bài toán quy hoạch toàn phương có ràng buộc nón

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN NGỌC HẢI
BÀI TỐN QUY HOẠCH TỒN PHƯƠNG
CĨ RÀNG BUỘC NĨN
Chun ngành: Tốn ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12
LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. NGUYỄN NĂNG TÂM
Thái Ngun - 2014
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hồn thành tại trường Đại học khoa học - Đại học
Thái Ngun dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm.
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS.
TS. Nguyễn Năng Tâm, người đã tận tình hướng dẫn về phương hướng,
nội dung và phương pháp nghiên cứu trong suốt q trình nghiên cứu,
thực hiện và hồn thành luận văn.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu
trường Đại học khoa học - Đại học Thái Ngun, phòng sau đại học đã
tạo điều kiện rất thuận lợi về mọi mặt cho tác giả trong q trình tác
giả học tập, nghiên cứu và hồn thành luận văn.
Thái Ngun, tháng 06 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Ngọc Hải
i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan luận văn là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi
dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm.
Trong q trình nghiên cứu đề tài luận văn, tơi đã kế thừa thành
quả khoa học của các nhà tốn học và các nhà khoa học khác với sự trân
trọng và biết ơn.

Thái Ngun, tháng 06 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Ngọc Hải
ii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Mục lục
Mở đầu 1
1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5
1.1. Khái niệm về khơng gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Khái niệm về ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 BÀI TỐN QUY HOẠCH TỒN PHƯƠNG CĨ RÀNG
BUỘC NĨN 12
2.1. Bài tốn tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2. Bài tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón . . . 13
2.3. Điều kiện cực trị cho bài tốn qui hoạch tồn phương có
ràng buộc nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4. Sự ổn định của bài tốn quy hoạch tồn phương có ràng
buộc nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.1. Sự ổn định của tập hợp điểm KKT . . . . . . . . 17
2.4.2. Sự ổn định của tập nghiệm tồn cục . . . . . . . 22
2.4.3. Tính liên tục của hàm giá trị tối ưu . . . . . . . . 26
2.5. Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
iii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Kết luận 30
Tài liệu tham khảo 30
iv
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />CÁC KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG
R
n
khơng gian Euclid n-chiều
. chuẩn Euclid trong R

n
x, y tích vơ hướng của hai véc tơ x; y
B

x
0
, ε

=

x ∈ R
n
:


x − x
0


< 0

hình cầu mở trong R
n
có tâm tại x
0
,
bán kính ε
A ∈ R
n×n
ma trận đối xứng

clS bao đóng của tập hợp S
intS miền trong của tập hợp S
S (Q, a, c) tập hợp các điểm KKT
loc (Q, c, a) nghiệm địa phương của (P )
Sol (Q, c, a) nghiệm (tồn cục) của (P )
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết tối ưu có nhiều ứng dụng trong lý thuyết cũng như trong
các bài tốn thực tế chẳng hạn, trong quy hoạch tài ngun, thiết kế
chế tạo máy, điều khiển tự động, quản trị kinh doanh, kiến trúc đơ thị,
cơng nghệ thơng tin Chính vì vậy, các lĩnh vực của Tối ưu hóa ngày
càng trở nên đa dạng. Hiện nay, mơn học Tối ưu hóa được đưa vào giảng
dạy trong nhiều chương trình đào tạo đại học cho các ngành khoa học
cơ bản, kỹ thuật - cơng nghệ, kinh tế - quản lý, sinh học - nơng nghiệp,
xã hội - nhân văn, sinh thái - mơi trường Quy hoạch tồn phương là
một trong những lĩnh vực của Tối ưu hóa. Lý thuyết quy hoạch tồn
phương đã và đang được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu [5], [7]. Sau
một thời gian học cao học, với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về tốn ứng
dụng, tơi chọn đề tài Bài tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón
để nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu nhằm nắm được các định nghĩa, định lí, tính
chất của Bài tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón và các ứng
dụng của bài tốn liên quan đến các vấn đề thực tiễn. Qua đó, giúp củng
cố các kiến thức đã được học như: khơng gian R
n
, khơng gian affine, giải
tích hàm,. . .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />3

