phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình (4)

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
II. ĐẶT 2 ẨN PHỤ
Dạng 1: Đặt hai ẩn đưa về một phương trình
Dạng 2: Đặt hai ẩn đưa về hệ phương trình
+) Xét phương trình
3
+ + + =
A ax b B cx d C

Khi đó ta đặt
3
3
3 2
2
( ; ) 0
; 0


= + = +
 
⇒ → =
 
= +

= + ≥



u ax b u ax b
f u v

v cx d
v cx d v

Kết hợp với pt ban đầu ta được hệ phương trình
3 2
;
( ; ) 0
+ =

⇒ →

=

Au Bv C
u v x
f u v

+) Xét phương trình
+ = −
n
n
x a b bx a

Khi đó ta đặt
− = ⇒ − =
n
n
bx a t bx a t

Ta có hệ phương trình đối xứng loại 2 theo ẩn x và t:

;

+ =

⇒ →

+ =


n
n
x a bt
x t x
t a bx

Chú ý:
Trong tr
ườ
ng h
ợ
p t
ổ
ng quát, v
ớ
i ph
ươ
ng trình
( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( )
+ = −
n

n
f x g x h x h x f x g x
thì ta
đặ
t
( ) ( ) ( ). ( )
( ) ( ). ( ) ( ) ;
( ) ( ) ( ). ( )

+ =

= − → ⇒

+ =


n
n
n
f t g x h x f x
f t h x f x g x x t
f x g x h x f t

Ví dụ 1.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.

a)
2
1 1
+ + =
x x
b)
3
2 1 1
− = − −
x x

b)
3
7 1
+ − =
x x
d)
xx =+− 55

Ví dụ 2.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
3
3 1
+ − =

x x
b)
3
4 4 3 1
+ = +
x x

b)
3
2 3 2 3 6 5 8 0
− + − − =
x x
d)
4 4
18 1 3
− + − =
x x

Ví dụ 3.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
2
5 5
+ + =
x x

b)
33 −=+ xx

b)
3
3
3 3 2 2
− + =
x x
d)
2
4 6
+ = +
x x x

Ví dụ 4.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
2
6 3 3
− + = +
x x x
HD: Đặ
t
3 3

+ = −
x t

02. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - P4

Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
b)
2
2 2 2 1
− = −
x x x
HD: Đặt
2 1 1
− = −
x t

c)
2
3 1 4 13 5
+ = − + −
x x x
HD: Đặt
3 1 2 3
+ = − +
x t

Ví dụ 5. Giải các phương trình sau
.

a)
2
4 9
7 7
28
+
+ =
x
x x
HD: Đặt
4 9 1
28 2
+
= +
x
t

b)
2
9
3 3 1
4
− − = +
x x x
HD: Đặ
t
1
3 1
2
+ = −

x t

c)
2
13
2 2 2
4
+ + = −
x x x
HD: Đặ
t
1
2 2
2
− = +
x t

Ví dụ 6.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
2
3
2 4
2
+

+ =
x
x x
Đ/s:
3 17 5 14
;
4 4
− ± − ±
= =x x

b)
2
4 7 1 2 2
+ + = +
x x x
Đ/s:
7 1
1; ;
4 4
= − = − =
x x x

c)
3 2
3
3 3 4 4 4 1
+ + + = +
x x x x

Ví dụ 7.

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
2
4 7 2 2 1
+ + = +
x x x
HD: Đặ
t
2 1 2
+ = +
x t

b)
2
9 6 2 3 2
− + = −
x x x
HD: Đặ
t
3 2 3 1
− = −
x t

c)
2

2 3 3
+ − = −
x x x

HD:
Bi
ế
n
đổ
i ph
ươ
ng trình v
ề
d
ạ
ng
2
(2 3) (2 3)
+ − = − −
x x x x

Đặ
t
2
2 2
2
(2 3)
(2 3)
1
(2 3)


− − = =


− − = → ⇒ + = + ⇔


= − −
+ − =



x x t t x
x x t x x t t
t x
x x t

+) V
ớ
i
2 2
0 3 0 3
3
3 3 0
≤ ≤ ≤ ≤
 
= ⇔ = − ⇔ ⇔ →
 
= − + − =
 

x x
t x x x vn
x x x x

+) V
ớ
i
2 2
1 1
3 17
1 1 3
2
2 1 3 3 2 0
≤ − ≤ −
 
− −
= − − ⇔ − − = − ⇔ ⇔ ⇒ =
 
+ + = − + − =
 
x x
t x x x x
x x x x x

Ví dụ 8.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau

.
a)
2 2
3 1 2
+ − = +
x x x x

HD:
Ta d
ễ
dàng phân tích ph
ươ
ng trình v
ề
d
ạ
ng
2
( 1) ( 2) ( 1) ( 2)
+ + − = + − −
x x x x x x

Đặ
t
2
( 1) ( 2) 1 ( 1) ( 2) ( 1)
+ − − = +
⇒
+ + − = +
x x x t t x x x

Khi
đ
ó ta có h
ệ
ph
ươ
ng trình
2
2 2 2 2
2
( 1) ( 2) ( 1)
( 1) ( 1)
1
( 1) ( 2) ( 1)

+ + − = + =


⇒ + − + = − ⇔


= − −
+ + − = +



t x x x t x
t x x t
t x

x x x t

Đế
n
đ
ây, vi
ệ
c gi
ả
i các ph
ươ
ng trình thành ph
ầ
n h
ế
t s
ứ
c
đơ
n gi
ả
n, nh
ườ
ng l
ạ
i cho các em nhé!
b)
2 2
4 3 2 2 2 1
− + = − −

x x x x x

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
HD: Ta dễ dàng phân tích phương trình về dạng
2
(2 1) ( 1) (2 1) ( 1)
− + + = − − +
x x x x x x

Đặt
(2 1) ( 1) 2 1
− − + = −
x x x t
, từ đây ta đưa về hệ đối xứng loại 2 đã biết cách giải.
Ví dụ 9. Giải các phương trình sau
.
a)
2 2
1 ( 2) 2
− + = + −
x x x x
HD: Ta dễ dàng phân tích phương trình về dạng
2
( 1) ( 2) ( 1)( 1)
− + = + + − −
x x x x x x

Đặt
( 2)( 1) 1

+ − − = −
x x x t
, từ đây ta đưa về hệ đối xứng loại 2 đã biết cách giải.
b)
2 2
4 5 ( 2) 2 4 3
+ = + + +
x x x x x
HD: Ta dễ dàng phân tích phương trình về dạng
2
(2 1) ( 1) ( 2) ( 2)(2 1) ( 1)
+ + − = + + + − −
x x x x x x

Đặt
( 2)(2 1) ( 1) 2 1
+ + − − = +
x x x t
, từ đây ta đưa về hệ đối xứng loại 2 đã biết cách giải.
c)
2 2
2 ( 2) 4 1
+ + = + + +
x x x x x

HD: Ta dễ dàng phân tích phương trình về dạng
2
( 1) ( 1) ( 2) ( 2)( 1) ( 1)
+ − − = + + + + −
x x x x x x

Đặt
( 2)( 1) ( 1) 1
+ + + − = +
x x x t
, từ đây ta đưa về hệ đối xứng loại 2 đã biết cách giải.
Ví dụ 10. Giải các phương trình sau
.
a)
2 2
4 3 1 2 2
+ + = +
x x x x x
b)
2
4 8 2 4 7
+ + = +
x x x
c)
2
2 2 3 7 6
− − = +
x x x d)
2
( 1) 3 3
− = −
x x
e)
2
3 2 6 5

+ = +
x x

Lời kết cho một bài toán đẹp:
Việc tại sao thầy viết dễ dàng phân tích được vế trái của các ý trong các ví dụ 8 và 9 thầy tin là sẽ làm nhiều
bạn cảm thấy bứt rứt và ngạc nhiên! Các em hãy khám phá điều kỳ diệu đó để thấy hết được vẻ đẹp sửng sốt
của những bài toán này!