mặt cầu trong không gian phần 1

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!



I. LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
 Phương trình chính tắc của mặt cầu
2 2 2 2
( ):( ) ( ) ( )
− + − + − =
S x a y b z c R

 Phương trình tổng quát của mặt cầu
2 2 2
( ): 2 2 2 0
+ + − − − + =
S x y z ax by cz d
với tâm
2 2 2
( ; ; ),
= + + −
I a b c R a b c d

Chú ý: A, B thuộc mặt cầu (S)
⇒ = =
IA IB R

Ví dụ 1. Cho họ mặt cong (
S
m
) có phương trình

(
)
2 2 2
: 2 4( 2) 3 1 0
m
S x y z mx m y mz m
+ + − − − + − + =

a) Tìm điều kiện của m để (
S
m
) là một họ mặt cầu.
b) Tìm
m
để
S
m
là phương trình mặt cầu có bán kính
62.
R =

Đ/s:
m
=
−
2.
Ví dụ 2. Cho phương trình:
(
)
2 2 2

: 4( 1) 2 6 1 0
m
S x y z m x my mz m
+ + + + + − − + =

a) Tìm
m
để (
S
m
) là phương trình mặt cầu
S
(
I
;
R
).
b) Tìm
m
để mặt cầu
S
(
I
;
R
) có bán kính
11.
R =

Đ/s:

1
.
2
m
=

Ví dụ 3. Lập phương trình mặt cầu (
S
), biết
a) Tâm
I
thuộc
Oy
, đi qua
A
(1; 1; 3),
B
(–1; 3; 3).
Đ/s:
(0;2;0).
I

b) Tâm
I
thuộc
Oz
, đi qua
A
(2; 1; 1),
B

(4; –1; –1).
Đ/s:
(0;0; 3).
I
−

c) Tâm
I
thuộc
1
:
2
x t
d y t
z t
= +


=


=

và đi qua
A
(3; 0; –1),
B
(1; 4; 1).
Đ/s:
(2;1;2), 11.

I R =

d) Tâm
I
thuộc
2 1
:
1 1 2
x y z
d
− −
= =
−
và đi qua
A
(3; 6; –1),
B
(5; 4; –3).
Đ/s:
(1;2;2), 3 5.
I R =

Ví dụ 4. Lập phương trình mặt cầu (
S
), biết
a) đi qua
(2;4; 1), (1; 4; 1), (2;4;3), (2;2; 1)
A B C D
− − − −

Đ/s:
2 2
2
3 1 5
( ): ( 4) .
2 2 4
S x y z
   
− + − + − =
   
   

b) đi qua
(3;3;0), (3;0;3), (0;3;3), (3;3; 3)
A B C D
−

Đ/s:
2 2 2
3 3 3 27
( ): .
2 2 2 4
S x y z
     
− + − + − =
     
     

Ví dụ 5. Lập phương trình mặt cầu (
S

), biết
a) đi qua
(2;0;1), (1;0;0), (1;1;1)
A B C
và
( ): 2 0
I P x y z
∈ + + − =

Đ/s:
( ) ( )
2 2
2
( ): 1 1 1.
S x y z
− + + − =

b)
đi qua
( 2;4;1), (3;1; 3), ( 5;0;0)
A B C
− − −
và
( ):2 3 0
I P x y z
∈ + − + =

Đ/s:
( ) ( )
2 2

2
( ): 1 ( 2) 3 49.
S x y z− + + + − =

c) đi qua
(1;1;0), (2; 4; 2), (3; 1;2)
A B C
− − −
và
( ): 1 0
I P x y z
∈ + + − =

13. MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Đ/s:
( )
2
2 2
( ): 1 ( 2) 9.
S x y z
− + + + =

d) đi qua
7 1 1
1;3; , 2;0; , 1; ;0
2 2 2
A B C

     
− −
     
     
và
( ): 2 4 0
I P x y z
∈ + + − =

Đ/s:
2 2 2
29
( ): ( 1) ( 2) .
4
S x y z+ + + − =

Ví dụ 6.
Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình của mặt cầu, khi đó chỉ rõ toạ độ tâm và
bán kính của nó:
a)
(
)
2 2 2
: 2 4 6 2 0
+ + − − + + =
S x y z x y z

b)
(
)

2 2 2
: 2 4 2 9 0
+ + − + − + =
S x y z x y z

c)
(
)
2 2 2
:3 3 3 6 3 9 3 0
+ + − + − + =
S x y z x y z

d)
(
)
2 2 2
: 4 2 5 7 0
− − − + + − − =
S x y z x y z

e)
(
)
2 2 2
:2 2 0
+ + − + − =
S x y z x y

Ví dụ 7.

Cho ph
ươ
ng trình:
x
2
+
y
2
+
z
2
+ 2
mx
+ 4
my
– 2(
m
– 1)
z
+ 2
m
+ 3 = 0, (*)
a)
Tìm
m

để
(*) là ph
ươ
ng trình m

ặ
t c
ầ
u
S
(
I
;
R
).
b)
Tìm
m

để
m
ặ
t c
ầ
u
S
(
I
;
R
) có bán kính
2 2.
=
R

Ví dụ 8.
L
ậ
p ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u
đườ
ng kính
AB
bi
ế
t
A
(1; 2; 3),
B
(3; 4; –1).
Ví dụ 9.
L
ậ
p ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u (

S
), bi
ế
t
a)
Tâm
I
(2; 1; –1), bán kính
R
= 4.
b)

Đ
i qua
đ
i
ể
m
A
(2; 1; –3) và tâm
I
(3; –2; –1).
c)
Hai
đầ
u
đườ
ng kính là
A
(–1; 2; 3),

B
(3; 2; –7).
Ví dụ 10.
L
ậ
p ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u (
S
), bi
ế
t
a)

Đ
i qua b
ố
n
đ
i
ể
m
O
(0; 0; 0),
A
(2; 2; 3),

B
(1; 2; –4),
C
(1; –3; –1).
b)

Đ
i qua
đ
i
ể
m
A
(1; 3; 0),
B
(1; 1; 0) và tâm
I
thu
ộ
c
Ox
.