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Hệ thống hố các vấn đề lý luận về các kiến thức cơ sở liên quan
đến nội dung chính của bài tốn.
Hệ thống hố các định nghĩa, tính chất, ví dụ và ứng dụng của
Bài tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón.
4. Giả thuyết khoa học
Trên cơ sở nghiên cứu mở rộng bài tốn quy hoạch tồn phương
để áp dụng giải quyết các vấn đề thực tiễn, các bài tốn thực tế của con
người nhằm nâng cao hiệu quả cơng việc.
5. Phương pháp nghiên cứu
Q trình làm luận văn đã sử dụng kết hợp nhiều phương pháp
nghiên cứu, nhưng chủ yếu là phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
Cụ thể, kết hợp phương pháp tổng hợp, so sánh, phân tích, nhận
xét trong q trình nghiên cứu lí thuyết. Đầu tiên, sau khi tìm được
nguồn tài liệu tham khảo thì tổng hợp các kiến thức trong đó với các
kiến thức sẵn có. Sau đó, tiến hành so sánh, phân tích chúng, chọn ra
những kiến thức trọng tâm, đáng ghi nhớ, từ đó đưa ra những nhận xét
riêng. Cuối cùng, tổng hợp, trình bày lại theo ý hiểu một cách rõ ràng.
6. Đóng góp của luận văn
Hệ thống hố các vấn đề lý luận liên quan đến đề tài.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />4
Vận dụng Bài tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón vào
giải quyết các bài tốn, các vấn đề thực tế trong cuộc sống con người.
7. Cấu trúc luận văn
Ngồi phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo,
luận văn có 2 chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
1.1. Khái niệm về khơng gian Hilbert
1.2. Khái niệm về ánh xạ đa trị
1.3. Kết luận chương 1

Chương 2: Bài tốn Quy hoạch tồn phương có ràng buộc
nón
2.1. Bài tốn tối ưu
2.2. Bài tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón
2.3. Điều kiện cực trị cho bài tốn quy hoạch tồn phương có ràng
buộc nón
2.4. Sự ổn định của bài tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc
nón
2.5. Kết luận chương 2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Những nội dung trình bày trong chương này chủ yếu lấy từ [1], [3],
[4] và [7].
1.1. Khái niệm về khơng gian Hilbert
Cho V là khơng gian véc tơ trên trường số thực R.
Định nghĩa 1.1. Ta gọi mỗi ánh xạ
., . : V × V → R; (x, y) → x, y
là một tích vơ hướng trên V nếu các điều kiện sau đây thỏa mãn: Với
mọi x, y, z ∈ V và α ∈ R
i) x, y = y, x
ii) αx, y = α x, y
iii) x, y + z = x, y + x, z
iv) x, x ≥ 0, x, x = 0 khi và chỉ khi x = 0
Số x, y được gọi là tích vơ hướng của x và y. Khơng gian véc tơ
V cùng với một tích vơ hướng xác định được gọi là khơng gian có tích vơ
hướng và thường được viết là (V, ., .).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />6
Định nghĩa 1.2. Cho khơng gian véc tơ V cùng với một tích vơ hướng
., . xác định . Khi đó cơng thức
x =


x, x
xác định một chuẩn trên V . Nếu khơng gian có tích vơ hướng (V, ., .)
với chuẩn xác định như trên là một khơng gian đủ, thì ta goi (V, ., .) là
một khơng gian Hilbert.
Ta gọi số chiều của V là số chiều của khơng gian Hilbert (V, ., .).
Định nghĩa 1.3. Cho V là một khơng gian Hilbert và a ∈ V . Ta gọi
mỗi khơng gian con tuyến tính X của V là một khơng gian con, mỗi tập
có dạng a + X trong V là một khơng gian affine con của V .
Ví dụ 1.1. Lấy V = R
n
. Với x = (x
1
, . . . , x
n
), y = (y
1
, . . . , y
n
) ∈ V biểu
thức
x, y =
n

i=1
x
i
y
i
xác định một tích vơ hướng trên khơng gian R

n
và với chuẩn
x =

x, x
R
n
trở thành một khơng gian Hilbert hữu hạn chiều.
Định nghĩa 1.4. Cho x
0
∈ V, ε > 0 ta gọi tập
B

x
0
, ε

=

x ∈ V | x − x
0
 < 0

là hình cầu mở trong khơng gian V có tâm tại x
0
, bán kính ε.
Tập U ∈ V gọi là mở nếu với mọi x
0
∈ U tồn tại ε > 0 sao cho
B


x
0
, ε

⊂ U.
Tập F ∈ V được gọi là đóng nếu U = V \ F là mở.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />7
Định nghĩa 1.5. Tập S ⊂ V được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ S, đoạn
thẳng nối x, y đều nằm trong S. Nói cách khác, S ⊂ V là tập lồi khi và
chỉ khi:
∀x, y ∈ S, ∀λ ∈ [0, 1] ta cóx = λx
1
+ (1 − λ) x
2
∈ S.
Ví dụ 1.2. Các tập S sau đây là tập lồi:
i) S =

x =

x
1
, x
2
, x
3

∈ R
3

: 2x
1
− x
2
+ 3x
3
= 5

.
ii) S =

x =

x
1
, x
2
, x
3

∈ R
3
: 2x
1
− x
2
+ 3x
3
≤ 5


.
iii) S =

x ∈ R : x =

x
1
, x
2

: x
1
+ x
2
≤ 9

.
Các tính chất của tập lồi
Cho tập lồi S
1
, S
2
⊂ R
n
. Khi đó:
1) S
1
∩ S
2
là tập lồi.

