slide bài giảng kinh tế lượng mô hình hồi qui hai biến ước lượng và kiểm định

CH NG 2ƯƠ
MOÂ HÌNH H I QUI HAI BI NỒ Ế
C L NG VAØ KI M NHƯỚ ƯỢ Ể ĐỊ
(OLS)


Giả sử một mẫu gồm n quan sát
Giả sử một mẫu gồm n quan sát
(Y
(Y
i
i
, X
, X
i
i
), (i = 1, 2, . . . , n)
), (i = 1, 2, . . . , n)


:
:
giá trò lý thuyết của Y ứng với
giá trò lý thuyết của Y ứng với
quan sát thứ i.
quan sát thứ i.
i
Y
ˆ
Y
Y

i
i
giá trò thực tế của Y ứng với qsát i.
giá trò thực tế của Y ứng với qsát i.
e
e
i
i
= Y
= Y
i
i


−
−








=
=
Y
Y
i
i

−
−






−
−






X
X
i
i

i
Y
ˆ
e
e
i
i

: sai số ngẫu nhiên của mẫu
: sai số ngẫu nhiên của mẫu
ứng với quan sát thứ i
ứng với quan sát thứ i
1
ˆ
β
2
ˆ
β
Y
Y
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
e
e
i
i
X
X
X

X
i
i
Y
Y
i
i
Y
Y
^
^
i
i
.
.
.
.
.
0
0
SRF
SRF
Theo
Theo
phöông
phöông
phaùp OLS, ta
phaùp OLS, ta
phaûi tìm (j= 1,2) sao cho
phaûi tìm (j= 1,2) sao cho

( )
∑∑
==
⇒β−β−=
n
1i
2
i21i
n
1i
2
i
X
ˆˆ
Ye
j
ˆ
β
min
min









=−β−β−=

β∂
ββ∂
=−β−β−=
β∂
ββ∂
∑
∑
=
=
n
1i
ii21i
2
21
n
1i
i21i
1
21
0)X)(X
ˆˆ
Y(2
ˆ
)
ˆ
,
ˆ
(f
0)1)(X
ˆˆ

Y(2
ˆ
)
ˆ
,
ˆ
(f
Hay:
Hay:









=β+β
=β+β
∑ ∑ ∑
∑ ∑
= = =
= =
n
1i
n
1i
n
1i

ii
2
i2i1
n
1i
n
1i
ii21
Y.XX
ˆ
X
ˆ
YX
ˆˆ
n
Giaỷi
Giaỷi
heọ p.tr naứy ta ủửụùc:
heọ p.tr naứy ta ủửụùc:
( )
1 1
2
2
2 2
1
.

n n
i i i i
i i

n n
i i
i
X Y n X Y x y
X n X x

= =
=

= =



1 2

Y X

=
Trong ủoự :x
Trong ủoự :x
i
i
= X
= X
i
i
-
-
X
y

y
i
i
= Y
= Y
i
i
-
-
Y
Thí dụ 2
Thí dụ 2
:
:
Giả sử Y, X có q.hệ t.quan t.t. Hãy
Giả sử Y, X có q.hệ t.quan t.t. Hãy
ước lượng hàm h.qui của Y theo X.
ước lượng hàm h.qui của Y theo X.
Bảng sau cho số liệu về lượng bán
Bảng sau cho số liệu về lượng bán
được (Y- tấn/tháng) và đơn giá
được (Y- tấn/tháng) và đơn giá
của hàng A (X- ngàn đồng/kg)
của hàng A (X- ngàn đồng/kg)


B
B
iến giải thích là phi ng.n
iến giải thích là phi ng.n



Kỳ vọng toán có điều kiện
Kỳ vọng toán có điều kiện
của U
của U
i
i
bằng 0
bằng 0


tức:
tức:


E(U
E(U
i
i
/X
/X
i
i
) = 0
) = 0


Các U
Các U

i
i
có p.sai bằng nhau
có p.sai bằng nhau


Không có t.quan giữa
Không có t.quan giữa
các U
các U
i
i
, tức
, tức



cov(U
cov(U
i
i
, U
, U
j
j
) = 0
) = 0
(i
(i
≠

≠
j)
j)

U
U
i
i
và X
và X
i
i
không t.quan
không t.quan
với nhau, tức
với nhau, tức



cov(U
cov(U
i
i
, X
, X
i
i
) = 0
) = 0

ĐỊNH LÝ GAUSS-MARKOV
ĐỊNH LÝ GAUSS-MARKOV
Với các g.t 1-5 của PP
Với các g.t 1-5 của PP
OLS, các ước lượng của PP
OLS, các ước lượng của PP
OLS sẽ là các ước lượng
OLS sẽ là các ước lượng


tuyến tính
tuyến tính
,
,
không chệch
không chệch
và
và
có p.sai nhỏ nhất
có p.sai nhỏ nhất
.
.
2- Phương sai và sai số
2- Phương sai và sai số


chuẩn của các ước lượng
chuẩn của các ước lượng
2

1
2
1
2
1
)
ˆ
var(
σβ
∑
∑
=
=
=
n
i
i
n
i
i
xn
X
)
ˆ
var()
ˆ
(se
11
β=β
∑

=
=
n
i
i
x
1
2
2
2
)
ˆ
var(
σ
β
)
ˆ
var()
ˆ
(se
22
β=β
Trong đó:
Trong đó:
σ
σ
2
2
= var(U
= var(U

i
i
)
)
σ
σ
2
2




được ước lượng bằng
được ước lượng bằng
ước lượng không chệch
ước lượng không chệch


