bài toán cực trị về điện xoay chiều

Bài toán cực trị
về dòng điện xoay chiều
A. Đặt vấn đề:
Trong chơng trình giảng dạy về dòng điện xoay chiều phần lớn kiến thức cơ
bản học sinh nắm đợc và đặc biệt khá say mê. Tuy nhiên trong những năm gần đây
việc thi đại học thờng có những kiến thức về khảo sát cực trị của một đại lợng nào
đó - Đây cũng là một vấn đề khó và phong phú với toán học về phơng pháp giải-
song việc đa về hàm số khảo sát để vận dụng toán học lại là một vấn đề thờng gặp
khó khăn đối với học sinh - Đặc biệt trong Vật Lý thờng có nhiều đại lợng có thể
biến thiên (R biến thiên, L biến thiên, C biến thiên, biến thiên ). Càng gây khó
khăn cho học sinh về phơng pháp giải.
Đợc giao nhiệm vụ giảng dạy và luyện khối thi cho học sinh tôi cảm thấy cần
cụ thể hoá những bài toán cơ bản để từ đó học sinh hình thành đợc những dạng bài
tập rộng cần khảo sát chính lẽ đó tôi chọn đề tài "Bài toán cực trị về điện xoay
chiều".
B. Giải quyết vấn đề:
I. Phơng pháp chung giải toán cực trị trong mạch điện xoay chiều:
* Viết đợc biểu thức hàm số cần khảo sát:
I Hoặc P Hoặc U.
* Bằng phơng pháp giải tích, hoặc phơng pháp hình học để giải bài tập cực
trị.
1) Phơng pháp giải tích:
* Đa hàm số của đại lợng khảo sát về dạng:
y = f (x). và khảo sát hàm số đó
Cách 1: Phơng pháp đạo hàm: y' = f(x)'
y'' > 0 Hàm cực đại
Hoặc y' = 0 =>
y''< 0 Hàm cực tiểu
Cách 2: Xét dấu phơng trình bậc hai
Cách 3: Đa hàm số về dạng Phân số Tử không đổi :
Với A = HS

Chỉ khảo sát mẫu số
a
b
xyCho
2
0' ==
a
yxfyvaoThay
4
4
)(
min
===
aa
xfVa
a
b
a
b
xkhixfba
'
4
)(
'
2
)(0,0
min
min

=

=
==>>
CB
A
y
x
+
=
)(
Mẫu (max) => y
min

Mẫu (min) => ymax
Với b+c x
Lu ý: Nếu B . C = Cost => (B+C)
min
khi B = C
(Dùng bất đẳng thức côsin).
2) Phơng pháp Hình học (phơng pháp giản đồ Vectơ)
+ Vẽ giản đồ Vectơ.
+ Từ giản đồ lập hệ thức:
+ Biện luận đại lợng khảo sát theo , , .
II. Các bài toán cơ bản về R, L, C, biến thiên.
Bài 1: Bài toán cơ bản về R biến thiên.
Cho mạch điện R, L, C nối tiếp, R biến thiên.
1- Xác định R để Pmax. Tìm Pmax.
2- Chứng minh với P < Pmax có 2 giá trị R
1
, R

2
thoã mãn R
1
x R
2
= (Z
L
-Z
C
)
2
3- Tìm giá trị của R để U
Rmax
Giải
R L C
1- Xác định R để P
max
+ P
Max
khi mẫu (min) =>
2. Chứng minh: P < P
Max
=> R
1
. R
2
= (Z
L
-Z
C

)
2
2

Sin
c
Sin
b
Sin
a
==
R
ZZ
R
U
Rx
ZZR
U
RIP
CL
CL
2
2
22
2
2
)(
)(

+

=
+
==
R
ZZ
R
CL
2
)(
=
2 2
max
2 2
L C
U U
P
R Z Z
+ = =

0)(
)(
222
22
2
=+=>
+
=+
CL
CL
ZZPRUPR

ZZR
RU
P
CL
ZZR ==>
+ Khảo sát theo R(ẩn).
= (U
4
- 4P
2
(Z
L
-Z
C
)
2
Thay U
2
= 2(Z
L
-Z
C
).P
max
ta đợc:
= 4P
2
max
(Z
L

-Z
C
)
2
- 4(Z
L
-Z
C
)
2
P.
= 4(Z
L
-Z
C
)
2
(P
max
- P) > 0
Vậy phơng trình có 2 nghiệm phân biệt R
1
, R
2
=> R
1
.R
2
= (Z
L

-Z
C
)
2
(ĐPCM).
3. Tìm giá trị của R để U
R(max)
+ U
Rmax
khi mẫu min
R ->

mẫu (min) và U
R
= U
Nghĩa là không thể tạo ra đợc ở 2 đầu R HĐT lớn hơn HĐT nguồn.
Vận dụng thực tiễn: 113, 114, 115 sách bài tập; 315 bài tập.
* Bài 3.19, 3.36 sách học tốt.
Bài 2: Bài toán cơ bản về L biến thiên:
Cho mạch điện R, L, C nối tiếp, L biến thiên.
1- Xác định L để I
max
, p
max
2- Định L để U
L max
. Tính U
L max
3- Khảo sát P theo L, U
L

theo L.
R L C
1- Tìm L để I
max
2. Định L để U
L max
Phơng pháp giải tích:
3
2
2
21
)(
)(
.
CL
LC
ZZ
P
ZZP
a
c
RR =

==
2
22
21
2
)(
1

)(
R
ZZ
U
ZZR
UR
IRU
CL
R

+
=
+
==+
22
)(
CL
ZZR
U
I
+
=+
L
CL
ZC
LZZkhiI
2
max
11

===>=
C
LZZkhip
CL
2
max
1

==>
1
2)(
2
222
2
+
+
=
+
==+
L
C
L
LCL
L
L
Z
Z
Z
ZR
U

ZZR
UZ
IZU
Ta đợc: f(x) = (R
2
+Z
2
C
)x
2
- 2 Z
C
x + 1
Vì a = R
2
+ Z
C
2
> 0 nên f(x) min khi:
Phơng pháp hình học (phơng pháp giản đồ Véctơ).
+ Giản đồ
U U
L

U
R
I (gốc)

U
R C
U
C


+ Để U
Lmax
thì Sin = 1 nghĩa là U U
RL
2 2
max
:
L C
U
Khi do U R Z
R
= +
+ Từ hình vẽ:
4
x
Z
Dat
L
=+
1
2
2
2
2

)(2
2
2
C
C
C
C
ZR
Z
ZR
Z
a
b
x
+
=
+

==
C
C
L
C
L
C
C
L
Z
ZR
L

Z
ZR
Z
ZR
Z
Z

2
2
2
2
2
2
1 +
==>
+
==>
+
==>
2
2
2
min
'
)(
C
ZR
R
a
xfdoKhi

+
=

=
22
max
2
2
min
)(
cL
C
ZR
R
U
U
ZR
R
xf +==>
+
=

Sin
U
Sin
U
Sin
U
coTa
RCL

==+
2
2
.
C
RC
R
L
ZR
R
U
U
SinVoiSin
Sin
U
U
+
===+


.
2

SinZR
R
U
U
CL
+==>
c

c
C
C
L
C
RC
RC
L
Z
ZR
L
Z
ZR
Z
Z
IZ
UC
RC
U
Sin
U
U

22
2
2
2
2
(max)
+

==>
+
==>===
3. Khảo sát P theo L.
- Z
L
= 0 => P = P
1
- Z
L
= Z
C
P = P
max
P
- Z
L
= P => 0 P
1
+ Khảo sát U
L
theo L.
Z
L
Vận dụng thực tiễn: Bài 2.31 bài tập tuyển tập vật lý, đề 3 (2001-2002),
đề 10 (2001-2002), Bài 2.31 Bài tập tuyển tập vật lý.
Bài 3: Bài toán cơ bản về biến thiên.
Cho mạch R, L, C nối tiếp, biến thiên
1- Tìm C để I
max

, P
max
.
2- Tìm C để U
C(max),
tính U
C(max)
3- Khảo sát P theo C, U
c
theo C.
Giải
R L C

1- Tìm C để I
max
, P
max
.
2 - Định C để U
C(max)
Phơng pháp giải tích:
)(
12)(
222
xù
U
xZxZR
U
U
C

C
=
++
=
5
22
)(
CL
ZZR
U
I
++
=
22
2
2
)(
CL
ZZR
RU
RIP
+
==
L
CZZthiPhayIDe
CL
2
maxmax
1

==>
1
2
.
)(
2
2
2
22
+
+
=
++
==+
C
L
C
L
C
CL
CC
Z
Z
Z
ZR
U
Z
ZZR
U
IZU

)(
12)(
1
222
xù
U
xZxZR
U
x
Z
Dat
LL
C
=
++
==
+ Để U
C(max)
=> f(x)
min
+ Vì a > 0, f(x) min khi
* Phơng pháp hình học U
L
+ Vẽ giản đồ véc tơ. U
BL


U
R
+ Theo giản đồ ta có:

Để U
Cmax
=> Sin = 1 U
RL
U
Ta có:
3) Khảo sát P theo C
- Z
C
= 0 => P = P
1
- Z
C
= Z
L
P = P
max
- Z
C
= P => 0 P
1
6
C
Z
ZR
x
Z
ZR
Z
a

b
x
L
L
L
L
C

+
===>
+
==
22
2
22
1'
2 2
2
min min max
2 2
2 2
'
C
C
L
L
U R Z
R R
Va f f U
a R Z R

R Z
+

= = = => =
+
+


Sin
Sin
U
U
Sin
U
Sin
U
C
C
==

Sin
R
ZRU
U
ZR
R
U
U
SinVoi
C

C
L
RL
R
22
22
+
=
+
==
)1(
22
max
R
ZRU
UdoKhi
L
C
+
=
2 2 2 2
2 2 2
max
.
L L
RL RL L
C C
L L L
R Z R Z
U U R Z

U Z C
Sin U Z Z

+ +
+
= = => = = =>
Khảo sát U
C
theo Z
C
?
L Z
C
* Vận dụng thực tế: Bài 3-20 học tốt vật lý. Đề 27/3, 43/3 bộ đề. Bài 93,
94, 95, 96, 97 sách 351 bài tập.
Bài 4: Bài toán về hay f biến thiên.
Cho mạch xoay chiều R, L, C nối tiếp có hay f biến thiên
1. Định , (f) để I
max
, P
max
, U
R max
2. Định , (f) để U
L max
, U
C max
3. Khảo sát U
R
, U

L
, U
C
theo .
Giải
1. Định để I
max
, P
max
, U
R max
+ Để I
max
, P
max
, U
R max
thì
2. Định , để U
L max
, tính U
L max
- Biểu thức:
- Đặt f(x) =
1
21
242222
2
++

LCCLL
R
=
2
2 2 4 2 2
1 1 2 1
1
R
x
L C L LC


+ +


7
IRURIP
ZZR
U
I
R
CL
==
+
=+ ;;
)(
2
22
.
2

11
LC
f
LC
ZZ
CL

=

1
21
1
22)(
.
.
24222
2
2
2
2
2
22
++
=
++
=
+
==

LCCLL

R
U
Z
Z
ZZ
R
U
ZZR
ZU
ZIU
L
C
L
C
L
CL
L
LL
- Đặt
x=
2
1

Ta đợc: f(x) =
1
21
2
2
2
22

+








+ x
LC
L
R
x
CL
- Để U
1max
thì f(x)
min
.
+ Với
0
1
22
=
CL
a
Vậy f(x)
min
khi

a
b
x
2
=
=>
2
2
2
2
2
2
22
C
R
C
LCRLC
x






=

=
(Với
2
2

R
C
L

)
=>
CRL
C
C
x
2
2
211

==

Khi đó f(x)
min
=
a4


Với
acb 4
2
=
=> f(x)
min
=
( )

22
2
2
4
4
CRCL
L
R

Và U
1max
=
22
4
2
min)(
CRLCR
UL
xf
U

=
3. Định

(f) để U
C max
.
Biểu thức: U
C
= I.Z

C
=
CLCL
C
ZZZZR
U
22222
2++

=> U
C
=
1
2
2
2
2
2
++
C
L
C
L
C
Z
Z
Z
Z
Z
R

U
=
2422222
21

LCCLCR
U
++
- Đặt
x=
2

Ta đợc:
8
U
C
=
1)2(
22222
++ xLCCRxCL
U
=
)(xf
U
Để U
C max
thì f(x)
min
.
Vì a = L

2
C
2
>0 Vậy f(x)
min
khi
CL
CRL
CL
CRLC
a
b
x
2
2
22
22
2
2
2
2
2

=

==
(Với 2L>R
2
C).
=>

C
CRL
L
x
2
21
2

==

- f(x)
min
=
2
222
22
22222
4
)4(
4
4)2(
4
L
CRLCR
CL
CLLCCR
a

=

=

- U
C max
=
CRLCR
UL
xf
U
22
4
2
min)(

=
* Vận dụng thực tiễn: Bài 3.36; 3.37 Sách ôn tập thi Đại học, Cao đẳng.
Bài 135, 136 Tuyển chọn Bài tập Vật lý.
C. Kết luận:
Qua việc hình thành cho học sinh có phơng pháp giải chung đã giúp cho học
sinh có đợc phơng pháp nhận dạng, kỹ năng giải từng dạng bài toán khi có các đại
lợng biến thiên. Từ chổ nắm bắt đợc kiến thức, học sinh đã say mê hơn trong học
tập, tin tởng vào bản thân và có sáng tạo trong giải những giải toán cụ thể.
Kết quả khảo sát:
- Khi học sinh cha nắm đợc phơng pháp giải thờng mắc sai lầm trong vận
dụng, phải mò mẫm trong kiến thức và cách giải không có tính tổng quát. Cách
nhìn nhận bài toàn cha xoáy sâu vào trọng tâm. Kết quả chỉ có từ 10-15% học sinh
có đợc kết quả đúng song cách giải còn dài dòng.
- Khi nắm đợc phơng pháp giải, kết hợp với kiến thức đã có, vận dụng nghiên
cứu, đến nay 100% học sinh học khối A nhìn nhận đợc bài toán về R, L, C,

biến
thiên, giải đợc bài toán theo thời gian ấn định cho phép.
Trên đây là một số kiến thức mà bản thân tôi đã vận dụng trong giảng dạy ở
phần tìm giá trị cực trị của dòng xoay chiều. Chắc chắn đề tài còn nhiều thiếu sót,
9
rất mong nhận đợc sự góp ý của đồng nghiệp để bản thân tôi tiến bộ hơn, góp phần
đợc nhiều hơn cho sự nghiệp giáo dục.
Xin chân thành cảm ơn!.
10