các dạng toán tìm cực trị trong điện xoay chiều

mailto: BKĐN 12A VINH XUÂN

NGUYỄN ANH TUẤN : 12A
LƯU Ý: Phần điện xoay chiều luôn chiếm số % khá cao trong các kì thi đại học. Như ĐH.2009A là 10 câu với phần
cơ bản và 9 câu với phần nâng cao, ĐH.2008A là 10 câu, ĐH.2007 là 9 câu.Thường chiếm khoảng 20% trong cấu
trúc đề. Nên là phần chúng ta cần chú ý và nắm chắc!
Câu 1: Khi đặt hiệu điện thế không đổi 30 V vào hai đầu đoạn mạch gồm điện trở thuần mắc nối tiếp với cuộn cảm
thuần có độ tự cảm
π
4
1
(H) thì dòng điện trong đoạn mạch là dòng điện một chiều có cường độ 1 A. Nếu đặt vào
hai đầu đoạn mạch này điện áp u150
2
cos120πt(V)= thì biểu thức của cường độ dòng điện trong đoạn mạch là
A. i= 5
2
cos(120πt-
4
π
) B. i= 5cos(120πt+
4
π
)
C. i= 5
2
cos(120πt +
4
π
) . D. i= 5cos(120πt+
4

π
)
Câu 14: Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng 120 V, tần số 50 Hz vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm
điện trở thuần 30Ω , cuộn cảm thuần có độ tự cảm 0,4/π(H) và tụ điện có điện dung thay đổi được. Điều chỉnh điện
dung của tụ điện thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm đạt giá trị cực đại bằng
A. 160 V. B. 100 V. C. 250 V. D. 150 V.
Câu 22: Một đoạn mạch điện xoay chiều gồm điện trở thuần, cuộn cảm thuần và tụ điện mắc nối tiếp. Biết cảm
kháng gấp đôi dung kháng. Dùng vôn kế xoay chiều (điện trở rất lớn) đo điện áp giữa hai đầu tụ điện và điện áp giữa
hai đầu điện trở thì số chỉ của vôn kế là như nhau. Độ lệch pha của điện áp giữa hai đầu đoạn mạch so với cường độ
dòng điện trong đoạn mạch là
A. π/4. B. π/6. C. −π/3. D. π/3.
Câu 28: Đặt điện áp xoay chiều vào hai đầu đoạn mạch có R, L, C mắc nối tiếp. Biết R = 10 Ω, cuộn cảm thuần có
L =
π
10
1
, tụ điện có C =
π
2
1
.10
-3
(F) và điện áp giữa hai đầu cuộn cảm thuần là Lπu= 20
2
cos(100πt +
2
π
)(V).
Biểu thức điện áp giữa hai đầu đoạn mạch là
A. u = 40

2
cos(100πt – π/4) (V). B. u = 40cos(100πt – π/4) (V).
C. u = 40
2
cos(100πt + π/4) (V). D. u = 40cos(100πt + π/4) (V).
Câu 35: Đặt một điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng U vào hai đầu đoạn mạch AB gồm cuộn cảm thuần có độ tự
cảm L, điện trở thuần R và tụ điện có điện dung C mắc nối tiếp theo thứ tự trên. Gọi U
L
, U
R
và U
C
lần lượt là các điện
áp hiệu dụng giữa hai đầu mỗi phần tử. Biết điện áp giữa hai đầu đoạn mạch AB lệch pha π/2 so với điện áp giữa hai
đầu đoạn mạch NB (đoạn mạch NB gồm R và C). Hệ thức nào dưới đây là đúng?
A.
2
c
U
=
2
R
U
+
2
L
U
+
2
U