2) S
1
+ S
2
=

x : x = x
1
+ x
2
với x
1
∈ S
1
, x
2
∈ S
2

là tập lồi.
3) S
1
− S
2
cũng là tập lồi.
Định nghĩa 1.6. Cho tập lồi khác rỗng S ⊂ V . Hàm số f : S → R được
gọi là hàm lồi nếu ∀x, y ∈ S, ∀λ ∈ [0, 1] ta có
f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) .
Ví dụ 1.3. i) Hàm số f : R → R với f (x) = x
2

là một hàm lồi.
ii) Hàm số hai biến f : R
2
→ R với f (x, y) = x
2
+ y
2
là hàm lồi.
Định nghĩa 1.7. Cho S ⊂ V là một tập hợp khác rỗng. S được gọi là
nón nếu ∀λ > 0 và x ∈ S ta ln có λx ∈ S.
Nón S được gọi là nón lồi nếu S là tập lồi.
Nón S được gọi là nón lồi đóng nếu S vừa là nón lồi vừa là tập
đóng.
Định nghĩa 1.8. Cho một tập hợp khác rỗng S ⊂ V. Nón đối cực của
S, được ký hiệu là S
∗
, là tập hợp {y ∈ V | y, x ≤ 0, ∀x ∈ S}. Nếu S là
tập rỗng thì nón đối cực sẽ là V .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />8
Định lý 1.1. Cho V là khơng gian Hilbert với x, y ∈ V ta ln có bất
đẳng thức sau
|x, y| ≤ xy.
Bất đẳng thức này được gọi là bất đẳng thức Cauchy- Schwartz.
Chứng minh. Nếu x = 0 thì hiển nhiên nhiên bất đẳng thức Cauchy-
Schwartz đúng. Xét trường hợp x = 0. Với t ∈ R, đặt ϕ(t) = tx +
y, tx + y. Theo định nghĩa tích vơ hướng ta có ϕ(t) ≥ 0, ∀t. Ta lại có
ϕ(t) = x, xt
2
+ 2x, yt + y, y
là một tam thức bậc hai biến t. Do tính khơng âm của ε(t) ta phải có

∆ = x, y
2
− x, x.y, y ≤ 0. Từ đây suy ra |x, y| ≤ xy, ta có
điều phải chứng minh.
Định lý 1.2. Cho V là một khơng gian Hilbert. Khi đó
., . : V × V → R
là một hàm liên tục
Chứng minh. Cho {x
n
}, {y
n
} là hai dãy trong khơng gian Hilbert V lần
lượt hội tụ về x
0
và y
0
. Khi đó, ta có
|x
n
, y
n
 − x
0
, y
0
|  |x
n
, y
n
 − x

n
, y
0
| + |x
n
, y
0
 − x
0
, y
0
|
= |x
n
, y
n
− y
0
| + |x
n
− x
0
, y
0
|
≤ x
n
y
n
− y

0
 + x
n
− x
0
y
0
.
Theo giả thiết {x
n
} hội tụ trong V nên nó bị chặn, nghĩa là tồn tại số
M > 0 sao cho x
n
 ≤ M với mọi n ∈ N. Vì vậy, ta có
|x
n
, y
n
 − x
0
, y
0
| ≤ My
n
− y
0
 + x
n
− x
0

y
0
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />9
Chuyển qua giới hạn ta được
lim
n→∞
|x
n
, y
n
 − x
0
, y
0
| = 0.
Vậy định lý được chứng minh.
Định lý 1.3. Cho S là một tập lồi đóng khác rỗng trong khơng gian
Hilbert V . Khi đó, với mỗi x ∈ V tồn tại duy nhất y ∈ S sao cho
x − y = inf{x − z | z ∈ S}.
Ta kí hiệu d(x, S) = inf{x − z | z ∈ S}.
Định nghĩa 1.9. Hai phần tử x và y của khơng gian Hilbert V gọi là
trực giao nếu x, y = 0, kí hiệu x⊥y.
Nếu S là một tập con của khơng gian Hilbert V thì tập
S
⊥
= {x ∈ V | x⊥y ∀y ∈ S}
gọi là phần bù trực giao của S.
Định lý 1.4. Giả sử S là một khơng gian con đóng của khơng gian
Hilbert V . Khi đó mỗi phần tử x ∈ V biểu diễn được một cách duy nhất

dưới dang x = y + z, trong đó y ∈ S và z ∈ S
⊥
.
Chứng minh. Nếu x ∈ S thì đặt y = x, z = 0. Ta có khẳng định đúng.
Xét trường hợp x /∈ S. Vì S đóng nên tồn tại duy nhất y ∈ S sao cho
x − y = d(x, S).
Đặt z = x − y, ta có x = y + z, Ta phải chứng minh z ∈ S
⊥
. Thật
vậy, với mọi α ∈ R, u ∈ S ta có
z = x − y ≤ x − (y + αu)
= z − αu.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />10
Từ đó suy ra
z
2
≤ z − αu, z − αu
= z
2
− αu, z − αz, u + α
2
u
2
.
Chọn α = z, u và u, ta suy ra 0 ≤ −|z, u|
2
. Do đó, z, u = 0 với
mọi u ∈ S và u = 1. Như vậy ta đã chỉ ra z ∈ S
⊥
.

Tiếp theo ta chứng minh sự biểu diễn là duy nhất, giả sử x = y
1
+z
1
với y
1
∈ S, z
1
∈ S
⊥
. Khi đó, y−y
1
= z
1
−z, ta có y−y
1
∈ S và y−y
1
∈ S
⊥
.
Từ đó suy ra y − y
1
, y − y
1
 = 0. Do vậy y = y
1
và do đó z = z
1
. Vậy

định lý được chứng minh.
Định nghĩa 1.10. Theo định lý trên, mọi x ∈ V đều biểu diễn được duy
nhất dạng x = y + z với y ∈ S, z ∈ S
⊥
. Như vậy, V = S ⊕ S
⊥
. Ánh xạ
P : V → S, xác định P (x) = y với x = y + z ∈ S ⊕ S
⊥
, được gọi là phép
chiếu trực giao từ V lên S
Định lý 1.5. Phép chiếu trực giao P từ khơng gian Hilbert V lên khơng
gian con đóng S = {0} là một tốn tử tuyến tính liên tục.
Chứng minh. Với x
1
, x
2
∈ V, α ∈ R, theo định lý 1.4 ta có
x
1
= P x
1
+ z
1
; x
2
= P x
2
+ z
2

,
trong đó z
1
, z
2
∈ S
⊥
.
Vì vậy
x
1
+ x
2
= P x
1
+ Px
2
+ z
1
+ z
2
,
trong đó Px
1
+ P x
2
∈ S, z
1
+ z
2

∈ S
⊥
. Từ tính duy nhất của sừ biểu
diễn trong định lý trên ta suy ra
P (x
1
+ x
2
) = P x
1
+ Px
2
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />11
Tương tự P (αx
1
) = αP(x
1
). Vậy P tuyến tính.
Mặt khác, với x ∈ V ta có
x
2
= P x
2
z
2
≥ P x
2
.
Từ đó suy ra P bị chặn. Vậy P liên tục. Định được chứng minh.

1.2. Khái niệm về ánh xạ đa trị
Định nghĩa 1.11. Cho X, Y là những tập hợp tập hợp. Ta gọi mỗi quy
tắc F cho ứng với mỗi phần tử x của X với duy nhất một tập con F (x)
của Y là một ánh xạ đa trị từ X vào Y , kí hiệu F : X ⇒ Y .
Cho anh xạ đa trị F : W ⇒ V trong đó W là tập hợp con của
khơng gian Hilbert.
Định nghĩa 1.12. Ta nói F là nửa liên tục trên (usc) tại ω ∈ W nếu
đối với mỗi tập hợp mở Ω ⊂ V thỏa mãn F (ω) ⊂ Ω, khi đó tồn tại δ > 0
sao cho F (ω

) ⊂ Ω với mọi ω

∈ W thoả mãn tính chất ω

− ω < δ.
Định nghĩa 1.13. Chúng ta nói rằng F là nửa liên tục dưới (lsc) tại
ω ∈ W nếu đối với mỗi tập hợp mở Ω ⊂ V thỏa mãn F (ω) ∩ Ω = ∅, khi
đó tồn tại δ > 0 sao cho F (ω

