Nguyên hàm các hàm hữu tỉ

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 32
Vấn đề 7: NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ HỮU TỈ

Để xác đònh nguyên hàm số hữu tỉ ta cần linh hoạt lựa chọn một trong các phương
pháp cơ bản sau:
1. Phương pháp tam thức bậc hai
2. Phương pháp phân tích
3. Phương pháp đổi biến
4. Phương pháp tích phân từng phần
5. Sử dụng các phương pháp khác nhau.

1. PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI
Bài toán 1: Xác đònh nguyên hàm các hàm hữu tỉ dựa trên tam thức bậc hai
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Trên cơ sở đưa tam thức bậc hai về dạng chính tắc và dùng các công thức sau:
1.
2
2
xdx1
lnxaC
2xa
=±+
±
ò
(1)
2.
22
dx1xa
lnC,vớia0
2axaxa

-
=+¹
+-
ò
(2)
Ví dụ 1: Tính tích phân bất đònh:
42
xdx
I
x2x2
=
--
ò

Giải:
Ta có:
2
422222
dxxdx1d(x1)
2x2x2(x1)3(x1)3
-
==
------
òòò


22
22
11x131x13
.lnClnC.

2
3x1343x13
----
=+=+
-+-+

· Chú ý: Cũng có thể trình bày bài toán tường minh hơn bằng việc đổi biến số trước khi
áp dụng các công thức (1), (2). Cụ thể:
Biến đổi tích phân ban đầu về dạng:
4222
xdxxdx
x2x2(x1)3
=
----
òò

Đặt
2
tx1=-

Suy ra:
222
xdx1dt
dt2xdx&..
2(x1)3t3
==
---

Khi đó :
2

2
2
1dt11t31x13
I.lnClnC.
22
t3
23t343x13
---
==+=+
-
+-+
ò


Trần Só Tùng Tích phân
Trang 33
Ví dụ 2: Tính tích phân bất đònh:
3
42
xdx
I
xx2
=
--
ò

Giải:
Ta có:
2
3

2
22
22
11
x
xdx11
22
Idx
22
1919
xx
2424
ỉư
-+
ç÷
ỉư
èø
==-
ç÷
èø
ỉưỉư
----
ç÷ç÷
èøèø
òò


222
22
22

2
2
2
2
2
42
2
111
xdxdx
11
222
24
1919
xx
2424
13
x
111911
22
.lnx.lnC
13
222443
x
22
11x2
lnxx2lnC.
42x1
ỉưỉưỉư
---
ç÷ç÷ç÷

èøèøèø
=+
ỉưỉư
----
ç÷ç÷
èøèø
--
ỉư
=--++
ç÷
èø
-+
-
=--++
+
òò

2. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
Bài toán 2: Xác đònh nguyên hàm các hàm hữu tỉ bằng phương pháp phân tích
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Cần hiểu rằng thực chất nó là một dạng của phương pháp hệ số bất đònh, nhưng ở đây để
phân tích
P(x)
Q(x)
ta sử dụng các đồng nhất thức quen thuộc.
Dạng 1: Tính tích phân bất đònh:
2
2
x
Idx,vớia0.

(axb)
=¹
+
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Sử dụng đồng nhất thức:

222222
222
111
x.ax[(axb)b][(axb)2b(axb)b]
aaa
==+-=+-++
Ta được:
222
2
x1(axb)2b(axb)b
.
(axb)a(axb)
aa
+-++
=
++


2
221
112bb
.

a(axb)(axb)(axb)
a-a-a
éù
=-+
êú
+++
ëû

Khi đó:
2
221
1dx2bdxbdx
I.
a(axb)(axb)(axb)
a-a-a
éù
=-+
êú
+++
ëû
òòò


2
321
1d(axb)2bd(axb)bd(axb)
.
a(axb)(axb)(axb)
a-a-a
éù

+++
=-+
êú
+++
ëû
òòò
.
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 34
Ví dụ 3: Tính tích phân bất đònh:
2
39
x
Idx.
(1x)
=
-
ò

Giải:
Sử dụng đồng nhất thức:
22
x(1x)2(1x)1=---+
Ta được:
22
3939373739
x(1x)2(1x)1121
.
(1x)(1x)(1x)(1x)(1x)
---+

==-+
-----

Khi đó:
373839
dx2dxdx
I
(1x)(1x)(1x)
=-+
---
òòò


363738
121
C.
36(1x)37(1x)38(1x)
=-++
---

Chú ý: Mở rộng tự nhiên của phương pháp giải trên ta đi xét ví dụ:
Ví dụ 4: Tính tích phân bất đònh:
3
10
x
Idx.
(x1)
=
-
ò

Giải:
Sử dụng đồng nhất thức (công thức Taylo):
323
x13(x1)3(x1)(x1).=+-+-+-
Ta được:
323
1010
x13(x1)3(x1)(x1)
(x1)(x1)
+-+-+-
=
--


