tìm kiếm thông minh với ứng dụng của tập mờ trực cảm

Số hóa bởi trung tâm học liệu
i
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG



NGUYỄN TUẤN CƢỜNG




TÌM KIẾM THÔNG MINH VỚI ỨNG DỤNG
CỦA TẬP MỜ TRỰC CẢM







LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2013

Số hóa bởi trung tâm học liệu
i
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG



NGUYỄN TUẤN CƢỜNG



TÌM KIẾM THÔNG MINH VỚI ỨNG DỤNG
CỦA TẬP MỜ TRỰC CẢM

Chuyên ngành: KHOA HỌC MÁY TÍNH
Mã số: 60.48.01





LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

Giáo viên hƣớng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN TÂN ÂN




Thái Nguyên, tháng 10 năm 2013

Số hóa bởi trung tâm học liệu
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan toàn bộ nội dung trong luận văn này do tôi tự nghiên cứu,
đọc, dịch tài liệu, tổng hợp và thực hiện. Trong luận văn tôi có sử dụng một số tài
liệu tham khảo như đã trình bày trong phần tài liệu tham khảo.
Ngƣời viết luận văn


Nguyễn Tuấn Cƣờng

Số hóa bởi trung tâm học liệu
ii
LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy TS Nguyễn Tân Ân – Đại
học Sư phạm Hà Nội đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo cho tôi trong suốt quá trình làm
luận văn.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trường Đại học Công nghệ thông
tin và Truyền thông – Đại học Thái Nguyên, các thầy cô Viện Công nghệ thông tin
đã truyền đạt những kiến thức và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học của mình.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các đồng nghiệp trong đơn vị công tác, gia
đình và bạn bè những người đã động viên tạo mọi điều kiện giúp đỡ tôi trong suốt

hai năm học.

Số hóa bởi trung tâm học liệu
iii
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN i
LỜI CẢM ƠN ii
MỤC LỤC iii
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CHỮ CÁI VIẾT TẮT iv
DANH MỤC CÁC HÌNH v
MỞ ĐẦU 1
Chƣơng 1: NHỮNG KIẾN THỨC CƠ SỞ TẬP MỜ, TẬP MỜ TRỰC CẢM,
VẤN ĐỀ TÌM KIẾM 4
1.1. Tập mờ 4
1.1.1. Định nghĩa tập mờ, số mờ [1] 4
1.1.2. Các phép toán trên tập mờ, số mờ hình thang, số mờ tam giác 9
1.2. Tập mờ trực cảm 18
1.2.1. Định nghĩa 18
1.2.2. Các phép toán trên số mờ trực cảm hình thang, hình tam giác 20
1.3. Bài toán tìm kiếm lời giải và những kỹ thuật tìm kiếm 26
1.4. Kết luận chương 1 37
Chƣơng 2: TÌM KIẾM THÔNG MINH VỚI ỨNG DỤNG CỦA TẬP MỜ
TRỰC CẢM 38
2.1. Tìm kiếm thông minh 38
2.2. Thuật toán tìm kiếm thông minh với ứng dụng tập mờ trực cảm 53
2.3. Kết luận chương 2 58
Chƣơng 3: VÍ DỤ ÁP DỤNG 59
3.1. Một số bài toán tìm kiếm 59
3.2. Lời giải 61
3.3. Kết luận chương 3 82

KẾT LUẬN 83
TÀI LIỆU THAM KHẢO 84

Số hóa bởi trung tâm học liệu
iv
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CHỮ CÁI VIẾT TẮT
Vague sets (VS)
Tập mờ trực cảm
Vague Number (VN)
Số mờ trực cảm
Vague Relation (VR)
Quan hệ mờ trực cảm
Vague Tolerance Relation (VTR)
Quan hệ gần đúng
Vague Proximity Relation (VPR)
Quan hệ lân cận
Depth First Search (DFS)
Tìm kiếm theo chiều sâu
Breadth First Search (BFS)
Tìm kiếm theo chiều rộng
Domain (Dom)
Miền
Not less than (nlt)
Không nhỏ hơn
Sup
Cận trên
Inf
Cận dưới

Số hóa bởi trung tâm học liệu
v
DANH MỤC CÁC HÌNH

Hình 1.1: Biểu diễn tập mờ cho số "integer nhỏ" 4
Hình 1.2: Biểu diễn tập mờ cho các tập người thấp, trung bình và cao 5
Hình 1.3: Tập mờ lồi 6
Hình 1.4: Đồ thị hàm thành viên nhóm hàm đơn điệu 7
Hình 1.5: Đồ thị hàm thành viên nhóm hàm hình chuông 7
Hình 1.6: Hàm thành viên của phần bù mờ 9
Hình 1.7: Hàm thành viên của hợp hai tập mờ có cùng cơ sở 9
Hình 1.8a: Phép hợp hai tập mờ không cùng cơ sở: Hàm thành viên của 2 tập
mờ A, B 10
Hình 1.8b: Phép hợp hai tập mờ không cùng cơ sở: Đưa 2 tập mờ về chung
một cơ sở MxN 10
Hình 1.8c: Phép hợp hai tập mờ không cùng cơ sở: Hợp 2 tập mờ trên cơ sở MxN 10
Hình 1.9: Phép giao hai tập mờ cùng cơ sở 11
Hình 1.10: Phép giao hai tập mờ không cùng cơ sở 12
Hình 1.11: Số mờ hình thang 17
Hình 1.13: Số mờ trực cảm hình thang 21
Hình 1.14: Số mờ trực cảm tam giác 21
Hình 1.15: Đồ thị không gian trạng thái 28
Hình 1.16: Trạng thái ban đầu và trạng thái kết thúc của bài toán 8 số 30
Hình 1.17: Các trạng thái của cây trò chơi 36
Hình 1.18: Cây tìm kiếm và sự bùng nổ tổ hợp 37
Hình 2.1: Hình ảnh của tìm kiếm chiều sâu. Nó chỉ lưu ý "mở rộng" trạng thái được
chọn mà không "mở rộng" các trạng thái khác (nút màu trắng). 39
Hình 2.2: Hình ảnh của tìm kiếm chiều rộng. Tại một bước, mọi trạng thái đều
được mở rộng, không bỏ sót trạng thái nào 41
Hình 2.3: Chi phí ước lượng h‟ = 6 và chi phí tối ưu thực sự h = 4+5 = 9 (đi

theo đường 1-3-7) 43

Số hóa bởi trung tâm học liệu
vi
Hình 2.5: Đồ thị không gian trạng thái 47
Hình 2.6: Cây tìm kiếm Beam 48
Hình 2.7: Đồ thị không gian trạng thái 50
Hình 2.8: Sơ đồ biểu thị đường đi 51
Hình 2.9: Đồ thị không gian trạng thái 55
Hình 3.1: Trạng thái ban đầu và trạng thái kết thúc của bài toán 8 số 59
Hình 3.2: Giải bài toán Ta canh bằng phương pháp tìm kiếm theo chiều sâu 59
Hình 3.3: Giải bài toán Ta canh bằng thuật giải Heuristics tìm đường đi có giá
nhỏ nhất với tri thức bổ sung 60
Hình 3.1: Trạng thái ban đầu và trạng thái kết thúc của bài toán 8 số 61



Số hóa bởi trung tâm học liệu
1
MỞ ĐẦU
Xuất phát từ sự bùng nổ thông tin và mạng internet kết nối hầu hết các máy
tính của các tổ chức thành những kho dữ liệu khổng lồ. Tuy nhiên, dữ liệu được bố
trí sắp xếp và phân tán thành nhiều tập dữ liệu được lưu trữ trên các hệ thống máy
tính lớn nằm rải rác trên toàn thế giới. Với một kỹ thuật đơn giản thì việc tìm kiếm
thông tin là rất khó khăn và không chính xác mất nhiều thời gian tìm kiếm. Câu hỏi
đặt ra là làm thế nào để con người có thể vươn tới tầm cao tri thức làm chủ được
công nghệ, tìm kiếm thông tin nhanh và chính xác.
Cùng với việc phát minh ra các thuật toán tìm kiếm tối ưu các kỹ thuật mới
xuất hiện và có tốc độ phát triển rất nhanh đóng góp vai trò quan trọng trong việc
tìm kiếm dữ liệu, các thuật toán mới xuất hiện với thời gian tính toán đã phần nào

giải quyết được những vướng mắc nói trên.
Ngoài ra còn có sự hỗ trợ của nhiều phương pháp, liên quan đến nhiều lĩnh
vực, ngành khác như: lý thuyết thuật toán, thị giác máy tính (Visualization), Data
Warehouses, OLAP, tính toán song song, cấu trúc ôtômát mờ và các phép tính toán
kết quả cao…nhưng chủ yếu dựa trên nền tảng của xác suất thống kê, cơ sở dữ liệu,
lý thuyết mờ, lý thuyết ôtômát và học máy.
Đây là một quá trình mang tính định tính với mục đích xác định được
lĩnh vực yêu cầu phát hiện tri thức và xây dựng bài toán tổng thể. Trong thực
tế, các cơ sở dữ liệu được chuyên môn hoá và phân chia theo các lĩnh vực
khác nhau như sản xuất, kinh doanh, tài chính Với mỗi tri thức phát hiện
được, có thể có giá trị trong lĩnh vực này nhưng lại không mang nhiều ý nghĩa
đối với một lĩnh vực khác. Vì vậy việc xác định lĩnh vực và định nghĩa bài
toán giúp định hướng cho giai đoạn tiếp theo – thu thập và tiền xử lý dữ liệu.
Các cơ sở dữ liệu thu được thường chứa rất nhiều thuộc tính nhưng lại
không đầy đủ, không thuần nhất, có nhiều lỗi và các giá trị đặc biệt. Vì vậy,
giai đoạn thu thập và tiền xử lý dữ liệu trở nên rất quan trọng trong quá trình
phát hiện tri thức từ cơ sở dữ liệu phục vụ cho việc tìm kiếm dữ liệu.
Quá trình tìm kiếm lời giải thực sự là một bài toán khó. Các phương pháp vét
cạn kinh điển như tìm kiếm sâu (DFS), tìm kiếm rộng (BFS),… đều không thể áp

Số hóa bởi trung tâm học liệu
2
dụng trong không gian tìm kiếm lớn bởi độ phức tạp thời gian. Trong môi trường
mờ vấn đề tìm kiếm càng khó. Lý thuyết tập mờ được L.Zadeh đề nghị năm 1965
đã khẳng định được tính ưu việt của nó. Tuy nhiên lý thuyết mờ cũng không ngừng
được phát triển. Năm 1993 Gau and Buehrer đã đưa ra tập mờ trực cảm
(intuitionistic fuzzy (vague) sets) [6]. Trong nhiều trường hợp tập mờ trực cảm mô
tả thông tin mờ một cách hợp lý hơn và cho kết quả xử lý thông tin tốt hơn tập mờ
của Zadeh. Những nghiên cứu về tập mờ trực cảm, tìm kiếm thông minh trong môi
trường mờ nói chung và trong môi trường được mô tả bởi tập mờ trực cảm nói riêng

còn ít. Vì thế trong khuôn khổ của luận văn thạc sĩ, em chọn đề tài “Tìm kiếm thông
minh với ứng dụng của tập mờ trực cảm” nhằm tìm hiểu các thuật toán tìm kiếm lời
giải, một nội dung kiến thức rất quan trọng của những chuyên gia về công nghệ
thông tin.
Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Vấn đề tìm kiếm lời giải
- Tập mờ, tập mờ trực cảm
- Tìm kiếm thông minh với ứng dụng của tập mờ trực cảm
Hƣớng nghiên cứu của đề tài
Nghiên cứu thuật toán tìm kiếm thông minh ứng dụng tập mờ trực cảm
Những nội dung nghiên cứu chính
Chƣơng 1: Những kiến thức cơ sở Tập mờ, tập mờ trực cảm, vấn đề tìm kiếm
1.1. Tập mờ
1.1.1. Định nghĩa tập mờ, số mờ
1.1.2. Các phép toán trên tập mờ, số mờ hình thang, số mờ tam giác
1.2. Tập mờ trực cảm
1.2.1. Định nghĩa
1.2.2. Các phép toán trên số mờ trực cảm hình thang, hình tam giác
1.3. Bài toán tìm kiếm lời giải và những kỹ thuật tìm kiếm
1.4. Kết luận chương 1
Chƣơng 2: Tìm kiếm thông minh với ứng dụng của tập mờ trực cảm
2.1. Tìm kiếm thông minh

Số hóa bởi trung tâm học liệu
3
2.2. Thuật toán tìm kiếm thông minh với ứng dụng tập mờ trực cảm
2.3. Kết luận chương 2
Chƣơng 3: Ví dụ áp dụng
3.1. Một số bài toán tìm kiếm
3.2. Lời giải

3.3. Kết luận chương 3
Phƣơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý thuyết: Tìm đọc tài liệu, đối chiếu, so sánh, rút trích, hệ
thống hóa, viết thành luận văn
- Thực hành: Tìm kiếm lời giải trong một số trường hợp.
Ý nghĩa khoa học của đề tài
Áp dụng và khẳng định tính ưu việt của tập mờ trực cảm trong một số trường
hợp cụ thể, đặc biệt trong tìm kiếm thông minh.

