . . . , x
i−1
)M :
M
x
i
⊆

n0
(x
1
, . . . , x
i−1
)M : m
n
.
f
x ∈ m f x /∈ p
p ∈ Ass(M) \ {m} x
1
, . . . , x
t
m

f x
i
/∈ p, p ∈ Ass(M/(x
1
, . . . , x
i−1
)M) \{m}
i = 1, . . . , t
p ∈ Supp M \ {m}, x
1
, . . . , x
t
∈ p f
x
1
/1, . . . , x
t
/1 M
p
x
1
, . . . , x
t
∈ p f x
n
1
1
, . . . , x
n
t

t
f
n
1
, . . . , n
t
x
1
, . . . , x
t
f
dim((x
1
, . . . , x
i−1
)M :
M
x
i
/(x
1
, . . . , x
i−1
)M)  0
I ⊆ m R
M I
f t I
dim(Hom
R
(R/I, M))  0 x ∈ I

f
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />t > 0
dim(Ext
i
R
(R/I, M))  0, i < t;
I f t.
x
1
, . . . , x
t
∈ I f p ∈ Spec(R) \ {m}
Ext
n
R
(R/I, M)
p
∼
=
Hom
R
(R/I, M/(x
1
, . . . , x
t
)M)
p
.
x
1

, . . . , x
t
f M I
dim(Ext
t
R
(R/I, M)) > 0. f
I f
M I f depth(I, M).
f depth(I, M) = 0
p ∈ Ass
R
(M) \ {m} I ⊆ p x ∈ I
f
f depth(I, M) = f depth(I, M/xM) + 1.
dim(M/IM) > 0
depth(I, M)  f depth(I, M)  ht
M
I,
M
I
Supp(M) I.
f depth(I, M) = f depth(

I,

M).
f
M M
f f f

dim M > 0. U(M) = {p ∈ Supp M : dim R/p > 0}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />f
x
1
, . . . , x
t
M
p ∈ Ass(M/(x
1
, . . . , x
t
)M) dim R/p ≥ 1 dim R/p = d −t.
depth M
p
= d − dim R/p p ∈ U(M).
ht
M
(p) = ht
M
(q) + ht(p/q) p, q ∈ U(M) ∪{m} p ⊇ q, M
p
p ∈ U(M) dim R/p = d
p ∈ min U(M).
f

M M.

M f M f
R M
f


M f
x
1
, . . . , x
r
m M x
i
/∈ p,
p ∈ Ass
R
M/(x
1
, . . . , x
i−1
)M dim R/p > 1 i = 1, . . . , r.
x ∈ m M x /∈ p,
p ∈ Ass
R
M dim R/p > 1.
f
f
2
x
1
, . . . , x
r
m
x
1

, . . . , x
r
M x
1
/1, . . . , x
r
/1
M
p
p ∈ Supp M x
1
, . . . , x
r
dim R/p > 1
x
i
/1 x
i
R
p
, i = 1, . . . , r.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />r  d − 2 M
r M
x
1
, . . . , x
r
M x
n
1

1
, . . . , x
n
r
r
M n
1
, . . . , n
r
.
x ∈ m. x
M dim(0 :
M
x)  1.
r
dim(Ext
i
R
(R/I; M))  1, i < r;
I M r
x
1
, . . . , x
r
∈ I
(Ext
r
R
(R/I; M))
p

∼
=
Hom(R/I; M/(x
1
, . . . , x
r
)M)
p
,
p ∈ Supp M dim R/p > 1.
R dim(M/IM) > 1.
M I
M I
M I, gdepth(I; M)
f f
depth(I; M)  depth(I; M)  gdepth(I; M).
x
1
∈ I M
gdepth(I; M) = gdepth(I; M/x
1
M) + 1.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />gdepth(I; M) = min{gdepth(p; M) | p ∈ V (I)}.
gdepth(I; M) = min{i | dim(Ext
i
R
(R/I; M)) > 1}
= min{i| ∃ p ∈ Supp(H
i
I

(M)) dim R/p > 1}.
dim(M/IM) > 1.
M
M f
M
f f
f f
f 3 f
dim M > 1. T (M) = {p ∈ Supp M : dim R/p > 1}.
f
x
1
, . . . , x
r
M
p ∈ Ass(M/(x
1
, . . . , x
r
)M) dim R/p ≥ 2 dim R/p = d −r.
depth M
p
= d − dim R/p p ∈ T (M).
ht
M
(p) = ht
M
(q) + ht(p/q) p, q ∈ T(M) ∪{m} p ⊇ q, M
p
p ∈ T (M) dim R/p = d

p ∈ min T (M).

M f M f
R M
f

M f
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />> s
(R, m) a
R M R dim M = d.
M
> s
> s
m M M
p
M
> s Supp M
> s
s  −1 x
1
, . . . , x
n
m. i = 1, . . . , n, M
i
= M/(x
1
, . . . , x
i−1
)M
x

1
, . . . , x
n
M > s x
i
/∈ p
p ∈ Ass(M
i
) dim R/p > s i.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />x
1
, . . . , x
n
M > −1, 0, 1
M f M
x > s
> s + 1 M > s
M > s + 1.
a R M x
1
, . . . , x
n
> s
n  1 dim M/aM  s.
M > s a
x
1
, . . . , x
n
M > s

i = 1, . . . , n
dim((x
1
, . . . , x
i−1
)M :
M
x
i
)/(x
1
, . . . , x
i−1
)M  s.
x
1
/1, . . . , x
n
/1 M
p
p ∈ Supp M x
1
, . . . , x
n
dim R/p > s.
n ⇔
n = 1. x M > s
dim(0 :
M
x) > s. p ∈ Ass(0 :

M
x)
dim R/p > s. x ∈ p p ∈ Ass M x M
> s. dim(0 :
M
x)  s.
dim(0 :
M
x)  s x
M > s. p ∈ Ass M dim R/p > s
x ∈ p. p ∈ Ass M 0 = a ∈ M p = ann a.
dim(0 :
M
x)  dim(0 :
M
p)  dim(Ra) = dim R/p > s.
dim(0 :
M
x)  s.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />⇔ p ∈ Supp M dim R/p > s.
R
p
pR
p
x /∈ p,
p ∈ Supp M dim R/p > s x /∈ qR
p
,
qR
p

∈ Ass M
p
q ⊆ p x
1
, . . . , x
n
M > s
x
1
/1, . . . , x
n
/1 M
p
X Spec R
(X)
i
= {p ∈ X : dim R/p  i} (X)
>i
= {p ∈ X : dim R/p > i}.
s  0 a R
n > 0 dim(Supp(H
i
a
(M)))  s
i < n M > s n a.
dim M/aM > s M > s a
M > s M
> s a
i dim(Supp(H
i

a
(M))) > s.
dim(M/aM)  s M > s a
n n > 0.
dim(Supp(H
i
a
(M)))  s i < n
n x
1
, . . . , x
n
∈ a M
> s. n = 1. dim(Supp(H
0
a
(M)))  s. a  p
p ∈ (Ass
R
M)
≥s+1
x
1
∈ a M
> s n > 1 x
1
= x dim(0 :
M
x)  s
0 → 0 :

M
x → M → M/(0 :
M
x) → 0,
H
i
a
(M) → H
i
a
(M/(0 :
M
x)) → H
i+1
a
(0 :
M
x),
i ≥ 0 dim(0 :
M
x)  s dim(Supp(H
i
a
(0 :
M
x)))  s
i ≥ 0 dim(Supp(H
i
a
(M/(0 :

M
x))))  s
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />i < n
0 → M/(0 :
M
x) → M → M/xM → 0,
H
i
a
(M) → H
i
a
(M/(xM)) → H
i+1
a
(M/(0 :
M
x))
i  0 dim(Supp(H
i
a
(M/xM)))  s i < n − 1
x
2
, . . . , x
n
∈ a M/xM > s
x
1
, . . . , x

n
M > s a
x
1
, . . . , x
n
M > s a
p ∈ Spec R dim R/p > s x
1
/1, . . . , x
n
/1 M
p
a
p
H
i
aR
p
(M
p
) = 0
p /∈ Supp(H
i
a
(M)), i < n dim(Supp(H
i
a
(M)))  s
i < n

dim(M/aM) > s. m
dim(M
m
/aM
m
) > s M > s a
M
m
> s aR
m
dim(M
m
/aM
m
) > s
M
m
> s aR
m
M
m
M > s a dim M
m
−s −1
M > s
a M > s a
M > s a
x
1
, . . . , x

n
y
1
, . . . , y
t
M > s a
n = t n < t dim(Supp H
i
a
(M))  s
i < n k
dim(Supp H
i
a
(M/(x
1
, . . . , x
k
)M))  s i  n − k k  n
dim(H
0
a
(M/(x
1
, . . . , x
n
)M))  s a
M/(x
1
, . . . , x

n
)M > s
x
1
, . . . , x
n
M > s a
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />dim(M/aM)  s
M a p > s
M > s
Ext
s  −1 n  1
M > s a n.
dim(Ext
i
R
(L, M))  s i < n R
L Supp(L) ⊆ V (a), V (a)
Spec(R) a
dim(Ext
i
R
(L, M))  s i < n R
L Supp(L) = V (a).
⇒ x
1
, . . . , x
n
M > s a
p ∈ Supp(L⊗

R
M) dim R/p > s. x
1
, . . . , x
n
M
> s M
p
a
p
Supp(L
p
) ⊆ V (a
p
) (Ext
i
R
(L, M))
p
= 0,
i < n. dim(Ext
i
R
(L, M))  s i < n.
⇒
⇒ n ≥ 1. n = 1
M > s n
a, p ∈ Ass M a dim R/p > s
R
p

/pR
p
−→ M
p
Supp(L) = V (a)
L
p
/pL
p
= 0 Hom
R
(L
p
/pL
p
, R
p
/pR
p
) = 0
Hom
R
(L, M)
p
= 0 p ∈ Supp(Hom
R
(L, M))
dim(Hom
R
(L, M)) > s,

n > 1 x ∈ a M
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />> s dim(0 :
M
x)  s
dim(Ext
i
R
(L, 0 :
M
x))  s i.
0 −→ 0 :
M
x −→ M
x
−→ xM −→ 0,
δ Ext
Ext
i
R
(L, M) −→ Ext
i
R
(L, xM) −→ Ext
i+1
R
(L, 0 :
M
x),
i dim(Ext
i

R
(L, xM))  s i < n
0 −→ xM −→ M −→ M/xM −→ 0,
Ext
i
R
(L, M) −→ Ext
i
R
(L, M/xM) −→ Ext
i+1
R
(L, xM),
i dim(Ext
i
R
(L, M/xM))  s i < n − 1.
M/xM, x
2
, . . . , x
n
M/xM > s a. x, x
2
, . . . , x
n
M
> s a.
dim M/aM > s M > s
a M > s
M > s a

> s M a
depth(a, M, > s).
i dim(Ext
i
R
(R/a, M)) > s
M
grade(M) = min{i : Ext
i
R
(M, R) = 0},
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />