về toán tử đơn điệu trong không gian hilbert

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM



NGUYỄN THỊ NA


VỀ TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN
HILBERT

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02






LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2013
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung
thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi
sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin
trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Thái Nguyên, tháng 5 năm 2013
Người viết Luận văn
Nguyễn Thị Na
i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Lời cảm ơn
Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận được sự
hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của GS. Lê Dũng Mưu (Viện Toán học Việt
Nam). Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và xin gửi lời
tri ân nhất của tôi đối với những điều thầy đã dành cho tôi.
Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng sau Đại học, quý thầy cô
giảng dạy lớp Cao học K19 (2011- 2013) Trường Đại học Sư Phạm - Đại học
Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo
điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những người
đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình
học tập và thực hiện luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 5 năm 2013

Người viết Luận văn
Nguyễn Thị Na
ii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Mục lục
Lời cam đoan i
Lời cảm ơn ii
Mục lục iii
Mở đầu 1
1 Các kiến thức về không gian Hilbert 2
1.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Một số tính chất quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Toán tử đơn điệu và đơn điệu cực đại 16
2.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.1 Tập lồi và hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.2 Dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.3 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.4 Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Tổng của các toán tử đơn điệu cực đại . . . . . . . . . . . . . 34
3 Phương pháp điểm gần kề giải bao hàm thức đơn điệu cực
đại 41
3.1 Giới thiệu bài toán và các trường hợp riêng quan trọng . . . . 41
3.2 Thuật toán và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.1 Thuật toán điểm gần kề . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.2 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Kết luận chung 55
Tài liệu tham khảo 56
iii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Mở đầu

Toán tử đơn điệu là một trong những lĩnh vực của giải tích hiện đại đã và
đang được nhiều nhà toán học hàng đầu thế giới nghiên cứu, đặc biệt phải kể
đến như Browder F.E, Rockafellar R.T, Minty G.J Bên cạnh các kết quả
đặc biệt có ý nghĩa về mặt lý thuyết, toán tử đơn điệu là một trong những
công cụ được sử dụng nhiều và rất có hiệu quả trong lĩnh vực toán ứng dụng
chẳng hạn như bất đẳng thức biến phân. Nó giúp ích cho việc nghiên cứu ánh
xạ dưới gradient và gradient, chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho
rất nhiều các lớp bài toán cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài
toán tối ưu.
Đề tài của luận văn là về toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert thực
và ứng dụng của nó trong việc khảo sát bài toán bao hàm thức đơn điệu cực
đại và một số bài toán có liên quan. Vì thế đây là một đề tài vừa có ý nghĩa
về mặt lý thuyết, đồng thời vừa có ý nghĩa thực tiễn cao.
Nội dung của bản luận văn được trình bày trong ba chương. Chương 1 giới
thiệu một cách hệ thống lại các định nghĩa, ví dụ và một số tính chất quan
trọng của không gian Hilbert thực. Chương 2 gồm hai phần chính. Phần thứ
nhất nêu lên định nghĩa và giới thiệu các tính chất cơ bản của toán tử đơn
điệu. Phần thứ hai trình bày về tổng của hai toán tử đơn điệu cực đại. Chương
3 giới thiệu bài toán bao hàm thức đơn điệu cực đại và hai trường hợp riêng
quan trọng là bài toán cực tiểu hàm lồi và bài toán bất đẳng thức biến phân
đơn điệu, cuối chương nêu thuật toán điểm gần kề và khảo sát sự hội tụ tới
nghiệm của thuật toán này trong việc giải bài toán bao hàm thức đơn điệu
cực đại.
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1
Các kiến thức về không gian Hilbert
Các không gian Hilbert là những trường hợp riêng quan trọng của không
gian Banach (hay còn gọi là không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ với
chuẩn kí hiệu là ||.||, xem [2], [4]) và là một không gian hữu ích, dễ thao tác

trong các áp dụng của giải tích hàm tuyến tính vào lý thuyết và kĩ thuật.
Trong chương này ta nhắc lại một số kiến thức cơ sở về không gian Hilbert
trên trường số thực R. Các kiến thức trong chương được lấy từ các tài liệu
[2], [4], [7].
1.1 Định nghĩa và ví dụ
Định nghĩa 1.1. Cho H là không gian vectơ trên R, tích vô hướng xác định
trong H là một ánh xạ
., . : H × H −→ R
(x, y) −→ x, y
thỏa mãn các điều kiện sau đây
1. x, y = y, x, ∀x, y ∈ H;
2. x + y, z = x, z + y, z, ∀x, y, z ∈ H;
3. λx, y = λx, y, ∀x, y ∈ H, λ ∈ R;
4. x, x ≥ 0, ∀x ∈ H và x, x = 0 ⇔ x = 0.
Số x, y được gọi là tích vô hướng của hai vectơ x, y trong H.
Nhận xét 1.1. Từ định nghĩa suy ra
1. x, λy = λx, y,
2. x, y + z = x, y + x, z,
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3. x, 0 = 0,
với mọi x, y, z ∈ H và λ ∈ K.
Ví dụ 1.1. Với x = (x
1
, x
2
, ··· , x
n
), y = (y
1

, y
2
, ··· , y
n
) ∈ R
n
, biểu thức
x, y =
n

k=1
x
k
y
k
xác định một tích vô hướng trong R
n
.
Định nghĩa 1.2. Cặp (H, ., .), trong đó H là một không gian tuyến tính
trên R, ., . là tích vô hướng trên H được gọi là không gian tiền Hilbert thực.
Định lý 1.1. (Bất đẳng thức Cauchy- Schwarz)
Trong không gian tiền Hilbert H, với mọi x, y ∈ H ta luôn có bất đẳng thức
sau
|x, y|
2
≤ x, x.y, y (1.1)
Chứng minh. Với y = 0, bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
Giả sử y = 0, khi đó với mọi số λ ∈ R ta đều có
x + λy, x + λy ≥ 0,
tức là

x, x + λy, x+ λx, y + |λ|
2
y, y ≥ 0
Chọn λ = −
x, y
y, y
ta được
x, x −
|x, y|
2
y, y
≥ 0
⇔ |x, y|
2
≤ x, x.y, y.
Định lý được chứng minh.
Chú ý 1.1. Dấu bằng trong bất đẳng thức Schwarz xảy ra khi và chỉ khi
x và y phụ thuộc tuyến tính.
Mối quan hệ giữa khái niệm chuẩn và tích vô hướng được thể hiện qua định
lý sau.
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Định lý 1.2. (xem [4]) Mọi không gian tiền Hilbert H đều là không gian
tuyến tính định chuẩn, với chuẩn được xác định bởi công thức
||x|| =

x, x, ∀x ∈ H. (1.2)
Chuẩn này được gọi là chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng.
Nhận xét 1.2. Với kí hiệu mới này, bất đẳng thức Schwarz được viết lại
thành

|x, y| ≤ ||x||.||y||. (1.3)
Như vậy một không gian tiền Hilbert xem như không gian định chuẩn có
thể đầy đủ hoặc không đầy đủ.
Định nghĩa 1.3. Nếu H là không gian tiền Hilbert thực và đầy đủ đối với
chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng xác định bởi (1.2) thì H được gọi là không
gian Hilbert thực.
Ví dụ 1.2. R
n
là không gian Hilbert thực với tích vô hướng
x, y =
n

k=1
x
k
y
k
trong đó
x = (x
1
, x
2
. . . , x
n
), y = (y
1
, y
2
. . . , y
n

) ∈ R
n
và chuẩn cảm sinh
||x||
2
= x, x =
n

k=1
x
k
x
k
=
n

k=1
|x
k
|
2
.
Ví dụ 1.3. Không gian
l
2
=

x = {x
n
}

n
∈ R :
∞

n=1
|x
n
|
2
< +∞

là không gian Hilbert với tích vô hướng
x, y =
∞

n=1
x
n
y
n
và chuẩn cảm sinh
||x|| =




∞

n=1
|x

n
|
2
với mọi x = (x
n
)
n∈N
, y = (y
n
)
n∈N
∈ l
2
.
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Ví dụ 1.4. Gọi C[a, b] là tập tất cả các hàm giá trị thực liên tục trên khoảng
đóng hữu hạn [a, b] ⊂ R.
Trong C[a, b] xét tích vô hướng
x, y =
b

a
x(t)y(t)dt, x(t), y(t) ∈ C[a, b].
Khi đó
• Không gian C[a, b] với chuẩn
||x|| = max
a≤t≤b
|x(t)|
là không gian Banach nên C[a, b] là không gian Hilbert.

• Nhưng không gian C[a, b] với chuẩn
||x|| =


b

a
|x(t)|
2
dt


1/2
lại không phải là không gian Banach nên nó không phải là không gian
Hilbert.
1.2 Một số tính chất quan trọng
Định lý 1.3. Giả sử (x
n
)
n
, (y
n
)
n
là hai dãy hội tụ đến x
0
, y
0
trong không gian
tiền Hilbert thực H, khi đó

lim
n→∞
x
n
, y
n
 = x
0
, y
0
.
Chứng minh. Giả sử lim
n→∞
x
n
= x
0
, lim
n→∞
y
n
= y
0
trong không gian H.
Ta cần chứng minh lim
n→∞
x
n
, y
n

 = x
0
, y
0
 trong R.
Thật vậy, ta có
|x
n
, y
n
 − x
0
, y
0
| = |x
n
, y
n
 + x
n
, y
0
 − x
n
, y
0
 − x
0
, y
0

|
≤ |x
n
, y
n
− y
0
| + |x
n
− x
0
, y
0
|
≤ ||x
n
||.||y
n
− y
0
|| + ||x
n
− x
0
||.||y
0
||.
Vì dãy (x
n
)

n
hội tụ trong H nên tồn tại M > 0 sao cho ||x
n
|| ≤ M với mọi
n ∈ N. Khi đó bất đẳng thức trên trở thành
|x
n
, y
n
 − x
0
, y
0
| ≤ M||y
n
− y
0
|| + ||x
n
− x
0
||.||y
0
||.
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Cho n → ∞ suy ra
lim
n→∞
x

n
, y
n
 = x
0
, y
0
.
Định lý được chứng minh.
Nhận xét 1.3. Định lý trên cho thấy tích vô hướng là một hàm liên tục
xác định trên H ×H.
Định lý 1.4. Với mọi x, y thuộc không gian tiền Hilbert H ta luôn có đẳng
thức hình bình hành sau
||x + y||
2
+ ||x − y||
2
= 2(||x||
2
+ ||y||
2
). (1.4)
Chứng minh. Với mọi x, y ∈ H, ta có
||x + y||
2
= x + y, x + y = ||x||
2
+ ||y||
2
+ x, y + y, x,

||x − y||
2
= x − y, x −y = ||x||
2
+ ||y||
2
− x, y −y, x.
Cộng hai đẳng thức trên ta được đẳng thức (1.4).
Áp dụng đẳng thức hình bình hành cho hai véc tơ x −y và x −z ta có hệ
quả sau
Hệ quả 1.1. Giả sử H là một không gian tiền Hilbert và x, y, z ∈ H. Khi đó,
ta có đẳng thức Apollonius
2

||x − y||
2
+ ||x − z||
2

= 4||x −
y + z
2
||
2
+ ||y − z||
2
.
Nhận xét 1.4
1. Đẳng thức (1.4) nói lên một tính chất hình học, tổng bình phương các
cạnh của hình bình hành bằng tổng bình phương hai đường chéo.

2. Từ định lý trên ta thấy, muốn đưa được tích vô hướng vào một không
gian định chuẩn thì không gian này phải thỏa mãn điều kiện hình bình
hành. Ngược lại nếu H là một không gian định chuẩn trong đó đẳng thức
hình bình hành được thỏa mãn với mọi phần tử thuộc H thì trên H sẽ
tồn tại một tích vô hướng ., . sao cho chuẩn này được xác định nhờ tích
vô hướng. Điều này được thể hiện qua định lý sau.
Định lý 1.5. Giả sử (H, ||.||) là một không gian định chuẩn trên R trong đó
đẳng thức hình bình hành nghiệm đúng với mọi x, y ∈ H, tức là
||x + y||
2
+ ||x − y||
2
= 2(||x||
2
+ ||y||
2
)
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
khi đó nếu đặt
x, y = p(x, y) =
1
4

||x + y||
2
− ||x − y||
2

thì ., . là một tích vô hướng trên H và ta có

x, x = ||x||
2
, ∀x ∈ H.
Chứng minh. Ta chứng minh p(x, y) xác định như trên thỏa mãn các điều
kiện trong định nghĩa về tích vô hướng.
Điều kiện (1) và (4) hiển nhiên được thỏa mãn.
Để ý rằng p : H × H → R là một hàm liên tục và
p(x, 0) = 0, p(−x, y) = −p(x, y), ∀x, y ∈ H.
Với mọi x, y, z ∈ H ta có
p(x, z) + p(y, z) =
1
4

||x + z||
2
− ||x − z||
2
+ ||y + z||
2
− ||y − z||
2

=
1
4

||x + z||
2
+ ||y + z||
2


−
1
4

||x − z||
2
+ ||y − z||
2

=
1
2

||
x + y
2
+ z||
2
− ||
x + y
2
− z||
2

= 2p

x + y
2
, z


.
Lấy y = 0 trong đẳng thức
p(x, z) + p(y, z) = 2p

x + y
2
, z

ta có
p(x, z) = 2p(
x
2
, z), ∀x, y, z ∈ H. (1.5)
Như vậy
p(x, z) + p(y, z) = 2p

x + y
2
, z

= p(x + y, z), ∀x, y, z ∈ H.
nghĩa là điều kiện 2 được chứng minh.
Thay thế x bằng 2x trong (1.5) ta được
2p(x, z) = p(2x, z), ∀x, z ∈ H.
Bằng quy nạp ta kiểm tra được
p(nx, z) = np(x, z), ∀n ∈ N
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
và bằng lý luận quen thuộc ta có

p(rx, z) = rp(x, z), ∀r ∈ Q và x, z ∈ H.
Nhờ tính liên tục của hàm p(., z) qua giới hạn ta có
p(αx, z) = αp(x, z), ∀x, z ∈ H và α ∈ R.
Vậy p(x, y) là một tích vô hướng trên H và hiển nhiên
||x||
2
= p(x, x).
Định lý được chứng minh.
Định lý 1.6. Với mọi không gian tiền Hilbert H đều tồn tại một không gian
Hilbert H chứa H sao cho H là không gian con trù mật trong H.
Chứng minh. Dùng phép bổ sung đầy đủ của một không gian định chuẩn ta
được một không gian định chuẩn đầy đủ H chứa H sao cho H là không gian
định chuẩn trù mật trong H [2, Định lý 2.8].
Với mọi x, y ∈ H sẽ tồn tại các dãy (x
n
)
n
, (y
n
)
n
⊂ H sao cho
lim
n→∞
x
n
= x, lim
n→∞
y
n

= y
trong H. Theo đẳng thức hình bình hành ta có
||x
n
+ y
n
||
2
+ ||x
n
− y
n
||
2
= 2(||x
n
||
2
+ ||y
n
||
2
).
Cho n → ∞, do tính liên tục của hàm chuẩn ta suy ra
||x + y||
2
+ ||x − y||
2
= 2(||x||
2

+ ||y||
2
).
Theo định lý trên sẽ tồn tại một tích vô hướng trong H cảm sinh ra chuẩn
của H và ta có
lim
n→∞
x
n
, y
n

H
= x, y
H
.
Định lý được chứng minh.
Điểm mới chính yếu của không gian Hilbert so với không gian định chuẩn
là ở đó khái niệm tích vô hướng bao hàm các khái niệm về tính trực giao, trực
chuẩn, góc giữa các vectơ Trong phần sau chúng ta nhắc lại định nghĩa,
tính chất của các khái niệm đó và một số ví dụ minh họa.
Định nghĩa 1.4. Cho H là không gian tiền Hilbert thực.
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
• Hai phần tử x, y ∈ H được gọi là trực giao với nhau nếu x, y = 0 và
được kí hiệu là x ⊥ y.
• Hệ S ⊂ H được gọi là hệ trực giao nếu các phần tử của S trực giao với
nhau từng đôi một, tức là ∀x, y ∈ S, x = y ta có x, y = 0.
• Hệ E = {e
1

, e
2
, ··· , } ⊂ H được gọi là hệ trực chuẩn nếu E là hệ trực
giao và ||e
i
|| = 1, ∀e
i
∈ E. Một cách tương đương, hệ E được gọi là hệ
trực chuẩn nếu
e
i
, e
j
 = δ
ij
=

0 nếu i = j
1 nếu i = j
• Phần tử x ∈ H được gọi là trực giao với M ⊂ H nếu ∀y ∈ M ta có
x, y = 0 và được kí hiệu là x ⊥ M.
• M, N ⊂ H được gọi là trực giao với nhau nếu ∀x ∈ M, y ∈ N ta có
x, y = 0 và được kí hiệu là N ⊥ M.
• Phần bù trực giao của M ∈ H được kí hiệu M
⊥
là tập hợp các phần tử
thỏa mãn
M
⊥
= {x ∈ H : x ⊥ y, ∀y ∈ M}.

Định lý 1.7. (xem [4]) Nếu S là một hệ trực giao gồm các phần tử khác 0
trong H thì S là hệ độc lập tuyến tính và ta có đẳng thức Pitago
||x
1
+ x
2
+ ··· + x
n
||
2
= ||x
1
||
2
+ ||x
2
||
2
+ ··· + ||x
n
||
2
∀x
1
, x
2
, ··· , x
n
∈ S.
Như vậy một hệ trực giao gồm những phần tử khác 0 là một hệ độc lập

tuyến tính. Ngược lại từ một hệ đếm được các phần tử độc lập tuyến tính,
ta có thể xây dựng được một hệ trực giao theo phương pháp trực giao hóa
Schmidt [4, Định lý ].
Định lý sau cho ta dạng mở rộng của đẳng thức P itago.
Định lý 1.8. Cho {x
n
, n = 1, 2, ··· , } là một hệ trực giao đếm được trong
không gian Hilbert H. Điều kiện cần và đủ để chuỗi

∞
n=1
x
n
hội tụ là chuỗi

∞
n=1
||x
n
||
2
hội tụ và khi đó
||
∞

n=1
x
n
||
2

=
∞

n=1
||x
n
||
2
.
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chứng minh. Đặt
S
n
= x
1
+ x
2
+ ··· + x
n
,
σ
n
= ||x
1
||
2
+ ||x
2
||

2
+ ··· + ||x
n
||
2
.
Áp dụng đẳng thức Pitago đối với hệ hữu hạn các vectơ trực giao, với mọi
n, p ∈ N ta có
||S
n+p
− S
n
||
2
= ||
n+p

i=n+1
x
i
||
2
=
n+p

i=n+1
||x
i
||
2

= |σ
n+p
− σ
n
|.
Từ đẳng thức này ta thấy dãy (S
n
)
n
là dãy Cauchy trong H khi và chỉ khi
dãy số thực (σ
n
)
n
là dãy Cauchy trong R.
Vì H và R là những không gian đầy đủ nên (S
n
)
n
hội tụ trong H khi và
chỉ khi dãy (σ
n
)
n
hội tụ trong R. Điều này có nghĩa là chuỗi

∞
n=1
x
n

hội tụ
khi và chỉ khi chuỗi

∞
n=1
||x
n
||
2
hội tụ. Nếu một trong hai chuỗi này hội tụ
thì ta có
||
∞

n=1
x
n
||
2
= || lim
k→∞
k

n=1
x
n
||
2
= lim
k→∞

||
k

n=1
x
n
||
2
= lim
k→∞
k

n=1
||x
n
||
2
=
∞

n=1
||x
n
||
2
.
Định lý được chứng minh.
Áp dụng Định lý trên cho hệ trực giao {x
n
} với x

n
= λ
n
e
n
ta có hệ quả
sau.
Hệ quả 1.2. Cho {e
n
, n = 1, 2, ··· , } là một hệ trực chuẩn trong không gian
Hilbert H và (λ
n
)
n
là một dãy trên R. Ta có chuỗi

∞
n=1
λ
n
e
n
hội tụ về x ∈ H
khi và chỉ khi chuỗi số

∞
n=1
|λ
n
|

2
hội tụ và
||x||
2
=
∞

n=1
|λ
n
|
2
.
Định lý sau đây cho thấy sự biểu diễn của môt phần tử x ∈ H bất kì.
Định lý 1.9. [4, Định lý 1] Cho M là một không gian con đóng của không
gian Hilbert H. Khi đó mọi phần tử x ∈ H đều biểu diễn một cách duy nhất
dưới dạng
x = y + z, y ∈ M, z ∈ M
⊥
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
trong đó y thỏa mãn
||x − y|| = ||z|| = inf
u∈M
{||x − u||} = d(x, M).
Nhận xét 1.5. Từ định lý này ta có thể viết
H = M ⊕ M
⊥
và y được gọi là hình chiếu trực giao của x lên không gian con M.
Hệ quả 1.3. Giả sử E = {e

1
, e
2
, ··· , e
n
} là một hệ trực chuẩn của không
gian Hilbert H. Kí hiệu M là không gian con sinh bởi hệ vectơ E. Khi đó mỗi
x ∈ H có hình chiếu trực giao y của x lên không gian con M được biểu diễn
như sau
y =
n

i=1
x, e
i
e
i
.
Giả sử E = {e
1
, e
2
, ··· , } là một hệ trực chuẩn của không gian Hilbert H.
Kí hiệu M
n
là không gian con sinh bởi hệ E = {e
1
, e
2
, ··· , e

n
}. Khi đó với
mỗi x ∈ H, hình chiếu trực giao y
n
của x lên không gian con M
n
có dạng
y
n
=
n

i=1
x, e
i
e
i
.
Vấn đề đặt ra là dãy (y
n
)
n
có hội tụ hay không? Câu trả lời sẽ có trong
phần sau.
Định nghĩa 1.5. Cho H là không gian Hilbert thực và x ∈ H. Chuỗi hình
thức
∞

i=1
x, e

i
e
i
. (1.6)
được gọi là chuỗi Fourier của x đối với hệ trực chuẩn E.
Các số x, e
i
 gọi là hệ số Fourier thứ i của x đối với hệ E.
Định lý 1.10. Giả sử E = {e
n
, n ∈ N} là một hệ trực chuẩn trong H. Khi
đó với mọi x ∈ H chuỗi Fourier của nó luôn hội tụ trong H và ta có bất đẳng
thức Bessel
∞

i=1
|x, e
i
|
2
≤ ||x||
2
. (1.7)
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chứng minh. Muốn chứng minh chuỗi Fourier hội tụ ta chỉ cần chứng minh
bất đẳng thức Bessel đúng.
Với mọi n ∈ N, đặt M
n
= {e

1
, e
2
, ··· , e
n
} là không gian con đóng sinh
bởi hệ các vectơ {e
1
, e
2
, ··· , e
n
}.
Theo Hệ quả 1.3, tồn tại y
n
=

n
i=1
x, e
i
e
i
∈ M
n
và z
n
∈ M
⊥
n

sao cho
x = y
n
+ z
n
.
Vì y
n
⊥ z
n
và {e
1
, e
2
, ··· , e
n
} là hệ trực chuẩn nên theo đẳng thức Pitago
||x||
2
= ||y
n
||
2
+ ||z
n
||
2
≥ ||y
n
||

2
=
n

i=1
|x, e
i
|
2
.
Cho n → ∞ ta có điều phải chứng minh.
Định lý 1.11. Giả sử E = {e
1
, e
2
, ··· , } là một hệ trực chuẩn trong không
gian Hilbert H. Khi đó bốn mệnh đề sau tương đương.
1. E = {e
1
, e
2
, ··· , } là một cơ sở trực chuẩn đầy đủ,
2. Mọi x ∈ H đều được khai triển thành chuỗi Fourier của nó, nghĩa là
x =
∞

i=1
x, e
i
e

i
,
3. Với mọi x, y ∈ H ta có x, y =

∞
i=1
x, e
i
y, e
i
,
4. Với mọi x ∈ H ta có ||x||
2
=

∞
i=1
|x, e
i
|
2
, đây được gọi là đẳng thức
Pacxevan.
Chứng minh. (1)⇒(2). Theo định lý 1.10 chuỗi Fourier của x ∈ H luôn hội
tụ. Đặt
y = x −
∞

i=1
x, e

i
e
i
ta chứng minh y = 0.
Với mỗi m ∈ N ta có
y, e
m
 = x, e
m
 − 
∞

i=1
x, e
i
e
i
, e
m

= x, e
m
 − x, e
m
 = 0.
Như vậy
y ∈ M
⊥
= M
⊥

= H
⊥
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
nên y ⊥ y suy ra y = 0.
(2)⇒(3). Từ tính chất liên tục của tích vô hướng và tính trực chuẩn của
hệ {e
1
.e
2
, ··· , } ta có
x, y = 
∞

i=1
x, e
i
e
i
,
∞

j=1
y, e
j
e
j
 = lim
n→∞


n

i=1
x, e
i
e
i
,
n

j=1
y, e
j
e
j

= lim
n→∞
n

i=1
n

j=1
x, e
i
y, e
j
e
i

, e
j
 = lim
n→∞
n

i=1
x, e
i
y, e
i

=
∞

i=1
x, e
i
y, e
i
.
(3)⇒(4). Thay y = x vào đẳng thức ở (3) ta được đẳng thức ở (4).
(4)⇒(1). Đặt M = {e
n
, n ∈ N} là không gian con đóng sinh bởi hệ
{e
n
, n ∈ N}. Theo Định lý 1.9 ta có
H = M ⊕ M
⊥

do đó chỉ cần chứng minh M
⊥
= {0}.
Thật vậy, với mọi z ∈ M
⊥
= M
⊥
ta có z ⊥ u với mọi u ∈ M, đặc biệt
z ⊥ e
n
nên z, e
n
 = 0 với mọi n ∈ N.
Theo đẳng thức Pacxevan ở (4) ta có
||z||
2
=
∞

i=1
|z, e
i
|
2
= 0
nên z = 0.
Vậy H = M, do đó E là một cơ sở trực chuẩn đầy đủ. Định lý được chứng
minh.
Định lý 1.12. (Riesz- Fischer) Giả sử E = {e
1

, e
2
, ··· , } là một cơ sở trực
chuẩn đếm được trong không gian Hilbert H. Nếu dãy số (λ
n
)
n
∈ R thỏa mãn
∞

n=1
|λ
n
|
2
< +∞
thì sẽ tồn tại duy nhất một phần tử x ∈ H nhận các λ
n
làm hệ số Fourier,
tức là λ
n
= x, e
n
, n = 1, 2, ···.
Chứng minh. Do
∞

n=1
|λ
n

|
2
< +∞
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
nên theo Hệ quả 1.2 ta có chuỗi

∞
n=1
λ
n
e
n
hội tụ trong H.
Đặt
x =
∞

n=1
λ
n
e
n
∈ H
khi đó với mỗi k ∈ N ta có
x, e
k
 = 
∞


n=1
λ
n
e
n
, e
k
 = λ
k
.
Vậy x nhận các số λ
n
làm hệ số Fourier.
Nếu có phần tử x

∈ H cũng nhận λ
n
là hệ số Fourier thì x = x

bởi vì
x =
∞

n=1
λ
n
e
n
=
∞


n=1
x

, e
n
e
n
= x

.
Định lý được chứng minh.
Ta đã biết, nếu H là không gian Hilbert thì H cũng là không gian định
chuẩn vì vậy ta sẽ quan tâm tới cấu trúc không gian liên hợp H
∗
= L(H, K)
của H. Định lý sau đây nêu lên đặc trưng của một phiếm hàm tuyến tính liên
tục trên không gian Hilbert H.
Định lý 1.13. [4, F. Riesz] Với mỗi véc tơ a cố định thuộc không gian Hilbert
H, hệ thức
f(x) = x, a, ∀x ∈ H (1.8)
xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục f(x) trên không gian H với
||f|| = ||a||. (1.9)
Ngược lại với bất kì phiếm hàm tuyến tính liên tục f(x) nào trên không gian
Hilbert H cũng đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng (1.8), trong
đó a là một véc tơ của H thỏa mãn (1.9).
Định lý trên cho phép thiết lập tương ứng một - một giữa các phiếm hàm
tuyến tính liên tục f trên H và các véc tơ a ∈ H. Tương ứng đó là phép đẳng
cự tuyến tính, cho nên nếu ta đồng nhất phiếm hàm f với véc tơ a sinh ra nó
thì không gian Hilbert H có thể đồng nhất được với không gian liên hợp H

∗
của nó.
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Cho A là toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert H, Với mỗi
y ∈ H cố định ta xét phiếm hàm x
∗
: H → R xác định như sau
x
∗
(x) = Ax, y, x ∈ H.
Dễ thấy x
∗
là phiếm hàm tuyến tính, liên tục trong H nên theo Định lý
F.Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục, tồn tại duy
nhất y
∗
∈ H để
Ax, y = x, y
∗
, ∀x ∈ H.
Định nghĩa 1.6. Cho A là toán tử trong không gian Hilbert H, ánh xạ A
∗
:
H → H xác định như sau
∀y ∈ H, A
∗
y = y
∗
trong đó

Ax, y = x, y
∗
 = x, A
∗
y
được gọi là toán tử liên hợp của toán tử A.
Nhận xét 1.6. Toán tử liên hợp A
∗
nếu tồn tại là duy nhất.
Định nghĩa 1.7. Dãy (x
n
)
n
∈ H được gọi là
• Hội tụ mạnh đến x
0
∈ H nếu nó hội tụ theo chuẩn, nghĩa là
lim
n→∞
||x
n
− x
0
|| = 0,
kí hiệu x
n
→ x
0
hay lim
n→∞

x
n
= x
0
• Hội tụ yếu đến x ∈ H nếu ∀y ∈ H ta có
lim
n→∞
x
n
, y = x, y,
kí hiệu x
n
w
−→ x khi n → ∞.
Kết luận chương
Trong Chương 1, chúng ta đã nhắc lại các kết quả quan trọng trong không
gian Hilbert, những kiến thức trong chương này là cơ sở cho các vấn đề được
nghiên cứu trong hai chương sau.
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 2
Toán tử đơn điệu và đơn điệu cực đại
Như đã biết, toán tử đơn điệu là một công cụ hữu ích trong việc nghiên cứu
ánh xạ nghiệm, giải tích biến phân Chương này sẽ trình bày một số khái
niệm và tính chất của toán tử đơn điệu, đơn điệu cực đại, tổng của các toán
tử đơn điệu cực đại. Các kiến thức trong chương chủ yếu được lấy từ các tài
liệu [1], [3], [5], [6], [7], [8], [9], [11].
2.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản
Trước hết ta nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản của giải tích lồi
như tập lồi, hàm lồi, dưới vi phân,

2.1.1 Tập lồi và hàm lồi
Định nghĩa 2.1. Một tập C ⊆ H được gọi là tập lồi nếu
∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C.
Định nghĩa 2.2. • Một tập C ⊆ H được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu
∀x ∈ C, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ C.
• C được gọi là nón có đỉnh tại x
0
nếu C − x
0
là nón có đỉnh tại 0.
• Nón C có đỉnh tại x
0
được gọi là nón lồi nếu C là một tập lồi, nghĩa là
∀x, y ∈ C, ∀λ, µ > 0 ⇒ λx + µy ∈ C.
Định nghĩa 2.3. Cho C = ∅ là tập lồi trong H và x ∈ C. Nón pháp tuyến
ngoài của C tại x ∈ C, nón đối cực và nón đối ngẫu của C là các tập hợp
lần lượt được kí hiệu và xác định bởi các công thức
N
C
(x) := {w ∈ H : w, y − x ≤ 0, ∀y ∈ C},
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
C
0
:= {w ∈ H : w, x ≤ 0, ∀x ∈ C},
C
+
:= {w ∈ H : w, x ≥ 0, ∀x ∈ C}.
Định nghĩa 2.4. Cho A ⊂ H, khi đó ta có các định nghĩa
• Tập A được gọi là tập affine nếu

(1 − λ)x + λy ∈ A, ∀x, y ∈ A, ∀λ ∈ R.
Tương giao của tất cả các tập affine chứa tập A ⊂ H được gọi là bao
affine của A và kí hiệu là affA.
• Phần trong của A là tập hợp được kí hiệu và xác định bởi công thức
intA := {x ∈ H : ∃ε > 0, x + εB ⊂ A}.
• Phần trong tương đối của A ⊂ H là phần trong của A trong affA và được
kí hiệu là riA, một cách tương đương ta có
riA := {x ∈ affA : ∃ε > 0, (x + εB) ∩ affA ⊂ A}.
trong đó B là hình cầu đơn vị đóng trong H.
Cho C ⊂ H là tập lồi khác rỗng và ánh xạ f : C → R ∪{+∞}. Ta có các
định nghĩa về hàm lồi như sau.
Định nghĩa 2.5. • Trên đồ thị của hàm f, kí hiệu là epif và được định
nghĩa bởi công thức
epif := {(x, r) ∈ C × R : f(x) ≤ r}.
• Miền hữu hiệu của hàm f, kí hiệu domf và được định nghĩa bởi công thức
domf := {x ∈ C : f(x) < +∞}.
Định nghĩa 2.6. Hàm f được gọi là chính thường nếu domf = ∅ và f(x) >
−∞ với mọi x ∈ C.
Định nghĩa 2.7. Hàm f được gọi là
• Lồi trên C nếu
f(λx + (1 −λ)y) ≤ λf(x) + (1 −λ)f(y), ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0; 1] .
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
• Lồi ngặt trên C nếu
f(λx + (1 −λ)y) < λf(x) + (1 −λ)f(y), ∀x, y ∈ C, x = y, ∀λ ∈ (0; 1) .
• Lồi mạnh trên C với hệ số α > 0 nếu với ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0; 1) ta có
f(λx + (1 −λ)y) ≤ λf(x) + (1 −λ)f(y) −
1
2
λ(1 − λ)α||x − y||

2
.
• Lõm trên C nếu −f là hàm lồi trên C.
Nhận xét 2.1
1. Nếu f là hàm lồi ngặt hay lồi mạnh trên C thì f là hàm lồi trên C.
2. f là hàm lồi trên C nếu epif là tập lồi trong H × R.
3. f là hàm lồi suy ra domf là tập lồi.
Một trong những ứng dụng quan trọng nhất của giải tích lồi là khái niệm
dưới vi phân hàm lồi, dưới đây ta nhắc lại định nghĩa và một số tính chất của
dưới vi phân hàm lồi.
2.1.2 Dưới vi phân
Định nghĩa 2.8. Giả sử f là hàm lồi trên H.
• Phiếm hàm x
∗
∈ H
∗
được gọi là dưới đạo hàm của hàm f tại ¯x ∈ H nếu
x
∗
, x − ¯x ≤ f(x) −f(¯x), ∀x ∈ H.
• Tập tất cả các dưới đạo hàm của f tại ¯x được gọi là dưới vi phân của
hàm f tại ¯x, kí hiệu là ∂f(¯x), một cách tương đương ta có
∂f(¯x) := {x
∗
∈ H
∗
: x
∗
, x − ¯x ≤ f(x) −f(¯x), ∀x ∈ H}.
• Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại ¯x nếu ∂f(¯x) = ∅.

Ví dụ 2.1. Cho C là tập lồi khác rỗng của H. Xét hàm chỉ của tập C có
dạng
δ
C
(x) :=

0 nếu x ∈ C,
+∞ nếu x /∈ C.
Khi đó dưới vi phân của hàm chỉ của C tại ¯x ∈ C là nón pháp tuyến ngoài
của C tại ¯x.
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Thật vậy
Nếu ¯x ∈ C thì
∂δ
C
(¯x) = {x
∗
∈ H : x
∗
, x − ¯x ≤ δ
C
(x), ∀x ∈ C}
Với x /∈ C thì δ
C
(x) = +∞ nên bất đẳng thức x
∗
, x − ¯x ≤ δ
C
(x) luôn

đúng. Do đó
∂δ
C
(¯x) = {x
∗
∈ H : x
∗
, x − ¯x ≤ 0, ∀x ∈ C} = N
C
(¯x).
Ví dụ 2.2. (Hàm lồi thuần nhất dương)
Cho f : H → R là hàm lồi thuần nhất dương, tức là hàm lồi f : H → R
thỏa mãn
f(λx) = λf(x), ∀λ > 0, ∀x ∈ H.
Khi đó
∂f(¯x) = {w ∈ H : w, ¯x = f(¯x), w, x ≤ f(x), ∀x ∈ C}.
Thật vậy
Nếu w ∈ ∂f(¯x) thì
w, x − ¯x ≤ f(x) −f(¯x), ∀x ∈ C. (2.1)
Thay x = 2¯x vào (2.1) ta có
w, ¯x ≤ f(2¯x) − f(¯x) = f(¯x). (2.2)
Còn nếu thay x = 0 vào (2.1) ta có
−w, ¯x ≤ −f(¯x). (2.3)
Kết hợp (2.2) và (2.3) suy ra
w, ¯x = f(¯x). (2.4)
Hơn nữa
w, x − ¯x = w, x − w, ¯x = w, x −f(¯x).
Do đó
w, x ≤ f(x), ∀x ∈ C.
Ngược lại nếu ¯x ∈ H thỏa mãn

w, ¯x = f(¯x) và w, x ≤ f(x), ∀x ∈ C
19
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
thì
w, x − ¯x = w, x − w, ¯x ≤ f(x) − f(¯x), ∀x ∈ C.
Vậy w ∈ ∂f(¯x).
• Nếu f là hàm lồi thuần nhất dương thỏa mãn
f(−x) = f(x) ≥ 0, ∀x ∈ C
thì
w, x ≤ f(x), ∀x ∈ C
tương đương với
|w, x| ≤ f(x), ∀x ∈ C.
Định lý 2.1. [3, Định lý Moreau- Rockafellar]
Giả sử f
1
, f
2
, ··· , f
m
là hàm lồi, chính thường, khả dưới vi phân trên H.
Khi đó với mọi x ∈ H thì
∂(f
1
+ f
2
+ ··· + f
m
)(x) ⊃ ∂f
1
(x) + ∂f

2
(x) + ··· + ∂f
m
(x).
Hơn nữa nếu tồn tại
x ∈
m

i=1
domf
i
mà tại đó tất cả các hàm f
1
, f
2
, ··· , f
m
liên tục (có thể trừ ra một hàm nào
đó) thì bao hàm thức trên sẽ xảy ra dấu bằng, tức là
∂(f
1
+ f
2
+ ··· + f
m
)(x) = ∂f
1
(x) + ∂f
2
(x) ··· + ∂f

m
(x), ∀x ∈ H.
Với f : H → R ∪{∞}, kí hiệu tập các điểm cực tiểu của hàm f trên C ⊂ H
là argmin
x∈C
f(x) và được xác định bởi
arg min
x∈C
f(x) =






¯x ∈ C : f(¯x) = inf
x∈C
f(x)

nếu inf
x∈C
f(x) = ∞,
∅ nếu inf
x∈C
f(x) = ∞.
Mối quan hệ giữa argmin và dưới vi phân của hàm lồi f được thể hiện qua
định lý sau.
Định lý 2.2. [3, Định lý 5.1] Giả sử C là tập lồi, khác rỗng, hàm f : C → R
là hàm lồi, khả dưới vi phân trên C. Khi đó y là nghiệm của bài toán
min {f(x) : x ∈ C} tức là y ∈ arg min

x∈C
f(x)
khi và chỉ khi 0 ∈ ∂f(y) + N
C
(y).
20
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Trước khi trình bày các kiến thức về toán tử đơn điệu chúng ta nhắc lại
một số khái niệm cơ bản của ánh xạ đa trị và giới thiệu một số ví dụ minh
họa.
2.1.3 Ánh xạ đa trị
Định nghĩa 2.9. Cho X, Y ⊂ H và F : X → 2
Y
là ánh xạ từ X vào tập
hợp gồm toàn bộ các tập con của Y (được kí hiệu là 2
Y
). Khi đó ta nói F là
ánh xạ đa trị từ X vào Y . Như vậy với mỗi x ∈ X, F (x) là một tập con của
Y (F (x) có thể là tập rỗng).
Nếu với mọi x ∈ X, tập F (x) chỉ có đúng một phần tử thì ta nói F là ánh
xạ đơn trị từ X và Y và được kí hiệu là F : X → Y
Ví dụ 2.3. Xét phương trình đa thức
x
n
+ a
1
x
n−1
+ ··· + a
n−1

x + a
n
= 0
trong đó n ∈ Z
∗
là các số nguyên dương, a
i
∈ R, (i = 1, ··· , n) là các hệ số
thực.
Quy tắc cho tương ứng mỗi điểm a = (a
1
, a
2
, ··· , a
n
) ∈ R
n
với tập nghiệm
của phương trình trên, kí hiệu bởi F(a) cho ta một ánh xạ đa trị F : R
n
→ 2
C
,
trong đó C là tập hợp số phức.
Định nghĩa 2.10. Đồ thị, miền hữu hiệu, miền ảnh của ánh xạ đa trị F :
X → 2
Y
là các tập hợp được kí hiệu và định nghĩa tương ứng bởi các công
thức
gphF = {(x, y) ∈ X ×Y : y ∈ F (x)},

domF = {x ∈ X : F (x) = ∅},
rgeF = {y ∈ Y : ∃x ∈ X sao cho y ∈ F(x)}.
Ví dụ 2.4. Với ánh xạ đa trị trong ví dụ trên ta có
gphF =

(a, x) ∈ R
n
× C : x
n
+ a
1
x
n−1
+ ··· + a
n−1
x + a
n
= 0

,
domF = R
n
, rgeF = C.
21
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên