nguyên hàm của hàm hữu tỉ p2

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
1




Xét nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ
( )
( )
P x
I dx
Q x
=
∫

Nguyên tắc giải:
Khi bậc của tử số P(x) lớn hơn Q(x) thì ta phải chia đa thức để quy về nguyên hàm có bậc của tử số nhỏ hơn mẫu số.
II. MẪU SỐ LÀ TAM THỨC BẬC HAI (tiếp theo)
Khi đó Q(x) = ax
2
+ bx + c. Ta có ba khả năng xảy ra với Q(x).
TH1: Q(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
và x
2

TH2: Q(x) = 0 có nghiệm kép
Khi đó Q(x) được biểu diễn dưới dạng
( )
( )

2
2
( )
( ) = + → =
+
∫
P x
Q x ax b I dx
ax b


N
ế
u P(x) là h
ằ
ng s
ố
thì ta s
ử
d
ụ
ng các bi
ế
n
đổ
i sau
( )
2
1
1


= +




= − +


∫
dx d ax b
a
du
C
u
u


N
ế
u
( )
( )
( ) ( )
2 2 2
( )
+ + −
+
 
= + → = = = + −

 
+
 
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫
m bm
ax b n
mx n m dx bm dx
a a
P x mx n I dx dx n
a ax b a
ax b ax b ax b

( ) ( )
( )
2 2 2 2
1
ln .
−
+ +
−
 
= + = + − +
 
+ +
 
+
∫ ∫
bm
n

d ax b d ax b
m m na bm
a
ax b C
ax b a ax b
a a a
ax b


N
ế
u P(x) có b
ậ
c l
ớ
n h
ơ
n ho
ặ
c b
ằ
ng 2 thì ta chia
đ
a th
ứ
c, quy bài toán v
ề
hai tr
ườ
ng h

ợ
p có b
ậ
c c
ủ
a P(x) nh
ư
trên
để

gi
ả
i.

Chú ý:
Ngoài cách gi
ả
i
đ
ã nêu trên, d
ạ
ng nguyên hàm này có cách gi
ả
i t
ổ
ng quát là
đặ
t
t b
x

t ax b
a
dt adx
−

=

= + →


=


Ví dụ 1.
Tìm nguyên hàm c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
a)
1
2
2
2 1
dx
I
x x
=
− +
∫

b)
2
2
6 9 1
dx
I
x x
=
+ +
∫
c)

3
2
25 10 1
dx
I
x x
=
− +
∫

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:

a)
1 1
2 2 2
2 ( 1) 2 2
2 2 .
1 1
2 1 ( 1) ( 1)
dx dx d x
I C I C
x x
x x x x
−
= = = = − + → = − +
− −
− + − −
∫ ∫ ∫


b)
2 2
2 2 2
1 (3 1) 1 1
.
6 9 1 (3 1) 3 (3 1) 3(3 1) 3(3 1)
dx dx d x
I C I C
x x x x x x
+
= = = = − + → = − +
+ + + + + +

∫ ∫ ∫

c)
3 3
2 2 2
1 (5 1) 1 1
.
25 10 1 (5 1) 5 (5 1) 5(5 1) 5(5 1)
−
= = = = − + → = − +
− + − − − −
∫ ∫ ∫
dx dx d x
I C I C
x x x x x x

Ví dụ 2.
Tìm nguyên hàm c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
a)
4
2
2 1
4 4 1
x
I dx
x x

−
=
+ +
∫
b)
2
5
2
4 3
4 12 9
x
I dx
x x
−
=
+ +
∫
c)

6
2
1 5
9 24 16
x
I dx
x x
−
=
− +
∫

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:

a)
( )
4
2 2
2 1 2 1
4 4 1
2 1
x x
I dx dx
x x
x
− −
= =
+ +
+
∫ ∫

Tài liệu bài giảng:

04. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỶ - P2
Thầy Đặng Việt Hùng

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
2

 Cách 1:
Đặt
( )
4
2 2 2
2 1
2 1 2 1 2 1 1
2 1 ln
2
2 2 2
2 1
x t
x t dt dt dt
t x I dx t C
dt dx
t t
t t
x
= −

− −
 
= + → → = = = − = + +

 
=

 
+

∫ ∫ ∫ ∫

4
1 1
ln 2 1 .
2 2 1
I x C
x
→ = + + +
+

 Cách 2:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
4
2 2 2 2 2 2
1
8 4 2
4 4 1
8 4 2 1
2 1 1 1
4

2
4 4
4 4 1 4 4 1 4 4 1 4 4 1
2 1 2 1
x
d x x
x d x
x dx
I dx dx dx
x x x x x x x x
x x
+ −
+ +
+ +
−
= = = − = −
+ + + + + + + +
+ +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
(
)
( )
( )
2
2
2 2
4 4 1
2 1
1 1 1 1 1
ln 4 4 1 ln 2 1 .

4 4 2 1 2 2 1
4 4 1
2 1
d x x
d x
x x C x C
x x
x x
x
+ +
+
= − = + + + + = + + +
+ +
+ +
+
∫ ∫

b)
( )
(
)
( )
2
5
2 2
2 2
2 3
4 3 12 12 6
1 12 6 .
4 12 9 4 12 9 2 3

2 3 2 3
d x
x x dx
I dx dx dx x x C
x x x x x
x x
+
− +
 
= = − = − = − = + +
 
+ + + + +
 
+ +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

c)

( )
6
2 2
1 5 1 5
9 24 16
3 4
x x
I dx dx
x x
x
− −
= =

− +
−
∫ ∫



Cách 1:
Đặ
t
( )
6
2 2 2
5( 4)
4
1
1 5 1 5 17
3
3 4
3
3 9
3 4
3
t
t
x
x dt t
t x I dx dt
t t
x
dt dx

+
+

−
=
− +

= − → → = = = −

−

=

∫ ∫ ∫

6
1 17 1 17 5 17
5ln 5ln 3 4 ln 3 4 .
9 9 3 4 9 9(3 4)
t C I x C x C
t x x
   
= − − + → = − − − + = − − + +
   
− −
   



Cách 2:

( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
6
2 2 2 2
5 17
3 4
3 4 3 4
1 5 5 17 5 17
3 3
3 3 4 3 9 3 4 9
3 4 3 4 3 4 3 4
x
d x d x
x dx dx
I dx dx
x x
x x x x
− − −
− −
−
= = = − − = − −
− −
− − − −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )
6

5 17 1 5 17
ln 3 4 . ln 3 4 .
9 9 3 4 9 9 3 4
x C I x C
x x
= − − + + → = − − + +
− −

TH3:
Q(x) = 0 vô nghi
ệ
m
Khi
đ
ó, Q(x)
đượ
c bi
ể
u di
ễ
n d
ướ
i d
ạ
ng
( )
2
2
2
2 2

4
( )
2 4
−
 
= + + = + + ≡ + +
 
 
b ac b
Q x ax b c a x mx n k
a a

 Nếu P(x) là hằng số thì ta sử dụng các biến đổi sau
( )
2 2
1
1
arctan

= +



 

= +
 

+
 


∫
dx d ax b
a
du u
C
a a
u a

 Nếu P(x) = αx + β thì ta có phân tích sau:
( )
( )
2 2 2 2
α α
2 β
2
α β α α
2 2
β
2 2
+ + −
+
+
 
= = = + −
 
+ + + + + + + +
 
∫ ∫ ∫ ∫
b

ax b
ax b dx
x b dx
a a
I dx dx dx
a a
ax bx c ax bx c ax bx c ax bx c

( )
2
2
2 2 2
2 2
2
α
β
α α α
2
β ln
2 2 2
4 4
2 4 2
4
−
+ +
 
= + − = + + +
 
+ +
 

− −
   
+ + + +
   
   
∫ ∫ ∫
b
d ax bx c
b dx dx
a
dx ax bx c
a a a a
ax bx c
b ac b b ac b
a x x
a a a
a
2 2
2
2
2 2
2
α
α
2
β
β
α α
2
2 2

2
ln ln arctan .
2 2
4
4 4
2
4
b b
b
d x
ax b
a a
a
ax bx c ax bx c C
a a a
b ac b
ac b ac b
x
a
a
   
+ −
−
   
+
   
= + + + = + + + +
−
  − −
+ +

 
 
∫

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
3

 Nếu P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 2 thì ta chia đa thức, quy bài toán về hai trường hợp có bậc của P(x) như trên để
giải.
Nhận xét:
Nhìn vào biểu thức của bài toán tổng quát trên có thể ban đầu làm cho các bạn phát hoảng, nhưng đừng quá bận tâm
đến nó, bạn chỉ cần nắm được ý tưởng thực hiện của nó là phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu số, rồi tách
thành hai bài toán nhỏ hơn đều thuộc dạng đơn giản đã học.
Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
1
2
2 3
dx
I
x x
=
+ +
∫
b)
2
2
4 4 2
dx

I
x x
=
+ +
∫
c)

3
2
9 24 20
dx
I
x x
=
+ +
∫

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:

a)
( )
(
)
( )

( )
1
2 2 2
2
1
1 1
arctan .
2 3
2 2
1 2
1 2
d x
dx dx x
I C
x x
x
x
+
+ 
= = = = +
 
+ +
+ +
 
+ +
∫ ∫ ∫

b)
( )
(

)
( )
( )
2
2 2
2
2
2 1
1 1
arctan 2 1 .
4 4 2 2 2
2 1 1 2 1 1
d x
dx dx
I x C
x x
x x
+
= = = = + +
+ +
+ + + +
∫ ∫ ∫

c)

( )
(
)
( )
3

2 2 2
2
3 4
1 3 4
arctan .
2 2
9 24 20
3 4 4 3 4 2
d x
dx dx x
I C
x x
x x
+
+
 
= = = = +
 
+ +
 
+ + + +
∫ ∫ ∫

Ví dụ 2.
Tìm nguyên hàm c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
a)

4
2
3 5
2 10
x
I dx
x x
+
=
+ +
∫
b)
5
2
4 1
6 9 4
x
I dx
x x
−
=
+ +
∫
c)

4
6
2
2
2 7

x x
I dx
x x
−
=
+ +
∫

Hướng dẫn giải:
a)
( )
( )
4
2 2 2 2
3 17
4 1
4 1
3 5 3 17
4 4
4 4
2 10 2 10 2 10 2 10
x
x dx
x dx
I dx dx
x x x x x x x x
+ +
+
+
= = = +

+ + + + + + + +
∫ ∫ ∫ ∫

(
)
( )
2
2
2 2
2
2 10
3 17 3 17
ln 2 10
4 8 4 8
2 10
1 79
5
2
4 16
d x x
dx dx
x x
x
x x
x
x
+ +
= + = + + +
+ +
 

+ +
+ +
 
 
∫ ∫ ∫

( ) ( )
2 2
2
2
1
3 17 3 17 4 4 1
4
ln 2 10 ln 2 10 . arctan .
4 8 4 8
79 79
1 79
4 4
d x
x
x x x x C
x
 
+
 
 +
 
= + + + = + + + +
 
 

 
 
+ +
 
 
 
 
 
∫

V
ậ
y
( )
2
4
3 17 4 1
ln 2 10 arctan .
4
2 79 79
x
I x x C
 +
= + + + +
 
 

b)
( )
( )

5
2 2 2 2
1
12 9 4
12 9
4 1 1
3
4
6 9 4 6 9 4 3 6 9 4 6 9 4
x
x dx
x dx
I dx dx dx
x x x x x x x x
+ −
+
−
= = = −
+ + + + + + + +
∫ ∫ ∫ ∫

(
)
( )
( )
( )
( )
( )
2
2

2 2
2
2
6 9 4
3 1
1 1 4
4 ln 6 9 4
3 6 9 4 3 3
3 1 3
3 1 3
d x x
d x
dx
dx x x
x x
x
x
+ +
+
= − = + + −
+ +
+ +
+ +
∫ ∫ ∫

( ) ( )
2 2
5
1 4 1 3 1 1 4 3 1
ln 6 9 4 . arctan ln 6 9 4 arctan .

3 3 3
3 3 3 3 3
x x
x x C I x x C
+ +
   
= + + − + → = + + − +
   
   

c)
4 3
2 2
6
2 2 2
2 25 7 2 25 7
2 4 1 2
3
2 7 2 7 2 7
x x x x x
I dx x x dx x x dx
x x x x x x
− − −
 
= = − + + = − + +
 
+ + + + + +
 
∫ ∫ ∫

Đặt
( )
( )
2 2 2 2
25
2 2 32
2 2
25 7 25
2
32
2
2 7 2 7 2 7 2 7
x
x dx
x dx
J dx dx dx
x x x x x x x x
+ −
+
−
= = = −
+ + + + + + + +
∫ ∫ ∫ ∫


LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
4

(

)
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2 2 2
2
2 7
1
25 25
32 ln 2 7 32
2 2
2 7
1 6
1 6
d x x
d x
dx
dx x x
x x
x
x
+ +
+
= − = + + −
+ +
+ +

+ +
∫ ∫ ∫

( ) ( )
3
2 2 2
6
25 32 1 2 25 32 1
ln 2 7 arctan 2 ln 2 7 arctan .
2 3 2
6 6 6 6
x x x
x x I x x x x C
 + +
+ + − → = − + + + + − +
 
 

Tổng kết:
Qua ba phần trình bày về hàm phân thức có mẫu số là bậc hai, chúng ta nhận thấy điểm mấu chốt giải quyết bài toán
là xử lý mẫu số.
Nếu
( )( )
( )
( )
2
1 2
2
1 2
2

2 2
2 2 2
2
2
2
( ) 1
( ) 1
arctan
α α
α
1
 
+ + = − − → = +
 
− −
+ +
 
+ + = + + → = +
+ + +
+ + = + → = − +
∫
∫
P x A B
ax bx c a x x x x
a x x x x
ax bx c
P x du u
ax bx c mx n k C
ax bx c u
du

ax bx c mx n C
u
u

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
7)
7
2
4 1
2 1
x
I dx
x x
−
=
+ +
∫
8)
8
2
3 7
4 4 1
x
I dx
x x
+
=
+ +
∫
9)

2
9
2
3 1
9 6 1
x
I dx
x x
+
=
+ +
∫

10)
2
10
2
4 3 1
4 4 1
x x
I dx
x x
− +
=
− +
∫
11)
2
11
2

2 3 2
4 4
x x
I dx
x x
+ +
=
− +
∫
12)
12
2
3 2
6 9
x
I dx
x x
−
=
− +
∫

13)
13
2
2 3
4 5
x
I dx
x x

−
=
− +
∫
14)
14
2
3 1
2
x
I dx
x x
+
=
+ +
∫
15)
15
2
2 1
dx
I
x x
=
− +
∫

16)
16
2

2 1
4
x
I dx
x x
−
=
− +
∫
17)
17
2
1
4 1
x
I dx
x x
+
=
+ +
∫
18)
18
2
4 1
1
x
I dx
x x
+

=
− +
∫

III. MẪU SỐ LÀ ĐA THỨC BẬC BA
Khi đó Q(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d. Ta có bốn khả năng xảy ra với Q(x).
TH1:
Q(x) = 0 có 3 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t x
1
; x
2
; x
3

Tương tự như trường hợp mẫu số là bậc hai có hai nghiệm phân biệt. Ta có cách giải truyền thống là phân tích và
đồng nhất hệ số. Ngoài ra ta còn có thể sử dụng phương pháp biến đổi tử số chứa đạo hàm của mẫu (tùy thuộc vào
biểu thức của tử số là bậc mấy)
Ta có
( )( )
( )
3 2
1 2 3

1 2 3
( )
( ) ax
( )
P x A B C
Q x bx cx d a x x x x x x
Q x x x x x x x
= + + + = − − − → = + +
− − −

Đồ
ng nh
ấ
t h
ệ
s
ố
hai v
ế
ta
đượ
c A, B, C. Bài toán quy v
ề
nguyên hàm có m
ẫ
u s
ố
là b
ậ
c nh

ấ
t
đ
ã xét
ở
trên.

Chú ý:
Để việc đồng nhất được, thì ta vẫn phải tuân thủ nguyên tắc là biến đổi sao cho bậc của tử số phải nhỏ hơn bậc của
mẫu số.
Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
a)
( )
( )
1
2
2 9
dx
I
x x
=
− −
∫
b)
( )
2

2
2
6 2
1
x x
I dx
x x
+ −
=
−
∫
c)

( )
4 2
3
2
3 3 7
2
x x x
I dx
x x x
− + −
=
+ −
∫

H
ướ
ng d

ẫ
n gi
ả
i:

a)
( )
( )
( )( )( )
1
2
2 3 3
2 9
dx dx
I
x x x
x x
= =
− + −
− −
∫ ∫

Ta có
( )( )( )
2
1
1 ( 9) ( 2)( 3) ( 2)( 3)
2 3 3 2 3 3
A B C
A x B x x C x x

x x x x x x
= + + → ≡ − + − − + − +
− + − − + −

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
5

1
5
0
1
0 5
30
1 9 6 6
1
6
A
A B C
B C B
A B C
C

= −

= + +


 
⇔ = − + ⇔ =

 
 
= − + −


=



Nhận xét:
Ngoài cách gi
ả
i truy
ề
n th
ố
ng trên, chúng ta có th
ể
bi
ế
n
đổ
i cách khác nh
ư
sau mà không m
ấ
t nhi
ề
u th
ờ

i gian cho vi
ệ
c
tính toán, suy ngh
ĩ
:
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )
1
1 ( 3) ( 3) 1 1
2 3 3 6 2 3 3 6 2 3 6 2 3
+ − −
= = = −
− + − − + − − − − +
∫ ∫ ∫ ∫
dx x x dx dx
I dx dx
x x x x x x x x x x

Đế
n
đ
ây, bài toán tr
ở
v
ề
các d
ạ
ng bi
ế
n

đổ
i
đơ
n gi
ả
n
đ
ã xét
đế
n!
b)
( )
( )( )
2 2
2
2
6 2 6 2
1 1
1
x x x x
I dx dx
x x x
x x
+ − + −
= =
+ −
−
∫ ∫




 Cách 1:
Ta có
( )( )
2
2 2
6 2
6 2 ( 1) ( 1) ( 1)
1 1 1 1
x x A B C
x x A x Bx x Cx x
x x x x x x
+ −
= + + → + − ≡ − + − + +
+ − + −

2
2
3 5
6
3 2 3 5
2 2
1 2ln ln 1 ln 1 .
2 1 1 2 2
2
5
2
A
A B C
B C B I dx x x x C

x x x
A
C


=
 
= + +


 
 
⇔ = − + ⇔ = → = + + = + + + − +
 
 
+ −
 
 
− = −

 

=


∫



 Cách 2:

( )
(
)
(
)
(
)
( )
2 2
2
2
3 3 3 3
2
2 3 1 1 1 3 1
1
6 2
2
1
x x x dx
x dx
x x dx
I dx dx dx
x x x x x x x x
x x
− + − + −
−
+ −
= = = + + =
− − − −
−

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(
)
3
3
3
2 2ln
( 1) ( 1)( 1)
d x x
dx dx
dx x x J K
x x x x x
x x
−
= + + = − + +
+ − +
−
∫ ∫ ∫

Với
( 1) 1 1
ln ln 1 ln
( 1) ( 1) 1 1
dx x x x
J dx dx x x
x x x x x x x
+ −
 
= = = − = − + =

 
+ + + +
 
∫ ∫ ∫

( 1) ( 1) 1 ( 1) ( 1)
( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( 1) 2 ( 1)( 1)
dx x x dx dx x x x x
K dx dx dx
x x x x x x x x x x x x x x
+ − − − + − −
= = = − = − =
− + − + − + − − + −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( 1) 1 ( 1) ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1
ln ln
( 1) 2 ( 1)( 1) 1 2 1 1 2 1
x x x x x x
dx dx dx dx
x x x x x x x x x x
− − + − − − −
   
= − = − − − = −
   
− + − − − + +
   
∫ ∫ ∫ ∫

Từ đó ta được

3
2
1 1 1
2ln ln ln ln .
1 2 1
x x x
I x x C
x x x
− −
= − + + − +
+ +

Nhận xét: Cách phân tích như trên vẫn chưa thực sự tối ưu, các em hãy tìm lời giải khác thông minh hơn nhé!
c)
( ) ( )
4 2 2 2
3
2 2
3 3 7 8 3 7 3
3 3 3
2
2 2
x x x x x x
I dx x dx x J
x x x x x x
 
− + − − +
 
= = − + = − +
 

+ − + −
 
∫ ∫

Với
( )
( )( )
2 2
2
8 3 7 8 3 7
1 2
2
x x x x
J dx dx
x x x
x x x
− + − +
= =
− +
+ −
∫ ∫

Ta có
( )( )
2
2
8 3 7
8 3 7 ( 1)( 2) ( 2) ( 1)
1 2 1 2
x x A B C

x x A x x Bx x Cx x
x x x x x x
− +
= + + → − + ≡ − + + + + −
− + − +

7
7 15
8
2
4 7 15
2 2
3 2 4 ln 4ln 1 ln 2 .
1 2 2 2
7 2 15
2
A
A B C
A B C B J dx x x x C
x x x
A
C

= −
 

= + +

−
 



⇔ − = + − ⇔ = → = + + = − + − + + +
 
 
− +
 
 
= −

 

=

∫

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
6

Vậy
2
3
3 7 15
3 ln 4ln 1 ln 2 .
2 2 2
x
I x x x x C
= − − + − + + +

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1)
1
2
( 1)
dx
I
x x
=
−
∫
2)
2
2
2 1
( 1)( 9)
x
I dx
x x
+
=
+ −
∫
3)
2
3
2
1
( 2)( 4 3)
x x

I dx
x x x
+ +
=
+ + +
∫

4)
4
2
5 2
(1 )(4 )
x
I dx
x x
+
=
+ −
∫
5)
5
2
1
( 4)
x
I dx
x x
+
=
−

∫
6)
2
6
2
( 1)( 2)
x
I dx
x x
=
− +
∫