thuật toán dca và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN VĂN HỒNG
THUẬT TOÁN DCA VÀ ỨNG DỤNG
Luận văn Thạc sỹ
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60. 46. 01. 12
Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. PHẠM NGỌC ANH
THÁI NGUYÊN - NĂM 2014
MỤC LỤC
Mục lục 2
Lời cảm ơn 3
Bảng ký hiệu 4
Lời nói đầu 5
1. Một số khái niệm cơ bản 7
1.1. Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1. Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2. Phần trong tương đối và bao lồi đóng . . . . . . . . 9
1.1.3. Phương lùi xa và nón lùi xa . . . . . . . . . . . 10
1.2. Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1. Hàm lồi và hàm lõm. . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2. Hàm lồi liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3. Hàm lồi khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.4. Dưới vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3. Hàm D.C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.1. Định nghĩa và tính chất của hàm D.C . . . . . . 16
1.3.2. Bài toán quy hoạch D.C . . . . . . . . . . . . 18
1.4. Bài toán đối ngẫu Lagrange . . . . . . . . . . . . 19
1.4.1. Điều kiện tối ưu trong bài toán lồi . . . . . . . 23
1.4.2. Định lý Karush-Kuhn-Tucker . . . . . . . . . 27

2. Thuật toán DCA 31
2.1. Bài toán D.C . . . . . . . . . . . . . 31
2
2.2. Thuật toán DCA . . . . . . . . . . . 36
2.3. Sự hội tụ của thuật toán DCA . . . . . . . . . . . 37
3. Ứng dụng thuật toán DCA 47
3.1. Điều kiện tối ưu hóa toàn bộ cho (P
1
) và (P
2
) . . . . . 47
3.2. Ứng dụng thuật toán DCA giải bài toán (P
1
) . . . . 48
3.3. Tính hội tụ của DCA đến nghiệm cục bộ của bài toán (P
1
)
51
3.4. Ứng dụng thuật toán DCA giải bài toán (P
2
) . . . . . 54
Kết luận 56
Tài liệu tham khảo 57
Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành tài trường Đại học Khoa học - Đại
học Thái Nguyên. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS.
Phạm Ngọc Anh (Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông), thầy đã
trực tiếp hướng dẫn tận tình và động viên tác giả trong suốt thời gian
viết luận văn vừa qua.
Xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong Ban chủ nhiệm khoa,

các bạn học viên lớp cao học Toán K6B trường Đại học Khoa học - Đại
học Thái Nguyên và các bạn đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi, động
viên tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu tại nhà trường.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người
thân luôn khuyến khích, động viên tác giả trong suốt quá trình học tập
và làm luận văn.
Mặc dù có nhiều cố gắng, nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu
sót và hạn chế. Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý
báu của các thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 6 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Văn Hồng
Bảng ký hiệu
R : Tập hợp số thực
R
+
: Tập hợp các số trong nửa đoạn [0, +∞)
R
n
: Không gian số thực n - chiều
R
n
+
: Không gian số thực không âm n - chiều
x ∈ C : x thuộc tập C
x ∈ C : x không thuộc tập C
∀x : Với mọi x
∃x : Tồn tại x
∅ : Tập hợp rỗng

∩ : Phép giao các tập hợp
∪ : Phép hợp các tập hợp
x = y : x được định nghĩa bằng y
x, y : Tích vô hướng của x và y
∇
x
f(x) : Véc tơ đạo hàm của hàm f tại điểm x
x
k
 x : Dãy x
k
hội tụ yếu tới x
x
k
→ x : Dãy x
k
hội tụ mạnh tới x
I : Ánh xạ đồng nhất
arg min {f (x) |x ∈ C} : Tập các điểm cực tiểu của hàm f trên C
x : Chuẩn của véc tơ x.
Lời nói đầu
DCA được viết tắt của "difference of convex functions optimization
algorithms". Thuật toán DCA đã được đề xuất từ năm 1986 bởi giáo sư
Phạm Đình Tảo với các ứng dụng của nó được phát triển khá mở rộng
(xem [1, 2, 4, 5, 6]). DCA được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học và
liên quan đến nhiều bài toán tối ưu. Thuật toán DCA áp dụng để giải bài
toán D.C (viết tắt của difference of convex functions) dạng f = g −h. Để
giải bài toán này, tác giả đã sử dụng phương pháp D.C bằng cách phân
rã hàm mục tiêu thành hiệu hai hàm lồi và sử dụng các kỹ thuật đối ngẫu
Lagrange để chuyển bài toán D.C thành bài toán lồi mạnh không ràng

buộc bằng cách tuyến tính hóa hàm lồi g. Một cách đơn giản, chúng ta
có thể thấy mô hình của bài toán D.C có dạng:
(P ) α = inf {f (x) = g (x) − h (x) : x ∈ R
n
}
trong đó f là hàm mục tiêu, g, h là các hàm lồi nửa liên tục dưới trên
R
n
, và bài toán đối ngẫu của nó là
(D) α = inf {h
∗
(y) − g
∗
(y) : y ∈ R
n
} .
trong đó h
∗
, g
∗
là các hàm liên hợp của g, h trong R
n
với
g
∗
(y) = sup {x, y − g (x) : x ∈ R
n
} .
Bằng cách áp dụng thuật toán DCA vào giải bài toán (P ) và (D), các
tác giả đã chứng minh được rằng sau hữu hạn bước, ta có thể xác định

được nghiệm tối ưu địa phương của bài toán ban đầu. Luận văn trình bày
về bài toán D.C, thuật toán DCA và ứng dụng thuật toán DCA vào bài
toán cực tiểu của hàm không lồi trên hình cầu và mặt cầu trong không
gian Euclide R
n
. Luận văn gồm hai phần chính:
Phần thứ nhất trình bày về bài toán D.C, thuật toán DCA và sự hội
tụ của nó trong bài báo của Pham Dinh Tao and Le Thi Hoai An (1997),
6
Convex analysis approach to D.C programming: Theory, algorithms and
applications, Acta mathematica Vietnamica, vol. 22, pp. 289 - 355 [8].
Phần thứ hai đề cập đến ứng dụng của DCA vào giải bài toán cực tiểu
của hàm không lồi trên hình cầu và mặt cầu trong không gian Euclide R
n
trong bài báo "Pham Dinh Tao and Le Thi Hoai An (1996), Difference of
convex functions optimization algorithms (DCA) for globally minimizing
nonconvex quadratic forms on Euclidean balls and spheres, Operations
Research Letters, vol. 19, pp. 207-216".
Ngoài phần mở đầu, kết luận và các tài liệu tham khảo, luận văn được
trình bày thành ba chương. Chương 1: Trình bày một số kiến thức về
giải tích lồi làm cơ sở cho việc nghiên cứu bài toán D.C. Sau đó sẽ trình
bày một số vấn đề của bài toán tối ưu lồi, bài toán đối ngẫu Lagrange,
Định lý Karush-Kuhn-Tucker, hàm D.C và một số tính chất của hàm
D.C. Chương 2: Trình bày bài toán D.C, thuật toán DCA và thuật toán
DCA rút gọn. Chương 3: Trình bày ứng dụng thuật toán DCA vào bài
toán tìm nghiệm cực tiểu của hàm không lồi trên hình cầu và mặt cầu
trong không gian R
n
.
Chương 1

Một số khái niệm cơ bản
1.1. Tập lồi
1.1.1. Tập lồi
Cho a, b là hai điểm trong R
n
. Đường thẳng đi qua a và b là tập tất
cả các điểm x ∈ R
n
có dạng x = (1 − λ) a + λb = a + λ (b − a) với λ ∈ R.
Định nghĩa 1.1.1. Tập M ⊆ R
n
gọi là một tập afin (hay đa tạp tuyến
tính) nếu (1 − λ) a + λb ∈ M với mọi a ∈ M, b ∈ M và mọi λ ∈ R, tức
là nếu M chứa trọn cả đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó.
Rõ ràng nếu M là một tập afin và a ∈ R
n
thì a + M = {a + x : x ∈ M}
cũng là một tập afin và M là một tập afin chứa gốc khi và chỉ khi M
là một không gian con, nghĩa là nếu a, b thuộc M thì mọi điểm λa + µb
cũng thuộc M với λ, µ ∈ R.
Định lý 1.1.1. Tập M không rỗng là một tập afin khi và chỉ khi M =
a + L trong đó a ∈ M và L là một không gian con.
Không gian con L nói trên được gọi là không gian con song song với tập
afin M : L//M. Nó được xác định một cách duy nhất. Thứ nguyên (hay
số chiều) của một tập afin M, ký hiệu dim M, là số chiều của không gian
con song song với nó. Ta qui ước: dim ∅ = −1.
Định lý 1.1.2. Một tập afin k−chiều bất kỳ có dạng M = {x : Ax = b}
với A ∈ R
m×n
, b ∈ R

m
và rankA = n − k (M là tập nghiệm của một hệ
phương trình tuyến tính). Một tập khác rỗng bất kỳ có dạng trên là một
tập afin k− chiều.
8
Định nghĩa 1.1.2. Một tập afin (n − 1) chiều trong R
n
gọi là một siêu
phẳng.
Định nghĩa 1.1.3. Điểm x ∈ R
n
có dạng x = λ
1
a
1
+ λ
2
a
2
+ + λ
k
a
k
với a
i
∈ R
n
và λ
1
+ λ

2
+ + λ
k
= 1 gọi là một tổ hợp afin của các điểm
a
1
, a
2
, , a
k
.
M là một tập afin khi và chỉ khi M chứa mọi tổ hợp afin các phần tử
của nó. Giao của một họ bất kỳ các tập afin cũng là một tập afin. Cho
E là một tập bất kỳ trong R
n
, khi đó có ít nhất một tập afin chứa E, cụ
thể là R
n
.
Định nghĩa 1.1.4. Giao của tất cả các tập afin chứa E gọi là bao afin
của E và ký hiệu là affE. Đó là tập afin nhỏ nhất chứa E.
Dễ thấy x ∈ affE khi và chỉ khi x là một tổ hợp afin của các phần tử
thuộc E.
Định nghĩa 1.1.5. Ta nói k điểm a
1
, a
2
, , a
k
∈ R

n
là độc lập afin nếu
các véctơ a
2
− a
1
, a
2
− a
1
, , a
k
− a
1
độc lập tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.6. Cho hai điểm a, b ∈ R
n
. Với 0  λ  1 tập tất cả
các điểm x = (1 − λ) a + λb gọi là đoạn thẳng (đóng) nối a và b, và được
ký hiệu là [a, b].
Định nghĩa 1.1.7. Tập C ⊂ R
n
được gọi là một tập lồi nếu nó chứa
trọn đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ thuộc nó. Nói cách khác, nếu với mọi
a, b ∈ C và mọi 0  λ  1 thì (1 − λ)a + λb ∈ C .
Định nghĩa 1.1.8. Điểm x ∈ R
n
có dạng x = λ
1
a

1
+ λ
2
a
2
+ + λ
k
a
k
với a
i
∈ R
n
, λ
i
 0, λ
1
+ λ
2
+ + λ
k
= 1 gọi là một tổ hợp lồi của các
điểm a
1
, a
2
, , a
k
.
Tập C là lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi của các phần tử của

nó. Thứ nguyên (hay số chiều) của một tập lồi C, ký hiệu dimC, là số
chiều của bao afin của nó. Một tập lồi C trong R
n
gọi là có thứ nguyên
đầy nếu dimC = n.
Định nghĩa 1.1.9. Cho E ⊂ R
n
là một tập bất kỳ. Giao của tất cả các
tập lồi chứa E gọi là bao lồi của E, ký hiệu là convE. Đó là tập lồi nhỏ
nhất chứa E.
9
Định lý 1.1.3 (Carathéodory). Cho E là một tập chứa trong một tập
afin k−chiều. Khi đó bất kỳ x ∈ convE có thể biểu diễn dưới dạng một
tổ hợp lồi của không quá k + 1 phần tử thuộc E.
1.1.2. Phần trong tương đối và bao lồi đóng
Như đã biết trong giải tích hàm, bao đóng của một tập C, ký hiệu C,
là giao của tất cả các tập đóng chứa C. Một điểm a thuộc bao đóng của
C ⊂ R
n

a ∈ C

nếu mọi hình cầu tâm a đều có chứa ít nhất một điểm
thuộc C, hay nếu a là giới hạn của một dãy điểm thuộc C. Một điểm a
của một tập C gọi là một điểm trong của C nếu có một hình cầu tâm a
nằm trọn trong C. Tập các điểm trong của C gọi là phần trong của C và
được ký hiệu là intC.
Định nghĩa 1.1.10. Một điểm a ∈ C ⊂ R
n
gọi là một điểm trong tương

đối của C nếu với mỗi x ∈ C đều có một số λ > 0 sao cho a+λ(x−a) ∈ C.
Tập các điểm trong tương đối của C gọi là phần trong tương đối của C
và được ký hiệu là riC. Hiệu tập hợp C/ (riC) gọi là biên tương đối của
C và được ký hiệu là ∂C. Một tập C ⊂ R
n
gọi là một tập mở tương đối
nếu riC = C.
Nhận xét 1.1.1. Với B = {x ∈ R
n
: ||x|  1|} là hình cầu đơn vị đóng
thì
(i) int C = {x ∈ C : ∃ε > 0, x + εB ⊂ C} .
(ii) riC = {x ∈ C : ∃ε > 0, (x + εB) ∩ affC ⊂ C}: Phần trong tương
đối của C là phần trong của C trong affC. Nếu intC = ∅ thì intC =
riC.
C ⊂ D không suy ra riC ⊂ riD. Chẳng hạn, lấy D ∈ R
3
là một khối lập
phương, C là một mặt của D. Khi đó, C ⊂ D, riC = ∅, riD = ∅ nhưng
(riC) ∩ (riD) = ∅.
Định lý 1.1.4. Một tập lồi bất kỳ C = ∅ có phần trong tương đối khác
rỗng.
Định lý 1.1.5. Bao đóng và phần trong tương đối của một tập lồi là lồi.
Nhận xét 1.1.2. Với tập C lồi và a ∈ int C, b ∈ C với mọi λ ∈ [0, 1)
thì x = (1 − λ) a + λb = a + λ (b − a) ∈ int C. Và nếu tập lồi C có phần
10
trong khác rỗng thì int = C và int C = int C. Tập lồi C ⊂ R
n
có phần
trong khác rỗng khi và chỉ khi nó có thứ nguyên đầy.

Định nghĩa 1.1.11. Giả sử E ⊂ R
n
. Giao của mọi tập lồi đóng chứa
E gọi là bao lồi đóng của E và ký hiệu là convE. Đó là tập lồi đóng nhỏ
nhất chứa E. Bao lồi đóng của một tập E trùng với bao đóng của bao lồi
của E, tức là convE = convE.
Định nghĩa 1.1.12. Cho một tập lồi C ⊂ R
n
và một điểm y ∈ R
n
. Ta
gọi hình chiếu của y trên C là điểm x
0
∈ C sao cho




x
0
− y




= inf
x∈C
||x − y|| = d
C
(y) .

Ký hiệu x
0
= p(y) và gọi dC(y) là khoảng cách từ y tới C. Định lý sau
cho thấy nếu C là một tập lồi đóng thì hình chiếu p(y) luôn tồn tại và
duy nhất.
Định lý 1.1.6. Cho C ⊂ R
n
là một tập lồi đóng khác rỗng và y ∈ R
n
là một điểm bất kỳ. Khi đó, tồn tại duy nhất một điểm x
0
∈ C là hình
chiếu của y trên C.
Định nghĩa 1.1.13. Cho C ⊆ R
n
là một tập lồi và một điểm x
0
∈ C. Tập
N
C

x
0

=

y ∈ R
n
:


y, x − x
0

> 0, ∀x ∈ C

gọi là nón pháp tuyến
ngoài của C tại điểm x
0
.
1.1.3. Phương lùi xa và nón lùi xa
Tập các điểm có dạng x
0
+ λd với x
0
, d ∈ R, d = 0 và λ  0 gọi là một
tia hay nửa đường thẳng xuất phát từ điểm x
0
, nếu x
0
= 0 thì ta có tia
xuất phát từ gốc 0. Ta gọi d là véctơ chỉ phương (hay phương) của tia.
Hai phương d
1
và d
2
xem là như nhau nếu d
1
= αd
2
với α > 0.

Định nghĩa 1.1.14. Cho C là một tập lồi trong R
n
. Véctơ d ∈ R
n
, d = 0
gọi là một phương lùi xa của C nếu
{x + λd:λ  0} ⊂ C ∀x ∈ C (1.1)
(mọi tia xuất phát từ một điểm bất kỳ x ∈ C theo phương d đều nằm trọn
trong C.
11
Định lý 1.1.7. Tập tất cả các phương lùi xa của C là một nón lồi. Nếu C
đóng thì sẽ có (1.1) khi

x
0
+ λd : λ  0

⊂ C với một x
0
nào đó thuộc
C.
Định nghĩa 1.1.15. Nón lồi tạo nên bởi tập tất cả các phương lùi xa
của một tập lồi C và véctơ 0 gọi là nón lùi xa của C và ký hiệu là recC.
Định lý 1.1.8. Nón lùi xa của một tập lồi đóng C là tập đóng. Một tập
lồi đóng C là compac khi và chỉ khi nón lùi xa của nó chỉ gồm duy nhất
một phẩn tử 0.
1.2. Hàm lồi
1.2.1. Hàm lồi và hàm lõm
Định nghĩa 1.2.1. Hàm f : X → [−∞, +∞] xác định trên một tập lồi
X ⊆ R

n
được gọi là một hàm lồi trên R nếu với mọi x
1
, x
2
∈ R và mọi
số thực λ ∈ [0, 1] ta có
f

(1 − λ) x
2
+ λx
2

 (1 − λ) f

x
1

+ λf

x
2

.
Hàm f gọi là lồi chặt trong R nếu với mọi x
1
, x
2
∈ X, x

1
= x
2
, λ ∈ (0, 1)
ta có
f

(1 − λ) x
1
+ λx
2

< (1 − λ) f

x
1

+ λf

x
2

.
Hiển nhiên một hàm lồi chặt là lồi, nhưng điều ngược lại không đúng.
Định nghĩa 1.2.2. Hàm f gọi là lõm (lõm chặt) trên C nếu −f là lồi
(lồi chặt) trên C. Hàm f gọi là tuyến tính afin (hay đơn giản là afin)
trên C nếu f hữu hạn và vừa lồi vừa lõm trên X. Một hàm afin trên R
n
có dạng f(x) = a, x + α với a ∈ R
n

, α ∈ R bởi vì với mọi x
1
, x
2
∈ R
n
và
mọi λ ∈ [0, 1] ta có f

(1 − λ)x
1
+ λx
2

= (1 − λ) f

x
1

+ λf

x
2

. Tuy
nhiên, hàm afin không lồi chặt hay lõm chặt.
Định nghĩa 1.2.3. Cho hàm bất kỳ f : X → [−∞, +∞] với X ⊆ R
n
, các
tập domf = {x ∈ X : f (x) < +∞} , epif = {(x, α) ∈ X × R : f (x)  α}

