nguyên hàm của hàm hữu tỉ p3

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
1




Xét nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ
( )
( )
P x
I dx
Q x
=
∫

Nguyên tắc giải:
Khi bậc của tử số P(x) lớn hơn Q(x) thì ta phải chia đa thức để quy về nguyên hàm có bậc của tử số nhỏ hơn mẫu số.
III. MẪU SỐ LÀ ĐA THỨC BẬC BA
Khi đó Q(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d. Ta có bốn khả năng xảy ra với Q(x).
TH1: Q(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt x
1
; x
2
; x
3

TH2: Q(x) = 0 có 2 nghiệm: một nghiệm đơn, một nghiệm kép
Khi đó ta có
( )( )
2
3 2
1 2
( ) = + + + = − −
Q x ax bx cx d a x x x x

Để

đồ
ng nh
ấ
t
đượ
c, ta ph
ả
i phân tích theo quy t
ắ
c:
( )( ) ( )
2 2
1
1 2 2
( ) ( )
( )
P x P x A Bx C
Q x x x
a x x x x x x

+
= = +
−
− − −

Đồ
ng nh
ấ
t h
ệ
s
ố
hai v
ế
ta
đượ
c A, B, C. Bài toán tr
ở
v
ề
các d
ạ
ng c
ơ
b
ả
n
đ
ã xét
đế

n.

Chú ý: Ngoài vi
ệ
c s
ử
d
ụ
ng
đồ
ng nh
ấ
t, ta c
ũ
ng có th
ể
phân tích t
ử
s
ố
theo
đạ
o hàm c
ủ
a m
ẫ
u
để
gi
ả

i.
Ví dụ 1.
Tìm nguyên hàm c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
a)
( )
1
2
2
dx
I
x x
=
+
∫
b)
( ) ( )
2
2
1
1 2 3
x
I dx
x x
−
=
+ −

∫
c)

( )
2
3
2
2 4
2 1
x x
I dx
x x
+ +
=
−
∫

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:

a)
Xét

( )
1

2
2
dx
I
x x
=
+
∫



 Cách 1:
(
Đồ
ng nh
ấ
t hai v
ế
)

Ta có
( )
( )( )
2
2 2
1
4
0
1 1
1 Ax 2 0 2

2 4
2
1 2
1
2
A
A B
A Bx C
Bx C x B C B
x
x x x
C
C

=

= +


+
 
= + → ≡ + + + ⇔ = + → = −
 
+
+
 
=


=




Khi
đ
ó,
( )
1
2 2 2
1 1 1
1 1 1 1 2 1
4 4 2
ln .
2 4 2 4 2 4 2
2
x
dx dx dx dx x
I dx C
x x x x x
x x x x
 
− +
 
+
= = + = − + = − +
 
+ +
+
 
 

∫ ∫ ∫ ∫ ∫



 Cách 2:
(S
ử
d
ụ
ng k
ĩ
thu
ậ
t phân tích nh
ả
y t
ầ
ng l
ầ
u ta
đượ
c)

( )
( )
( )
2 2
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2
2 2
1

3 2 2 2 3 2 2
3 2
3 2
1 1 1 3 4 3 ( 2) 2 4 1 3 4 3 ( 2) 2 4
.
4 4
2 2 2 2 2 2
1 3 4 3 2 1 3 4 3 1
4 4 4 2
2 2 2
2
1 3 1 1
ln ln
4 4 2 4
2
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
x x dx x x dx dx
I dx
x x
x x x x x x x x
d x x
dx x
x
x x
 
+ − + + + + + +
= = = − + =
 
+ + + + + +

 
 
+ +
= − + → = = − + =
 
+ + +
 
+
= − − =
+
∫ ∫ ∫ ∫
∫
3 2 3 2
1
3 1 1 3 1
2 ln ln 2 ln .
4 2 4 4 2
x x x C I x x x C
x x
+ − − + → = + − − +

b)
(
)
( ) ( )
( )
( )
2
2 2
1 2

2
1
2 5
1 2 1 5
x
t
I d x dt
t t
x x
+ −
−
= + =
−
 
+ + −
 
∫ ∫
, v
ớ
i t = x + 1.


