Về điều kiện tối ưu cấp cao luận án thạc sĩ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
Đặng Thị Khuyên
VỀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CAO
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2013
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
Đặng Thị Khuyên
VỀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CAO
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU
Thái Nguyên - Năm 2013
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết
quả nghiên cứu nêu trong Luận văn này là hoàn toàn trung thực, chưa
từng được công bố trong bất kỳ một công trình của tác giả nào khác.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2013
Tác giả
Đặng Thị Khuyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy PGS.TS

Đỗ Văn Lưu, thầy đã trực tiếp hướng dẫn tận tình và động viên tôi trong
suốt thời gian học tập nghiên cứu vừa qua.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau đại học, Ban
chủ nhiệm Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên
cùng các quý thầy giáo, cô giáo đã trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Toán
K19, các bạn học viên đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tôi
trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân
luôn khuyến khích động viên tôi trong suốt quá trình học cao học và
viết luận văn này.
Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu
sót và hạn chế. Tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý
thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2013
Tác giả
Đặng Thị Khuyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
i
Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO CỰC TIỂU ĐỊA
PHƯƠNG CHẶT CẤP CAO 4
1.1. Các định nghĩa và khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Điều kiện cần tối ưu cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3. Điều kiện đủ tối ưu cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CAO CHO NGHIỆM HỮU
HIỆU CHẶT CẤP CAO CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA
MỤC TIÊU LỒI 20

2.1. Các kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2. Phân hoạch tập chỉ số của hàm mục tiêu . . . . . . . . . 22
2.3. Tiêu chuẩn tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4. Tiêu chuẩn điểm yên ngựa . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Lý thuyết các điều kiện tối ưu nói chung và các điều kiện tối ưu cấp
cao nói riêng là các bộ phận quan trọng của lý thuyết các bài toán tối ưu.
Khái niệm cực tiểu chặt cấp cao đã được M. R. Hestenes nghiên cứu từ
năm 1966 trong [5] và sau đó phát triển bởi L. Cromme, A. Auslender,
M. Studniarski, B. Jiménez, V. Novo,
Mới đây, B. Jiménez và V. Novo ([7], 2008) đã thiết lập các điều kiện
tối ưu cấp cao cho cực tiểu địa phương chặt cấp cao của bài toán tối ưu
không trơn với ràng buộc nón và ràng buộc tập dưới ngôn ngữ các đạo
hàm Studniarski trên và dưới. A. Gupta, A. Mehra và D. Bhatia ([3],
2011) đã thiết lập các điều kiện cần và đủ tối ưu cấp cao cho nghiệm
hữu hiệu địa phương chặt cấp m của bài toán tối ưu đa mục tiêu lồi với
ràng buộc bất đẳng thức bằng cách phân hoạch tập chỉ số của hàm mục
tiêu, lập các bài toán con và thiết lập mối quan hệ của nghiệm hữu hiệu
địa phương chặt cấp m của bài toán gốc với nghiệm của một trong các
bài toán con.
Lý thuyết các điều kiện tối ưu cấp cao đã và đang được nhiều tác giả
quan tâm nghiên cứu. Chính vì thế tôi chọn đề tài: "Về điều kiện tối ưu
cấp cao". Đây là đề tài có tính thời sự.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn này là trình bày các điều kiện cần
và các điều kiện đủ tối ưu cấp cao cho cực tiểu địa phương chặt cấp cao,
bao gồm: các điều kiện tối ưu cấp cao của B. Jiménez và V. Novo [7]
cho bài toán tối ưu đơn mục tiêu với ràng buộc nón và ràng buộc tập,
và các điều kiện tối ưu cấp cao của A. Gupta, A. Mehra và D. Bhatia
[3] cho bài toán tối ưu đa mục tiêu lồi với ràng buộc bất đẳng thức.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:
- Đọc, dịch tài liệu từ hai bài báo tiếng Anh của B. Jiménez - V. Novo
và A. Gupta - A. Mehra - D. Bhatia.
- Sử dụng các kết quả của hai bài báo đó để viết luận văn.
3. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng công cụ giải tích hàm, giải tích lồi và các kiến thức của lý
thuyết tối ưu.
4. Bố cục luận văn
Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục
các tài liệu tham khảo.
Chương 1. Điều kiện cần và đủ cho cực tiểu địa phương chặt cấp cao
Trình bày các điều kiện cần tối ưu cấp cao của Jiménez - Novo [7]
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
cho cực tiểu địa phương chặt cấp cao của bài toán tối ưu với ràng buộc
nón và ràng buộc tập dưới ngôn ngữ đạo hàm Studniarski trên và dưới.
Chương 1 cũng trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp cao dưới ngôn ngữ
đạo hàm Studniarski trong trường hợp hữu hạn chiều.
Chương 2. Điều kiện tối ưu cấp cao cho nghiệm hữu hiệu chặt cấp
cao của bài toán tối ưu đa mục tiêu lồi.
Trình bày các kết quả của Gupta - Mehra - Bhatia [3] về điều kiện