Số hóa bởi trung tâm học liệu
4
Chƣơng 1
NHỮNG KIẾN THỨC CƠ SỞ TẬP MỜ, TẬP MỜ TRỰC CẢM, VẤN ĐỀ
TÌM KIẾM
1.1. Tập mờ
Trong thực tế chúng ta đánh giá kết quả không chỉ mang tính chất đúng
hoặc sai mà còn mang tính chất định tính không chắc chắn thông qua việc sử dụng
các biến ngôn ngữ để phản ánh. Một trong những cách đánh giá và xử lý dạng biếu
diễn thông tin thu được những kết quả rất tốt đó là cách tiếp cận mờ. Từ năm 1965,
L.A.Zadeh đã xây dựng lý thuyết tập mờ, tạo ra một cơ sở toán học cho việc tiếp
cận lập luận tính toán của con người. Ý tưởng của ông là mở rộng tập logic cổ điển
(logic Boole), làm tăng thêm khả năng suy luận của con người, góp phần đánh giá
kết quả đi đến độ chính xác nhất. Sau đây là một số khái niệm và tính chất cơ bản
của tập mờ.
1.1.1. Định nghĩa tập mờ, số mờ [1]
Định nghĩa tập mờ
Cho tập vũ trụ U, tập A U được gọi là tập mờ nếu A được xác định bởi
hàm
A
:U [0,1].

A
được gọi là hàm thuộc, hàm thành viên hay hàm đặc trưng.
Với x U thì
A
(x) được gọi là mức độ thuộc của x vào A.
Như vậy ta có thể coi tập rõ là một trường hợp đặc biệt của tập mờ, trong
đó hàm thành viên chỉ nhận 2 giá trị 0 và 1.
Ví dụ 1. Một sự biểu diễn tập mờ cho số "integer nhỏ".

Hình 1.1: Biểu diễn tập mờ cho số "integer nhỏ"
1 2 3
1

int

Số hóa bởi trung tâm học liệu
5
Ví dụ 2. Một sự biểu diễn tập mờ cho các tập người thấp, trung bình và cao

Hình 1.2: Biểu diễn tập mờ cho các tập người thấp, trung bình và cao
Ví dụ 3. Cho U={1, 2, 3, 4, 5}, tập mờ A trên U tương ứng với ánh xạ
A

như sau:
A:
1 0

2 1

3 0.5

4 0.3

5 0.2
Ta có tập mờ A={(1,0),(2,1),(3,0.5),(4,0.3),(5,0.2)}
Cách viết trên là sự liệt kê các phần tử khác nhau cùng với mức độ thuộc về
tập hợp A. Từ định nghĩa trên chúng ta có thể suy ra:
- Tập mờ A là rỗng nếu và chỉ nếu hàm thuộc về µ
A
(x)= 0, a U
- Tập mờ A là toàn phần nếu và chỉ nếu µ
A
(x) = 1, a U
- Hai tập mờ A và B bằng nhau nếu µ
A
(x) = µ
B
(x) a U
Ký hiệu tập mờ, ta có các dạng ký hiệu sau:
 Liệt kê phần tử: giả sử U={a,b,c,d} ta có thể xác định một tập mờ
A=
dcba
02.03.01.0

 A =
Uxxx
A
|)(,

 A =

Ux
A
x
x)(
trong trường hợp U là không gian rời rạc
 A =
U
A
xx /)(
trong trường hợp U là không gian liên tục
chiều cao
thấp
trung bình
cao
4‟
4‟6”
5‟
5‟6”
6‟
6‟6”
1


Số hóa bởi trung tâm học liệu
6
Lưu ý là các ký hiệu và không phải là các phép tính tổng hay tích
phân, mà chỉ là ký hiệu biểu thị tập hợp mờ.
Ví dụ 4. Tập mờ A là tập “số gần 2” xác định bởi hàm thuộc
2
)2(x

A
e
ta
có thể ký hiệu: A =
Uxxx |)2(,
2
hoặc A =
xx /)2(
2
.
Tập mờ cắt mức ( -cut)
Tập mờ cắt mức là tập rõ trong đó hàm thành viên
A
(x)>= .
Tập mờ lồi
Cho tập mờ A xác định trong không gian X có hàm thành viên
A
(x). Khi
đó tập mờ A được gọi là tập mờ lồi nếu hàm thành viên của tập mờ có dạng lồi hay
nói cách khác tập mờ sẽ là tập mờ lồi nếu với mọi điểm x
1
, x
2
, x
3
thuộc không gian
X sao cho x
1
<x
2

<x
3
, ta luôn có:
A
(x
2
) min[
A
(x
1
),
A
(x
3
)]

Hình 1.3: Tập mờ lồi
Các dạng hàm thành viên tiêu biểu
Theo lý thuyết thì hàm thành viên có thể là một hàm bất kỳ thoả
A
:X-
>[0,1]. Nhưng trong thực tế thì có các dạng hàm thành viên sau đây là quan trọng và
có tính ứng dụng cao hơn cả.
Nhóm hàm đơn điệu
Nhóm này gồm đơn điệu tăng và đơn điệu giảm.
Ví dụ 5. Tập hợp người già có hàm thành viên đơn điệu tăng theo tuổi trong
khi đó tập hợp người trẻ có hàm thành viên đơn điệu giảm theo tuổi.
1
x
1

x
2
x
3
E
A


Số hóa bởi trung tâm học liệu
7
Ví dụ 6. Cho tập vũ trụ E = Tốc độ = {20,50,80,100,120} đơn vị là km/h.
Xét tập mờ F=Tốc độ nhanh xác định bởi hàm thành viên
nhanh
như đồ thị hình 1.4.
Như vậy tốc độ dưới 20km/h được coi là không nhanh. Tốc độ càng cao thì
độ thuộc của nó vào tập F càng cao. Khi tốc độ là 100km/h trở lên thì độ thuộc là 1.

Hình 1.4: Đồ thị hàm thành viên nhóm hàm đơn điệu
Nhóm hàm hình chuông
Nhóm hàm này có đồ thị dạng hình chuông, bao gồm dạng hàm tam giác,
hàm hình thang, gauss.
Xét ví dụ cũng với tập vũ trụ E ở trên, xét tập mờ F=Tốc độ trung bình xác
định bởi hàm thành viên
1005050/)100(
502030/)20(
100200
xkhix
xkhix
xxkhi
trungbình

Hình 1.5: Đồ thị hàm thành viên nhóm hàm hình chuông
Các khái niệm liên quan
Giả sử A là tập mờ trên vũ trụ U, có hàm thuộc
A
thì ta có các khái niệm sau:
1
0.85
0.5
100
20
50
80
E
nhanh

120
1
0.4
100
20
50
80
E
trungbình

120

Số hóa bởi trung tâm học liệu

8
 Giá đỡ của A, ký hiệu sup(A) là một tập rõ bao gồm tất cả các phần tử
x U sao cho
A
(x) > 0.
 Nhân của A là một tập rõ bao gồm tất cả các phần tử x U sao cho
A
(x)=1.
 Biên của A là một tập rõ bao gồm tất cả các phần tử x U sao cho
0<
A
(x)<1.
 Độ cao của A, ký hiệu height(A) là cận trên đúng của
A
(x).
height(A)=
)(sup x
A
Ux
.
 Tập mờ A được gọi là tập mờ chuẩn tắc (normal fuzzy set) nếu
height(A)=1. Tức là tập mờ chuẩn tắc có nhân khác rỗng.
Các tập mờ hay tập hợp mờ (Fuzzy set) là một mở rộng của lý thuyết tập
hợp cổ điển và được dùng trong lôgic mờ. Trong lý thuyết tập hợp cổ điển, quan hệ
thành viên của các phần tử trong một tập hợp được đánh giá theo kiểu nhị phân theo
một điều kiện rõ ràng - một phần tử hoặc thuộc hoặc không thuộc về tập hợp.
Ngược lại, lý thuyết tập mờ cho phép đánh giá từ từ về quan hệ thành viên giữa một
phần tử và một tập hợp; quan hệ này được mô tả bằng một hàm thành
viên (membership function) [0,1]. Các tập mờ được coi là một mở rộng của lý
thuyết tập hợp cổ điển là vì, với một universe (không gian tham chiếu hay tập vũ

trụ) nhất định, một hàm thành viên có thể giữ vai trò của một hàm đặc
trưng (indicator function) ánh xạ mỗi phần tử tới một giá trị 0 hoặc 1 như trong khái
niệm cổ điển.
Một lớp tập mờ quan trọng có nhiều ứng dụng thực tế là số mờ
Định nghĩa số mờ
Tập mờ M trên đường thẳng thực R là tập số mờ nếu:
- M là chuẩn hoá, tức là có điểm x sao cho
1Mx

- Ứng với mỗi
R
, tập mức
:x M x
là đoạn đóng
Người ta thường dùng các số mờ tam giác, hình thang và dạng Gauss

Số hóa bởi trung tâm học liệu
9
1.1.2. Các phép toán trên tập mờ, số mờ hình thang, số mờ tam giác
Các phép toán trên tập mờ [2]
Giả sử A và B là các tập mờ trên vũ trụ U thì ta có các định nghĩa sau:
Quan hệ bao hàm
A được gọi là bằng B khi và chỉ khi x U,
AB
xx
.
A được gọi là tập con của B, ký hiệu A B khi và chỉ khi x U,
AB
xx

Phần bù
Phần bù mờ của tập mờ A là tập mờ
A
với hàm thành viên được xác định bởi:
1
A
A
xx
(1)

Hình 1.6: Hàm thành viên của phần bù mờ
Tập bù
A
của tập mờ A
a) Hàm thành viên của tập mờ A
b) Hàm thành viên của tập mờ
A

Phép hợp
Hợp của hai tập mờ A và B có cùng cơ sở M là một tập mờ cũng xác định
trên cơ sở M với hàm thành viên:
ax ,
A B A B
x m x x
(2)

Hình 1.7: Hàm thành viên của hợp hai tập mờ có cùng cơ sở

A
(x)

B
(x)
b)
x
1
A
x
A
(x)
1
x
a)

Số hóa bởi trung tâm học liệu
10
Có nhiều công thức khác nhau được dùng để tính hàm thành viên
AB
của
hợp hai tập mờ như:

2.
min 1,
A B A B
x x x
(Phép hợp Lukasiewicz)
3.
1
AB
AB
AB

xx
x
xx
(Tổng Einstein)
4.
.
A B A B A B
x x x x x
(Tổng trực tiếp)

Hình 1.8a: Phép hợp hai tập mờ không cùng cơ sở: Hàm thành viên của 2 tập
mờ A, B

Hình 1.8b: Phép hợp hai tập mờ không cùng cơ sở: Đưa 2 tập mờ về chung một
cơ sở MxN






Hình 1.8c: Phép hợp hai tập mờ không cùng cơ sở: Hợp 2 tập mờ trên cơ sở MxN
A
(x)
A
(y)
a)
x
y
max

,
AB
xx
nếu min
,0
AB
xx

1 nếu min
,0
AB
xx

1.
AB
x
M N
b)
,
A
xy
y
x
M N
,
B
xy
y
x
c)

M N
,
AB
xy
y
x

Số hóa bởi trung tâm học liệu
11
Có hai tập mờ A (cơ sở M) và B (cơ sở N). Do hai cơ sở M và N độc lập
với nhau nên hàm thành viên
,
A
x x M
của tập mờ A sẽ không phụ thuộc vào N
và ngược lại
,
B
x y N
của tập mờ B cũng sẽ không phụ thuộc vào M. Điều này
thể hiện ở chỗ trên cơ sở mới là tập tích MxN hàm
A
x
phải là một mặt “cong”
dọc theo trục y và
B
y
là một mặt “cong” dọc theo trục x. Tập mờ A được định
nghĩa trên hai cơ sở M và MxN. Để phân biệt được chúng, ký hiệu
A

sẽ được dùng
để chỉ tập mờ A trên cơ sở MxN. Tương tự, ký hiệu
B
được dùng để chỉ tập mờ B
trên cơ sở MxN, với những ký hiệu đó thì:
,,
AA
x y x y N
và
, , .
BB
x y y x M

Sau khi đã đưa được hai tập mờ A, B về chung một cơ sở là MxN thành
A

và
B
thì hàm thành viên
,
,
AB
xy
của tập mờ
AB
được xác định theo công thức
tính tổng trực tiếp.
Phép Giao
Giao của tập mờ A và tập mờ B là tập mờ A B với hàm thuộc được xác
định bởi:

BA
(x) = min(
A
(x),
B
(x)) (3)

Hình 1.9: Phép giao hai tập mờ cùng cơ sở
Trong công thức trên kí hiệu min xác định phép tính lấy cực tiểu được thực
hiện trên tập mờ, bản chất phép tính không có gì thay đổi.
Có nhiều công thức khác nhau được dùng để tính hàm thành viên
AB
của
giao hai tập mờ như:
x
AB
x
A
x
B
x

Số hóa bởi trung tâm học liệu
12

2.
max 0, 1
A B A B
x x x
(Phép giao Lukasiewicz)

3.
2.
AB
AB
A B A B
xx
x
x x x x
(Tích Einstein)
4.
.
A B A B
x x x
(Tích đại số)
Công thức trên cũng áp dụng được cho hợp hai tập mờ không cùng cơ sở
bằng cách đưa cả hai tập mờ về chung một cơ sở là tích của hai cơ sở đã cho.
Chẳng hạn có hai tập mờ A định nghĩa trên cơ sở M và B định nghĩa trên cơ
sở N. Do hai cơ sở M và N độc lập với nhau nên hàm thành viên
,
A
x x M
của
tập mờ A sẽ không phụ thuộc vào N và ngược lại
,
B
y y N
của tập mờ B cũng
sẽ không phụ thuộc vào M. Trên cơ sở mới là tập tích MxN hàm
A
x

là một mặt
“cong” dọc theo trục y và
B
y
là một mặt “cong” dọc theo trục x. Tập mờ A
(hoặc B) được định nghĩa trên hai cơ sở M (hoặc N) và MxN. Để phân biệt kí hiệu
A
(hoặc
B
) sẽ được dùng để chỉ tập mờ A (hoặc B) trên cơ sở mới là MxN. Với
những kí hiệu đó thì:
,,
A
x y y N
và
,,
B
x y x M


Hình 1.10: Phép giao hai tập mờ không cùng cơ sở
min
,
AB
xx
nếu max
,1
AB
xx

0 nếu max
,1
AB
xx

1.
AB
x
x
AB
x
M N
y

Số hóa bởi trung tâm học liệu
13
Tích đề các
Giả sử A
1
,

A
2
, , A
n
là các tập mờ trên các tập vũ trụ U
1
,

U

2
, , U
n
tương
ứng. Tích đề-các của A
1
,

A
2
, , A
n
là tập mờ A= A
1
x

A
2
x x A
n
trên không gian
tích U
1
x
U2
x x U
n
với hàm thành viên được xác định bởi:
1 2 1 2
, , , min , , ,

A n A A A n
x x x x x x

1 1 2 2
, , , ,
nn
x U x U x U
(4)
Phép chiếu
Giả sử A là tập mờ trên không gian tích U
1
xU
2
. Hình chiếu của A trên U
1
là
tập mờ A
1
với hàm thuộc được xác định bởi:
2
ax ,
AA
yU
x m x y
(5)
Định nghĩa trên có thể mở rộng cho trường hợp không gian tích n chiều
Mở rộng hình trụ
Giả sử A
1
là tập mờ trên vũ trụ U

1
. Mở rộng hình trụ của A
1
trên không gian
tích U
1
xU
2
là tập mờ A với hàm thuộc được xác định bởi:
A
(x, y) =
1
A
(x) (6)
Các phép toán mở rộng
Ngoài các phép toán chuẩn: phần bù, hợp, giao được đề cập ở trên còn có
nhiều cách mở rộng phép toán trên tập mờ khác có tính tổng quát hóa cao hơn.
Phần bù mờ
Giả sử xét hàm C:[0,1] -> [0,1] cho bởi công thức C(a) = 1 – a, a [0,1].
Khi đó hàm thuộc của phần bù chuẩn trở thành
A
A
x C x
. Nếu tổng quát
hoá tính chất của hàm C thì ta sẽ có tổng quát hoá định nghĩa của phần bù mờ. Từ
đó ta có định nghĩa:
Phần bù mờ của tập mờ A là tập mờ
A
với hàm thuộc được xác định bởi
A

A
x C x
, trong đó C là một hàm số thoả các điều kiện sau:
1. Tiên đề C1 (điều kiện biên): C(0) = 1, C(1) = 0
2. Tiên đề C2 (đơn điệu giảm): a, b [0,1]. Nếu a<b thì C(a) C(b)
Hàm C thoả các điều kiện trên được gọi là hàm phần bù.

Số hóa bởi trung tâm học liệu
14
Ta thấy rằng hàm thuộc của phần bù chuẩn là một hàm đặc biệt trong họ
các hàm phần bù.
Ví dụ 7:
Hàm phần bù Sugeno
1
1
a
Ca
a
trong đó là tham số thoả > -1. Hàm
bù chuẩn là trường hợp đặc biệt của hàm Sugeno khi = 0.
Hàm phần bù Yager
1
w
w
1C a a
trong đó w là tham số thoả w > 0.
Hàm bù chuẩn là trường hợp đặc biệt của hàm Yager khi w = 1.
Hợp mờ – các phép toán S-norm
Phép toán max trong công thức hàm hợp mờ chuẩn có thể được tổng quát
hoá thành các hàm S-norm:

Một hàm số S: [0,1]x[0,1] -> [0,1] được gọi là một S-norm nếu thoả các
điều kiện sau:
1. Tiên đề S1 (điều kiện biên): S(0,a) = a, a [0,1]
2. Tiên đề S2 (giao hoán): S(a,b) = S(b,a), a,b [0,1]
3. Tiên đề S3 (kết hợp): S(S(a,b),c) = S(a,S(b,c)), a,b,c [0,1]
4. Tiên đề S4 (đơn điệu tăng): Nếu a b và c d thì S(a,c) S(b,d),
a,b,c,d [0,1]
S-norm còn được gọi là co-norm hoặc T-đối chuẩn.
Hợp của tập mờ A và tập mờ B là tập mờ A B với hàm thuộc được xác
định bởi:
,
A B A B
x S x x

trong đó S là một S-norm
Ngoài hàm max, ta có một số hàm S-norm quan trọng sau đây:
 Tổng Drastic :
0,01
0
0
baif
aifb
bifa
ba


Số hóa bởi trung tâm học liệu
15
 Tổng chặn:
),1min( baba

 Tổng đại số:
abbaba

 Phép hợp Yager:
w
ww
w
babaS
1
)(,1min),(

Trong đó w là tham số thoả w > 0
Giao mờ – các phép toán T-norm
Ta có định nghĩa hàm T-norm là tổng quát hoá của hàm min:
Một hàm số T: [0,1]x[0,1] -> [0,1] được gọi là một T-norm nếu thoả các
điều kiện:
1. Tiên đề T1 (điều kiện biên): T(1,a) = a, a [0,1]
2. Tiên đề T2 (giao hoán): T(a,b) = T(b,a), a,b [0,1]
3. Tiên đề T3 (kết hợp): T(T(a,b),c) = T(a,T(b,c)), a,b,c [0,1]
4. Tiên đề T4 (đơn điệu tăng): Nếu a b và c d thì T(a,c) T(b,d),
a,b,c,d [0,1]
T-norm còn được gọi là T-chuẩn hoặc chuẩn tam giác.
Giao của tập mờ A và tập mờ B là tập mờ A B với hàm thuộc được xác
định như sau:

,
A B A B
x T x x

Trong đó T là một T-norm.
Ngoài hàm min, ta có một số hàm T-norm quan trọng sau đây:
 Tích Drastic:
1,10
1
1
baif
aifb
bifa
ba

 Tích chặn:
)1,0max( baba


Số hóa bởi trung tâm học liệu
16
 Tích đại số:
abba.

 Phép giao Yager:
w
ww
w
babaT
1
))1()1((,1min1),(

Trong đó w là tham số thoả w>0

Định lý: Với mọi T-norm bất kỳ T và S-norm bất kỳ S ta có:
a b T(a,b) min(a,b) max(a,b) S(a,b) a b
Tích đề-các mờ
Tích đề-các của tập mờ A
1
, A
2
, …, A
n
trên các vũ trụ U
1
, U
2
, …, U
n
tương
ứng là tập mờ A = A
1
x A
2
x … x A
n
trên không gian tích u = U
1
x U
2
x … x U
n
với
hàm thuộc được xác định như sau:

12
12
, , ,
n
A n A A A
x x x x T x T T x

1
x
1
U
,
2
x
2
U
, …,
n
x
n
U

Trong đó T là một T-norm bất kỳ.
Ta thấy đây là định nghĩa mở rộng cho tích đề-các chuẩn khi thay thế hàm
min bằng một T-norm bất kỳ.
Quan hệ mờ
Cho U và V là các vũ trụ. Khi đó một quan hệ mờ hai ngôi R giữa U và V là
một tập mờ trong tích đề-các UxV. Như vậy ta có thể xác định hàm thuộc cho quan
hệ mờ theo cách tính hàm thuộc cho tích đề-các mờ.
Khi U = V ta nói R là quan hệ trên U.

Tổng quát một quan hệ mờ R giữa các tập U
1
, U
2
, …, U
n
là tập mờ A = A
1
x
A
2
x … x A
n
trên không gian tích u = U
1
x U
2
x … x U
n
. Trong đó A
i
U
i
, i = 1 n
Hợp của các quan hệ mờ
Hợp của quan hệ mờ R từ U đến V và quan hệ mờ Z từ V đến W là quan hệ
mờ RoZ từ U đến W có hàm thuộc xác định bởi
, x , , ,
RoS R z
vV

u w ma T u v v w


Số hóa bởi trung tâm học liệu
17
Trong T là một T-norm bất kỳ.
Các hàm thuộc quan trọng sau được dùng rộng rãi để xác định hợp của các
quan hệ mờ :
 Hàm hợp max-min:

, x min , , ,
RoS R z
vV
u w ma u v v w

 Hàm hợp max-tích (hay max-prod):

, x max , . ,
RoS R z
vV
u w ma u v v w

Các phép toán trên số mờ
Cộng:
[a,b] + [d,e] = [a+d, b+e]
Trừ:
[a,b] - [d,e] = [a-e, b-d]
Nhân:
[a,b] * [d,e] = [min(ad,ae, bd, be), max(ad,ae, bd, be)]
Chia:

[a,b] / [d,e] = [min(a/d,a/e, b/d, b/e), max(a/d,a/e, b/d, b/e)]
Số mờ hình thang
M(a,b,c,d)
0
1
0
M
za
za
a z b
ba
z b z c
dz
c z d
dc
dz


Hình 1.11: Số mờ hình thang
a
b
c
d