. B.
2
U
=
2
R
U
+
2
L
U
+
2
c
U
. C.
2
L
U
=
2
R
U
+
2
c
U
+
2
U

D.
2
R
U
=
2
L
U
+
2
c
U
+
2
U
Câu 37: Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi vào hai đầu đoạn mạch gồm biến trở R mắc nối tiếp
với tụ điện. Dung kháng của tụ điện là 100 Ω. Khi điều chỉnh R thì tại hai giá trị R
1
và R
2
công suất tiêu thụ của đoạn
mạch như nhau. Biết điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện khi R = R
1
bằng hai lần điện áp hiệu dụng giữa hai đầu
tụ điện khi R = R
2
. Các giá trị R
1
và R
2

là:
A. R
1
= 40 Ω, R
2
= 250 Ω. B. R
1
= 50 Ω, R
2
= 100 Ω.
C. R
1
= 25 Ω, R
2
= 100 Ω. D. R
1
= 50 Ω, R
2
= 200 Ω.
Câu 38: Đặt điện áp vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm điện trở thuần R, tụ điện và cuộn cảm thuần có độ tự
cảm L thay đổi được. Biết dung kháng của tụ điện bằng 0u = UcosωtR3. Điều chỉnh L để điện áp hiệu dụng giữa hai
đầu cuộn cảm đạt cực đại, khi đó
A. điện áp giữa hai đầu điện trở lệch pha 6π so với điện áp giữa hai đầu đoạn mạch.
B. điện áp giữa hai đầu cuộn cảm lệch pha 6π so với điện áp giữa hai đầu đoạn mạch.
C. trong mạch có cộng hưởng điện.
D. điện áp giữa hai đầu tụ điện lệch pha 6π so với điện áp giữa hai đầu đoạn mạch.
Câu 39: Đặt điện áp xoay chiều u = U
0
cosωt có U
0

không đổi và ω thay đổi được vào hai đầu đoạn mạch có R, L, C
mắc nối tiếp. Thay đổi ω thì cường độ dòng điện hiệu dụng trong mạch khi ω = ω
1
bằng cường độ dòng điện hiệu
dụng trong mạch khi ω = ω
2
. Hệ thức đúng là
A. ω
1
ω
2
=
LC
1
B.ω
1
+ ω
2
=
LC
2
. C.ω
1
ω
2
=
LC
1
. D.ω
1

+ ω
2
=
LC
2

*******************

mailto: BKĐN 12A VINH XUÂN
Câu 42: Đặt điện áp u = U
0
cos(100πt –π/3 )(V) vào hai đầu một tụ điện có điện dung C=
π
4
102
−
×
(F). Ở thời điểm
điện áp giữa hai đầu tụ điện là 150 V thì cường độ dòng điện trong mạch là 4 A. Biểu thức của cường độ dòng điện
trong mạch là
A. i = 5cos(100πt +π/6) (A). B. i = 4
2
cos(100πt -π/6) ) (A)
C. i = 4
2
cos(100πt +π/6) (A). D. i = 5cos(100πt -π/6 ) (A)
Câu 44: Từ thông qua một vòng dây dẫn là Φ =
π
2
102

−
×
cos(100πt +
4
π
)(Wb). Biểu thức của suất điện động cảm
ứng xuất hiện trong vòng dây này là
A. e = 2πsin100πt (V). B. e = - 2sin100πt (V).
C. e = - 2sin(100πt + π/4) (V). D. e = 2sin(100πt + π/4) (V)
Câu 58: Đặt điện áp xoay chiều 0πu = U
0
cos(100πt +π/3 ) (V) vào hai đầu một cuộn cảm thuần có độ tự cảm L=
π
2
1
(H). Ở thời điểm điện áp giữa hai đầu cuộn cảm là 100
2
V thì cường độ dòng điện qua cuộn cảm là 2 A. Biểu
thức của cường độ dòng điện qua cuộn cảm là
A. i = 2
2
cos(100πt +π/6 ) (A). B. i = 2
2
cos(100πt - π/6 ) (A) C. i = 2
3
3cos(100πt - π/6 ) (A) D. i = 2
3
cos(100πt +π/6 ) (A).

LOẠI I : KHẢO SÁT CỰC TRỊ CÔNG SUẤT
1. Tìm ω để P đạt cực đại
Cho mạch RLC nối tiếp có ω thay đổi.
Ta có : P = RI
2
= R.
2
2
Z
U
= R.
22
2
)(
CL
ZZR
U
−+
. Vì U, R cố định và (Z
L
-Z
C
)
2
≥0

, nên P max khi Z
L
-Z
C

= 0
Hay
0
1
=−
C
L
ω
ω

⇔
LC
1
=
ω
: tức là trong mạch xảy ra điều kiện cộng hưởng.
Khi đó ta có được công suất cực đại là P
max
=
R
U
2
.
Ví dụ 1: Cho mạch điện RLC mắc nối tiếp có: L = 1/π (H),R=100Ω, hiệu điện thế hai đầu mạch :u
AB
=
200cos(100πt- π/2) (V).Tụ C biến thiên.Tìm giá trị của C để công suất trong mạch cực đại và tính giá trị cực đại đó.
Giải
• Để công suất trên mạch cực đại khi có R cố định và C biến thiên : tức trong mạch có cộng hưởng.
Ta có: Z

L
=Z
C
⇔
C =
L
2
1
ω
=
ππ
/100
1
22
=
π
4
10
−
(F)
⇒
Công suất cực đại: P
max
= U
2
/R = (100
2
)
2
/100 =200

(W).

mailto: BKĐN 12A VINH XUÂN
Ví dụ 2: Cho mạch điện RLC mắc nối tiếp. R không đổi và cuộn dây thuần cảm có L =
H
π
1
, điện dung C =
π
4
10.2
−
F. Đặt vào hai đầu mạch môtj điện áp xoay chiều có tần số thay đổi được. Để hệ số công suất cực đại thì f
có giá trị là :
Giải
Ta có : P = UI.cosφ = RI
2

.Hệ số công suất cực đại khi cosφ = 1. Tức trong mạch xảy ra hiện tượng cộng hưởng.

LC
1
=
ω

LC
f
1
.
2

1
2
ππ
ω
==
⇔
ππ
π
4
10.2
.
1
1
.
2
1
−
=
f
=50 Hz.
2. Tìm R để công suất tiêu thụ P trong mạch cực đại :
Cho mạch RLC có L, C, ω = const và R thay đổi.
Ta có: : P = R.
22
2
)(
CL
ZZR
U
−+

=
2
2
)(
R
ZZ
R
U
CL
−
+

vì U không đổi nên P max khi mẫu biểu thức min.
Ta áp dụng BĐT thức Cauhy cho hai số không âm ở mẫu, ta được: R+
R
ZZ
CL
2
)(
−
2
)(2
CL
ZZ
−≥
= const (do L,
C, ω = const) .
Đẳng thức xảy ra khi R =
R
ZZ

CL
2
)(
−
⇒
R=
CL
ZZ
−
Khi đó ta có được giá trị công suất cực đại là : P
max
=
R
U
2
2
.
Ví dụ 1:Điện áp hai đầu mạch RLC mắc nối tiếp có dạng :
).2cos(.2200 tfu
π
=
(V), (biết cuộn dây thuần cảm)
và L, C,ω cố định. Điều chỉnh biến trở khi R = 50 Ω thì giá trị cực đại của công suất là :
Giải
Bài toán là tìm cực trị của P khi L, C,ω cố định và R thay đổi .
Ta có: U = 200 V , R = 50 Ω
Như vậy khi : R=
CL
ZZ
−

thì công suất cực đại và có giá trị: P
max
=
R
U
2
2
800
50.2
100
2
=
W

3. Tìm R ( thay đổi) để P toàn mạch max khi mạch RLC có cuộn dây có điện trở r.
Cho mạch RLC nối tiếp, R thay đổi ,cuộn dây có điện trở r và L, C, ω = const.
Ta có : P = (R + r).I
2
=
22
2
)()(
)(
CL
ZZrR
rRU
−++
+
=
rR

ZZ
rR
U
CL
+
−
++
2
2
)(
)(
, vì U= const nên P toàn mạch max khi mẫu
số min. Áp dụng BĐT Cauhy cho hai số không âm ở mẫu, ta được:
. (R+r)+
rR
ZZ
CL
+
−
2
)(
≥
CL
ZZ
−
2
= const. Đẳng thức xảy ra khi : (R+r)=
rR
ZZ
CL

+
−
2
)(
⇔
R+r =
CL
ZZ
−
Khi đó ta được giá trị công suất toàn mạch cực đại là:
)(2
max
2
rR
U
P
+
=
Ví dụ 1: Cho mạch điện gồm biến trở R , cuộn dây có điện trở r = 30 Ω và độ tự cảm L =
π
4,1
H ghép nối tiếp với
tụ điện C =
π
4
10
−
F . Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều
).100cos(2200 tu
π