tối ưu cấp cao cho nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cấp cao của bài
toán tối ưu đa mục tiêu lồi có ràng buộc bất đẳng thức bằng cách phân
hoạch tập chỉ số của hàm mục tiêu, lập các bài toán con và thiết lập mối
quan hệ của nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cấp m của bài toán gốc
với một trong các bài toán con, các tính chất đặc trưng điểm yên ngựa
cho nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cũng được trình bày trong chương
này.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
Chương 1
ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO
CỰC TIỂU ĐỊA PHƯƠNG CHẶT
CẤP CAO
Chương 1 trình bày các điều kiện cần tối ưu cấp cao cho cực tiểu địa
phương chặt cấp cao của bài toán tối ưu với ràng buộc nón và ràng buộc
tập dưới ngôn ngữ đạo hàm Studniarski trên và dưới. Các điều kiện đủ
tối ưu cấp cao dưới ngôn ngữ đạo hàm Studniarski dưới trong trường
hợp hữu hạn chiều cũng được trình bày trong chương này. Các kết quả
được trình bày trong chương này là của B. Jiménez và V. Novo [7].
1.1. Các định nghĩa và khái niệm
Giả sử X là không gian định chuẩn, f : X → R và M ⊂ X. Xét bài
toán tối ưu
min {f(x) : x ∈ M}.
Ta nhắc lại khái niệm cơ bản sau:
Điểm x
0
∈ M gọi là điểm cực tiểu địa phương của f trên M nếu tồn
tại lân cận U của x
0
sao cho f(x)  f(x

0
), ∀x ∈ U ∩ M. Nếu bất đẳng
thức này chặt với ∀x = x
0
(x ∈ U ∩ M) thì x
0
được gọi là cực tiểu địa
phương chặt.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
Định nghĩa 1.1. Điểm x
0
∈ M được gọi là cực tiểu địa phương chặt cấp
k (k  1, k là số nguyên), kí hiệu x
0
∈ Strl(k, f, M) nếu tồn tại α > 0
và lân cận U của x
0
sao cho
f (x) > f (x
0
) + αx −x
0

k
, ∀x ∈ M ∩ U\{x
0
}
Khái niệm này đã được nghiên cứu bởi Hestenes [5] cho k = 1 để
chứng minh các điều kiện đủ tối ưu.

Ta nhắc lại các khái niệm cơ bản sau:
Tập K ⊆ X được gọi là tập lồi, nếu K chứa mọi đoạn thẳng đi qua
hai điểm bất kỳ của nó. Điều này có nghĩa là, K lồi khi và chỉ khi
∀x, y ∈ K, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ) y ∈ K.
Tập K ⊂ X được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu với
∀x ∈ K, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ K.
Nón K có đỉnh tại 0 được gọi là lồi nếu K là một tập lồi, tức là
∀x, y ∈ K, λ, µ > 0 ⇒ λx + µy ∈ K.
Với M là một tập con của X, ta kí hiệu intM, clM, coneM lần lượt là
phần trong của M, bao đóng của M, nón sinh bởi M và B(x
0
, ε) là hình
cầu mở có tâm tại x
0
, bán kính ε.
Định nghĩa 1.2. a) Nón tiếp liên của tập M tại x
0
∈ M là
T (M, x
0
) =

v ∈ X : ∃t
n
→ 0
+
, x
n
∈ M, x
n

→ x
0
sao cho
x
n
− x
0
t
n
→ v

;
b) Nón tiếp tuyến phần trong là
IT(M, x
0
) = {v ∈ X : ∃ε > 0 sao cho x
0
+ tu ∈ M,
∀t ∈ [0, ε], ∀u ∈ B(v, ε)}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
Định nghĩa 1.3. Giả sử f : X → R ∪ {+∞} có giá trị hữu hạn tại
x
0
∈ X và k  1 là một số nguyên. Đạo hàm dưới (trên) Studniarski
cấp k theo phương v ∈ X của f tại x
0
được định nghĩa như sau:
d
k

f(x
0
, v) = lim inf
(t,u)→
(
0
+
,v
)
f (x
0
+ tu) − f(x
0
)
t
k
(tương ứng
d
k
f(x
0
, v) = lim sup
(t,u)→
(
0
+
,v
)
f(x
0

+tu)−f(x
0
)
t
k
).
Nhận xét 1.1.
(i) Nếu k = 1, d
1
f(x
0
, v) và d
1
f(x
0
, v) được gọi là các đạo hàm
Hadamard dưới và trên, và được kí hiệu bởi df(x
0
, v) và df(x
0
, v).
(ii) Ta sẽ sử dụng đạo hàm cấp 2 sau đây:
d
2
r
f(x
0
, v) = lim inf
(t,u)→
(

0
+
,v
)
f (x
0
+ tu) − f(x
0
) − tdf(x
0
, u)
t
2
/2
.
(Trong đó: r là radian)
Định nghĩa 1.4. Hàm chỉ I
M
được xác định bởi
I
M
(x) =

0 nếu x ∈ M ,
+∞ nếu x /∈ M.
Cho hàm f : X → R ∪ {+∞}, chúng ta xét bài toán tối ưu sau:
min f(x)
g(x) ∈ −K,
x ∈ Q,
(1.1)

trong đó g : X → Y , Y là không gian định chuẩn, Q là tập con tùy ý
của X và K là nón lồi của Y, intK = ∅. Kí hiệu
G = {x ∈ X : g(x) ∈ −K}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
Khi đó, tập chấp nhận được của bài toán (1.1) là M = G ∩ Q. Bài
toán (1.1) bao gồm các bài toán tối ưu với các ràng buộc bất đẳng thức
g(x)  0 và ràng buộc đẳng thức h(x) = 0 khi lấy Y = R
m
, K = R
m
+
và Q = h
−1
(0). Không gian đối ngẫu của Y được kí hiệu là Y
∗
. Nón cực
dương của K là
K
+
= {µ ∈ Y
∗
: µ, y  0, ∀y ∈ K}
và nón cực âm của K là K
−
= −K
+
. Đạo hàm Hadamard của g tại x
0
theo phương v ∈ X là

dg (x
0
, v) = lim
(t,u)→(0
+
,v)
g (x
0
+ tu) − g (x
0
)
t
.
Bây giờ ta giả sử g là khả vi Hadamard tại x
0
, tức là dg (x
0
, v) tồn tại
với mọi v ∈ X.
Bổ đề 1.1. Giả sử f : X → R ∪ {+∞} hữu hạn tại x
0
∈ X và v ∈ X.
(i) Nếu k > 1 và d
f(x
0
, v) > 0 thì d
k
f (x
0
, v) = +∞.

(ii) Nếu v /∈ T (Q, x
0
) thì d
k
(f + I
Q
) (x
0
, v) = +∞ với mọi k  1.
Chứng minh. Phần (i) xem bổ đề 3.4 của Jiménez [6]. Phần (ii) chỉ cần
sử dụng công thức T (Q, x
0
)
c
= IT (Q
c
, x
0
) và áp dụng định nghĩa, trong
đó T (Q, x
0
)
c
nghĩa là phần bù đại số của tập T (Q, x
0
).
1.2. Điều kiện cần tối ưu cấp cao
Trong mục này, chúng ta trình bày các điều kiện cần tối ưu cho bài
toán (1.1). Định lý 1.1 trình bày các điều kiện cần dưới ngôn ngữ đạo
hàm trên Studniarski. Định lý 1.2 trình bày các điều kiện cần dưới ngôn

ngữ đạo hàm dưới.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
Định lý 1.1. Cho k  1. Nếu x
0
∈ Strl (k, f, G ∩ Q) thì
d
k
f (x
0
, v) > 0 (∀v ∈ C
0
(G, x
0
) ∩ T (Q, x
0
) \{0}),
trong đó C
0
(G, x
0
) = {v ∈ X : dg (x
0
, v) ∈ int cone (−K − g (x
0
))}.
Chứng minh. Giả sử
d
k
f (x

0
, v)  0
với v nào đó thuộc C
0
(G, x
0
) ∩ T (Q, x
0
) \{0}. Khi đó, tồn tại t
n
→ 0
+
và x
n
∈ Q sao cho v
n
:=
x
n
−x
0
t
n
→ v. Không mất tính tổng quát (chọn
một dãy con nếu cần), ta có thể giả sử rằng
lim
n→∞
f (x
0
+ t

n
v
n
) − f (x
0
)
t
k
n
 0
bởi vì d
k
f (x
0
, v)  0. Do đó, với mỗi j ∈ N, ∃n
j
∈ N sao cho
f

x
0
+ t
n
j
v
n
j

− f (x
0

)
t
k
n
j
<
1
j
. (1.2)
Bởi vì
C
0
(G, x
0
) ⊂ IT (G, x
0
) , (1.3)
và v ∈ C
0
(G, x
0
) ta suy ra v ∈ IT (G, x
0
) ((1.3) sẽ được chứng minh
sau). Vì vậy, x
0
+t
n
j
v

n
j
∈ G với mọi j đủ lớn. Do đó, x
0
+t
n
j
v
n
j
∈ G∩Q.
Mặt khác, theo giả thiết tồn tại α > 0 và δ > 0 sao cho
f (x) > f(x
0
) + αx − x
0

k
, ∀x ∈ G ∩Q ∩B (x
0
, δ) \{x
0
}.
Nói riêng, với x = x
0
+ t
n
j
v
n

j
, ∀j đủ lớn, kết hợp với (1.2) ta nhận được
1
j
>
f

x
0
+ t
n
j
v
n
j

− f (x
0
)
t
k
n
j
> α


v
n
j



k
.
Lấy giới hạn khi j → ∞ ta được v = lim
j→∞


v
n
j


= 0, mâu thuẫn với
v = 0.
Bây giờ ta chứng minh bao hàm thức (1.3). Lấy v ∈ C
0
(G, x
0
) . Khi đó,
dg (x
0
, v) ∈ int cone (−K − g (x
0
)) .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
Theo mệnh đề 2.3(ii) của Jiménez và Novo [9],
int cone (−K − g (x
0
)) = IT (−K, g (x

0
)) .
Do đó,
dg (x
0
, v) ∈ IT (−K, g (x
0
))
và theo định nghĩa của IT (−K, g (x
0
)) , ∃ε > 0 sao cho
g (x
0
) + βw ∈ −K, ∀β ∈ (0, ε) , ∀w ∈ B (dg (x
0
, v) , ε) .
Theo định nghĩa dg (x
0
, v) , với ε > 0 đó, ∃δ
0
> 0 sao cho
g (x
0
+ tu) − g (x
0
)
t
∈ B (dg (x
0
, v) , ε) , ∀t ∈ (0, δ

0
) , ∀u ∈ B (v, δ
0
) .
Lấy δ = min {δ
0
, ε}, ta có
g (x
0
+ tu) = g (x
0
) + t
g (x
0
+ tu) − g (x
0
)
t
∈ −K,
∀t ∈ (0, δ) , ∀u ∈ B (v, δ) .
Điều này kéo theo v ∈ IT (G, x
0
) và ta có điều phải chứng minh.
Định lý 1.2. Lấy k  1. Nếu x
0
∈ Strl (k, f, G ∩ Q) thì
d
k
(f + I
Q

) (x
0
, v) > 0, ∀v ∈ C
0
(G, x
0
) ∩ T (Q, x
0
) \{0}.
Chứng minh. Giả sử kết luận sai, tức là ∃v ∈ C
0
(G, x
0
) , v = 0, sao cho
d
k
(f + I
Q
) (x
0
, v)  0.
Bởi vì
d
k
(f + I
Q
) (x
0
, v) = sup
δ>0

inf
t∈(0,δ), u∈B(v,δ)
(f + I
Q
) (x
0
+ tu) − f (x
0
)
t
k
 0,
ta có
inf
t∈(0,1/n), u∈B(v,1/n)
f (x
0
+ tu) + I
Q
(x
0
+ tu) − f (x
0
)
t
k
 0, ∀n ∈ N.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
Theo tính chất của cận dưới đúng, với mỗi n ∈ N, ∃t

n
∈

0,
1
n

và
v
n
∈ B

v,
1
n

sao cho
f (x
0
+ t
n
v
n
) + I
Q
(x
0
+ t
n
v

n
) − f (x
0
)
t
k
n
<
1
n
.
Từ đó ta có x
n
:= x
0
+ t
n
v
n
∈ Q, t
n
→ 0
+
và v
n
→ v. Bởi vì
v ∈ C
0
(G, x
0

) ⊂ IT (G, x
0
)
(xem (1.3)) ta có x
0
+ t
n
v
n
∈ G, ∀n đủ lớn. Ta suy ra điều phải chứng
minh như chứng minh định lý 1.1.
Nhận xét 1.2.
(1) Chú ý rằng ta có thể thay trong giả thiết C
0
(G, x
0
) bằng IT (G, x
0
)
và chứng minh vẫn đúng.
(2) Nếu Q = X ta được hệ quả 2.3(a) trong Ward [12].
(3) Nếu G = X ta được định lý 2.1(i) trong Studniarski [10].
(4) Định lý 1.2 không thay đổi nếu ta đưa vào phần kết luận ∀v ∈
C
0
(G, x
0
) \{0} (thay cho C
0
(G, x