 Cách 1:
(
Đồ
ng nh
ấ
t hai v
ế
)

Tài liệu bài giảng:

04. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỶ - P3
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
2

Ta có
( )
( )( )
2
2 2
1
25
0 2
2 2
2 2 5 1 2 5
2 5 5
2 5
2 5
2
25
A
A C
t At B C
t At B t Ct B A B
t
t t t
B

C

= −

= +


− +
 
= + → − ≡ + − + ⇔ = − → =
 
−
−
 
− = −


=



T
ừ

đ
ó ta
đượ
c
( )
( )

2
2 2 2
1 2 2
2 5
2 1 2 1
25 5 25
2 5 25 5 25 2 5
2 5
t
d t
t dt dt
I dt dt
t t t
t t t t
 
− +
 
−
−
= = + = − + + =
 
− −
−
 
 
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1 2 1 1 2 5 2 1 2 3 2
ln ln 2 5 ln ln .

25 5 25 25 5 25 1 5( 1)
t x
t t C C C
t t t x x
− −
= − − + − + = − + = − +
+ +



 Cách 2:
(S
ử
d
ụ
ng k
ĩ
thu
ậ
t phân tích nh
ả
y t
ầ
ng l
ầ
u ta
đượ
c)

( )

( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2
2 2 2
2
3 2 2
5
6 10 3 2 5 2 5
2 5 2
2 1 2 1 4
2
. .
2 5 5 2 5 25
2 5 2 5 2 5
1 1 2 4 6 10 3 5
. .
5 2 5 25
2 5 2
t t t t t
t t
t
t t t t
t t t t t t
t t
t t t

t t t
− − − − −
− −
−
= − = − − =
− −
− − −
 
−
 
= − − − − −
 
 
−
−
 
 

( ) ( )
(
)
3 2
2
2
3 2 2 3 2 2
2 5
2 5 2 5
1 1 4 6 10 12 2 7 1 4 2
5 5 2 5 25 25 5 25 5 2 5 25 5
2 5 2 5

d t t
d t d t
dt t t dt dt dt dt
I dt
t t t t t
t t t t t t
−
− −
−
= − + − + + = + − + =
− −
− −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

3 2
2
7 1 4 2 1 1 2 1 2 5 2
ln ln 2 5 ln 2 5 ln ln 2 5 ln .
25 5 25 5 25 25 5 25 5
t
t t t t C I t t C C
t t t t
−
= + − − − − + → = − + − − + = − +

Thay lại t = x + 1 ta được
2
1 2 3 2
ln .
25 1 5( 1)

x
I C
x x
−
= − +
+ +

c)
( )
2
3
2
2 4
2 1
x x
I dx
x x
+ +
=
−
∫



 Cách 1:
(
Đồ
ng nh
ấ
t hai v

ế
)
Ta có
( )
( )( )
2
2 2
2 2
2 2 9
2 4 Ax
2 4 Ax 2 1 1 2 4
2 1
2 1
4 20
A C A
x x B C
x x B x Cx A B B
x
x x x
B C
= + = −
 
+ + +
 
= + → + + ≡ + − + ⇔ = − + → = −
 
−
−
 
= − =

 

( )
2
3
2 2 2
2 4 9 4 20 20 4
9 4 9ln 10ln 2 1 .
2 1 2 1
2 1
x x x dx dx
I dx dx dx x x C
x x x x
x x x x
+ + − −
 
→ = = + = − − + = − + + − +
 
− −
−
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫



 Cách 2:
(S
ử
d
ụ

ng k
ĩ
thu
ậ
t phân tích nh
ả
y t
ầ
ng l
ầ
u ta
đượ
c)

Ta có
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
(
)
( )
2 2
2
2 2 2
6 2 6 2 1
2 1 2

2 4 2 1 4 2
4.
2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1
x x x x
x x
x x
x x x x x x
x x x x x x
− − + −
− −
+ +
= + + = − − =
− − − −
− − −

