một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
LÊ THỊ KIM NGA
MỘT VÀI THUẬT TOÁN
CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN CÂN
BẰNG ĐƠN ĐIỆU
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU
THÁI NGUYÊN - NĂM 2014
Mục lục
Mục lục i
Lời cảm ơn ii
Mở đầu 1
1 Bài toán cân bằng đơn điệu 2
1.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Kiến thức cơ bản về tập lồi và hàm lồi . . . . . . . . . . 5
1.2 Bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2 Các trường hợp riêng của bài toán cân bằng . . . . . . 17
2 Hai phương pháp giải bài toán cân bằng đơn điệu 23
2.1 Song hàm giả đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Phép chiếu khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Hai thuật toán chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.1 Phương pháp chiếu cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.2 Phương pháp chiếu tổng quát cho bài toán giả đơn điệu
mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Kết luận 45
Tài liệu tham khảo 46

i
Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn nghiêm túc và nhiệt tình của GS. TSKH.
Lê Dũng Mưu (Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt
Nam). Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy và kính chúc thầy cùng gia
đình luôn mạnh khỏe.
Tôi xin gửi lời cảm ơn các thầy cô giảng dạy tại Đại học Thái Nguyên,
Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã mang
lại cho tôi nhiều kiến thức bổ ích và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và
nghiên cứu.
Tôi chân thành cảm ơn các bạn đồng môn đã giúp đỡ tôi trong quá trình
học tập và hoàn thành luận văn này tại trường Đại học Khoa Học - Đại học
Thái Nguyên.
Cuối cùng, con cảm ơn Bố Mẹ đã vất vả tạo mọi điều kiện cho con học
tập và được kết quả như ngày hôm nay.
Thái Nguyên, tháng 4 - 2014
Người viết Luận văn
Lê Thị Kim Nga
ii
Mở đầu
Bài toán cân bằng có nhiều ứng dụng trong khoa học, kỹ thuật và đời sống
như: vật lý (đặc biệt là cơ học), hóa học, sinh học, nông nghiệp, quân sự, kinh
tế, viễn thông Bài toán cân bằng là bài toán tổng quát, nó bao gồm nhiều
trường hợp riêng như: bài toán tối ưu, bài toán cân bằng Nash, bài toán điểm
yên ngựa, bài toán bất đẳng thức biến phân Do có ứng dụng rộng rãi trong
thực tế nên nghiên cứu về bài toán cân bằng và đưa ra các thuật toán giải là
cần thiết.
Luận văn này nhằm giới thiệu về bài toán cân bằng, một số bài toán quy
được về bài toán cân bằng và phương pháp chiếu để giải bài toán cân bằng.

Luận văn này gồm mục lục, phần kết luận và tài liệu tham khảo.
Chương 1: Nhắc lại các khái niệm, kết quả cơ bản nhất về không gian
Hilbert, tập lồi, hàm lồi, sẽ được sử dụng ở chương sau. Tiếp theo là giới
thiệu về bài toán cân bằng và các trường hợp riêng của nó.
Chương 2: Ta tìm hiểu hai phương pháp chiếu để giải bài toán cân bằng
đơn điệu. Trong phần này, trước hết trình bày về song hàm giả đơn điệu tiếp
theo là phương pháp chiếu khoảng cách. Trong phương pháp chiếu khoảng
cách ta tìm hiểu về hai phương pháp chiếu: phương pháp chiếu cơ bản, phương
pháp chiếu tổng quát và thuật toán tương ứng.
Trong quá trình viết luận văn cũng như xử lý văn bản chắc chắn không
tránh khỏi những sai sót. Tác giả mong nhận được sự đóng góp của quý thầy
cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
1
Chương 1
Bài toán cân bằng đơn điệu
Trong chương này ta trình bày các khái niệm cơ bản về không gian Hilbert.
Ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản của giải tích lồi. Tiếp theo, ta phát biểu
bài toán cân bằng và các trường hợp riêng của bài toán cân bằng. Kiến thức
được trình bày trong chương này được tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1], [2],
[3].
1.1 Kiến thức cơ bản
1.1.1 Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1. Cho H là một không gian tuyến tính trên trường số thực
R. Một tích vô hướng trong H là một ánh xạ được ký hiệu
., . : H × H → R,
và có tính chất sau
1) x, x > 0 nếu x = 0; x, x = 0 ⇔ x = 0, ∀x ∈ H;
2) x, y = y, x, ∀x, y ∈ H;
3) x + y, z = x, z+ y, z, ∀x, y, z ∈ H;
4) αx, y = αx, y, ∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R;

5) x, x = x
2
= x, x
1
2
, ∀x ∈ H.
Tích vô hướng liên hệ với độ dài (chuẩn) của các véc-tơ bởi hệ thức (5).
Khi đó, không gian tuyến tính H., . được gọi là không gian tiền Hilbert.
Định nghĩa 1.2. Không gian đầy đủ là không gian mà mọi dãy Cauchy đều
hội tụ.
2
Định nghĩa 1.3. Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không gian
Hilbert.
Ví dụ 1.1. Không gian L
2
(E, µ) là không gian Hilbert với tích vô hướng
x, y =

E
x(t)y(t)dµ.
Tích phân này tồn tại và hữu hạn vì

E
|xy| ≤


E
x
2


1
2
.


E
y
2

1
2
< ∞.
Ví dụ 1.2. Không gian C
L
2
[a,b]
gồm tất cả các hàm liên tục trên đoạn [a, b] với
phép toán tuyến tính thông thường và với tích vô hướng
x, y =

b
a
x(t)y(t)dt
là không gian tiền Hilbert không đủ.
Ví dụ 1.3. Không gian l
2
với chuẩn
x =

∞


n=1
|ξ
n
|
2

1
2
< +∞, x = (ξ
1
, ξ
2
, ξ
n
, )
là một không gian Hilbert.
Nhận xét 1.1. Không gian tiền Hilbert có tính chất sau
i) Tính chất hình bình hành
x + y
2
+ x −y
2
= 2

x
2
+ y
2


;
ii) Bất đẳng thức Schwars
x, y ≤ x.y;
iii) Tích vô hướng x, y là một hàm số liên tục đối với biến x và y.
3
Ánh xạ co và nguyên lý điểm bất động
Định nghĩa 1.4. Cho C là tập khác rỗng trong không gian tiền Hilbert thực
H. Một hàm f : C → H gọi là ánh xạ co trên, nếu tồn tại θ < 1 sao cho nếu
f(x) là phần tử ứng với x trong ánh xạ f thì với mọi x
1
, x
2
∈ C ta có
ρ(f(x
1
), f(x
2
)) ≤ θρ(x
1
, x
2
),
trong đó ρ(x, y) = x − y được gọi là "khoảng cách giữa x và y". Một phép
ánh xạ f có thể có những điểm mà ảnh của nó trùng với chính nó: f(x) = x
được gọi là điểm bất động của ánh xạ.
Ví dụ 1.4. Cho hàm f : R → R với mọi x ∈ R ta có f(x) =
1
2
x là ánh xạ co,
với θ =

1
2
.
Định lý 1.1. (Định lý Banach) Mọi ánh xạ co P từ không gian Hilbert thực
H vào bản thân nó đều có một điểm bất động duy nhất.
Chứng minh. Lấy một điểm x
0
∈ H và những điểm
x
1
= P x
0
, x
2
= P x
1
, , x
n
= P x
n−1
,
Theo định nghĩa ánh xạ co
ρ(x
n
, x
n+1
) = ρ(P x
n−1
, P x
n

) ≤ θρ(x
n−1
, x
n
),
ρ(x
n−1
, x
n
) ≤ θρ(x
n−2
, x
n−1
),

ρ(x
1
, x
2
) ≤ θρ(x
0
, x
1
),
từ đó suy ra với mọi n ta có
ρ(x
n
, x
n+1
) ≤ θ

n
ρ(x
0
, x
1
).
Vậy khi m > n, ta có
4
ρ(x
n
, x
m
) ≤ ρ(x
n
, x
n+1
) + ρ(x
n+1
, x
n+2
) + + ρ(x
m−1
, x
m
)
≤ (θ
n
+ θ
n+1
+ + θ

m−1
)ρ(x
0
, x
1
)
≤
∞

k=n
(θ
k
)ρ(x
0
, x
1
) =
θ
n
1 −θ
ρ(x
0
, x
1
).
Vì θ < 1 nên ρ(x
n
, x
m
) → 0 khi n, m → ∞, tức là {x

n
} là một dãy Cauchy trong
H và vì H là không gian Hilbert nên {x
n
} phải dần tới một giới hạn x nào đó.
Ta có x
n
= P x
n−1
mà x
n
→ x, P x
n−1
→ P x vì ρ(P x
n−1
, P x) ≤ θρ(x
n−1
, x) → 0.
Vậy Px = x, nghĩa là x là điểm bất động. Đó là điểm bất động duy nhất vì
nếu y cũng là một điểm bất động thì
ρ(x, y) = ρ(P x, P y) ≤ θρ(x, y).
Với θ < 1 điều này chỉ xảy ra nếu ρ(x, y) = 0 tức là x = y.
1.1.2 Kiến thức cơ bản về tập lồi và hàm lồi
Định nghĩa 1.5. Cho dãy {x
n
}
n≥0
và x
0
nằm trong không gian Hilbert thực

H. Khi đó
i) Dãy {x
n
} gọi là hội tụ mạnh tới x
0
và ký hiệu là x
n
→ x
0
nếu
lim
n→+∞
x
n
− x
0
 = 0;
ii) Dãy {x
n
} gọi là hội tụ yếu tới x
0
và ký hiệu là x
n
 x
0
nếu
lim
n→+∞
w, x
n

 = w, x
0
, ∀w ∈ H;
iii) Điểm x
0
được gọi là điểm tụ mạnh (yếu) của dãy {x
n
} nếu từ dãy này
có thể lấy ra một dãy hội tụ mạnh (yếu) đến x
0
.
Mệnh đề 1.1. i) Nếu một dãy {x
n
} hội tụ mạnh đến x
0
thì {x
n
} cũng hội tụ
yếu đến x
0
;
ii) Nếu dãy {x
n
} hội tụ yếu tới x
0
và lim
n→+∞
x
n
 = x

0
 thì dãy {x
n
} hội
tụ đến x
0
;
iii) Mọi dãy hội tụ mạnh (yếu) đều bị chặn và giới hạn tồn tại là duy nhất;
5
iv) Nếu không gian Hilbert thực H là hữu hạn chiều thì sự hội tụ mạnh,
yếu là tương đương;
v) Nếu {x
n
}
n≥0
là một dãy bị chặn trong không gian Hilbert H thì ta lấy
ra được một dãy con từ dãy {x
n
} và dãy con này hội tụ yếu;
vi) Nếu {x
n
}
n≥0
là một dãy bị chặn trong không gian Hilbert hữu hạn chiều
H thì ta lấy ra được một dãy con hội tụ mạnh.
Định nghĩa 1.6. Một đường thẳng đi qua hai điểm (hai véc-tơ) a, b trong
không gian Hilbert thực H là tập hợp tất cả véc-tơ x ∈ H có dạng
{x ∈ H : x = αa + βb, α, β ∈ R, α + β = 1}.
Định nghĩa 1.7. Đoạn thẳng nối hai điểm a và b trong không gian Hilbert
thực H là tập hợp các véc-tơ x có dạng

{x ∈ H : x = αa + βb, α ≥ 0, β ≥ 0, α + β = 1}.
Định nghĩa 1.8. Cho tập C trong không gian Hilbert thực H, ta xét toán tử
F : C → C được gọi là toán tử đơn điệu nếu
F (x) −F (y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ C.
Ví dụ 1.5. Cho toán tử F được xác định trên R như sau
F (x) = x, ∀x ∈ R.
Khi đó F là toán tử đơn điệu vì với mọi x, y thuộc R ta có
F (x) −F (y), x − y = (x − y)
2
≥ 0, ∀x, y ∈ R.
Định nghĩa 1.9. Trong không gian Hilbert thực H một tập D ⊆ H được gọi
là một tập lồi nếu D chứa mọi đoạn thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó. Tức
là D lồi khi và chỉ khi
∀x, y ∈ H, λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 −λ)y ∈ D.
6
Hình 1.1: Đa diện lồi.
Định nghĩa 1.10. Tập M ⊆ R
n
gọi là một tập affine (hay đa tạp tuyến tính)
nếu (1 − λ)a + λb ∈ M với mọi a ∈ M, b ∈ M với mọi λ ∈ R, tức là M chứa
trọn cả đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó.
Nhận xét 1.2. Nếu M là một tập affine và a ∈ R
n
thì
i) a + M = a + x : x ∈ M cũng là một tập affine.
ii) M là một tập affine chứa gốc khi và chỉ khi M là một không gian con,
nghĩa là nếu a, b ∈ M thì mọi điểm λa + µb cũng thuộc M với λ, µ ∈ R.
Định nghĩa 1.11. Điểm x ∈ H có dạng x = λ
1
a

1
+λ
2
a
2
+ + λ
k
a
k
với a
i
∈ R
n
và λ
1
+ λ
2
+ + λ
k
= 1 gọi là một tổ hợp affine của các điểm a
1
, a
2
, , a
k
.
Nhận xét 1.3. i) M là một tập affine khi và chỉ khi M chứa mọi tổ hợp
affine các phần tử của nó.
ii)Giao của một họ bất kỳ các tập affine cũng là một tập affine.
Cho E là một tập bất kỳ trong R

n
, có ít nhất một tập affine chứa E, cụ thể
là R
n
.
Định nghĩa 1.12. Giao của tất cả các tập affine chứa E gọi là bao affine
của E và ký hiệu là affE. Đó là tập affine nhỏ nhất chứa E.
Ta thấy x ∈ affE khi và chỉ khi x là một tổ hợp affine của các phần tử thuộc
E.
Định nghĩa 1.13. Một tập D được gọi là nón nếu
∀λ > 0, ∀x ∈ D ⇒ λx ∈ D.
7
Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng thời là một tập lồi. Một nón được
gọi là nón nhọn nếu nó không chứa đường thẳng.
Hình 1.2: Nón lồi.
Định nghĩa 1.14. Cho không gian Hilbert thực H, D ⊆ H là một tập lồi và
x ∈ D.
i) Tập
N
D
(x) := w ∈ H : w, y −x ≤ 0, ∀y ∈ D,
được gọi là nón pháp tuyến ngoài của D tại x và tập −N
D
(x) được gọi là nón
pháp tuyến trong của D tại x;
ii) Tập
N

D
(x) := w ∈ H : w, y −x ≤ , ∀y ∈ D,

được gọi là nón pháp tuyến  của D tại x.
Nhận xét 1.4. 0 ∈ N
D
(x) và ta có N
D
(x) là một nón lồi đóng.
Định nghĩa 1.15. i) Bao lồi của một tập D là giao của tất cả các tập lồi
chứa D, bao lồi của một tập D được ký hiệu là coD;
ii) Bao lồi đóng của một tập D là tập lồi đóng nhỏ nhất chứa D, ta ký
hiệu bao đóng của một tập D là coD;
iii) Bao affine của D là giao của tất cả các tập affine chứa D, bao affine
của một tập D được ký hiệu là af f D.
8
Định lý 1.2. Nếu A, B là các tập lồi trong không gian Hilbert thực H, C là
tập lồi trong không gian Hilbert thực G thì các tập sau là tập lồi
i) A ∩B := {x : x ∈ A, x ∈ B};
ii) αA + βB := {x : x = αa + βb, a ∈ A, b ∈ B, α, β ∈ R};
iii) A ×C := {x ∈ A ∪C : x = (a, c), a ∈ A, c ∈ C}.
Định nghĩa 1.16. Trong không gian Hilbert thực H, C ⊆ H là tập lồi và ánh
xạ f : C → R ∪{+∞}.
i) Ta ký hiệu
domf := {x ∈ C : f(x) < +∞}
là miền hữu dụng của f. Nếu domf = ∅ và f(x) > −∞ thì f được gọi là hàm
lồi chính thường;
ii) Tập
epif := {(x, α) ∈ C × R : f(x) ≤ α}
được gọi là trên đồ thị của hàm f.
Ví dụ 1.6. Xét hàm số một biến trên tập D = [0; +∞) có dạng
f(x) =




e
x
với mọi x > 0,
2 với x = 0.
Ta thấy epif là tập lồi nên f là tập lồi trên D. Hàm f liên tục tại mọi điểm
trong x > 0 và gián đoạn tại điểm biên x = 0. Tại x = 0 hàm f nửa liên tục
trên trên D.
Định nghĩa 1.17. Trong không gian Hilbert thực H, C ⊆ H là tập lồi khác
rỗng và ánh xạ f : C → R ∪{+∞}.
i) Ta nói f là hàm lồi trên C nếu
f[λx + (1 −λ)y] ≤ λf(x) + (1 −λ)f(y), ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1);
ii) Hàm f được gọi là lồi chặt trên C nếu
f[λx + (1 −λ)y] < λf(x) + (1 −λ)f(y), ∀x, y ∈ C, x = y, ∀λ ∈ (0, 1);
9
iii) Hàm f được gọi là hàm lõm (lõm chặt) trên C nếu hàm −f là hàm lồi
(lồi chặt) trên C;
iv) Hàm f được gọi là lồi mạnh với hệ số β > 0 trên C nếu
f[λx + (1 −λ)y] ≤ λf(x) + (1 −λ)f(y) −βλ(1 −λ)x −y
2
, ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1];
v) Hàm f được gọi là tựa lồi trên C nếu ∀λ ∈ R, tập mức {x ∈ C : f(x) ≤ λ}
là tập lồi;
vi) Hàm f là tựa lõm trên C nếu −f là hàm tựa lồi trên C.
Ví dụ 1.7. Cho S := {x ∈ H : x = 1} là một hàm mặt cầu và h : S → R
+
là một hàm bất kỳ. Ta định nghĩa hàm f như sau
f(x) =










0 nếu x < 1,
h(x) nếu x = 1,
+∞ nếu x > 1.
Hàm f(x) được gọi là hàm mặt cầu và f là hàm lồi trên C.
Ví dụ 1.8. Hàm f (x
1
, x
2
) = x
2
1
+ x
2
2
lồi mạnh. Tổng quát ta xét hàm bậc hai
f(x) =
1
2
x, Qx + p, x,
với Q là một ma trận vuông đối xứng cấp n xác định dương và p ∈ R
n
. Tính

lồi mạnh của f được suy ra từ hệ thức
f[λx + (1 −λ)y] ≤ λf(x) + (1 −λ)f(y) − λ(1 −λ)x −y, Q(x −y)
≤ λf(x) + (1 −λ)f(y) −λ(1 − λ)ρ  x −y 
2
,
chú ý rằng với 0 ≤ λ ≤ 1 thì λ
2
≤ λ, (1 −λ)
2
≤ (1 −λ) và vì rằng
x −y, Q(x − y) ≥ ρ  x − y 
2
,
trong đó ρ là giá trị riêng nhỏ nhất (dương) của ma trận Q.
Ví dụ 1.9. Các hàm ln x,
√
x là hàm lõm trên R
+
. Các hàm e
x
, x = 1, 2, lồi
trong R
+
10
Định nghĩa 1.18. Cho không gian Hilbert thực H, một hàm f : H → R. Khi
đó
i) Hàm f được gọi là khả vi tại điểm x ∈ H nếu tồn tại phần tử ký hiệu là
f

(x) ∈ H thỏa mãn

lim
y−x→0
f(y) −f(x) − f

(x), y −x
y −x
= 0
phần tử f

(x) được gọi là đạo hàm của f tại điểm x;
ii) Hàm f được gọi là khả vi trên H nếu hàm f khả vi tại mọi điểm thuộc
H.
Định nghĩa 1.19. Cho không gian Hilbert thực H, một hàm f : H → R. Khi
đó
i) Một hàm f xác định trên tập H được gọi là nửa liên tục dưới tại điểm
x
0
thuộc H nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho f (x) ≥ f(x
0
) − ε, với mọi
x thuộc H thoả mãn x − x
0
 < δ;
ii) Hàm f được gọi là nửa liên tục trên trên H tại x
0
∈ H nếu hàm −f
nửa liên tục dưới trên H tại x
0
∈ H;
iii) Hàm f được gọi là liên tục trên H tại điểm x

0
∈ H nếu hàm f vừa
nửa liên tục dưới trên H tại điểm x
0
∈ H và vừa liên tục trên trên H tại điểm
x
0
∈ H;
iv) Hàm f được gọi là liên tục (nửa liên tục) trên H nếu hàm f liên tục
(nửa liên tục) tại mọi điểm trên H.
Định nghĩa 1.20. Cho f là một hàm lồi trên tập lồi C. Một véc-tơ y
∗
∈ H
được gọi là dưới đạo hàm của f tại x
∗
∈ C nếu
f(x) ≥ f(x
∗
) + y
∗
, x −x
∗
, ∀x ∈ C.
Tập tất cả các điểm y
∗
thỏa mãn bất đẳng thức trên được ký hiệu là ∂f(x
∗
).
Tập ∂f(x
∗

) nhìn chung thường chứa nhiều điểm tức là ∂f(x
∗
) = ∅. Trong
trường hợp ∂f(x
∗
) chỉ chứa duy nhất một điểm ta nói rằng f khả vi tại x
∗
.
Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x
∗
nếu ∂f(x
∗
) = ∅. Theo định nghĩa,
một điểm y
∗
∈ ∂f (x
∗
) khi và chỉ khi nó thỏa mãn một hệ vô hạn các bất đẳng
11
thức tuyến tính. Như vậy ∂f (x
∗
) là giao các nửa không gian đóng. Vậy ∂f(x
∗
)
luôn là tập lồi đóng (có thể rỗng) và được ký hiệu
dom(∂f (x
∗
)) = {x
∗
: ∂f (x

∗
) = ∅}.
Ví dụ 1.10. Ví dụ về dưới vi phân của một số hàm
Hàm affine f(x) = a, x+ α(a ∈ R
n
, α ∈ R) có ∂f(x) = {a}, ∀x ∈ R
n
.
Hàm f(x) = x (chuẩn Euclid) thì
∂(f (x
∗
)) =



{p : p ≤ 1} khi x
∗
= 0,
{
x
∗
x
∗

} khi x
∗
= 0.
Định lý 1.3. Cho không gian Hilbert thực H. Một hàm lồi chính thường f
trên H có dưới vi phân khác rỗng tại mỗi điểm x
0

thuộc int(domf ) và ∂f(x
0
)
là một tập lồi đóng.
Định lý 1.4. i) Một hàm thực một biến f(x) khả vi trong một khoảng mở là
lồi khi và chỉ khi đạo hàm của nó f

(x) là một hàm không giảm;
ii) Một hàm thực một biến f(x) hai lần khả vi trong một khoảng mở là lồi
khi và chỉ khi đạo hàm cấp hai của nó f

(x) không âm trên toàn bộ khoảng
mở này.
Định lý 1.5. Cho C là tập lồi khác rỗng trong không gian Hilbert thực H và
một hàm f : H → R khả vi trên C.
i) Hàm f lồi trên C khi và chỉ khi
f(y) ≥ f(x) + f(x), y −x, ∀x, y ∈ C;
ii) Nếu
f(y) > f(x) + f(x), y −x, ∀x, y ∈ C, x = y,
thì hàm f lồi chặt trên C.
1.2 Bài toán cân bằng
Bài toán cân bằng có ý nghĩa quan trọng trong kinh tế và nhiều lĩnh vực
trong thực tiễn. Hơn thế nữa, bài toán còn là sự mở rộng của một số bài toán
12
như: Bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng N ash, bài toán tối
ưu. Trong phần này, ta sẽ tìm hiểu về bài toán cân bằng và một số bài toán
có thể quy về bài toán cân bằng.
Ta giả sử H là không gian Hilbert thực với tô pô yếu được định nghĩa bởi ., .
và chuẩn ..
1.2.1 Phát biểu bài toán

Cho C là tập lồi đóng trong không gian Hilbert thực H. Đặt f : C × C →
R ∪{+∞} thỏa mãn f(x, x) = 0, ∀x ∈ H. Khi đó, ta xét bài toán sau được gọi
là bài toán cân bằng hay là bất đẳng thức Ky Fan
Tìm x
∗
∈ C sao cho f(x
∗
, y) ≥ 0, ∀y ∈ C. (EP )
Trong đó C được gọi là tập chấp nhận hay tập chiến lược. Hàm f là hàm
cân bằng của Bài toán (EP ), hàm f thỏa mãn điều kiện f(x, x) = 0 được gọi
là song hàm cân bằng.
Định lý 1.6. (Định lý minimax) Cho C, D là lồi đóng khác rỗng trong không
gian Hilbert thực H và f : C ×D −→ R. Giả sử với mọi y ∈ D, hàm f (., y) tựa
lồi, nửa liên tục dưới trên C và với mọi x ∈ C, hàm f(x, .) tựa lõm, nửa liên
tục trên D. Khi đó nếu có một trong hai điều kiện sau
(A) Có một tập hữu hạn N
∗
∈ D và một số η
∗
> γ sao cho tập
C(N
∗
) := {x ∈ C : max
y∈N
∗
f(x, y) ≤ η
∗
}
com-pắc.
(B) Có một tập hữu hạn M

∗
⊂ C và một số γ
∗
< η sao cho tập
D(M
∗
) := {y ∈ D : min
x∈M
∗
f(x, y) ≥ γ
∗
}
com-pắc. Khi đó
sup
y∈D
inf
x∈C
f(x, y) = inf
x∈C
sup
y∈D
f(x, y).
Cụ thể hơn, ta có
sup
y∈D
min
x∈C(N
∗
)
f(x, y) = inf

x∈C
sup
y∈D
f(x, y),
13
nếu có (A) và
inf
x∈C
sup
y∈D
f(x, y) = max
y∈D(M
∗
)
inf
x∈C
f(x, y)
nếu có (B).
Mệnh đề 1.2. Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực
H và song hàm cân bằng f có các tính chất: f(x, .) là hàm tựa lồi, nửa liên
tục dưới trên C, f(., y) là hàm tựa lõm, nửa liên tục trên trên C. Giả sử
(B1) Có một tập hữu hạn N
∗
⊂ C sao cho tập
C(N
∗
) := {x ∈ C : min
y∈N
∗
f(x, y) ≥ 0}

com-pắc, hoặc
(B2) Có một tập hữu hạn M
∗
⊂ C sao cho tập
D(M
∗
) := {y ∈ C : max
x∈M
∗
f(x, y) ≤ 0}
com-pắc. Khi đó Bài toán (EP ) có nghiệm.
Chứng minh. Đặt g(x, y) := −f (x, y) và D ≡ C. Khi đó hàm g : C × D → R
thỏa mãn mọi điều kiện của Định lý 2.2. Theo định lý này, ta có
sup
y∈C
inf
x∈C
g(x, y) = inf
x∈C
sup
y∈C
g(x, y). (1)
Ta sẽ chứng tỏ
inf
x∈C
sup
y∈C
g(x, y) = 0. (2)
Thật vậy, ta có
inf

x∈C
sup
y∈C
g(x, y) ≥ inf
x∈C
g(x, x) = 0;
đẳng thức cuối là do f(x, x) = 0.
Mặt khác
sup
y∈C
inf
x∈C
g(x, y) ≤ sup
y∈C
g(y, y) = 0. (3)
Từ (1), (2) và (3) ta suy ra
sup
y∈C
inf
x∈C
g(x, y) = inf
x∈C
sup
y∈C
g(x, y) = 0.
14
Giả sử điều kiện (B1) thỏa mãn, tức là có N
∗
⊂ C sao cho
C(N

∗
) := {x ∈ C : min
y∈N
∗
f(x, y) ≥ 0}
com-pắc, theo định lý minimax tồn tại x ∈ C(N
∗
) ⊂ C sao cho
min
x∈C(N
∗
)
sup
y∈C
g(x, y) = 0.
Đặt s(x) := sup
y∈C
g(x, y). Do g(., y) nửa liên tục dưới trên C, nên s cũng nửa liên
tục dưới trên C. Do C(N
∗
) là tập com-pắc, nên tồn tại x
∗
∈ C(N
∗
) sao cho
s(x
∗
) = min
x∈C(N
∗

)
s(x) = 0. Hay s(x
∗
) = sup
y∈C
g(x
∗
, y) = 0. Suy ra g(x
∗
, y) ≤ 0 với
mọi y ∈ C. Vậy f(x
∗
, y) = −g(x
∗
, y) ≥ 0 với mọi y ∈ C. Chứng tỏ x
∗
là nghiệm
của bài toán cân bằng (EP ).
Ta nhắc lại một định lý điểm bất động Kakutani và định lý điểm bất động
Brouwer để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng.
Định lý 1.7. (Điểm bất động Kakutani) Cho C là tập lồi com-pắc trong không
gian Hilbert H và F : C −→ 2
C
là một ánh xạ đa trị nửa liên tục trên và F (x)
lồi, đóng, khác rỗng với mọi x ∈ C. Khi đó F có điểm bất động, tức là tồn tại
x
∗
∈ C, x
∗
∈ F (x

∗
).
Một trường hợp riêng quan trọng của định lý này là định lý điểm bất động
Brouwer sau.
Định lý 1.8. (Điểm bất động Brouwer) Cho C là một tập lồi com-pắc yếu
trong không gian Hilbert thực H và F là một ánh xạ (đơn trị) liên tục từ C
vào C. Khi đó tồn tại x
∗
∈ C thỏa mãn x
∗
∈ F (x
∗
).
Định lý 1.9. (Định lý cực đại của Berge) Cho X, Y là các không gian tô-pô,
F : X −→ 2
Y
là ánh xạ nửa liên tục trên trên X sao cho F(X) com-pắc. Giả
sử g : X ×Y −→ R là hàm số nửa liên tục trên trên X. Khi đó hàm giá trị tối
ưu
h(x) := max{g(x, y) : y ∈ F (x)},
15
nửa liên tục trên và ánh xạ tập nghiệm tối ưu
S(x) := {y ∈ F (x) : g(x, y) = h(x)},
nửa liên tục trên.
Dựa vào định lý điểm bất động Kakutani và định lý cực đại của Berge, ta
có định lý sau nói về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng.
Mệnh đề 1.3. Cho C là một tập lồi, com-pắc khác rỗng trong không gian
Hilbert thực H và song hàm cân bằng f : C ×C −→ R ∪{+∞} có các tính chất
(i) f(., y) nửa liên tục trên với mọi y ∈ C,
(ii) g(x, .) lồi, nửa liên tục dưới và khả dưới vi phân trên C với mọi x ∈ C.

Khi đó Bài toán (EP ) có nghiệm.
Chứng minh. Với mỗi x ∈ C, ta gọi S(x) là tập nghiệm của bài toán
min{f(x, y) : y ∈ C}. (1.1)
Do C com-pắc và f(x, .) nửa liên tục dưới, nên theo định lý W eistrass, bài
toán này tồn tại nghiệm. Hơn nữa, do C lồi, com-pắc, f (x, .) lồi, nên S(x) lồi,
com-pắc. Theo định lý cực đại của Berge, ánh xạ g nửa liên tục trên và S là
ánh xạ từ C vào C. Vậy theo định lý điểm bất động Kakutani, tồn tại x
∗
∈ C
thoả mãn x
∗
∈ S(x
∗
). Bây giờ ta chỉ ra x
∗
là nghiệm của bài toán cân bằng
(EP ). Thật vậy, do f (x, .) lồi, khả dưới vi phân, theo điều kiện cần và đủ của
tối ưu quy hoạch lồi, ta có
0 ∈ ∂
2
f(x
∗
, x
∗
) + N
C
(x
∗
).
Theo định nghĩa của dưới vi phân và nón pháp tuyến, từ đây ta có v

∗
∈
∂
2
f(x
∗
, x
∗
) + N
C
(x
∗
) thoả mãn
v
∗
, y −x
∗
 ≥ 0, ∀y ∈ C.
Do v
∗
∈ ∂
2
f(x
∗
, x
∗
), nên
v
∗
, y −x

∗
 ≤ f(x
∗
, y) −f(x
∗
, x
∗
) = f(x
∗
, y), ∀y ∈ C.
Vậy f(x
∗
, y) ≥ 0, ∀y ∈ C. Điều này chứng tỏ x
∗
là nghiệm của Bài toán
(EP ).
16
1.2.2 Các trường hợp riêng của bài toán cân bằng
Bài toán tối ưu
Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H và
g : C → R là một hàm số xác định trên C. Khi đó, bài toán tối ưu được phát
biểu như sau
Tìm x
∗
∈ C sao cho g(x
∗
) ≤ g(y), y ∈ C. (1.2)
Nếu ta đặt f (x, y) = g(y) −g(x) với mọi x, y ∈ C thì bài toán tối ưu có thể quy
về bài toán cân bằng (EP ).
Thật vậy, ta giả sử x

∗
∈ C là nghiệm của Bài toán (1.1) nên ta có
g(x
∗
) ≤ g(y), ∀y ∈ C.
Vì
f(x, y) = g(y) − g(x), ∀x, y ∈ C.
Nên
f(x
∗
, y) = g(y) − g(x
∗
) ≥ 0, ∀y ∈ C.
Vậy x
∗
∈ C là nghiệm của bài toán cân bằng (EP ).
Ngược lại, nếu x
∗
∈ C là nghiệm của bài toán cân bằng (EP ) thì ta có
f(x
∗
, y) ≥ 0, ∀y ∈ C.
Theo cách đặt ta có
f(x
∗
, y) = g(y) − g(x
∗
) ≥ 0, ∀y ∈ C
⇒ g(y) ≥ g(x
∗

), ∀y ∈ C.
Vậy x
∗
∈ C là nghiệm của Bài toán (1.1).
Bài toán điểm yên ngựa
Định nghĩa 1.21. Cho C, D là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian
Hilbert thực H và f : C ×D → R. Một điểm (x
∗
, y
∗
) ∈ C ×D được gọi là điểm
yên ngựa của hàm f trên C × D nếu
f(x
∗
, y) ≤ f(x
∗
, y
∗
) ≤ f(x, y
∗
), ∀(x, y) ∈ C × D.
17
Hình 1.3: Điểm yên ngựa A(x, y).
Bài toán
Cho C, D là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H và
f : C ×D → R. Bài toán điểm yên ngựa được phát biểu như sau
Tìm (x
∗
, y
∗

) ∈ C ×D sao cho f(x
∗
, y) ≤ f(x
∗
, y
∗
) ≤ f(x, y
∗
), ∀(x, y) ∈ C × D.
Bây giờ ta chỉ ra rằng, bài toán điểm yên ngựa có thể quy về dạng bài
toán cân bằng.
Thật vậy, với mỗi u = (x, y)
T
, v = (x

, y)
T
, ta đặt
g(u, v) := f(x

, y) −f(x, y

).
Khi đó, giả sử nếu u
∗
∈ C × D là nghiệm của bài toán cân bằng (EP ) ta có
g(u
∗
, v) ≥ 0, ∀v ∈ C × D,
thì

f(x

, y
∗
) ≥ f(x
∗
, y

), ∀x

∈ C, ∀y

∈ D.
Với x

= x
∗
và sau đó y

= y
∗
, ta có
f(x
∗
, y

) ≤ f(x
∗
, y
∗

) ≤ f(x

, y
∗
), ∀x

∈ C, ∀y

∈ D.
Vậy (x
∗
, y
∗
) là điểm yên ngựa.
Ngược lại, giả sử nếu (x
∗
, y
∗
) là điểm yên ngựa của f trên C × D, ta có
f(x
∗
, y) ≤ f(x
∗
, y
∗
) ≤ f(x, y
∗
), ∀(x, y) ∈ C × D,
18
thì

f(x, y
∗
) −f(x
∗
, y) ≥ 0.
Và với x = x

và y = y

khi đó f(x

, y
∗
) −f(x
∗
, y

, ) ≥ 0.
Theo cách đặt ta có g(u
∗
, v) ≥ 0 hay u
∗
= (x
∗
, y
∗
) ∈ C × D là nghiệm của bài
toán cân bằng (EP ).
Bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác
• Cho I = {1, 2, 3, , p} là tập hữu hạn p - người chơi.

• Cho C
i
là tập lồi khác rỗng trong không gian Hilbert thực H
i
là tập chiến
lược của người chơi thứ i. Đặt C := C
1
× C
2
× ×C
p
.
• Hàm f
i
: C → R là hàm thiệt hại của người chơi thứ i khi vi phạm chiến
lược của những người chơi còn lại, với mọi i ∈ I.
Cho x = (x
1
, x
2
, , x
p
) ∈ C và y = (y
1
, y
2
, , y
p
) ∈ C là phương án của của
người chơi.

Ta định nghĩa x[y
i
]
j
∈ C như sau
x[y
i
]
j
=

x
j
, ∀j = i,
y
i
, ∀i = j.
Khi đó, bài toán cân bằng Nash được phát biểu như sau
Tìm x
∗
∈ C sao cho f
i
(x
∗
) ≤ f
i
(x
∗
[y
i

]), ∀i ∈ I, ∀y ∈ C. (1.3)
Điểm thỏa mãn Bài toán (1.3) gọi là điểm cân bằng N ash. Về ý nghĩa kinh
tế ta thấy rằng, nếu một đối thủ i nào đó chọn phương án ra khỏi điểm cân
bằng trong khi các đối thủ khác vẫn giữ phương án cân bằng thì đối thủ i sẽ
bị thua thiệt.
Ta đặt f : C ×C → R được xác định bởi
f(x, y) :=
p

i=1
(f
i
(x[y
i
]) −f
i
(x)), ∀x, y ∈ C,
thì bài toán cân bằng Nash có thể quy về bài toán cân bằng (EP ).
19
Thật vậy, giả sử x
∗
là nghiệm của Bài toán (1.3) nên ta có
f
i
(x
∗
) ≤ f
i
(x
∗

[y
i
]), ∀i ∈ I, ∀y
i
∈ C
i
,
⇒ f
i
(x
∗
[y
i
]) −f
i
(x
∗
) ≥ 0, ∀i ∈ I, ∀y
i
∈ C
i
,
⇒
p

i=1
(f
i
(x
∗

[y
i
]) −f
i
(x
∗
)) ≥ 0, ∀i ∈ I, ∀y
i
∈ C
i
.
Theo cách đặt ta có
f(x
∗
, y) ≥ 0, ∀y ∈ C.
Vậy x
∗
∈ C là nghiệm của Bài toán (EP ).
Ngược lại, giả sử x
∗
∈ C là nghiệm của bài toán cân bằng (EP ) nhưng không
là nghiệm của Bài toán (1.3).
Do x
∗
∈ C là nghiệm của bài toán cân bằng (EP ) nên
f(x
∗
, y) ≥ 0, ∀y ∈ C.
Theo cách đặt ta có
p


i=1
(f
i
(x
∗
[y
i
]) −f
i
(x
∗
)) ≥ 0, ∀i ∈ I, ∀y ∈ C. (1.4)
Do x
∗
∈ C không là nghiệm của Bài toán (1.3) nên tồn tại i ∈ C sao cho
f
i
(x
∗
) > f
i
(x
∗
[y
i
]), ∀y
i
∈ C
i

. (1.5)
Ta lấy x
∗
[y
i
] = x
∗
, với mọi j = i suy ra
f
i
(x
∗
[y
j
]) −f
i
(x
∗
) = 0, ∀j = i. (1.6)
Từ (1.4) và (1.5) ta có
p

i=1
(f
i
(x
∗
[y
i
]) −f

i
(x
∗
)) < 0,
mâu thuẫn với (1.4). Vậy x
∗
∈ C là nghiệm của Bài toán (1.3).
20
Bài toán bất đẳng thức biến phân
Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H và
F : C → 2
H
là một ánh xạ đa trị. Tức là với mỗi x ∈ C thì giá trị F (x) là một
tập khác rỗng trong H. Ta xét bài toán bất đẳng thức biến phân
(V I)

Tìm x
∗
∈ C, δ
∗
∈ F (x
∗
) sao cho
δ
∗
, y −x
∗
 ≥ 0, ∀y ∈ C.
Nếu ta đặt f(x, y) := max
δ∈F (x)

δ, y −x, ∀x, y ∈ C thì Bài toán (V I) có thể quy về
bài toán cân bằng (EP ).
Thật vậy, giả sử x
∗
∈ C là nghiệm của Bài toán (V I) ta có
δ
∗
, y −x
∗
 ≥ 0, y ∈ C, δ
∗
∈ F (x
∗
).
Theo cách đặt ta có
f(x
∗
, y) = max
δ
∗
∈F (x
∗
)
δ
∗
, y −x
∗
 ≥ 0, ∀y ∈ C.
Vậy x
∗

là nghiệm của bài toán cân bằng (EP ).
Ngược lại, giả sử x
∗
∈ C là nghiệm của bài toán cân bằng (EP ) ta có
f(x
∗
, y) ≥ 0, ∀y ∈ C.
Theo cách đặt ta có
f(x
∗
, y) = max
δ
∗
∈F (x
∗
)
δ
∗
, y −x ≥ 0, ∀y ∈ C.
Vậy x
∗
∈ C là nghiệm của Bài toán (V I).
Bài toán điểm bất động Kakutani
Cho K : C → 2
C
, C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert
thực H. Điểm x được goi là điểm bất động của K nếu x ∈ K(x). Giả sử với
mọi x ∈ C, K(x) lồi, com-pắc, khác rỗng khi đó bài toán tìm một điểm bất
động của K có thể quy về dạng bài toán cân bằng (EP ) với song hàm
f(x, y) := max

v∈K(x)
x −v, y −x.
21
Nếu x ∈ K(x) và vì f : C × C → R ∪ {+∞}, ta phải tìm x ∈ C sao cho
f(x, y) ≥ 0, ∀y ∈ C nên ta có f (x, y) ≥ 0, ∀y ∈ C. Vậy x ∈ C là nghiệm của bài
toán cân bằng (EP ).
Ngược lại, giả sử x là nghiệm của Bài toán (EP ), tức là ta có x ∈ C và
f(x, y) ≥ 0 với mọi y ∈ C. Khi đó lấy y là hình chiếu của x lên tập lồi đóng
K(x), theo tính chất hình chiếu ta có
x −y, y −x = max
v∈K(x)
x −v, v −x.
Do x là nghiệm của Bài toán (EP ) nên
0 ≤ f(x, y) = x − y, y − x = −x −y
2
.
Suy ra x = y ∈ F (x). Vậy x là điểm bất động của K tức là x ∈ K(x).
22