10987
1331
.
(x1)(x1)(x1)(x1)
=+++
----

Khi đó:
10987
1331
Idx
(x1)(x1)(x1)(x1)
éù
=+++
êú

----
ëû
ò


9876
1331
C.
9(x1)8(x1)7(x1)6(x1)
=----+
----

Dạng 2: Tính tích phân bất đònh:
n
2n
dx
I,vớia0vàn
(axbxc)
=¹
++
ò
nguyên dương.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta xét các trường hợp sau:
· Trường hợp 1: Nếu n = 1
Ta xét ba khả năng của
2
b4acD=-

Ÿ Khả năng 1: Nếu D > 0

Khi đó:
21
2
121212
111(xx)(xx)
.
a(xx)(xx)a(xx)(xx)(xx)axbxc
---
==
-----++


1212
111
.
a(xx)xxxx
ỉư
=-
ç÷
---
èø

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 35
Do đó:
112
121212
1111
Idx[lnxxlnxx]C.
a(xx)xxxxa(xx

ỉư
=-=---+
ç÷
----
èø
ò


1
122
1xx
.lnC.
a(xx)xx
-
=+
--

Ÿ Khả năng 2: Nếu D = 0
Khi đó:
22
0
11
axbxca(xx)
=
++-

Do đó:
2
00
1dx1

IC.
aa(xx)
(xx)
==-+
-
-
ò

Ÿ Khả năng 3: Nếu D < 0
Khi đó thực hiện phép đổi biến
xtgtvớit;.
22
pp
ỉư
=Ỵ-
ç÷
èø

· Trường hợp 2: Nếu n > 1
Bằng phép đổi biến
b
tx,
2a
=+ ta được:
n
n2n
1dt
I
a(tk)
=

+
ò

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần với phép đặt:

2n2n1
12ntdt
udu
(tk)(tk)
dvdtvt
+
ìì
==-
ïï
++
Þ
íí
ïï
==
ỵỵ

Khi đó:
22
n
n2n2n1n2n2n1
1ttdt1t[(tk)k]dt
I2n2n
a(tk)(tk)a(tk)(tk)
++
éùìü

+-
=+=+
íý
êú
++++
ëûỵþ
òò


n2n2n2n1
n
nn1n1n
n2n2n
n1
nn1
2n1
1tdtdt
2nk
a(tk)(tk)(tk)
1tt
2n(IkI)2nkI(2na)I
a(tk)(tk)
t
2(n1(kI(2n2a)I(1)
(tk)
+
++
-
+
-

ìü
éù
=+-
íý
êú
+++
ëû
ỵþ
éù
=+-Û=+-
êú
++
ëû
Û-=+--
+
òò

Chú ý: Vì công thức (1) không được trình bày trong phạm vi sách giáo khoa 12, do đó các
em học sinh khi làm bài thi không được phép sử dụng nó, hoặc nếu trong trường hợp được
sử dụng thì đó là một công thức quá cồng kềnh rất khó có thể nhớ được một cách chính
xác, do vậy trong tường hợp n > 1 tốt nhất các em nên trình bày theo các bước sau:
– Bước 1: Xác đònh I
1
.
– Bước 2: Xác đònh I
n
theo I
n–1
(chứng minh lại (1)).
– Bước 3: Biểu diễn truy hồi I

n
theo I
1
ta được kết quả cần tìm.

Ví dụ 5: Cho hàm số
2
1
f(x)
x(m2)x2m
=
-++

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 36
Tính tích phân bất đònh If(x)dx=
ò
biết:
a/ m = 1 b/ m = 2.
Giải:
a/ Với m = 1:
2
dxdxdxd(x2)d(x1)
If(x)dx
x2x1x2x1x3x2
--
===-=-
-----+
òòòòòò

x2
lnx2lnx1ClnC.
x1
-
=---+=+
-

b/ Với m = 2:
2
dx1
If(x)dxC.
x2(x2)
===-+
--
òò

Ví dụ 6: Tính tích phân bất đònh:
23
dx
I
(x4x3)
=
++
ò

Giải:
Xét tích phân
n
2n

dx
J
(x4x3)
=
++
ò
, ta lần lượt có:
· Với n = 1

1
2
dxdx1111x1
JdxlnC.
(x1)(x3)2x1x33x3x4x3
+
ỉư
===-=+
ç÷
+++++++
èø
òòò

· Với n > 1
Bằng phương pháp tích phân từng phần với phép đặt:

2n2n1
12ntdt
udu
(t1)(t1)
dvdtvt

+
ìì
==-
ïï
--
Þ
íí
ïï
==
ỵỵ

Khi đó:
22
n
2n2n12n2n1
ttdtt[(t1)1]dt
J2n2n
(t1)(t1)(t1)(t1)
++
-+
=+=+
----
òò


nn1
2n2n2n12n
tdtdtt
2n2n(JJ)
(t1)(t1)(t1)(t1)

+
+
éù
=++=++
êú
----
ëû
òò


n1nnn1
2n2n1
nn1
n2n1
tt
2nJ(2n1)J2(n1)J(2n3)J
(t1)(t1)
1t
J2n3)J
2(n1)(t1)
+-
-
-
-
Û=---Û-=---
--
éù
Û=-=+-
êú
--

ëû

Do đó:
21
2
1t
JJ
2t1
ỉư
=-+
ç÷
-
èø


321
22222
1t1t1t
IJ3J3J
442
(t1)(t1)t1
ìü
éù ìü
ỉư
==-+=-+-+
ííýý
ç÷
êú
---
èø

ỵþëû
ỵþ


222
x23(x2)3x1
lnC.
16x34(x4x3)8(x4x3)
+++
=-+++
+++++

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 37
Dạng 3: Tính tích phân bất đònh:
n
2n
(x)dx
I,vớia0
(axbxc)
l+m
=¹
++
ò
và n nguyên dương.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Phân tích:
b
x(2axb)
2a2a

ll
l+m=++m-
Khi đó:
n
2n2n
(2axb)dxbdx
I()
2a2a(axbxc)(axbxc)
l+l
=+m-
++++
òò

a/ Với
n
2n
(2axb)dx
J
2a ((axbxc)
l+
=
++
ò
thì:
Ÿ Nếu n = 1, ta được:

2
1
2
(2axb)dx

JlnaxbxcC.
2a2aaxbxc
l+l
==+++
++
ò

Ÿ Nếu n > 1, ta được:

n
2n2n1
(2axb)dx1
J.C.
2a2a(n1)(axbxc)(axbxc)
-
l+l
==-+
-++++
ò

b/ Với
n
2n
dx
K,
(axbxc)
=
++
ò
ta đã biết cách xác đònh trong dạng 2.

Tổng quát hẹp: Trong phạm vi phổ thông chúng thường gặp tích phân bất đònh sau:

2
P(x)dx
I,vớia0
axbxc
=¹
++
ò
và bậc của P(x) lớn hơn 1.
Ta thực hiện theo các bước sau:
– Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức P(x) cho
2
axbxc++
ta được:

22
22
P(x)x
Q(x)
axbxcaxbxc
2axbb1
Q(x).().
2a2aaxbxcaxbxc
l+m
=+
++++
l+l
=++m-
++++

– Bước 2: Khi đó:
22
(2axb)dxbdx
IQ(x)dx().
2a2aaxbxcaxbxc
l+l
=++m-
++++
òòò

Chú ý: Tuy nhiên trong trường hợp
22
axbxccób4ac0++D=->
(ta được hai nghiệm x
1
, x
2
), chúng ta thực hiện phép phân tích:

2
12
x1AB
.
axxxx
axbxc
ỉư
l+m
=+
ç÷

--
++
èø

Ví dụ 7: Tính tích phân bất đònh:
32
2
(2x10x16x1)dx
I
x5x6
-+-
=
-+
ò

Giải:
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 38
Biến đổi:
32
22
2x10x16x14x1AB
2x2
x3x2x5x6x5x6
-+--
=+=++
---+-+

Ta được hằng đẳng thức: 4x1A(x2)B(x3)(1)-=-+-
Để xác đònh A, B trong (1) ta có thể lựa chọn một hai cách sau:

· Cách 1: Phương pháp đồng nhất hệ số
Khai triển vế phải của (1) và sắp xếp đa thức theo thứ tự bậc lùi dần, ta có:
4x1(AB)x2A3B.-=++-
Đồng nhất đẳng thức, ta được:
AB4A11
2A3B1B7
+==
ìì
Û
íí
--=-=-
ỵỵ

· Cách 2: Phương pháp trò số riêng:
Lần lượt thay x = 2, x = 3 vào hai vế của (1) ta được hệ:
A11
B7
=
ì
í
=-
ỵ

Từ đó suy ra:
32
2
2x10x16x1117
2x.
x3x2x5x6
-+-

=+-
---+

Do đó:
2
117
I2xdxx11lnx37lnx2C.
x3x2
éù
=+-=+---+
êú
--
ëû
ò

Nhận xét: Trong ví dụ trên việc xác đònh các hệ số A, B bằng hai cách có độ phức tạp
gần giống nhau, tuy nhiên với bài toán cần phần tích thành nhiều nhân tử thì cách 2
thường tỏ ra đơn giản hơn.

Dạng 4: Tính tích phân bất đònh:
2
111
n
2
(axbxc)dx
I,vớia0
(x)(axbxc)
++
=¹
-a++

ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta xét ba khả năng của D = b
2
– 4ac
· Khả năng 1: Nếu D > 0, khi đó:
2
12
axbxca(xx)(xx)++=--
Khi đó phân tích:
2
111
2
12
axbxcABC
xxxxx
(x)(axbxc)
++
=++
-a--
-a++

Do đó:
12
12
ABC
IdxAlnxBlnxxClnxxC
xxxxx
ỉư

=++=-a+-+-+
ç÷
-a--
èø
ò

· Khả năng 2: Nếu D = 0, khi đó:
22
0
axbxca(xx).++=-
Khi đó phân tích:
2
111
22
00
axbxcABC
xxx
(x)(axbxc)(xx)
++
=++
-a-
-a++-

Do đó:
0
2
00
0
ABCC
IdxAlnxBlnxxC.

xxxxx
(xx)
éù
=++=-a+--+
êú
-a--
-
ëû
ò

· Khả năng 3: Nếu D < 0