qui hoạch toàn phương và bài toán bù tuyến tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
HÀ THỊ MINH TRANG
QUI HOẠCH TOÀN PHƯƠNG
VÀ BÀI TOÁN BÙ TUYẾN TÍNH
Quadratic Programming and the Linear Complementarity Problem
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60 46 01 12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Trần Vũ Thiệu
Thái Nguyên - 2014
Mục lục
Lời nói đầu 2
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị về ma trận 4
1.1 Ma trận xác định dương và nửa xác định dương . . . . . . . . . . 4
1.2 Một số kết quả về ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 P - ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Kiểm tra tính xác định của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Hàm lồi và hàm toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Chương 2. Bài toán qui hoạch toàn phương 18
2.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Sự tồn tại nghiệm tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Điều kiện tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Chương 3. Bài toán bù tuyến tính 30
3.1 Nội dung bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Khái niệm nón bù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 Phương pháp liệt kê giải bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4 Ứng dụng vào qui hoạch tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5 Quan hệ với qui hoạch toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Kết luận 43

1
Lời nói đầu
Qui hoạch toàn phương (Quadratic Programming, viết tắt là QP) là bài toán
tìm cực tiểu của một hàm bậc hai với các ràng buộc tuyến tính:
min{f(x) =
1
2
x
T
Qx + c
T
x : x ∈ D}, (QP)
trong đó Q ∈ S
n
(ma trận vuông đối xứng), c ∈ R
n
và D là tập lồi đa diện cho
trước. Nếu Q xác định dương hay nửa xác định dương thì (QP) là bài toán qui
hoạch toàn phương lồi, còn nếu Q không xác định thì (QP) là bài toán qui hoạch
toàn phương không lồi. Các bài toán qui hoạch toàn phương rất được quan tâm
nghiên cứu, vì nhiều vấn đề nảy sinh trong thực tiễn có thể diễn đạt dưới dạng
bài toán (QP). Qui hoạch toàn phương, nói riêng là qui hoạch tuyến tính (Linear
Programming, viết tắt là LP), liên quan chặt chẽ với bài toán bù tuyến tính.
Bài toán bù tuyến tính (Linear Complementarity Problem, viết tắt là LCP), do
R. W. Cottle và G. B. Dantzig [2] đề xuất năm 1968, là bài toán tổng quát mô tả
thống nhất các bài toán qui hoạch tuyến tính, qui hoạch toàn phương và trò chơi
song ma trận. Các nghiên cứu về bài toán bù tuyến tính đã đem lại nhiều lợi ích,
vượt xa các kết quả cụ thể. Chẳng hạn, thuật toán xoay bù(complementarity pivot
algorithm) lúc đầu được đề xuất cho bài toán bù tuyến tính đã được mở rộng trực
tiếp để tạo ra các thuật toán hiệu quả tính điểm bất động Brouwer và Kakutani,

tính các trạng thái cân bằng kinh tế, giải các hệ phương trình phi tuyến và tìm
nghiệm tối ưu cho bài toán qui hoạch phi tuyến. Tương tự, các phương pháp lặp
được đề xuất cho bài toán bù tuyến tính đã tạo điều kiện tốt cho việc xử lý các
bài toán qui hoạch tuyến tính cỡ rất lớn mà không thể giải quyết bằng phương
pháp đơn hình quen thuộc, do kích thước bài toán quá lớn đã gây ra nhiều khó
khăn trong tính toán số. Vì những lẽ đó, trong lĩnh vực nghiên cứu bài toán bù
tuyến tính người ta đã dành nhiều giải thưởng có giá trị cao cho những ai có
thành tích xuất sắc trong học tập hoặc nghiên cứu về tối ưu hóa hoặc gắn bó với
sự nghiệp ứng dụng tối ưu trong thực tiễn.
2
Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu và trình bày khái quát về bài toán qui hoạch
toàn phương (lồi và không lồi ), bài toán bù tuyến tính và phân tích mối quan hệ
giữa bài toán qui hoạch toàn phương và bài toán bù tuyến tính.
Nội dung luận văn được viết thành ba chương:
Chương 1: “Kiến thức chuẩn bị về ma trận” nhắc lại khái niệm về ma trận xác
định dương, nửa xác định dương và tóm tắt một số kết quả lý thuyết bổ ích về
ma trận, cách kiểm tra tính xác định của ma trận. Các ma trận xác định dương
và nửa xác định dương liên quan chặt chẽ với hàm toàn phương và qui hoạch toàn
phương. Các kiến thức này sẽ được sử dụng đến ở các chương sau khi đề cập đến
bài toán qui hoạch toàn phương và bài toán bù tuyến tính.
Chương 2: “Bài toán quy hoạch toàn phương” trình bày nội dung bài toán qui
hoạch toàn phương, một số ứng dụng của bài toán, sự tồn tại nghiệm của bài
toán, đáng chú ý là Định lý Frank - Wolfe (1956) và Định lý Eaves (1971). Cuối
chương trình bày định lý về điều kiện cần tối ưu KKT cho nghiệm cực tiểu địa
phương và định lý điều kiện đủ tối ưu khi hàm mục tiêu f(x) lồi.
Chương 3: “Bài toán bù tuyến tính” giới thiệu khái quát về bài toán bù tuyến
tính và cách tiếp cận tổ hợp giải bài toán dựa trên khái niệm nón bù. Phân tích
mối quan hệ của bài toán bù tuyến tính với qui hoạch tuyến tính và qui hoạch
toàn phương, đặc biệt chỉ ra rằng bài toán qui hoạch tuyến tính và bài toán qui
hoạch toàn phương có thể qui được về bài toán bù tuyến tính.

Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn này còn có
những thiếu sót nhất định, kính mong quí thầy cô và các bạn đóng góp ý kiến để
tác giả tiếp tục hoàn thiện luận văn này.
Trong quá trình học tập và thực hiện luận văn, tôi đã nhận được sự dạy bảo
tận tình của các thầy cô giáo ở trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên.
Đặc biệt là sự chỉ bảo, hướng dẫn trực tiếp của GS. TS Trần Vũ Thiệu. Nhân dịp
này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. TS Trần Vũ Thiệu, tới Sở Giáo
dục và Đào tạo Hải Phòng, trường THPT An Dương - Hải Phòng, các thầy cô
giáo và các bạn đồng nghiệp đã giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2014
Tác giả
Hà Thị Minh Trang
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị về ma trận
Chương này nhắc lại khái niệm về ma trận xác định dương, nửa xác định dương
và nêu một số kết quả lý thuyết hữu ích về ma trận, cách kiểm tra tính xác định
của ma trận. Các ma trận xác định dương và nửa xác định dương liên quan chặt
chẽ với hàm toàn phương và qui hoạch toàn phương. Nội dung của chương được
tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [1], [3] - [5].
1.1. Ma trận xác định dương và nửa xác định dương
Mục này nhắc lại khái niệm về ma trận xác định dương và nửa xác định dương
thường gặp trong qui hoạch toàn phương và bài toán bù tuyến tính.
Định nghĩa 1.1. Ma trận Q vuông cấp n, đối xứng hay không đối xứng, gọi là
xác định dương (positive definte matrix) nếu x
T
Qx > 0 với mọi x ∈ R
n
, x = 0; Q
gọi là nửa xác định dương (positive definte matrix) nếu x
T

Qx ≥ 0 với x ∈ R
n
. Ma
trận Q gọi là xác định âm (negative definite matrix) (nửa xác định âm - negative
semidefinite matrix) nếu - Q là xác định dương (nửa xác định dương). Ma trận
Q gọi là không xác định (indefinite matrix) nếu x
T
Qx dương với x này và âm với
x khác.
Nếu Q không đối xứng, ta có thể thay nó bằng ma trận đối xứng

Q + Q
T

/2
mà không làm thay đổi tính xác định của ma trận, bởi vì x
T

Q + Q
T

x = 2x
T
Qx.
Ví dụ 1.1. Cho các ma trận
A =

1 −1
−1 2


, B =

1 −1
−1 1

, C =

−2 1
1 −2

D =

−1 1
1 −1

, E =

1 0
0 −1

4
Có thể thấy A xác định dương, B nửa xác định dương, C xác định âm, D nửa
xác định âm và E không xác định.
Định nghĩa 1.2. Cho Q = (q
ij
) là ma trận vuông cấp n. Giả sử {i
1
, . . . , i
k
} ⊆

{1, . . . , n} là tập chỉ số với các phần tử xếp theo thứ tự tăng dần. Xóa tất cả các
phần tử của Q ở hàng i và cột i với i /∈ {i
1
, . . . , i
k
}, ta nhận được ma trận con
cấp k × k của Q




q
i
1
i
1
· · · q
i
1
i
k
.
.
.
.
.
.
.
.
.

q
i
k
i
1
· · · q
i
k
i
k




Ma trận này gọi là ma trận con chính (principal submatrix) của Q xác định
bởi tập chỉ số {i
1
, . . . , i
k
}. Bằng cách đặt J = {i
1
, . . . , i
k
}, ta ký hiệu ma trận con
chính là Q
JJ
. Đó là ma trận (q
ij
: i ∈ J, j ∈ J}. Định thức của ma trận con chính
gọi là định thức con chính (principal determinatnt) của Q xác định bởi tập chỉ số

J. Ma trận con chính của Q xác định bởi tập J = ∅ (tập rỗng) là ma trận rỗng
(không chứa phần tử nào). Qui ước định thức của ma trận rỗng bằng 1. Ma trận
con chính của Q xác định bởi tập J = {1, . . . , n} chính là Q. Ma trận con chính
của Q xác định bởi tập J = ∅ gọi là ma trận con chính khác rỗng (non-empty
principal submatrix) của Q. Do số tập con khác rỗng của {1, . . . , n} là 2
n
− 1
nên có tất cả 2
n
− 1 ma trận con chính khác rỗng của Q. Các ma trận con chính
của Q xác định bởi tập chỉ số J ⊂ {1, . . . , n} gọi là ma trận con chính thực sự
(proper principal submatrix) của Q. Vì thế, mỗi ma trận con chính thực sự của
Q có cấp k ≤ n − 1.
Ví dụ 1.2. Cho
Q =




1 2 3
4 5 6
7 8 9




Ma trận con chính cấp 1, lần lượt tương ứng với J = {1} , {2} và {3}, là các
phần tử đường chéo 1, 5 và 9. Ma trận con chính cấp 2, lần lượt tương ứng với
J = {1, 2} , {1, 3} và {2, 3} là các ma trận 2 × 2 sau đây:


1 2
4 5

,

1 3
7 9

và

5 6
8 9

5
Ma trận con chính cấp 3 × 3, tương ứng với J = {1, 2, 3}, chính là Q. Có tất
cả 2
3
− 1 = 7 ma trận con chính khác rỗng.
Định nghĩa 1.3. Ma trận con chính cấp k của Q, xác định bởi tập chỉ số J =
{1, . . . , k}, tức là ma trận nhận được từ Q bằng cách bỏ đi n − k hàng và cột
cuối, gọi là ma trận con chính chủ đạo (leading principal submatrix) cấp k của
Q. Định thức của ma trận con chính chủ đạo được gọi là định thức con chính chủ
đạo (leading principal subdeterminant).
Trong Ví dụ 1.2, ma trận con chính chủ đạo cấp 1 là 1 (bỏ đi 2 hàng và 2 cột
cuối). Ma trận con chính chủ đạo cấp 2 là ma trận con chính thứ nhất trong 3
ma trận con chính cấp 2 đã liệt kê và ma trận con chính chủ đạo cấp 3 chính là
Q. Số ma trận con (định thức con) chính chủ đạo của ma trận cấp n × n bằng n.
1.2. Một số kết quả về ma trận
Mục này nêu một số kết quả hữu ích trong nghiên cứu các ma trận xác định
dương và nửa xác định dương.

Kết quả 1.1. Nếu A = (a
11
) là ma trận cấp 1 × 1 thì A xác định dương khi và
chỉ khi a
11
> 0 và A nửa xác định dương khi và chỉ khi a
11
≥ 0.
Chứng minh.Giả sử y = (y
1
) ∈ R
1
. Khi đó, y
T
Ay =a
11
y
2
1
. Vì thế y
T
Ay > 0 với
mọi y ∈ R
1
, y = 0, khi và chỉ khi a
11
> 0, do đó A xác định dương khi và chỉ khi
a
11
> 0. Cũng vậy, y

T
Ay ≥ 0 với mọi y ∈ R
1
khi và chỉ khi a
11
≥ 0, do đó A nửa
xác định dương khi và chỉ khi a
11
≥ 0. 
Kết quả 1.2. Nếu Q là ma trận xác định dương (đối xứng hay không đối xứng)
thì mọi ma trận con chính của Q đều xác định dương.
Chứng minh. Xét ma trận con chính G xác định bởi tập chỉ số {1, 2}.
G =

q
11
q
12
q
21
q
22

. Giả sử z =

y
1
y
2


Lấy y = (y
1
, y
2
, 0, 0, , 0)
T
. Khi đó y
T
Qy = z
T
Gz. Tuy nhiên, do Q xác định
dương nên y
T
Qy > 0 với mọi y = 0. Do vậy z
T
Gz > 0 với mọi z = 0. Vì thế G
cũng xác định dương. Dùng lập luận tương tự có thể chứng minh rằng mọi ma
trận con chính của Q cũng xác định dương. 
6
Kết quả 1.3. Nếu Q xác định dương thì q
ii
> 0 với mọi i.
Chứng minh suy từ Kết quả 1.2
Kết quả 1.4. Nếu Q là ma trận nửa xác định dương (đối xứng hay không đối
xứng) thì mọi ma trận con chính của Q cũng nửa xác định dương.
Chứng minh tương tự như trong chứng minh Kết quả 1.2.
Kết quả 1.5. Nếu Q là ma trận nửa xác định dương thì q
ii
≥ 0 với mọi i.
Chứng minh suy từ Kết quả 1.4.

Kết quả 1.6. Cho Q là ma trận nửa xác định dương. Nếu q
ii
= 0 thì q
ij
+ q
ji
= 0
với mọi j khi Q không đối xứng và q
ij
= q
ji
= 0 với mọi j khi Q đối xứng.
Chứng minh. Để xác định, giả sử q
11
= 0 và giả sử q
12
+ q
21
= 0. Theo kết quả
1.4, ma trận con chính:

q
11
q
12
q
21
q
22


=

0 q
12
q
21
q
22

phải nửa xác định dương, nghĩa là q
22
y
2
2
+ (q
12
+ q
21
) y
1
y
2
≥ 0 với mọi y
1
, y
2
. Do
q
12
+ q

21
= 0 nên nếu chọn y
1
= (−q
22
− 1) / (q
12
+ q
21
) và y
2
= 1 thì bất đẳng
thức trước đó trở thành −1 ≥ 0, ta gặp mâu thuẫn. Vậy phải có q
12
+ q
21
= 0.
Trường hợp Q đối xứng thì q
12
= q
21
. Theo trên q
12
+ q
21
= 0. Từ đó suy ra
2q
12
= 2q
21

= 0, tức q
12
= q
21
= 0. 
Định nghĩa 1.4. (Bước xoay Gauss - Gaussian Pivot Step). Cho A = (a
ij
) là
ma trận cấp m × n. Phần tử ở hàng r, cột s là a
rs
. Với a
rs
= 0, bước xoay Gauss
biến đổi ma trận A theo công thức:
a
ij
→ a

ij
= a
ij
− a
rj
× (a
is
/a
rs
) với mọi i = r + 1, , m và mọi j = 1, , n
tức là trừ mỗi hàng i > r một bội số thích hợp (cụ thể là a
is

/a
rs
) của hàng r. Có
thể thấy a

is
= 0 với mọi i > r. Ở bước xoay này, hàng r gọi là hàng xoay (pivot
row), cột s gọi là cột xoay (pivot column) và a
rs
gọi là phần tử trụ(pivot element).
Bước xoay Gauss này gọi tắt là phép xoay (r, s) trên A và nó chỉ thực hiện được
khi a
rs
= 0 (r < m).
Ví dụ 1.3. Phép xoay (1, 2) (a
12
= 2 là phần tử trụ) trên ma trận A biến A
thành B:
7
A =




2 2 −2 0
4 1 3 2
2 −2 0 1





⇒ B =




2 2 −2 0
3 0 4 2
4 0 −2 1




.
Kết quả 1.7. Cho D là một ma trận vuông đối xứng cấp n ≥ 2. Giả sử D xác
định dương. Thực hiện phép xoay (1, 1) trên D để biến mọi phần tử ở cột 1, trừ
phần tử đầu, thành 0. Ta nhận được ma trận E. Giả sử E
1
là ma trận con nhận
được từ E bằng cách bỏ đi hàng 1 và cột 1. Khi đó, E
1
vẫn còn đối xứng và xác
định dương.
Ví dụ 1.4. Với phép xoay (1, 1) trên ma trận D vuông đối xứng xác định dương
(cấp 3) ta nhận được ma trận E
1
vuông đối xứng xác định dương (cấp 2):
Kết quả 1.8. Ma trận vuông Q là xác định dương (hay nửa xác định dương) khi
và chỉ khi Q + Q
T

xác định dương (hay nửa xác định dương).
Chứng minh. Suy ra từ đẳng thức x
T

Q + Q
T

x = 2x
T
Qx 
Kết quả 1.9. Giả sử Q là ma trận vuông cấp n và A là ma trận cấp m × n. Khi
đó ma trận vuông:
E =

Q −A
T
A 0

cấp (m + n) là nửa xác định dương khi và chỉ khi Q nửa xác định dương.
Chứng minh. Đặt z = (y
1
, , y
n
, t
1
, , t
m
)
T
∈ R

m+n
và y = (y
1
, , y
n
)
T
. Với mọi
z ta có z
T
Ez = y
T
Qy. Vì thế z
T
Ez ≥ 0 với mọi z ∈ R
m+n
khi và chỉ khi y
T
Qy ≥ 0
với mọi y ∈ R
n
, nghĩa là E nửa xác định dương khi và chỉ khi Q nửa xác định
dương. 
Kết quả 1.10. Nếu B là ma trận vuông (cấp n) không suy biến thì ma trận
D = B
T
B là ma trận đối xứng và xác định dương.
Chứng minh. Tính đối xứng là do D
T
=


B
T
B

T
= B
T
B = D. Với mọi y ∈
R
n
, y = 0, ta có y
T
Dy = y
T

B
T
B

y = (By)
T
By = ||By||
2
> 0 do By = 0(B
không suy biến và y = 0 kéo theo By = 0). Vì thế D xác định dương. 
8
Kết quả 1.11. Nếu A là một ma trận tùy ý (vuông hay chữ nhật) thì AA
T
và

A
T
A là đối xứng và nửa xác định dương.
Chứng minh. Tương tự như chứng minh Kết quả 1.10. 
Ví dụ 1.5. Với ma trận A cho dưới đây thì AA
T
xác định dương và A
T
A nửa
xác định dương
A =

1 0 1
0 1 −1

⇒ A
T
=




1 0
0 1
1 −1




⇒ AA

T
=

2 −1
−1 2

, A
T
A =




1 0 1
0 1 −1
1 −1 2




.
• Nếu Q xác định dương thì nghịch đảo Q
−1
tồn tại và xác định dương
• Sau đây là một số kết quả liên quan đến định thức con chính của các ma
trận xác định dương và nửa xác định dương.
Kết quả 1.12. Cho Q là một ma trận xác định dương, đối xứng hay không đối
xứng. Mọi định thức con chính của Q là số dương. Nói riêng, detQ > 0.
Kết quả 1.13. Cho Q là một ma trận nửa xác định dương, đối xứng hay không
đối xứng. Mọi định thức con chính của Q không âm. Nói riêng, detQ ≥ 0.

Kết quả 1.14. (Tiêu chuẩn Silvester).
a) Để cho ma trận vuông đối xứng Q là xác định dương thì điều kiện cần và đủ là
mọi định thức con chính chủ đạo của Q dương, tức ∆
1
> 0, ∆
2
> 0, , ∆
n
> 0,
trong đó
∆
1
= |q
11
| , ∆
2
=





q
11
q
12
q
21
q
22






, , ∆
n
=











q
11
q
12
· · · q
1n
q
21
q
22
· · · q

2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
q
n1
q
n2
· · · q
nn












.
b) Để cho ma trận vuông đối xứng Q là xác định âm thì điều kiện cần và đủ
là các định thức con chính chủ đạo của Q luân phiên đổi dấu, trong đó định thức
đầu tiên có dấu âm, tức là ∆
1
< 0, ∆
2
> 0, , (−1)
n
∆
n
> 0.
9
Ví dụ 1.6. Khác với Kết qủa 1.14, một ma trận vuông đối xứng có mọi định
thức con chính chủ đạo không âm, nhưng ma trận đó không nửa xác định dương,
như chỉ ra ở ma trận Q sau đây:
Q =




1 0 −1
0 0 0
−1 0 −1




có ∆
1

= 1 > 0, ∆
2
=

1 0
0 0

= 0 và ∆
3
= detQ = 0
nhưng Q không nửa xác định dương, do (0, 0, 1) Q(0, 0, 1)
T
= − 1 < 0
Kết quả 1.15. Một ma trận vuông đối xứng là xác định dương khi và chỉ khi mọi
định thức con chính của nó thực sự dương.
Chứng minh. Suy ra từ các Kết quả 1.12 và 1.14. 
Nhận xét 1.1. Điều đáng chú ý là nếu Q là ma trận vuông đối xứng cấp n và
nếu n định thức con chính chủ đạo (xem Định nghĩa 1.3) của Q là số dương thì
theo các Kết quả 1.14 và 1.15, mọi định thức con chính của Q cũng là số dương.
Kết quả này có thể sai nếu Q không đối xứng.
Có thể chứng minh kết quả đáng chú ý sau.
Kết quả 1.16. Nếu Q là một ma trận vuông đối xứng nửa xác định dương và
nếu detQ > 0 thì Q xác định dương.
Nhận xét 1.2. Kết quả trên có thể không còn đúng nếu Q không đối xứng. Chẳng
hạn, ma trận Q dưới đây nửa xác định dương (theo Kết quả 1.9) và detQ > 0,
nhưng Q không xác định dương (theo Kết quả 1.3) do Q không đối xứng:
Q =

1 −1
1 0


, detQ = 1 > 0
Kết quả 1.17. Cho Q là một ma trận vuông cấp n nửa xác định dương, đối xứng
hay không đối xứng, nếu ¯x ∈ R
n
sao cho ¯x
T
Q¯x = 0 thì

Q + Q
T

¯x = 0
Chứng minh. Đặt D = Q + Q
T
. D là ma trận đối xứng và nửa xác định dương
(theo Kết quả 1.8). Với mọi x ∈ R
n
thì x
T
Dx = 2x
T
Qx. Vì thế cũng có ¯x
T
D¯x = 0.
Ta cần chứng minh rằng D¯x = 0. Thật vậy, lấy bất kỳ x ∈ R
n
. Với mọi λ ∈ R
n
ta có (¯x + λx)

T
D(¯x + λx) ≥ 0, nghĩa là:
λ
2
x
T
Dx + 2λ¯x
T
D¯x ≥ 0
10
do ¯x
T
D¯x = 0. Nếu x
T
Dx = 0 thì ở bất đẳng thức trên cho λ = 1, sau đó - 1 ta suy
ra ¯x
T
Dx = 0. Còn nếu x
T
Dx = 0 thì do D nửa xác định dương nên x
T
Dx > 0.
Trong trường hợp này, ta kết luận rằng 2¯x
T
Dx ≥ −λx
T
Dx với mọi λ > 0 và
2¯x
T
Dx ≤ −λx

T
Dx với mọi λ < 0. Chọn λ nhỏ tùy ý về giá trị tuyệt đối, từ các
bất đẳng thức trên ta kết luận rằng trong trường hợp này phải có ¯x
T
Dx = 0.
Vậy, dù x
T
Dx = 0 hay x
T
Dx = 0 ta đều có x
T
Dx = 0 với mọi x ∈ R
n
. Từ đó
suy ra phải có ¯x
T
D = 0 hay D¯x = 0 (nhớ là D đối xứng). Đó là điều cần chứng
minh 
1.3. P - ma trận
Mục này đề cập tới một lớp ma trận đặc biệt thường gặp trong các ứng dụng
có tên gọi là P - ma trận.
Định nghĩa 1.5. Một ma trận vuông, đối xứng hay không đối xứng, gọi là một
P - ma trận (P - matrix) nếu và chỉ nếu mọi định thức con chính của nó đều thực
sự dương.
Ví dụ 1.7. Các ma trận sau là P - ma trận:
Ma trận đơn vị I,

1 −1
−1 2


,

1 2
0 3

Các ma trận sau không phải là P - ma trận:

0 1
0 1

,

−1 0
0 10

,

1 1
1 1

Kết quả 1.18. Một P - ma trận đối xứng là ma trận xác định dương. Một P -
ma trận không đối xứng có thể không xác định dương.
Chứng minh. Theo Kết qủa 1.15, ma trận vuông đối xứng là xác định dương
khi và chỉ khi nó là một P - ma trận. Xét ma trận không đối xứng:
B =

1 0
3 1

, B + B

T
=

2 3
3 2

Ta thấy mọi định thức con chính của B bằng 1 nên B là một P - ma trận. Tuy
nhiên, vì det

B + B
T

= − 5 < 0 nên theo Kết quả 1.12,

B + B
T

không xác
định dương, do đó theo Kết quả 1.8, B cũng không xác định dương. Thực ra có
thể kiểm tra thấy (1, − 1) B(1, − 1)
T
= − 1 < 0. 
11
Nhận xét 1.3. Theo Kết quả 1.15 và Định nghĩa 1.5, lớp ma trận xác định dương
là một lớp con của lớp P - ma trận. Theo Kết quả 1.18, khi hạn chế ở ma trận đối
xứng, tính chất của ma trận xác định dương trùng với tính chất của P - ma trận.
Một P - ma trận không đối xứng có thể không xác định dương, như ma trận B
cho trong chứng minh Kết quả 1.18, nhưng nó có thể nửa xác định dương, như
ma trận
˜

M(n) cho dưới đây, hoặc không nửa xác định dương.
˜
M(n) =







1 0 · · · 0
2 1 · · · 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 2 · · · 1








là ma trận tam giác dưới với mọi phần tử đường chéo bằng 1 và mọi phần tử dưới
đường chéo bằng 2. Rõ ràng mọi định thức con chính của
˜
M(n) bằng 1, do đó
˜
M(n) là một P - ma trận. Tuy nhiên,
˜
M(n) +

˜
M(n)

T
là ma trận với mọi phần
tử bằng 2. Có thể kiểm tra lại rằng đó là ma trận nửa xác định dương, nhưng
không xác định dương.
1.4. Kiểm tra tính xác định của ma trận
• Có một số qui tắc kiểm tra đơn giản để nhận biết một ma trận vuông đối
xứng cấp n là xác định dương (xác định âm), nửa xác định dương (nửa xác định
âm) hay không xác định. Các qui tắc kiểm tra này chỉ đúng khi ma trận là đối
xứng. Nếu Q = (q
ij
) không đối xứng thì cần thay Q bởi

Q + Q
T

/2, rồi mới

tiến hành kiểm tra.
a) Kiểm tra ma trận xác định dương: Mọi định thức con chính chủ đạo của Q
phải là số dương (Kết quả 1.14). Nói riêng, mọi phần tử đường chéo phải dương
(Kết qủa 1.3), tức q
ii
> 0 với mọi i = 1, , n.
b) Kiểm tra ma trận nửa xác định dương: Mọi định thức con chính của Q phải
không âm (suy từ Kết quả 1.13). Nói riêng, mọi phần tử đường chéo phải không
âm (Kết quả 1.5), tức q
ii
≥ 0 với mọi i = 1, , n.
Nhận xét 1.4. a) Cần phân biệt rõ sự khác nhau khi kiểm tra các ma trận xác
định dương và nửa xác định dương: Để ma trận xác định dương, chỉ cần kiểm tra
các định thức con chính chủ đạo dương là đủ, trong khi đó để ma trận nửa xác
định dương ta cần kiểm tra mọi định thức con chính không âm.
12
b) Để chỉ rõ ma trận xác định âm (nửa xác định âm), ta chỉ cần kiểm tra ma
trận đối của ma trận đó là xác định dương (nửa xác định dương).
c) Nếu thấy ma trận vuông đối xứng có (ít nhất) hai phần tử đường chéo trái
dấu nhau thì chắc chắn ma trận đó không xác định.
Qui tắc kiểm tra tính xác định dương (xác định âm) của ma trận đã nêu trên
dựa vào tiêu chuẩn Silvester nêu trong Kết quả 1.14. Tuy nhiên, đây không phải
là một phương pháp hiệu quả (trừ khi n rất nhỏ) bởi vì việc tính các định thức
con chính chủ đạo tốn khá nhiều thời gian và công sức.
• Sau đây là một phương pháp khác kiểm tra tính xác định dương của ma trận
vuông (cấp n) đối xứng Q, chỉ đòi hỏi nhiều nhất n bước xoay Gauss trên Q dọc
theo đường chéo chính. Độ phức tạp tính toán của phương pháp này là O (n
3
) .
Phương pháp dựa trên Kết quả 1.7.

i) Nếu có bất kỳ phần tử đường chéo của Q không dương thì Q không xác định
dương: dừng kiểm tra.
ii) Trong Q, trừ các bội số thích hợp của hàng 1 vào tất cả các hàng (từ 2 tới
n) sao cho mọi phần tử ở cột 1 (từ hàng 2 tới hàng n) biến thành 0. Ta nhận
được ma trận Q
1
. Nếu có phần tử đường chéo của Q
1
không dương thì Q không
xác định dương: dừng kiểm tra.
iii) Trong Q
1
, trừ các bội số thích hợp của hàng 2 vào tất các hàng (từ 3 tới n)
sao cho mọi phần tử ở cột 2 (từ hàng 3 tới hàng n) biến thành 0. Ta nhận được
ma trận Q
2
. Nếu có phần tử đường chéo của Q
2
không dương thì Q không xác
định dương: dừng kiểm tra.
iv) Tiếp tục làm như trên. Nếu quá trình kiểm tra không dừng ở các ma trận
Q
1
, Q
2
, , Q
n−1
thì mọi phần tử đường chéo của Q
n−1
đều dương. Ta kết luận

Q xác định dương và quá trình kiểm tra kết thúc.
Ví dụ 1.8. Kiểm tra xem ma trận D sau đây có xác định dương hay không?
D =




1 1 0
1 2 −1
0 −1 2




⇒ D
1
=




1 1 0
0 1 −1
0 −1 2




⇒ D
2

=




1 1 0
0 1 −1
0 0 1




.
Do D đối xứng và có mọi phần tử đường chéo là số dương nên ta thực hiện
phép xoay (1, 1) trên D, ta nhận được D
1
. D
1
có mọi phần tử đường chéo dương
nên ta thực hiện phép xoay (2, 2) trên D
1
và nhận được D
2
. D
2
có mọi phần tử
13
đường chéo dương nên ta kết luận D xác định dương và dừng kiểm tra.
Ví dụ 1.9. Kiểm tra xem ma trận B sau đây có xác định dương không?
B =








1 0 0 2
0 2 0 4
2 4 5 4
0 0 2 3







⇒ D = (B + B
T
)/2 =







1 0 1 1
0 2 2 2

1 2 5 3
1 2 3 3







⇒ D
1
=







1 0 1 1
0 2 2 2
0 2 4 2
0 2 2 2








⇒ D
2
=







1 0 1 1
0 2 2 2
0 0 2 0
0 0 0 0







Do B không đối xứng nên ta thay B bởi D = (B + B
T
)/2 (đối xứng). D có
mọi phần tử đường chéo dương nên ta thực hiện phép xoay (1, 1) trên D và nhận
được D
1
. D
1
có mọi phần tử đường chéo dương nên ta thực hiện phép xoay (2, 2)

trên D
1
và nhận được D
2
. Do D
2
có phần tử đường chéo không dương nên ta kết
luận D không xác định dương, do đó B không xác định dương và dừng kiểm tra.
• Bây giờ giả sử Q = (q
ij
) là một ma trận vuông đối xứng cấp n. Nếu Q có
phần tử đường chéo là số âm thì Q không thể là ma trận nửa xác định dương
(Kết quả 1.5): dừng kiểm tra. Cũng vậy, nếu Q có phần tử đường chéo bằng 0 và
nếu trên hàng hoặc cột chứa phần tử 0 này có phần tử khác 0 thì Q không thể là
ma trận nửa xác định dương (Kết quả 1.6): dừng kiểm tra.
Nếu chưa dừng kiểm tra thì xét phần tử đường chéo khác 0 đầu tiên của Q.
Giả sử phần tử này nằm ở hàng r, cột r. Gọi ma trận Q lúc này là Q
r
. Nếu Q
r
là ma trận tam giác trên và mọi phần tử đường chéo là số dương thì Q xác định
dương, còn nếu mọi phần tử đường chéo không âm thì Q nửa xác định dương.
Trái lại, trong Q
r
trừ các bội số thích hợp của hàng r vào các hàng (từ r + 1
trở đi) sao cho các phần tử ở cột r và hàng từ r + 1 trở đi biến thành 0. Xóa hàng
r và cột r khỏi ma trận nhận được sau biến đổi, gọi ma trận con còn lại là E
r
.
Nếu E

r
có phần tử đường chéo âm thì Q không nửa xác định dương: dừng kiểm
tra. Cũng vậy, nếu E
r
có phần tử đường chéo bằng 0 và trên hàng hoặc cột chứa
phần tử 0 này có phần tử khác 0 thì Q không nửa xác định dương: dừng kiểm tra.
Trái lại, trong Q
r
xét phần tử đường chéo khác 0 đầu tiên tiếp theo (nếu còn).
Giả sử phần tử này nằm ở hàng s, cột s. Gọi ma trận Q
r
lúc này là Q
s
. Tiếp tục
14
xét Q
s
như đã xét ở trên đối với Q
r
, v.v
Cuối cùng, nếu mọi phần tử đường chéo của ma trận tam giác trên Q
n−1
là các
số không âm thì kết luận Q nửa xác định dương: kết thúc quá trình kiểm tra.
Ví dụ 1.10. Kiểm tra xem ma trận Q sau có nửa xác định dương không?
Q đối xứng và mọi phần tử trên đường chéo đều dương. Thực hiện phép xoay
(1, 1) ta nhận được Q
1
. Xóa khỏi Q
1

hàng và cột đầu, ma trận còn lại E
1
có phần
tử đường chéo thứ nhất là 0, nhưng cả hàng và cột đầu của E
1
đều là véctơ 0.
Thực hiện phép xoay trên Q
1
theo phần tử đường chéo khác 0 tiếp theo 3 ta được
Q
2
. Q
2
là ma trận tam giác trên với mọi phần tử đường chéo không âm, vì thế
ta kết luận Q là ma trận nửa xác định dương, nhưng không là ma trận xác định
dương.
Ví dụ 1.11. Kiểm tra xem ma trận B, D sau có nửa xác định dương không?
B =




1 −1 4
−1 2 0
4 0 −3




, D =





2 4 0
4 0 5
0 5 3




.
B và D là các ma trận đối xứng. B có phần tử đường chéo là số âm, còn D có
phần tử đường chéo bằng 0 và trên hàng (cột) chứa phần tử 0 này có các phần
tử khác 0. Vì thế, cả B và D đều không nửa xác định dương.
1.5. Hàm lồi và hàm toàn phương
Định nghĩa 1.6. a) Hàm f : C → [−∞, +∞] xác định trên một tập lồi C ⊆ R
n
gọi
là một hàm lồi trên C nếu với mọi x
1
, x
2
∈ C và mọi λ ∈ [0, 1] ta có
f[λx
1
+ (1 − λ)x
2
] ≤ λf


x
1

+ (1 − λ)f

x
2

15
mỗi khi vế phải xác định, nghĩa là hệ thức trên cần được thỏa mãn trừ khi
f(x
1
) = −f(x
2
) = ±∞ (vì biểu thức +∞ − ∞ không có nghĩa).
b) Hàm f được gọi là hàm lồi chặt trên C nếu với mọi x
1
, x
2
∈ C, x
1
= x
2
, và
mọi số thực λ ∈ (0, 1) ta có
f[λx
1
+ (1 − λ)x
2
] < λf


x
1

+ (1 − λ)f

x
2

Hiển nhiên, một hàm lồi chặt là hàm lồi, nhưng điều ngược lại không đúng.
Định nghĩa 1.7. a) Hàm f gọi là hàm lõm (hàm lõm chặt) trên C nếu -f là hàm
lồi (hàm lồi chặt) trên C.
b) Hàm f gọi là hàm tuyến tính afin (hay đơn giản là hàm afin) trên C nếu f
hữu hạn và vừa lồi, vừa lõm trên C.
Một hàm afin trên R
n
có dạng f(x) = a
T
x + α với a ∈ R
n
, α ∈ R bởi vì với
mọi x
1
, x
2
∈ R
n
và mọi λ ∈ [0, 1] ta có
f[λx
1

+ (1 − λ)x
2
] = λf

x
1

+ (1 − λ)f

x
2

Hàm tuyến tính là trường hợp riêng của hàm afin, khi α = 0. Tuy nhiên, hàm
afin (nói riêng, hàm tuyến tính) không lồi chặt hay lõm chặt.
Nhận xét 1.5. Hàm lồi f : C → [−∞, +∞] có thể được mở rộng thành hàm lồi
xác định trên toàn không gian R
n
bằng cách đặt f (x) = + ∞ với mọi x /∈ C. Vì
vậy để đơn giản, ta thường xét hàm lồi trên toàn R
n
.
Hàm lồi, hàm lõm có các tính chất quan trọng được nêu trong 2 định lý sau.
Định lý 1.1. Mọi điểm cực tiểu địa phương của hàm lồi f trên tập lồi C khác
rỗng đều là điểm cực tiểu toàn cục. Tập Argmin
x∈C
f (x) là tập con lồi của C.
Tương tự, mọi điểm cực đại địa phương của hàm lõm f trên tập lồi C khác rỗng
đều là điểm cực đại toàn cục. Tập Argmax
x∈C
f (x) là tập con lồi của C.

Định lý 1.2. Một hàm lồi chặt f trên tập lồi C có nhiều nhất một điểm cực tiểu
trên C, nghĩa là tập Argmin
x∈C
f (x) gồm nhiều nhất một phần tử. Tương tự,
một hàm lõm chặt f trên tập lồi C có nhiều nhất một điểm cực đại trên C, nghĩa
là tập các điểm cực đại Argmax
x∈C
f (x)gồm không quá một phần tử.
Định nghĩa 1.8. Hàm toàn phương (quadratic function), còn gọi là hàm bậc
hai là hàm có dạng q(x) =
1
2
x
T
Qx + p
T
x + c, trong đó Q ∈ R
n×n
đối xứng,
16
p ∈ R
n
, c ∈ R, q(x) xác định trên toàn R
n
. Lưu ý: khi Q = 0 (ma trận không)
thì q(x) là hàm afin.
Bây giờ ta xét đến tính lồi (lồi chặt), lõm (lõm chặt) của hàm toàn phương.
Ta có sự kiện quan trọng sau.
Định lý 1.3. Hàm toàn phương q(x) =
1

2
x
T
Qx + p
T
x + c lồi (lồi chặt) trên R
n
khi và chỉ khi ma trận Q nửa xác định dương (xác định dương) và q lõm (lõm
chặt) trên R
n
khi và chỉ khi ma trận Q nửa xác định âm (xác định âm).
Ví dụ 1.12. Xét hàm bậc hai q(x) =
1
2
(x
2
1
− 2x
1
x
2
+ 3x
2
2
) + x
1
− 2x
2
. Ta thấy
Q =


1 −1
−1 3

, p =

1
−2

Do ma trận Q xác định dương nên hàm q(x) đã cho là lồi chặt trên R
2
.
Tóm lại, chương này đã nhắc lại khái niệm và kết qủa cơ bản về các ma trận
xác định dương và nửa xác định dương. Hàm toàn phương và qui hoạch toàn
phương liên quan mật thiết với ma trận xác định dương và nửa xác định dương.
Đáng chú ý là hàm toàn phương là lồi (lồi chặt) khi và chỉ khi ma trân tương ứng
là nửa xác định dương (xác định dương) và là lõm (lõm chặt) khi và chỉ khi ma
trận tương ứng là nửa xác định âm (xác định âm).
17
Chương 2
Bài toán qui hoạch toàn phương
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về bài toán qui hoạch toàn
phương: nội dung và ý nghĩa bài toán, sự tồn tại nghiệm và điều kiện tối ưu cho
nghiệm bài toán. Nội dung của chương được tham khảo từ tài liệu [3] - [7].
2.1. Phát biểu bài toán
Qui hoạch toàn phương (Quadratic Programming, viết tắt là QP) là bài toán
tối ưu với hàm mục tiêu bậc hai và với các ràng buộc đẳng thức hay bất đẳng
thức tuyến tính. Mô hình toán học của qui hoạch toàn phương có dạng:
(QP) f(x) =
1

2
x
T
Qx + p
T
x + c → min (2.1)
với điều kiện:
a
T
i
x = b
i
, i = 1, 2, . . . , k, (2.2)
a
T
i
x  b
i
, i = k + 1, . . . , m, (2.3)
trong đó Q là ma trận đối xứng cấp n × n; p, a
i
∈ R
n
, b
i
, c ∈ R, k, m là các số
nguyên không âm (0  k  m). Ký hiệu tập ràng buộc (hay miền chấp nhận
được) của bài toán (2.1) - (2.3) là
D = {x ∈ R
n

: a
T
i
x = b
i
, i = 1, 2, . . . , k, a
T
i
x  b
i
, i = k + 1, . . . , m}.
Nếu ma trận Q nửa xác định dương thì (QP) là bài toán qui hoạch toàn phương
lồi (Convex QP) và nghiệm cực tiểu địa phương x
∗
là nghiệm cực tiểu toàn cục.
Nếu Q xác định dương thì (QP) là bài toán qui hoạch toàn phương lồi chặt
(Strictly Convex QP) và x
∗
là nghiệm cực tiểu toàn cục duy nhất. Nếu Q là
ma trận không xác định thì (QP) là bài toán qui hoạch toàn phương không lồi
(Nonconvex QP) rất đáng được chú ý.
18
Trường hợp hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc bất đẳng thức đều là hàm lồi
bậc hai, ta có bài toán qui hoạch toàn phương lồi với các ràng buộc toàn phương
lồi (Quadratically Constrained Quadratic Program, viết tắt là QCQP):
f(x) =
1
2
x
T

Q
0
x + p
T
0
x + c
0
→ min (QCQP)
với các điều kiện
g
i
(x) =
1
2
x
T
Q
i
x + p
T
i
x + c
i
 0, i = 1, . . . , m, Ax = b,
trong đó Q
i
∈ S
n
+
(nửa xác định dương), p

i
∈ R
n
, A ∈ R
m×n
, b ∈ R
m
, c
i
∈ R,
(i = 0, 1, . . . , m). Bài toán (QCQP) tìm cực tiểu hàm bậc hai lồi trên miền chấp
nhận được là giao của các ellipsoid khi mọi Q
i
> 0 (xác định dương).
Qui hoạch tuyến tính là trường hợp riêng của qui hoạch toàn phương và qui
hoạch toàn phương lồi (khi Q = 0). Qui hoạch toàn phương lồi lại là trường hợp
riêng của qui hoạch toàn phương lồi với các ràng buộc toàn phương lồi (khi Q
i
= 0
với mọi i = 1, . . . , m).
Một trường hợp riêng quan trọng của bài toán qui hoạch toàn phương (QP)
là khi nó chỉ có các ràng buộc về dấu đối với các biến. Khi đó, bài toán (QP) có
dạng đơn giản
f(x) =
1
2
x
T
Qx + p
T

x + c → min
với điều kiện x  0.
Nếu Q nửa xác định dương thì bài toán dạng đơn giản này hoàn toàn tương
đương với bài toán bù tuyến tính LCP (p, Q) xét ở chương sau. Có nhiều ứng
dụng trong công nghiệp và vật lý dẫn tới mô hình qui hoạch toàn phương lồi dạng
đặc biệt trên. Các ứng dụng đó bao gồm bài toán tiếp xúc, bài toán chất lỏng
nhớt, bài toán vật cản, bài toán xoắn chất dẻo đàn hồi cũng như nhiều bài toán
biên tự do khác.
2.2. Một số ứng dụng
Sau đây là một số ví dụ về bài toán qui hoạch toàn phương.
A. Hồi qui tuyến tính
Một trong những bài toán thống kê thường gặp là bài toán hồi qui tuyến tính:
Tìm đường thẳng xấp xỉ tốt nhất dãy số liệu thống kê cho bởi n cặp điểm quan
sát: (x
1
, y
1
), (x
2
, y
2
), . . . , (x
n
, y
n
).
19
Nếu phương trình của đường thẳng cần tìm là y = ax + b thì vấn đề là chọn
các hệ số a và b để có được xấp xỉ tốt nhất theo một số tiêu chuẩn nào đó. Tiêu
chuẩn thường dùng là “Tổng bình phương nhỏ nhất”: cần làm cực tiểu tổng bình

phương các độ lệch của đường thẳng xấp xỉ so với các số liệu thống kê, nghĩa là
f(a, b) =
n

i=1

y
i
− (a
i
x + b)

2
→ min .
Đây là một bài toán qui hoạch toàn phương không ràng buộc.
Bài toán tìm cực tiểu hàm bậc hai lồi
Ax − b
2
= x
T
A
T
Ax − 2b
T
Ax + b
T
b
cũng là một qui hoạch toàn phương (không ràng buộc). Nó nảy sinh trong nhiều
lĩnh vực và có nhiều tên gọi khác nhau như phân tích hồi qui hay xấp xỉ bình
phương nhỏ nhất. Bài toán này đơn giản đến mức có thể tìm nghiệm bằng công

thức giải tích x = A
+
b, trong đó A
+
là nghịch đảo suy rộng của A.
Khi có thêm các ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính, ta có bài toán hồi qui
(hay bài toán bình phương nhỏ nhất) có ràng buộc. Lúc này bài toán không có lời
giải giải tích đơn giản nữa. Để làm ví dụ, ta có thể nêu ra bài toán hồi qui với
các biến bị chặn (trên và dưới):
min{Ax − b
2
: l
i
 x
i
 u
i
, i = 1, . . . , n}.
B. Khoảng cách giữa hai tập lồi đa diện
Khoảng cách (Euclid) giữa hai tập lồi đa diện P
1
= {x : A
1
x  b
1
} và P
2
=
{x : A
2

x  b
2
} trong R
n
được xác định như sau
dist(P
1
, P
2
) = inf{x
1
− x
2
 : x
1
∈ P
1
, x
2
∈ P
2
}.
Nếu P
1
và P
2
cắt nhau thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.
Để tìm khoảng cách giữa P
1
và P

2
ta có thể giải qui hoạch toàn phương lồi
min{x
1
− x
2

2
: A
1
x
1
 b
1
, A
2
x
2
 b
2
},
với biến x
1
, x
2
∈ R
n
. Bài toán này không có lời giải khi và chi khi một trong hai
tập P
1

hoặc P
2
bằng rỗng. Giá trị tối ưu bằng 0 khi và chỉ khi khi hai tập cắt
20
nhau và nghiệm tối ưu x
1
= x
2
là điểm thuộc phần chung P
1
∩ P
2
. Trái lại, giá
trị tối ưu là khoảng cách giữa hai điểm gần nhau nhất: x
1
∈ P
1
và x
2
∈ P
2
.
Một trường hợp riêng là bài toán tìm khoảng cách từ một điểm cho trước tới
một tập lồi cho trước, chẳng hạn tới một tập lồi đa diện hay một siêu phẳng.
Ví dụ 2.1. Bài toán tìm khoảng cách ngắn nhất từ gốc 0 ∈ R
n
tới siêu phẳng
H = {x ∈ R
n
: a

1
x
1
+ · · · + a
n
x
n
= α}, trong đó α, a
i
∈ R với mọi i và có ít nhất
một a
i
= 0, có thể diễn đạt như một bài toán qui hoạch toàn phương lồi
min{f(x) = x
2
1
+ . . . + x
2
n
: a
1
x
1
+ · · · + a
n
x
n
= α}.
C. Tối ưu hóa danh mục đầu tư vốn
Một nhà đầu tư có số vốn là a$. Có danh sách gồm n cổ phiếu (stocks) có

thể đầu tư tiền vào đó. Vấn đề đặt ra là nhà đầu tư nên dành bao nhiêu phần
tiền hiện có đầu tư vào mỗi cổ phiếu. Lời giải của bài toán này gọi là một danh
mục đầu tư vốn (portfolio). Trong bài toán này có một câu ngạn ngữ quen biết
“Đừng bao giờ bỏ tất cả số trứng vào một rổ!” Vì thế, sau khi nghiên cứu kỹ
lưỡng nhà đầu tư xác định được mức tối thiểu l
j
$ và tối đa u
j
$ cho số tiền đầu
tư vào cổ phiếu j, j = 1, 2, , n. Lợi tức từ mỗi cổ phiếu thay đổi ngẫu nhiên từ
năm này qua năm khác. Qua phân tích số liệu quá khứ, ước đoán được lợi tức
trung bình (hay kỳ vọng) hàng năm của 1$ đầu tư vào cổ phiếu j là µ
j
. Lợi tức
từ các cổ phiếu khác nhau không độc lập với nhau và sự phân tích số liệu quá
khứ còn cho đánh giá về ma trận hiệp phương sai Q đối với các lợi tức hàng năm
từ các cổ phiếu khác nhau của 1 $ đầu tư. Q là ma trận đối xứng xác định dương
cấp n. Nếu đầu tư x
j
$ vào cổ phần j, j = 1, 2, , n thì danh mục đầu tư vốn là
x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
)
T
, lợi tức trung bình hàng năm là
n


j=1
µ
j
x
j
và phương sai của
lợi tức là x
T
Qx. Phương sai là thước đo mức độ dao động ngẫu nhiên của lợi tức
hàng năm (mức độ rủi ro). Vì thế nó cần làm cực tiểu. Tất nhiên nhà đầu tư còn
muốn làm cực đại lợi nhuận trung bình. Để đạt được cả hai mục tiêu đề ra ta qui
định một cận dưới µ cho mức lợi tức trung bình và làm cực tiểu phương sai với
điều kiện lợi tức thu được không thấp hơn cận dưới µ. Kết quả dẫn tới mô hình
toán học:
x
T
Qx → min
21
với điều kiện:
n

j=1
µ
j
x
j
 µ,
n


j=1
x
j
 a,
l
j
 x
j
 u
j
, j = 1, 2, . . . , n.
Đây là một bài toán qui hoạch toàn phương lồi chặt.
2.3. Sự tồn tại nghiệm tối ưu
• Trước hết, ta nhắc lại khái niệm hàm bức và tính chất của hàm bức.
Định nghĩa 2.1. Cho hàm f : C → R xác định trên một tập C ⊂ R
n
. Hàm f
được gọi là bức (coercive) trên C nếu f(x) → +∞ khi x ∈ C và x → +∞.
Hàm bức có tính chất quan trọng sau: hàm f : C → R liên tục (hoặc nửa liên
tục dưới) trên một tập đóng C = ∅ mà bức trên C thì f phải đạt cực tiểu trên C.
Một câu hỏi đặt ra là khi nào một hàm toàn phương là bức (trên toàn R
n
)?
Định lý sau trả lời cho câu hỏi này.
Định lý 2.1. ([1],tr.32). Hàm toàn phương f(x) =
1
2
x
T
Ax+b

T
x+c với A ∈ R
n×n
đối xứng, b ∈ R
n
, c ∈ R là bức khi và chỉ khi A xác định dương.
Từ Định lý 2.1 và tính chất của hàm bức suy ra hệ quả đáng chú ý sau.
Hệ quả 2.1. Hàm toàn phương f(x) =
1
2
x
T
Ax + b
T
x + c với A đối xứng, xác
định dương luôn đạt cực tiểu trên một tập lồi đa diện khác rỗng bất kỳ.
• Trong lý thuyết quy hoạch tuyến tính ta đã biết sự kiện quen thuộc sau:
một hàm tuyến tính bị chặn dưới (bị chặn trên) trên một tập lồi đa diện D = ∅
phải đạt cực tiểu (cực đại) trên D. Các tính chất này vẫn còn đúng cho hàm toàn
phương, bất kể hàm đó lồi hay không, và được nêu trong định lý sau.
Định lý Frank - Wolfe (1956, xem [6]). Nếu một hàm toàn phương bị chặn dưới
trên một tập lồi đa diện D khác rỗng thì bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của hàm
này trên D chắc chắn có nghiệm.
Nhận xét 2.1. Định lý trên nói chung không còn đúng nếu hoặc f khác hàm
tuyến tính và hàm toàn phương hoặc D không là tập lồi đa diện. Các ví dụ 2.2 -
2.4 nêu sau đây minh hoạ cho nhận xét này.
22
Ví dụ 2.2. Bài toán với hàm mục tiêu tuyến tính và D khác tập lồi đa diện:
min{x
2

: x
1
x
2
 1, x
1
 0, x
2
 0}
vô nghiệm, mặc dù θ := inf{x
2
: x
1
x
2
 1, x
1
 0} = 0 > −∞.
Ví dụ 2.3. Bài toán tối ưu với hàm mục tiêu khác hàm tuyến tính hoặc khác
hàm toàn phương có thể vô nghiệm ngay cả khi hàm mục tiêu có cận dưới hữu
hạn. Chẳng hạn, bài toán min

1
1 + x
2
: x ∈ D ≡ R

vô nghiệm, trong khi
θ := inf


1
1 + x
2
: x ∈ R

= 0 (hữu hạn).
Ví dụ 2.4. (Frank - Wolfe, 1956). Cho f(x) = x
2
1
+ (1 − x
1
x
2
)
2
là hàm đa thức
bậc 4 của x
1
và x
2
. Giả sử D = {x = (x
1
, x
2
) ∈ R
2
: x
1
 0, x
2

 0}. Ta thấy
f(x)  0 với mọi x ∈ R
2
. Với mọi x
k
=

1
k
, 1 + k

, k ∈ N, ta có
f(x
k
) =
2
k
2
→ 0 khi k → ∞.
Điều này chứng tỏ:
θ := inf{f(x) : x ∈ D} = 0 = inf{f(x) : x ∈ R
2
}.
Có thể thấy cả hai bài toán inf{f(x) : x ∈ D} và inf{f(x) : x ∈ R
2
} đều vô
nghiệm.
Ví dụ 2.5 và 2.6 minh họa Định lý Frank - Wolfe cho trường hợp D vô hạn.
Ví dụ 2.5. Xét bài toán tối ưu hai biến:
min{f(x) = x

2
1
+ 2x
2
2
− x
1
x
2
: −x
1
+ x
2
 1, x
1
 0, x
2
 0}.
Trong bài toán này f (x) = x
2
1
+ 2x
2
2
− x
1
x
2
=
1

2

(x
1
− x
2
)
2
+ x
2
1
+ 3x
2
2

 0 với
mọi x ∈ R
2
và D = {x ∈ R
2
: −x
1
+ x
2
= 1, x
1
 0, x
2
 0} là tập lồi đa diện
không bị chặn. Do f(x) bị chặn dưới trên D nên theo Định lý Frank - Wolfe, bài

toán đã cho có nghiệm. Có thể thấy nghiệm cực tiểu của bài toán là x
∗
= (0, 1)
T
với f
min
= f(x
∗
) = 2.
Ví dụ 2.6. Xét bài toán tối ưu với các ràng buộc bất đẳng thức
min{f(x) =
1
2
(4x
2
1
− x
2
2
) + 2x
1
: 2x
1
+ x
2
 3, 2x
1
− x
2
 1}.

23
Ta có
f(x) =
1
2
(4x
2
1
− x
2
2
) + 2x
1
=
1
2

(2x
1
+ 1)
2
− x
2
2

−
1
2
=
1

2
(2x
1
+ x
2
+ 1)(2x
1
− x
2
+ 1) −
1
2

1
2
(3 + 1)(1 + 1) −
1
2
=
7
2
.
Do f(x) bị chặn dưới trên D = {x ∈ R
2
: 2x
1
+ x
2
 3, 2x
1

− x
2
 1} nên theo
Định lý Frank - Wolfe, bài toán trên có nghiệm. Có thể thấy nghiệm cực tiểu của
bài toán là x
∗
= (1, 1)
T
và f
min
= f(x
∗
) =
1
2
(4 − 1) + 2 =
7
2
.
Cùng với Định lý Frank - Wolfe, Định lý Eaves nêu dưới đây cho biết khi nào
bài toán qui hoạch toàn phương có nghiệm.
Định lý Eaves (1971, xem [4]). Bài toán tìm cực tiểu hàm toàn phương
f(x) =
1
2
x
T
Qx + p
T
x + c

(Q đối xứng cấp n, p ∈ R
n
, c ∈ R) trên tập lồi đa diện D = {x ∈ R
n
: Ax = b, x 
0} có nghiệm khi và chỉ khi cả ba điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) D = ∅;
(ii) Nếu v ∈ R
n
, Av = 0 và v  0 thì v
T
Qv  0;
(iii) Nếu v ∈ R
n
và x ∈ R
n
sao cho Av = 0, v  0, v
T
Qv = 0 và Ax = b, x  0
thì (Qx + p)
T
v  0.
2.4. Điều kiện tối ưu
Mục này nêu tóm tắt một số kết quả lý thuyết về qui hoạch toàn phương.
Ta nhắc lại, bài toán qui hoạch toàn phương có thể viết ở dạng:
min{q(x) =
1
2
x
T

Qx + p
T
x + c : x ∈ D}, (QP)
với Q là ma trận đối xứng cấp n, p ∈ R
n
và D ⊆ R
n
là tập lồi đa diện (D = ∅).
Định lý 2.2. Nếu
x ∈ D là nghiệm tối ưu của qui hoạch toàn phương (QP) thì x
cũng là nghiệm tối ưu của qui hoạch tuyến tính (thay q(x) bởi hàm (Qx +p)
T
(x)):
min{(Qx + p)
T
(x) : x ∈ D}, (LP)
Chứng minh. Để ý là biến trong bài toán (LP) là x và hàm mục tiêu của (LP)
phụ thuộc x. Tập ràng buộc trong (QP) và (LP) là như nhau (tập lồi đa diện D).
24