được gọi lần lượt là miền hữu dụng và tập trên đồ thị của hàm f. Nếu
domf = ∅ (f không đồng nhất bằng +∞) và f(x) > −∞ với mọi x ∈ X
thì ta nói hàm f là chính thường.
12
Hàm lồi f : X → [−∞, +∞] có thể được mở rộng thành hàm lồi xác
định trên toàn không gian R
n
bằng cách đặt f(x) = +∞ với mọi x /∈ X.
Vì vậy để đơn giản ta thường xét hàm lồi trên toàn R
n
.
Sau đây là một số ví dụ quen thuộc về hàm lồi (C ⊂ R
n
là một tập lồi
khác rỗng).
(i) Hàm chuẩn Euclid x =

x, x, x ∈ R
n
(ii) Hàm chỉ của C: δ
C
(x) =

0 : x ∈ C
+∞ : x /∈ C
(iii) Hàm tựa của C: S
C
(x) = sup
y∈C
y, x (cận trên của x

T
y trên tập
C).
(iv) Hàm khoảng cách từ điểm x ∈ R
n
tới C: d
C
(x) = inf
y∈C
x − y .
Nhận xét 1.2.1.
(a) Nếu f
j
: R
n
→ R (i = 1, , m) là hàm lồi thì α
1
f
1
+ + α
m
f
m
lồi
với mọi α
i
 0 và lồi chặt nếu ít nhất một trong các hàm f
i
lồi chặt
với α

i
> 0.
(b) Nếu f
i(i∈I)
: R
n
→ R là hàm lồi thì hàm f (x) = sup
i∈I
f
i
(x) là hàm
lồi.
(c) Nếu A : R
n
→ R
m
là biến đổi tuyến tính và g : R
n
→ R là hàm lồi
thì hàm hợp f (x) = g (Ax) là hàm lồi.
(d) Nếu g : D ⊆ R
n
→ R là hàm lồi và h : R → R là hàm lồi không
giảm thì hàm hợp f (x) = h (g (x)) là hàm lồi.
1.2.2. Hàm lồi liên tục
Định nghĩa 1.2.4. Cho x
0
∈ X. Khi đó, hàm chính thường
f : X → [−∞, +∞]
được gọi là:

(i) Nửa liên tục dưới tại x
0
nếu lim sup f (y)  f (x) (y → x) .
13
(ii) Nửa liên tục trên tại x
0
nếu lim sup f (y)  f (x) (y → x) . Nếu
hàm số f vừa nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tại x
0
thì nó
sẽ liên tục tại điểm đó.
Định lý 1.2.1. Đối với một hàm lồi chính thường f : X → [−∞, +∞]
các điều kiện sau tương đương:
(i) f bị chặn trên trong một lân cận mở của x
0
.
(ii) f liên tục tại x
0
.
(iii) int(domf) = ∅ và f liên tục tại mọi điểm thuộc int(domf).
Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Bằng cách tịnh tiến có thể coi như f(0) = 0.
Giả sử f (x) < t với mọi x trong hình cầu B tâm 0, bán kính r > 0. Lấy
ε ∈ (0, 1).Do f là hàm lồi nên với mọi x ∈ εB ta sẽ có:
x
ε
∈ B, do đó f (x)  εf

x
ε


+ (1 − ε) f (0)  εt.
−x
ε
∈ B, do đó f (x)  −εf

−
x
ε

+ (1 + ε) f (0)  −εt.
Vậy f liên tục tại x
0
.
(ii) ⇒ (iii). Nếu f liên tục tại x
0
thì với r > 0 đủ nhỏ


x − x
0


< r ⇒
f (x) < f

x
0

+ 1. Có nghĩa


x :


x − x
0


 r

⊂ {x : f (x) < +∞}
tức là a ∈ int(domf). Mặt khác, nếu x
0
∈ int(domf) thì có một α > 1 để
cho u = a + α

x
0
− a

∈ domf. Cho U là một hình cầu tâm x
0
, bán kính
r nằm trong domf. Phép vị tự h tâm u và tỉ số
α − 1
α
chuyển x
0
tới a và
biến hình cầu U thành hình cầu h(U) tâm a nằm trong h(U). Với mọi
x ∈ U ta sẽ có x =

1
α
u +
α−1
α
h (x) và do f lồi:
f (x) 
1
α
f (u) +
α − 1
α
f (h (x)) 
1
α
f (u) +
α − 1
α
t.
Chứng tỏ f bị chặn trong hình cầu U và do đó liên tục tại điểm x
0
.
(iii) ⇒ (i). Hiển nhiên.
1.2.3. Hàm lồi khả vi
Định lý 1.2.2.
(a) Một hàm thực một biến ϕ(t) khả vi trong một khoảng mở là lồi khi
và chỉ khi đạo hàm của nó ϕ

(t) là một hàm không giảm.
14

(b) Một hàm thực một biến ϕ(t) hai lần khả vi trong một khoảng mở là
lồi khi và chỉ khi đạo hàm cấp hai của nó ϕ

(t) không âm trên toàn
bộ khoảng mở này.
Định lý 1.2.3. Cho một tập lồi C ⊂ R
n
và một hàm f : R
n
→ R khả vi
trên C.
(a) Hàm f lồi trên C khi và chỉ khi
f (y)  f (x) + ∇f (x) , y − x ∀x, y ∈ C.
(b) Nếu f (y) > f (x) + ∇f (x) , y − x với mọi x, y ∈ C và x = y thì
hàm f lồi chặt trên C.
Định lý 1.2.4. Cho một tập lồi mở C ⊂ R
n
và một hàm f : R
n
→ R
hai lần khả vi liên tục trên C. ∇
2
f (x) là ma trận các đạo hàm riêng cấp
hai của f tại X.
(a) Nếu ∇
2
f (x) nửa xác định dương với mỗi x ∈ C hoặc nếu ∇
2
f (x)
có mọi giá trị riêng dương thì hàm f lồi trên C.

(b) Nếu ∇
2
f (x) xác định dương với mỗi x ∈ C hoặc nếu ∇
2
f (x) có
mọi giá trị riêng dương thì hàm f lồi chặt trên C.
(c) Nếu C = R
n
và hàm f lồi thì ∇
2
f (x) nửa xác định dương với mọi
x ∈ R
n
.
Hệ quả 1.2.1 (Điều kiện cần cho hàm lồi (lõm)). Giả sử f : R
n
→ R là
một hàm hai lần khả vi liên tục và f

jj
(x) là đạo hàm riêng hai lần của
f theo cùng biến x
j
.
(a) Nếu f(x) lồi thì f

jj
(x)  0, j = 1, , n với mọi x.
(b) Nếu f(x) lõm thì f


jj
(x)  0, j = 1, , n với mọi x.
(c) Nếu f(x) lồi chặt hay lõm chặt thì các bất đẳng thức trên được thay
tương ứng bằng các bất đẳng thức thực sự > hay <.
Định lý 1.2.5. Cho Q là một ma trận vuông đối xứng thực cấp n × n.
Hàm toàn phương f (x) = x, Qx lồi khi và chỉ khi Q nửa xác định
dương. Hơn nữa, hàm f lồi chặt khi và chỉ khi Q xác định dương.
15
Hệ quả 1.2.2. Hàm f (x) =
1
2
< x, Qx > + < c,x > + α (lồi chặt) trên
R
n
khi và chỉ khi ma trận Q nửa xác định dương (xác định dương) và f
lõm (lõm chặt) trên R
n
khi và chỉ khi ma trận Q nửa xác định âm (xác
định âm).
1.2.4. Dưới vi phân
Định nghĩa 1.2.5. Cho hàm lồi chính thường f trên R
n
, véc tơ p ∈ R
n
gọi là dưới gradient của f tại điểm x
0
nếu

p, x − x
0


+ f

x
0

 f (x) ∀x ∈ R
n
. (1.2)
(Nếu f lõm và trong (1.2) thay  bởi  thì p gọi là dưới gradient của f
tại x
0
).
Định lý 1.2.6. Nếu f là hàm lồi chính thường thì f có đạo hàm theo
mọi hướng tại mọi điểm x
0
∈ domf và f

x
0
+ d

− f

x
0

 f



x
0
, d

.
Định lý 1.2.7. Nếu f là một hàm lồi chính thường và x
0
∈ domf thì
p ∈ ∂f

x
0

khi và chỉ khi p, d  f


x
0
, d

với mọi d ∈ R
n
\ {0} .
Định nghĩa 1.2.6. Hàm f(x) xác định trên một tập lồi C = R
n
gọi là
lồi mạnh, nếu tồn tại hằng số ρ > 0 (hằng số lồi mạnh) sao cho với mọi
x, y ∈ C và mọi số λ ∈ [0, 1] ta có bất đẳng thức:
f [λx + (1 − λ) y]  λf (x) + (1 − λ) f (y) − λ (1 − λ) ρx − y
2

.
Rõ ràng một hàm lồi mạnh thì lồi chặt, nhưng điều ngược lại khống chắc
đúng. Chẳng hạn, hàm e
x
, x ∈ R lồi chặt nhưng không lồi mạnh.
Định lý 1.2.8. Nếu hàm f(x) lồi mạnh và khả vi trên tập lồi đóng C
thì:
(a) ∇f (x) − ∇f (y) , x − y  ρx − y
2
với mọi x, y ∈ C.
(b) Với bất kỳ x
0
∈ C tập mức dưới C
0
=

x ∈ C : f (x) < f

x
0

bị
chặn.
(c) Tồn tại duy nhất điểm x
∗
∈ C sao cho f (x
∗
) = min {f (x) : x ∈ C}.
16
(d) Tập tất cả các dưới gradient của f tại x

0
gọi là dưới vi phân của f
tại x
0
và ký hiệu là ∂f

x
0

. Hàm f được gọi là khả dưới vi phân
tại x
0
nếu ∂f

x
0

= ∅.
Định lý 1.2.9. Một hàm lồi chính thường f trên R
n
có dưới vi phân
khác rỗng tại mỗi điểm x
0
∈ int(domf) và ∂f

x
0

là một tập lồi đóng.
Định lý 1.2.10. Nếu f là hàm lồi chính thường, khả vi tại điểm x

0
∈
domf thì ∂f

x
0

=

∇f

x
0

nghĩa là ∇f

x
0

là véctơ dưới gradient
duy nhất của f tại x
0
.
Ngược lại có thể chứng minh rằng nếu f có tại x
0
một véctơ dưới gradient
duy nhất thì khả vi tại x
0
. Như vậy, khái niệm dưới gradient là sự mở
rộng của khái niệm gradient (tại những điểm ở đó hàm không khả vi).

Định nghĩa 1.2.7. Cho f : R
n
→ [−∞, +∞] là một hàm bất kỳ và x
0
là
một điểm tại đó f hữu hạn (nghĩa là


f

x
0



< +∞).Với d ∈ R
n
\ {0},
nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn hay vô hạn) lim
λ↓0
f

x
0
+ λd

− f

x
0


λ
thì
giới hạn đó gọi là đạo hàm theo hướng d của hàm f tai x
0
, kí hiệu là
f


x
0
, d

.
1.3. Hàm D.C
1.3.1. Định nghĩa và tính chất của hàm D.C
Định nghĩa 1.3.1. Cho một tập lồi Ω ⊂ X (không gian Euclide hữu hạn
chiều). Một hàm f gọi là hàm D.C trên Ω nếu f (x) = f
1
(x) − f
2
(x) với
f
1
, f
2
là các hàm lồi trên Ω.
Định lý 1.3.1. Mọi hàm lồi hay lõm đều là hàm D.C.
Định lý 1.3.2. Dạng toàn phương bất kì f (x) = x, Qx là hàm D.C.
Chứng minh. Thật vậy, nếu U =


u
1
, u
2
, , u
n

là ma trận các véc tơ
riêng chuẩn hóa của Q thì U
T
QU = diag (λ
1
, , λ
n
) cho nên đặt x = Uy
ta có f (x) = f (Uy) =
1
2
Uy, QUy do đó f (x) =

λ
i
0
λ
i
y
2
i
−


λ
i
<0
λ
i
y
2
i
.
17
Định lý 1.3.3. Nếu f
i
, i = 1, , m là D.C trên Ω thì các hàm sau cũng
là D.C:
(a)

m
i=1
α
i
f
i
(x) với α ∈ R.
(b) g (x) = max {f
1
(x) , , f
m
(x)} .
(c) h (x) = min {f

1
(x) , , f
m
(x)} .
Chứng minh. Tính chất (a) là hiển nhiên, ta sẽ chứng minh tích chất (b)
(tính chất (c) chứng minh tương tự).
Giả sử f
i
= p
i
− q
i
với p
i
, q
i
là các hàm lồi. Vì f
i
= p
i
+

j=i
q
j
−

m
i=1
q

i
nên
max
i=1, ,m
f
i
= max

p
i
+

j=i
q
j

−

m
i=1
q
i
= p − q
với p = max

p
i
+

j=i

q
j

; q =

m
i=1
q
i
là các hàm lồi.
Ví dụ 1.3.1. Nếu f
i
(x) , i = 1, , m là các hàm lồi thì
h (x) = min {f
1
(x) , , f
m
(x)}
là hàm D.C.
Định lý 1.3.4. Mọi hàm f ∈ C
2
(R
n
) là D.C trên một tập lồi compac
bất kì Ω ⊂ R
n
.
Chứng minh. Xét hàm g (x) = f (x)+ ρx
2
. Nếu chứng minh được rằng

có thể chọn ρ đủ lớn để g (x) trở thành hàm lồi thì khi ấy hàm
f (x) = g (x) − ρx
2
là hàm D.C.
Vấn đề là chọn ρ để cho g (x) = f (x) + ρx
2
lồi, tức là theo Định lí
1.3.1 để có ∇
2
g (x)  0 với mọi x. Để ý rằng

u, ∇
2
g (x) u

=

u, ∇
2
f (x) u

+ ρu
2
.
Muốn cho ∇
2
g (x)  0 tức là

u, ∇
2

g (x) u

 0 với mọi u, hay

u, ∇
2
f (x) u

+ ρu
2
 0
18
với mọi u mà u = 1. Vậy chỉ cần chọn ρ để cho ρ  −

u, ∇
2
f (x) u

với mọi u mà u = 1 và mọi x ∈ Ω, nghĩa là
ρ  − min

u, ∇
2
f (x) u



x ∈ Ω, u = 1

,

điều này có thể được vì
− min

u, ∇
2
f (x) u



x ∈ Ω, u = 1

> −∞
do Ω compact.
Nhận xét 1.3.1. Mỗi đa thức P (x) đều thuộc C
2
(R
n
), cho nên đều là
hàm D.C. Mà theo định lí Weierstrass, với mỗi hàm liên tục f (x) trên
một tập lồi compac Ω ⊂ R
n
và mỗi số ε > 0 đều tìm được một đa thức
P (x) sao cho max
x∈Ω
|f (x) − P (x)|  ε (nói cách khác mỗi hàm liên
tục trên Ω ⊂ R
n
đều có thể xấp xỉ tùy ý bởi một đa thức). Do đó mỗi
hàm liên tục f (x) trên một tập lồi compac Ω ⊂ R
n

đều có thể xấp xỉ tùy
ý bởi một hàm D.C. Nói cách khác, tập DC (Ω) các hàm D.C trên Ω trù
mật trong không gian Banach C (Ω) các hàm liên tục trên Ω.
1.3.2. Bài toán quy hoạch D.C
Xét bài toán
min {f (x) | x ∈ Ω, h
i
(x)  0, i = 1, , m}
trong đó f (x) , h
i
(x) đều là các hàm D.C và Ω là một tập lồi đóng. Vì
hàm h
i
(x)  0, (i = 1, , m) ⇔ min h
i
(x)  0 nên bao giờ cũng có thể
đưa bài toán về trường hợp chỉ có một ràng buộc.
Định nghĩa 1.3.2. Một quy hoạch D.C có dạng tổng quát (chính tắc):
min {f (x) | x ∈ Ω, h (x)  0} (1.3)
trong đó f (x) , h (x) đều là các hàm D.C.
Ta có một số trường hợp riêng của quy hoạch D.C.
Bài toán cực tiểu hàm lõm ( Cực đại hàm lồi): min {f (x)| x ∈ Ω}
trong đó f (x) là hàm lõm, Ω là tập lồi đóng, chẳng hạn Ω = {x| g (x)  0}
với g (x) là một hàm lồi.
19
Bài toán lồi đảo (CDC):
min {f (x) | x ∈ Ω, h (x)  0}
với f (x) , h (x) là các hàm lồi và Ω là tập lồi đóng, Đặt C = {x| h (x)  0}
thì C là tập lồi đóng và bài toán (CDC) cũng có thể viết min {f (x) | x ∈ Ω\intC} .
Định lý 1.3.5. Mọi quy hoạch D.C đều có thể đưa về dạng (CDC).

Chứng minh. Thật vậy (1.3) có thể viết lại:
min {f
1
(x) − u | x ∈ Ω, f
2
(x)  u, h (x)  0} .
Hai ràng buộc D.C f
2
(x)  u, h (x)  0 có thể gộp lại thành một ràng
buộc D.C duy nhất h
1
(x) − h
2
(x)  0 trong đó h
1
(x) , h
2
(x) là các hàm
lồi. Ràng buộc D.C này lại tách ra thành hai ràng buộc: h
1
(x)  t, t 
h
2
(x). Sau cùng, đặt z = (x, u, t) khi đó
f (z) = f
1
(x) − u, Ω
= {z = (x, u, t)| x ∈ Ω, h
1
(x) − t  0} ,

và h (z) = h
2
(x) − t. Bài toán trở thành min

f (x)


x ∈ Ω, h (x)  0

.
Vì f (x) , h (x) là hàm lồi, và Ω là tập lồi nên đây là một bài toán dạng
(CDC).
1.4. Bài toán đối ngẫu Lagrange
Dạng chuẩn của một bài toán tối ưu ("Quy hoạch toán học") trong
R
n
min {f (x) g
i
(x)  0 i = 1, , m, x ∈ Ω|} (P ),
trong đó f, g
i
: R
n
→ R, Ω ⊂ R
n
.
Nhận xét 1.4.1.
sup
λ0


f (x) +
m

i=1
λ
i
g
i
(x)

=



f (x) , nếu g
i
(x)  0 i = 1, , m
+∞, nếu trái lại .
(1.4)
20
Thật vậy, nếu g
i
(x)  0 i = 1, , m thì rõ ràng
sup
λ∈R
m
+
Σ
m
i=1

λ
i
g
i
(x) = 0
khi cho λ = 0, còn nếu g
i
(x) > 0 với một i nào đó thì lấy λ
j
= 0 ∀j = i
và λ
i
= N → +∞, suy ra
sup
λ∈R
m
+
{f (x) +
Σ
m
i=1
λ
i
g
i
(x)} = +∞.
Vì vậy bài toán (P) có thể viết
α = inf
x∈Ω
sup

λ∈R
m
+

f (x) +
m

i=1
λ
i
g
i
(x)

= inf
x∈Ω
sup
λ∈R
m
+
L (x, λ) .
Trong đó
∃x ∈ Ω : g
i
(x) < 0 i = 1, 2, , m (1.5)
gọi là Lagrangian của bài toán (P), λ
i
là nhân tử Lagrangian ứng với
ràng buộc g
i

(x)  0. Hàm
ϕ (λ) = inf
x∈Ω

f (x) +
m

i=1
λ
i
g
i
(x)

= inf
x∈Ω
L (x, λ)
gọi là hàm đối ngẫu Lagrange hay ngắn gọn là hàm đối ngẫu. Bài toán
β = sup
λ∈R
m
+
ϕ (λ) = sup
λ∈R
m
+
inf
x∈ω
{f (x) +
Σ

m
i=1
λ
i
g
i
(x)}
= sup
λ∈R
m
+
inf
x∈ω
L (x, λ) (Q)
gọi là bài toán đối ngẫu của (P) (khi ấy (P) cũng là bài toán gốc). Như
vậy cặp bài toán đối ngẫu là
α = inf
x∈Ω
sup
λ∈R
m
+
L (x, λ) (P ); β = sup
λ∈R
m
+
inf
x∈Ω
L (x, λ) (Q).
Định lý 1.4.1 (đối ngẫu yếu). Hàm đối ngẫu ϕ (λ) (là một hàm lõm

nghiệm đúng ϕ (λ)  α ∀λ ∈ R
m
+
. Trị tối ưu của bài toán đối ngẫu là
một cận dưới của trị tối ưu bài toán gốc hay β  α.
21
Chứng minh. ϕ (λ) lõm vì nó là bao dưới của họ hàm afin
λ → f (x) +
Σ
m
i=1
λ
i
g
i
(x) .
Với mọi ˜x ∈ Ω thoả mãn g
i
(˜x)  0, (i = 1, , m) và mọi λ ∈ R
m
+
:
f (˜x) +
m

i=1
λ
i
g
i

(˜x).
Ta có
ϕ (λ) = inf
x∈Ω

f (x) +

i=1
λ
i
g
i
(x)

 f (˜x) +
m

i=1
λ
i
g
i
(˜x)  f (˜x)
do đó
sup
λ∈R
m
+
ϕ (λ)  inf{f (x)| g
i

(x)  0 (i = 1, , m) , x ∈ Ω} = α.
Hiệu α − β  0 gọi là độ lệch đối ngẫu của bài toán (P).
Định lý 1.4.2 (đối ngẫu mạnh). Giả sử Ω là tập lồi đóng,
f
i
(x) , g
i
(x) (i = 1, , m)
là hàm lồi và điều kiện Slater sau đây được thoả mãn:
∃˜x ∈ Ωg
i
(˜x) < 0, i = 1, , m. (1.6)
Khi ấy độ lệnh đối ngẫu bằng 0 và nếu bài toán (P) có lời giải tối ưu x
∗
thì bài toán đối ngẫu (Q) có lời giải tối ưu λ
∗
và cặp (x
∗
, λ
∗
) là một điểm
yên ngựa.
Nhận xét 1.4.2. Nếu bài toán có một số ràng buộc đẳng thức, chẳng
hạn
min{f (x) |g
i
(x)  0 (i = 1, , m) , h
j
(x) = 0, (j = 1, , p) , x ∈ Ω} (GP )
thì ứng với mỗi ràng buộc h

j
(x) = 0 ta đưa thêm vào một nhân tử µ
j
∈ R
Lagrange của bài toán là hàm L : Ω × R
m
+
× R
p
→ R xác định bởi
L (x, λ, µ) = f (x) +
m

i=1
λ
i
g
i
(x) +
p

j=1
µ
i
h
i
(x).
22
Hàm đối ngẫu Lagrange là
ϕ (λ, µ) = inf

x∈Ω
{f (x) +
m

i=1
λ
i
g
i
(x) +
p

j=1
µ
i
h
i
(x)}
và bài toán đối ngẫu là
sup
λ∈R
m
+
,µ∈R
p
inf
x∈Ω
{f (x) +
m


i=1
λ
i
g
i
(x) +
p

j=1
µ
i
h
i
(x)}. (GQ)
Định lý đối ngẫu yếu vẫn đúng: Nếu α, β là các trị tối ưu của bài toán
gốc (GP) và đối ngẫu (GQ) thì ϕ (λ, µ)  α∀ (λ, µ) ∈ R
m
+
× R
p
cho nên
β  α. Định lý đối ngẫu mạnh cũng đúng cho bài toán (GP) lồi, khi Ω là
tập lồi, f, g
1
, , g
m
là hàm lồi, h
1
, , h
p

là hàm afin. Nhưng khi ấy điều
kiện Slater phải thay bằng một điều kiện chặt hơn.
Định lý 1.4.3. Giả sử Ω là tập lồi đóng, f (x) , g
i
(x) , i = 1, , m là
hàm lồi, h
j
(x) , j = 1, , p là các hàm afin và "điều kiện Slater chặt"
sau đây được thoả mãn:
∃x ∈ Ω : g
i
(x) < 0 i = 1, 2, , m, h
j
(x) = 0 (j = 1, , p). (1.7)
Khi ấy độ lệch đối ngẫu bằng 0 và nếu bài toán (GP) có lời giải tối ưu
x
∗
thì bài toán đối ngẫu (GQ) có lời giải tối ưu (λ
∗
, µ
∗
) và (x
∗
, (λ
∗
, µ
∗
))
là một điểm yên ngựa.
Chứng minh. Xét tập lồi đóng D = R

m
+
× R
p
, và hàm
L (x, (λ, µ)) = f (x) +

m
i=1
λ
i
g
i
(x) +

p
j=1
µ
i
h
i
(x).
Hàm L (x, (λ, µ)) lồi theo x ∈ Ω khi cố định (λ, µ) ∈ D và afin theo
(λ, µ) ∈ R
q+p
khi cố định x ∈ Ω. Cho h : R
n
→ R
p
là ánh xạ afin mà

h (x) = (h
1
(x) , , h
p
(x)) và E = h (Ω). Vì h (¯x) = 0 và x ∈ int Ω nên
0 ∈ int h (Ω), do đó với ε > 0 đủ nhỏ ta có y
j
∈ h (Ω) , −y
j
∈ h (Ω) , j =
1, , p, nếu ký hiệu y
j
∈ R
q
là vectơ có thành phần thứ j bằng ε, còn mọi
thành phần khắc bằng 0. Gọi x
j
∈ Ω là một điểm thoả mãn h

x
j

= y
j
và M =

¯x, x
j
, −x
j

, j = 1, , p

⊂ Ω. Với mọi (λ, µ) ∈ D mà µ = 0 nên

m
i=1
λ
i
g
i
(¯x) +

p
j=1
µ
i
h
i
(¯x) < 0
23
Mặt khác, với mọi (λ, µ) ∈ D mà µ = 0 thì phải có ít nhất một j
sao cho µ
j
= 0; nếu µ
j
> 0 thì

p
j=1
µ

i
h
i

−x
j

< 0; nếu µ
j
< 0 thì

p
j=1
µ
i
h
i

x
j

< 0, vì vây luôn có một x ∈ M thoả mãn

m
i=1
λ
i
g
i
(x) +


p
j=1
µ
i
h
i
(x) < 0.
Do đó
inf
x∈M
L (x, (λ, µ)) = inf{f (x) +
M

i=1
λ
i
g
i
(x) +
p

j=1
µ
i
h
i
(x)}
 inf
x∈M

f (x) + inf
x∈M
{
M

i=1
λ
i
g
i
(x) +
p

j=1
µ
i
h
i
(x)} → −∞
khi (λ, µ) ∈ D mà λ + µ → −∞. Tóm lại hàm L (x, (λ, µ)) trên
C × D có độ lệch đối ngẫu bằng 0. Khi đó ta có
max
y∈D
inf L
x∈C
(x, (λ, µ)) = inf
x∈C
sup
y∈D
L (x, (λ, µ)) .

Nếu bài toán (GP) có một lời giải tối ưu x
∗
thì
f (x
∗
) = max
y∈D
L (x, (λ, µ))
tức là có một (λ
∗
, µ
∗
) ∈ D để cho (x
∗
, (λ
∗
, µ
∗
)) là điểm yên ngựa. Khi ấy
f (x
∗
) = min
x∈C
{f (x) +
m

i=1
λ
∗
i

g
i
(x) +
p

j=1
µ
∗
j
h
i
(x)}.
1.4.1. Điều kiện tối ưu trong bài toán lồi
Cho Ω ⊂ R
n
là tập lồi đóng không rỗng, f, g
i
: R
n
→ R là những hàm
lồi, bài toán (P) gọi là quy hoạch lồi. Định lý đối ngẫu mạnh nêu ra một
điều kiện cần để x
∗
là lời giải tối ưu của bài toán này. Điều kiện ấy không
chỉ cần mà cũng đủ, nghĩa là:
Định lý 1.4.4. Với giả thiết Slater (1.6), một điểm x
∗
∈ Ω là lời giải tối
ưu của quy hoạch lồi (P) khi và chỉ khi có một vectơ λ
∗

∈ R
m
+
sao cho
(x
∗
, λ
∗
) là điểm yên ngựa của Lagrangian F (x, λ) = f (x)+

m
i=1
λ
i
g
i
(x),
F (x
∗
, λ)  F (x
∗
, λ
∗
)  F (x, λ
∗
) ∀x ∈ Ω, ∀λ ∈ R
m
+
. (1.8)
24

Nói cách khác, x
∗
∈ Ω là lời giải tối ưu khi và chỉ khi có λ
∗
∈ R
m
+
sao
cho
m

i=1
λ
∗
i
g
i
(x
∗
) = 0, x
∗
∈ arg min
x∈Ω
{f (x) +
m

i=1
λ
∗
i

g
i
(x)}. (1.9)
Chứng minh. Dễ thấy (1.9) kéo theo (1.8). Ngược lại nếu có (1.8) thì từ
bất đẳng thức thứ nhất ở (1.8) suy ra

m
i=1
λ
i
g
i
(x
∗
) 

m
i=1
λ
∗
i
g
i
(x
∗
) với
mọi λ ∈ R
m
+
, rồi với mỗi i = 1, , m, cho λ

i
→ +∞ lại suy ra g
i
(x
∗
)  0
và

m
i=1
λ
∗
i
g
i
(x
∗
) = max
λ∈R
m
+

m
i=1
λ
i
g
i
(x
∗

) = 0
do đó có (1.9) và suy ra x∗ là lời giải tối ưu của (P). Vậy theo Định lí
đối ngẫu yếu, sự tồn tại λ
∗
thỏa mãn (1.8) hay (1.9) là cần và đủ để cho
x
∗
∈ Ω tối ưu.
Định lý 1.4.5. Với giả thiết Slater chặt (1.7), một điểm x
∗
∈ Ω là lời
giải tối ưu của quy hoạch lồi (GP) khi và chỉ khi có (λ
∗
, µ
∗
) ∈ R
m
+
× R
p
sao cho (x
∗
, (λ
∗
, µ
∗
)) là điểm yên ngựa của Lagrangian
F (x, λ) = f (x) +

m

i=1
λ
i
g
i
(x) +

p
j=1
µ
j
h
j
(x).
Nói cách khác, x
∗
∈ Ω là lời giải tối ưu khi và chỉ khi có (λ
∗
, µ
∗
) ∈ R
m
+
×R
p
sao cho
m

i=1
λ

∗
i
g
i
(x
∗
), x
∗
∈ arg min
x∈Ω
{f (x) +
m

i=1
λ
∗
i
g
i
(x
∗
) +
p

j=1
µ
∗
i
h
i

(x
∗
)}. (1.10)
Hệ quả 1.4.1 (Farkas-Minkowski suy rộng). Cho những hàm afin g
i
với
i ∈ I
1
⊂ {1, , m} và những hàm lồi g
i
, i ∈ I
2
= {1, , m}\I
1
, hữu
hạn trên tập lồi Ω ⊂ R
n
. Nếu hệ bất đẳng thức
x ∈ Ω, g
i
(x)  0 (i = 1, , m) , f (x) < 0
không tương thích thì có những nhân tử λ
i
, i = 0, 1, , m, không đồng thời
bằng 0 để cho
λ
0
f (x) +
m


i=1
λ
i
g
i
(x)  0 ∀x ∈ Ω.