0
) ∩ T (Q, x
0
) \{0}) vì khi v /∈
T (Q, x
0
) ta có
d
k
(f + I
Q
) (x
0
, v) = +∞
(bổ đề 1.1(ii))
(5) Định lý 1.2 áp dụng đơn giản cho tập Q được xác định bởi các đẳng
thức Q = h(S) bởi vì (f + I
Q
)(x) = f(h(y)) với h(y) = x và y ∈ S.
Bên ngoài Q, (f + I
Q
)(x) = +∞.
(6) Với k > 1, định lý 1.2 chỉ có nghĩa với những v ∈ X thỏa mãn
df (x
0
, v)  0. Thật vậy, nếu df (x
0
, v) > 0 thì d (f + I
Q
) (x

0
, v) >
0. Theo bổ đề 1.1(i) ta có
d
k
(f + I
Q
) (x
0
, v) = +∞.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
1.3. Điều kiện đủ tối ưu cấp cao
Trong mục này, chúng tôi trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp cao
cho điểm cực tiểu địa phương chặt cấp k của bài toán (1.1).
(1) Trước hết ta trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp cao dưới ngôn
ngữ đạo hàm Studniarski của f + I
Q
cho các trường hợp k > 1 và
k = 1.
(2) Ta trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp cao dưới ngôn ngữ đạo
hàm của hàm Lagrange.
Từ bây giờ, ta giả thiết rằng không gian X hữu hạn chiều và x
0
là
điểm chấp nhận được của bài toán (1.1), tức là x
0
∈ G ∩ Q. Trong mục
này, ta không cần giả sử intK = ∅. Ta ký hiệu
C (G, x

0
) = {v ∈ X : dg (x
0
, v) ∈ cl cone (−K − g (x
0
))},
C (f, x
0
) = {v ∈ X : df (x
0
, v)  0}.
Các tập này là các nón đóng.
Định lý 1.3. Cho k > 1. Nếu với mọi v ∈ C (G, x
0
) ∩ T (Q, x
0
) ∩
C (f, x
0
) \{0}, ta có
d
k
(f + I
Q
) (x
0
, v) > 0,
thì x
0
∈ Strl (k, f, G ∩ Q) .

Chứng minh. Ta sẽ áp dụng định lý 2.1(i) của Studniarski [10]. Để áp
dụng được, ta cần chứng minh
d
k
(f + I
M
) (x
0
, v) > 0, ∀v ∈ T (M, x
0
) ∩ C (f, x
0
) \{0},
trong đó M = G ∩ Q.
Bây giờ nếu v ∈ T (M, x
0
) theo giả thiết
T (M, x
0
) = T (G ∩ Q, x
0
) ⊂ C (G, x
0
) ∩ T (Q, x
0
)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
(Bổ đề 4.2 của Jiménez và Novo [8] và ta có
d

k
(f + I
Q
) (x
0
, v)  d
k
(f + I
M
) (x
0
, v) .
Trường hợp k = 1 được trình bày trong định lý dưới đây. Định lý
này được chứng minh tương tự như định lý trên, ta chỉ áp dụng định lý
2.1(ii) của Studniarski [10] thay cho định lý 2.1(i) của Studniarski [10].
Định lý 1.4. Nếu với mọi v ∈ C (G, x
0
) ∩ T (Q, x
0
) \{0}, ta có
d (f + I
Q
) (x
0
, v) > 0,
thì x
0
∈ Strl (1, f, G ∩ Q) .
Chú ý rằng định lý không bị chặt hơn nếu ta giả thiết đúng với mọi
v ∈ C (G, x

0
) \{0} bởi vì nếu v /∈ T (Q, x
0
) , ta có
d (f + I
Q
) (x
0
, v) = +∞.
Định lý 1.3 và định lý 1.4 liên quan chặt chẽ với các điều kiện cần trong
định lý 1.2. Trong các định lý này chúng ta không thể thay thế C
0
(G, x
0
)
cho C (G, x
0
). Ví dụ sau đây minh họa điều đó.
Ví dụ 1.1.
Hàm f : R
2
→ R được cho bởi f(x) = x
2
+ x
2
2
, trong đó
x = (x
1
, x

2
) ∈ R
2
, G =

x : x
2
 x
2
1

, Q = {x : x
2
 0}
và x
0
= (0, 0). Ta có
d
2
(f + I
Q
) (x
0
, v) = 0,
với v = (1, 0) ∈ C (G, x
0
) ∩ T (Q, x
0
) và x
0

∈ Strl (2, f, G ∩ Q) .
Điều kiện cần của định lý 1.2 không là điều kiện đủ. Thật vậy, ta xét
trong R
2
,
Q =

x : x
2
 x
4
1

, G = {x : g(x) := −x
2
 0}, f(x) = x
2
+ x
2
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
và x
0
= (0, 0), trong đó x = (x
1
, x
2
) ∈ R
2

. Khi đó,
d
2
(f + I
Q
) (x
0
, v) > 0, ∀v ∈ C
0
(G, x
0
),
nhưng x
0
/∈ Strl(2, f, G ∩ Q).
Bây giờ chúng ta trình bày các điều kiện đủ tối ưu với hàm Lagrange:
L
µ
(x) = f (x) + µ, g (x), (1.4)
trong đó µ ∈ Y
∗
.
Định lý 1.5. Giả sử rằng
(a) C (G, x
0
) ∩ T (Q, x
0
) ∩ kerdf (x
0
, ·) = {0},

(b) ∀v ∈ C (G, x
0
) ∩ T (Q, x
0
) \{0}, ∃µ ∈ K
+
sao cho
µ, g (x
0
) = 0 và dL
µ
(x
0
, v)  0.
Khi đó, x
0
∈ Strl (1, f, G ∩ Q) .
Chứng minh. Giả sử rằng x
0
/∈ Strl(1, f, G ∩ Q). Khi đó tồn tại dãy
α
n
> 0 và x
n
∈ G ∩Q ∩B(x
0
, α
n
)\{x
0

} sao cho
α
n
→ 0
+
và
f (x
n
) − f (x
0
)
t
n
 α
n
. (1.5)
Với t
n
= x
n
− x
0
. Chọn một dãy con (nếu cần), ta có thể giả sử rằng
v
n
:=
x
n
− x
0

t
n
→ v ∈ T (Q, x
0
) , với v = 1.
Bởi vì g khả vi Hadamard tại x
0
, và x
n
= x
0
+t
n
v
n
với t
n
→ 0
+
, v
n
→ v,
ta có:
lim
n→∞
g(x
n
) − g(x
0
)

t
n
= dg (x
0
, v) ;
Do x
n
∈ G, tức là g(x
n
) ∈ −K, suy ra
dg(x
0
, v) ∈ cl cone(−K − g(x
0
)).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
Do đó, v ∈ C(G, x
0
). Từ (1.5) ta suy ra
df (x
0
, v)  lim inf
n→∞
f (x
n
) − f (x
0
)
t

n
 0.
Do v ∈ C (G, x
0
)∩T (Q, x
0
) \{0}, từ giả thiết (a) ta suy ra df (x
0
, v) < 0.
Sử dụng giả thiết (b) suy ra
∃µ ∈ K
+
: µ, g (x
0
) = 0 và dL
µ
(x
0
, v)  0.
Từ định nghĩa của L
µ
(1.4) ta suy ra
dL
µ
(x
0
, u) = df (x
0
, u) + µ, dg (x
0

, u), ∀u ∈ X. (1.6)
Bởi vì
dg (x
0
, v) ∈ cl cone (−K − g (x
0
))
và
µ ∈ (−K − g (x
0
))
−
= [cl cone (−K − g (x
0
))]
−
=

µ ∈ K
+
: µ, g (x
0
) = 0

,
ta suy ra
µ, dg (x
0
, v)  0.
Hơn nữa, do d

f (x
0
, v) < 0, từ (1.6) với u = v ta suy ra dL
µ
(x
0
, v) < 0
và dẫn đến mâu thuẫn.
Định lý 1.6. Cho k > 1. Nếu với mọi v ∈ C (G, x
0
) ∩ T (Q, x
0
) ∩
C (f, x
0
) \{0}, ∃µ ∈ K
+
sao cho
µ, g (x
0
) = 0 và d
k
L
µ
(x
0
, v) > 0,
thì x
0
∈ Strl(k, f, G ∩ Q).

Chứng minh. Giả sử x /∈ Strl(k, f, G ∩ Q). Khi đó, tồn tại dãy α
n
> 0
và x
n
∈ G ∩ Q ∩ B (x
0
, α
n
) \{x
0
} sao cho
α
n
→ 0
+
và
f (x
n
) − f (x
0
)
t
k
n
 α
n
, (1.7)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15

với t
n
= x
n
− x
0
. Cũng như chứng minh định lý 1.5, ta giả sử rằng
v
n
:=
x
n
− x
0
t
n
→ v ∈ T (Q, x
0
) ∩ C (G, x
0
) ∩ C (f, x
0
) , với v = 1.
Theo giả thiết, tồn tại hàm Lagrange L
µ
sao cho
d
k
L
µ

(x
0
, v) > 0.
Ta có f (x)  L
µ
(x) , ∀x ∈ M = G ∩ Q.
Do đó,
d
k
(f + I
M
) (x
0
, v)  d
k
(L
µ
+ I
M
) (x
0
, v)  d
k
L
µ
(x
0
, v) > 0.
Từ công thức (1.7) ta suy ra
d

k
(f + I
M
) (x
0
, v)  lim inf
n→∞
f (x
n
) − f (x
0
)
t
k
n
 lim inf
n→∞
α
n
= 0.
Điều này mâu thuẫn.
Định lý 1.7. Nếu Q là một tập lồi và
∀v ∈ C(G, x
0
) ∩ T (Q, x
0
) ∩ C(f, x
0
)\{0}, ∃µ ∈ K
+

sao cho µ, g (x
0
) = 0, và
dL
µ
(x
0
, u)  0, ∀u ∈ T (Q, x
0
) , (1.8)
d
2
r
L
µ
(x
0
, v) > 0, (1.9)
thì x
0
∈ Strl(2, f, G ∩ Q).
Chứng minh. Giả sử x
0
/∈ Strl(2, f, G ∩Q). Khi đó tồn tại dãy α
n
→ 0
+
và x
n
∈ G ∩ Q ∩ B(x

0
, α
n
)\{x
0
} sao cho
f (x
n
)  f (x
0
) + α
n
x
n
− x
0

2
,
tức là
f (x
n
) − f (x
0
)
t
2
n
 α
n

, (1.10)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
trong đó t
n
= x
n
− x
0
. Cũng như trong chứng minh định lý 1.6, ta
giả sử rằng
v
n
:=
x
n
− x
0
t
n
→ v ∈ T (Q, x
0
) ∩ C(G, x
0
) ∩ C(f, x
0
)\{0}.
Khi đó x
n
= x

0
+ t
n
v
n
. Theo giả thiết, tồn tại hàm Lagrange L
µ
thỏa
mãn (1.8), (1.9) và µ, g (x
0
) = 0. Bây giờ, theo định nghĩa của L
µ
và
do dL
µ
(x
0
, ·) là hàm thuần nhất dương, ta có
L
µ
(x
n
) − L
µ
(x
0
) − t
n
dL
µ

(x
0
, v
n
) = f (x
n
) − f (x
0
) + µ, g (x
n
)−
− dL
µ
(x
0
, x
n
− x
0
) .
(1.11)
Do x
n
∈ G, ta có
g(x
n
) ∈ −K và µ, g (x
n
)  0,
và bởi vì T (Q, x

0
) = cl cone(Q − x
0
) và x
n
∈ Q, ta suy ra
x
n
− x
0
∈ T (Q, x
0
).
Do (1.8),
dL
µ
(x
0
, x
n
− x
0
)  0.
Từ (1.11) ta suy ra
d
2
r
L
µ
(x

0
, v)  lim inf
n→∞
L
µ
(x
n
) − L
µ
(x
0
) − t
n
dL
µ
(x
0
, v
n
)
t
2
n
/2
 lim inf
n→∞
f (x
n
) − f (x
0

)
t
2
n
/2
.
Kết hợp với (1.10) ta suy ra
d
2
r
L
µ
(x
0
, v)  lim inf
n→∞
2α
n
= 0.
Điều này mâu thuẫn với (1.9).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
Chú ý rằng do tính lồi của tập Q, ta chỉ cần (Q − x
0
) ∩ B(0, δ) ⊂
T (Q, x
0
) với δ > 0 nào đó. Định lý 1.7 tổng quát hóa định lý 3.1 trong
Ward [12] khi lấy X = Q = R
n

, Y = R
m
× R
p
và K = R
m
+
× {0
p
}.
Thật vậy, nếu f và g là khả vi Fréchet tại x
0
thì
dL
µ
(x
0
, u) = ∇L
µ
(x
0
) u, ∀u ∈ R
n
,
trong đó ∇L
µ
(x
0
) là đạo hàm Fréchet của L
µ

tại x
0
. Hơn nữa, nếu
∇L
µ
(x
0
) = 0 thì d
2
r
L
µ
(x
0
, u) = d
2
L
µ
(x
0
, u) , ∀u ∈ R
n
. Khi các hàm có
trong bài toán khả vi cấp 2 Fréchet ta có ngay hệ quả sau đây khi sử
dụng
d
2
r
L
µ

(x
0
, v) = ∇
2
L
µ
(x
0
) (v, v) , ∀v ∈ X,
trong đó ∇
2
L
µ
(x
0
) là đạo hàm cấp 2 Fréchet của L
µ
tại x
0
.
Hệ quả 1.1. Giả sử Q là tập lồi và f, g là khả vi cấp 2 Fréchet tại x
0
.
Nếu
∀v ∈ C (G, x
0
)∩T (Q, x
0
)∩C (f, x
0

) \{0}, ∃µ ∈ K
+
: µ, g (x
0
) = 0,
∇L
µ
(x
0
) u  0, ∀u ∈ T (Q, x
0
) , (1.12)
∇
2
L
µ
(x
0
) (v, v) > 0, (1.13)
thì x
0
∈ Strl(2, f, G ∩ Q).
Để minh họa kết quả này ta đưa ra 2 ví dụ.
Ví dụ 1.2.
Lấy
X = Y = R
2
, K = R
+
×{0}, x = (x

1
, x
2
) ∈ R
2
, Q = {x : x
2
 0}, x
0
=
(0, 0),
f(x) =

−4x
1
− x
2
nếu x
2
 0,
−4x
1
− x
2
sin
2
(
1
x
2

) nếu x
2
< 0,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
và g(x) = (x
2
− 4x
2
1
, x
1
+ x
2
1
+ x
2
2
). Ta có
df(x
0
, v) =

−4v
1
− v
2
nếu v
2
 0,

−4v
1
nếu v
2
< 0,
C(G, x
0
) = {v : v
1
= 0, v
2
 0}, T (Q, x
0
) = Q,
C(f, x
0
) =

v : −4v
1
− v
2
 0 hoặc v
1
 0

, trong đó v = (v
1
, v
2

).
Khi đó, điều kiện (1.8) trở thành
dL
µ
(x
0
, u) = (µ
2
− 4) u
1
+ µ
1
u
2
 0, ∀u = (u
1
, u
2
) ∈ T (Q, x
0
) .
Điều kiện này thỏa mãn nếu ta chọn µ
1
= 0 và µ
2
= 4. Với
v = (0, v
2
) ∈ C (G, x
0

) ∩ T (Q, x
0
) ∩ C (f, x
0
) \{0} = {(0, v
2
) : v
2
< 0},
điều kiện (1.9) thỏa mãn với µ = (0, 4) bởi vì
d
2
r
L
µ
(x
0
, v) = d
2
r
f (x
0
, v) + µ
1
∇
2
g
1
(x
0

) (v, v) + µ
2
∇
2
g
2
(x
0
) (v, v)
= 8v
2
2
> 0
do d
2
r
f (x
0
, v) = 0. Do đó, áp dụng định lý 1.7, ta có x
0
là cực tiểu địa
phương chặt cấp 2.
Ví dụ 1.3.
Lấy
X = R
3
, Y = R, K = R
+
, x = (x
1

, x
2
, x
3
) ∈ R
3
, f(x) = 2x
2
−x
2
3
, g(x) =
x
3
− x
2
+ x
2
1
,
Q =

x : x
3
 |x
1
|
3/2

và x

0
= (0, 0, 0). Ta có
C(f, x
0
) = {v = (v
1
, v
2
, v
3
) : v
2
 0},
C(G, x
0
) = {v : −v
2
+ v
3
 0}, T(Q, x
0
) = {v : v
3
 0},
C (G, x
0
) ∩ T (Q, x
0
) ∩ C (f, x
0

) = {v : v
2
= 0, v
3
= 0},
L
µ
(x) = (2 −µ) x
2
+ µx
3
+ µx
2
1
− x
2
3
với µ  0,
∇L
µ
(x
0
) u  0, ∀u ∈ T (Q, x
0
) nếu µ = 2, và
∇
2
L
µ
(x

0
) (v, v) = 2

µv
2
1
− v
2
3

> 0,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
∀v ∈ C (G, x
0
) ∩ T (Q, x
0
) ∩ C (f, x
0
) \{0} nếu µ > 0.
Áp dụng hệ quả (1.1) ta suy ra x
0
là cực tiểu địa phương chặt cấp 2.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
Chương 2
ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CAO
CHO NGHIỆM HỮU HIỆU CHẶT
CẤP CAO CỦA BÀI TOÁN TỐI
ƯU ĐA MỤC TIÊU LỒI

Chương 2 trình bày các điều kiện tối ưu cấp cao cho nghiệm hữu hiệu
địa phương chặt cấp cao của bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi có ràng
buộc bất đẳng thức. Trước hết phân hoạch tập chỉ số của hàm mục tiêu,
rồi lập các bài toán con và mối quan hệ của nghiệm hữu hiệu địa phương
chặt cấp m của bài toán gốc với một trong các bài toán con. Trên cơ sở
đó, chúng tôi trình bày các điều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệm hữu
hiệu địa phương chặt cấp m cho bài toán gốc lồi, và các đặc trưng điểm
yên ngựa cho nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cấp m cho bài toán gốc
lồi. Các kết quả trình bày trong chương này của A. Gupta, A. Mehra và
D. Bhatia [3].
2.1. Các kết quả bổ trợ
Trong chương này chúng ta xét bài toán tối ưu đa mục tiêu:
(MOP ) min (f
1
(x), , f
p
(x))
g
j
(x)  0, j ∈ Q = {1, , q}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên