Quan hệ giữa tập nghiệm của đa thức và tập nghiệm của đa thức đạo hàm

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
CAO DUY HÙNG
QUAN HỆ GIỮA TẬP NGHIỆM
CỦA ĐA THỨC VÀ
TẬP NGHIỆM CỦA ĐA THỨC
ĐẠO HÀM
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2013
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
CAO DUY HÙNG
QUAN HỆ GIỮA TẬP NGHIỆM
CỦA ĐA THỨC VÀ
TẬP NGHIỆM CỦA ĐA THỨC
ĐẠO HÀM
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 0102
Giáo viên hướng dẫn:
PGS. TS. TẠ DUY PHƯỢNG
THÁI NGUYÊN, 2013
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm-
Đại học Thái Nguyên. Qua đây tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô
giáo Khoa Toán, Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo nhà trường đã trang bị
kiến thức cơ bản và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong quá trình học tập
và nghiên cứu.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS. TS. Tạ Duy Phượng,
người đã tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi có thêm nhiều kiến
thức, khả năng nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn.

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp
đã động viên, giúp đỡ tôi quá trình học tập của mình.
Do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi
những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô
và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
i
Mục lục
Mở đầu 1
1 Giới thiệu giả thuyết Sendov 3
1.1 Phát biểu giả thuyết Sendov . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Định lý Gaus-Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Giả thuyết Sendov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Tổng quan về giả thuyết Sendov . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 Lịch sử giả thuyết Sendov . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2 Các giả thuyết liên quan đến giả thuyết Sendov . . . 15
2 Một số giả thuyết trong hình học đa thức liên quan đến
giả thuyết Sendov 17
2.1 Các khái niệm cơ bản và các giả thuyết liên quan đến giả
thuyết Sendov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Các giả thuyết mở rộng hoặc liên quan đến giả thuyết
Sendov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Các kết quả của giả thuyết Sendov trong hình học đa thức . 24
2.2.1 Độ lệch giữa các tập hợp khi biết một nghiệm đặc
biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.2 Đánh giá độ lệch của A (P ) với A

P
(s)


. . . . . . . 28
2.3 Một số trường hợp khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.1 Chứng minh giả thuyết Sendov cho các đa thức có
bậc 3 và 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.2 Chứng minh giả thuyết Sendov cho tất cả các đa
thức với số nghiệm không lớn hơn 4 . . . . . . . . . 39
2.3.3 Chứng minh giả thuyết Sendov cho đa thức bậc n ≤ 5 41
Kết luận 43
ii
Tài liệu tham khảo 45
iii
MỞ ĐẦU
Ta đã biết Định lí Gauss-Lucas về quan hệ giữa nghiệm của đa thức và
đa thức đạo hàm sau đây.
Định lí Gauss-Lucas: Giả sử P (z) là một đa thức với các hệ số phức.
Khi ấy mọi nghiệm của đa thức đạo hàm P

(z) đều nằm trong bao lồi của
tập các điểm nghiệm của đa thức.
Không hạn chế tổng quát, có thể coi tất cả các nghiệm của đa thức P (z)
nằm trong hình tròn đơn vị đóng D (0, 1). Khi ấy theo Định lí Gauss-Lucas,
mọi nghiệm của đa thức đạo hàm P

(z) cũng nằm trong hình tròn đóng
D (0, 1). Do vậy, khoảng cách lớn nhất giữa một điểm nghiệm của đa thức
và một điểm nghiệm của đa thức đạo hàm không vượt quá 2.
Năm 1958, nhà toán học Bugaria Blagovest Sendov đã phát biểu giả
thuyết sau.
Giả thuyết Sendov: Giả sử tất cả các nghiệm z

i
, i = 1, , n của đa
thức P (z) nằm bên trong hình tròn đơn vị đóng D (0, 1) trong mặt phẳng
phức. Khi ấy mỗi hình tròn đóng có bán kính bằng 1, tâm tại điểm nghiệm
z
i
đều chứa một điểm nghiệm của đa thức đạo hàm.
Giả thuyết Sendov được sự quan tâm của rất nhiều nhà toán học trên
thế giới. Sau 50 năm, đã có hơn 100 bài báo viết về giả thuyết này xem [2].
Năm 1999, giả thuyết Sendov đã được J. E. Brown và học trò của Ông, G.
Xiang chứng minh cho các đa thức bậc không vượt quá 8. Cho đến nay, kỉ
lục này vẫn được giữ.
Nhằm chứng minh giả thuyết Sendov, nhiều nhà toán học đã sử dụng
nhiều công cụ và kĩ thuật chứng minh khác nhau. Nhiều giả thuyết mới
liên quan đến giả thuyết Sendov được phát biểu.
Hình học của đa thức tỏ ra khá hữu hiệu trong cố gắng chứng minh
1
giả thuyết Sendov. Thực chất của giả thuyết Sendov là đánh giá khoảng
cách Hausdorff giữa tập nghiệm của đa thức và tập nghiệm của đa thức
đạo hàm. Nói cách khác, giả thuyết Sendov được chứng minh nếu khoảng
cách Hausdorff giữa tập nghiệm của đa thức và tập nghiệm của đa thức
đạo hàm không vượt quá 1.
Ngoài ra, nhờ sử dụng khoảng cách Hausdorff giữa các tập hợp, ta có
thể mở rộng giả thuyết Sendov khi xét khoảng cách Hausdorff giữa các tập
khác nhau, thí dụ, khoảng cách Hausdorff giữa tập nghiệm của đa thức
và tập nghiệm của đa thức đạo hàm bậc k, hoặc khoảng cách giữa bao lồi
của tập nghiệm đa thức và bao lồi của tập nghiệm đa thức đạo hàm.
Theo chúng tôi, đây là một giả thuyết thú vị, có quan hệ mật thiết giữa
toán sơ cấp và toán cao cấp. Vì vậy tôi chọn đề tài này làm đề tài luận
văn cao học.

Luận văn gồm hai Chương. Chương 1 giới thiệu tổng quan về lịch sử
Giả thuyết Sendov và các kết quả đạt được trong nghiên cứu giả thuyết
này. Chương 2 trình bày cách tiếp cận hình học của đa thức trong nghiên
cứu giả thuyết Sendov, chủ yếu dựa theo tài liệu [27] và [22]. Nhiều giả
thuyết mới cũng được trình bày.
Luận văn cũng trình bày các chứng minh giả thuyết Sendov cho các đa
thức bậc thấp (bậc không vượt quá 5). Mặc dù còn sơ lược và chưa đầy
đủ, chúng tôi hy vọng luận văn trình bày được những nội dung cơ bản của
giả thuyết Sendov và thu hút sự quan tâm đến giả thuyết này.
Thái Nguyên, ngày 10 tháng 04 năm 2013
Người thực hiện
Cao Duy Hùng
2
Chương 1
Giới thiệu giả thuyết Sendov
1.1 Phát biểu giả thuyết Sendov
1.1.1 Định lý Gaus-Lucas
Ta đã biết Định lý Rolle quen thuộc và quan trọng sau đây
Định lý 1.1. (Rolle, 1691) Giả sử f : R → R là hàm số khả vi trên đoạn
[a; b] ⊂ R và f (a) = f (b). Khi ấy tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao
cho f

(c) = 0.
Từ định lý Rolle ta có hệ quả sau.
Hệ quả 1.1. Cho đa thức P (x) = a
0
x
n
+ a
1

x
n−1
+ + a
n−1
x + a
n
có tất
cả m nghiệm thực x
1
< x
2
< < x
m
. Khi ấy đa thức đạo hàm
P

(x) = na
n
x
n−1
+ (n − 1) a
n−1
x
n−2
+ + 2a
2
x + a
1
có không ít hơn m −1 nghiệm thực, trong đó u
1

< u
2
< < u
m−1
sao cho
x
1
< u
1
< x
2
< u
2
< x
3
< u
3
< < x
m−1
< u
m−1
< x
m
.
Chú ý 1.1. Trong số các nghiệm thực x
i
có thể có các nghiệm bội tức là
đồ thị hàm số y = P (x) cắt hoặc tiếp xúc với trục hoành tại một số điểm
x
j

, j ∈ {1, , m}
Hình 1.1. Minh họa cho Hệ quả 1.1
3
Hình 1.1:
Ta thấy rằng, khoảng cách nhỏ nhất từ nghiệm u
i
, i = 1, , m −1 của
đa thức đạo hàm P

(x) để hai nghiệm gần nó nhất của đa thức P (x) bao
giờ cũng nhỏ hơn một nửa khoảng cách giữa hai nghiệm ấy, tức là
min {u
i
− x
i
; x
i+1
− u
i
} ≤
x
i+1
− x
i
2
, i = 1, m − 1.
Coi khoảng cách lớn nhất giữa hai nghiệm liên tiếp của đa thức không
vượt quá 2, thì giữa hai nghiệm liên tiếp luôn tồn tại ít nhất một nghiệm
của đạo hàm có khoảng cách tới ít nhất một nghiệm của đa thức không
vượt quá 1.

Nhận xét 1.1. Điều kiện số nghiệm m ≥ 2 của đa thức P (x) là quan
trọng.
Ví dụ, đa thức
P (x) = (x + 2)

x
2
+ 1

= x
3
+ 2x
2
+ x + 2
có duy nhất một nghiệm thức x = −2 nhưng đa thức đạo hàm
P

(x) = 3x
2
+ 4x + 1 = (x + 1) (3x + 1)
có hai nghiệm x
1
= −1 và x
2
= −
1
3
không trùng với (không nằm trong
khoảng) x = −2.
Hình 1.2. Minh họa cho Nhận xét 1.1

4
Hình 1.2:
Nhận xét 1.2. Đạo hàm P

(x) có thể có nhiều hơn một nghiệm trong
khoảng hai nghiệm của P (x).
Ví dụ, đa thức
P (x) =

x
2
− 9

x
2
+ 1

= x
4
− 8x
2
− 9
có hai nghiệm x
1,2
= ±3 , nhưng đa thức đạo hàm
P

(x) = 4x
3
− 16x = 4x


x
2
− 4

có ba nghiệm x
1
= 0 và x
2
= −2 và x
3
= 2 trong khoảng (−3; 3)
Hình 1.3. Minh họa cho Nhận xét 1.2
Hình 1.3:
5
Nhận xét 1.3. Định lý Rolle chỉ đúng khi f (x) xác định trên tập số thực,
nhận giá trị thực và không còn đúng trong trường số phức.
Ví dụ, hàm số
f (z) = e
iπz
− 1 = (cosπz + isinπz) − 1
có hai nghiệm z = 0 và z = 2, nhưng đạo hàm của nó
f

(z) = iπe
iπz
không có nghiệm, do đó cũng không có nghiệm trong khoảng (0; 2).
Tuy nhiên, ta vẫn có thể đặt câu hỏi sau đây.
Từ Hệ quả 1.1 ta đã thấy: Giữa hai nghiệm thực phân biệt của đa thức
với hệ số thực của biến số thực bao giờ cũng có ít nhất một nghiệm của

đạo hàm.
Câu hỏi đặt ra là: Nếu ta xét tất cả các nghiệm phức thì kết quả trên
được mở rộng như thế nào?
Năm 1836, Gauss đã nhận xét rằng, mọi nghiệm của đa thức đạo hàm
P

(x) có thể được coi như là điểm cân bằng của một trường lực được tạo
ra bởi các hạt đồng chất đặt tại mỗi điểm nghiệm z
i
của đa thức (k hạt
nếu z
i
là nghiệm bội k), nếu mỗi hạt sinh ra một lực hút tỉ lệ nghịch với
khoảng cách các hạt.
Chính vì lẽ đó, nghiệm ξ
j
của đa thức đạo hàm P

(z) = 0 thường được
gọi là điểm cân bằng, điểm tới hạn hoặc điểm dừng P (z) = 0.
Từ nhận xét trên của Gauss, năm 1874, F. Lucas, một kỹ sư người Pháp
đã phát biểu và chứng minh Định lý 1.2 dưới đây, sau này được gọi là định
lý Gauss - Lucas.
Định lý 1.2. (Gauss - Lucas) Giả sử P (x) là một đa thức với các hệ số
phức. Nếu mọi nghiệm của đa thức P (x) nằm trong nửa mặt phẳng phức
đóng thì mọi nghiệm của đa thức đạo hàm P

(x) cũng nằm trong nửa mặt
phẳng đóng ấy.
Dưới đây chúng tôi trình bầy chứng minh định lý Gauss - Lucas theo

B. Gadner năm 2011 (với các giải thích tỉ mỉ hơn).
6
Ta biết rằng, phương trình tham số của đường thẳng trên mặt phẳng đi
qua điểm a (a
1
; a
2
) với véc tơ chỉ phương
−→
b (b
1
; b
2
) có dạng

x = a
1
+ b
1
t;
y = a
2
+ b
2
t.
(1.1)
ta có thể biểu diễn đường thẳng dưới dạng Ax + By+C = 0 như sau:
Nhân phương trình đầu với b
2
và phương trình sau với (−b

1
) và cộng lại,
ta được
b
2
x − b
1
y = a
1
b
2
− a
2
b
1
hay b
2
x − b
1
y −a
1
b
2
+ a
2
b
1
= 0 (1.2)
Đồng nhất véc tơ z = (x ; y) trong R
2

với số phức z = x + yi, phương
trình (1.2) có thể viết dưới dạng:
Im

z − a
b

= 0. (1.3)
Hình 1.4. Minh họa cho định lý 1.2
Hình 1.4:
Thật vậy, ta có
z − a
b
=
(x + iy) − (a
1
+ a
2
i)
b
1
+ b
2
i
=
((x + iy) − (a
1
+ a
2
i)) (b

1
− b
2
i)
b
1
2
+ b
2
2
7
=
(b
1
x + b
2
y −a
1
b
1
− a
2
b
2
) − i (b
2
x − b
1
y −a
1

b
2
+ a
2
b
1
)
b
1
2
+ b
2
2
.
Chứng tỏ
Im

z − a
b

= 0 ⇔ b
2
x − b
1
y −a
1
b
2
+ a
2

b
1
= 0.
Như vậy, có thể coi (1.3) là phương trình đường thẳng trong R
2
.
Sử dụng biểu diễn phương trình đường thẳng dưới dạng (1.3) kết hợp
với công thức tính đạo hàm của hàm logarit phức, chúng ta có thể chứng
minh dễ dàng định lý Gauss-Lucas.
Chứng minh. Theo Định lý cơ bản của đại số, đa thức P (z) có đúng n
nghiệm phức và được phân tích thành nhân tử:
P (z) = a
0
(z − z
1
) (z −z
2
) (z −z
n
) .
Vì vậy:
log P (z) = log a
0
+ log (z − z
1
) + log (z − z
2
) + + log (z − z
n
) .

Lấy đạo hàm hai vế ta được:
P

(z)
P (z)
=
1
z − z
1
+
1
z − z
2
+ +
1
z − z
n
=
n

k=1
1
z − z
k
. (1.4)
Giả sử nửa mặt phẳng đóng H chứa tất cả các nghiệm z
i
của đa thức P (z)
được mô tả bởi bất phương trình Im


z−a
b

≤ 0. Khi ấy i = 1, , n
Im

z
1
− a
b

≤ 0, Im

z
2
− a
b

≤ 0, , Im

z
n
− a
b

≤ 0.
Giả sử

z /∈ H. Khi ấy Im



z−a
b

> 0. Do đó
8
Im


z − z
k
b

= Im


z − a − z
k
+ a
b

= Im


z − a
b

−Im

z

k
− a
b

> 0.
Với một số phức bất kỳ u = α + βi ta có
1
u
=
1
α + βi
=
α − βi
(α + βi) (α − βi)
=
α
α
2
+ β
2
−
β
α
2
+ β
2
i =
u
α
2

+ β
2
,
trong đó u = α − βi là số phức liên hợp của u.
Từ công thức trên ta thấy Imu = β thì Im
1
u
= −
β
α
2
+β
2
nên Imu và Im
1
u
luôn trái dấu.
Suy ra Im


z−z
k
b

> 0 khi và chỉ khi Im

b

z−z
k


< 0.
Từ (1.4) ta suy ra
Im

bP

(

z)
P (

z)

=
n

k=1
Im

b

z − z
k

< 0.
Vì thế
P

(


z)
P (

z)
= 0 và P

(

z) = 0. Ta đã chứng minh, nếu
∼
z
/∈ H
thì P


∼
z

= 0. Vậy, nếu z là nghiệm của đa thức đạo hàm P

(z) = 0,
thì z ∈ H. Hay z nằm trong nửa mặt phẳng phức đóng chứa tất cả các
nghiệm của đa thức P (z). Định lý được chứng minh.
Hệ quả 1.2. Đa giác lồi trong mặt phẳng phức chứa tất cả các nghiệm
của đa thức P (z) cũng chứa tất cả các nghiệm của P

(z).
Thí dụ, nếu đa thức P (z) có 8 nghiệm z
1

, , z
8
được phân bố như Hình
1.5 thì đa giác lồi nhỏ nhất chứa tất cả các nghiệm của nó (bao lồi của
các nghiệm) là ngũ giác lồi có các đỉnh là z
1
, z
2
, z
3
, z
4
, z
5
. Áp dụng Định lý
Gaus-Lucas cho nửa mặt phẳng xác định bởi đường thẳng z
1
z
2
, ta khẳng
định các nghiệm của đa thức đạo hàm phải nằm trong nửa mặt phẳng
chứa ngũ giác lồi z
1
z
2
z
3
z
4
z

5
.
Lần lượt áp dụng Định lý Gaus-Lucas cho các cạnh tiếp theo, ta đi đến
kết luận: Tất cả các nghiệm ε
1
, ε
2
, ε
3
, ε
4
, ε
5
, ε
6
của đa thức đạo hàm nằm
trong đa giác lồi z
1
z
2
z
3
z
4
z
5
chứa tất cả các nghiệm của đa thức.
Hình 1.5. Minh họa cho Hệ quả 1.2
9
Hình 1.5:

Hệ quả 1.3. Một hình tròn chứa tất cả các nghiệm của đa thức P (z) cũng
chứa tất cả các nghiệm của đa thức P

(z).
Chú ý 1.2. Để tiện nghiên cứu, nếu cần thì dùng phép biến đổi tuyến
tính, chúng ta có thể giới hạn lớp các đa thức đã được chuẩn hóa đối với
vị trí các nghiệm theo định nghĩa: Tất cả các nghiệm nằm trong đĩa (hình
tròn) đơn vị đóng trong mặt phẳng phức D (0, 1) = {z ∈ C : |z| ≤ 1}. Ở
đây |z| =
√
a
2
+ b
2
là môdun của z = a + bi.
Từ hệ quả 1.3 ta có
Hệ quả 1.4. Nếu tất cả các nghiệm của đa thức P (z) nằm trong hình
tròn đơn vị đóng D (0, 1) = {z ∈ C : |z| ≤ 1} thì tất cả các nghiệm của
đa thức đạo hàm P

(z) cũng nằm trong hình tròn đơn vị đóng
D (0, 1) = {z ∈ C : |z| ≤ 1}.
Chú ý 1.3. Chúng ta chỉ nghiên cứu các đa thức có nghiệm nằm trong
hình tròn đơn vị đóng D (0, 1) = {z ∈ C : |z| ≤ 1}. Hệ quả 1.4 không còn
đúng nếu hàm được xét không phải là đa thức. Ví dụ, hàm số f (z) = ze
z
2
chỉ có nghiệm duy nhất z = 0, tức là tất cả các nghiệm của f (z) = ze
z
2

nằm trong |z| ≤ 1. Tuy nhiên, đạo hàm của nó
f

(z) = e
z
2
+
1
2
ze
z
2
=

1
2
z + 1

e
z
2
có nghiệm z = −2 và nghiệm này nằm ngoài đường tròn đơn vị |z| ≤ 1.
Ở trên ta đã lưu ý: Coi khoảng cách lớn nhất giữa hai nghiệm thực liên
tiếp của đa thức với hệ số thực không vượt quá 2, thì giữa hai nghiệm liên
10
tiếp của đa thức luôn tồn tại một nghiệm của đa thức đạo hàm có khoảng
cách tới một nghiệm của đa thức không vượt quá 1.
Xuất hiện bài toán tương tự: Đánh giá khoảng cách giữa nghiệm
(phức) của đa thức và nghiệm (phức) của đa thức đạo hàm.
Từ hệ quả 1.3 của Định lý Gauss-Lucas ta có một hệ quả đơn giản sau.

Hệ quả 1.5. Nếu tất cả các nghiệm của đa thức P (z) nằm trong hình
tròn đóng D (0, r) = {z ∈ C : |z| ≤ r} và z
1
là một nghiệm của P (z), thì
hình tròn tâm z
1
bán kính 2r chứa tất cả các nghiệm của P

(z).
Hệ quả này là hiển nhiên, vì mọi nghiệm của đa thức và mọi nghiệm
của đa thức đạo hàm đều nằm trong đĩa bán kính r. Do đó khoảng cách
giữa một nghiệm của đa thức tới tất cả các nghiệm của đạo hàm không
vượt quá đường kính của đường tròn, tức là không vượt quá 2r.
1.1.2 Giả thuyết Sendov
Năm 1958, nhà toán học người Bungaria Blagovest Sendov đã đặt ra
câu hỏi: Nếu thay 2r trong Hệ quả 1.5 bằng r thì khẳng định trên còn
đúng không? Và ông đã đi đến giả thuyết (sau này mang tên Sendov) dưới
đây.
Giả thuyết Sendov được phát biểu một cách khá đơn giản như sau
Giả thuyết 1.1. (Giả thuyết Sendov) Giả sử mọi nghiệm của đa thức
P
n
(z) = a
0
z
n
+ a
1
z
n−1

+ + a
n−1
z + a
n
nằm trong đĩa đơn vị đóng
D (0, 1) = {z ∈ C : |z| ≤ 1}. Khi ấy nếu z
1
là một nghiệm của P (z) thì
tồn tại một nghiệm ξ của P

(z) nằm trong đĩa đơn vị tâm z
1
, tức là
ξ ∈ D (z
1
, 1) = {z ∈ C : |z − z
1
| ≤ 1}.
Giả thuyết Sendov nói rằng: Giao (miền thấu kính) của hình tròn đơn
vị đóng D (0, 1) tâm ở gốc tọa độ và hình tròn bán kính đơn vị D (z
1
, 1)
tâm ở điểm nghiệm z
1
của đa thức phải chứa ít nhất một điểm là nghiệm
của P

(z).
Hình 1.6. Minh họa cho Giả thuyết 1.1
11

Hình 1.6:
Nhận xét 1.4. Thấy rằng, đa thức P (z) = z
n
− 1 có tất cả n nghiệm
phức nằm trên đường tròn đơn vị đóng D (0, 1), và đa thức P

(z) = nz
n−1
có duy nhất một nghiệm z = 0 bội n −1, tức là khoảng cách từ một điểm
nghiệm bất kỳ của đa thức đến một nghiệm bất kỳ của đa thức đạo hàm
đều bằng 1. Vì vậy không thể thay bán kính r = 1 bởi số bé hơn.
Giả thuyết Sendov cũng có thể phát biểu dưới dạng sau.
Giả thuyết 1.2. (Giả thuyết Sendov) Giả sử mọi nghiệm z
1
, , z
n
của đa
thức P
n
(z) = a
0
z
n
+ a
1
z
n−1
+ + a
n−1
z + a

n
nằm trong đĩa đơn vị đóng
D (0, 1) = {z ∈ C : |z| ≤ 1}. Khi ấy mỗi đĩa đóng D (z
1
, 1) , , D (z
n
, 1)
đều chứa ít nhất một nghiệm của P

(z).
Vì theo định lý Gauss-Lucas, mọi nghiệm của đa thức đạo hàm đều
nằm trong đĩa đơn vị đóng D (0, 1) nên Giả thuyết Sendov 1.2 nói rằng,
trong mỗi miền thấu kính D (0, 1)∩D (z
k
, 1) , k = 1, , n đều chứa ít nhất
một nghiệm của đa thức đạo hàm.
Hình 1.7. Minh họa cho Giả thuyết 1.1 (lấy từ www.theoremoftheday.org).
12
Hình 1.7:
1.2 Tổng quan về giả thuyết Sendov
1.2.1 Lịch sử giả thuyết Sendov
Tác giả của giả thuyết Sendov, nhà toán học Bungaria Balagovest
Sendov đã viết trong [28]: Năm 1958, để ý đến đại lượng 2r trong hệ
quả của Định lý Gaus-Lucas (Hệ quả 1.5), Ông đã đặt câu hỏi: Điều gì
sẽ xẩy ra nếu thay 2r bằng r? Câu hỏi này dẫn Ông đến phát biểu một
giả thuyết, mà Ông tin nó là đúng. Năm 1959, Bl. Sendov đã đề xuất giả
thuyết này với N. Obreshkhov (là thầy hướng dẫn khoa học của ông). Tuy
nhiên, có lẽ Giáo sư Obreshkhov đã không để ý, vì vậy Giáo sư Obreshkhov
không nhắc đến giả thuyết này trong cuốn sách của mình in năm 1963 sau
đó.

Một thời gian dài giả thuyết Sendov không được biết đến, mặc dù 1962,
Bl. Sendov đã thông báo giả thuyết này cho một số đồng nghiệp. Giáo
sư M. Marden, một chuyên gia về Hình học đa thức, đã viết trong [19]
như sau: Giả thuyết 1.1 xứng đáng được mang tên nhà toán học Bungaria
Balagovest Sendov. Ông đã giới thiệu cho tôi, và cả những người khác,
về giả thuyết này năm 1962 tại Hội nghị toán học Quốc tế tổ chức tại
Stockholm.
Tại Hội nghị Quốc tế về Lý thuyết hàm giải tích, Erevan, 6-13 tháng 9,
1965, nhà toán học Bungaria L. Ilieff đã phát biểu (không chính thức) Giả
thuyết 1.1 và đề cập đến tên Giáo sư Balagovest Sendov như là tác giả của
13
giả thuyết này. Trong cuốn sách của mình in năm 1967, W. K. Hayman
đã gọi Giả thuyết Sendov gọi là Giả thuyết Ilieff. Vì vậy, cả chục năm sau
đó, Giả thuyết Sendov đã được biết đến rộng rãi như là Giả thuyết Ilieff.
Giả thuyết Sendov hiển nhiên đúng cho đa thức bậc hai. Thật vậy, vì
tam thức bậc hai P (z) = z
2
+ bz + c có hai nghiệm z
1,2
=
−b±
√
b
2
−4c
2
và
đa thức đạo hàm P

(z) = 2z + b có duy nhất nghiệm là ξ =

−b
2
=
z
1
+z
2
2
.
Suy ra nếu |z
1,2
| ≤ 1 thì
|z
1
− z
2
| = |z
2
− z
1
| ≤ 2
và
|ξ − z
1
| =




z

1
+ z
2
2
− z
1




=




z
2
− z
1
2




≤
1
2
.2 = 1.
Vậy giả thuyết Sendov đúng với n = 2.
Sau khi Giả thuyết Sendov (dưới tên Giả thuyết Ilieff) được giới thiệu

trong cuốn sách của W. K. Hayman (1967), hàng loạt các tác giả đã chứng
minh giả thuyết này cho các đa thức bậc thấp.
D. A. Brannan [5] là người đầu tiên chứng minh Giả thuyết Sendov
cho trường hợp n = 3 vào năm 1968. Cũng năm đó, Z. Rubintein [24] đã
chứng minh giả thuyết này cho 3 ≤ n ≤ 4. Năm 1969, A. Joyal [15] và G.
Schmeisser đã nhận được kết quả mạnh hơn cho trường hợp 3 ≤ n ≤ 4.
Một số tác giả khác cũng tham gia chứng minh giả thuyết Sendov, cho
n = 3: B. Saff và J. B. Twomey, 1971 [27], G. L. Cohen và G. H. Smith,
1988 [9]; J. Borcea, 1996, [3]: P. G. Todorov, 1996, [30] và cho trường hợp
n = 4: G. L. Cohen và G. H. Smith, [10]. Như một hệ quả đơn giản, thường
hợp 3 ≤ n ≤ 4 được suy ra từ một Định lý của Bl. Sendov trong [28].
Năm 1969, A. Meir và A. Sharma [20] đã chứng minh Giả thuyết Sendov
cho trường hợp n ≤ 5. Năm 1971, Gacs [11] đã mở rộng kết quả mạnh hơn
của G. Schmeisser cho trường hợp n ≤ 5. Trường hợp n ≤ 5 cũng được
chứng minh bởi S. Kumar và B. G. Shenoy năm 1992 [18] và J. Borcea,
1996 [16].
Hơn 20 năm sau khi trường hợp n = 5 được chứng minh năm 1996, J.
Brown mới cho một số tiến bộ đáng kể trong chứng minh trường hợp n ≤ 6
vào các năm 1988 và 1991 (xem [8,14]). Năm 1992, Katsoprinakis trong
[16] đã trình bày chứng minh Giả thuyết Sendov cho trường hợp n = 6.
14
Tuy nhiên, chứng minh của Ông đã sử dụng một bổ đề phát biểu thiếu
chính xác. Vì vậy chứng minh của Katsoprinakis trong [16] là chưa hoàn
chỉnh. Năm 1996, Borcea [27] đã cho một chứng minh giả thuyết Sendov
cho trường hợp n = 6. Cùng năm đó, Katsoprinakis trong [17] cũng đã cho
một chứng minh chính xác nhờ sửa lại chứng minh cũ.
Trường hợp n = 7 đã được J. Borcea [4] chứng minh năm 1996 và J.
Brown [7] chứng minh năm 1997.
Năm 1999, J. Brown và học trò của Ông, G. Xiang đã chứng minh cho
trường hợp n = 8. Bl. Sendov đã viết trong [27]: Chứng minh của J. Brown

và G. Xiang rất công phu. Nó dựa trên đánh giá trên và đánh giá dưới
của tích các giá trị tuyệt đối của các điểm nghiệm của đạo hàm. Phương
pháp của J. Brown và G. Xiang cho n = 8 có lẽ có thể mở rộng cho n = 9
nhưng đây là một công việc gian nan.
Mặc dù sau đó một số tác giả công bố là đã chứng minh được giả thuyết
Sendov (xem, thí dụ, [26]), nhưng các chứng minh này không được công
nhận (xem, thí dụ, [6]). Do đó, kỷ lục J. Brown và G. Xiang chứng minh
giả thuyết Sendov cho n = 8 năm 1999 vẫn được giữ cho đến nay (2013).
1.2.2 Các giả thuyết liên quan đến giả thuyết Sendov
Phelps và Rodriguez [23] đã chỉ ra rằng, khi 2 ≤ n ≤ 8, có thể thay các
đĩa đơn vị đóng
¯
D (z
k
, 1) trong Giả thuyết Sendov 1.2 bằng các đĩa đơn vị
mở tâm z
k
, D (z
k
, 1) = {z: |z − z
k
| < 1}, k = 1, 2, , n. Ta có
Định lý 1.3. (Phelps-Rodriguez, [25]) Giả sử mọi nghiệm z
1
, , z
n
của đa
thức P (z) = (z − z
1
) (z −z

n
) với 2 ≤ n ≤ 8 nằm trong đĩa đơn vị đóng
¯
D (0, 1) = {z: |z| ≤ 1}. Khi ấy mỗi đĩa đơn vị mở D (z
1
, 1) , , D (z
n
, 1)
đều chứa một nghiệm của P

(z) , ngoại trừ P (z) = z
n
− c với |c| = 1.
Gacs [11] đã chỉ ra rằng, khi 2 ≤ n ≤ 5, mỗi đĩa đơn vị đóng
¯
D (z
k
, 1)
trong Giả thuyết Sendov 1.2 có thể thay bằng các đĩa mở tâm z
k
lớn nhất
chứa trong miền thấu kính D (0, 1) ∩ D (z
k
, 1) . Ta có
Định lý 1.4. (Gacs, [14]) Giả sử mọi nghiệm z
1
, , z
n
của đa thức
P (z) = (z −z

1
) (z −z
n
) với 2 ≤ n ≤ 5 nằm trong đĩa đơn vị đóng
15
¯
D (0, 1) = {z: |z| ≤ 1}. Khi ấy với mỗi k, k = 1, 2, , n, đĩa mở
D

z
k
2
, 1 −
z
k
2

đều chứa một nghiệm của đa thức đạo hàm, ngoại trừ trường
hợp tất cả các nghiệm của đa thức đạo hàm nằm trên miền biên của chúng.
Năm 1969, G. Goodman, Q. I. Rahman và J. Ratti [12], độc lập với G.
Schmeisser [25] đã phát biểu Giả thuyết sau đây.
Giả thuyết 1.3. Giả sử mọi nghiệm của đa thức P (z) bậc n ≥ 2 nằm
trong đĩa đơn vị đóng D (0, 1) = {z : |z| ≤ 1} và z
1
là một nghiệm của đa
thức P (z) , khi ấy đĩa D

z
1
2

, 1 −
|z
1
|
2

chứa tối thiểu một nghiệm của đa
thức đạo hàm.
Giả thuyết 1.1 suy ra từ Giả thuyết 1.3 vì đĩa D

z
1
2
, 1 −
|z
1
|
2

⊆ D (z
1
, 1) .
Thật vậy,
z ∈ D

z
1
2
, 1 −
|z

1
|
2

⇔



z −
z
1
2



≤ 1 −
|z
1
|
2
.
Từ bất đẳng thức trên suy ra
|z − z
1
| ≤




z −

z
1
2

−
z
1
2



≤



z −
z
1
2



+
|z
1
|
2
≤

1 −

|z
1
|
2

+
|z
1
|
2
= 1.
Giả thuyết 1.3 đã được chứng minh bởi G. Gacs [11] cho 2 ≤ n ≤ 5. Sử
dụng máy tính, M. J. Miller [21] đã xây dựng các phản ví dụ với các đa
thức bậc 6, 8, 10 và 12. S. Kumar và B. G. Shenoy đã xây dựng các phản
ví dụ cho các đa thức bậc 7, 9, 11. Xác suất lớn là Giả thuyết 1.3 không
đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 6. Mặt khác, S. Kumar và B. G. Shenoy
[18] cũng đã chứng minh rằng, Giả thuyết 1.3 đúng cho đa thức bậc n bất
kì khi các số m nghiệm phân biệt thỏa mãn một số hạn chế. Thí dụ, Giả
thuyết 1.3 đúng với n ≤ 5 và mọi n ≥ k với số nghiệm k = 6 và n ≥ 7;
cho k = 7 và n = 9; cho k = 8 và n = 11. Hơn nữa, Jarnicka và Vernon
độc lập nhau đã chỉ ra rằng, Giả thuyết 1.3 luôn đúng cho các nghiệm z
k
đủ gần gốc tọa độ.
16
Chương 2
Một số giả thuyết trong hình học
đa thức liên quan đến giả thuyết
Sendov
Một cách tiếp cận Giả thuyết Sendov được nhiều tác giả tập trung
nghiên cứu trong những năm gần đây là nghiên cứu Hình học Hausdorff

của đa thức.
Ý tưởng cơ bản ở đây là xét khoảng cách Hausdorff (độ lệch) giữa hai
tập hợp, tìm đa thức cực trị (đa thức đạt khoảng cách nhỏ nhất) và chứng
minh giả thuyết Sendov cho đa thức cực trị. Dưới đây trình bầy tổng quan
về hướng nghiên cứu này.
2.1 Các khái niệm cơ bản và các giả thuyết liên
quan đến giả thuyết Sendov
Sau đây là một số định nghĩa, định lý cơ bản của hình học đa thức.
2.1.1 Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 2.1. (Đĩa đóng, mở)
1) Đĩa đóng tâm a bán kính r là hình tròn đóng tâm a bán kính r, tức là
tập
D (a, r) = {x ∈ C : |x −a| ≤ r}.
17
2) Đĩa mở tâm a bán kính r là hình tròn mở tâm a bán kính r, tức là tập
D (a, r) = {x ∈ C : |x −a| < r}.
Định nghĩa 2.2. (Độ lệch giữa hai tập hợp) Cho A và B là hai tập đóng
bị chặn trong mặt phẳng phức C. Chúng ta sẽ sử dụng các khái niệm sau:
1) ρ (b; A) = inf {|b − a| : a ∈ A} là khoảng cách từ điểm b đến tập A,
2) ρ (B; A) = sup {ρ (b; A) : b ∈ B} là độ lệch của B so với A
Bổ đề 2.1. Nếu A, B, V là các tập bị chặn trong C và B ⊂ V , khi đó
ρ (A; B) ≥ ρ (A; V ) và ρ (B; A) ≤ ρ (V ; A) .
Chứng minh. Vì B ⊂ V , từ định nghĩa ta có
ρ (a; B) = inf {|a − b| : b ∈ B} ≥ inf {|a − v| : v ∈ V } = ρ (a; V )
⇒ sup {ρ (a; B) : a ∈ A} ≥ sup {ρ (a; V ) : a ∈ A}
⇒ ρ (A; B) ≥ ρ (A; V ) .
Tương tự với B ⊂ V ta có
ρ (V ; A) = sup {ρ (v; A) : v ∈ V } ≥ sup {ρ (b; A) : b ∈ B} = ρ (B; A),
với B ⊂ V .
Nói chung ρ (A; B) = ρ (B; A).

Thí dụ, cho A = [0, 1] × {0} và B = {0} × [1, 2]. Ta có
ρ (A; B) = ρ (B; A) .
Chứng minh. Thật vậy với:
b = (0, y) ∈ B, a = (x, 0) ∈ A
ta có
|b − a| =

x
2
+ y
2
≥ y, ∀x ∈ [0, 1]
⇒ ρ (b, A) = inf


x
2
+ y
2
, x ∈ [0, 1]

= min


x
2
+ y
2
, x ∈ [0, 1]


= y
18
⇒ ρ (B, A) = sup {ρ (b, A) , b ∈ B} = 2
Tương tự
|a − b| =

x
2
+ y
2
≥
√
x
2
+ 1, ∀y ∈ [1, 2]
⇒ ρ (a, B) = inf


x
2
+ y
2
, y ∈ [1, 2]

= min


x
2
+ y

2
, y ∈ [1, 2]

=
√
x
2
+ 1
⇒ ρ (A, B) = sup {ρ (a, B) , a ∈ A} =
√
2
vậy ρ (A; B) = ρ (B; A)
Vì vậy ta có khái niệm khoảng cách Hausdorff ρ (A, B) giữa hai tập A
và B như sau:
h (A; B) = max {ρ (A; B) , ρ (B; A)}.
Định nghĩa 2.3. Với mỗi đa thức P (z) ta có các ký hiệu sau:
1) A (P ) là tập tất cả các nghiệm của đa thức P (z).
2) A (P

) là tất cả các nghiệm của đa thức P

(z).
3) H (P ) = H (A (P)) là bao lồi của A (P ).
4) D (P ) = D (A (P )) = D (c (P) , r (P)) là đĩa nhỏ nhất chứa A (P ), (đĩa
nhỏ nhất tâm c (P ), bán kính r (P ) chứa tất cả các nghiệm của P (z)).
5) P
n
là tập tất cả các đa thức dạng P (z) = (z −z
1
) (z −z

2
) (z −z
n
),
n ≥ 2 và đĩa nhỏ nhất chứa tất cả các nghiệm z
1
, z
2
, , z
n
của P (z) là đĩa
đơn vị đóng D (0, 1) = {z : |z| ≤ 1}.
Dưới đây chúng ta liệt kê một số kết quả cơ bản trong hình học đa thức,
cần thiết như sau.
Định lý 2.1. Cho z
1
và z
2
là hai nghiệm khác nhau của đa thức P (z) và
l là đường trung trực của đoạn thẳng nối z
1
với z
2
. Khi đó trong mỗi nửa
mặt phẳng đóng xác định bởi l thì có ít nhất một nghiệm của P

(z).
Tính chất của đường trung trực được xét đến lần đầu tiên bởi G. Szeg¨o
[29]
19

Bổ đề 2.2. Nếu P ∈ P
n
, thì
1) Trên đường tròn đơn vị D (0, 1) = {z; |z| = 1} có ít nhất hai nghiệm của
P .
2) Trên mỗi cung tròn của đường tròn đơn vị D (0, 1) = {z; |z| = 1} với độ
dài là π có ít nhất một nghiệm của P.
Định nghĩa 2.4. Các đa thức
P (z) =
n

k=0

n
k

a
k
z
k
và Q (z) =
n

k=0

n
k

b
k

z
k
được gọi là liên hợp (apolar) nếu
n

k=0
(−1)
k

n
k

a
k
b
n−k
= 0, (2.1)
trong đó

n
k

= C
k
n
=
n!
k!(n−k)!
.
Phương trình (2.1) gọi là điều kiện liên hợp.

Với mỗi đa thức P (z) có thể có nhiều đa thức liên hợp
Định lý 2.2. (Grace, 1902) Cho P (z) và Q (z) là hai đa thức liên hợp,
thì miền tròn có chứa tất cả các nghiệm của P (z) hoặc Q (z) chứa ít nhất
một nghiệm của đa thức liên hợp với nó.
Miền tròn ở đây được hiểu là đĩa đóng (hình tròn đóng) hoặc nửa mặt
phẳng đóng.
Bổ đề 2.3. Nếu P (z) = a
0
z
n
+ a
1
z
n−1
+ + a
n
và a
0
= 0 thì P (z) có
ít nhất một nghiệm nằm trong đĩa D (0, r), trong đó r = |a
n
/a
0
|
1/n
.
Chứng minh. Đa thức Q (z) = a
0
z
n

− (−1)
n
a
n
là liên hợp của đa thức
P (z). Thật vậy, theo định nghĩa
P (z) = C
0
n
a

0
z
n
+ C
1
n
a

1
z
n−1
+ + C
n
n
a

n
với a


i
=
a
i
C
i
n
, i = 0, 1, , n đặc biệt

a

0
=
a
0
C
0
n
= a
0
, a

n
=
a
n
C
n
n
= a

n

.
Tương tự
Q (z) = C
0
n
b

0
z
n
+ C
1
n
b

1
z
n−1
+ + C
n
n
b

n
20