tổng quát hóa bổ đề schwarz cho các ánh xạ chuẩn tắc của không gian phức

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM








NGUYỄN N BÌNH









TỔNG QT HĨA BỔ ĐỀ SCHWARZ
CHO CÁC ÁNH XẠ CHUẨN TẮC
CỦA KHƠNG GIAN PHỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC












Thái Ngun - 2013
Số hóa bởi trung tâm học liệu />




ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN N BÌNH






TỔNG QT HĨA BỔ ĐỀ SCHWARZ
CHO CÁC ÁNH XẠ CHUẨN TẮC
CỦA KHƠNG GIAN PHỨC



Chun ngành: Tốn Giải tích
Mã số: 60.46.01.02



LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC





Người hướng dẫn khoa học: TS. Trần Huệ Minh

Thái Ngun - 2013
Số hóa bởi trung tâm học liệu /> i


LỜI CAM ĐOAN


Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi. Các tài
liệu tham khảo trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa từng được cơng
bố trong bất cứ cơng trình nào.
Tác giả luận văn


Nguyễn n Bình


Số hóa bởi trung tâm học liệu />ii
Mục lục
Mở đầu iii
1 Một số kiến thức chuẩn bị 3
1.1 Đa tạp phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Ánh xạ chỉnh hình giữa các đa tạp phức . . . . . 4
1.1.4 Khơng gian tiếp xúc và phân thớ tiếp xúc của đa
tạp phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Hàm độ dài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Khoảng cách sinh bởi hàm độ dài . . . . . . . . 7
1.3 Tơpơ compact mở và compact hóa một điểm . . . . . . 7
1.3.1 Tơpơ compact mở . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 Compact hóa một điểm . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Khơng gian phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.2 Điểm chính quy và điểm kỳ dị . . . . . . . . . . 10
1.4.3 Định lý Ascoli đối với họ liên tục đồng đều . . . 10
1.5 Giả khoảng cách Kobayashi trên khơng gian phức . . . . 11
1.5.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Khơng gian phức hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Số hóa bởi trung tâm học liệu />1.6.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6.3 Khơng gian phức nhúng hyperbolic . . . . . . . . 14
1.7 Họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình trong khơng gian
phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7.3 Họ chuẩn tắc đều các ánh xạ chỉnh hình trong
khơng gian phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.8 Khơng gian taut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.8.1 Khơng gian phức taut . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.8.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8.3 Khơng gian phức nhúng taut . . . . . . . . . . . 19
2 Tổng qt hóa bổ đề Schwarz cho các ánh xạ chuẩn tắc
của khơng gian phức 20
2.1 Bổ đề Schwarz cho các ánh xạ chỉnh hình của khơng gian

phức taut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1 Tổng qt hóa định lý Cartan-Carathéodory . . 21
2.1.2 Sự hội tụ của dãy các ánh xạ lặp của ánh xạ chỉnh
hình f trên khơng gian phức taut . . . . . . . . 23
2.2 Bổ đề Schwarz cho các ánh xạ chỉnh hình của khơng gian
phức hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Bổ đề Schwarz cho các ánh xạ chuẩn tắc của khơng gian
phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.1 Tổng qt hóa bổ đề Schwarz cho các ánh xạ
chuẩn tắc của khơng gian phức . . . . . . . . . . 32
2.3.2 Sự hội tụ của dãy các ánh xạ lặp của ánh xạ
chuẩn tắc trên khơng gian phức . . . . . . . . . 34
Kết luận 37
TÀI LIỆU THAM KHẢO 38
Số hóa bởi trung tâm học liệu />1
Mở đầu
Việc tổng qt hóa lớp các Bổ đề Schwarz đã được nghiên cứu đầu
tiên bởi Cartan-Carathéodory qua kết quả sau:
Định lý: Cho X là một mặt Riemann hyperbolic và f là một ánh xạ
chỉnh hình từ X vào X, có điểm bất động p. Khi đó
i f p 1.
ii f p 1 khi và chỉ khi f id.
iii f p 1 khi và chỉ khi f là một tự đẳng cấu.
Sau đó Abate 3 chứng minh thêm được một kết quả về sự hội tụ
của dãy các ánh xạ lặp f
n
của ánh xạ chỉnh hình f, đó là:
iv f p 1 nếu và chỉ nếu dãy các ánh xạ lặp f
n
của f hội tụ về

