ma trận định thức hệ phương trình tuyến tính

Trang 1
Chương 1 : MA TRẬN - ĐỊNH THỨC - HỆ PTTT

1.1.MA TRẬN :
1.1.1. Khái niệm về ma trận
:
• Ma trận là một bảng chữ nhật gồm mxn phần tử được sắp thành m dòng , n cột theo
một thứ tự nhất định :

⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa

21
22221
11211


• Ma trận dòng , ma trận cột ,ma trận không , ma trận chuyển vị .
• Ma trận vuông,ma trận chéo , ma trận đơn vị ,ma trận tam giác , ma trận đối xứng.
• Ma trận bằng nhau : Hai ma trận bằng nhau là 2 ma trận cùng cấp và có các phần tử
nằm ở cùng vị trí bằng nhau .
1.1.2. Phép toán về ma trận
:
1.Phép cộng : Tổng của 2 ma trận cùng cấp là một ma trận cùng cấp có các phần tử
là tổng của các phần tử tương ứng .
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
− 312
201
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
241

123
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
− 551
124

2.Phép nhân với một số : Tích của một số thực với một ma trận là một ma trận
cùng cấp có các phần tử là tích của số thực với các phần tử của ma trận .
2.
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
− 5
1
2
1

4
0
0
3
1
3
1
2
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
− 10
2
4
2
8
0
0
6
2

6
2
4

3.Phép nhân hai ma trận :
• Số cột của ma trận thứ nhất bằng số dòng của ma trận thứ hai .
• Nhân các phần tử trong dòng của ma trận thứ nhất tương ứng với các phần
tử trong cột của ma trận thứ hai rồi cộng lại .

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
302
211
.
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−

021
123
201
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+++−+++
+−++−−++−+
0.31.02.22.3)2.(00.21.33.01.2
0.21).1(2.12.2)2).(1(0.11.23).1(1.1

=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
465
160



Trang 2
1.1.3. Phép biến đổi sơ cấp trên dòng :
1. Phép biến đổi 1 : Hoán vị 2 dòng .

⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
213
021
302
⎯⎯→⎯
↔
21
dd
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−

−
213
302
021

2. Phép biến đổi 2 : Nhân một dòng với một số khác không .
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
213
302
021

11
2dd→
⎯
⎯⎯→
⎥
⎥
⎥
⎦

⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
213
302
042

3. Phép biến đổi 3 : Cộng một dòng với một dòng khác đã nhân với một số khác
không .
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
213
302
021

⎯⎯⎯⎯→⎯
→+−
221
)2( ddd

⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
213
340
021

1.1.4. Ma trận dạng bậc thang :
1. Định nghĩa :
• Các dòng khác không luôn ở trên các dòng không .
• Với hai dòng khác không , phần tử khác không đầu tiên của dòng dưới bao
giờ cũng ở bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên của dòng trên .
2. Định lý : Mọi ma trận khác không đều có thể đưa về được về dạng bậc thang
sau một số phép biến đổi sơ cấp trên dòng .
1.1.5. Ma trận đảo :
1. Định nghĩa : Ma trận A vuông cấp n được gọi là khả đảo nếu tồn tại một ma

trận B vuông cấp n sao cho : A.B = B.A = I .
Ma trận B là duy nhất và được gọi là ma trận đảo của ma trận A ,ký hiệu A
-1
.
2. Cách tìm ma trận đảo :
• Lập ma trận mở rộng ( A | I )
• Biến đổi ma trận ( A | I ) về dạng ( I | B ) :
o Nếu biến đổi được về dạng ( I | B ) thì A là ma trận khả đảo và
A
-1
=B .
o Nếu không biến đổi được về dạng ( I | B ) ( nghĩa là ma trận bên
trái có xuất hiện dòng không ) thì ma trận A không khả đảo .
Ví dụ
: Tìm ma trận đảo , nếu có , của các ma trận :
a)
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
101
122
011
, b)

⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
633
211
532



1.2. ĐỊNH THỨC
:
Trang 3
1.2.3 Khái niệm về định thức:
1. Định thức cấp 2 :
Cho ma trận vuông cấp 2 : A =
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2221
1211

aa
aa
. Định thức của ma trận A là :
det(A) =
A
=
2221
1211
aa
aa
= a
11
a
22
- a
12
a
21
2. Định thức cấp 3 :
Cho ma trận vuông cấp 3 : A =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡

333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
. Định thức của ma trận A là :
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
= a
11
a
22
a
33
+ a
12
a
23
a
31
+ a
13
a
21
a

32
- a
13
a
22
a
31
- a
12
a
21
a
33
- a
11
a
23
a
32

Cách tính định thức cấp 3
:
a. Quy tắc tam giác :

***
***
***

***
***

***

( + ) ( - )
b. Quy tắc đường song song :
+ + +
ooooo
ooooo
ooooo

- - -
Ví dụ : Tính định thức của các ma trận :
a)
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
222
013
121
b)
⎥
⎥

⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
500
310
423






2. Định thức cấp n :
Trang 4
Cho ma trận vuông cấp n : A =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢

⎢
⎣
⎡
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa




21
22221
11211
.
a. Phần bù đại số :
Phần bù đại số của phần tử a
ij
, ký hiệu A
ij ,
là một số xác định như sau :
A
ij = (-1)
i+j

ij
M

trong đó M
ij
là ma trận suy từ A bằng cách bỏ dòng i và cột j .
b. Định lý Laplace ( Khai triển định thức ) : Cho ma trận A vuông cấp n .

nii ,1, =∀ : A =
∑
=
n
j
ijij
Aa
1

hoặc :
mjj ,1, =∀
:
A =
∑
=
n
i
ijij
Aa
1


Ví dụ : A =
⎥
⎥

⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
222
013
121


A
= a
11
A
11
+ a
12
A
12
+ a
13
A
13

1.2.2. Tính chất: Cho ma trận A vuông .

1. Chuyển vị ma trận ,định thức không đổi :
t
A =
A

2. Hoán vị 2 dòng ,định thức đổi dấu :
'
A = - A
3.
Nếu nhân 1 dòng cho
α
thì
'
A =
α
A
4. Nếu A có 2 dòng giống nhau hay tỷ lệ với nhau : A = 0 .
5. Nếu 1 dòng được viết thành tổng của 2 dòng thì định thức bằng tổng của 2 định
thức có dòng tương ứng là các dòng thành phần .









21212211 nnnn
bbbaaabababa +=+++

6. Nếu thay 1 dòng bằng chính nó cộng với 1 dòng khác đã nhân với 1 số khác
không thì định thức không đổi :
'
A = A .
Ghi chú : Ma trận tam giác ,ma trận chéo có định thức bằng tích các phần tử trên đường
chéo chính .

Trang 5
Ví dụ 1 : Tính định thức của ma trận : A =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
222
013
121

Ví dụ 2 : Tính định thức của ma trận : A =
⎥
⎥
⎥
⎥

⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
1210
3120
1210
0121

Ví dụ 3 : Chứng minh rằng :
zzz
yyy
xxx
22
22
22
sincos2cos
sincos2cos
sincos2cos
= 0

1.2.3 Cách tìm ma trận đảo bằng định thức
1.

Điều kiện khả đảo :
Ma trận A khả đảo
⇔
A
≠
0
2.
Công thức ma trận đảo :

t
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
A
A
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡

=
−




1
21
22221
11211
1



Ví dụ
: Tìm ma trận đảo ( nếu có ) của các ma trận :
a)

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
52
21
, b)
⎥
⎥
⎥

⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
101
122
011
c)
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
101
121
212

1.2.4 Hạng của ma trận :
1.
Định nghĩa : Cho ma trận A cấp mxn .
• Nếu chọn các phần tử nằm trên k dòng và k cột thì ta được một ma trận vuông cấp

k . Định thức của ma trận này gọi là định thức con cấp k của A .
• Hạng của ma trận A , ký hiệu là r(A) , là cấp cao nhất trong các định thức con
khác không của A.
Ghi chú
:
• r(A) = 0 ⇔ A = 0
• A = (a
ij
)
mxn
⇒ r(A)
≤
min(m,n)

2.
Cách tìm hạng của ma trận :
Trang 6
• Đưa ma trận về dạng bậc thang .
• Hạng của ma trận là số dòng khác 0 .
Ví dụ1
: Tìm hạng của ma trận :
A
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢

⎢
⎣
⎡
−
−
−−
1813
3211
1511

Ví dụ 2
: Biện luận theo tham số m hạng của ma trận :
A =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
m38555
114243
001101
824312

1.3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH :
1.3.1. Khái niệm
:
1.Định nghĩa :
Hệ phương trình tuyến tính là hệ phương trình có m phương trình và n ẩn số :
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa




2211
22222121
11212111

(1)
a
ij
: hệ số ; b
ij
: hệ số tự do ; xj : ẩn số ( i = m,1 ; j = n,1 )

2. Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính :
A =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa

21
22221
11211
, B =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
m
b
b
b
.
.
2
1
, X =

⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
n
x
x
x
.
.
2
1

A : ma trận hệ số ; B : ma trận hệ số tự do ; X : ma trận ẩn số

Ta có : (1)
⇔ AX = B

3. Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính :
Một nghiệm của hệ phương trình tuyến tính (1) là một bộ số gồm n số ( c
1
,c
2
,…,c
n
) sao
cho khi thay vào (x
1
,x
2
,…,x
n
) các phương trình được nghiệm đúng.

4. Điều kiện tồn tại nghiệm : Định lý Kronecker-Capelli
Cho hệ phương trình (1) ,ta có :
Trang 7
• r(A)
≠
r(A|B) : Hệ phương trình vô nghiệm .
• r(A) = r(A|B) = n : Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất .
• r(A) = r(A|B) = r<n : Hệ phương trình có vô số nghiệm và các nghiệm phụ
thuộc (n-r) tham số .
Ví dụ 1
: Xét sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình :
⎪
⎪
⎩

⎪
⎪
⎨
⎧
=−++
=+−+
=+−+
=++−
7324
154
3332
52
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx

Ví dụ 2
: Biện luận theo m sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
=++

=++
1
1
1
321
321
321
mxxx
xmxx
xxmx

1.3.2. Hệ phương trình Cramer :
1. Định nghĩa :
Hệ phương trình Cramer là hệ phương trình tuyến tính có số phương trình
bằng số ẩn số và định thức của ma trận hệ số khác không .
2. Cách giải hệ phương trình Cramer :
a. Phương pháp Cramer :
Cho hệ phương trình Cramer :
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=+++
=+++
=+++
nnnnnn
nn

nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa




2211
22222121
11212111

Hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất : (x
1
,x
2
,…,x
n
) với :


x
i
=
A
A
i
),1( ni =
trong đó A
i

là ma trận suy từ ma trận A bằng cách thay cột I bằng cột B.
Ví dụ1
: Giải hệ phương trình :

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
−=++
=−+
3285
132
2
321
321
321
xxx
xxx
xxx

Ví dụ 2
: Giải và biện luận hệ phương trình :
⎩
⎨
⎧
=+
=+
2

1
myx
ymx


b. Phương pháp ma trận đảo :
Trang 8
Cho hệ phương trình Cramer dạng ma trận : AX = B .
Nghiệm duy nhất của hệ phương trình là
X = A
-1
B
Ví dụ
: Giải hệ phương trình :

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=++
=+
4
922
3
31
321
21
xx

xxx
xx


1.3.3. Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss :
Cho hệ phương trình dạng ma trận : AX = B
(A|B)
→ đưa về dạng bậc thang → (A’|B’)
AX = B
⇔ A’X = B’
Ví dụ1
: Giải hệ phương trình :

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+−−
=++
=++
224
652
12
321
321
321
xxx
xxx
xxx

Ví dụ2
: Giải hệ phương trình :

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=−+
=−++
=−+−
172
1234
223
321
4321
4321
xxx
xxxx
xxxx

Ví dụ3
: Giải hệ phương trình :

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧

=+−−
=+−+
=+−+
022
42463
22
321
4321
4321
xxx
xxxx
xxxx


1.3.4. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất :
1. Định nghĩa :
Một hệ phương trình tuyến tính được gọi là thuần nhất nếu có các hệ số tự do đều
bằng 0 .
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=+++
=+++
=+++
0

0
0
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa

Dạng ma trận
: AX = 0
2. Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất :
a. Nghiệm tầm thường :
Hệ pttt thuần nhất luôn luôn có nghiệm (0,0,…,0) gọi
là
nghiệm tầm thường .
b. Nghiệm không tầm thường:
Trang 9
• Nghiệm của hệ phương trình có ít nhất một thành phần khác 0 gọi là
nghiệm không tầm thường .
• Hệ có nghiệm không tầm thường
⇔
r(A) < n ( số ẩn số )
• Nếu A là ma trận vuông thì :
Hệ có nghiệm không tầm thường
⇔
| A | = 0

• Nghiệm không tầm thường còn gọi là nghiệm tổng quát , nó phụ thuộc
một số tham số .Nếu các tham số lấy các giá trị cố định thì ta được
nghiệm riêng .
Ví dụ :
Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất :

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+−
=+−
=++
05
02
02
321
321
321
mxxx
xxx
xxx

a.
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm không tầm thường .
b.
Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình .
3. Hệ nghiệm cơ bản :
Nếu hệ phương trình có nghiệm không tầm thường thì các nghiệm này có thể biểu

diễn được qua một hệ nghiệm riêng cố định , gọi là
hệ nghiệm cơ bản .
Ví dụ :
Giải và tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính :

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=+−
=−−+
=+−+
=++−
0333
052
042
02
431
4321
4321
4321
xxx
xxxx
xxxx
xxxx

4. Liên hệ giữa nghiệm của hệ pttt và hệ pttt thuần nhất :

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa




2211
22222121
11212111
(1)

⎪
⎪
⎩
⎪

⎪
⎨
⎧
=+++
=+++
=+++
0

0
0
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
(2)

Nghiệm tổng quát của (1) = Nghiệm tổng quát của (2) + Nghiệm riêng của (1)


Ví dụ1 : Cho hệ phương trình tuyến tính :

Trang 10

⎪
⎩

⎪
⎨
⎧
=++
=++
=++
mxxx
xxx
xxx
321
321
321
384
342
12
(1)

a.
Giải và biện luận hệ phương trình (1)
b.Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết với hệ (1)

Ví dụ2
: Cho hệ phương trình tuyến tính :


⎪
⎩
⎪
⎨
⎧

=−+−
=−+
=+−
352
23
12
4321
431
321
xxxx
xxx
xxx
(1)

a.
Chứng tỏ (0,1,1,1) là một nghiệm riêng của (1)
b.Tìm nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết với (1)
c.
Tìm nghiệm tổng quát của (1).