Với R
Với R
2
2
là hệ số xác đònh
là hệ số xác đònh
2
ˆ
σ
2
2 2
2

1
(1 )
ˆ
2 2
n
i
i
i
e
R y
n n
σ
=
−
= =
− −
∑
∑
se:
se:


sai số chuẩn
sai số chuẩn


(Standard Erorr)
(Standard Erorr)
TSS =
TSS =

ESS
ESS
(
(
Explained Sum of Squares
Explained Sum of Squares
)
)
ESS =
TSS (
TSS (
Total Sum of Squares
Total Sum of Squares
)
)
( )
( )
2
2
2
1
.
n
i i
i
y Y n Y
=
= −
∑ ∑
( )

∑ ∑
= =
β=−
n
1i
n
1i
2
i
2
2
2
i
x)
ˆ
(YY
ˆ
RSS =
RSS =

TSS = ESS + RSS
TSS = ESS + RSS
RSS (
RSS (
Residual Sum of Squares
Residual Sum of Squares
)
)
( )
∑ ∑

= =
−=
n
1i
n
1i
2
ii
2
i
Y
ˆ
Ye
Nếu hàm hồi qui mẫu phù hợp
Nếu hàm hồi qui mẫu phù hợp
tốt với các số liệu quan sát thì
tốt với các số liệu quan sát thì
ESS sẽ càng lớn hơn RSS.
ESS sẽ càng lớn hơn RSS.
•
•
•


M
M
•
•
•
•

•
•
•
•
•
•
•
Y
Y
Y
Y
i
X
X
i
i
X
X
Y
^
i
N
N
K
K
RSS
RSS
ESS
ESS
TSS

TSS
0
0
SRF
SRF
•
0
0
≤
≤
R
R
2
2


≤
≤
1
1
2 2
2
2
1
2
1
ˆ
( )
n
i

i
n
i
i
x
ESS
R
TSS
y
β
=
=
= =
∑
∑
R
R
2
2
= 1 thì đường h.q phù
= 1 thì đường h.q phù
hợp “
hợp “
hoàn hảo
hoàn hảo
”, tất cả
”, tất cả
các sai lệch của Y (so với
các sai lệch của Y (so với
giá trò TB) đều giải thích

giá trò TB) đều giải thích
được bởi MH hồi quy.
được bởi MH hồi quy.
Khi R
Khi R
2
2
= 0 chứng tỏ X và Y
= 0 chứng tỏ X và Y
không có quan hệ.
không có quan hệ.
Hệ số tương quan r dùng để
Hệ số tương quan r dùng để
đo mức độ chặt chẽ của quan
đo mức độ chặt chẽ của quan
hệ tuyến tính giữa X, Y.
hệ tuyến tính giữa X, Y.
Công thức của hệ số tương
Công thức của hệ số tương
quan là:
quan là:
∑ ∑
∑
=
2
i
2
i
ii
y.x

yx
r
Có thể chứng minh được:
Có thể chứng minh được:


Trong trường hợp này dấu
Trong trường hợp này dấu
cuả r trùng với dấu của
cuả r trùng với dấu của
2
ˆ
β
2
Rr
±=

r có thể âm hoặc dương,
r có thể âm hoặc dương,
dấu của r phụ thuộc vào dấu
dấu của r phụ thuộc vào dấu
của hệ số góc.
của hệ số góc.

r lấy giá trò trong đọan[-
r lấy giá trò trong đọan[-
1;1]
1;1]

r có tính chất đối xứng

r có tính chất đối xứng
r
r
XY
XY
= r
= r
YX
YX

r độc lập với gốc tọa độ và
r độc lập với gốc tọa độ và
các tỷ lệ.
các tỷ lệ.

Nếu X, Y độc lập thì r
Nếu X, Y độc lập thì r
XY
XY
= 0;
= 0;
nhưng khi r
nhưng khi r
XY
XY
= 0 thì điều đó
= 0 thì điều đó
không có nghóa là hai biến này
không có nghóa là hai biến này
độc lập.

độc lập.

r chỉ đo mức độ phụ thuộc
r chỉ đo mức độ phụ thuộc
tuyến tính, r không có ý
tuyến tính, r không có ý


nghóa
nghóa
khi mô tả quan hệ phi tuyến.
khi mô tả quan hệ phi tuyến.
r = 1
0
5
10
15
20
25
30
0 5 10 15
X
Y