p với f
n
được định nghĩa bởi f
1
f và f
n
f f
n 1
với n 1.
Định lý trên đã được Abate [3] tổng qt hóa cho các ánh xạ chỉnh
hình của khơng gian phức taut và cũng được Kobayashi [10], Kaup [9]
mở rộng (các khẳng định i), ii), iii) nhưng với điều kiện yếu hơn) cho
các ánh xạ chỉnh hình trên khơng gian phức hyperbolic. Năm 2000, J.
E. Joseph và M. H. Kwack [6] đã đưa ra hai tính chất cho họ chuẩn tắc
đều các ánh xạ chỉnh hình, từ đó đã mở rộng được các kết quả trên cho
các ánh xạ chuẩn tắc của khơng gian phức.
Mục đích của luận văn là nghiên cứu, học tập và hệ thống lại các
kết quả nêu trên.
Nội dung của luận văn được trình bày thành hai chương:
Chương I: Một số kiến thức chuẩn bị.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />2
Nội dung của chương này là trình bày một số kiến thức cơ bản của
Giải tích phức hyperbolic. Đồng thời trình bày một số khái niệm và
tính chất của họ chuẩn tắc, họ chuẩn tắc đều các ánh xạ chỉnh hình.
Những kiến thức này sẽ là cơ sở cho việc nghiên cứu ở chương sau.
Chương II: Tổng qt hóa Bổ đề Schwarz cho các ánh xạ chuẩn tắc
của khơng gian phức
Chương này gồm hai nội dung chính. Thứ nhất là trình bày kết quả
mở rộng của Bổ đề Schwarz cho các ánh xạ chỉnh hình của một khơng
gian phức taut, khơng gian phức hyperbolic và kết quả mở rộng của

Bổ đề Schwarz cho các ánh xạ chuẩn tắc của một khơng gian phức.
Thứ hai là trình bày các kết quả về sự hội tụ của dãy các ánh xạ lặp
của ánh xạ chỉnh hình (ánh xạ chuẩn tắc) trên khơng gian phức taut
(khơng gian phức).
Luận văn được hồn thành tại trường Đại học Sư Phạm - Đại học
Thái Ngun. Để hồn thành được bản luận văn này, trước hết tơi xin
bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới TS. Trần Huệ Minh, người
cơ đã tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi trong suốt q trình làm và hồn
thành luận văn. Tơi cũng xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn tới các
thầy cơ trong Khoa Tốn, trường Đại học Sư Phạm - Đại học Thái
Ngun, Viện Tốn học Việt Nam và trường Đại học Sư Phạm Hà Nội
đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tơi hồn thành khóa học.
Tơi xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã ln động viên, giúp đỡ tơi
trong suốt q trình học tập, làm và hồn thành luận văn. Luận văn
khơng thể tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế, rất mong nhận được
sự góp ý của các thầy cơ và các bạn. Tơi xin chân thành cảm ơn!
Thái Ngun, ngày 21 tháng 08 năm 2013
Học viên
Nguyễn n Bình
Số hóa bởi trung tâm học liệu />3
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1 Đa tạp phức
1.1.1 Định nghĩa
Giả sử X là một khơng gian tơpơ Hausdorff.
Cặp U, ϕ được gọi là một bản đồ địa phương của X, trong đó U
là tập mở trong X và ϕ : U C
n
là ánh xạ, nếu các điều kiện sau
được thỏa mãn:

i) ϕ U là tập mở trong C
n
.
ii) ϕ : U ϕ U là một đồng phơi.
Họ A U
i
, ϕ
i i I
các bản đồ địa phương của X được gọi là một
tập bản đồ giải tích (atlas) của X nếu các điều kiện sau được thỏa
mãn
i) U
i i I
là một phủ mở của X
ii) Với mọi U
i
, U
j
mà U
i
U
j
, ánh xạ
ϕ
j
ϕ
1
i
: ϕ
i

U
i
U
j
ϕ
j
U
i
U
j
là ánh xạ chỉnh hình.
Xét họ các atlas trên X. Hai atlas A
1
, A
2
được gọi là tương đương
nếu hợp A
1
A
2
là một atlas. Đây là một quan hệ tương đương trên
tập các atlas. Mỗi lớp tương đương xác định một cấu trúc khả vi phức
Số hóa bởi trung tâm học liệu />4
trên X, và X cùng với cấu trúc khả vi phức trên nó được gọi là một
đa tạp phức n chiều.
1.1.2 Ví dụ
+ Giả sử D là miền trong C
n
. Khi đó, D là một đa tạp phức n chiều
với bản đồ địa phương D, Id

D
.
+ Đa tạp xạ ảnh P
n
C .
Xét U
i
z
0
: z
1
: : z
n
P
n
C z
i
0 với i 0, 1, , n. Rõ
ràng U
i
n
i 1
là một phủ mở của P
n
C .
Xét các đồng phơi ϕ
i
: U
i
C

n
z
0
: z
1
: : z
n
z
0
z
i
, ,
z
i 1
z
i
,
z
i 1
z
i
, ,
z
n
z
i
.
Ta có
ϕ
j

ϕ
1
i
: z
0
, , z
i 1
, z
i 1
, , z
n
z
k
z
j
k j
; k 0, , m; z
i
1.
Rõ ràng ϕ
j
ϕ
1
i
là ánh xạ chỉnh hình. Vậy P
n
C là một đa tạp
phức n chiều và gọi là đa tạp xạ ảnh n chiều.
1.1.3 Ánh xạ chỉnh hình giữa các đa tạp phức
Giả sử M, N là các đa tạp phức. Ánh xạ liên tục f : M N được

