CHUYÊN ĐỀ MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN

Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498


1









(DÙNG CHO ÔN THI TN – C – H 2011)

Gi tng: www.Mathvn.com


















Bm sn. 22.03.2011
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498


2

CHUYÊN : VIT PHNG TRÌNH MT PHNG

A. Kin thc chung
1. Phng trình mt phng và các trng hp đc bit
- PTTQ (phng trình tng quát) mt phng


P
qua
0 0 0 0
( , , )
M x y z
và có vtpt (vect pháp tuyn)
( , , )
n A B C

là:
0 0 0
( ) : ( ) ( ) ( ) 0
P A x x B y y C z z
     

Hay
( ) : 0
P Ax By Cz D
   
vi
0 0 0
( )

D Ax By Cz
   
- PTMP (phng trình mt phng)


P
qua ( ,0,0) ; (0, ,0) ; (0,0, )
A a Ox B b Oy C c Oz
  
có phng trình
là:
( ) : 1
x y z
P
a b c
  
(Phng trình mt phng theo đon chn)
- c bit:
+
2 2
0
( ) / / 0
0
A
P Ox D
B C



 



 


+
2 2
0
( ) / / 0
0
B
P Oy D
A C



 


 


+
2 2
0
( ) / / 0
0
C
P Oz D
A B




 


 


- Phng trình mt phng (Oxy) là
0
z

, (Oyz) là
0
x

và (Oxz) là
0
y


2. V trí tng đi ca mt thng và mt phng:
Cho hai mt phng
1 1 1 1 1
( ) : 0
A x B y C z D

   
và

2 2 2 2 2
( ) : 0
A x B y C z D

   

TH 1:
1 1 1 1
1 2
2 2 2 2
( ) / /( )
A B C D
A B C D
 
   
TH 2:
1 1 1 1
1 2
2 2 2 2
( ) ( )
A B C D
A B C D
 
    

TH 3:
1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) 0
A A B B C C
 

    

3: Phng trình chùm mt phng:
Tp hp các mt phng
( )

cha đng thng
( ) ( )
 
 

đc gi là chùm mt phng xác đnh bi
mt phng
( )

và mt phng
( )


Nu
1 1 1 1
( ) : 0
A x B y C z D

   
và
2 2 2 2
( ) : 0
A x B y C z D


   
thì phng trình mt phng
( )

là:
1 1 1 1 2 2 2 2
( ) : ( ) ( ) 0
m A x B y C z D n A x B y C z D

       
(*) vi
2 2
0
m n
 

phng trình (*) có th vit li:
( ) ( ) 0
m n
 
 

4. Góc và khong cách
- Góc ca 2 mt phng:
1 1 1 1 1
( ) : 0
A x B y C z D

   
và

2 2 2 2 2
( ) : 0
A x B y C z D

   
là:
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
.
A A B B C C
cos
A B C A B C

 

   

- Góc gia đng thng d và mt phng (P)
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498


3
.
sin( ,( ))
.
u n

d P
u n






- Khong cách t mt đim


0 0 0 0
; ;
M x y z
đn mt phng


: 0
P Ax By Cz D
   

 
0 0 0
0
2 2 2
,
Ax By Cz D
d M P
A B C
  

 
 
 


B. Mt s dng bài tp

Dng 1: Vit phng trình mt phng (P) đi qua đim M
o
(x
o
;y
o
;z
o
) và tho mãn điu kin
Loi 1 : Có mt vect pháp tuyn
Phng pháp:
- Xác đnh
0 0 0 0
( , , )
M x y z
ca mt phng


P

- Xác đnh vtpt
( ; ; )
n A B C



+ Nu




/ /
P Q
P Q n n
 
 

+ Nu


P d
P d n u
  
 

- Áp dng công thc:
0 0 0
( ) : ( ) ( ) ( ) 0
P A x x B y y C z z
     


Bài tp gii mu:

Bài 1: (SGK 12 – Ban C Bn T89) Trong không gian vi h to đ Oxyz .Vit phng trình mt phng
(P):
a. i qua đim


1; 2;4
M 
và nhn vect


2;3;5
n 

làm vect pháp tuyn
b. i qua đim


2; 1;2
M 
và song song vi mt phng


: 2 – 3 4 0
Q x y z
  

Gii:
a. Cách 1:
Mt phng



P
đi qua đim


1; 2;4
M 
và có vect pháp tuyn


2;3;5
n 

có phng trình là :
2(x – 1) + 3(y + 2) + 5(z – 4 ) = 0 hay


: 2 3 5 – 16 0
P x y z
  

Cách 2:
Mt phng (P) có vtpt


2;3;5
n 

luôn có dng
2 3 5 ’ 0

x y z D
   
vì mt phng (P) đi qua
đim




1; 2;4 2.1 3. 2 5.4 ’ 0 ’ 16
M D D
         
.Vy mt phng


: 2 3 5 – 16 0
P x y z
  

b. Cách 1:
Mt phng


P
đi qua đim


2; 1;2
M 
song song vi mt phng



Q
nên mt phng


P
đi qua đim


2; 1;2
M 
và có vtpt


2; 1;3
P Q
n n  


nên mt phng


P
có phng trình:
2(x – 2) – 1(y + 1) + 3(z – 2) = 0 hay


: 2 – 3 –11 0
P x y z
 

Cách 2 :
Mt phng (P) có vtpt


2; 1;3
P
n  

luôn có dng
2 – 3 ’ 0
x y z D
  
vì mt phng


P
đi qua đim


2; 1;2
M 

' 1
D
 
hay


: 2 – 3 – 11 0

P x y z
 

Hoc có th lí lun vì


P
song song vi


Q
nên


P
luôn có dng
2 – 3 ’ 0
x y z D
  

vì


P
qua M



: 2 – 3 – 11 0
P x y z

 


www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498


4
Bài 2: (SGK – Ban C Bn T92) Trong không gian vi h to đ Oxyz cho mt phng



có phng
trình: 3x + 5y – z – 2 = 0 và đng thng d có phng trình
12 4
: 9 3
1
x t
d y t
z t
 


 


 


a. Tìm giao đim M ca đng thng d và mt phng




b. Vit phng trình mt phng



cha đim M và vuông góc vi đng thng d
Gii:
a. To đ đim


M d

 
là nghim ca phng trình
3(12 + 4t) + 5(9 + 3t) – (1 + t) – 2 = 0

t =
3

.Vy


0;0; 2
M


b. Cách 1 :
Mt phng



đi qua đim


0;0; 2
M

vuông góc vi đng thng d nên mt phng



đi qua đim


0;0; 2
M

và có vtpt

n

=
d
u


= (4;3;1) nên mt phng



có phng trình là:
4(x – 0) + 3(y – 0) + 1(z +2) = 0 hay


: 4 3 2 0
x y z

   

Cách 2:
Mt phng



có vtpt

n

= (4;3;1) luôn có dng 4x + 3y + z + D’ = 0 vì mt phng



đi qua đim


0;0; 2

M


D’ = 2 hay


: 4 3 2 0
x y z

   

Chú ý:
Có th phát biu bài toán di dng nh, cho bit ta đ 3 đim A, B, C. Vit phng trình mt phng (P)
đi qua đim A và vuông góc vi đng thng BC thì khi đó
P
n BC

 

Nhn xét :
- Mt phng



có vtpt


; ;
n a b c



thì



luôn có dng ax + by + cz + D’ = 0
- Nu cho



có dng Ax + By + Cz + D = 0 thì



mà song song vi








luôn có dng
Ax + By + Cz + D’ = 0 vi
'
0
D


- Hai mt phng song song vi nhau thì hai vtpt cng song song (cùng phng) vi nhau, mt phng
vuông góc vi đng thng thì vtpt và vtcp cng song song (cùng phng) vi nhau . iu này lý gii
ti sao trong bài 1 câu b li chn
P
n

=
Q
n

,tht vy vì mt phng


P
song song vi mt phng (Q)
nên hai vtpt cng song song (cùng phng) vi nhau hay
P
n


= k.
Q
n

, vì k

0 nên chn k = 1 đ
P
n


=
Q
n

. Tng t nh th trong bài 2b ta chn k = 1 đ


n

=
d
u

, t đó ta có nhn xét
+ Hai mt phng song song vi nhau thì chúng có cùng vtpt
+ Nu mt phng


P
cha hai đim A và B thì
AB

là mt vtcp ca mt phng


P

+ Nu mt phng



P
vuông góc vi mt phng (Q) thì vtpt ca mt phng


P
là vtcp ca mt
phng (Q) và ngc li
+ Nu mt phng


P
vuông góc vi vecto
AB

thì vecto
AB

là mt vtpt ca mt phng


P

- Vect pháp tuyn cng có th cho  hình thc là vuông góc vi giá ca vect
a

nào đó, khi đó ta
phi hiu đây a

là vect ch phng
Bài 3: (SGK – Ban C Bn T92) Trong mt phng vi h to đ Oxyz cho đim vect



6; 2; 3
a
  


và


1;2; 3
A
 
. Vit phng trình mt phng



cha đim A và vuông góc vi giá ca vect a
Hng dn:
Làm tng t nh bài 2b ta đc


: 6 – 2 – 3 2 0
x y z

 

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:

D: 01694 013 498


5
Bài 4: (SGK – Ban C Bn T80) Trong không gian vi h to đ Oxyz .Vit phng trình mt phng đi
qua đim


2;6; 3
M

và ln lt song song vi các mt phng to đ
Gii:
Nhn xét :
- Các mt phng to đ  đây là Oxy; Oyz; Oxz . Thot đu ta thy các mt phng này không thy vtpt ,
nhng thc ra chúng có vtpt, các vtpt này đc xây dng nên t các vect đn v trên các trc Ox, Oy, Oz
ln lt là
i

= (1;0;0) ;
j

= (0;1;0) ;
k

= (0;0;1), các vect này đc coi là các vtcp
- Bây gi ta s vit phng trình mt phng


P

đi qua M và song song vi mt phng 0xy còn các mt
phng khác làm tng t
Cách 1:
Mt phng


P
đi qua


2;6; 3
M

và song song vi mt phng Oxy

mt phng


P
đi qua M và
vuông góc Oz nên mt phng (P) đi qua M nhn vect
P
n

= k

làm vtpt có phng trình là :
0(x – 1) + 0(y – 6) + 1(z + 3) = 0 hay



: 3 0
P z
 

Cách 2:
Mt phng


P
song song vi mt phng 0xy

mt phng


P
song song vi hai trc Ox và Oy


P
n


i


và
P
n



j


P
n

= [i

, j

] = (0;0;1) là vtpt nên


: 3 0
P z
 

Tng t (P) // Oyz và đi qua đim M nên


: 2 0
P x
 

(P) // Oxz và đi qua đim M nên


: 6 0
P y
 

Cách 3:
Mt phng


P
song song vi mt phng Oxy nên mt phng


P
luôn có dng Cx + D = 0 vì mt
phng


P
đi qua M




C. 3 D 0
  
vì C

0 nên chn C = 1

D =
3

.

Vy mt phng


P
có phng trình là


: 3 0
P z
 

Chú ý:
Bài toán có th phát biu là vit phng trình (P) đi qua M // vi Ox và Oy



P
đi qua M // vi mt
phng 0xy

Loi 2: Có mt cp vect ch phng
,
a b
 
(vi
, 0
a b

  
có giá song song hoc nm trên mp

( )
P
)
- Tìm vtpt
,
n a b
 

 
 

-


P
là mp qua
0 0 0 0
( , , )
M x y z
và có VTPT
n


- Quay li loi 1

Bài tp gii mu:

Bài 5: (SGK – Ban C Bn T80) Trong không gian vi h to đ Oxyz . Vit phng trình mt phng



P
đi qua đim


0; 1;2
A 
và song song vi giá ca mi vect
u

= (3;2;1) và
v

=


3;0;1


Gii:
Cách 1:
Mt phng


P
đi qua


0; 1;2
A 
và song song vi giá ca hai vect

u

= (3;2;1) ;


3;0;1
v  



mt phng


P
đi qua A và có
P
n


u

;
P
n


v

(vi
u


và
v

không cùng phng)

mt phng


P
đi qua A và có vtpt






, 2; 6;6 2 1; 3;3
P
n u v    
  


mt phng


P
có phng trình là :
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498


6
1(x – 0) – 3(y + 1) +3(z – 2) = 0 hay


: – 3 3 – 9 0
P x y z
 

Cách 2 : Làm tng t nh bài 1b khi bit


2; 6;6
P
n  

và


0; 1;2
A 
Bài 6: (SBT – Ban C Bn T99) Trong không gian vi h to đ Oxyz . Vit phng trình mt phng



đi qua đim



2; 1;2
M 
, song song vi trc Oy và vuông góc vi mt phng


: 2 – 3 4 0
x y z

  

Gii:
Cách 1:
Mt phng



đi qua đim


2; 1;2
M  song song vi trc 0y và vuông góc vi mt phng





mt phng




đi qua M và có

n


j

;

n



n

(vi j

và

n

không cùng phng)

mt phng



đi qua M và có vtpt


n

= [ j

,

n

] = (3;0;-2)

mt phng



có phng trình là :
3(x – 2) + 0(y + 1) – 2(z – 2) = 0 hay


: 3 – 2 – 2 0
x z



Cách 2: Làm tng t nh bài 1b khi bit


3;0; 2
n

 


và


2; 1;2
M 
Cách 3: Gi s mt phng



có dng :


2 2 2
0 0
Ax By Cz D A B C
      


mt phng



có vtpt


; ;
n A B C





- Mt phng



đi qua đim


2; 1;2
M 


.2 .( 1) .2 0 1
A B C D     
- Mt phng



song song vi trc Oy


. 0 .0 .1 .0 0 2
n j A B C

     



- Mt phng




vuông góc vi mt phng







. 0 .2 . 1 .3 0 3
n n A B C
 
      
 

Gii h (1), (2) và (3)


3, 0, 2, 2.
A B C D
     

Vy mt phng



có phng trình là :
3 – 2 – 2 0

x z


Bài 7: (SBT – Ban C Bn T98) Trong không gian Oxyz.Vit phng trình mt phng



đi qua đim


3; 1; 5
M
 
đng thi vuông góc vi hai mt phng


: 3 – 2 2 7 0
x y z

  
và


: 5 – 4 3 1 0
x y z

  

Gii:
Cách 1:

Mt phng



đi qua đim


3; 1; 5
M
 
đng thi vuông góc vi hai mt phng



và





mt
phng



đi qua đim M và có

n




n

;

n



n

(vi

n


và

n

không cùng phng)

mt phng



đi qua đim M và có vtpt

n


= [

n

,

n

] = (2;1;-2)

mt phng (

) có phng trình là :
2(x – 3) + 1(y + 1) – 2(z + 5) = 0 hay



:
2 – 2 –15 0
x y z
 

Cách 2: Làm tng t nh bài 1b khi bit

n

=


2;1; 2


và


3; 1; 5
M
 

Cách 3: Gi s mt phng



có dng :


2 2 2
0 0
Ax By Cz D A B C
      


mt phng



có vtpt


; ;
n A B C





- Mt phng



đi qua đim


3; 1; 5
M
 




.3 .( 1) . 5 0 1
A B C D      
- Mt phng



vuông góc vi mt phng








. 0 .3 . 2 .2 0 2
n n A B C
 
      
 

- Mt phng



vuông góc vi mt phng







. 0 .5 . 4 .3 0 3
n n A B C
 
      
 

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498

7
T (1) và (2) ta đc
3 21
, 6
2 2
C B A D B A
   
th vào (3) ta đc
2
A B

chn
1, 2 2, 15
B A C D
      

Vy phng trình mt phng



là
2 – 2 –15 0
x y z
 

Bài 8: (H – B 2006) Trong không gian vi h to đ Oxyz, cho đim A(0;1;2) và hai đng thng
1
1 1

: , ' : 1 2
2 1 1
2
x t
x y z
d d y t
z t
 

 

    



 


Vit phng trình mt phng



đi qua A đng thi song song vi d và d’
Gii:
Cách 1:
Vì





1 2
0;1; 1 ; 1; 1;2
B d C d
   
và




1 2
, , / /B C d d
 
 
Vecto ch phng ca
1 2
d và d
ln lt là




1 2
2;1; 1 1; 2;1
u và u   
 


vecto pháp tuyn ca




là


1 2
, 1; 3; 5
n u u
 
    
 
  

Vì



đi qua




0;1;2 : 3 5 13 0
A x y z

    

s:


: 3 5 13 0

x y z

   

Cách 2:
Gi s mt phng



có dng :


2 2 2
0 0
Ax By Cz D A B C
      


mt phng



có vtpt


; ;
n A B C




- Mt phng



đi qua đim M


.0 .1 .2 0 1
A B C D    

- Mt phng



song song vi đng thng d




. 0 .2 .1 . 1 0 2
d
n u A B C

      



- Mt phng




song song vi đng thng d
’





'
. 0 .1 . 2 .1 0 3
d
n u A B C

      



T (1) và (2) ta đc
2 , 4 3
C A B D A B
    
th vào (3) ta đc
3
A B

chn
1, 3 5, 13
A B C D
     

Vy phng trình mt phng



là
3 5 13 0
x y z
   

Nhn xét:
Nu đim
A d

(hoc
'
A d

) thì bài toán tr thành vit phng trình mt phng



cha
d
(hoc
'
d
)
và song song vi
'

d
(hoc
d
)

Bài tp t gii:

Bài 1:
a. Trong không gian vi h to đ Oxyz cho 3 đim






3;4;1 , 2;3;4 , 1;0;2 .
M N E Vit phng trình
mt phng



đi qua đim E và vuông góc vi MN.
( thi tt nghip BTTHPT ln 2 nm 2007)
b. Vit phng trình mt phng



đi qua



1; 2;1
K 
và vuông góc vi đng
thng
1
: 1 2
1 3
x t
d y t
z t
  


 


  

.
( thi tt nghip THPT ln 2 nm 2007)
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498


8
s: a.



: 3 5 0
x y z

   
b.


: 2 3 8 0
x y z

   

Bài 2: Trong không gian vi h to đ Oxyz cho đim


1; 1;0
M   và mt phng


P
có phng trình:
2 4 0.
x y z
   
Vit phng trình mt phng



đi qua M và song song vi



P

s:


: 2 2 0
x y z

   

( thi tt nghip THPT h phân ban nm 2007)
Bài 3: Vit phng trình mt phng



đi qua đim


2;3;1
M 
và vuông góc vi hai mt phng




: 2 2 5 0 và : 3 2 3 0
P x y z Q x y z
       

(Sách bài tp nâng cao hình hc 12)
s:


: 3 4 19 0
x y z

   

Bài 4: Vit phng trình mt phng



đi qua đim


2;1; 1
M

và qua giao tuyn ca hai mt phng:
4 0 và 3 1 0.
x y z x y z
       

(Sách bài tp nâng cao hình hc 12)
s:


:15 7 7 16 0
x y z


   


Dng 2 : Vit phng trình mt phng (P) đi qua đim M
1
(x
1
;y
1
;z
1
) và M
2
(x
2
;y
2
;z
2
) đng thi tho mãn
điu kin
a. Vuông góc vi mt phng
b. Song song vi đng thng d (hoc trc Ox, Oy, Oz)
c. Có khong cách t đim M ti là h
d. To vi mt góc


Q
mt góc




Bài tp gii mu:

Bài 1: (SGK – Ban C Bn T80) Trong không gian vi h to đ Oxyz .Vit phng trình mt phng



đi qua hai đim




1;0;1 , 5;2;3
M N
và vuông góc vi mt phng


: 2 – – 7 0
x y z

 

Gii:
Cách 1 :
Mt phng




đi qua hai đim M(1;0;1); N(5;2;3) và vuông góc vi mt phng (

)

mt phng



đi qua đim M và

n


MN ;

n



n

(vi MN và

n

không cùng phng)

mt phng




đi qua đim M và có vtpt

n

= [
MN
,

n

] =


4;0; 8

= 4


1;0; 2



mt phng



có phng trình là :
1(x – 1) + 0(y – 0) – 2(z – 1) = 0 hay




: x – 2z + 1 = 0
Cách 2:
Gi s mt phng



có dng :


2 2 2
0 0
Ax By Cz D A B C
      


mt phng



có vtpt


; ;
n A B C




- Mt phng



đi qua


1;0;1
M


.1 .0 .1 0 1
A B C D    

- Mt phng



đi qua


5;2;3
N


.5 .2 .3 0 2
A B C D    

- Mt phng




vuông góc vi mt phng







. 0 .2 . 1 .1 0 3
n n A B C
 
      
 

T (1) và (2) ta đc – 2 – ,
C A B D A B
  
th vào (3) ta đc
–2 0
B

chn
1, 0 2, 1
A B C D
    

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498


9
Vy phng trình mt phng



là
– 2 1 0
x z
 

Bài 2: Trong không gian vi h to đ Oxyz .Vit phng trình mt phng (P) đi qua hai đim


4; 1;1
M 
;


3;1; 1
N

và cùng phng (song song) vi trc Ox
Gii:
Cách 1 :
Mt phng (P) đi qua đim



4; 1;1
M  ;


3;1; 1
N

và cùng phng vi trc Ox

mt phng (P) đi qua
đim M và
P
n MN



;
P
n


i

(vi và
i

không cùng phng)

mt phng (P) đi qua đim M và nhn vtpt

P
n

= [ , i

] =


0; 2; 2
 
=


2 0;1;1



mt phng (P) có phng trình là :
0(x – 4) + 1( y + 1) + 1(z – 1) = 0 hay (P): y + z = 0
Cách 2: Làm tng t bài 1 (cách 2) điu kin  đây là
P
n


i


Bài 3: (SBT – Ban Nâng Cao T126) Trong mt phng Oxyz .Vit phng trình mt phng (Q) đi qua hai
đim





3;0;0 , 0;0;1
A C và to vi mt phng Oxy mt góc = 60
o

Gii:
Cách 1:
Mt phng (Q) đi qua A, C và to vi mt phng Oxy mt góc bng 60
o
nên mt phng (Q) ct mt phng
Oxy ti đim B(0;b;0) Oy

khác gc to đ O

b

0

mt phng (Q) là mt phng theo đon chn có phng trinh là :

1
1
3

z
b
yx
hay (Q): bx + 3y + 3bz – 3b = 0


mt phng (Q) có vtpt
Q
n

= (b;3;3b)
Mt phng 0xy có vtpt
k

= (0;0;1) .Theo gi thit ,ta có
|cos (
Q
n

,
k

)| = cos60
o



2
1
99
3
2

 bb
b


26
3
26
9
996
22
 bbbbb

Vy có hai mt phng tho mãn là :
(Q
1
) : x –
26 y + 3z – 3 = 0
(Q
2
) : x +
26
y + 3z – 3 = 0
Cách 2: vì A

Ox và C

Oz
Gi AB là giao tuyn ca mt phng (Q) và mt phng 0xy .T O h OI

AB .
Theo đnh lý ba đng vuông góc ta có AB


CI



0
60
OIC 
Trong

vuông OIC ta có OI = OC.tan

OIC
= 1.tan60
o
=
3
3

Trong

vuông OAB ta có
222
111
OB
OA
OI



232

1
3
1
3
3
1
OB











OB =
26
3


B
1
(0; 26 ;0)

Oy hoc B
2
(0;

26
 ;0)

Oy .Vy có hai mt phng (Q) tho mãn là

1
1
3
26
3

zyx
hay (Q) : x

26
y + 3z – 3 = 0
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498


10
Bài 4: Trong không gian vi h to đ Oxyz . Vit phng trình mt phng



đi qua hai đim





2;1;3 , 1; 2;1
M N 
và song song vi đng thng d có phng trình là:
1
: 2
3 2
x t
d y t
z t
  





  


Gii:
Cách 1:
Mt phng



đi qua hai đim





2;1;3 , 1; 2;1
M N 
và song song vi đng thng d

mt phng



đi qua đim M và
n MN




;

n


d
u

(vi
MN

và
d
u


không cùng phng)

mt phng



đi qua đim M và có vtpt

n

= [
MN

,
d
u

] =


10; 4;1


mt phng



có phng trình là :
10(x – 2) – 4(y – 1) + 1(z – 3) = 0 hay




:
10 4 19 0
x y z
   

Cách 2:
Gi s mt phng



có dng :


2 2 2
0 0
Ax By Cz D A B C
      


mt phng



có vtpt


; ;
n A B C





- Mt phng



đi qua


2;1;3
M


.2 .1 .3 0 1
A B C D    
- Mt phng



đi qua


1; 2;1
N 





.1 . 2 .1 0 2
A B C D     
- Mt phng



song song vi đng thng d




. 0 .1 .2 . 2 0 3
d
n u A B C

      



T (1) và (2) ta đc
1 3 1 7
,
2 2 2 2
C A B D A B
      th vào (3) ta đc
2 5
A B
 
chn
1 19

5, 2 ,
2 2
A B C D
      

Vy phng trình mt phng



là
1 19
5 2 0 10 4 19 0
2 2
x y z x y z
        

Bài 5: Trong không gian vi h trc ta đ Oxyz, cho các đim A(-1;1;0), B(0;0;-2) và C(1;1;1). Hãy vit
phng trình mt phng (P) qua hai đim A và B, đng thi khong cách t C ti mt phng (P) bng
3 .
Gii:
Gi s mt phng


P
có dng :


2 2 2
0 0
Ax By Cz D A B C

      


mt phng


P
có vtpt


; ;
P
n A B C



- Mt phng


P
đi qua


1;1;0
A 




. 1 .1 .0 0 1

A B C D     
- Mt phng


P
đi qua


0;0; 2
B





.0 .0 . 2 0 2
A B C D     
T (1) và (2) ta đc
 
1
,
2
C A B D A B
   

Nên mt phng


P
có phng trình là

   
1
0
2
Ax By A B z A B
     

Theo gi thit
 
 
   
 
2 2
2
2 2
1
7
2
; 3 3 5 2 7 0 1
5
1
2
A B A B A B
A A
d I P A AB B
B B
A B A B
    
           
 

  
 
 

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498


11
Vi
1
A
B
 
chn


1, 1 1, 2 : 2 0
A B C D P x y z
          

Vi
7
5
A
B

chn



7, 5 1, 2 : 7 5 2 0
A B C D P x y z
         

Nhn xét:
Gi
Ocban  );;(
là véct pháp tuyn ca (P)

Vì (P) qua A(-1 ;1 ;0)  pt






: 1 1 0
P a x b y cz
    


Mà (P) qua B(0;0;-2)
2 0 2
a b c b a c
      


Ta có PT





: 2 2 0
P ax a c y cz c
    

 
 
2 2
2 2 2
2
; 3 3 2 16 14 0
7
( 2 )
a c
a c
d C P a ac c
a c
a a c c



       



  

TH 1:
c
a

ta chn 1


ca  Pt ca


: 2 0
P x y z
   


TH 2:
ca 7

ta chn a = 7; c = 1  Pt ca


: 7 5 2 0
P x y z
   

Bài 7:
Trong không gian vi h trc to đ Oxyz cho đim A(1;0;1), B(2;1;2) và mt phng


: 2 3 3 0

Q x y z
   
. Lp phng trình mt phng (P) đi qua A, B và vuông góc vi (Q).
HD:
Ta có
(1;1;1), (1;2;3), ; (1; 2;1)
Q Q
AB n AB n
 
 
 
   

Vì
; 0
Q
AB n
 

 
  
nên mt phng (P) nhn
;
Q
AB n
 
 
 
làm véc t pháp tuyn
Vy (P) có phng trình x – 2y + z – 2 =0

Bài 8: Trong không gian ta đ Oxyz cho 2 đim I( 0;0;1) và K( 3;0;0). Vit phng trình mt phng qua
I, K và to vi mt phng (xOy) mt góc bng
0
30

Gii:
Gi s mt phng cn có dng :
( ) : 1 ( , , 0)
x y z
a b c
a b c

   

( ) 1 à ( ) 3 ( ) : 1
3 1
x y z
Do I c v do K a
b
  
         


 
 
 
0
0
0
0

.
1 1 3 2
( ; ;1) (0;0;1) cos30
3 2
.
x y
x y
x y
n n
n và n k b
b
n n



        
 
  
 

( ) : 1
3 1
3 2
2
x y z

   

Bài 9: (H – B 2009 ) Trong không gian vi h to đ Oxyz, cho t din ABCD có các đnh







1;2;1 , 2;1;3 , 2; 1;1
A B C  và


0;3;1
D . Vit phng trình mt phng (P) đi qua A, B sao cho
khong cách t C đn mt phng (P) bng khong cách t D đn mt phng (P)
Gii:
Cách 1:
Gi s mt phng


P
có dng :


2 2 2
0 0
ax by cz d a b c
      


mt phng



P
có vtpt


; ;
P
n A B C



www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498


12
- Mt phng


P
đi qua


1;2;1
A


.1 .2 .1 0 1
a b c d    

- Mt phng


P
đi qua


2;1;3
B 




. 2 .1 .3 0 2
a b c d     
T (1) và (2) ta đc
 
3 1 5
,
2 2 2
c a b d a b
    

Nên mt phng


P
có phng trình là
 
3 1 5

0
2 2 2
ax by a b z a b
 
     
 
 

Theo gi thit




, ,
d C P d D P

   
   

 
2 2
2 2 2 2
3 1 5 5 3 1 5 5
.2 . 1 .1 .0 .3 .1
2 2 2 2 2 2 2 2
3 1 3 1
2 2 2 2
2 4
3
2 0

a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b
a b
a b a b
b
   
          
   
   
 
   
     
   
   


    




Vi
2 4
a b

chn


1
4, 2 7, 15 : 4 2 7 15 0

a b c d P x y z
          

Vi
2 0
b

chn
   
2 2
3 5 3 5
0, 1 , : 0 : 2 3 5 0
2 2 2 2
b a c d P x z P x z
             

Cách 2: Xét hai trng hp
TH1 : (P) // CD. Ta có :
AB ( 3; 1;2),CD ( 2;4;0)
    
 

(P)có PVT n ( 8; 4; 14) hay n (4;2;7)
(P) :4(x 1) 2(y 2) 7(z 1) 0
4x 2y 7z 15 0
     
     
    
 

TH2 : (P) qua
I(1;1;1)
là trung đim CD
Ta có AB ( 3; 1;2), AI (0; 1;0)
(P) có PVT n (2;0;3)
(P) :2(x 1) 3(z 1) 0 2x 3z 5 0
    
 
       
 


áp s:


1
: 4 2 7 15 0
P x y z
   
và


2
: 2 3 5 0
P x z
  

Bài tp t gii:

Bài 1: Trong không gian vi h trc to đ Oxyz cho đim





1;0;1 , 2;1;2
A B
và mt phng


: 2 3 3 0
Q x y z
   
. Lp phng trình mt phng (P) đi qua A, B và vuông góc vi (Q).
s:


: 2 2 0
P x y z
   

Bài 2: Lp phng trình mp(P) đi qua




0;3;0 , 1; 1;1
M N 
và to vi mt phng



: 5 0
Q x y z
   

mt góc

vi
1
cos
3


Bài 3: Lp phng trình mt phng (P) đi qua




1; 1;3 , 1;0;4
M N 
và to vi mt phng


: 2 5 0
Q x y z
   
mt góc nh nht .
s:


: 4 0

P y z
  

Bài 4: Vit phng trình mt phng



đi qua hai đim




1;2;3 , 2; 2;4
M N 
và song song vi Oy.
(Tài liu ôn thi tt nghip nm 2009)
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498


13
s:


: 2 0
x z

  

Bài 5: Trong không gian vi h to đ Oxyz cho mt phng


: 2 3 7 0
P x y z
    
. Vit phng trình
mt phng (

) đi qua




1;1;0 , 1;2;7
A B  và vuông góc vi (P).
(Tài liu ôn thi tt nghip nm 2009)
s:


:11 8 2 19 0
x y z

   


Dng 3: Vit phng trình mt phng (P) đi qua ba đim M
o
(x

o
;y
o
;z
o
) M
1
(x
1
;y
1
;z
1
) và M
3
(x
3
;y
3
;z
3
)
không thng hàng cho trc
Phng pháp:
Cách 1:
- Tìm hai vecto
0 1 0 2
,
M M M M
 

- Tìm vtpt
0 1 0 2
,
n M M M M
 

 

 

-


P
là mt phng qua
0
M
và có VTPT
n


Cách 2:
- Gi s phng trình mt phng


P
là



0 1
Ax By Cz D   
2 2 2
( 0)
A B C
  

- Vì


P
đi qua ba đim
0 1
,
M M
và
2
M
thay ta đ vào phng trình (1) đc h 3 n, 3 phng trình
theo
,
A B
và
C
. Gii h này ta đc
,
A B
và
C

- Thay vào phng trình (1) ta đc phng trình mt phng


P


Bài tp gii mu:

Bài 1: (SGK – Ban C Bn T80) Trong không gian vi h to đ Oxyz .Vit phng trình mt phng



đi qua ba đim M


3;0;0
 ;


0; 2;0
N  và


0;0; 1
P


Gii:
Cách 1:
Mt phng




đi qua ba đim


3;0;0
M 
;


0; 2;0
N 
và


0;0; 1
P


mt phng



đi qua đim M
và

n



MN

;

n



MP

(vi
MN

và
MP

không cùng phng)

mt phng



đi qua đim M và nhn vtpt

n

= [
MN

,

MP

] = (2;3;6)

mt phng



có phng trình là :
2(x + 3) + 3(y – 0 ) + 6(z – 0) = 0 hay



: 2x + 3y + 6z + 6 = 0
Cách 2:
Gi s mt phng



có dng
2 2 2
0 ( 0)
Ax By Cz D A B C
      

- Mt phng



đi qua M



3;0;0





. 1 .0 .0 0 1
A B C D     
- Mt phng



đi qua


0; 2;0
N 




.0 . 2 .0 0 2
A B C D     
- Mt phng



đi qua



0;0; 1
P





.0 .0 . 1 0 3
A B C D     
Gii h (1), (2) và (3) ta đc A = 2, B = 3, C = 6 và D = 6 .
Vy mt phng



có phng trình là
2 3 6 6 0
x y z
   

Cách 3:
Nhn thy M


3;0;0


Ox ; N



0; 2;0


Oy và P


0;0; 1


Oz nên phng trình mt phng



là
mt phng theo đon chn có dng :
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498


14

1
1
2
3







zyx
hay


: 2 3 6 6 0
x y z

   


Dng 4: Vit phng trình mt phng trung trc ca đon MN, bit M và N có to đ cho trc
Phng pháp:
- Tính ta đ trung đim I ca MN và tính
MN


- Mt phng trung trc ca đon MN là mt phng đi qua I và có vtpt
P
n MN

 

- Bit mt đim và mt vtpt ta đc phng trình mt phng cn tìm

Bài tp gii mu:

Bài 1: (SGK – Ban C Bn T80) Trong không gian vi h to đ Oxyz .Vit phng trình trung trc
ca đon thng AB vi A(2;3;7) và B(4;1;3)
Gii:
Cách 1:
Gi I là trung đim ca đon thng AB

I(3;2;5) .Mt phng trung trc (P) ca đon AB đi trung đim
I ca A,B và vuông góc vi đon thng AB

mt phng trung trc (P) ca đon AB đi qua I và nhn
vect
AB

=


2; 2; 4
 
= 2


1; 1; 2
 
làm vtpt

mt phng trung trc (P) có phng trình là:
1(x – 3) – 1(y – 2) – 2(z – 5 ) = 0 hay


: – – 2 9 0

P x y z
 

Cách 2: (Phng pháp qu tích )
Mi đim M(x;y;z) thuc mt phng trung trc (P) ca đon AB

MA = MB
           
2 2 2 2 2 2
2 2
– 2 – 3 – 7 – 4 – 1 – 3
MA MB x y z x y z       


– – 2 9 0
x y z
 

Cách 3:
Mt phng trung trc (P) nhn
AB

làm vtpt luôn có dng x – y – 2z + D’ = 0 ,vì I

mt phng trung
trc

3 – 2 – 2.5 + D’

D’ = 9


mt phng trung trc (P) có phng trình là : x – y – 2z + 9 = 0
Cách 4:
Mt phng trung trc (P) nhn
AB

làm vtpt luôn có dng x – y + 2z + D’ = 0 vì mt phng (P) cách đu








, , ,
A B d A P d B P
 


411
'7.232

 D
=
411
'3.214

 D


9'13'  DD

D’ = 9
Vy mt phng trung trc (P) có phng trình là:
– – 2 9 0
x y z
 

Nhn xét :
- Bài toán này thc cht là bài toán vit phng trình mt phng đi qua mt đim và vuông góc giá ca
mt vect (thuc dng 1)
- Vect đi qua hai đim cho trc đc coi là mt vtcp ca đng thng

Bài tp t gii:

Bài 1: Trong không gian vi h to đ Oxyz cho 2 đim




1; 4;5 , 3; 2;7
E F . Vit phng trình mt
phng (

) là trung trc ca đon thng EF.
( thi tt nghip THPT h phân ban ln 2 nm 2007)
s:



: 3 5 0
x y z

   


www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498


15
Dng 5: Vit phng trình mt phng (P) song song và cách đu hai hai đng thng (
1

) và (
2

)
cho trc
Phng pháp:
- Mt phng (P) song song vi hai đng thng
1 2
à
v
 
nên có vtpt
1 2
;

P
n u u
 

 
  

- mt phng (P) cách đu hai đng thng
1 2
à
v
 
nên (P) đi qua trung đim ca I ca MN vi
1 2
àM v N
   
Quay v dng 4

Bài tp gii mu:

Bài 1: (HSP HN 2 – 98) Trong không gian Oxyz cho hai đng thng có phng trình là
d :









tz
ty
tx
2
1
2
và d’ :





03
022
y
zx

a. Chng minh rng d và d’ chéo nhau
b. Vit phng trình mt phng (P) song song và đng thi cách đu d và d’
Gii:
a. Chn đim M(2;1;0)

d và d có vtcp


1; 1;2
d
u  

,chn đim N(0;3;1)


d’ và d’ có vtcp


'
2;0;1
d
u  

.Tính
n

= [
d
u

,
'd
u

] =


1; 5; 2
  
(vi
d
u

và

'd
u

không cùng phng) và


2;2;1
MN  


. Xét


. 1. 2 – 5.2 – 2.1 10 0
n MN
     




d và d’ chéo nhau
b. Gi I






2
1

;2;1
là trung đim ca M và N .Mt phng (P) song song và cách đu d và d’

mt phng (P) đi qua I và có vtpt
P
n

=
n



mt phng (P) có phng trình là :
– 1(x – 1) – 5(y – 2) – 2







2
1
z = 0 hay (P) : x + 5y + 2x – 12 = 0
Nhn xét :
- Mt phng (P) song song và đng thi cách đu d và d’ thc cht là mt phng trung trc ca đon M và
N nên có th áp dng các cách  bài (dng 4 )
Bài 2: Vit phng trình mt phng cách đu hai đng thng d
1
và d

2
bit:

1
2
: 2
3
x t
d y t
z t
 


 


 

và
2
1 2 1
:
2 1 5
x y z
d
  
 

Gii:
ng thng d

2
có phng trình tham s là:
1 2 '
2 '
1 5 '
x t
y t
z t
 


 


 



vect ch phng ca d
1
và d
2
là:
1 2
(1;1; 1), (2;1;5)
u u  
 


VTPT ca mp(


) là
1 2
. (6; 7; 1)
d d
n u u

 
   
 
  


pt mp(

) có dng 6x – 7y – z + D = 0
ng thng d
1
và d
2
ln lt đi qua 2đ’ M(2; 2; 3) và N(1; 2; 1)
( ,( )) ( ,( )) |12 14 3 | | 6 14 1 |
| 5 | | 9 | 7
d M d N D D
D D D
 
         
       

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498


16
Vy PT mp(

) là: 3x – y – 4z +
7 0



Dng 6: Vit phng trình mt phng (P) song song và cách đu hai mt phng (Q
1
) và Q
2
(vi Q
1
và
Q
2
song song vi nhau)
Chú ý:
- S dng công thc khong cách
- Khong cách gia hai mt phng song song chính là khong cách t mt đim thuc mt phng này ti
mt phng kia

Bài tp gii mu:

Bài 1: Trong không gian Oxyz cho hai mt phng (P) và (Q) có phng trình là
(P) : 3x – y + 4z + 2 = 0 và (Q) : 3x – y + 4z + 8 = 0
Vit phng trình mt phng (

) song song và cách đu (P), (Q)
Gii:
Vì
P
n

=
Q
n

= (3;-1;4) và 2

8 nên (P) // (Q), chn đim M(0;2;0)

(P) và đim N(0;8;0)

(Q)
Mt phng



song song vi (P) và (Q) luôn có dng 3x – y + 4z + D’ = 0, vì



cách đu (P) và (Q)

nên








, ,d M d N
 



1619
'0.420.3

 D
=
1619
'0.480.3

 D



8'2'  DD


D’ = 4

Vy mt phng (

) có phng trình là :3x – y + 4z + 4 = 0

Dng 7: Vit phng trình mt phng (P) tip xúc vi mt mt cu (S) và tha mãn mt điu kin cho trc
Phng pháp:
- Bc 1: Xác đnh tâm I và bán kính R ca mt cu (S) và vtpt hoc vtcp
- Bc 2: T điu kin cho trc xác đnh vtpt
P
n

, gi s


; ;
P
n a b c


khi đó mt phng


P
có dng
'
ax 0
by cz D
   
vi
'

0
D

(1)
- Bc 3: Mt phng (P) tip xúc vi mt cu (S)




,
d I P R
 
, t đây đc phng trình theo D,
gii phng trình (ti tuyt đi) đc D’ thay vào (1) ta đc phng trình mt phng


P
cn tìm
- Bc 4: Kt lun (thng có hai mt phng tha mãn)
Chú ý: iu kin cho trc là
- Song song vi mt phng


Q
cho trc
P Q
n n
 
 

- Vuông góc vi đng thng d cho trc
P d
n u
 
 

- Song song vi hai đng thng d
1
và d
2
cho trc


1 2
,
P
n u u
 
  

- Vuông góc vi hai mt phng


Q
và


R
cho trc



1 2
,
P
n n n
 
  

- Song song vi đng thng d và vuông góc vi mt phng


Q
cho trc
,
P d Q
n u n
 
 
 
  

Chú ý :
Nu mt phng


P
tip xúc vi mt cu (S) ti


M S


thì mt phng


P
đi qua đim M và có VTPT
là
MI




Bài tp gii mu:


www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498


17

Bài 1: (SGK – Ban C Bn T93) Trong không gian vi h to đ Oxyz. Vit phng trình mt phng



tip xúc vi mt cu (S) có phng trình



2 2 2
: –10 2 26 170 0
S x y z x y z
     

và song song vi hai đng thng

5 2
: 1 3
13 2
x t
d y t
z t
  


 


  


7 3 '
’: 1 2 '
8
x t
d y t
z
  



  





Gii :
Ta có


2; 3;2
d
u  

và


'
3; 2;0
d
u  

.
Mt cu (S)

(x – 5)
2
+ (y + 1)
2

+ (z + 13)
2
= 25

mt cu (S) có tâm


5; 1; 13
I   và bán kính R = 5
Mt phng



song song vi d và d’

mt phng



có

n


d
u

;

n



'd
u

(vi
d
u

và
'd
u

không cùng phng )

mt phng



có vtpt

n

= [
d
u

,
'd
u


] = (4;6;5)

mt phng



luôn có dng 4x + 6y + 5z + D’ = 0
Mt phng (

) tip xúc vi mt cu (S)

d(I,(

)) = R

5
253616
')13.(5)1.(65.4


 D

77552' D

D’ = 52

5 77
Vy có hai mt phng (


) tha mãn đ bài là :



1

: 4x + 6y + 5z + 51 + 5
77
= 0



2

: 4x + 6y + 5z + 51 – 5 77 = 0
Bài 2: (SBT – Ban Nâng Cao T138) Trong không gian Oxyz. Vit phng trình mt phng (P) tip xúc
vi mt cu (S) và vuông góc vi đng thng d có phng trình ln lt là :
(S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 10x + 2y + 26z – 113 = 0 và
5 1 13
:
2 3 2
x y z
d
  

 


Gii:
ng thng d có vtcp


2; 3;2
d
u  

.
Mt cu (S)

(x – 5)
2
+ (y + 1)
2
+ (z + 13)
2
= 308

mt cu (S) có tâm


5; 1; 13
I  
và bán kính
308
R 

Mt phng (P) vuông góc vi đng thng d nên có vtpt


2; 3;2
P d
n u  
 


mt phng (P) luôn có dng 2x – 3y + 2z + D’ = 0
Mt phng (P) tip xúc vi mt cu (S)





,
d I P R


2.( 5) 3.( 1) 2.( 13) '
308 ' 13 5236 ' 13 5236
4 9 4
D
D D
     
       
 

Vy có hai mt phng (P) tha mãn đu bài là :
(P
1
): 2x – 3y + 2z + 13 +
5236 = 0
(P
2
): 2x – 3y + 2z + 13 –
5236 = 0
Bài 3: (SGK – Ban Nâng Cao T90 – HGTVT – 1998 ) Trong không gian Oxyz. Vit phng trình
mt phng (P) song song vi mt phng (Q) và tip xúc vi mt cu (S) có phng trình ln lt là :


: 4 3 –12 1 0
Q x y z
  
và


2 2 2
: – 2 – 4 – 6 – 2 0
S x y z x y z
  

Gii:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498

18
Mt phng (Q) có vtpt


4;3; 12
Q
n  

.
Mt cu (S)

(x – 1)
2
+ (y – 2)
2
+ (z – 3)
2
= 16

mt cu (S) có tâm I(1;2;3) và có bán kinh R = 4
Mt phng (P) song song vi mt phng (Q)

mt phng (P) luôn có dng 4x + 3y – 12z + D’ = 0
Mt phng (P) tip xúc vi mt cu (S)




,

d I P R
 

4.1 3.2 12.3 '
' 26
4 ' 26 52
' 78
16 9 144
D
D
D
D
  


     


 


Vy có hai mt phng tha mãn đu bài là :
(P
1
): 4x + 3y – 12z + 78 = 0
(P
2
): 4x + 3y – 12z – 26 = 0
Bài 4: (Tài Liu Ôn Thi Tt Nghip 2009) Trong không gian vi h to đ Oxyz . Vit phng trình
mt phng (


) song song vi trc Oz, vuông góc vi mt phng (P): x + y + z = 0 và tip xúc vi mt
cu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 2x + 2y – 4z – 3 = 0
Gii:
Mt phng (P) có vtpt
P
n

= (1;1;1) .
Mt cu (S)

(x – 1)
2
+ (y + 1)
2
+ (z – 2)
2
= 9

mt cu (S) có tâm


1; 1; 2
I

 
và có bán kính R = 3
Mt phng (

) song song vi trc Oz và vuông góc vi mt phng (P)

mt phng (

) có

n


k

;

n


P
n

(vi k

và
P
n

không cùng phng )


mt phng (

) có vtpt

n

= [ k

,
P
n

] =


1; 1;0


mt phng (

) luôn có dng x – y + D’ = 0
Mt phng (

) tip xúc vi mt cu (S)




,

d I P R
 

1.1 1.( 1) '
3 ' 2 3 2 2 3 2
1 1
D
D D
  
        


Vy có hai mt phng tho mãn đu bài là:



1

: x – y – 2 + 3
2
= 0



2

: x – y – 2 – 3
2
= 0
Bài 5: (SBT – Ban Nâng Cao T126) Trong không gian vi h to đ O xyz cho mt cu

(S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 6x – 2y + 4z + 5 = 0 và đim M(4;3;0) .Vit phng trình mt phng (P) tip xúc vi
mt cu (S) và đi qua đim M
Gii:
Vì M(4;3;0)

(S) nên mt phng (P) đi qua M và tip xúc vi mt cu (S) là mt phng đi qua M và
nhn


1;2;2
IM 

làm vtpt vi


3;1; 2
I

là tâm ca mt cu (S)

mt phng (P) có phng trình là:
1(x – 4) + 2(y – 3) + 2(z – 0 ) = 0 hay (P): x + 2y + 2z – 10 = 0
Bài 6: Trong không gian vi h to đ Oxyz cho mt cu
2 2 2

( ) : 2 6 4 2 0
S x y z x y z
      
. Vit
phng trình mt phng (P) song song vi giá ca véc t
(1;6;2)
v

, vuông góc vi mt phng
( ) : 4 11 0
x y z

   
và tip xúc vi (S).
Gii:
Ta có mt cu (S) có tâm


1; 3;2
I  và bán kính
4
R


Véc t pháp tuyn ca
( )

là
(1;4;1)
n



Vì
( ) ( )
P


và song song vi giá ca
v

nên nhn véc t
(2; 1;2)
p
n n v   
  
làm vtpt.
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498


19
Do đó


: 2 2 0
P x y z m
   

Vì (P) tip xúc vi (S) nên
21
( ,( )) 4 ( ,( )) 4
3
m
d I P d I P
m
 

   




Vy có hai mt phng:


1
: 2 2 21 0
P x y z
   
và


2
: 2 2 3 0
P x y z
   

Bài tp t gii:

Bài 1: Vit phng trình mt phng



tip xúc vi mt cu
       
2 2 2
: 2 1 1 9
S x y z
     
và vuông góc vi đng thng
1
: 1 2
1 3
x t
d y t
z t
  


 


  


s:
2 3 7 3 14 0

x y z
    
và
2 3 7 3 14 0
x y z
    

Bài 2: Trong không gian vi h to đ Oxyz cho mt cu


2 2 2
: 4 2 4 7 0
S x y z x y z
      

và hai đng thng
4 0
:
3 1 0
x y z
d
x y z
   


   

và
1 2
’ :

1 2 2
x y z
d
 
 

. Vit phng trình mt phng




là tip din ca (S) đng thi song song vi d và d’.
s:
4 7 12 2 0
x y z
     
và
4 7 12 2 0
x y z
     

Bài 3: Vit phng trình mt phng




/ / : 2 2 4 0
P x y z

   

và tip xúc vi mt cu (S) có
phng trình:
2 2 2
2 2 4 3 0
x y z x y z
      

s:
2 2 17 0
x y z
   
và
2 2 1 0
x y z
   

Bài 4: Vit phng trình mt phng




/ / : 2 2 1 0
P x y z

   
và tip xúc vi mt cu (S)
có phng trình:
     
2 2 2
2 1 2 4.

x y z
     

s:
2 2 6 0
x y z
   
và
2 2 6 0
x y z
   

Bài 5: Vit phng trình mt phng



tip xúc vi mt cu


2 2 2
: 2 2 4 3 0
S x y z x y z
      
và vuông góc vi đng thng
1 2
:
1 2 2
x y z
d
 

 


s:
2 2 6 0
x y z
   
và
2 2 12 0
x y z
   

Bài 6: Vit phng trình mt phng



song song vi
2 1
:
1 3 1
x y z
d
 
 

, vuông góc vi


: 2 1 0
P x y z

   
và tip xúc vi mt cu
     
2 2
2
: 2 1 9
S x y z
    

s:
4 3 5 11 15 2 0
x y z
     
và
4 3 5 11 15 2 0
x y z
     

Bài 7: Trong không gian vi h to đ Oxyz cho mt cu


2 2 2
: 2 2 4 3 0
S x y z x y z
      

và hai đng thng
2 2 0
:
2 0

x y
d
x z
  


 

và
'
1
:
1 1 1
x y z
d

 
 
. Vit phng trình mt phng



là tip
din ca (S) đng thi song song vi d và d’.
s:
3 3 2 0
y z
   
và
3 3 2 0

y z
   

Bài 8: Trong không gian ta đ Oxyz, lp phng trình mt phng



đi qua hai đim


0; 1;2 ,
A 



1;0;3
B
và tip xúc vi mt cu


S
có phng trình:
2 2 2
( 1) ( 2) ( 1) 2
x y z
     



www.MATHVN.com

www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498


20
Dng 8: Vit phng trình mt phng



cha mt đng thng

cho trc và tho mãn điu kin
Loi 1: Vit phng trình mt phng



cha đng thng

và vuông góc vi mt phng




Phng pháp:
1. Tìm VTPT ca



là

n


và VTCP ca

là
u



2. VTPT ca mt phng



là:
n n u
 

 
  

3. Ly mt đim M trên


4. Áp dng cách vit phng trình mt phng đi qua 1 đim và có 1 VTPT
Chú ý: Thc cht đây là bài toán vit phng trình mt phng đi qua hai đim và vuông góc vi mt mt
phng
Loi 2: Vit phng trình mt phng




cha đng thng

và song song vi

’ (

,

’ chéo nhau)
Phng pháp:
1. Tìm VTCP ca

và

’ là
u


và
'
u



2. VTPT ca mt phng



là:

'
n u u

 
 
  

3. Ly mt đim M trên


4. Áp dng cách vit phng trình mt phng đi qua 1 đim và có 1 VTPT
Chú ý: Thc cht đây là bài toán vit phng trình mt phng đi qua hai đim và song song vi mt
đng thng
Loi 3: Vit phng trình mt phng



cha đng thng

và 1 đim M
Phng pháp:
1. Tìm VTCP ca

là
u


, ly 1 đi m N trên

. Tính ta đ

MN


2. VTPT ca mt phng



là:
n u MN


 
  

3. Áp dng cách vit phng trình mt phng đi qua 1 đim và có 1 VTPT
Chú ý: Thc cht đây là bài toán vit phng trình mt phng đi qua ba đim phân bit cho trc
Loi 4: Vit phng trình mt phng



cha đng thng

và to vi mt phng



(hoc đng
thng
d
) mt góc



Loi 5: Vit phng trình mt phng



cha đng thng

và cách mt đim M không thuc


mt khong h

Bài tp gii mu:

Bài 1: (SBT – Ban Nâng Cao T125) Trong không gian vi h to đ Oxyz .Vit phng trình mt phng


P

a. i qua đim


2;1; 1
o
M

và qua giao tuyn ca hai mt phng



Q
và


R
có phng trình ln lt là:
– – 4 0
x y z
 
và
3 – –1 0
x y z
 

b. Qua giao tuyn ca hai mt phng


: 3 – – 2 0
x y z

 
và


: 4 – 5 0
x y

 
đng thi vuông góc
vi mt phng



: 2 – 7 0
x z

 

Gii:
a. Cách 1:
Gi

là giao tuyn ca (Q) và (R)

có phng trình


:





013
04
zyx
zyx

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:

D: 01694 013 498


21
chn hai đim
3 11
; ;0
2 2
M
 
 
 
 
và
3 11
;0;
2 2
N

 
 
 
 

Mt phng (P) đi qua giao tuyn ca (Q) và (P)

mt phng (P) cha giao tuyn




mt phng (P) đi qua ba đim M
o
; M và N

(P) đi qua đim M
o
và có vtpt
P
n

= [
0
M M

,
0
M N

] =
 
7;7;15
4
11
4
77
;
4
77
;
4

165










(vi
0
M M

và
0
M N

không cùng phng )

mt phng (P) có phng trình là :
15(x – 2) – 7(y – 1) + 7(z + 1) = 0 hay


: 15 – 7 7 – 16 0
P x y z
 

Cách 2:

Gi

là giao tuyn ca


Q
và


R


có phng trình

– – 4 0
:
3 – –1 0
x y z
x y z
 



 


Chn hai đim
3 11
; ;0
2 2

M
 
 
 
 
và
3 11
;0;
2 2
N
 

 
 
 

Gi s mt phng


P
có dng :


2 2 2
0 0
Ax By Cz D A B C
      


mt phng



P
có vtpt


; ;
P
n A B C



- Mt phng


P
đi qua
3 11
; ;0
2 2
M
 
 
 
 
 
3 11
. . .0 0 1
2 2
A B C D

   
      
   
   

- Mt phng


P
đi qua
3 11
;0;
2 2
N
 

 
 
 
3 11
. .0 . 0 2
2 2
A B C D
 
     
 
 

- Mt phng



P
đi qua


2;1; 1
o
M





.2 .1 . 1 0 3
A B C D     
Gii h (1), (2) và (3) ta đc


15, 7, 7, 16 : 15 – 7 7 – 16 0
A B C D P x y z
        

Cách 3: S dng phng pháp chùm (tham kho phn sau)
Nhn xét: Thc cht bài toán này chính là bài toán này chính là bài toán vit phng trình mt phng đi
qua ba đim (trong đó hai đim còn li thuc giao tuyn ca hai mt phng)
b. Cách 1:
Gi

là giao tuyn ca




và (

)


có phng trình


:





054
023
yx
zyx

Chn hai đim


M 5;0; 13
 và N(1;1;0)



Mt phng (P) đi qua giao tuyn ca hai mt phng (


),



và vuông góc vi mt phng





mt phng (P) cha giao tuyn

và vuông góc vi mt phng





mt phng (P) đi qua đim M và có vtpt
P
n

= [
MN

,

n


] =


1;22; 2
 


mt phng (P) có phng trình là :
– 1(x – 5) + 22(y – 0 ) – 2(z + 13) = 0 hay (P) : x – 22y + 2z + 21 = 0
Hoc có th tính
,
P
n u n


 

 
  

Nhn xét:
Thc cht bài toán này chính là bài toán này chính là bài toán vit phng trình mt phng đi qua hai
đim và vuông góc vi mt mt phng (trong đó hai đim còn li thuc giao tuyn ca hai mt phng)
Cách 2:
. Gi

là giao tuyn ca




và





có phng trình
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498


22


:





054
023
yx
zyx

Chn hai đim



5;0; 13
M  và


1;1;0
N
 

Gi s mt phng


P
có dng :


2 2 2
0 0
Ax By Cz D A B C
      


mt phng


P
có vtpt


; ;
P

n A B C



- Mt phng


P
đi qua


5;0; 13
M 




.5 .0 . 13 0 1
A B C D     

- Mt phng


P
đi qua


1;1;0
N



.1 .1 .0 0 2
A B C D    

T (1) và (2) ta đc
4
13
A B
C

 và
D A B
  

Nên mt phng


P
có vtpt
4
; ;
13
P
A B
n A B

 

 
 



Mt phng



có vtpt


2;0; 1
n

 

, mt phng


P
vuông góc vi





 
4
. .2 .0 . 1 0 22
13
P
A B

n n A B A B


 
       
 
 
 
chn
1, 22 2, 21
A B C D
     

Vy mt phng


P
có phng trình là
– 22 2 21 0
x y z
  

Cách 3: S dng phng pháp chùm (tham kho phn sau)
Bài 2: (H – A 2002) Trong không gian vi h to đ vuông góc Oxyz cho hai đng thng
1
2 4 0
:
2 2 4 0
x y z
x y z

   



   


2
1
: 2
1 2
x t
y t
z t
 


  


 


Vit phng trình mt phng


P
cha đng thng
1


và song song vi đng thng
2


Gii:
Cách 1:
Chn


M 0; 2;0



1
và

1
có vtcp
1
u

= (2;3;4),

2
có vtcp
2
u

= (1;1;2)
Mt phng (P) cha đng thng


1
và song song vi đng thng

2


mt phng (P) đi qua đim M và có vtpt
P
n


= [
1
u

,
2
u

] = (2;0;-1)

mt phng (P) có phng trình là :
2(x – 0 ) + 0(y + 2) – 1(z – 0 ) = 0 hay
2 0
x z
 

Hoc Có th tính vtpt là
2

,
P
n MN u
 

 

 
vi
1
,M N
 

Cách 2:
Chn hai đim
4 8
;0;
3 3
M
 
 
 
và


0; 2;0
N 
1
 

Gi s mt phng


P
có dng :


2 2 2
0 0
Ax By Cz D A B C
      


mt phng


P
có vtpt


; ;
P
n A B C



- Mt phng


P

đi qua
4 8
;0;
3 3
M
 
 
 
 
4 8
. .0 . 0 1
3 3
A B C D    
- Mt phng


P
đi qua


0; 2;0
N 




.0 . 2 .0 0 2
A B C D     

T (1) và (2) ta đc

1 3
2 4
C A B
   và
2
D B


Nên mt phng


P
có vtpt
1 3
; ;
2 4
P
n A B A B
 
  
 
 


www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498

23
ng thng
2

có vtcp


2
1;1;2
u 

, mt phng


P
song song vi đng thng
2



2
1 3
. .1 .1 .2 0 5 0
2 4
P
n u A B A B B
 
        
 
 



chn
1
1, 0 , 0
2
A B C D
     

Vy mt phng


P
có phng trình là
1
– 0 2 0
2
x z x z
   

Cách 3: S dng phng pháp chùm (tham kho phn sau)
Bài 4: Trong không gian vi h to đ Oxyz. Vit phng trình mt phng


P
đi qua giao tuyn ca hai
mt phng


: – – 3 0

x y z

 
và


: 3 5 – 1 0
x y z

  
đng thi song song vi mt
phng


: 2 – 3 0
x y z

  

Gii:
Cách 1:
Gi

là giao tuyn ca (

) và (

)



có phng trình


:





0153
03
zyx
zyx

Chn M








3
4
;
3
4
;3
Mt phng (P) đi qua giao tuyn ca (


) và (

) đng thi song song vi mt phng (

)

mt phng (P) cha giao tuyn

và song song vi mt phng (

)

mt phng (P) đi qua đim M và luôn có dng: x + y + 2z + D’ = 0


P
đi qua đim M nên 3 +







3
4
+ 2








3
4
+ D’ = 0

D’ = 1
Vy mt phng (P) có phng trình x + y + 2z + 1 = 0
Hoc: Mt phng (P) đi qua đim M và có vtpt
,
P
n u n


 

 
  

Hoc: Mt phng (P) đi qua đim M và có vtpt
,
P
n MN n

 

 

  
vi
,M N
 

Cách 2:
Gi

là giao tuyn ca



và





có phng trình

3 0
:
3 5 1 0
x y z
x y z
   



   



Gi s mt phng


P
có dng :


2 2 2
0 0
Ax By Cz D A B C
      


mt phng


P
có vtpt


; ;
P
n A B C



Chn hai đim



1
7;0; 4
M

và


2
1; 2;0M
 

- Mt phng


P
đi qua


1
7;0; 4
M





.7 .0 . 4 0 1
A B C D     

- Mt phng


P
đi qua


2
1; 2;0
M 




.1 . 2 .0 0 2
A B C D     

T (1) và (2) ta đc
3
2
B A
C


và
2 –
D B A


Nên mt phng



P
có vtpt
3
; ;
2
P
B A
n A B

 

 
 


Mt phng



có vtpt


1;1;2
n



, mt phng



P
song song vi





P
n

và

n

cùng phng


2
.
2
3
1
1
ABBA

 chn
1, 1 2, 1
A B C D

    

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498


24
Vy mt phng


P
có phng trình là
2 1 0
x y z
   

Cách 3: S dng phng pháp chùm (tham kho phn sau)
Nhn xét :
Thc cht bài toán này chính là bài toán này chính là bài toán vit phng trình mt phng đi qua mt
đim và song song mt mt phng (trong đó mt đim còn li thuc giao tuyn ca hai mt phng)
Bài 5: Trong không gian Oxyz cho hai đim




1;3; 2 , 3;7; 18
A B    và mt phng



: 2 1 0
P x y z
   
. Vit phng trình mt phng cha AB và vuông góc vi mp (P).
Gii:
Gi (Q) là mt phng cn tìm
Ta có
( 2,4, 16)
AB   

cùng phng vi
( 1, 2, 8)
a
  


Mt phng (P) có vtpt
1
(2; 1;1)
n  


Mt phng (Q) cha đng thng AB và vuông góc vi mt phng (P) nên có
vtpt




, 6;15;3 3 2;5;1

Q
n n a
 
  
 
  

Chn vtpt ca mt phng (Q) là
2
(2,5,1)
n 


Mp(Q) cha AB và vuông góc vi (P) đi qua A nhn
2
(2,5,1)
n 

là vtpt có phng trình là:
2(x + 1) + 5(y  3) + 1(z + 2) = 0  2x + 5y + z  11 = 0

Bài 6: Trong không gian vi h ta đ Oxyz cho hai đng thng d và d
’
ln lt có phng trình là:
d : z
y
x 




1
2
và d’ :
1
5
3
2
2




z
y
x
.
Vit phng trình mt phng )(

đi qua d và to vi d
’
mt góc
0
30

Gii:
- ng thng d đi qua đim )0;2;0(M và có vtcp
(1; 1;1)
u 


- ng thng d
’
đi qua đim )5;3;2('

M và có vtcp
'(2;1; 1)
u



Gi s mt phng )(

có vtpt
( ; ; )
n A B C



Mt phng )(

phi đi qua đim M và có vtpt
n

vuông góc vi và u
ng thi to vi đng thng d
’
mt góc
0
30 tc là
2

1
60cos)';cos(
0
un
Ta có h









2
1
6
2
0
222
CBA
CBA
CBA

















02
)(632
22
222
CACA
CAB
CCAAA
CAB

Gii phng trình
2 2
2 0 ( )(2 ) 0
2
A C
A AC C A C A C
A C


       

 


.
- Nu CA

, chn
1
A C
 
, khi đó
2

B
, tc là
(1;2;1)
n 

và mt phng
( )

có phng trình là
0)2(2




zyx hay
2 4 0
x y z
   

- Nu CA


2 , chn 2,1



CA , khi đó
1


B
, tc là
(1; 1; 2)
n
  

và mt phng
( )

có phng trình
là 02)2(




zyx hay
2 2 0
x y z
   

Bài 7: Trong không gian vi h ta đ Oxyz cho hai đng thng
1
1 1
:
2 1 1
x y z
d
 
 

và
2
2 1
:
1 1 1
x y z
d
 
 

. Vit phng trình mt phng cha
1
d
và hp vi
2
d
mt góc 30
0

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498


25
Gii:
Gi s mt phng


P
có dng :


2 2 2
0 0
Ax By Cz D A B C
      


mt phng


P
có vtpt


; ;
P

n A B C



Trên đng thng
1
d
ly 2 đim




1;0; 1 , 1;1;0
M N 
Do


P
qua
,
M N
nên:
0 2
0
A C D C A B
A B D D A B
    
 

 

     
 

Nên
( ) : (2 ) 0
P Ax By A B z A B
     
.
Theo gi thit ta có
0
2 2 2 2 2 2
1. 1. 1.(2 )
1
sin 30
2
1 ( 1) 1 . (2 )
A B A B
A B A B
  
 
     

2 2 2 2
2 3 2 3(5 4 2 ) 21 36 10 0
A B A AB B A AB B
        

D thy
0
B


nên chn
1
B

, suy ra:
18 114
21
A


Vy có 2 mt phng tha mãn:
18 114 15 2 114 3 114
0
21 21 21
x y z
 
   

.
Bài 8: Trong không gian ta đ Oxyz cho 2 đng thng có phng trình:
1 2
2 3 5 0 2 2 3 17 0
: :
2 0 2 2 3 0
x y z x y z
d và d
x y z x y z
       
 

 
      
 

Lp phng trình mt phng đi qua
1
d
và song song vi
2
d
.
Gii:
Gi (Q) là mt phng cn tìm
ng thng
1
d
và
2
d
có vtcp ln lt là
1 2
(1; 1; 1); (1; 2;2)
u u    
 

Mt phng (Q) đi qua
1
d
và song song vi
2

d
nên có vtpt là
1 2
, ( 4; 3; 1) 1(4;3;1)
Q
n u u
 
      
 
  

Chn
(4;3;1)
Q
n 

và
1
(2; 1;0)
I d
 

Mt khác:
2
(0; 25;11)
J d
 
ta thy



(0; 25;11)
J Q
 

Vy mt phng (Q) có phng trình là
( ) : 4( 2) 3( 1) 0 ( ) : 4 3 5 0
Q x y z hay Q x y z
        

Bài 9: Cho đng thng
2 0
:
1 0
y
d
z
 


 

. Vit phng trình mt phng


P
đi qua
d
và to vi mt phng
Oxy mt góc
0

45

s: Mt phng






: 2 1 0
P y z
    

Bài 10: Vit phng trình mt phng đi qua đng thng
2 0
:
1 0
x y z
d
x y
  


  

và cách đim


0;0;2
M

mt khong
1
2
h 
s: Có hai mt phng tha mãn là
1 0, 5 4 3 1 0
x y x y z
      


Bài tp t gii:

Bài 1: Trong không gian Oxyz cho hai đim




1;3; 2 , 3;7; 18
A B    và mt phng


: 2 1 0
P x y z
   
. Vit phng trình mt phng cha AB và vuông góc vi mp (P).
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com