(
)
(
)
( )
2 2
3
3 2 2 2 2
3 2
6 2 6 2
2 1 2 24 4 1 28 4
4. 4.
2 1 2 1 2 1 2 1
2 2 1

4 4
ln 4ln 2 14ln 2 1 9ln 10ln 2 1 .
x x x x
I dx
x x x x x x
x x x x x x
x x x x C x x C
x x
 
− −
 
= − + − + − → = − − + − =
 
− − − −
− −
 
= − − − + − + + = − + − + +
∫

TH3:
Q(x) = 0 có 1 nghi
ệ
m
đơ
n
Khi
đ
ó ta có
( )
(

)
3 2 2
1
( ) = + + + = − + +
Q x ax bx cx d x x mx nx p
, trong
đ
ó
2
0
mx nx p
+ + =
vô nghi
ệ
m.
Để

đồ
ng nh
ấ
t
đượ
c, ta ph
ả
i phân tích theo quy t
ắ
c:
( )
( )
2

2
1
1
( ) ( )
( )
P x P x A Bx C
Q x x x
mx nx p
x x mx nx p
+
= = +
−
+ +
− + +

Đồ
ng nh
ấ
t h
ệ
s
ố
hai v
ế
ta
đượ
c A, B, C. Bài toán tr
ở
v
ề

các d
ạ
ng c
ơ
b
ả
n
đ
ã xét
đế
n.

Chú ý:
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
3

- Nguyên hàm
 
= +
 
+
 
∫
2 2
du 1 u
arctan C.
u a
u a

- Ngoài việc sử dụng đồng nhất, ta cũng có thể phân tích tử số theo đạo hàm của mẫu để giải.
Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
( )
1
2
1
dx
I
x x
=
+
∫
b)
( )
( )
2
2
2 3
1 4
x
I dx
x x
+
=
− +
∫
c)

( )

2
3
2
1
1
x x
I dx
x x x
− +
=
+ −
∫

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:

a)
( )
1
2
1
dx
I
x x
=

+
∫



 Cách 1:
(
Đồ
ng nh
ấ
t hai v
ế
)
( )
( )
( )
2
2
2
0 1
1
1 1 0 1
1
1
1 0
A B A
A Bx C
A x Bx C x C B
x
x

x x
A C
= + =
 
+
 
= + → ≡ + + + ⇔ = → = −
 
+
+
 
= =
 

Khi
đ
ó,
( )
(
)
( )
2
2
1
2 2 2
2
1
1 1 1
ln ln ln 1 .
2 2

1 1 1
1
d x
dx x dx x
I dx dx x x x C
x x
x x x
x x
+
− −
 
= = + = + = − = − + +
 
+ + +
 +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫



 Cách 2:
(S
ử
d
ụ
ng k
ĩ
thu
ậ
t phân tích nh
ả

y t
ầ
ng l
ầ
u ta
đượ
c)

( )
(
)
( )
( )
2 2
2
1
2 2
2 2
1
1 1 1
ln ln 1 .
2
1 1
1 1
x x
x dx xdx
I dx x x C
x x
x x
x x x x

+ −
= = − → = − = − + +
+ +
+ +
∫ ∫

b)
( )
( )
2
2
2 3
1 4
x
I dx
x x
+
=
− +
∫



 Cách 1:
(
Đồ
ng nh
ấ
t hai v
ế

)
( )
( )
( )
( )( )
2
2
2
3
5
0
2 3 3
2 3 4 1 2
1 5
4
1 4
3 4
7
5
A
A B
x A Bx C
x A x Bx C x B C B
x
x
x x
A C
C

=


= +


+ +
 
= + → + ≡ + + + − ⇔ = − + → = −
 
−
+
− +
 
= −


=



Khi
đ
ó ta có
( )
( )
2
2 2 2
2
2 3 3 1 3 7 3 3 7
. ln 1
5 1 5 5 5 5

4 4 4
1 4
x dx x xdx dx
I dx x
x
x x x
x x
+ − +
= = + = − − + =
−
+ + +
− +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )
2 2
3 3 7 1 3 3 7
ln 1 ln 4 . arctan ln 1 ln 4 arctan .
5 10 5 2 2 5 10 10 2
x x
x x C x x C
   