gọi là chỉnh hình trên M nếu với mọi bản đồ địa phương U, ϕ của M
và mọi bản đồ địa phương V, ψ của N sao cho f U V thì ánh xạ
ψ f ϕ
1
: ϕ U ψ V là ánh xạ chỉnh hình.
Hay nói cách khác, với mọi x M, y N, tồn tại hai bản đồ địa
phương U, ϕ và V, ψ tại x và y tương ứng sao cho
ψ f ϕ
1
: ϕ U ψ V là ánh xạ chỉnh hình.
Giả sử f : M N là song ánh giữa các đa tạp phức. Nếu f và f
1
là các ánh xạ chỉnh hình thì f được gọi là ánh xạ song chỉnh hình giữa
M và N .
Số hóa bởi trung tâm học liệu />5
1.1.4 Khơng gian tiếp xúc và phân thớ tiếp xúc của đa tạp
phức
Giả sử M là một đa tạp phức m chiều và ∆ là đĩa đơn vị trong C. Giả
sử U, φ, ∆
m
là bản đồ địa phương quanh x; tức là, U là một lân cận
của x và φ : U ∆
m
là ánh xạ song chỉnh hình. Đặt φ z
1
, , z
m
.
Khi đó z
1

, , z
m
là một hệ tọa độ chỉnh hình địa phương quanh x.
Đặt z
α
x
α
iy
α
, trong đó x
α
và y
α
là các giá trị thực. Khi đó
x
1
, , x
m
, y
1
, , y
m
là hệ tọa độ địa phương thực quanh x, ở đó M
được xem như là đa tạp khả vi thực 2m chiều. Giả sử T
x
M là khơng
gian tiếp xúc của M tại x. Khi đó T
x
M là khơng gian vectơ thực 2m
chiều, và

x
1
x
, ,
x
m
x
,
y
1
x
, ,
y
m
x
(1.1)
là một cơ sở của T
x
M. Ký hiệu T
x
M
R
C là phức hóa của T
x
M. Khi
đó (1.1) cũng là một cơ sở của khơng gian vectơ phức T
x
M
R
C.

Đặt
z
j
1
2 x
j
i
y
j
, 1 j m.
Ta kí hiệu
T
x
M
m
j 1
ξ
j
z
j
x
; ξ
j
C .
Khi đó T
x
M là một khơng gian con tuyến tính phức m chiều của
T
x
M

R
C, mà độc lập với cách chọn hệ tọa độ chỉnh hình địa phương
z
1
, , z
m
. Ta gọi T
x
M là khơng gian tiếp xúc của đa tạp phức M tại
x.
Đặt
T M
x M
T
x
M (hợp rời).
Ta định nghĩa phép chiếu π : T M M bởi điều kiện π T
x
M x.
Khi đó T M có cấu trúc của đa tạp phức 2m chiều sao cho π là ánh xạ
chỉnh hình. Cụ thể hơn, giả sử z
1
, , z
m
là hệ tọa độ chỉnh hình địa
Số hóa bởi trung tâm học liệu />6
phương xác định trên một tập con mở U của M. Khi đó ta có
π
1
U

m
j 1
ξ
j
z
j
x
; x U, ξ
j
C .
Ánh xạ
m
j 1
ξ
j
z
j
x
π
1
U z
1
x , , z
m
x , ξ
1
, , ξ
m
C
2m

là một hệ tọa độ chỉnh hình địa phương của T M.
Ta gọi T M là phân thớ tiếp xúc chỉnh hình của đa tạp phức M.
1.2 Hàm độ dài
1.2.1 Định nghĩa
+ Giả sử Z là đa tạp thực và E là phân thớ vectơ phức trên Z. Hàm
độ dài trên E là một hàm H từ E vào tập các số thực khơng âm thỏa
mãn
i) H v 0 khi và chỉ khi v 0.
ii) Với mọi số phức c C, ta có
H cv c H v .
iii) H là hàm liên tục.
Ta cũng ký hiệu H v bởi v
H
hoặc v nếu H đã được xác định.
+ Hàm H : E R
0
được gọi là nửa liên tục trên nếu với v E và
 0, tồn tại lân cận W của v trong E sao cho với mọi w W ta có
H w H v .
+ Hàm H : E R
0
được gọi là hàm nửa độ dài nếu H thỏa mãn
ii) và nửa liên tục trên.
+ Khoảng cách d trên tập hợp X là một hàm
d : X X R, x, y d x, y
Số hóa bởi trung tâm học liệu />7
thỏa mãn, với mọi x, y, z X,
i) d x, y 0, d x, y 0 với x y.
ii) d x, y d y, x .
iii) d x, y d x, z d z, y .