=
(V). Tìm giá trị
của biến trở R để công suất trên đoạn mạch là cực đại và giá trị P max ?
Giải
- Ta có : Z
L
= 140 Ω , Z
C
= 100 Ω , U = 200 V

mailto: BKĐN 12A VINH XUÂN
-Biểu thức công suất trên toàn mạch là : P = (R + r).I
2

=
22
2
)()(
)(
CL
ZZrR
rRU
−++
+
.Mà L,C,r và U cố định, R thay đổi.
Nên ta sẽ có P toàn mạch max khi : R+ r =
CL
ZZ
−

⇒
R =
CL
ZZ
−
- r = 40-30 = 10 Ω .
Khi đó ta được giá trị công suất trên toàn mạch là :
)(2
max
2
rR
U
P
+
=
=
500
)3010(2
200
2
=
+
W.
4. Tìm R thay đổi để P trên R max khi mạc RLC có cuộn dây có điện trở r: Cho mạch RLC nối tiếp, R thay
đổi ,cuộn dây có điện trở r và L, C, ω = const.
- Ta có công suất tiêu thụ trên R:
2
RIP =
=
22

2
)()(
.
CL
ZZrR
RU
−++
=
R
ZZ
R
RrrR
U
CL
2
22
2
)(
2
−
+
++
⇔
P =
r
R
ZZr
R
U
CL

2
)(
22
2
+
−+
+
.P trên R max khi : R+
R
ZZr
CL
22
)(
−+
min ( do 2r = const)
Tương tự, áp dụng BĐT Cauhy ta được dấu đẳng thức xảy ra khi:
222
)( rZZR
CL
+−=
.
Khi đó ta được giá trị công suất trên R cực đại là:
)(2
max
2
rR
U
P
+
=

Ví dụ 1: Cho mạch điện gồm biến trở R , cuộn dây có điện trở r = 30 Ω và độ tự cảm L =
π
4,1
H ghép nối tiếp với
tụ điện C =
π
4
10
−
F . Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều
).100cos(2100 tu
π
=
(V). Tìm giá trị
của biến trở R để công suất trên đoạn mạch là cực đại và giá trị P max ?
Giải
- Ta có : Z
L
= 140 Ω , Z
C
= 100 Ω , U = 200 V
- Biểu thức tính công suất trên biến trở R là :
2
RIP =
=
22
2
)()(
.

CL
ZZrR
RU
−++
. Vì L,C, U đều không đổi mà chỉ có
R thay đổi . Biến đổi công thức như đã chứng minh . Ta được :
- P trên biến trở R max khi :
222
)( rZZR
CL
+−=

⇒
503040)(
2222
=+=+−=
rZZR
CL
Ω .
- Giá trị của công suất cực đại là :
)(2
max
2
rR
U
P
+
=
=
5,62

)3050(2
100
2
=
+
W.
5. Tìm R thay đổi để P trên R max khi mạch RL có cuộn dây có điện trở r: Cho mạch RL nối tiếp, R thay đổi
,cuộn dây có điện trở r và L, ω = const
- Biểu thức công suất trên R:
2
RIP =
=
2
2
2
)(
.
L
ZrR
RU
++
=
R
RrZrR
U
L
2
2
22
2

+++
=
r
R
Zr
R
U
L
2
2
2
2
+
+
+
Vì U& 2r = const nên P trên R max khi : (R+
R
Zr
L
22
+
) min . Tương tự, áp dụng Cauhy ta được biểu thức min
khi :
222
rZR
L
+=
. Khi đó ta được giá trị công suất trên R cực đại là:
)(2
max

2
rR
U
P
+
=
Ví dụ: Cho mạch điện xoay chiều gồm cuộn dây có điện trở r =15 Ω và độ tự cảm L =
π
5
1
H nối tiếp với biến trở
R. Đặt vào hai đầu của đoạn mạch một điện áp: u = 80.cos100π.t (V). Khi dịch chuyển biến trở đến giá trị R
0
thì
công suất trên biến trở cực đại. Tìm R
0
và giá trị P max.
Giải
Ta có : r = 15 Ω , Z
L
=
π
π
100.
5
1
= 20 Ω , U = 40
2
V
-Chú ý: đề yêu cầu tìm P trên R cực đại phải phân biệt với công suất trên toàn mạch gồm ( r+R).

mailto: BKĐN 12A VINH XUÂN
Bài toán gồm R biến thiên nối tiếp với cuộn dây có r. Khi đó từ công thức đã chứng minh, ta được:
P trên R max khi và chỉ khi :
222
rZR
L
+=

⇔
Ω=+=
.251520
22
R
-Giá trị công suất cực đại trên R là :
)(2
max
2
rR
U
P
+
=
=
)1525(2
)240(
2
+
= 40 W

6. Tìm giá trị R
1
, R
2
để công suất trên mạch đạt giá trị P < P max.
Cho mạch RLC nối tiếp, R thay đổi và L, C, ω = const. Tại giá trị R
1
và

R
2
thì công suất tiêu thụ trên mạch như nhau
(biết P < P max).
-Từ biểu thức tính công suất: P = R.
22
2
)(
CL
ZZR
U
−+
⇔
0.)(
222
=−−+
RUZZPPR
CL

⇔

0)(.
2
2
2
=−+−
CL
ZZR
P
U
R
Nhận xét: thực chất đây là biến dạng của bài toán dạng 2 và phương trình trên là phương trình bậc 2 của R . Nếu lấy
nghiệm x = -b/ 2a = R thì cũng suy ra Pmax khi R biến thiên.R =
P
U
2
2
⇒
P
max
=
R
U
2
2
.Do đó, với P < Pmax thì xẽ
có 2 nghiêm R thoả mãn là nghiệm của phương trình trên.
Ví dụ 1: Mạch điện gồm R, L, C nối tiếp trong đó cuộn dây thuần cảm L =
π
2
H, tụ điện có điện dung C =

F
π
4
10
−
và R biến thiên. Đặt vào hai đầu mạch một điện áp xoay chiều:
).100cos(.200 tu
π
=
(V) thì công suất
toàn mạch là 80 W tại hai giá trị R
1
, R
2
. Tìm R
1
, R
2
.
Giải
Ta có : U = 100 ,Z
L
=
π
2
.100π =200 Ω , Z
C
=
C.
1

ω
=100Ω
Dễ thấy, công suất trên mạch đạt được tại hai giá trị R khi R thay đổi , suy ra P< P max.( Vì P max chỉ tại một giá trị
R khi R thay đổi là: R=
CL
ZZ
−
).
Nên ta có R
1
, R
2
là nghiệm của phương trình :
0)(.
2
2
2
=−+−
CL
ZZR
P
U
R
⇔
0)100200(.
80
)2100(
2
2
2

=−+−
RR
⇔
R = 200 Ω hoặc R = 50 Ω.
LOẠI II: KHẢO SÁT CỰC TRỊ U
L
, U
C
.
1. Tìm C để U
C
max:
Cho mạch RLC nối tiếp, C thay đổi và L, R, ω = const.
-Biểu thức hiệu điện thế hai đầu tụ: U
C
=
C
ZI.
22
)(
.
CL
C
ZZR
ZU
−+
=
2
222
2

C
CLCL
Z
ZZZZR
U
−++
=
⇔
U
C
1
2
2
22
+−
+
=
C
L
C
L
Z
Z
Z
ZR
U

Y
U
=

. Với Y =
1
2
2
22
+−
+
C
L
C
L
Z
Z
Z
ZR
. Đặt X =
C
Z
1
⇒
Y=
12).(
222
+−+
XZXZR
LL
. Để U
C
max thì Y phải đạt giái trị min.
Chú ý rằng Y là hàm bậc hai theo ẩn Z

C
và có hệ số a =
( )
0
22
>+
L
ZR
.Do đó để Y min
⇒
).(2
.2
2
22
L
L
ZR
Z
a
b
X
+
=
−
=
⇔
L
L
C
Z

ZR
Z
22
+
=
hay
)(
22
L
L
ZR
Z
C
+
=
ω
.
Thay Z
C
max vào U
C
ta rút ra được giá trị U
C
max là :
22
.
.
LMAXC
ZR
R

U
U
+=
.