= − − + + + = − − + + +
   
   



 Cách 2:
(S

ử
d
ụ
ng k
ĩ
thu
ậ
t phân tích nh
ả
y t
ầ
ng l
ầ
u ta
đượ
c)

Ta có
( )
( )
(
)
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
2 2 2
2 1 3
2 3 2 3 2 3
; 1

2 5
1 4 2 5 2 5
1 1 2 1 5
x
x t
t x
t t
x x t t t t t t
x x x
− +
+ +
= = = + = −
 
+ +
− + + + + +
− − + − +
 

Mà
( )
(
)
(
)
( )
2 2
2
3 2 2
2 2
3 4 3 2 5 2

3 1 1 3 4 3 2 1
. . .
5 5 5 5
2 5 2 5
2 5 2 5
t t t t t
t t
t
t t t t
t t t t t t
+ − + + +
+
= − = − + −
+ + + +
+ + + +

Suy ra
( )
2 2
2 3 2 2 2 3 2 2
2
2 3 1 3 4 3 2 1 2 1 3 4 3 8 1
. . . .
5 5 5 5 5 5
2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5
2 5
t t t t
t t
t t t t t t t t t t t t
t t t

+ +
+ = − + − + = − + −
+ + + + + + + + + + + +
+ +

Thay vào ta
đượ
c
( )
( ) ( )
( )
2
2
3 2 2
2 2
2 3 2 3 1 3 4 3 8
. .
5 5 5
2 5
1 4 2 5
1 4
x t t t dt dt
I dx dt dt
t
t t
x x t t t
t
+ + +
= = = − + − =
+ +

− + + +
+ +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

3 2 3 2
1 3 8 1 1 1 3 8 1 1
ln 2 5 ln . arctan ln 2 5 ln . arctan .
5 5 5 2 2 5 5 5 2 2
t t
t t t C t t t C
+ +
   
= − + + + − + = − + + + − +
   
   

TH4:
Q(x) = 0 có 1 nghi
ệ
m b
ộ
i ba: Tr
ườ
ng h
ợ
p này d
ễ
, th
ầ
y b

ỏ
qua!
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
4


BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

Phương trình bậc ba có hai nghiệm (một nghiệm đơn, một nghiệm kép):
7)
7
2
1
( 1)
x
I dx
x x
−
=
+
∫
8)
2
8
2
3
( 2) (2 1)
x
I dx

x x
+
=
+ −
∫
9)
2
9
2
2 1
( 2 1)
x
I dx
x x x
+
=
+ +
∫

10)
10
2
4 1
(2 1)( 1)
x
I dx
x x
+
=
− +

∫
11)
11
2
4
2 (3 2 )
x
I dx
x x
−
=
−
∫
12)
12
2
5
( 2) ( 3)
x
I dx
x x
+
=
+ +
∫


Ph
ươ
ng trình b

ậ
c ba có m
ộ
t nghi
ệ
m b
ộ
i ba:
13)
10
3
2
( 2)
x
I dx
x
−
=
+
∫
14)
14
3
3 2
(2 1)
x
I dx
x
−
=

+
∫
15)
2
15
3
(3 2 )
(4 3)
x x dx
I
x
+
=
+
∫

16)
4
16
3
( 2)
x
I dx
x
=
+
∫
17)
3
17

3
1
( 1)
x
I dx
x
−
=
+
∫
18)
2
18
3
4
( 1)
x
I dx
x
−
=
−
∫


Ph
ươ
ng trình b
ậ
c ba có m

ộ
t nghi
ệ
m
đơ
n:

19)
19
2
2 5
( 1)
x
I dx
x x x
+
=
+ +
∫
20)
20
3
3 4
1
x
I dx
x
+
=
−

∫
21)
21
3
2
1
xdx
I
x
=
+
∫

22)
2
22
2
1
( 3)
x
I dx
x x
+
=
+
∫
23)
23
2
2

(2 3)( 1)
x
I dx
x x
+
=
+ −
∫
24)
2
24
2
4 3
(3 1)(1 2 )
x
I dx
x x
−
=
+ −
∫