Về điều kiện tối ưu cấp cao trong tối ưu không trơn
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (925.62 KB, 59 trang )
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
----------------------------
Nguyễn Thị Xuân Mai
VỀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CAO TRONG
TỐI ƯU KHÔNG TRƠN
L
L
U
U
Ậ
Ậ
N
N
V
V
Ă
Ă
N
N
T
T
H
H
Ạ
Ạ
C
C
S
S
Ĩ
Ĩ
T
T
O
O
Á
Á
N
N
H
H
Ọ
Ọ
C
C
THÁI NGUYÊN – 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
----------------------------
Nguyễn Thị Xuân Mai
VỀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CAO TRONG
TỐI ƯU KHÔNG TRƠN
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số : 60.46.01
L
L
U
U
Ậ
Ậ
N
N
V
V
Ă
Ă
N
N
T
T
H
H
Ạ
Ạ
C
C
S
S
Ĩ
Ĩ
T
T
O
O
Á
Á
N
N
H
H
Ọ
Ọ
C
C
Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS ĐỖ VĂN LƯU
THÁI NGUYÊN – 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
MỤC LỤC
Trang
MỤC LỤC……………………………………………………………………1
MỞ ĐẦU……………………………………………………………………...2
Chƣơng I
ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU CẤP CAO CHO BÀI TOÁN TỐI ƢU ĐƠN MỤC
TIÊU KHÔNG TRƠN KHÔNG CÓ RÀNG BUỘC
1.1. Đạo hàm theo phƣơng cấp cao Ginchev và điều kiện tối ƣu cấp cao….4
1.2. Xấp xỉ đa thức và điều kiện đủ tối ƣu……………………………….. 13
1.3. Điều kiện tối ƣu cấp hai……………………………………………... 19
1.4. Cực tiểu cô lập…………………………………………………….......26
Chƣơng II
ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU CẤP CAO CHO BÀI TOÁN TỐI ƢU ĐA MỤC
TIÊU KHÔNG TRƠN CÓ RÀNG BUỘC TẬP
2.1. Các khái niệm và kết quả bổ trợ………………………………………33
2.2. Điều kiện cần cấp cao cho cực tiểu địa phƣơng yếu………………….42
2.3. Điều kiện đủ cấp cao cho cực tiểu Pareto địa phƣơng chặt…………..44
2.4. Trƣờng hợp
r
Q
…………………………………………………..48
KẾT LUẬN…………………………………………………………………55
TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………56
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
MỞ ĐẦU
Do nhu cầu của kinh tế và kỹ thuật, lý thuyết tối ƣu hoá đã phát triển
mạnh mẽ và ngày càng thu đƣợc nhiều kết quả quan trọng. Lý thuyết các điều
kiện tối ƣu là một bộ phận quan trọng của lý thuyết tối ƣu hoá. Các điều kiện
tối ƣu cấp cao đƣợc nghiên cứu bởi nhiều tác giả và dƣới nhiều ngôn ngữ đạo
hàm hoặc đạo hàm theo phƣơng khác nhau ( xem chẳng hạn [2] – [10] ).
Năm 2002, I.Ginchev [5] đƣa ra khái niệm đạo hàm theo phƣơng cấp
cao cho một hàm giá trị thực mở rộng và thiết lập các điều kiện tối ƣu cấp cao
cho bài toán tối ƣu không trơn không ràng buộc. B.Jiménez ( [6] , 2002 ) đƣa
ra khái niệm cực tiểu Pareto địa phƣơng chặt cấp m và cực tiểu Pareto địa
phƣơng chặt cho bài toán tối ƣu đa mục tiêu. Sử dụng các khái niệm cực tiểu
chặt của Jiménez [6], Đ.V.Lƣu và P.T.Kiên [7] đã dẫn các điều kiện cần và đủ
cho cực tiểu Pareto địa phƣơng chặt cấp m và cực tiểu Pareto địa phƣơng chặt
của bài toán tối ƣu đa mục tiêu không trơn với ràng buộc tập trong không gian
định chuẩn, dƣới ngôn ngữ đạo hàm theo phƣơng cấp cao của Ginchev [5].
Luận văn tập trung trình bày các điều kiện tối ƣu cấp cao dƣới ngôn
ngữ đạo hàm theo phƣơng cấp cao của I.Ginchev trên và dƣới cho bài toán tối
ƣu đơn mục tiêu không trơn không có ràng buộc và bài toán đa mục tiêu
không trơn với ràng buộc tập.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chƣơng, kết luận và danh mục các
tài liệu tham khảo.
Chƣơng I trình bày các điều kiện tối ƣu cấp cao của I.Ginchev [5] cho
bài toán tối ƣu đơn mục tiêu không trơn, không có ràng buộc trong không
gian Banach. Kết quả chỉ ra rằng với các điểm cực tiểu cô lập, điều kiện đủ
cũng là điều kiện cần, và nhƣ vậy ta nhận đƣợc một điều kiện đặc trƣng cho
cực tiểu cô lập.
Chƣơng II trình bày các nghiên cứu về các điểm cực tiểu Pareto địa
phƣơng chặt cấp m và cực tiểu Pareto địa phƣơng chặt của B.Jiménez [6] và
các điều kiện cần và đủ cho các điểm cực tiểu yếu, cực tiểu Pareto địa phƣơng
chặt cấp m và cực tiểu Pareto địa phƣơng chặt của Đ.V.Lƣu và P.T.Kiên [7]
cho bài toán tối ƣu đa mục tiêu không trơn trong không gian định chuẩn với
ràng buộc tập, dƣới ngôn ngữ đạo hàm theo phƣơng cấp cao của I.Ginchev
[5].
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS.Đỗ
Văn Lƣu, ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn, tạo mọi điều kiện giúp đỡ tôi hoàn
thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau đại
học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán – Trƣờng ĐH Sƣ phạm – ĐH Thái Nguyên
cùng các thầy giáo, cô giáo đã tham gia giảng dạy khoá học, xin chân thành
cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và các bạn cùng lớp cao học Toán K15
đã luôn quan tâm, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và làm
luận văn.
Tác giả
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
Chƣơng I
ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU CẤP CAO CHO BÀI TOÁN TỐI ƢU
ĐƠN MỤC TIÊU KHÔNG TRƠN KHÔNG CÓ RÀNG BUỘC
Năm 2002, I.Ginchev [5] đƣa ra một khái niệm đạo hàm theo phƣơng
cấp cao cho các hàm giá trị thực mở rộng xác định trên không gian Banach và
thiết lập các điều kiện tối ƣu cấp cao cho bài toán tối ƣu không trơn không có
ràng buộc. Các kết quả trình bày trong chƣơng này là của I.Ginchev [5].
1.1. ĐẠO HÀM THEO PHƢƠNG CẤP CAO GINCHEV VÀ ĐIỀU KIỆN
TỐI ƢU CẤP CAO
Giả sử E là không gian Banach thực, là tập các số thực và
{ } {+ }
. Ta sẽ đƣa vào đạo hàm theo phƣơng cấp cao cho hàm
không trơn
:fE
tại điểm
0
xE
để dẫn điều kiện tối ƣu cấp cao cho
bài toán tối ƣu :
()f x min
.
Ở đây ta xét hàm f không trơn, thậm chí f không nhất thiết liên tục.
Nhắc lại: điểm
0
xE
gọi là điểm cực tiểu địa phương của f nếu tồn tại
lân cận U của x
0
sao cho
0
( ) ( ),f x f x x U
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
Nếu bất đẳng thức này chặt với
0
xx
thì x
0
đƣợc gọi là cực tiểu địa phương
chặt.
Ký hiệu B và S tƣơng ứng là hình cầu đơn vị
:1x E x
và mặt
cầu đơn vị
:1x E x
trong E. Ta chỉ cần xét các phần tử của S thay cho
các phƣơng ( khác 0 ) trong E. Ký hiệu S là tôpô trên S. Tôpô S đƣợc dùng để
định nghĩa đạo hàm theo phƣơng của f. Ta chỉ hạn chế xét tôpô mạnh, tôpô
yếu, tôpô rời rạc và tôpô phản rời rạc ( tôpô tầm thƣờng ). Tôpô mạnh và tôpô
yếu trên S cảm sinh tƣơng ứng từ tôpô mạnh ( tôpô chuẩn ) và tôpô yếu trên
E. Mỗi tập con của S là mở đối với tôpô rời rạc, còn đối với tôpô phản rời rạc
trên S, chỉ có hai tập mở là S và tập rỗng.
Lấy u
S. Ta định nghĩa đạo hàm dưới cấp không của f tại x
0
theo
phƣơng u bởi công thức
(0) 0 0
( , ') ( 0, )
( , ) ( ')
t u u
f x u lim inf f x tu
,
trong đó
'u
S. Chú ý rằng trong giới hạn trên, ta bắt đầu với đạo hàm cấp
không để bao hàm đƣợc cả những hàm không liên tục trong lý thuyết. Đạo
hàm
(0) 0
( , )f x u
luôn tồn tại và là một phần tử của .
Với mỗi số nguyên dƣơng n và mỗi phƣơng u
S, ta thừa nhận rằng:
đạo hàm dƣới cấp n
( ) 0
( , )
n
f x u
theo phƣơng u tồn tại và là một phần tử của
khi và chỉ khi các đạo hàm
( ) 0
( , )
i
f x u
, i = 0, 1, ..., n – 1 tồn tại trong . Ta
định nghĩa đạo hàm theo phương dưới cấp n nhƣ sau :
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
1
( ) 0 0 ( ) 0
( , ') ( 0, )
0
!
( , ) ( ') ( , )
!
i
n
ni
n
t u u
i
nt
f x u lim inf f x tu f x u
ti
. (1.1)
Vì
( ) 0
( , )
i
f x u
với i = 0, ..., n – 1, chỉ có số hạng
0
( ')f x tu
trong (1.1)
có thể nhận giá trị vô hạn. Do đó biểu thức
không thể xuất hiện trong
(1.1).
Ta sẽ dùng khái niệm đã đƣa vào để dẫn điều kiện tối ƣu cấp cao. Liên
quan đến tính tối ƣu không trơn, các điều kiện cấp cao sau đây là quan trọng.
Ở đây u
S là một phƣơng cố định và n là một số dƣơng.
0
0
( , )S x u
(0) 0 0
( , ) ( )f x u f x
,
0
( , )
n
S x u
(0) 0 0 ( ) 0
( , ) ( ), ( , ) 0 ( 1,..., 1)
i
f x u f x f x u i n
và
( ) 0
( , ) 0
n
f x u
,
0
0
( , )N x u
(0) 0 0
( , ) ( )f x u f x
,
0
n
( , )N x u
Nếu
(0) 0 0
( , ) ( )f x u f x
và
( ) 0
( , ) 0 ( 1,..., 1)
i
f x u i n
thì
( ) 0
( , ) 0
n
f x u
.
Định lý 1.1( Điều kiện cần cấp cao)
Giả sử x
0
là điểm cực tiểu địa phương của hàm
:fE
. Giả sử u
S
và n = n(u) là số nguyên không âm tuỳ ý sao cho tất cả các đạo
hàm
( ) 0
( , )
i
f x u
, i = 0,..., n, tồn tại.
Khi đó tất cả các điều kiện
0
i
( , )N x u
, i = 0, ..., n đều thỏa mãn.
Chứng minh
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
Lấy
> 0 sao cho
0
( ) ( )f x f x
với
0
xx
.
Lấy u
S. Với
'u
S và
0 t
, ta có
00
( ') ( ) 0f x tu f x
.
Do đó,
(0) 0 0
( , ) ( )f x u f x
. Đây chính là điều kiện
0
0
( , )N x u
.
Mặt khác, giả sử với n = n(u), các đạo hàm
( ) 0
( , )
i
f x u
, i = 0,..., n tồn
tại,
(0) 0 0
( , ) ( )f x u f x
và
( ) 0
( , ) 0 ( 1,..., 1)
i
f x u i n
.
Khi đó,
1
0 (0) 0 ( ) 0
1
!
( ') ( , ) ( , )
!
i
n
i
n
i
nt
f x tu f x u f x u
ti
=
0 (0) 0
!
( ') ( , ) 0
n
n
f x tu f x u
t
.
Vì vậy
( ) 0
( , ) 0
n
f x u
. Đây chính là điều kiện
0
n
( , )N x u
.
Để có điều kiện đủ, ta cần có bổ đề sau đây
Bổ đề 1.1
Giả sử hàm
:fE
. Lấy
0
xE
và u
S sao cho tồn tại một số
nguyên không âm n để điều kiện
0
n
S ( , )xu
thoả mãn.
Khi đó, tồn tại số
( ) 0u
và một lân cận U = U(u)
S của u (
đối với tôpô S ) sao cho
00
( ') ( )f x tu f x
với mọi 0 < t <
()u
và
'u
U(u).
Chứng minh
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
Giả sử
0
0
( , )S x u
đúng. Lấy số
thoả mãn
(0) 0 0
( , ) ( )f x u f x
.
Từ định nghĩa của
(0) 0
( , )f x u
suy ra tồn tại
( ) 0u
và lân cận U =
U(u)
S của u sao cho
00
( ') ( )f x tu f x
với mọi 0 < t <
và
'u
U(u).
Giả sử điều kiện
0
( , )
n
S x u
thoả mãn với số dƣơng n nào đó, và số
thoả mãn
( ) 0
( , ) 0
n
f x u
.
Do
(0) 0 0 ( ) 0
( , ) ( ), ( , ) 0 ( 1,..., 1)
i
f x u f x f x u i n
, nên ta có
1
0 0 0 ( ) 0
0
1!
( ') ( ) ( ') ( , )
!!
i
n
in
n
i
nt
f x tu f x f x tu f x u t
n t i
.
Theo định nghĩa của
( ) 0
( , )
n
f x u
, với số dƣơng t đủ nhỏ và
'u
đủ gần u, ta có
00
1
( ') ( ) 0
!
n
f x tu f x t
n
.
Định lý 1.2 ( Điều kiện đủ cấp cao)
Giả sử hàm
:fE
,
0
xE
và S là compact đối với tôpô S. Giả sử
với mỗi u
S, tồn tại số nguyên không âm n = n(u) sao cho điều kiện
0
( , )
n
S x u
thoả mãn.
Khi đó, x
0
là cực tiểu địa phương chặt của hàm f.
Chứng minh
Theo bổ đề 1.1. với mỗi u
S, tồn tại số
( ) 0u
và một lân cận U
= U(u)
S của u ( đối với tôpô S ) sao cho
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
00
( ') ( )f x tu f x
với mọi 0 < t <
()u
và
'u
U(u).
Do S compact cho nên S nằm trong hợp một số hữu hạn các lân cận
U(u), tức là S
( U(u
1
)
...
U(u
s
)) với u
1
, ..., u
s
nào đó.
Đặt
0
= min (
1
()u
,...,
()
s
u
).
Khi đó,
00
( ') ( )f x tu f x
với mọi
'u
S và 0 < t <
0
.
Điều này có nghĩa là
0
( ) ( )f x f x
với mọi 0 <
0
0
xx
, và do đó
x
0
là điểm cực tiểu địa phƣơng chặt của f.
Hệ quả 1.1
Giả sử E là không gian Banach hữu hạn chiều và S là tôpô mạnh trên
S. Hàm
:fE
và đạo hàm dưới của f được xác định theo tôpô S. Giả sử
với mỗi u
S, tồn tại số nguyên không âm n = n(u) sao cho điều kiện
0
( , )
n
S x u
thoả mãn. Khi đó, x
0
là điểm cực tiểu địa phương chặt của f.
Ví dụ 1.1
Cho E là không gian Banach tùy ý. Hàm
:fE
xác định bởi
f(x) =
x
.
Hiển nhiên x
0
= 0 là điểm cực tiểu chặt của f.
Giả sử S là tôpô phản rời rạc trên S. Khi đó mặt cầu đơn vị S là
compact. Với mỗi phƣơng u
S ta có
(0)
(0, ) 0 (0)f u f
và
(1)
(0, ) 1 0fu
.
Vậy x
0
là cực tiểu địa phƣơng chặt theo điều kiện cấp một trong định lý 1.2.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
Chú ý rằng với các cách chọn tôpô S khác, chẳng hạn nếu không gian
E trong ví dụ 1.1 là vô hạn chiều và tôpô mạnh thay thế cho tôpô phản rời rạc
thì điểm x
0
= 0 không là cực tiểu bởi vì mặt cầu S không compact.
Giả sử S là tôpô rời rạc. Vì tập một điểm là mở, sự hội tụ
( , ') ( 0, )t u u
có nghĩa đơn giản là
0t
và ta nhận đƣợc đạo hàm Dini.
Tuy nhiên, đối với tôpô rời rạc, S là compact chỉ nếu S là tập hữu hạn, nghĩa
là chỉ trong trƣờng hợp một chiều. Ngoài trƣờng hợp một chiều, đạo hàm theo
phƣơng dƣới Dini không thể sử dụng đƣợc điều kiện đủ của định lý 1.2. Đạo
hàm Dini hữu ích trong điều kiện cần của định lý 1.1 bởi vì việc tính toán giới
hạn
0t
thuận tiện hơn so với giới hạn
( , ') ( 0, )t u u
.
Trong trƣờng hợp tôpô S trên S là tôpô mạnh, ta sử dụng đạo hàm theo
phƣơng dƣới Hadamard. Hệ quả 1.1 cho thấy rằng đạo hàm Hadamard là hữu
ích cho các điều kiện đủ trong không gian Banach hữu hạn chiều.
Ví dụ 1.2
Cho E = l
2
là không gian Hilbert thực gồm các dãy x = ( x
1
, ..., x
n
, ...)
trong đó
2
2
1
i
i
xx
.
Với mỗi x , đặt
12
, ,..., ,...
n
x x x x
.
Lấy c = ( c
1
, ..., c
n
, ...) là một vectơ cố định trong l
2
mà tất cả các thành
phần đều dƣơng. Trên l
2
xét hàm
1
( ) ,
ii
i
f x c x c x
,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
( ở đây < . , . > là tích vô hƣớng trên l
2
).
Hiển nhiên x
0
= 0 là điểm cực tiểu chặt của f.
Với mỗi u = ( u
1
, ..., u
n
, ...) cố định thuộc mặt cầu đơn vị S
l
2
, các
điều sau thoả mãn:
1)
(0) 0
( , ) 0f x u
đối với mọi tôpô S trên S.
2)
(1) 0
( , ) ,f x u c u
nếu S là các tôpô rời rạc, mạnh hoặc yếu trên S
và
(1) 0
( , ) 0f x u
nếu S là tôpô phản rời rạc.
Chứng minh
Lấy
1
' ( ',..., ',...)
n
u u u
S và t > 0. Ta có
0 <
0
( ')f x tu
=
,'t c u
tc
.
Từ đó suy ra
(0) 0
( , )f x u
= 0.
Để có đạo hàm dƣới cấp một, ta để ý rằng
0 (0) 0
1
( ') ( , )f x tu f x u
t
=
1
( ')f tu
t
=
,'cu
.
Do đó,
(1) 0
'
( , ) , ' 0
uu
f x u lim inf c u
.
Sự hội tụ
k
uu
theo tôpô rời rạc nghĩa là
k
u
trùng với
u
từ một lúc
nào đó trở đi. Khi đó ta có kết luận 2) cho đạo hàm Dini. Kết luận cũng nhƣ
thế cho đạo hàm Hadamard, bởi vì phép toán
xx
và tích vô hƣớng là liên
tục theo tôpô mạnh.
Sự hội tụ
k
uu
theo tôpô yếu kéo theo
,
k
uu
,uu
= 1.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
Do đó,
2
2 2 2
, , 2 , ,
k k k k k k
u u u u u u u u u u u u
= 2 – 2
,
k
uu
0.
Điều đó nghĩa là
k
uu
theo tôpô mạnh. Do vậy đạo hàm
(1) 0
( , )f x u
theo
tôpô yếu và tôpô mạnh trên S là trùng nhau.
Lấy
> 0. Do c
l
2
nên tồn tại số nguyên dƣơng k sao cho
i
ik
c
.
Nếu
'u
S mà
'
i
u
= 0 với i < k thì
,'cu
. Do đó,
(1) 0
( , )f x u
= 0, nếu S
là tôpô phản rời rạc.
Ví dụ trên đã đặt ra câu hỏi sau đây:
Với một hàm bất kỳ
:fE
có x
0
là cực tiểu chặt, có luôn tồn tại
hay không một tôpô S sao cho mặt cầu đơn vị S là compact theo tôpô S và x
0
là điểm cực tiểu chặt đƣợc nhận biết theo định lý 1.2 ( xác định các đạo hàm
của f theo S )?
Câu trả lời là phủ định ở trong mục 1.4. Kết quả khẳng định rằng nếu x
0
là điểm cực tiểu theo tôpô S nào đó thì nó cũng là điểm cực tiểu theo tôpô
phản rời rạc. Một cách chính xác hơn, ta thấy rằng định lý 1.2 chỉ đặc trƣng
cho điểm cực tiểu cô lập.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
Ví dụ 1.3
Lấy E = và
()
m
f x x
với m là số nguyên không âm nào đó và
0 <
< 1.
Hiển nhiên x
0
= 0 là điểm cực tiểu chặt.
Các đạo hàm Dini dƣới là
1)
( ) ( )
(0,1) (0, 1)
ii
ff
= 0, i = 0, ..., m .
2)
( 1) ( 1)
(0,1) (0, 1)
mm
ff
.
Do đó, x
0
= 0 là điểm cực tiểu địa phƣơng chặt cấp m + 1 theo điều kiện đủ
của định lý 1.2.
1.2. XẤP XỈ ĐA THỨC VÀ ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƢU
Trong mục này, ta mô tả đạo hàm theo phƣơng dƣới của hàm
:fE
dƣới ngôn ngữ của phép xấp xỉ đa thức địa phƣơng và dẫn các
điều kiện tối ƣu. Ký hiệu P
n
, n = 0, 1, ... là tập các đa thức một biến bậc n
hoặc nhỏ hơn.
Với hai đa thức
,
, ta viết
( ) ( ) ( )
n
t t o t
khi
0t
(1.2)
nếu với mỗi số
> 0, tồn tại
> 0 sao cho
( ) ( )
n
t t t
với 0 < t <
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
Định lý 1.3
Các đa thức
0
()
n
i
i
i
t at
và
0
()
n
i
i
i
t bt
thoả mãn
( ) ( ) ( )
n
t t o t
khi
0t
, nếu a
i
= b
i
, i = 0,...,n ( hay
), hoặc tồn tại số nguyên dương
k sao cho a
i
= b
i
, i = 0,...,k – 1, và a
k
b
k
.
Chứng minh
Giả sử
và a
i
= b
i
, i = 0,...,k – 1.
Chia hai vế bất đẳng thức (1.2) cho t
k
và qua giới hạn khi
0t
, ta
đƣợc a
k
b
k
. Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh.
Ta nói đa thức
là cận dưới bậc n của
:fE
tại x
0
theo phƣơng
u
S nếu với mỗi
> 0, tồn tại
> 0 và lân cận U = U(u) của u trong S sao
cho
0
( ) ( ')
n
t f x tu t
với 0 < t <
,
'u
U.
Tính chất này còn đƣợc viết dƣới dạng
0
( ) ( ') ( )
n
t f x tu o t
khi
( , ') ( 0, )t u u
.
Ta kí hiệu
0
( , , )
n
P f x u
là tập các đa thức
n
P
là cận dƣới của f tại x
0
theo phƣơng u.
Một đa thức
0
( , , )
n
P f x u
đƣợc gọi là cận dưới đúng của f tại x
0
theo
phƣơng u nếu
( ) ( ) ( )
n
t t o t
khi
0t
với mỗi
0
( , , )
n
P f x u
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
Định lý 1.4 ( [5] )
Đạo hàm dưới
( ) 0
( , )
n
f x u
của hàm
:fE
tồn tại và là một phần tử
của khi và chỉ khi cận dưới đúng bậc n của f tại x
0
theo phương u tồn tại
và khi đó cận này là đa thức Taylor dưới
0 ( ) 0
0
1
( , , , ) ( , )
!
n
n i i
i
T f x u t f x u t
i
.
Hàm
:fE
có đạo hàm dưới cấp n
( ) 0
( , )
n
f x u
khi và chỉ khi cận
dưới đúng bậc n – 1 tồn tại ( và nó chính là đa thức Taylor dưới
10
( , , , )
n
T f x u t
). Trong trường hợp đó ta có
, nếu
0
( , , )
n
P f x u
rỗng,
, nếu
0
( , , )
n
P f x u
khác rỗng,
nhưng f không có cận dưới đúng bậc n.
Sử dụng định lý 1.4, các điều kiện cần và đủ tối ƣu của mục 1.1 có thể
đƣợc biểu diễn dƣới ngôn ngữ của phép xấp xỉ đa thức. Ở đây, ta chỉ phát
biểu lại điều kiện đủ tối ƣu của định lý 1.2.
Định lý 1.5
Cho hàm
:fE
và
0
xE
. Giả sử S là tập compact đối với tôpô S.
Giả sử với mỗi u
S, tồn tại số nguyên không âm n = n(u) và cận dưới bậc n
0
()
n
i
i
i
t at
của f tại x
0
theo phương u thoả mãn
0
( ) , 0,
0 , 1,
i
f x i
a
i
( ) 0
( , )
n
f x u
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
và bất đẳng thức tương ứng với i = n là chặt. Khi đó, x
0
là điểm cực tiểu địa
phương chặt của f.
Chứng minh
Trƣớc hết giả sử tất cả các đạo hàm dƣới
( ) 0
( , )
i
f x u
, i = 0,...,n tồn tại
và hữu hạn. Do đó,
0
( ) ( , , , ) ( )
nn
t T f x u t o t
khi
0t
,
trong đó
0
( , , , )
nn
T T f x u t
là đa thức Taylor dƣới duy nhất cấp n.
So sánh hệ số của
và
n
T
ta thấy điều kiện
0
( , )
n
S x u
đƣợc thoả
mãn.
Giả sử
( ) 0
( , )
k
f x u
vô hạn với k nào đó. Đa thức
là một cận dƣới bậc
k – 1 và so sánh hệ số của nó với hệ số của đa thức Taylor dƣới cấp k – 1, ta
sẽ thu đƣợc điều kiện cần
0
i
( , )N x u
, i = 0,..., k – 1.
Nếu một bất đẳng thức chặt nào đó trong số các điều kiện này đúng và
m là chỉ số i đầu tiên thoả mãn tính chất này thì điều kiện này thực chất chính
là
0
( , )
m
S x u
.
Nếu không có bất đẳng thức chặt nào trong số các điều kiện này xuất
hiện thì
( ) 0
( , )
k
f x u
và
0
( , )
k
S x u
đúng.
Với mỗi trƣờng hợp đƣa ra, điều kiện đủ của định lý 1.2. đều thoả mãn.
Do đó, x
0
là điểm cực tiểu địa phƣơng chặt.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
Ví dụ 1.4
Lấy E = và
()
m
f x x
với m là số nguyên không âm nào đó và
0 <
1 ( so sánh với ví dụ 1.3.). Khi đó, đa thức
1
1
()
2
m
tt
hiển nhiên là cận dƣới bậc m + 1 của f tại x
0
= 0 theo cả hai phƣơng u = 1 và
u = – 1. Vậy
thoả mãn điều kiện đủ của định lý 1.5, do đó x
0
= 0 là điểm
cực tiểu địa phƣơng chặt của f .
Ví dụ 1.5
Cho hàm
:f
xác định nhƣ sau
f (x) =
2
1
1 sin , 0,
0 , 0.
x x khi x
x
khi x
Hiển nhiên, x
0
= 0 là điểm cực tiểu chặt nếu
> 0 ( không là cực tiểu
chặt nếu
= 0 ) và x
0
không là cực tiểu nếu
< 0.
Nếu
> 0 thì điểm cực tiểu chặt x
0
= 0 có thể tìm đƣợc bằng cách áp
dụng định lý 1.5 khi lấy phƣơng u = 1, u = – 1 và đa thức
2
1
()
2
tt
.
Trƣờng hợp
< 0, ta có x
0
không phải là điểm cực tiểu.
Tiếp theo ta chỉ ra rằng đạo hàm theo phƣơng cấp cao có thể biểu diễn
dƣới ngôn ngữ hiệu chia.
Giả sử
:fE
. Ta nhắc lại: miền hữu hiệu của hàm f là tập
: ( ) dom f x E f x
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
Lấy
0
xE
và u
0
, ..., u
n
S là các phƣơng cho trƣớc. Giả sử t
0
, ..., t
n
là
các biến thực dƣơng khác nhau và
0
' ,..., ' S
n
uu
là các biến phƣơng.
Ta định nghĩa hiệu chia cấp n
0
00
( , ' ,..., ' , ,..., )
nn
nn
f f x u u t t
nhƣ
sau:
0
0
00
0
1
( ' )
( , ' ,..., ' , ,..., )
()
n
n
ii
nn
i
n
i
f x t u
f x u u t t
t
=
0
0
0
( ' )
()
n
ii
n
i
ij
j
ji
f x t u
tt
Ở đây
1
0
( ) ( )
n
nj
j
t t t
và
1
()
n
t
là đạo hàm của
1
()
n
t
. Hơn nữa, ta đặt
0
( ) 1t
.
Ta thừa nhận rằng : hiệu chia cấp n xác định khi và chỉ khi
0
'
ii
x t u dom f
trừ ra nhiều nhất một số hạng. Nó hữu hạn khi và chỉ khi tất
cả các giá trị
0
( ' )
ii
f x t u
là hữu hạn.
Hiệu chia còn có thể đƣợc định nghĩa quy nạp nhƣ sau
0 0 0
0 0 0 0
( , ' , ) ( ' )f x u t f x t u
,
và
0
00
( , ' ,..., ' , ,..., )
n
nn
f x u u t t
=
1 0 ' ' '
0 2 0 2
( , ,..., , , ,..., , )
n
n n n n
f x u u u t t t
1 0 ' ' '
0 2 1 0 2 1
( , ,..., , , ,..., , )
n
n n n n
f x u u u t t t
1nn
tt
( Nếu
nằm trong số các giá trị của hàm f thì các chỉ số cần phải sắp xếp
lại).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
Tính chất sau đây là một trong số các tính chất chính của hiệu chia và
đƣợc sử dụng khi chứng minh biểu diễn lại đạo hàm theo phƣơng qua hiệu
chia.
0
( ')f x tu
=
1
0
00
1
( , ' ,..., ' , ' ,..., ' ) ( )
n
i
i i i
i
f x u u t t t
+
0
0 1 0 1
( , ' ,..., ' , ', ' ,..., ' , ) ( )
n
n n n
f x u u u t t t t
.
Ta giả thiết rằng
0
'
ii
x t u dom f
, i = 0, ..., n – 1 và do đó cùng lắm
thì
0
( ')f x tu
và hiệu chia cuối cùng trong vế phải có thể nhận giá trị vô hạn.
Mối quan hệ giữa đạo hàm theo phƣơng và hiệu chia đƣợc chỉ ra trong
định lý sau đây.
Định lý 1.6 ( [5] )
Đạo hàm theo phương
( ) 0
( , )
n
f x u
, n = 0, 1,..., được biểu diễn quy nạp
dưới ngôn ngữ hiệu chia cùng với dãy các số A
0
, ..., A
n
như sau
A
0
: =
00
( , ') ( 0, )
( , ', )
t u u
lim inf f x u t
=
(0) 0
( , )f x u
.
Đạo hàm
( ) 0
( , )
n
f x u
, n
1, tồn tại khi và chỉ khi các số A
0
,..., A
n-1
xác
định và hữu hạn. Khi đó,
A
n
:=
0
0 1 0 1
( , ') ( 0, )
( , ,..., , ', ,..., , )
k s s s s
nn
s
t u u
lim inf lim f x u u u t t t
=
1
!n
( ) 0
( , )
n
f x u
,
trong đó
0 1 0 1
( ,..., , ,..., )
s s s s
nn
u u t t
là dãy tuỳ ý thoả mãn ba điều kiện sau:
1)
0
s
i
t
,
s
i
uu
khi
s
, với i = 0, ..., n – 1,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
2)
0
ss
ii
x t u dom f
với i = 0, 1, ..., n – 1,
3) A
i
=
0
00
( , ,..., , ,..., )
i s s s s
ii
s
lim f x u u t t
với i = 0, 1, ..., n – 1.
1.3. ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU CẤP HAI
Đạo hàm cấp một
(1) 0
( , )f x u
của hàm
:fE
có thể biểu diễn nhƣ
sau
(1) 0
( , )f x u
=
1
0 (0) 0
1
( , ' ) ( 0, )
1
( ' ) ( , )
uu
lim inf f x tu f x u
t
. (1.3)
Để tiện cho việc khai triển đạo hàm cấp hai, ta đƣa ra ký hiệu
0
21
( , , , ' , ' , )
f
t x u u u
=
0
2
1
( ' )
1
f x tu
–
0
1
1
( ' )
(1 )
f x tu
+
(0) 0
1
( , )f x u
. (1.4)
Ta xét khai triển dƣới đây với giả thiết rằng t > 0 là cố định, u
S, đạo
hàm dƣới cấp không
(0) 0
( , )f x u
và đạo hàm dƣới cấp một
(1) 0
( , )f x u
là hữu
hạn,
''
12
, Suu
và
là số thực dƣơng thoả mãn
0'
1
x tu dom f
.
Với giả thiết
(0) 0
( , )f x u
và
(1) 0
( , )f x u
hữu hạn, ta nhận đƣợc biểu diễn
sau đây cho đạo hàm dƣới cấp hai
(2) 0
( , )f x u
:
(2) 0
( , )f x u
=
2
0 (0) 0 (1) 0
2
2
( , ' ) ( 0, )
2!
( ' ) ( , ) . ( , )
t u u
lim inf f x tu f x u t f x u
t
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
=
2
0 (0) 0
2
2
( , ' ) ( 0, )
2!
( ' ) ( , )
t u u
lim inf f x tu f x u
t
1
0 (0) 0
1
( , ' ) ( 0, )
1
( ' ) ( , )
uu
t lim inf f x tu f x u
t
=
21
0
2
2
( , ' ) ( 0, ) ( , ' ) ( 0, )
2(1 ) 1
( ' )
1
t u u u u
lim inf lim sup f x tu
t
0 (0) 0
1
11
( ' ) ( , )
(1 )
f x tu f x u
=
21
0
21
2
( , ' ) ( 0, ) ( , ' ) ( 0, )
2
( , , , ' , ' , )
f
t u u u u
lim inf lim sup t x u u u
t
. (1.5)
Trong các đẳng thức trên, sự hội tụ
1
( , ' ) ( 0, )uu
chỉ theo những
giá trị
1
( , ' )u
mà
0
1
' x tu dom f
.
Để đơn giản, ta xét trƣờng hợp hàm f liên tục tại x
0
. Khi đó ta có
(0) 0 0
( , ) ( )f x u f x
và
20
0 1 2
( , ' , ' , ' ,0, , )f x u u u t t
=
0
2
2
11
( ' )
1
f x tu
t
0 (0) 0
1
11
( ' ) ( , )
(1 )
f x tu f x u
.
Sử dụng phép biểu diễn này và định lý 1.6, ta có thể thu đƣợc sự biểu diễn
(1.5). Từ các định lý 1.1, 1.2 ta có định lý sau cho trƣờng hợp cấp hai.
Định lý 1.7 ( Điều kiện cấp hai )
Cho hàm
:fE
và
0
Ex
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22
(A) Điều kiện cần: Giả sử x
0
là điểm cực tiểu địa phương của f, u
S.
Khi đó, một trong ba điều kiện sau đây được thoả mãn:
(a
0
)
(0) 0 0
( , ) ( )f x u f x
,
(a
1
) Nếu
(0) 0 0
( , ) ( )f x u f x
thì
(1) 0
( , ) 0f x u
,
(a
2
) Nếu
(0) 0 0
( , ) ( )f x u f x
và
(1) 0
( , ) 0f x u
thì
(2) 0
( , ) 0f x u
.
(B) Điều kiện đủ:Giả sử S compact đối với tôpô S. Giả sử với mỗi u
S,
một trong ba điều kiện sau được thoả mãn:
(b
0
)
(0) 0 0
( , ) ( )f x u f x
,
(b
1
)
(0) 0 0
( , ) ( )f x u f x
và
(1) 0
( , ) 0f x u
,
(b
2
)
(0) 0 0
( , ) ( )f x u f x
,
(1) 0
( , ) 0f x u
và
(2) 0
( , ) 0f x u
.
Khi đó x
0
là điểm cực tiểu địa phương chặt của f.
Ở đây đạo hàm
(1) 0
( , )f x u
và
(2) 0
( , )f x u
được biểu diễn lần lượt bởi
(1.3) và (1.5).
Ví dụ 1.6
Lấy E =
2
và hàm
:fE
xác định bởi
2
( ) 2 ( )f x r r r sin
,
trong đó
( , )r
là toạ độ cực của x , nghĩa là x = (x
1
, x
2
) =
( , )rcos rsin
.
Hiển nhiên x
0
= (0,0) là điểm cực tiểu chặt của f(x). Ta có thể áp dụng
điều kiện đủ của định lý 1.7 để suy ra x
0
là cực tiểu.
Chứng minh
Hàm f liên tục, do đó với phƣơng bất kỳ u =
( , )cos sin
ta có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
23
(0) 0 0
( , ) ( )f x u f x
= 0.
Nếu
0sin
thì
2
( ) 2f x r r sin
,
0 r sin
,
và
(1) 0
( , ) 2f x u sin
> 0.
Trong trƣờng hợp nếu u =
( 1, 0)
ta đƣợc
(1) 0
( , ) 0f x u
và do đó
điều kiện cấp hai phải sử dụng để thiết lập tính tối ƣu của x
0
.
Xét trƣờng hợp u = (1, 0). Phƣơng đơn vị v =
( , )cos sin
với
0
đủ nhỏ gần u tuỳ ý. Các điểm tv và
tv
có toạ độ cực lần lƣợt là
( , )t
và
( , )t
. Do đó với
0 t sin
và
01
ta có
02
( ) 2f x tv t tsin
,
và
02
( ) ( ) 2f x tv t tsin
.
Do đó
0
2
1
( , , , , , ) 1
f
t x v v u
t
.
Bây giờ ta chỉ ra rằng điều kiện cấp hai trong định lý 1.7 thoả mãn. Với
u = (1, 0) , ta lấy lân cận của các vectơ đơn vị
W =
w w w 2
= ( , ):w cos sin
,
V =
v v v 1
= ( , ):v cos sin
, trong đó
12
0
.
Chọn t <
2
sin
và lấy 0 <
< 1. Nếu v
V , ta có
0
()f x tv
=
22
1
22
2 . , ( ) ,
3 2 . , 0 ( ),
vv
vv
t t sin arcsin t
t t sin arcsin t
