Giả thuyết giá trị trung bình Smale luận án thạc sĩ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (844.84 KB, 84 trang )
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN HỒNG NHUNG
GIẢ THUYẾT GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH SMALE
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số : 60 46 01 12
Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. Tạ Duy Phượng
THÁI NGUYÊN - 2013
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
- 1 -
MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU 3
Chương 1 TỔNG QUAN VỀ GIẢ THUYẾT GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH
SMALE
5
1.1 Phát biểu Giả thuyết giá trị trung bình Smale………………………… 5
1.2 Một số công thức đánh giá ……………………………………………. 9
1.3 Đa thức đã được chuẩn hóa……………………………………………. 13
1.4 Giả thuyết Smale cho các lớp đa thức đặc biệt………………………… 17
1.4.1 Đa thức với tất cả các hệ số là những số thực…………………….
17
1.4.2 Các đa thức có tất cả các không điểm là những số thực…………
19
1.4.3 Các đa thức có tất cả các điểm tới hạn là những số thực………….
20
1.4.4 Các đa thức có các điểm tới hạn nằm trên các tia…………………
21
1.4.5 Các đa thức có tất cả các không điểm có môđun bằng nhau………
30
1.4.6 Các đa thức có tất cả các điểm tới hạn có môđun bằng nhau hoặc
tất cả các giá trị tới hạn có mô đun bằng nhau………………………….
33
Chương 2 MỘT SỐ GIẢ THUYẾT MỞ RỘNG HOẶC LIÊN QUAN
ĐẾN GIẢ THUYẾT SMALE
34
2.1 Phương pháp lặp Newton, Giả thuyết Smale và động học của đa thức
34
2.1.1 Phương pháp lặp Newton………………………………………… 34
2.1.2 Bất đẳng thức Smale và tính hiệu quả của phương pháp Newton
36
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
- 2 -
2.1.3 Động học của đa thức …………………………………………….
39
2.2 Dạng mạnh của giả thuyết Smale……………………………………….
41
2.3 Bài toán đối ngẫu của Giả thuyết Smale………………………………
56
2.4 Chứng minh giả thuyết 1 cho các đa thức bậc
4
d
…….………… 60
2.5 Tổng quát Giả thuyết Smale ……………………………………….
64
2.6 Phát biểu Giả thuyết giá trị trung bình của Smale dưới dạng bài toán
cực trị ……………………………………………………………………….
70
KẾT LUẬN………………………………………………………………
78
TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………
79
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
- 3 -
LỜI NÓI ĐẦU
Khi nghiên cứu độ phức tạp tính toán và tính hiệu quả của thuật toán Newton giải
phương trình đa thức, S. Smale đã chứng minh
Bất đẳng thức Smale (Smale, 1981) Giả sử
( )
p z
là một đa thức phức bậc
2
d
với các điểm tới hạn là
, 1,2, , 1.
j
z j d
Nếu
z
không phải là điểm tới hạn của
( )
p z
thì
1, , 1
( ) ( )
min 4 ( ) .
( )
j
j d
j
p z p z
p z
z z
Từ đây ta có
Bài toán Tìm hệ số
( )
K d
nhỏ nhất (không phụ thuộc vào
p
mà chỉ phụ thuộc vào
bậc
d
của
p
) sao cho
1, , 1
( ) ( )
min ( ) ( ) .
( )
j
j d
j
p z p z
K d p z
z z
Và S. Smale đã đưa ra
Giả thuyết giá trị trung bình Smale Giả sử
( )
p z
là
một đa thức bậc
2
d
với các điểm tới hạn là
.
j
z
Nếu
z
không phải là điểm tới
hạn của
( )
p z
thì
1, , 1
( ) ( )
min ( ) ( ) ,
( )
j
j d
j
p z p z
K d p z
z z
với
( ) 1
K d
hoặc
1
( ) .
d
K d
d
Tuy đã được phát biểu cách đây hơn 30 năm, Giả thuyết giá trị trung bình Smale
mới chỉ chứng minh được cho các trường hợp
2,3,4
d
hoặc cho một số lớp đa
thức đặc biệt. Mặc dù vậy, Giả thuyết Smale đã thu hút được sự quan tâm của đông
đảo các nhà nghiên cứu, nhiều vấn đề và giả thuyết mới nảy sinh. Có thể kể đến:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
- 4 -
Mở rộng Giả thuyết Smale, Quan hệ giữa Giả thuyết Smale với động học phức và
tập Julia, Quan hệ giữa Giả thuyết Smale với các vấn đề của toán học tính toán,…
Mục đích của luận văn này là trình bày tổng quan các kết quả đã đạt được trong Giả
thuyết Smale. Luận văn gồm hai Chương.
Chương 1 phát biểu các dạng khác nhau của Giả thuyết Smale, chứng minh chi tiết
các công thức đánh giá và các định lí chứng minh Giả thuyết Smale cho các lớp đa
thức thỏa mãn một số tính chất nào đó.
Chương 2 trình bày quan hệ giữa Giả thuyết Smale với một số vấn đề khác: Giải
tích số, Động học phức và các mở rộng của Giả thuyết Smale.
Khi sắp xếp các kết quả, chúng tôi cố gắng làm rõ bức tranh Giả thuyết Smale,
chứng minh các định lí được giải mã và làm sáng tỏ hơn. Thí dụ, chứng minh Định
lí 1.11 được tách thành hai trường hợp,
3
d
và
4.
d
Nhiều tính toán trong
chứng minh được trình bày chi tiết hơn là trong các tài liệu gốc.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình và nghiêm túc của PGS TS
Tạ Duy Phượng. Xin được bày tỏ lòng biết ơn tới người Thày, đã không chỉ hướng
dẫn khoa học, mà còn động viên và khích lệ tác giả say mê học tập và nghiên cứu.
Xin bày tỏ lòng biết ơn Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, đã trang
bị cho tôi những kiến thức toán học trong thời gian học Cao học.
Xin được cám ơn Trường Trung học Phổ thông Hoàng Su Phì, Hà Giang, nơi tôi
công tác, đã tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành nhiệm vụ.
Xin được cám ơn Gia đình, bạn bè đã động viên, giúp đỡ, hi sinh và tạo điều kiện
cho tôi hoàn thành khóa học Cao học và viết Luận văn.
Thái Nguyên, tháng 06 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Hồng Nhung
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
- 5 -
Chương 1
GIẢ THUYẾT GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH SMALE
1.1 Phát biểu Giả thuyết giá trị trung bình Smale
Cho
( )
p z
là một đa thức bậc
d
với các hệ số phức. Nếu
0
( ) 0
p z
thì
0
z
được gọi
là nghiệm hoặc không điểm của
( ).
p z
Nếu
là nghiệm của đa thức đạo hàm, tức
là
( ) 0,
p
thì điểm
được gọi là điểm tới hạn hay điểm dừng của đa thức
( ).
p z
Giá trị
p
với
là điểm tới hạn được gọi là giá trị tới hạn. Đa thức bậc
nhất
( )
p z az b
với
0
a
có
( ) 0
p z a
nên
( )
p z az b
không có điểm tới
hạn. Vì vậy, từ nay về sau ta luôn giả thiết
( )
p z
là đa thức có bậc
d
với
2.
d
Giả thuyết giá trị trung bình của S. Smale xuất phát từ định lí sau.
Định lí 1.1 (Smale, 1981, [35]) Giả sử
( )
p z
là một đa thức bậc
2
d
với các điểm
tới hạn là
, 1,2, , 1.
j
z j d
Nếu
z
không phải là điểm tới hạn của
( )
p z
thì
1, , 1
( ) ( )
min 4 ( ) .
( )
j
j d
j
p z p z
p z
z z
(1.1)
Bất đẳng thức (1.1) thường được gọi là Bất đẳng thức Smale.
Bất đẳng thức (1.1) cho đánh giá của đạo hàm
( )
p z
của đa thức
( )
p z
tại điểm
z
thông qua “cát tuyến” nối hai điểm
, ( )
z p z
và
, ( )
j j
z p z
trên đồ thị của
( ).
p z
Vì vậy, theo một nghĩa nào đó, bất đẳng thức (1.1) là một phát biểu tương tự của
Định lí giá trị trung bình Lagrange. Tuy nhiên, cũng cần lưu ý là, Định lí Giá trị
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
- 6 -
trung bình Lagrange
( ) ( )
( )
f a f b
f
a b
cho đánh giá hệ số góc
( ) ( )
f a f b
a b
của
cát tuyến thông qua đạo hàm tại một điểm
,
a b
nào đó.
Từ Định lí 1.1, S. Smale đã đi đến
Bài toán 1 Tìm hệ số
( )
K d
nhỏ nhất (không phụ thuộc vào
p
mà chỉ phụ thuộc
vào bậc
d
của
p
) sao cho với mọi đa thức phức
( )
p z
có bậc
d
ta có
1, , 1
( ) ( )
min ( ) ( ) .
( )
j
j d
j
p z p z
K d p z
z z
(1.2)
Bài toán này đã được S. Smale đặt ra (1981, [35]) khi nghiên cứu độ phức tạp tính
toán và tính hiệu quả của thuật toán Newton giải gần đúng phương trình đa thức, nó
được M. Shub và S. Smale (1986, [34]) cùng nhiều tác giả khác nghiên cứu và phát
triển (xem Tài liệu tham khảo). Mặc dù không được liệt kê trong danh sách chính
thức 18 bài toán của Mathematical Problems for the Next Century, nhưng Bài toán
1 là một trong ba bài toán được S. Smale liệt kê thêm ngoài danh sách chính thức
và được S. Smale coi là “ don’t seem important enough to merit a place on our
main list, but it would still be nice to solve them.” (xem [36]).
Bài toán 1 được S. Smale phát biểu thành giả thuyết (sau này được gọi là Giả
thuyết giá trị trung bình Smale hay Giả thuyết Smale) dưới đây.
Giả thuyết 1 (Giả thuyết giá trị trung bình của Smale) Giả sử
( )
p z
là một đa thức
bậc
2
d
với các điểm tới hạn là
.
j
z
Nếu
z
không phải là điểm tới hạn của
( )
p z
thì
1, , 1
( ) ( )
min ( ) ( ) ,
( )
j
j d
j
p z p z
K d p z
z z
(1.3)
với
( ) 1
K d
hoặc thậm chí có thể
0
1
( ) : ( ).
d
K d K d
d
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
- 7 -
Nhận xét 1.1 Hằng số
0
1
( )
d
K d
d
là tốt nhất có thể.
Thật vậy, xét đa thức ( )
d
p z z z
với
2
d
và
0.
Ta có
(0) 0
p
và
1
( ) .
d
p z dz
Chọn
0,
z
ta có
(0) 0,
p
(0)p
và
1
(0) ( )
.
(0 ) (0)
d d
j j j j
j j
p p z z z z
z p z
Vì
j
z
là nghiệm của
1
( ) 0
d
p z dz
nên thay
1
d
j
dz
vào công thức trên
ta được
1 1 1
1
( ) ( ) 1
.
( ) ( )
d d d
j j j
i
d
j j
z z dz
p z p z d
z z p z dz d
Do đó để bất đẳng thức (1.3) đúng với mọi
z
và mọi đa thức
( )
p z
bậc
d
thì
1
( ) .
d
K d
d
Dấu bằng đạt được khi
0
z
cho đa thức ( )
d
p z z z
nên
0
1
( )
d
K p
d
là
cận tốt nhất có thể.
Nhận xét 1.2 Bằng phép biến đổi tuyến tính, không hạn chế tổng quát, ta chỉ cần
chứng minh bất đẳng thức (1.3) cho các đa thức
( )
p z
với
(0) 0,
p
(0) 0
p
(hoặc
thậm chí
(0) 1
p
) và chọn
0.
z
Thật vậy, với mỗi
i
mà
( ) 0,
i
p
đặt
( )
( )
( )
i i
i
p z p
g z
p
với
\ 0 .
Khi ấy ta có
( )
(0) 0
( )
i i
i
p p
g
p
và
( ) .
( ) ( )
i i
i i
p z p z
g z
p p
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
- 8 -
Suy ra
(0) 1.
g
Giả thuyết Smale có thể được phát biểu lại như sau.
Giả thuyết 1a Cho
( )
p z
là một đa thức bậc
2
d
thỏa mãn
(0) 0
p
và
(0) 0
p
. Khi đó tồn tại điểm tới hạn
của
( )
p z
để
( )
( ),
(0)
p
K d
p
trong đó
( ) 1
K d
hoặc thậm chí
1
( ) .
d
K d
d
Với Nhận xét 1.2, ta có thể phát biểu lại Giả thuyết 1 dưới dạng sau.
Giả thuyết 1b (Giả thuyết đã được chuẩn hóa–the normalized conjecture) Giả sử
p z
là một đa thức bậc
2
d
thỏa mãn
0 0
p
và
0 1.
p
Khi đó tồn tại một
điểm tới hạn
của
( )
p z
sao cho
( ).
p
K d
Giả thuyết 1 mới chỉ được chứng minh cho
2, 3, 4
d
(xem [27]). Giả thuyết 1
cũng được Marinov và Sendov (2007) minh họa bằng các tính toán cho một lượng
khá lớn các ví dụ với
10
d
trong [20].
Với
2,
d
đa thức
2
0 1 2
p z a z a z a
(
0
0
a
) thỏa mãn điều kiện
0 0
p
và
0 1
p
có dạng
2
0
.
p z a z z
Đạo hàm
0
2 1
p z a z
có duy nhất một điểm
tới hạn
0
1
.
2
a
Do đó ta có
2
0
0 0
0
1 1
1 ( ) 1 .
2 2
p
a
a a
a
Vậy Giả thuyết Smale trở thành đẳng thức cho đa thức bậc hai với
1
(2) .
2
K
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
- 9 -
Trường hợp
3
d
chứng minh không quá khó khăn, trường hợp
4
d
đã được
chứng minh bởi J C. Sikorav và được cải tiến bởi Tischler (1989, [38]) và sau này
được nhiều tác giả khác chứng minh theo nhiều cách khác nhau.
E. Crane trong bài Preprint (2004, [8]) và có lẽ cả trong luận án Tiến sĩ (2004, [7]),
đã chứng minh Giả thuyết Smale cho trường hợp
5
d
dựa trên kết quả của [9]
nhờ phương pháp số chính xác (a rigorous computational method). Tuy nhiên, cho
tới nay, sau 10 năm, hình như vẫn chưa có công bố chính thức trên tạp chí.
G. Schmieder đã trình bày chứng minh Giả thuyết Smale trong một bài báo công bố
trên arXiv:math (2003, [26]), tuy nhiên, hình như chưa có công bố trên tạp chí
chính thức và chứng minh của G. Schmieder có vẻ như không được công nhận.
Như vậy, có thể nói, cho tới nay, Giả thuyết Smale mới chỉ được chứng minh chặt
chẽ cho các trường hợp
2,3,4
d
hoặc một số lớp đa thức thỏa mãn một số tính
chất nào đó.
1.2 Một số công thức đánh giá
Vì
1
( ) 4
d
K d
d
và đánh giá
( ) 1
K d
hoặc
1
( )
d
K d
d
chưa được chứng
minh nên một trong các hướng nghiên cứu là làm giảm hệ số
( ).
K d
Beadon, Minda và Ng. (2002, [1]) đã chứng minh, có thể chọn
1 2
1
1 1
1
( ) 4 4 .
d
d d
K d
(1.4)
Hiển nhiên,
2
1
4 4
d
d
với mọi
2.
d
Với
5
d
(là trường hợp bậc nhỏ nhất mà Giả
thuyết Smale còn chưa được chứng minh), ta có
2 3
1
4
4 4 2.8284.
d
d
Giả sử
( )
p z
là đa thức bậc
2,
d
còn
, 1,2, , 1
j
z j d
là các điểm tới hạn của
( ),
p z
tức là
( ) 0.
j
p z
Để tiện trình bày, với
,
j
z z
1,2, , 1,
j d
ta kí hiệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
- 10 -
, , : ;
p z p
S p z
z p z
, ;
j
j
j
p z p z
S p z
z z p z
1, , 1
( , ): min ( , ) .
j
j d
S p z S p z
Nhận xét 1.3 Giả sử
, , ,
a b A B
là các hằng số với
0.
aA
Đặt
,
z az b
a b
và
.
p z Ap az b B
Khi ấy ta có
, , , , .
S p z S p z
Chứng minh Thật vậy, vì
( )
z
p z Ap az b Aap z
nên
, ,
( ) ( )
( ) ( )
( , , ).
( )
( )
Ap az b B Ap a b B
p z p
S p z
z b b
z p z
p z
a a
A p z p
p z p
S p z
z
z p z
Aap z
a
Tương tự như trên, nếu giả thiết
(0) 0
p
và
(0) 0
p
thì với
0,
z
ta kí hiệu
: ,0 , 0,
0
j
j j
j
p z
S S p z
z p
1,2, , 1.
j d
Giả thuyết Smale được phát biểu lại như sau.
Giả thuyết 1c Với bất kỳ đa thức
( )
p z
có bậc
2
d
và
z
mà
( ) 0,
p z
tồn
tại một số
1,2, , 1
j p
sao cho
, ( ),
j
S p z K d
trong đó
( ) 1
K d
(hoặc
thậm chí
1
( ) 1K p
d
).
Ta có
Định lí 1.2 (Beardon, Minda and T. W. Ng, 2002, [1])
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
- 11 -
1) Nếu
C
là bao lồi đóng của tất cả các giá trị tới hạn của
( )
p z
và
( )
p z C
thì
( , ) 3.079
S p z
2) Giả sử
D
là đĩa (hình tròn) đóng nhỏ nhất chứa tất cả các giá trị tới hạn
của
( )
p z
với tâm là điểm
và bán kính
.
r
Nếu
( )
p z D
thì
2
2
( ( ) ) ( )
( , ) .
( ) ( ( ) )
r p z r p z
S p z
p z p z r
Vì
2 2 2
2
( ) 2
1 1
( )
r t r t r r
t t r t r t
nên vế phải là một hàm giảm của
( )t p z
và hàm này tiến tới 1 khi
t
(khi z
).
Thí dụ, khi
( ) 5
p z r
thì
( , ) 1.5297
S p z
Như vậy, Giả thuyết Smale là đúng theo nghĩa tiệm cận
lim ( , ) 1
z
S p z
.
Conte, Fujikawa và Lakic (2007, [4]) đã chứng minh, có thể chọn
2
1
( ) 4
1
d
K d
d
1
( ), 3 .
K d d
(1.5)
Kết quả dưới đây cho đánh giá tốt hơn (1.5) khi
2 7.
d
Ta có
Định lí 1.3 (Schmeisser (2002, [25]) Nếu
( )
p z
là đa thức có bậc
2
d
sao cho
(0) 0
p
và
(0) 0,
p
thì
3
2 1
( )
min : ( ) 0 : ( ).
(0) 1
d
d
p
p K d
p d d
(1.6)
Chứng minh Vì
(0) 0
p
nên tất cả các điểm tới hạn
1 1
, ,
d
của
( )
p z
đều khác
không. Không giảm tổng quát, ta có thể giả thiết
(0) 1.
p
Ta có
1
1 1
1
( ) ( ) ( ).
d
d j
j
p z a z z a z
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
- 12 -
Vì
(0) 1
p
nên
1
1 1
(0) ( 1) 1
d
d
p a
hay
1
1 1
( 1)
.
d
d
a
Do đó
( )
p z
có dạng
1 1
1 1 1
1 1
1 1
1 1
( )
( ) ( 1) ( 1) ( 1) 1 .
d d
j
d d d
d
j j
d j j
z
z z
z
p z
Với mỗi
1,2, , 1,
k d
sử dụng phép đổi biến
k
z t
dưới dấu tích phân, ta được
1
1 1
1 1
0 0 0
( ) 1 1
: ( ) 1 1 .
(0)
k k
d d
k k
k
j i
k k k j j
p z t
S p z dz dz dt
p
Kí hiệu
0
1, , 1
min .
j j
j d
Khi ấy
0
1
2
0
2 ( 1)
( 1)( 1) .
( 1)
d
d
j
d
S t t dt
d d
Định lí 1.3 được chứng minh.
Khi
7
d
thì
2
1
3 1
2 1
( ) 4 ( ),
1
d
d
d
d
K d K d
d d
nhưng với
2 7
d
thì
3 2 1
( ) ( ) ( ).
K d K d K d
Kết hợp hai bất đẳng thức (1.5) và (1.6), Fujikawa và Sugawa (2006, [15]) đã đi
đến đánh giá
1
1
4
1 2 4
( ) 4 .
1
d
d
K d
d
(1.7)
Với
7,
d
hằng số
4
( )
K d
là tốt hơn tất cả. Cụ thể hơn, ta có:
1)
4 2 3
( ) ( ) ( )
K d K d K d
với mọi
8;
d
2)
4 3 2 1
(7) 2.48425 (7) (7) (7);
K K K K
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
- 13 -
3)
3 4 2 1
( ) ( ) ( ) ( )
K d K d K d K d
với mọi
3 6.
d
Đặc biệt,
3
( ) 1.9.
K d
Ta cũng nhận xét rằng các kết quả này là không cần thiết với
4
d
vì Giả thuyết Smale đã được chứng minh cho
4.
d
Ta có bảng đánh giá sau.
d
0
( )
1
K d
d
d
1
2
1
( )
4
d
d
K d
2
( )
1
4
1
K d
d
d
3
( )
2 1
1
d
K d
d
d d
4
1
1
( )
1 2 4
4 .
1
d
K d
d
d
2
1
0.5
2
0
4 1.0
4
1.3333
3
1
0.5
2
4
1.3333
3
3
2
0.6666
3
1
2
4 2.0
8
2.0
4
2
0.6666
3
1
2
1 4
4 1.5
4
4
3
0.75
4
2
3
4 2.5198
12
2.4
5
11
0.9166
12
1
3
1 2.4
4 1.8079
5
5
4
0.8
5
3
4
4 2.8284
8
2.6666
3
13
1.3
10
1
4
1 3.4
4 2.0809
6
6
5
0.8333
6
4
5
4 3.0314
20
2.8571
7
19
1.9
10
1
5
1 4.4
4 2.3037
7
7
6
0.8571
7
5
6
4 3.1748
24
3.0
8
20
2.8571
7
1
6
1 5.4
4 2.4843
8
Nhận xét 1.4 Trong tất cả các công thức trên, ta đều có, đánh giá trên đặt lên
( )
K d
có dạng
1
4 ( )
O
d
khi
.
d
E. Crane (2007, [9]) đã chứng minh công thức
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
- 14 -
2.263
( ) 4 .
K d
d
Như vậy, đánh giá trên của
( )
K d
có dạng
1
4 ( )
O
d
và đánh
giá này có lẽ là tốt nhất hiện nay.
1.3 Đa thức đã được chuẩn hóa (đa thức chuẩn-normalized polynomial)
Giả sử đa thức
( )
p z
bậc
2
d
có
1 2 1
, , ,
d
z z z
là các điểm tới hạn. Tương tự Nhận
xét 1.2 và Nhận xét 1.3, với
\ 0 ,
a
phép biến đổi affine
( )
( )
( )
p z aw p z
g w
ap z
cho
( ) .
( ) ( )
ap z aw p z aw
g w
ap z p z
Do đó
(0) 0
g
và
(0) 1.
g
Hơn nữa,
,
j
j
z z
w
a
1,2, , 1
j d
chính là các điểm tới hạn của đa thức
( )
g w
(do
,
j j
z aw z
nên
( ) 0
( )
j
j
p z
g w
p z
). Và ta có,
.
j j
j
j
g w p z p z
w
z z p z
Như vậy, ta có thể giả thiết
( )
p z
là đa thức thỏa mãn điều kiện
(0) 0
g
và
(0) 1.
g
Hơn nữa, ta cũng có thể giả thiết rằng
1
1, , 1 1, , 1
min min .
j
i
j d j d
z z
w w
a
Chọn
1, ,
min ( ) ( )
( )
j
j d
i
p z p z
a e
p z
với
1
arg ,
z z
thì
1
w
là một số thực dương
và
1, , 1, ,
min ( ) min ( ) ( ) 1.
i j
j d j d
g w p z p z
Suy ra
1
1
( , ) ( ,0) .
S p z S g
w
Các phân tích trên dẫn đến
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
- 15 -
Định nghĩa 1.1 Đa thức
( )
p z
bậc
2
d
với các điểm tới hạn
1 2 1
, , ,
d
z z z
được gọi là đã được chuẩn hóa nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
(0) 0;
p
(0) 1
p
và
1
1, , 1
min 0.
j
j d
z z
Theo Định lí phủ Koebe (xem, [4]), với mọi đa thức đã được chuẩn hóa, ta có
1, ,
1, ,
1
( )
1 1
min max 4.
j
j d
j d
j j
p z
z z z
Như vậy, nhờ Định lí phủ Koebe, bất đẳng thức (1.1) được chứng minh.
Kí hiệu
,
d N
là tập tất cả các đa thức bậc
2
d
đã được chuẩn hóa. Đặt
,
1
1
( ): sup .
d N
p
C d
z
Vì mọi đa thức đều có thể chuẩn hóa được nên ta có
( , ) ( ).
S p z C d
Từ đây ta có
Định lí 1.4 (Conte, Fujikawa, and Lakic, 2007, [5]) Giả sử
2
d
. Khi ấy
1
( , ) ( ) 4 .
1
d
S p z C d
d
Như vậy, Định lí 1.1 (Bất đẳng thức Smale) là hệ quả của Định lí 1.4.
Từ Định lí 1.4 ta cũng có
Hệ quả 1.1 (Conte, Fujikawa, and Lakic, 2007, [5]) Nếu đa thức
( )
p z
đã được
chuẩn hóa thỏa mãn điều kiện
(0) 0
p
thì
( ,0) 2.
S p
Hệ quả 1.2 (Conte, Fujikawa, and Lakic, 2007, [5]) Nếu tất cả các nghiệm của đa
thức
( )
p z
đã được chuẩn hóa đều nằm trong nửa mặt phẳng phải thì
4
( ,0) .
3
S p
Từ Hệ quả 1.1 ta có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
- 16 -
Định lí 1.5 (T. W. NG, 2003, [21]) Cho
( )
p z
là một đa thức bậc
2
d
sao cho
(0) 0
p
và
(0) 0.
p
Giả sử
1 2 1
, , ,
d
z z z
là các điểm tới hạn của
( )
p z
mà
1 2 1
.
d
z z z
Nếu
2 1
z z
thì
1, , 1
min 2.
0
j
j d
j
p z
z p
(1.8)
Chứng minh Định lí 1.5 có thể suy ra từ Hệ quả 1.1. Tuy nhiên dưới đây ta trình
bày thêm chứng minh trong bài báo gốc của T. W. NG.
Ta có thể giả sử
0
i
p z
với mọi
,
i
(vì nếu ngược lại thì bất đẳng thức (1.8) là
hiển nhiên). Do đó
min 0
i
i
r p z
vì chỉ có hữu hạn các giá trị tới hạn. Gọi
0,
D r
là đĩa mở có tâm
0
w
và bán kính
.
r
Khi đó
0,
D r
không chứa giá trị
tới hạn nào của
( ).
p z
Vì
(0) 0
p
và
(0) 0,
p
theo định lí hàm ngược,
1
p z
tồn tại trong một lân cận của
0
với
1
0 0
p
. Theo định lí monodromy,
1
p z
có thể được mở rộng (thác triển) thành một hàm đơn trị (a single valued function)
trên toàn miền
0, .
D r
Giả sử
:
f
0,D r
xác định bởi công thức
1
.
f z p rz
Khi đó
( )
f z
là
hàm đơn diệp và bỏ đi tất cả các
.
i
z
Điều này sẽ dẫn tới có thể đánh giá giá trị của
0 .
0
r
f
p
Ta có kết quả sau của Lavrenchev.
Hàm
( )
f z
được gọi là hàm chỉnh hình (holomorphic function) trong một miền
D
của mặt
phẳng phức nếu nó khả vi theo biến phức
z
trong miền đó.
Hàm chỉnh hình trong miền
D
của mặt phẳng phức sao cho với mọi
1 2
z z
trong
D
ta có
1 2
( ) ( )
f z f z
được gọi là hàm đơn diệp (univalent function) trong
.
D
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
- 17 -
Bổ đề 1.1 (Lavrenchev, 1984) Giả sử
0 2 .
Nếu
:
f
0,1D
là một hàm
đơn diệp mà bỏ đi tập
2
Re :1 ,
j
A i j n
n
thì
1
0 4 .
n
f R
Sử dụng Bổ đề 1.1, ta dễ dàng chứng minh được Định lí 1.5 như sau.
Vì
1 2 1
d
z z z
nên
1
min .
i
i
z z
Mặt khác, vì
2 1
z z
nên ta có thể lấy
2
n
trong Bổ đề 1.1. Ta có
1
2
1
1 1
min
0 0
4
min 2.
0 min 0 min 0 min
i
i
i
i
i i i i
i i i
p z
f f
p z
z
r
z p z zz p z p z
Định lí 1.5 đã được chứng minh.
Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng, nếu
( )
p z
là một đa thức lẻ phi tuyến với số hạng
tuyến tính khác không thì kết luận của Định lí 1.5 vẫn đúng. Ta có
Hệ quả 1.3 Giả sử
1
0 1 1
( )
d d
d
p z a z a z a z
là một đa thức lẻ
(
( ) ( )
p z p z
z
) có hệ số
1
0.
d
a
Khi ấy (1.8) là đúng.
Chứng minh Thật vậy, nếu
( )
p z
là một đa thức lẻ phi tuyến (tức là
p z p z
) thì
0 0.
p
Vì vậy
2
k
p z z q z
với một số lẻ
1
k
nào đó
và một đa thức
( )
q z
sao cho
0 0.
q
Vì hạng tử tuyến tính của
( )
p z
khác không
nên
0 0.
p
Do đó,
2
p z r z
với một đa thức thích hợp
( ).
r z
Vì vậy ta có
thể lấy
2 1
z z
và áp dụng Định lí 1.5, ta có khẳng định của Hệ quả 1.3.
1.4 Giả thuyết Smale cho lớp các đa thức đặc biệt
Vì Giả thuyết Smale chưa được chứng minh, nên một hướng nghiên cứu tự nhiên là
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
- 18 -
xét các lớp đa thức thỏa mãn điều kiện nào đó. Dưới đây trình bày các kết quả
chứng tỏ Giả thuyết Smale đúng với các điều kiện phụ (tất cả các không điểm là
những số thực, các đa thức với hệ số thực, ).
1.4.1 Đa thức với tất cả các hệ số là những số thực
Chưa có chứng minh Giả thuyết Smale ngay cả trong trường hợp
( )
p z
là đa thức
với tất cả các hệ số là những số thực. Tuy nhiên, ta cũng dễ dàng chứng minh Giả
thuyết Smale cho một lớp đa thức Cauchy đặc biệt. Ta có
Định lí 1.6 (Rahman and Schmeisser, 2002, [24], Theorem 7.2.6, Remark 7.2.10)
Cho
1
2
( )
d
k
k
k
p z a z a z
là một đa thức bậc
2,
d
trong đó
1 2
, , ,
d
a a a
là những
số thực không âm và
1
0.
d
a a
Khi ấy
( ) 1 1 1
min : ( ) 0 .
(0) 2 2
p
p
p d
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2 1
0.
d
a a
Hơn nữa,
( ) 1 1
min : ( ) 0
(0) 2
p d
p
p d
với mọi
( ),
p z
ngoại trừ
1
( ) .
d
d
p z a z a z
Chứng minh Xét
1
2
( )
d
k
k
k
p x a x a x
như là một đa thức với các hệ số thực, nhận
giá trị thực khi
x
thay đổi trên tập số thực. Xét dấu (sgn) của
( ).
p x
Ta có
1
(0) 0.
p a
Khi
x
đủ lớn thì
sgn ( ) sgn( ) 0.
n
p x a
Chứng tỏ đa thức
( )
p x
đổi dấu trên khoảng
0, ,
tức là tồn tại một số thực
0
là nghiệm của đa thức
đạo hàm. Do đó ta có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
- 19 -
1
1
2
( ) 0
d
k
k
k
p a ka
hay
1
2
1
1.
d
k
k
k
a
k
a
Từ đây ta suy ra,
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1
1 1 1
.
2 2
d d d d
k k k k
k k k k
k k k k
k a a k a a
k
a a d a d a d
Vậy
1
1
2
2
1 1
( ) 1 1 1 1 1
.
(0) 2 2 2 2
d
k
k
d
k
k k
k
a a
p a
p a a d
Kết luận đầu tiên của Định lí 1.6 được chứng minh. Các kết luận còn lại chứng
minh dễ dàng. Định lí 1.6 chứng minh xong.
1.4.2 Các đa thức có tất cả các không điểm là những số thực
Trong trường hợp các không điểm của
( )
p z
đều là những số thực, Palais đã chứng
minh bất đẳng thức (1.1) với
( ) 1
K d
(xem [34]). Tischler đã chứng minh bất đẳng
thức (1.1) với
1
( ) .
d
K d
d
Ta có
Định lí 1.7 (Tischler, 1989, [38], Proposition 1.1) Cho
( )
p z
là một đa thức bậc
2
d
thỏa mãn
(0) 0,
p
(0) 0
p
và
( )
p z
có tất cả các không điểm là các số
thực. Khi đó tồn tại một giá trị
1, , 1
j d
nào đó với
0
j
z
sao cho
( )
1
: .
(0)
j
j
j
p z
d
S
z p d
Với
d
p z z dz
thì
1
j
d
S
d
với mọi
.
j
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
- 20 -
Chứng minh Nếu cần, có thể sử dụng phép biến đổi tuyến tính, vì vậy, không hạn
chế tổng quát, ta có thể coi các đa thức được chuẩn hóa bởi
0 0
p
và bởi
0 .
1
d
p
d
Các chuẩn hóa này sẽ không thay đổi nếu
( )
p z
được thay thế bởi
.
p az
a
Bằng cách sử dụng các chuẩn hóa này, ta có thể thay thế
d
z dz
bởi đa
thức
0
.
1
d
d
p z z z
d
Có hai lí do để sử dụng các chuẩn hóa nêu trên.
Lí do thứ nhất là
0
p
có
1
d
điểm tới hạn
i
z
phân biệt mà chúng cũng là điểm cố
định, tức là
0
i i
p z z
với mọi
.
i
Chú ý rằng ta phải chuẩn hóa sao cho 0 phải là
điểm cố định nhưng không là điểm tới hạn (với bội bằng 1 vì
0 1
p
).
Kí hiệu
, 1 1
i
q i d
(có thể không phân biệt) là các điểm cố định khác 0 của đa
thức với
0 0,
p
0 .
1
d
p
d
Lí do thứ hai là với bất kì đa thức nào được chuẩn hóa như trên, thì tích của các
i
q
bằng tích của
i
z
và bằng
1
.
1
d
Do đó với bất kì tương ứng 1–1 nào giữa
i
q
và
i
z
,
với một
i
nào đó, ta có
.
i i
q z
Đối với
0
p
có một tương ứng 1–1 tự nhiên giữa
i
q
và
i
z
được cho bởi ánh xạ đồng nhất.
Bây giờ ta sẽ chứng minh Định lí 1.7 bằng phản chứng.
Nếu Định lí 1.7 sai thì với mỗi điểm tới hạn ta có
.
i i
p z z
Điều này chỉ ra rằng
các điểm cố định của
( )
p z
đều là những số thực. Hơn nữa, các điểm cố định này
cùng với các điểm tới hạn đan xen nhau trên trục thực. Vì 0 là điểm cố định nên ta
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
- 21 -
thấy rằng tích của
i
q
lớn hơn thật sự tích của
.
i
z
Điều này mâu thuẫn với qui ước
chuẩn hóa ở trên. Vậy
1
1 .
i
S
d
Nhận xét 1.4 Định lí 1.7 cũng có thể suy ra được từ Định lí 1.11.
1.4.3 Các đa thức có tất cả các điểm tới hạn là những số thực
Khi tất cả các nghiệm của đa thức là những số thực, thì theo Định lí Rolle, tất cả
các điểm tới hạn cũng là những số thực. Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng. Thí
dụ, đa thức
4 2
( ) 1
p x x x
có tất cả bốn nghiệm phức là
1,2,3,4
1 3
,
2
i
x
trong khi đó cả ba nghiệm
1
0,
x
2
1
2
x
của đa thức đạo hàm
3
( ) 4 2
p x x x
đều là những số thực. Do đó lớp các đa thức có tất cả các điểm tới hạn là những số
thực rộng hơn lớp đa thức có tất cả các nghiệm là những số thực.
Sheil-Small đã chứng minh
Định lí 1.8 (Sheil-Small, 2002, [27], trang 368) Cho
( )
p z
là một đa thức bậc
d
thỏa mãn điều kiện
(0) 0,
p
(0) 1
p
và
( )
p z
có tất cả các điểm tới hạn là
những số thực. Khi đó
2.
p
e
Rahman và Schmeisser có kết quả tốt hơn khi
3
d
trong Định lí sau.
Định lí 1.9 (Rahman và Schmeisser, 2002, [24], trang 217)) Cho
( )
p z
là một đa
thức bậc
d
thỏa mãn điều kiện
(0) 0,
p
(0) 1
p
và
( )
p z
có tất cả các điểm tới
hạn là những số thực. Khi đó với
3,
d
ta có đánh giá
1
2 1
2 2.
2
d
p
d d
e
d d
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
- 22 -
1.4.4 Các đa thức có các điểm tới hạn nằm trên các tia
Nhằm cố gắng mở rộng các kết quả khi đa thức
( )
p z
có tất cả các điểm tới hạn là
các số thực cho trường hợp tất cả các điểm tới hạn nằm trên các tia, A. Hinkkanen
và I. Kayumov đã đưa ra giả thuyết sau.
Giả thuyết 2 (Hinkkanen và I. Kayumov, 2010, [16]) Cho
( )
p z
là một đa thức bậc
2
d
thỏa mãn
(0) 0,
p
(0) 1
p
sao cho các điểm tới hạn của
( )
p z
nằm trên
hợp của
k
tia
1 1
k d
xuất phát từ gốc tới vô hạn, khi đó tồn tại một điểm
tới hạn
của
( )
p z
sao cho
1
1 .
1
p
k
Hơn nữa,
có thể chọn sao cho
1
1 ,
1
p
k
ngoại trừ trường hợp
( )
p z
có
dạng
1
k
p z z cz
với một hằng số phức
0
c
nào đó. Với các đa thức này thì
1
1
1
p
k
đúng cho tất cả các điểm tới hạn
của
( ).
p z
Tuy nhiên, A. Hinkkanen và I. Kayumov mới chỉ chứng minh được Giả thuyết này
cho hai trường hợp đặc biệt
1
k
và
2.
k
Ta có
Định lí 1.10 (Hinkkanen và I. Kayumov, 2010, [16]) Cho
( )
p z
là một đa thức bậc
2
d
thỏa mãn
(0) 0,
p
(0) 1.
p
Giả sử tất cả các điểm tới hạn của
( )
p z
nằm
trên một tia xuất phát từ gốc, khi đó có một điểm tới hạn
của
( )
p z
sao cho
1
,
2
p
ngoại trừ trường hợp
( )
p z
có dạng
2
p z z cz
với một hằng số
phức
0
c
nào đó. Với các đa thức này ta có
1
2
p
với một điểm tới hạn
duy nhất của
( ).
p z
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
- 23 -
Chứng minh Vì
(0) 1
p
nên tất cả các điểm tới hạn
1 1
, ,
d
z z
của đa thức
( )
p z
đều khác 0. Không giảm tổng quát, ta có thể thay
( )
p z
bằng
( )
p az
a
với
a
là một
số phức khác 0 nào đó. Khi đó ta có thể giả thiết rằng
1
1
d
z
và
1
j
z
với mọi
1, , 2.
j d
Theo giả thiết của định lí, vì
1
1
d
nằm trên trục thực nên mọi
nghiệm khác cũng nằm trên trục thực và
1
j
với mọi
1, , 2.
j d
Do đó
( )
p z
có dạng
2
1
( ) 1 1 .
d
j
j
z
p z z
z
Suy ra
2
1
0 0
( ) ( ) (1 ) 1 .
z z
d
j
j
u
p z p u du u du
z
Đổi biến
z
u t
ta được
1
2
1
0
( ) z
(1 z) 1 .
d
j
j
p z t
t dt
z z
Do đó
1 1
1
1
0 0
(1) 1
(1 ) (1 ) (1 ) .
1 2
d
j
j
p t
t dt t dt
z
Bất đẳng thức là chặt nếu
3
d
và đẳng thức xảy ra khi
2.
d
Định lí 1.10 được chứng minh hoàn toàn.
Định lí 1.11 (Hinkkanen và I. Kayumov, 2010, [16]) Cho
( )
p z
là một đa thức bậc
2
d
thỏa mãn
(0) 0,
p
(0) 1.
p
Giả sử tất cả các điểm tới hạn của
( )
p z
nằm
trên hợp của hai tia xuất phát từ gốc, khi đó có một điểm tới hạn
của
( )
p z
sao
cho
2
,
3
p
ngoại trừ trường hợp
( )
p z
có dạng
3
p z z cz
với một hằng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
- 24 -
số phức
0
c
nào đó. Với các đa thức này thì
2
3
p
đúng với cả hai điểm tới
hạn
của
( ).
p z
Chứng minh Giả sử
( )
p z
thỏa mãn giả thiết của Định lí 1.11. Do Định lí 1.10 đã
được chứng minh, ta có thể giả thiết rằng tất cả các điểm tới hạn
,
j
z
1, , 2
j d
của
( )
p z
nằm trên hai tia phân biệt, tức là bậc của
( )
p z
tối thiểu là 3.
Trường hợp
3
d
Do
( )
p z
có bậc là 3 nên
( )
p z
có bậc là 2. Bằng phép biến
đổi tuyến tính, không hạn chế tổng quát, có thể giả thiết
1
z
là một số thực dương và
1 2
1
z z
. Vì
( )
p z
có bậc là 2 nên nghiệm
2
z
cũng phải là số thực. Hơn nữa, do
1
z
và
2
z
nằm trên hai tia khác nhau nên
2
1.
z
Ta có
2
( ) ( 1)( ).
p z a z z z
Do
2
(0) ( 1)( ) 1
p a z
nên
2
1
a
z
hay
2
2
( ) ( 1)( ) (1 )(1 ).
z
p z a z z z z
z
Biểu diễn
( )
p z
như trong Định lí 1.10 và đổi biến
z,
u t
ta có thể viết
1
0 0 0
2 2
( ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) .
z z
u tz
p z p u du u du tz zdt
z z
Vậy
1
0
2
(1 )(1 ) .
p z
tz
tz dt
z z
Với
1
1
z
ta có:
1 1
2
0 0
2 2 2
1
2 3
2 2 2 2 2
0
1
1 1
(1 )(1 ) (1 (1 ) )
1
1 1 1 1 1 1 1
( (1 ) ) 1 (1 ) .
2 3 2 3 2 6
p
t
t dt t t dt
z z z
t t
t
z z z z z
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