Nếu d chỉ thỏa mãn ii), iii) và d x, y 0 thì d được gọi là giả khoảng
cách trên X.
1.2.2 Khoảng cách sinh bởi hàm độ dài
Giả sử T Z là phân thớ tiếp xúc của đa tạp Z. Giả sử H là hàm độ
dài trên T Z mà ta cũng gọi là hàm độ dài trên Z.
Nếu γ : a, b Z là đường cong lớp C
1
trên Z, thì ta định nghĩa
L
H γ
b
a
H γ t dt
b
a
γ t
H
dt,
và gọi L
H
là độ dài của đường cong γ ứng với hàm độ dài H.
Với x, y X, ta gọi đường nối giữa x và y là hợp của hữu hạn các
đường cong lớp C
1
sao cho điểm cuối của đường này là điểm đầu của
đường tiếp theo. Độ dài của đường nối giữa x và y ứng với hàm độ dài
cho trước được định nghĩa là tổng của các độ dài của các đường cong
lớp C
1
thành phần.

Khoảng cách sinh bởi hàm độ dài H là khoảng cách được xác định
bởi
d
H
x, y infL
H
γ ,
trong đó inf được lấy theo tất cả các đường γ nối giữa x và y.
1.3 Tơpơ compact mở và compact hóa một điểm
1.3.1 Tơpơ compact mở
Giả sử X, Y là các khơng gian tơpơ. Gọi F là một họ các ánh xạ từ
X vào Y .
Số hóa bởi trung tâm học liệu />8
+ Với mỗi tập con K của khơng gian X và với mỗi tập con U của
khơng gian Y , ta định nghĩa
W K, U f f K U .
Họ tất cả các tập W K, U , trong đó K là một tập con compact
bất kỳ của X và U là một tập mở trong Y , là một tiền cơ sở của tơpơ
compact mở C trên F .
Do đó họ tất cả các giao hữu hạn các tập hợp dạng W K, U , trong
đó K và U là các tập hợp như trên, lập thành cơ sở của tơpơ compact
mở trên F . Một phần tử tùy ý của cơ sở đó có dạng W K
i
, U
i
i
1, , n , trong đó mỗi K
i
là tập con compact của X và mỗi U
i

là một
tập con mở của Y .
+ Giả sử f
n
là một dãy trong F . Ta nói dãy f
n
hội tụ tới f F
đều trên các tập con compact của X (hay hội tụ theo tơpơ compact
mở) nếu với mỗi tập con compact K của X và mỗi tập mở U của Y
thỏa mãn f K U, tồn tại n
0
0 sao cho với mọi n n
0
ta có
f
n
K U.
1.3.2 Compact hóa một điểm
Giả sử X là một khơng gian tơpơ khơng compact. Cặp Y, ϕ , trong
đó Y là một khơng gian compact, ϕ : X Y là một phép nhúng đồng
phơi X vào Y sao cho ϕ X trù mật trong Y , gọi là một compact hóa
của X.
Ta sẽ xét compact hóa bởi một điểm của khơng gian khơng compact.
Giả sử Y là một khơng gian tơpơ khơng compact và là một điểm
khơng thuộc Y. Đặt Y Y . Ta trang bị cho Y một tơpơ τ
như sau:
- Nếu G là một tập hợp trong Y khơng chứa , tức là G Y , thì
G τ khi và chỉ khi G mở trong Y .
- Nếu G là một tập hợp trong Y chứa thì G τ khi và chỉ khi
Y G là một tập hợp đóng và compact trong X.

Số hóa bởi trung tâm học liệu />9
Ta có Y , τ là một khơng gian tơpơ và Y là khơng gian con của
khơng gian tơpơ Y . Nếu gọi i : Y Y , i x x là phép nhúng
đồng phơi Y vào Y thì cặp Y , i là một compact hóa của Y và gọi
là compact hóa 1 điểm hay compact hóa Alexandroff của Y .
1.4 Khơng gian phức
1.4.1 Định nghĩa
Giả sử Z là đa tạp phức. Một khơng gian phức đóng X là một tập
con đóng của Z mà về mặt địa phương được xác định bởi hữu hạn các
phương trình giải tích. Tức là, với x
0
X tồn tại lân cận mở V của x
trong Z và hữu hạn các hàm chỉnh hình ϕ
1
, , ϕ
m
trên V sao cho
X V x V ϕ
i
x 0, i 1, , m .
Giả sử X là một khơng gian con phức trong đa tạp phức Z. Hàm
f : X C được gọi là chỉnh hình nếu với mỗi điểm x X tồn tại một
lân cận U x Z và một hàm chỉnh hình
ˆ
f trên U sao cho
ˆ
f
U X
f
U X

.
Giả sử f : X Y là ánh xạ giữa hai khơng gian phức X và Y . f
được gọi là chỉnh hình nếu với mỗi hàm chỉnh hình g trên một tập con
mở V của Y , hàm hợp g f là hàm chỉnh hình trên f
1
V .
Ký hiệu H X, Y là tập các ánh xạ chỉnh hình từ X vào Y được
trang bị tơpơ compact mở.
Kết quả cơ bản sau được chứng minh theo R. Gunning và H. Rossi:
Giả sử f
n
: X Y là dãy các ánh xạ chỉnh hình giữa các khơng gian
phức X, Y . Nếu f
n
hội tụ đều tới f trong H X, Y thì f là ánh xạ
chỉnh hình.
Các khái niệm hàm độ dài, khoảng cách sinh bởi hàm độ dài trong
khơng gian phức X được định nghĩa tương tự như đối với đa tạp.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />10
1.4.2 Điểm chính quy và điểm kỳ dị
Giả sử X là một khơng gian phức.
Một điểm α X được gọi là điểm chính quy của X nếu α có một
lân cận U trong Z sao cho U X là đa tạp phức. Tập các điểm chính
quy của X được ký hiệu là X
reg
.
Một điểm α X được gọi là điểm kỳ dị của X nếu nó khơng là điểm
chính quy. Tập các điểm kỳ dị của X được ký hiệu là X
sin
.

Trong khơng gian phức X tập các điểm chính quy X
reg
là một đa
tạp phức mở và tập các điểm kỳ dị X
sin
là một khơng gian phức với
IntX
sin
.
1.4.3 Định lý Ascoli đối với họ liên tục đồng đều
a) Định nghĩa:
Giả sử F là một họ nào đó các ánh xạ từ khơng gian tơpơ X vào
khơng gian tơpơ Y . Họ F được gọi là liên tục đồng đều từ X tới Y
nếu với mỗi lân cận U của điểm y đều tìm được một lân cận V của
điểm x và lân cận W của điểm y sao cho
nếu f x W thì f V U với mọi f F .
Nếu F là liên tục đồng đều với mọi x X và mọi y Y thì F được
gọi là liên tục đồng đều từ X đến Y .
b) Định lý:
Giả sử F là tập con của tập các ánh xạ liên tục C X, Y từ khơng
gian chính quy compact địa phương X vào khơng gian Hausdorff Y và
C X, Y có tơpơ compact mở. Khi đó F là compact tương đối trong
C X, Y nếu và chỉ nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:
i) F là họ liên tục đồng đều;
ii) Với mỗi x X, tập hợp F
x
f x f F là compact tương đối
trong Y .
Số hóa bởi trung tâm học liệu />11
1.5 Giả khoảng cách Kobayashi trên khơng gian

phức
Trên đĩa đơn vị ∆ z C; z 1 cho metric Bergman - Poincaré
ρ
∆
ln
1 a
1 z
với a ∆.
1.5.1 Định nghĩa
Giả sử X là một khơng gian phức, x và y là hai điểm tùy ý của
X. H ∆, X là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ ∆ vào X, được
trang bị tơpơ compact mở. Xét dãy các điểm p
0
x, p
1
, , p
k
y của
X, dãy các điểm a
1
, a
2
, , a
k
của ∆ và dãy các ánh xạ f
1
, , f
k
trong
H ∆, X thỏa mãn

f
i
0 p
i 1
, f
i
a
i
p
i
, i 1, , k.
Tập hợp α p
0
, , p
k
, a
1
, , a
k
, f
1
, , f
k
thỏa mãn các điều kiện
trên được gọi là một dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X.
Ta định nghĩa
d
X
x, y inf
α

k
i 1
ρ
∆
0, a
i
, α Ω
x,y
,
trong đó Ω
x,y
là tập hợp tất cả các dây chuyền chỉnh hình nối x và y
trong X.
Khi đó d
X
: X X R là một giả khoảng cách trên X và gọi là
giả khoảng cách Kobayashi trên khơng gian phức X.
Tổng
k
i 1
ρ
∆
0, a
i
được gọi là tổng Kobayashi của dây chuyền chỉnh
hình α.
Nhận xét: Nếu X là liên thơng thì với mọi x, y X, ln tồn tại dây
chuyền chỉnh hình trong X nối x với y.
Thật vậy, lấy x X, và gọi Z là tập gồm tất cả các điểm trong X
mà có thể nối với x bởi một dây chuyền chỉnh hình. Ta sẽ chứng minh

Z vừa là tập mở vừa là tập đóng.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />12
Nếu X là đa tạp phức thì hiển nhiên Z X.
Nếu X là khơng gian phức. Lấy z Z. Theo định lý Hironaka về
giải kỳ dị, tồn tại lân cận U của z và một ánh xạ chỉnh hình tồn ánh,
riêng
π : M U,
với M là đa tạp phức có hữu hạn thành phần liên thơng và π là đẳng
cấu chỉnh hình bên ngồi tập các điểm kỳ dị của X trong U. Vì mệnh
đề hiển nhiên đúng với đa tạp phức liên thơng, và vì π là tồn ánh, nên
Z là mở.
Để chứng minh Z đóng ta lấy một dãy y
n
trong Z và
y
n
z X.
Ta lại lấy một lân cận U của z và giải kỳ dị
π : M U.
Với n đủ lớn ta có y
n
U. Vì π là tồn ánh, ta có thể nâng y
n
thành u
n
M. Do y
n
, z là tập compact và π là ánh xạ riêng nên
π
1

y
n
, π
1
z là compact.
Từ đó, ta có thể trích được dãy con hội tụ, cũng ký hiệu là u
n
, tới
điểm u M và π u z. Vì M là đa tạp nên tồn tại dây chuyền chỉnh
hình trong M nối u với u
n
. Vậy qua π, tồn tại dây chuyền chỉnh hình
nối y
n
với z với n đủ lớn. Mà y
n
nối được với x bởi một dây chuyền
chỉnh hình, do đó có dây chuyền chỉnh hình nối z với x. Suy ra z Z.
Vậy Z đóng. Mà X liên thơng nên Z X.
1.5.2 Tính chất
a) Nếu f : X Y là ánh xạ chỉnh hình giữa hai khơng gian phức
thì f làm giảm khoảng cách đối với giả khoảng cách Kobayashi, nghĩa
là
d
X
x, y d
Y
f x , f y , x, y X.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />13
Hơn nữa, d

X
là giả khoảng cách lớn nhất trên X thỏa mãn mọi ánh
xạ chỉnh hình f : ∆ X là giảm khoảng cách.
b) + d
∆
ρ
∆
+ d
C
n
0
c) Đối với bất kỳ các khơng gian phức X, Y , ta có
d
X Y
x, y x , y max d
X
x, x , d
Y
y, y
với mọi x, x X, và mọi y, y Y .
d) Giả sử X là khơng gian phức. Khi đó, giả khoảng cách Kobayashi
d
X
: X X R là hàm liên tục.
1.6 Khơng gian phức hyperbolic
1.6.1 Định nghĩa
Khơng gian phức X được gọi là khơng gian hyperbolic (theo nghĩa
Kobayashi) nếu giả khoảng cách Kobayashi d
X
là khoảng cách trên X,

tức là
d
X
p, q 0 p q, p, q X.
1.6.2 Tính chất
a) Nếu X, Y là các khơng gian phức, thì X Y là khơng gian hy-
perbolic nếu và chỉ nếu cả X và Y đều là khơng gian hyperbolic.
b) Giả sử X là khơng gian con phức của khơng gian phức Y . Nếu Y
là hyperbolic thì X cũng là hyperbolic. Hay nói cách khác, khơng gian
con của một khơng gian hyperbolic là hyperbolic.
c) (Định lý Barth) Giả sử X là khơng gian phức liên thơng. Nếu X
là hyperbolic thì d
X
sinh ra tơpơ tự nhiên của X.
Chứng minh. Ta có khơng gian phức X là compact địa phương với tơpơ
đếm được, do đó nó metric hóa được bởi định lý metric hóa Urưxơn.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />14
Vì vậy có hàm khoảng cách ρ xác định tơpơ tự nhiên của X. Ta phải
chứng minh d
X
và ρ là so sánh được, tức là với x
n
X ta có
ρ x
n
, x 0 d
X
x
n
, x 0 khi n .

Do d
x
liên tục nên từ ρ x
n
, x 0 suy ra d
X
x
n
, x 0 khi n .
Ngược lại, giả sử d
X
x
n
, x 0 mà ρ x
n
, x 0 khi n . Khi
đó tồn tại s 0 sao cho có dãy con (vẫn ký hiệu là x
n
) mà các x
n
nằm ngồi ρ-cầu tâm x, bán kính s.
Nối x
n
với x bởi một dây chuyền chỉnh hình. Gọi γ là ảnh của các
trắc địa trong đĩa qua dây chuyền trên, γ : a, b X.
Xét hàm t ρ γ t , x , đây là một hàm liên tục do đó tồn tại
t
0
a, b sao cho ρ γ t
0

, x s. Vậy điểm y
n
γ t
0
nằm trên mặt
cầu tâm x bán kính s (đối với metric ρ). Từ đó theo định nghĩa giả
khoảng cách Kobayashi ta có
d
X
y
n
, x d
X
x
n
, x 0 khi n .
Do tính compact địa phương, dãy y
n
có dãy con y
n
k
hội tụ tới y
thuộc mặt cầu tâm x, bán kính s (đối với metric ρ).
Khi đó,
d
X
y, x lim
n
d
X

y
n
k
, x 0,
mà y x. Điều này mâu thuẫn với giả thiết X là khơng gian hyperbolic.
d) (Bổ đề Eastwood) Giả sử π : X Y là ánh xạ chỉnh hình giữa
các khơng gian phức. Giả sử Y là hyperbolic và với mỗi điểm y Y có
lân cận U của y sao cho π
1
U là hyperbolic. Khi đó X là hyperbolic.
1.6.3 Khơng gian phức nhúng hyperbolic
a) Định nghĩa:
Giả sử X là khơng gian con phức của khơng gian phức Y . X được
gọi là nhúng hyperbolic trong Y nếu với mọi x, y X, x y ln tồn
Số hóa bởi trung tâm học liệu />15
tại các lân cận mở U của x và V của y trong Y sao cho
d
X
X U, X V 0.
b) Nhận xét:
i) Khơng gian phức X là hyperbolic khi và chỉ khi X là nhúng hy-
perbolic trong chính nó.
ii) Nếu các khơng gian con phức X
1
là nhúng hyperbolic trong Y
1
và
X
2
là nhúng hyperbolic trong Y

2
thì X
1
X
2
là nhúng hyperbolic
trong Y
1
Y
2
.
iii) Nếu có hàm khoảng cách δ trên X thỏa mãn
d
X
p, q δ p, q , p, q X
thì X là nhúng hyperbolic trong Y .
1.7 Họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình trong
khơng gian phức
1.7.1 Định nghĩa
Một họ F những ánh xạ chỉnh hình từ khơng gian phức X tới khơng
gian phức Y được gọi là chuẩn tắc nếu F compact tương đối trong
H X, Y với tơpơ compact mở.
1.7.2 Tính chất
a) Giả sử Ω là một miền trong C
m
và M là một khơng gian phức.
Giả sử F H Ω, M .
i) Nếu họ F chuẩn tắc thì với mỗi hàm độ dài H trên M và với mỗi
tập compact K của Ω, tồn tại hằng số C
k

0 sao cho
H f z , df z ξ C
k
ξ ; z K, ξ C
m
O , f F . (*)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />16
ii) Ngược lại, nếu M là khơng gian phức Hermit đầy và họ F khơng
phân kỳ compact và thỏa mãn (*) thì F chuẩn tắc.
b) Giả sử Ω là một miền trong C
m
, M là một khơng gian phức
Hermit đầy và F H Ω, Y .
Khi đó họ F khơng chuẩn tắc khi và chỉ khi tồn tại các dãy p
j
Ω
với p
j
p
0
Ω, f
j
F , ρ
j
R với ρ
j
0 và ρ
j
0 sao cho
g

j
ξ f
j
p
j
ρ
j
ξ , ξ C
m
thỏa mãn một trong hai khẳng định sau
i Dãy g
j j 1
phân kỳ compact trên C
m
ii Dãy g
j j 1
hội tụ đều trên các tập con compact của C
m
tới một
ánh xạ chỉnh hình khơng hằng g : C
m
M.
c) Giả sử Ω là một miền trong C
m
, M là một khơng gian phức Hermit
đầy và F H Ω, Y .
Khi đó họ F khơng chuẩn tắc trên mọi lân cận của z
0
Ω khi và chỉ
khi tồn tại các dãy z

n
Ω với z
n
z
0
Ω, f
j
F , ρ
j
R
với ρ
j
0 và ρ
j
0 sao cho
g
j
ξ f
j
p
j
ρ
j
ξ , ξ C
m
thỏa mãn một trong hai khẳng định sau
i Dãy g
j
phân kỳ compact trên C
m

ii Dãy g
j
hội tụ đều trên các tập con compact của C
m
tới một ánh
xạ chỉnh hình khơng hằng g : C
m
M.
d) Giả sử Ω là một miền trong C
m
và M là một khơng gian phức
compact. Giả sử F H Ω, Y .
Khi đó họ F khơng chuẩn tắc khi và chỉ khi tồn tại các dãy p
j
Ω
với p
j
p
0
Ω, f
j
F , ρ
j
R với ρ
j
0 và ρ
j
0 sao cho
g
j

ξ f
j
p
j
ρ
j
ξ , ξ C
m
,
hội tụ đều trên các tập con compact của C
m
tới một ánh xạ khơng
hằng g.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />17
1.7.3 Họ chuẩn tắc đều các ánh xạ chỉnh hình trong khơng
gian phức
a) Định nghĩa:
Cho X, Y là các khơng gian phức.
Một họ F các ánh xạ chỉnh hình từ khơng gian phức X tới khơng
gian phức Y được gọi là chuẩn tắc đều trong H X, Y nếu
F H M, X f g : f F , g H M, X
là compact tương đối trong C M, Y với mọi khơng gian phức M, và
ánh xạ f H X, Y được gọi là ánh xạ chuẩn tắc nếu f là chuẩn
tắc đều.
b) Tính chất:
+) Giả sử M là một đa tạp phức và Y là một khơng gian phức. Khi
đó, F H M, Y chuẩn tắc đều khi và chỉ khi tồn tại hàm độ
dài E trên Y sao cho df
E
1 với mọi f F .

+) Đa tạp phức X là hyperbolic khi và chỉ khi tồn tại khơng gian phức
Y và họ chuẩn tắc đều F của H X, Y sao cho họ F tách điểm
X.
1.8 Khơng gian taut
1.8.1 Khơng gian phức taut
Giả sử X, Y là các khơng gian phức, F H X, Y
a) Dãy f
i
i 1
F được gọi là phân kỳ compact nếu với mỗi tập
con compact K của X, mỗi tập con compact K của Y , tồn tại
j
0
j K, K sao cho f
j
K K , j j
0
.
b) Một họ F được gọi là khơng phân kỳ compact nếu F khơng chứa
một dãy con nào phân kỳ compact.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />18
Họ H Y, X được gọi là họ chuẩn tắc nếu mỗi dãy f
i
i 1
trong
H Y, X chứa một dãy con hoặc là hội tụ đều trên mỗi tập con compact
hoặc là phân kỳ compact.
Khơng gian phức X được gọi là khơng gian taut nếu họ H Y, X là
họ chuẩn tắc với mỗi khơng gian phức Y .
Bằng cách sử dụng định lý Hironaka về giải kỳ dị, Kaup đã chứng

minh được rằng khơng gian phức X là taut khi và chỉ khi họ H ∆
n
, X
là chuẩn tắc với mọi n 1. Sau đó Barth đã chứng tỏ rằng nếu khơng
gian phức X là taut thì X là hyperbolic và nếu X là hyperbolic đầy
thì X là taut.
1.8.2 Tính chất
i) Một khơng gian con đóng X của một khơng gian taut Y cũng là
taut.
Chứng minh. Điều này dễ thấy do H ∆, X là đóng trong H ∆, Y .
ii) Tích của hai khơng gian taut là taut.
Chứng minh. Cho X
1
và X
2
là hai khơng gian taut, và kí hiệu
p
j
: X
1
X
2
X
j
là phép chiếu (j 1, 2). Khi đó khẳng định kéo theo nhận xét
H ∆, X
1
X
2
H ∆, X

1
H ∆, X
2
và một dãy ϕ
υ
H ∆, X
1
X
2
là phân kỳ compact nếu và chỉ
nếu ít nhất một trong các dãy p
j
f
υ
H ∆, X
j
, với j 1, 2 là
phân kỳ compact.
iii) Nếu khơng gian phức Y là khơng gian taut, thì họ H X, Y là
chuẩn tắc với mọi khơng gian phức X.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />19
Chứng minh. Vì Y là khơng gian taut nên Y là khơng gian hyperbolic.
Lấy f
n
H X, Y là một dãy khơng phân kỳ compact, thì tồn tại
các tập compact K X, L Y sao cho f
n
K L φ, n, tức là
tồn tại một dãy x
n

K sao cho f
n
x
n
L, n. Bằng cách lấy một
dãy con của x
n
, ta có thể giả sử rằng x
n
p K. Cố định một
lân cận compact V của L. Vì d
Y
f
n
x
n
, f
n
p d
X
x
n
, p 0 và
vì f
n
x
n
L nên tồn tại n
0
sao cho f

n
p V , với mọi n n
0
. Suy
ra f
n
p là compact tương đối trong Y . Ta sẽ chỉ ra rằng f
n
q là
compact tương đối trong Y với mọi q X.
Xét dây chuyền các đĩa chỉnh hình từ p tới q cho bởi
p ρ
0
, ρ
1
, , ρ
k
q X; a
1
, b
1
, , a
k
, b
k
∆; h
1
, , h
k
H ∆, X .

Vì f
n
h
1
a
1
f
n
p L, n và H ∆, Y là chuẩn tắc, f
n
h
1
b
1
là compact tương đối trong Y . Vì f
n
h
1
b
1
f
n
h
2
a
2
và H ∆, Y
là chuẩn tắc, f
n
h

2
b
2
compact tương đối trong Y . Tiếp tục q
trình này, ta có f
n
q là compact tương đối trong Y vói mọi q Y .
Do vậy H X, Y là chuẩn tắc.
1.8.3 Khơng gian phức nhúng taut
Cho X là một khơng gian con phức của một khơng gian phức Y . Ta
nói X được nhúng taut trong Y nếu H ∆, X là compact tương đối
trong H ∆, Y .
Số hóa bởi trung tâm học liệu />20
Chương 2
Tổng qt hóa bổ đề Schwarz cho
các ánh xạ chuẩn tắc của khơng
gian phức
Trong chương này, chúng tơi trình bày các mở rộng của bổ đề Schwarz
cho các ánh xạ chỉnh hình của khơng gian phức taut, khơng gian phức
hyperbolic và tổng qt hóa bổ đề Schwarz cho các ánh xạ chuẩn tắc
của khơng gian phức, đồng thời trình bày điều kiện cần và đủ cho sự
hội tụ của dãy các ánh xạ lặp của một ánh xạ chuẩn tắc.
2.1 Bổ đề Schwarz cho các ánh xạ chỉnh hình của
khơng gian phức taut
Trước hết ta trình bày một mở rộng của định lý Cartan-Carathéodory
trên khơng gian phức taut.
Ta cần nhắc lại một số khái niệm và chứng minh bổ đề sau:
Cho A là một tốn tử tuyến tính trên một khơng gian véctơ hữu hạn
chiều, phổ của A, kí hiệu sp(A), là tập các giá trị riêng của A.
Bổ đề 2.1. Cho X là một khơng gian phức taut, f : X X là ánh xạ

chỉnh hình. Nếu Id
X
là giới hạn của dãy các ánh xạ lặp f
k
của f, ở
đó f
k
f f , k lần thì f là ánh xạ song chỉnh hình.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />