Bổ đề schwarz và các giả khoảng cách bất biến

Bộgiáo dục và đào tạo
Trờng Đại học Vinh

======

Trần Đức Liên

Bổ đề Schwarz
và các giả khoảng cách bất biến

Chuyên ngành: Hình học Tôpô

MÃ số: 1.01.05

Luận văn thạc sĩ toán häc

Ngêi híng dÉn khoa häc:

PGS-TS. TrÇn Ngäc Giao

Vinh, 11/2002
=  =

Môc lôc

Mở đầu Trang
1

Chơng I: Giả khoảng cách Caratheodory trên đĩa đơn vị. 2

1. KiÕn thøc chuÈn bÞ. 2

2. H×nh học hyperbolic của đĩa đơn vị. 6

Chơng II: Giả khoảng cách Caratheodory và giả mªtric Caratheodory- 14
Reiffen trªn Cn.

1. Bổ đề Schwarz-Pick tổng quát. 14

2. MiỊn c©n. 18

3. TÝnh Caratheodory hyperbolic. 25

4. T«p« Caratheodory. 27

5. TÝnh chÊt cđa  vµ C*. Độ dài của đờng cong giả 28
khoảng cách Caratheodory.

Chơng III: Giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp. 36

1. Hàm độ dài trên đa tạp. 36

2. Giả khoảng cách Kobayashi. 39

KÕt luËn 44

Tài liệu tham khảo 45



1

Mở đầu

Xuất phát từ bổ đề Schwarz cổ điển, vào cuối những năm 60, S.Kobayashi và
một số nhà toán học khác đà xây dựng các giả khoảng cách bất biến qua các
ánh xạ song chỉnh hình. Những công trình tiếp theo của nhiều nhà toán học
đà hình thành nên một hớng nghiên cứu mới, đó là giải tích hyperbolic. Nhiều
công trình gần đây của Lang, Vojta, Falltings, Noguchi,... đà chứng tỏ các giả
khoảng cách bất biến ngày càng đóng vai trò khá cơ bản của giải tích phức,
hình học vi phân, số học...

Mục tiêu của luận văn là bớc đầu tìm hiểu giả khoảng cách Caratheodory và
giả khoảng cách Kobayashi theo lợc đồ: Xuất phát từ bổ đề Schwarz xây dựng
khái niệm và xét một số tính chất của các giả khoảng cách nói trên, chứng
minh chi tiết các tính chất ấy.

Luận văn gồm 3 chơng: Chơng I, sau phần mở đầu, chúng tôi trình bày
khái niệm giả khoảng cách Caratheodory và dựa trên bổ đề Schwarz chØ ra
tÝnh bÊt biÕn vµ mét sè tÝnh chÊt của giả khoảng cách Caratheodory, giả
khoảng cách Caratheodory - Reiffel trên đĩa đơn vị.

Chơng II: Trình bày sự tổng quát hoá các kết quả của chơng I trên Cn.
Chơng III: Trình bày sự xây dựng giả khoảng cách bất biến Kobayashi, đó là
giả khoảng cách bất biến lớn nhất trong các giả khoảng cách bất biến bị giảm
qua ánh xạ chỉnh hình, và một số tính chất cơ bản của chúng.
Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn nhiệt tình và tận tụy của PGS-TS
Trần Ngọc Giao. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy: TS Ngun H÷u Quang;
TS. Ngun Ngäc Béi; TS. Ngun Duy Bình đà đọc luận văn và góp nhiều ý
kiến quý báu cho tác giả.

Tác giả xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô giáo khoa Toán trờng Đại học
Vinh, khoa Sau đại học, trờng PTTH Phan Đăng Lu cùng các bạn bè đồng
nghiệp đà giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trong quá
trình thực hiện đề tài.

Ch¬ng I:

gi¶ kho¶ng c¸ch Caratheodory
trªn đĩa đơn vị

2

Trong chơng này, trớc hết chúng ta nhắc lại các khái niệm cơ bản có liên
quan đến đề tài, nh là: Khái niệm hàm chỉnh hình, ánh xạ chỉnh hình, đa tạp,
đa tạp phức; hàm điều hoà dới, hàm đa điều hoà dới, không gian tiếp xúc,... Tiếp
theo, chúng tôi đa ra các định nghĩa: Khoảng cách Mebiuss (m), khoảng cách
Poincare (khoảng cách hyperbolic Poincare (p)), các hàm L(), ; khái niệm
m- độ dài của cung , khái niệm p- độ dài của cung , khái niệm cầu trờng đ-
ợc. Từ đó chúng tôi nêu lên và chứng minh chi tiết các tính chất cơ bản của
m, , p trên đĩa đơn vị.

1. KiÕn thøc chuÈn bÞ.

1.1.1. Định nghĩa: Hàm giá trị phức f gọi là chỉnh hình tại z Cn nếu nó
có C- khả vi trong một lân cận của z.

 f

( z = 0 j = 1, n )
j

1.1.2. Định nghĩa: f: Cm, mở trong Cn gọi là chỉnh hình tại z
nếu fj chỉnh hình tại z với j = 1, m , ở đây f = (f1, f2, ..., fm).

 f

Trờng hợp hàm một biến phức nếu f chỉnh hình tại z thì z chính là đạo
j

hàm riêng của z theo biến zj.

Ngời ta chứng minh đợc định nghĩa 1.1.2 tơng đơng với định nghĩa sau:

1.1.3. Định nghĩa: mở trong Cn, f là hàm biến phức trong , f gọi là
chỉnh hình nếu đối với mọi điểm a tồn tại chuỗi lũy thừa C(z-a) hội tụ
đến f(z) đối với tất cả z trong mọi lân cận của a.

1.1.4. Định nghĩa (Đa tạp): Giả sử V là không gian tôpô Hausdorff. Ta nói
rằng V là đa tạp (hay Co- đa tạp hay Ơclít địa phơng) có số chiều n nếu ở mỗi
điểm a V tìm đợc lân cận mở ®ång ph«i víi tËp më trong Rn.

1.1.5. Định nghĩa (Ck- đa tạp): Giả sử V là không gian tôpô Hausdorff và
0 k . Ta nói rằng V là Ck- đa tạp hay đa tạp (khả vi) líp Ck vµ cã sè
chiỊu n nÕu cã mét họ các cặp (Ui, i) trong đó i chạy qua các tập chỉ số J, Ui
là tập con mở của V và i là những ánh xạ đồng phôi của Ui lên tập mở trong
Rn thỏa mÃn những điều kiện sau:

a) Ui V
iJ

b) §èi víi c¸c i, j tïy ý thuéc J sao cho Uj Ui ánh xạ:

j o i-1 = i(Ui  Uj)  j(Ui  Uj) thuéc líp Ck

3

Cặp (Ui, i) đợc gọi là một bản đồ địa phơng.

{(Ui, i)}iJ đợc gọi là tập bản đồ trên V.

NÕu cã thÓ chän (Ui, i)iJ sao cho: khi Ui Uj những ánh xạ

j o i-1 : j(Ui  Uj) Rn là R- giải tích thì ta nói rằng V là đa tạp
R- giải tích.
Ta chỉ số chiều của đa tạp bằng ký hiệu: dimV = dimRV.

1.1.6. Định nghĩa: (Đa tạp phức)

Không gian tôpô Hausdoocfơ V đợc gọi là đa tạp phức có số chiều n nếu có
một họ (Ui, i)iJ trong đó i là những ánh xạ đồng phôi của Ui lên tập mở
trong Cn, Ui tËp con më cđa V, vµ j  i-1 chỉnh hình trong i(Ui Uj) đối với
tất cả i, j. Ta ký hiƯu sè chiỊu (phøc) cđa V lµ n = dimV = dimCV.

1.1.7. Định nghĩa: (Vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc)

Cho V là một đa tạp khả vi, ánh xạ : [-1, 1] V, (0) = a V đợc gọi là
đờng cong khả vi đi qua a. Ký hiệu La = tất cả các đờng cong khả vi trên V
đi qua a.

Gọi (U, ) là bản đồ địa phơng tại a.

Trên La xét quan hệ tơng đơng: "~"

~ ( )'(0) = (  )'(0).

VËy  ~ các đờng cong và có cùng tiếp tuyến tại (a) (trong
Rn).

Mỗi lớp tơng đơng a các đờng cong (La) theo quan hệ tơng đơng trên gọi
là một vectơ tiếp xúc với đa tạp V tại a. Ta gọi tập Ta(V) là tập gồm tất cả các
vectơ tiếp xúc tại a của V thì Ta(V) gọi là không gian tiếp xúc với V tại a.

Ký hiÖu: TX = Ta (X) ; p : TX  X
aX a a

Khi đó (TX, p, X) là một phân thớ vectơ, mỗi thớ là p-1(a) = Ta(X).

1.1.8. Định nghĩa: Một hàm thực thuộc C2 đợc gọi là hàm điều hoà trong
miền Cn nếu nó thỏa mÃn phơng trình Laplacce:

2u 2u z = x + yi  .
 2 0

x 2 y

1.1.9. Định nghĩa: Hàm thực u, - u < + xác định trong lân cận của
điểm z0 C đợc gọi là nửa liên tục trên z0 nếu với > 0 bất kỳ, tìm đợc  >
0 sao cho nÕu z - z0 <  th×:

u(z) - u(z0) <  nÕu u(z0)  -

4

u(z) < --1 nÕu u(z0) =-

hay hệ thức tơng đơng: lim Sup u(z) u(z z 0 )  z0 hay u-1([-, a)) lµ më víi
a mµ - < a < +.

NÕu u lµ nửa liên tục trên tại z thì u đợc gọi là hàm nửa liên tục trên
trong miền đó.

1.1.10. Định nghĩa: Hàm u nửa liên tục trên trong miền C đợc gọi là
điều hoà dới trong miền nếu với mọi hình tròn U ®đ bÐ bÊt kú vµ hµm h bÊt
kú ®iỊu hoµ trong U, liên tục trong U mà h > u trên U thì h u trong C.

NÕu thay kh«ng gian mét chiỊu phøc C bëi Cn(n > 1) trong Định nghĩa
1.1.9 ta có khái niệm hàm nửa liên tục trên trong miền Cn.

1.1.11. Định nghĩa: Hàm nửa liên tục trên trong miền Cn đợc gọi
là đa điều hoà dới trong miền đó nếu đối với mỗi điểm z0 và đờng
thẳng giải tích z = l() = z0 +  tïy ý, trong ®ã   Cn, C thì hạn
chế của lên đờng thẳng này, tức là hàm l() là điều hoà dới trong tËp më
  C : l()  .

1.1.12. §Þnh nghÜa: Cho u  C2(G), G më trong Cn. Ta gọi (Lu): G Cn

C là dạng Lêvi của u.

ở đây (Lu) (a; x) = (a) x j xk n 2u

j,k 1 z jz k

Chó ý r»ng (Lu) (a; x) = 2ua,x (0) , ë ®ã: ua, x() = a(a + x).



Đặc biệt khi n = 1 th× (Lu)(a; x) = 1 (a)x2

4

2 2 2
ở đây là toán tử Laplacce: = 2  2  . . .  2 .
x 1 x 2 x n

5

2. hình học hyperbolic của đĩa đơn vị

Ký hiệu: E = z C, z < 1 .
1.2.1. Định nghÜa: m: E  E  [0, 1]

m(', ") =  '  " , ',

1  ' "

"  E. : E  [0, +]
1.2.2. §Þnh nghÜa:

() = 2 1 .

1

1.2.3. Định nghĩa: 1

L() = (t) '(t) dt

0

: [0, 1] E là đờng cong trơn từng khúc.

1.2.4. Định nghĩa: p: E  E  R+

p(', ") = infL(): :[0, 1] E

: đờng cong trơn từng khúc; ' = (0); " = (1); ', "  E

(p = tanh-1(m) = 1 log 1  m ).

2 1 m

m- đợc gọi là khoảng cách Mebius

p- đợc gọi là khoảng cách Poincaré (khoảng cách hyperbolic PoincarÐ).

1.2.5. MƯnh ®Ị:

Cho f  H(E, E) khi ®ã ta cã:

a) m(f('), f("))  m(', "); ', "  E

b) (f()) f'() (); E

c) Các mệnh đề sau tơng đơng:

i) f Aut(E)- tập tất cả các tự đẳng cấu của E Cn

ii) m(f('), f(")) = m(', "); ', "  E

iii) m(f(0'), f(0")) = m(0', 0") víi mét vµi 0', 0"  E

iv) (f()) f'() = ();   E

v) (f(0)) f'(0) = (0) víi mét vµi 0  E

Chøng minh:

6

a) Theo bỉ ®Ị Schwarz-Pick cỉ ®iĨn, ta cã:

f (' )  f (" )   '  "

1 f ( ' ) f (" ) 1  ' "

', "  E

 m(f('), f("))  m(', ") ', "  E. 

b) Còng theo bỉ ®Ị Schwarz-Pick cỉ ®iĨn, ta cã:

f' ()  1   E

1  f () 2
1  2

 (f())f'()  ()   E. 

c) Theo bỉ ®Ị Schwarz-Pick cỉ ®iĨn:

f  Aut(E) 

f (' )  f (" )   '  "

1 f ( ' ) f (" ) 1  ' "

vµ f'() 1  f () 2  1 1   2 nªn (i)  (ii); (i)  (v)  (ii)  (v).

Râ rµng (ii)  (iii); (iv)  (v).
Ta chøng minh (iii)  (ii) và (v) (iv). Điều này đợc khẳng định nhờ định
lý duy nhất.
1.2.6. Mệnh đề:
a) NÕu p: E  E  R+

f: E  E; f  H(E, E) th×: p(f('), f("))  p(', "); ', " E.
Đặc biệt p bất biến qua Aut(E).
b) Cho f  H(E, E)

NÕu p(f(0', f(0")) = p(0', 0") víi 0', 0"  E, 0'  0" th× f  Aut(E).

Chøng minh:

a) V× p(f('), f(")) = tanh-1m(f('), f("))  tanh-1m('. ") = p(', ")

 p(f('), f("))  p(', ") ', "  E. 

b) V× p(f(0'), f(0")) = tanh-1m(f(0'), f(0")) (1)

vµ tanh-1m(0', 0") = p(0', 0") (2)

Theo gi¶ thiÕt p(f(0'), f(0")) = p(0', 0"), nªn tõ (1), (2) suy ra
m(f(0'), f(0")) = m(0', 0")  f  Aut(E). 

1.2.7. MƯnh ®Ị: Topm = Topp = TopE và (E, m); (E, p) đầy đủ.

7

(Topm: lµ tôpô xác định bởi m trên E
Topp: là tôpô xác định bëi p trªn E)

Chøng minh:

* Ta cã: Bm(a; r) = h-a(B(0, r))   a 
 víi ha ()  
 1  a 

V× z  Bm(a, r)  z  a  r  z  a  B(0; r) 
1  za 1  za

 z a 
 
 h-a  1 za = z h-a(B(0, r)).

Ngợc lại: z  h-a(B(0, r)   z  B(0, r) tøc z< r vµ z' = h-a(z) 

z< r vµ z' =  za   = h-a(z).

 1  za 

z' a

Ta chøng minh z'  Bm(a, r), tøc chøng minh: 1  z' a < r.

z' a h -a (z)  a h a h -a (z) z

ThËt vËy: 1  z' a = 1  h -a (z)a = = < r.

VËy Topm = TopE (1). V× (E, || ||) đầy đủ (E, m) đầy đủ. 

* Ta cã BP(a, r) = Bm(a, tanh(r)); a  E, r > 0.

V× z  BP(a, r)  p(z, a) < r  tanh-1m(z, a) < r

 m(z, a) < tanh(r) z Bm(a, tanh(r))

Ngợc lại: z Bm(a, tanh(r))  m(z, a) < tanh(r)

 tanh-1m(z, a) < r  z  BP(a, r)

 Tôpô xác định bởi p và m trùng nhau: Topm = Topp (2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã: Topm = Topp = TopE.

Và vì (E, m) đầy đủ (E, p) đầy đủ.
1.2.8. Mệnh đề:

lim a m(  ' , " )  lim
 '  "
 ', "  ', "
 '   "
 '   "

, aE

Chøng minh:

li m a m(' , " )  li m a '
'  " 1 
 ', "  ', "
 '   "  '   " '

(1)

8

Mặt khác ta cũng có:

lim p(' , " )  tanh-1  '  a,b (t)  1  t 2 1 a
' "
', " a a
 ' " (2)

Từ (1) và (2) có điều phải chứng minh.

1.2.9. Định nghĩa: Giả sử : [0, 1] E đờng cong trơn.

N
Đặt: LP() = Sup  p(t j 1), (t j) , N  N,
 j1

0 = t0 < ... < tN = 1 

Số LP() [0, +) gọi là p- độ dài cđa cung .

NÕu LP() < + th× ta nãi p cầu trờng đợc.

1.2.10. Định nghĩa:

N
Đặt: Lm() = Sup  m(t j 1), (t j) , N  N,
 j1

0 = t0 < ... < tN = 1 

Số Lm()- gọi là m độ dài của cung .

Nếu Lm() < + thì ta nói m cầu trờng đợc.

1.2.11. Tính chất:

a) Khái niệm m, p- cầu trờng đợc của đờng cong trùng với khái niệm Ơclít-
cầu trờng đợc, và ngoài ra: Lm = LP; Lm = LP = L cđa cung tr¬n tõng khóc.

b) mi = pi = p = infL(); : [0, 1]  E

 tr¬n tõng khóc, ' = (0); " = (1)' ', "  E.

Chøng minh: * a) K compact  E, ', "  K.

: [0, 1]  K; mỗi ', ": (0) = ', (1) = "

1

L() = (t) '(t) dt hữa hạn.

0

Nhng L((',")) = p(', ") hữa hạn LP() hữa hạn

  M > 0 (M  R) sao cho:

1'"m(',")p(',")M('") 

M

 1M L|| || ()  Lm ()  LP ()  ML|| || () .

9

MỈt kh¸c, do

lim m( ' , " )  lim p   ' , "
 '  "

 ', " a  ', " a  '  "
 '   "  '   "



  > 0,  > 0: 0  p(', ") - m(', ")  ' - "

Víi ' - " <    > 0,  > 0 ®Ĩ:

0  Lp() - Lm()  ' - " víi ' - " < 

 LP() = Lm(). (1)

* Ta cã: lim p ' , "  (a)

 ', " a '  "
 '   "

 cho  > 0 bÊt kú,  > 0: t' - t" < , 0  t', t"  1

th× p(( t ' ), ( t" ))   ( t )  ' ( t ) dt  suy ra
t' t"

LP() - L() <   LP() = L() (2)

Tõ (1) vµ (2) cã LP() = Lm() = L(). 

b) * V× pi(a, b) Def  infLP(); : [0, 1]  E
 cung nèi a víi b, a, b  E

pi(a, b) = LP(a,b) = p(a, b)

* V× mi(a, b) Def  infLm(); : [0, 1]  E
 cung nèi a víi b, a, b  E

mi(a, b) = Lm(a,b) = LP(a,b) = p(a, b).

VËy pi = p; mi = p.

 mi = pi = p. 
1.2.12. MƯnh ®Ị:

Isom(m) = Isom(p) = Isom() = Aut(E)  Aut(E)

(Isom(m) = f H(E, E), f bảo toàn khoảng cách m

T¬ng tù Isom(p), Isom())

Chøng minh: f  Aut(E)  f  Isom(p)
Vµ ta cã Isom(p) = Isom(m). f  Isom(m)
f  Isom()

10

Mặt khác: Cho f Isom(p)

Lấy ei hf(0) f. Ta giả thiết f(0) = 0 và f(x0) = x0 víi 0 < x0 < 1 th× ta cã:

f() =  vµ f ()  x 0    x 0 ,   E.
1  f ()x 0 1  x 0

V× thÕ Ref() = Re;   E. Và kết quả là:
f() hc f()    f  Aut(E) hc f  Aut(E).

NÕu f  Isom(), f  C1 th×:
(f()f'() = ()  f'() = () (f ()) 

 f'x() + f'y() = C() + i,  E; , R.
ở đây C() = () (f ()) > 0.

Vì vậy mỗi một   E th×  (): ()  -1, 1
sao cho f'x() = ()i f'y() 0.

Từ đó đạo hàm riêng liên tục của hàm số theo là hằng số và kết quả
là f đồng cấu hoặc phản ®ång cÊu. V× thÕ b»ng Bỉ ®Ị Schwarz-Pick,
f  Aut(E)  Aut(E) .

Tãm l¹i: Isom(p) = Isom() = Isom(E) = Aut(E)  Aut(E) . 

1.2.13. Mệnh đề: Hàm logp là đa chiều dới ngặt trên E E (, )
Đặc biệt logp  PSH(E  E)
(PSH(E  E): tập tất cả các hàm đa điều hoà dới trên E E)
Chứng minh:

Đặt u = logp, víi a,b  E, a  b vµ h = ha,b
(ha,b  Aut(E): h(a) = 0, h(b)  (0, 1), a,b  E, a  b)

Th× (Lu)((a, b); (, )) = (Lu)((0, h(b)); (h'(a), h'(b))); ,   C

 (Lu)((0, t); (, )) > 0; 0 < t < 1; (, )  (C2)

Kết quả tính toán cho:

(Lu)((0, t); (, )) = [4t(1-t2)2.T2(t)]-1 

 [t2.T(t)(1-t2) + 2 + (T(t)-t)(1-t2) - 2]

11

0 < t < 1; , C.
ở đây T = tanh-1; T(t) > t.
Suy ra điều phải chứng minh.

12

Chơng II:

Giả khoảng cách Caratheodory và giả mêtric
Caratheodory-reiffen trªn cn

Trong chơng này ta sẽ nghiên cứu các hàm m, p,  cho trªn miỊn
G  Cn tïy ý. Cơ thĨ nh là: G là miền cân, G là C-hyperbolic, G là - hyperbolic,
nghiên cứu tôpô Caratheodory, Caratheodory hyperbolic, tính chất cơ bản của
C* và - độ dài của đờng cong đối với giả khoảng cách Caratheodory.

1. Bæ ®Ị Schwarz-pick tỉng qu¸t.

Ký hiƯu G  Cn, n  1, E là đĩa đơn vị.

2.1.1. Định nghĩa:

C*G(z', z") = Supm(f(z'), f(z")), f  H(G, E), z', z"  G

CG(z', z") = Supp(f(z'), f(z")), f  H(G, E), z', z"  G
G(z, x) = Sup(f(z))f'(z)x, f  H(G, E), z  G, x  Cn.

Trong đó f'(z): Cn C là vi phân của f t¹i z.

2.1.2. TÝnh chÊt:
1) CG = tanh-1(C*G)  C*G.
ThËt vËy: CG(z', z") = Supp(f(z'), f(z")), f  H(G, E) ; z', z"  G

= Suptanh-1(m(f(z'), f(z")) ...  =

= tanh-1(C*G(z', z")) (1)

Mặt khác: V× tanh-1(t) = 1 log t  1  t (2)
2 t 1

Tõ (1) vµ (2) có điều phải chứng minh. Từ tính chất 1) ta có thể thay thế
việc xét C*G bởi CG và ngợc l¹i.

2) C*E = m; CE = p; E(. , 1) = 

C*Cn = CCn = Cn = 0.

Chứng minh:

* Từ định nghÜa C*E, ta cã: C*E  m. (1)

Mặt khác ta còng cã:

13

m(f('), f("))  m(', "), ', "  E

 C*E  m. (2)

Tõ (1) vµ (2) cã C*E = m.

T¬ng tù, ta cịng cã CE = p; E(0, 1) = .

* Theo định lý Picard: ánh xạ chỉnh hình f: C C \ 3 điểm phân biệt đều
hằng, suy ra: mọi ánh xạ chỉnh hình f: Cn E cũng hằng

 C*Cn = CCn = Cn = 0. 

3) C*G(z', z") = Supf(z"): f  H(G, E), f(z') = 0

z' , z"  G

CG(z', z") = SupP(0, f(z")): f  H(G, E), f(z') = 0

z' , z"  G

G(z, x) = Supf'(z)x: f  H(G, E), f(z) = 0

z  G , x  Cn

Vì theo định lý Motel's với bất kú z', z"  G (hay z  G, x Cn) luôn tồn
tại f H(G, E) sao cho f(z') = 0; f(z") = C*G(z', z") (hay f(z) = 0; f'(z)x =

G(z, x).

(Hàm f nh vậy đợc gọi là hàm cực trị của C*G(z', z") tơng tự của G(z, x)).

Vì nếu f(z') = 0 và m, p, bất biến với mọi ánh xạ song chỉnh h×nh suy
ra: chän h:

h = h  f: G  E sao cho:

h  f(z') = 0  m(0, f(z")) = . 0  f(z")  f(z") 

1  0f(z)

Do m, p là khoảng cách, suy ra C*G là giả khoảng cách và gọi là giả khoảng
cách Mebius của G; CG- gọi là giả khoảng cách Caratheodory của G; G gọi là
giả mêtric Caratheodory-Reiffen của G.

2.1.3. Bổ đề Schwarz-Pick tổng quát:

Cho G Cn, D Cn và ánh xạ chỉnh hình F: G  D

Ta cã: C*D(F(z'), F(z"))  C*G(z', z"); z', z"  G

D(F(z), F'(z)x)  G(z, x); z  G, x Cn

Dấu "=" xảy ra khi F là song chØnh h×nh.

14

2.1.4. Mệnh đề: Giả khoảng cách Caratheodory C*G và giả mêtric

Caratheodory-Reiffen G là cực tiểu theo nghĩa sau:

* Nếu dGG là hệ các hàm:
dG: G  G  R, G ch¹y trên tất cả các miền của Cn sao cho z', z"  G;
F  H(G, E), ta cã:
NÕu dE(F(z'), F(z"))  dG(z', z") vµ dE = p th× C*G  dG (CG  dG).
* Nếu GG là hệ các hàm:
G: G Cn R, G chạy trên tất cả các miỊn cđa Cn sao cho z  G;
x  Cn, F  H(G, E), ta cã:
NÕu E(F(z), F'(z)x) G(z, x) và E = E thì G  G.
Chøng minh:

* CG(z', z") = Supp(F(z'), F(z")); z', z"  G, F  H(G, E) =

= SupdE(F(z'), F(z")); z', z"  G, F  H(G, E) 

 dG(z', z") (do dE  dG)  CG  dG . 

* C*G(z', z") = Supm(F(z'), F(z")); z', z"  G, F  H(G, E) =

= SupdE(F(z'), F(z")); z', z"  G, F  H(G, E) 

 dG(z', z") (do dE  dG)  C*G  dG . 

* G(z, x) = Sup(F(z)F'(z)x; z  G, x  Cn, F  H(G, E) 

 G(z, x) (do E  G)  G  G . 

2.1.5. Cho G0, G, ~ là các miền trong Cn sao cho   G0  G  ~ gi¶

G G;

sö f  H (G) ( H (G) là tập các hàm chỉnh hình bị chặn trên G) thì tồn

tại ~ H ~ ) sao cho ~ = f trªn G0. Khi đó với mỗi f  H (G)

f (G f

~ ~ ~ ~
 f  H ( G ) vµ f ~  f ( f là thác triển giải tích của f từ miền G
G G

ra miÒn ~ ) vµ ta nãi ~ lµ H - th¸c triĨn cđa G.

G G

(Tøc lµ f hàm chỉnh hình bị chặn trên G thác triển thành hàm chỉnh hình bị

chặn trên ~ ).

G

Đặc biệt: ~ th× ~ là H thác triển của G

NÕu G0 = G  G G

15

 H (G)  H( ~ )G (1) H(G, E) (2) H ( ~ , E)G
G  G



Chøng minh (1): ~ lµ H thác triển của G thì f  H (G)  tån

G

t¹i duy nhÊt ~  H( ~ ) sao cho ~ = f trªn G0 = G.

f G f

VËy f  H (G)  f = ~  H( ~ )G
f
G

 H (G)  H( ~ )G

G

Ngợc lại: f  H (G)  f  H( ~ )G (v× H (G)  H( ~ )G)

G G

 gäi ~  H( ~ ) sao cho: ~ = fG , râ rµng ~ lµ H  th¸c triĨn cđa

f G f G

G.

(2): Chøng minh t¬ng tù. 

1.2.6. MƯnh ®Ị: NÕu ~ lµ H  th¸c triĨn cđa G, G  ~ th×

G G

C(*)G = C(*) ~ GG ; G =  ~ GCn
G G

Đặc biệt: C(*)E* = C(*)EE*E* (E* = E \ 0)

Chøng minh:

C*G(z', z") = Supf(z"): f  H(G, E); f(z') = 0; z', z"  G

= Supf(z"): f  H( ~ , E); f(z') = 0; z', z"  G

G

= C* ~ (z', z")GG  C*G = C* ~ GG
G G

T¬ng tù, ta còng cã G =  ~ GCn . 

G

2. MiỊn c©n
2.2.1. Định nghĩa:
Cho miền cân G Cn. G gọi là miền cân E  G = G.

( E  G = .r:   E , r 
G

Khi ®ã ta cã: G = z  Cn: h(z) < 1

16

Víi h(z) = inft > 0, z t  G, z  Cn.
h lµ phiÕm hµm Minkowski cđa G vµ viÕt G = Gh.
h: Cn R+ là nửa hàm trên, h(z) = h(z);   C, z  Cn vµ
h  O  G = Cn.
Cho G, h nh 2.1.1. Chóng ta cã:
2.2.2. MƯnh ®Ị:

a) i) C*G(0, .)  h trªn G.
ii) G(0, .)  h trªn Cn.

b) Cho a G, các khẳng định sau là tơng đơng:
i) C*G(0, a) = h(a)

ii) C*G(0, .) = h trªn G  (Ca)

iii) G(0, a) = h(a)

iv) G(0, .) = h trªn Ca

v) Tồn tại phiếm hàm C- tuyến tính:
L: Cn  C víi L  h vµ L(a) = h(a)

Chứng minh: a) i) Cố định a G, có hai khả năng xảy ra:
h(a) = 0. Ta xác định ánh xạ:

C    a  G (C  G)

Ta cã: 0  0.a

1  1.a = a
áp dụng bổ đề Schawrz-Pick tổng quát, ta có:

C*G(0, a)  C*C(0, 1) = Supm(f(0), f(1)); f: C  E,
f song chØnh hình.

Theo định lý Picard suy ra f: Cn  E lµ hµm h»ng 
 m(f(0), f(1)) = 0  C*C(0, 1) = 0 = h(a)  C*G(0, a)  h(a) víi

a  G  C*G(0, .)  h trªn G. 

 h(a) > 0. Ta xác định ánh xạ: E G
   h(a) .a

17

ánh xạ này chỉnh hình trên E h(a) h(a) h(a) .a = a

0 0

¸p dơng Bỉ ®Ị 2.1.3 ta cã:

C*G(0, a)  C*E(0, h(a))
Do C*E = m  C*E(0, h(a)) = m(0, h(a)) = 0  h(a) 1  0h(a) = h(a) = h(a)

 C*G(0, a)  C*E(0, h(a)) = h(a) a  G.

 C*G(0, .)  h trªn G. VËy C*G(0, .)  h trªn G. 

ii) Chøng minh: G(0, .)  h trªn Cn :

Cố định a Cn, có hai khả năng xảy ra:
h(a) = 0. Ta xác định ánh xạ: C  G

  a
Ta cã: 0  0, 1  a

Theo 2.1.3 ta cã: G(0, a)  C(0, 1) = 0 = h(a)

(Mäi f  H(C, E) lµ h»ng  f' = 0  (f(z))f'(z)x = 0 
 C(0, 1) = Sup(f(0))f'(0) = 0)

 G(0, .)  h trªn Cn .

h(a) > 0. Ta xác định ánh xạ: E  G
   h(a) .a

¸nh xạ này chỉnh hình trên E và h(a) a
0 0

¸p dơng 2.1.3 ta cã:

G(0, a)  E(0, h(a)) = E(0, 1)h(a) = (0)h(a) = 2 1 h(a) = h(a)

1 0

(v× E(0, 1) = (0))

 G(0, .)  h trªn Cn . VËy G(0, .)  h trªn Cn . 

18

b) NhËn xÐt: NÕu ®iĨm a tháa m·n (v) th× a (  C) cịng tháa m·n (v).
(V× L(a) = L(a) = h(a) = h(a)).

 NÕu cã (v) ta cã:

C*G(0, a) = Supf(a), f  H(G, E)  L(a) = h(a)

(v× LG  H(G, E))

G(0, a)  L'(0).a = L(a) = h(a).

VËy theo nhËn xÐt trªn  C*G(0, .)  h

G(0, .)  h trªn Ca .

Theo định lý Hahn-Banach, tồn tại phiếm hàm tuyến tính L: Cn  C sao cho:

LCa = h vµ L  G(0, .)

VËy h G(0, .) trên Cn .

Kết hợp với (a): G(0, .)  h trªn Cn , ta cã: G(0, .) = h trªn Cn.

VËy ta cã (v)  (iv)  (iii)  (v)  (ii)  (i).

Ta cÇn chøng minh (i)  (v).

Gi¶ sư cã (i), cho f  (H(G, E), f(0) = 0 vµ f lµ hàm cực đại của C*(0, a),
nghĩa là f(a) = C*G(0, h) = h(a).

Trờng hợp h(a) = 0 thì (i) (v) là tầm thờng.

Trờng hợp h(a) > 0: Ta định nghĩa:

: E E

 

  f .a

 h(a) 

   H(E, E) vµ (h(a)) = f(a) = h(a)
Theo bỉ ®Ị Schawrz cỉ ®iĨn, ta cã:

() = ei.
Víi   E,   R. LÊy L = f'(0), theo (a) ta cã:

L(x) = f'(0)x  G(0, x)  h(x) vµ
L(a) = f'(0)a = '(0)h(a) = h(a)

19