) ∩ Ω = ∅ với mọi ω

∈ W thoả mãn tính
chất ω

− ω < δ. Nếu F đồng thời nửa liên tục trên và là nửa liên tục
dưới tại ω, thì ta nói rằng nó là liên tục tại ω.
Kết luận chương 1
Trong chương này đã sơ lược trình bày một số kiến thức cơ bản sẽ
sử dụng trong phần sau.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Chương 2

BÀI TỐN QUY HOẠCH TỒN
PHƯƠNG CĨ RÀNG BUỘC NĨN
Mục đích của chương này là trình bày một vài tính chất định tính
của bài tốn cực tiểu hố hàm tồn phương trên giao của khơng gian
con affine và hình nón lồi đóng n chiều có miền trong khác rỗng. Những
nội dung trình bày trong chương này lấy từ [3], [5], [6] và [7].
2.1. Bài tốn tối ưu
Bài tốn tối ưu là bài tốn có dạng:
inf f (x) với x ∈ D, (2.1)
trong đó D là một tập con của một khơng gian tơ pơ X, f : D → R là
một hàm số. Hàm f gọi là hàm mục tiêu, tập D gọi là miền ràng buộc
hoặc tập chấp nhân được của bài tốn (2.1). Nếu D = X thì ta nói bài
tốn (2.1)khơng có ràng buộc. Như vậy, ta cần tìm điểm x ∈ D sao cho
hàm mục tiêu f(x) đạt được giá trị bé nhất - cực tiểu hố. Điểm x ∈ D
được gọi là điểm chấp nhận được của bài tốn (2.1).
Định nghĩa 2.1. Điểm x
∗
∈ X được gọi là nghiệm tối ưu (hay nghiệm)
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />13
tồn cục của bài tốn (2.1) nếu
x
∗
∈ D và f (x
∗
)  f (x) ∀x ∈ D.
Điểm x
∗
∈ D được gọi là nghiệm tối ưu địa phương của (2.1) nếu tồn
tại một lân cận mở U trong X của điểm x

∗
sao cho
f (x
∗
) ≤ f (x) , ∀x ∈ U ∩ D.
Dễ thấy, mọi nghiệm tối ưu tồn cục cũng là phương án tối ưu
địa phương, trong khi đó một phương án tối ưu địa phương khơng nhất
thiết là phương án tối ưu tồn cục.
2.2. Bài tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc
nón
Cho (V, ., .) là khơng gian Hinbert hữu hạn chiều và K ⊂ V là
hình nón lồi đóng với đối ngẫu dương
K
∗
:= {y ∈ V : y, x ≥ 0, ∀x ∈ K} .
Giả sử miền trong intK của K là khác rỗng và K nhọn, nghĩa là
K ∩ (−K) = {0} . Kí hiệu L
S
(V ) là tập hợp các tốn tử tuyến tính đối
xứng Q : V → V . Do đó, cho bất kỳ Q ∈ L
S
(V ) và x, y ∈ V, ln có
Qx, y = x, Qy .
Ta gọi bài tốn sau là Bài tốn quy hoạch tồn phương có ràng
buộc nón
inf f(x, Q, c) :=
1
2
x, Qx + c, x (2.2)
với x ∈ a + X, x ∈ K

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />14
trong đó Q ∈ L
S
(V ) , c, a ∈ V và X ⊂ V là một khơng gian con
tuyến tính.
Gần đây, đã có thuật tốn cho (2.2) được đề nghị trong khn khổ
của đại số Jordan-Euclide [6] . Dễ dàng chỉ ra rằng bài tốn quy hoạch
tồn phương với ràng buộc tuyến tính là trường hợp đặc biệt của (2.2).
Bài tốn phụ miền tin cậy cũng là một trường hợp đặc biệt của (2.2).
Thật thế, lấy V = R
n
và K là hình nón Lorentz trong V , nghĩa là
K =

x = (x
1
, , x
n
) : x
2
n
≥
n−1

i=1
x
2
i

.

Lấy X = {x = (x
1
, , x
n
) : x
n
= 0} và a = (0, , 0, µ) với µ > 0,
ta có
(a + X) ∩ K =

x = (x
1
, , x
n−1
, µ) :
n−1

i=1
x
2
i
≤ µ
2

.
Do đó (2.2) trở thành vấn đề về cực tiểu hố hàm tồn phương
trên hình cầu đóng với tâm 0 và bán kính µ > 0 trong khơng gian R
n−1
.
Đó chính là bài tốn phụ miền tin cậy.

2.3. Điều kiện cực trị cho bài tốn qui hoạch tồn
phương có ràng buộc nón
Bổ đề 2.1. Cho x ∈ K, giả sử
K (x) =

y ∈ E : x + ty ∈ K, t > 0 đủ nhỏ

Khi đó đối ngẫu của nó K (x)
∗
= {s ∈ K
∗
: x, s = 0} .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />15
Chứng minh. Dễ dàng thấy rằng K(x) là một nón lồi. Vì K ⊂ K(x), ta
có K (x)
∗
⊂ K
∗
. Giả sử s ∈ K
∗
, x, s = 0. Nếu y ∈ K (x) thì tồn tại
t > 0 sao cho x + ty ∈ K. Khi đó
s, x + ty = t s, y ≥ 0.
Do đó, s, y ≥ 0. Như vậy
{s ∈ K
∗
: x, s = 0} ⊂ K (x)
∗
.
Ngược lại, giả sử s ∈ K (x)

∗
⊂ K
∗
. Khi đó ta có s, y ≥ 0. Tuy
nhiên, −x ∈ K (x) . Thực vậy, nếu 0 < t < 1, x+t (−x) = (1 − t) x ∈ K,
nghĩa là −x ∈ K (x), nhưng khi đó s, −x ≥ 0, nghĩa là s, x ≤ 0. Vì
vậy, s, x = 0. Ta đi đến kết luận K (x)
∗
⊂ {s ∈ K
∗
| x, s = 0} .
Điều kiện cần cực trị bậc nhất cho (2.2) có thể phát biểu như sau
Định lý 2.1. Nếu x ∈ K ∩ (a + X) là cực tiểu địa phương của (2.2),
thì có r ≥ 0 và s ∈ K
∗
sao cho (r, s) = (0, 0) , r (Qx + c) − s ∈ X
⊥
, và
x, s = 0, trong đó X
⊥
thay cho khơng gian con trực giao của X. Nếu
thêm vào đó (a + X) ∩ (intK) là rỗng, thì có thể lấy r = 1.
Chứng minh. Kí hiệu f(x) =
1
2
x, Qx + c, x. Giả sử π : E → X
⊥
là
phép chiếu trực giao. Đặt
N =


(t, π (p)) ∈ R × X
⊥
| t = f

(x
∗
) , p , p ∈ K (x
∗
)

và
P =

(t, y) ∈ R × X
⊥
: t < 0, y = 0

.
Ta khẳng định rằng N ∩ P = ∅. Thực vậy, nếu N ∩ P = ∅,
thì tồn tại p ∈ K (x
∗
) ∩ X sao cho f

(x
∗
) , p < 0. Tuy nhiên, khi đó
x
∗
+ tp ∈ (a + X) ∩ K, với t > 0 đủ bé.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />16
Xét ϕ (t) = f (x
∗
+ tp) . Ta có
ϕ

(0) = f

(x
∗
) , p < 0.
Do đó
ϕ (t) < ϕ (0) = f (x
∗
) , t > 0 đủ bé.
Điều này mâu thuẫn với x
∗
là một cực tiểu địa phương.
Như vậy, N ∩P = ∅. Theo định lý tách, ∃ (r, u) ∈ R ×X
⊥
, (r, u) =
0 sao cho
r f

(x
∗
) , p + u, π (p) ≥ rt (2.3)
với p ∈ K

x

∗

bất kỳ và t < 0. Do đó
rf

(x
∗
) + r(u), p ≥ 0 ∀ p ∈ K

x
∗

,
trong đó rf

(x
∗
)+r (u) ∈ K (x
∗
)
∗
, s ∈ K (x
∗
)
∗
. Ta chú ý đến r ≥ 0 theo
(2.2) (nếu r < 0, xét t → −∞).
Từ Bổ đề 2.1 ta có s ∈ K
∗
và x

∗
, s = 0.
Ta còn phải chỉ ra trường hợp r = 0 là khơng thể xảy ra. Thực
vậy, nếu r = 0, thì s = u ∈ K
∗
∩ X
⊥
và s, x
∗
 = 0. Mặt khác, theo giả
thiết ∃y ∈ (a + X) ∩ intK. Tuy nhiên x
∗
= y + (x
∗
− y) và x
∗
− y ∈ X.
Do đó, s, y = s, x
∗
 = 0 (do s ∈ X
⊥
).
Tuy vậy, từ y ∈ intK, s, y = 0 suy ra s = 0. Điều này khơng thể
xảy ra.
Vì u = 0 trong trường hợp r = 0. Do đó, r > 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />17
2.4. Sự ổn định của bài tốn quy hoạch tồn phương
có ràng buộc nón
Định nghĩa 2.2. Chúng ta nói rằng x ∈ V là một điểm KKT (Karush-
Kuhn-Tucker) của (2.2) nếu có s ∈ V thoả mãn

