hai mặt phẳng vuông góc (2)

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN 2013 Thầy Đặng Việt Hùng

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
1






+ Định nghĩa: Hai mặt phẳng (P) và (Q) được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90
0
.
+ Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc:
Để chứng minh (P)⊥ (Q) ta chỉ ra trong (P) có chứa một đường thẳng d mà d ⊥ (Q).
Viết dạng mệnh đề:
(
)
( )
( ) ( )
.
⊂

→ ⊥

⊥


a P
P Q
a Q

+ Tính chất 1: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến ∆; a là
đường thẳng nằm trong (P), khi đó nếu a ⊥ ∆ thì a ⊥ (Q).
Viết dạng mệnh đề:
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
( )
;
.
;
⊥ ∩ = ∆

→ ⊥

⊂ ⊥ ∆


P Q P Q
a Q
a P a

+ Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng vuông góc với mặt phẳng (R) thì giao tuyến ∆ của (P) và
(Q) cũng phải vuông góc với (R).

Viết dạng mệnh đề:
(
)
(
)
( ) ( )
( ) ( )
( )
.
⊥

⊥ →∆ ⊥


∩ = ∆

P R
Q R R
P Q

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với (ABCD).
a) Chứng minh rằng (SAB) ⊥ (SAD), (SAB) ⊥ (SBC).
b) Gọi H, I lần lượt là trung điểm AB và BC. Chứng minh rằng (SHC) ⊥ (SDI).
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi O, I, J là trung điểm của BC, AB và AC. Trên đường thẳng
vuông góc với (ABC) tại O ta lấy điểm S. Chứng minh rằng
a) (SBC) ⊥ (ABC).
b) (SOI) ⊥ (SAB).
c) (SOI) ⊥ (SOJ).
Ví dụ 3. Cho tam giác ACD và BCD nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. AC = AC = BC = BD =

a và CD = 2x. Gọi I, J là trung điểm của AB, CD.
a) Chứng minh IJ ⊥ AB và CD.
b) Tính AB và IJ theo a và x.
c) Xác định x để (ABC) ⊥ (ABD).
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SAC là tam giác đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với (ABC). Gọi I là trung điểm của SC.
a) Chứng minh (SBC) ⊥ (SAC).
b) Ch
ứng minh (ABI) ⊥ (SBC).
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết SA ⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt
là hai điểm trên BC và DC sao cho
3
; .
2 4
= =
a a
MB DN Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng (SAM) ⊥ (SMN).
Tài li
ệ
u bài gi
ả
ng:

05. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN 2013 Thầy Đặng Việt Hùng

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
2

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có các mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc với (ABCD). Biết ABCD là hình
vuông và SA = AB. Gọi M là trung điểm của SC. Chứng minh rằng
a) (SAC) ⊥ (SBD). b) (SAD) ⊥ (SCD). c) (SCD) ⊥ (ABM).
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, SH ⊥ đáy với H thuộc đoạn BC.
a) Chứng minh (SBC) ⊥ (ABC).
b) Kẻ HI ⊥ AB, HK ⊥ AC. Tứ giác AIHK có đặc điểm gì?
c) Chứng minh (SHI) ⊥ (SAB) và (SHK) ⊥ (SAC).
d) Kẻ HM ⊥ SI, HN ⊥ SK. Chứng minh HM ⊥ (SAB) và HN ⊥ (SAC).
Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Hai (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy.
a) Chứng minh SA ⊥ (ABCD).
b) Chứng minh (SAC) ⊥ (SBD).
c) Cho SA = 2a. Kẻ AH ⊥ (SBC). Tính AH?
Bài 4. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Chứng minh AC’ ⊥ (A’BD) và (ACC’A’) ⊥ (A’BD).
Bài 5. Cho ∆ABC vuông tại A. Dựng BB′ và CC′ cùng vuông góc với (ABC).
a) (ABB′) ⊥ (ACC′).
b) Gọi AH, AK là các đường cao của các tam giác ABC và AB′C′. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BCC′B′)
và (AB′C′) cùng vuông góc với (AHK).
Bài 6. Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm của BC, D là điểm đối xứng với A qua I. Dựng đoạn
6
2
=
a
SD và vuông góc v
ớ
i (ABC). Ch

ứ
ng minh r
ằ
ng:
a)
(SAB) ⊥ (SAC).
b)
(SBC) ⊥ (SAD).
Bài 7.
Cho t
ứ
di
ệ
n ABCD có AB = BC = a; AC = b; DC = DB = x, AD = y. Tìm h
ệ
th
ứ
c liên h
ệ
gi
ữ
a a, b, x,
y
để
:
a)
(ABC) ⊥ (BCD).
b)
(ABC) ⊥ (ACD).
Đ/s:

a)

2
2 2
0.
2
− + =
b
x y
b)
x
2
– y
2
+ b
2
– 2a
2
= 0.