s ∈ K
∗
, x ∈ K ∩ (a + X) , Qx + c − s ∈ X
⊥
, x, s = 0. (2.4)
Kí hiệu tập hợp các điểm KKT, nghiệm địa phương, và nghiệm
(tồn cục) của (2.2) lần lượt là S(Q, c, a), loc(Q, c, a), và Sol(Q, c, a).
Theo Định lý 2.1, nếu intK ∩ (a + X) = ∅ thì
Sol(Q, c, a) ⊂ loc(Q, c, a) ⊂ S(Q, c, a).
Kí hiệu
ϕ (Q, c, a) := inf {f (x, Q, c) : x ∈ (a + X) ∩ K}
là giá trị tối ưu của (2.2).
Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ nghiên cứu điều kiện cần và đủ
cho tính nửa liên tục trên hay là tính nửa liên tục dưới của các ánh
xạ đa trị: Tập điểm KKT (Q, c, a) → S(Q, c, a), tập nghiệm tồn cục
(Q, c, a) → Sol(Q, c, a) và điều kiện cho tính liên tục của hàm giá trị tối
ưu (Q, c, a) → ϕ(Q, c, a).
2.4.1. Sự ổn định của tập hợp điểm KKT
Kí hiệu

Q
:=

x ∈ X ∩ K : Qx ∈ X
⊥

. Chúng ta nghiên cứu
điều kiện cần cho tính nửa liên tục trên của tập hợp điểm KKT trong
bài tốn (2.2).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />18

Định lý 2.2. ( Điều kiện cần cho ổn định I ) Giả sử (a + X) ∩ K là
khác rỗng và tập hợp điểm KKT S(Q, c, a) là bị chặn. Nếu ánh xạ đa trị
S (·, ·, a) là nửa liên tục trên tại (Q, c) thì

Q
= {0} .
Chứng minh. Giả sử phản chứng rằng, (a + X) ∩ K = ∅, S(Q, c, a) bị
chặn, S (·, ·, a) nửa liên tục trên tại (Q, c), nhưng

Q
= {0} . Vì 0 ∈

Q
,
khi đó tồn tại của ¯x = 0 thoả mãn
¯x ∈ X ∩ K, Q¯x ∈ X
⊥
. (2.5)
Chọn ˜a ∈ (a + X) ∩ K và chú ý rằng (˜a + X) ∩ K = (a + X) ∩ K. Với
mỗi t > 0, giả sử x
t
=
1
t
¯x + ˜a. Vì ˜a ∈ K, do (2.5) ta có
x
t
∈ (˜a + X) ∩ K = (a + X) ∩ K. (2.6)
Chúng ta khẳng định rằng, tồn tại tốn tử Q
t

∈ £
s
(V ) có dạng Q
t
=
Q + tQ
0
và một véc tơ c
t
∈ V có dạng c
t
= c + tc
0
sao cho
Q
t
x
t
+ c
t
∈ X
⊥
, (2.7)
trong đó tốn tử Q
0
∈ L
s
(V ) và véc tơ c
0
sẽ xây dựng trong phần tiếp

theo. Lưu ý rằng
Q
t
x
t
+ c
t
= (Q + tQ
0
)

1
t
¯x + ˜a

+ (c + tc
0
)
=
1
t
Q¯x + (Q
0
¯x + Q˜a + c) + t (Q
0
˜a + c
0
) .
Vì thế, nếu ta có
Q

0
¯x + Q˜a + c = 0 (2.8)
và
Q
0
˜a + c
0
= 0, (2.9)
thì (2.7) thỏa mãn.
Do V là hữu hạn chiều và ¯x = 0, tồn tại Q
0
∈ L
S
(V ) thoả mãn
điều kiện Q
0
¯x = −(Q˜a + c). Thật thế, chọn cơ sở trực chuẩn (B) của V.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />19
Giả sử (¯x
1
, , ¯x
n
) là tọa độ của ¯x, (b
1
, , b
n
) là tọa độ của −(Q˜a + c)
trong (B). Giả sử
I = {i : ¯x
i

= 0} ⊂ {1, , n} .
Do ¯x = 0, ta có I = ∅. Cố định bất kỳ chỉ số i
0
∈ I. Đặt
¯
Q
0
= (q
ij
) ,
trong đó q
ij
(1 ≤ i, j ≤ n) được định nghĩa như sau:
q
ii
= (¯x
i
)
−1
b
i
∀i ∈ I,
q
i
0
j
= q
ji
0
= (¯x

i
)
−1
b
j
∀j ∈ {1, , n} \ I,
và q
ij
= 0 cho các cặp (i, j) khác với 1 ≤ i, j ≤ n. Rõ ràng,
¯
Q
0
là ma
trận đối xứng. Bây giờ, cho Q
0
là tốn tử từ V đến chính nó sao cho ma
trận liên kết với Q
0
trong cơ sở (B) là
¯
Q
0
đã chọn. Dễ dàng kiểm tra
được Q
0
là tốn tử mong muốn.
Đặt c
0
= −Q
0

˜a, ta thấy ngay (2.8) và (2.9) được thoả mãn. Do đó
(2.7) đúng.
Bây giờ, đặt s
t
= 0. Từ (2.6) và (2.7) ta có
s
t
∈ K
∗
, x
t
∈ (a + X) ∩ K, Q
t
x
t
+ c
t
− s
t
∈ X
⊥
, x
t
, s
t
 = 0.
Điều này cho thấy x
t
∈ S (Q
t

, c
t
, a) . Giả sử Ω ⊂ V là tập hợp mở
bị chặn thoả mãn S(Q, c, a) ⊂ Ω. Vì lim
t→0
Q
t
= Q và lim
t→0
c
t
= c, từ
tính chất nửa liên tục trên của S (·, ·, a) suy ra x
t
∈ Ω với mọi t > 0 đủ
bé. Điều này là vơ lý, bởi vì
lim
t→0
x
t
 = lim
t→0




1
t
¯x + a





= +∞.
Định lý 2.3. (Điều kiện cần cho ổn định II) Giả sử Q ∈ L
S
(V ) , c ∈
V, (a + X) ∩ K khác rỗng, và S(Q, c, a) là bị chặn. Nếu S (·, ·, a) là nửa
liên tục trên tại (Q, c) thì S (Q, 0, 0) ∩ intK = ∅.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />20
Chứng minh. Giả sử phản chứng rằng, các giả thiết của chúng ta thoả
mãn, S (·, ·, a) là nửa liên tục trên ở (Q, c), nhưng S (Q, 0, 0)∩intK = ∅.
Chọn một vectơ khác khơng ¯x ∈ S (Q, 0, 0) ∩ intK. Theo định nghĩa của
điểm KKT, tồn tại ¯s ∈ V sao cho
¯s ∈ K
∗
, ¯x ∈ K ∩ X, Q¯x − ¯s ∈ X
⊥
, ¯x, ¯s = 0. (2.10)
Vì ¯x ∈ intK, từ đẳng thức (2.10) suy ra ¯s = 0. Khi đó, bao hàm thức
thứ ba trong (2.10) suy ra Q¯x ∈ X
⊥
. Do đó (2.5) thoả mãn. Từ kết quả
đó và lập luận tương tự trong chứng minh của Định lý 2.2, sẽ dẫn đến
mâu thuẫn.
Nếu a = 0 thì (2.2) là bài tốn tối ưu hố có ràng buộc nón
x ∈ X ∩ K. Bây giờ chúng ta xét tính ổn định của tập hợp điểm KKT.
Định lý 2.4. (Điều kiện cần cho ổn định III) Giả sử Q ∈ L
S
(V ) , c ∈ V,

và S(Q, c, 0) là bị chặn. Nếu S (·, c, 0) là nửa liên tục trên tại Q thì
S (Q, 0, 0) = {0} .
Chứng minh. Ngược lại, giả sử S(Q, c, 0) là bị chặn, S (·, c, 0) là nửa
liên tục trên tại Q, nhưng S (Q, 0, 0) = {0} . Cố định vectơ khác khơng
¯x ∈ S (Q, 0, 0) . Theo định nghĩa của điểm KKT, tồn tại ¯s ∈ V sao
cho (2.10) thoả mãn. Tương tự như chứng của Định lý 2.2, chúng ta có
thể xây dựng một tốn tử tuyến tính đối xứng Q
0
: V → V sao cho
Q
0
¯x + c = 0. Đối với mỗi t > 0, giả sử
x
t
=
1
t
¯x, s
t
=
1
t
¯s, (2.11)
và Q
t
= Q + tQ
0
. Sử dụng (2.10) ta nhận được
Q
t

x
t
+ c − s
t
∈ X
⊥
, (2.12)
Từ (2.10) - (2.12) suy ra x
t
∈ S (Q
t
, c, 0) với mọi t > 0. Dùng bao hàm
cuối cùng, ta sẽ đi đến mâu thuẫn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />