skkn hướng dẫn cho học sinh cách khai thác và tìm tòi lời giải từ một bài toán

PHÒNG GIÁO DỤC HUYỆN VĨNH BẢO
TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM
==========&=========
ĐỀ TÀI :
HƯỚNG DẪN TÌM TÒI, KHAI THÁC LỜI GIẢI
TỪ MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC 7
===&==
Tác giả: Lê Thị Hồng Vân
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị : Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
NĂM HỌC: 2008 - 2009
PHẦN I - ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do về tính cấp thiết:
Toán học là môn khoa học có ứng dụng hầu hết các lĩnh vực của cuộc sống, chính
vì vậy Toán học có vai trò rất quan trọng đối với cuộc sống thực tiễn, với các ngành
Người thực hiên: Lê Thị Hồng Vân - Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
1
khoa học và đối với học sinh. Toán học giúp học sinh đức tính cần cù, nhẫn nại, tự lực
và có ý chí vượt khó. Với vai trò là môn công cụ, bộ môn Toán đã góp phần tạo điều
kiện giáo dục học sinh nhận thức vươn lên tìm tòi và sáng tạo, giúp các em say mê
học toán, khi đó một bài toán không phải là những con số khô khan mà một bài hát,
một vần thơ, một bức tranh với nhiều cảnh đẹp.
2. Mục đích nghiên cứu:
* Học sinh khối 7 mới được làm quen với nhiều khái niệm, định lí trong hình
học. Song việc cần thiết làm cho học tiếp cận với kiến thức mới một cách hào hứng ,
biết vận dụng những kiến thức lý thuyết đã học để biết cách chứng minh hình học,
giải một bài toán bằng nhiều cách khác nhau.
3. Đối tượng phạm vi và kế hoạch nghiên cứu:
*Đối với lớp 7: . Trong quá trình giảng dạy cho học sinh, chúng tôi thấy việc cần
thiết là làm cho học sinh thấy bản chất của các kiến thức đã học thông qua lời giải từ
một bài toán đồng thời cho học sinh nhìn một bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau để

thấy được sự phong phú của toán học và thêm yêu thích bộ môn
4. Kết quả đạt được:
Với mục tiêu trên, cùng với quá trình giảng dạy tôi xin trình bày một kinh
nghiệm của bản thân về việc "Hướng dẫn cho học sinh cách khai thác và tìm tòi lời
giải từ một bài toán" dành cho đối tượng học sinh lớp 7 bước đầu có hiệu quả cao. Tôi
viết với mục đích mong muốn cùng bạn bè và đồng nghiệp khám phá những kiến
thức phong phú , đa dạng trên cơ sở nền tảng kiến thức cơ bản là SGK. Qua đó chúng
ta có cái nhìn sâu sắc, toàn diện hơn về toán học, giúp các em học sinh hình thành tốt
các kỹ năng giải toán, và thêm yêu thích bộ môn
PHẦN II - NỘI DUNG ĐỀ TÀI
1. Cơ sở lí luận:
Toán học mang lại cho con người biết bao sự đam mê, lí thú và nó mang lại cho
con người rất nhiều lợi ích thiết thực.
Người thực hiên: Lê Thị Hồng Vân - Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
2
Khi thấy hiểu một vấn đề nào đó, thấy được sự đa dạng phong phú của một vấn
đề nào đó thì các em cảm thấy yêu thích hơn, đi sâu nghiên cứu hơn và sẽ giải
Giáo viên dạy tốt, nâng cao được chuyên đề nào đó, học sinh thấy được vai trò của
người thầy, thấy “ cái tài” của người thầy, sẽ kích thích thúc đẩy để học sinh học tốt
hơn.
Rèn luyện kỹ năng cho học sinh vận dụng kiến thức, giúp các em có sự tư duy
sâu săc hơn, rèn tính cẩn thận, chặt chẽ, linh hoạt cho học sinh.
2.Thực trạng vấn đề nghiên cứu:
Qua những năm giảng dạy toán THCS, đặc biệt là những năm dạy hình học lớp
7 , đây là bộ môn vừa lạ, vưà khó với học sinh. Hơn nữa theo yêu cầu của bộ môn, chỉ
khi nào học sinh nắm được một cách bản chất , hệ thống khái niệm, tính chất , định lí
và các hệ quả SGK đồng thời có có kĩ năng, phân tích, tổng hợp trên hình vẽ mới có
khả năng đạt được yêu cầu chung của chương trình. Chính vì vậy, học sinh chẳng
những bỡ ngỡ, vận dụng kiến thức đã học chưa tốt mà còn hiểu vấn đề lẽ tự nhiên,
cứng nhắc. Đa số học sinh như bắt gặp một điều mới lạ, lo sợ, rất ngại khi học môn

này, một số học sinh say mê làm bài song đôi lúc còn lúng túng. Từ ý thức như vậy ,
nên học sinh hay bị hổng kiến thức, dẫn đến mất đà cho các năm học sau.
Để khắc sâu lý thuyết, rèn kĩ năng giải toán đồng thời gây hứng thú cho học sinh
trong khi học hình học 7, tôi đã có một số cải tiến và cách làm để khai thác bài toán
nhằm tìm ra lời giải hay, ngắn nhất và nhìn bài toán dưới nhiều góc độ cho một bài
toán hình học.

3. Mô tả giải pháp.
A. BÀI TOÁN:
Người thực hiên: Lê Thị Hồng Vân - Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
3
Cho tam giác cân ABC (AB=AC). Kẻ AH
⊥
BC (H
∈
BC), Từ B, C kẻ các đường
thẳng song song với AH chúng cắt đường thẳng thẳng đi qua A lần lượt tại M và N.
CMR: AM= AN.
Tóm tắt bài toán

Nhìn nhận của giáo viên:
Nhìn trên hình vẽ BMNC là hình thang do BM//CN(vì cùng song song với
AH) và H là trung điểm BC nên AH là đường trung bình của hình thang BMNC. Song
việc khai thác chứng minh A là trung điểm của MN đối với học sinh lớp 7 khi chưa
học vê tính chất hình thang thì quả là một điều không dễ và rất thú vị .
Dưới đây là cách nhìn nhận, hướng dẫn học sinh giải quyết bài toán này:
Người thực hiên: Lê Thị Hồng Vân - Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
4
AM=AN
có AB=AC

AHBC (HBC)
BM//AN; CN//AH
KL
GT
<1>. Định hướng giải quyết bài toán theo phương pháp tạo ra hai tam giác chứa
hai đoạn thẳng AM và AN sau đó chứng minh hai tam giác đó bằng nhau.
a, Một cách nhìn nhận trực tiếp:
Cách1:

Cách 2:
Người thực hiên: Lê Thị Hồng Vân - Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
5
Hạ ME
⊥
AH ( E
∈
AH)
AF
⊥
CN (F
∈
CN)
Ta có ME=BH ; AF=HC
Mà BH=HC
⇒
ME= AF
Lại có AF// ME
⇒

∠

NAF=
∠
AME
MAFANF
∆=∆⇒
⇒
AM=AN
Cách 3:


Cách 4:
Người thực hiên: Lê Thị Hồng Vân - Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
6
* Hạ ME
⊥
AH (E
∈
AH) ;
NF
⊥
AH (F
∈
AH)
Từ đó chứng minh cho 2 tam giác
vuông NAF và MAE bằng nhau suy
ra MA= NA
Qua A kẻ EF//BC dẫn đến
∆
AME=
∆

ANF
⇒
AM=AN
b, Một cách nhìn nhận gián tiếp:
Cách 1:
Cách 2:
Người thực hiên: Lê Thị Hồng Vân - Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
7
Kẻ AE
⊥
BM (E
∈
BM);
NF
⊥
AH( F
∈
AH);
Suy ra
∆
AEM=
∆
NFA( g.c.g).
suy ra AM=AN( 2 cạnh tương ứng)
Kẻ BE// MN; HF// MN
Dễ dàng chứng minh được :
BE= MA ; HF = AN(1)
Ta chứng minh:
∆
BEH=

∆
HFC(g.c.g)
⇒
BE=HF(2).
Từ (1) và (2) có AM=AN
Cách 3:
Cách 4:
Người thực hiên: Lê Thị Hồng Vân - Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
8
Qua H kẻ EF //MN
( E
∈
BM; F
∈
CN).
Dễ chứng minh được
EH=AM ; HF = AN(1)
có
∆
BEH=
∆
CFH( g.c.g)
⇒
HE=HF(2)
Từ (1) và (2) suy ra AM=AN.
Kẻ BE // MN( E
∈
AH)
CF//MN( F
∈

AH)
Dễ chứng minh được:
BE=AM; CF= AN( tính chất đoạn chắn) (1)
Ta chứng minh:
∆
BEH=
∆
CFH( g.c.g).
⇒
HE=HF(2)
Từ (1) và (2) suy ra AM=AN.
<2>. Nếu khai thác bài toán theo khía cạnh sử dụng định lí " đường thẳng đi qua
trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung
điểm của cạnh thứ ba" thì bài toán có thể giải quyết theo hướng sau.
Chứng minh định lí:
a, Một cách nhìn trực tiếp
Cách 1:
Người thực hiên: Lê Thị Hồng Vân - Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
9
Kẻ HE//MN( E
∈
BM)
CF // MN( F
∈
AH)
⇒
HE=MA; CF= AN(1)
Ta chứng minh được:
∆
BEH=

∆
HFC( g.c.g).
⇒
HE=HF(2).
Từ (1) và (2) suy ra: AM=AN
Hướng dẫn:
Từ C kẻ CE// AB cắt MN tại E
Vì MN//BC
CE//AB
⇒
CE= MB
Mà MA=MB nên CE= AM
⇒

∆
MAN=
∆
ECN(g.c.g)
⇒
AN=NC( 2 cạnh tương ứng)

Cách 2:
b, Cách nhìn nhận gián tiếp:
Cách 1:
Người thực hiên: Lê Thị Hồng Vân - Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
10
Hướng dẫn: Kẻ MD// BC cắt AH tại I
Ta có MI= BH; ID= HC
⇒
I là trung điểm MD

Xét
∆
MDN có
MI=ID
AI// ND
⇒
AM=AN
Kẻ ND //BC cắt AH tại I
Ta có DI= BH; NI= HC
Mà BH=HC nên ID= IN
Suy ra I là trung điểm của ND.
Xét tam giác NDM có :
NI= ID
IA// DM
⇒
AM=AN
Cách 2:
Cách 3:
Người thực hiên: Lê Thị Hồng Vân - Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
11
Hướng dẫn:
Kẻ BD // MN cắt AH tại I
Xét
∆
BCD có BH=HC; IH//DC
⇒
BI= ID
dễ chứng minh được BI= AM; ID= AN
nên AM=AN
Từ C kẻ CD//MN cắt AH tại I

Xét
∆
BCD có BH = HC, HI//BD
suy ra DI= IC.
Dễ dàng chứng minhđược
DI = MA; IC = AN
nên AM= AN
Cách 4:
<3>. Nếu khai thác bài toán theo khía cạnh kết hợp giữa phương pháp 1 và
phương pháp 2thì ta có thể có những cách sau:
Cách 1
Người thực hiên: Lê Thị Hồng Vân - Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
12
Nối M với C cắt AH tại I.
Xét
∆
BMC có
BH=HC ; HI// BN
⇒
MI=IC
Xét
∆
MNC có:
MI=IC
IA//NC
⇒
AM=AN
Nối B với N
- làm tương tự như cách 3
Cách 2:

Người thực hiên: Lê Thị Hồng Vân - Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
13
Nối B với A cắt CN tại D
Xét
∆
BCD có:
BH=HC
AH//DC
⇒
AB= AD
Xét
∆
AMB=
∆
AND (g.c.g)
⇒
AM=AN.
Chú ý : Có các cách giải sẽ là tương tự của nhau, nhưng tôi vẫn đưa ra để giúp học
sinh khai thác bài toán một cách triệt để.
B. BÀI TẬP THAM KHẢO.
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A, Kẻ CH
⊥
AB(H
∈
AB).
CMR:
∠
BCH=
BAC∠.
2

1
Hướng dẫn:
Cách 1: Nối A với trung điểm M của BC sau đó chứng minh
∠
BCH và
∠
MAC là hai
góc có cặp cạnh tương ứng vuông góc và cùng nhọn.
Cách 2: Trên tia đối của tia HB lấy điểm D sao cho HB= HD sau đó chứng minh
∠
BCD=
∠
BAC
Cách 3: Từ B kẻ Bx //CH sau đó chứng minh
∠
CBx =
BAC∠.
2
1
.
Cách 4: Từ H kẻ HN// BC sau đó chứng minh
∠
NHC=
BAC∠.
2
1
.
Người thực hiên: Lê Thị Hồng Vân - Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
14
Nối AC cắt BM tại D

Xét
∆
BDC có BH =HC; AH//BD
⇒
CA=AD
Dễ chứng minh
∆
ADM=
∆
ACN((g.c.g)
⇒
AM=AN
Cách 5:Từ A kẻ Ax//HC. Tính cụ thể
∠
BCH và
∠
BAC rồi so sánh
Cách 6: Từ B kẻ Bx
⊥
AB ( chứng minh tương tự cách 3).
Bài 2: Cho
∆
ABC; AB=AC ; M
∈
AB; N
∈
tia đối của tia CA sao cho MB=CN; . MN
cắt BC tại I . Chứng minh: IM=IN.
Hướng dẫn :
Cách 1: Kẻ Mx // AC cắt BC tại D.

∆
MDI=
∆
NIC(g.c.g)
Cách 2: Từ N kẻ Nx // AB ắt tia đối của tia CB tại E;
∆
MBI=
∆
INE(g.c.g)
Cách 3: Từ M kẻ Mx // BC cắt AC tại D ; My// AC cắt BC tại E
∆
NDM có CD=CN ; CI//MD
⇒
IM=IN
Cách 4: Từ N kẻ Nx//BC cắt tia đối của tia BA tại E; từ B kẻ By //AC cắt Nx tại D.
Cách 5: Từ M kẻ MH
⊥
BC ; NK
⊥
BC.
Bài 3. Cho
∆
ABC, đường cao AH, BK cắt nhau tại E ; O là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC . CMR: a, Khoảng cách từ O tới AC bằng nửa khoảng cách từ E tới B
b, Khoảng cách từ O tới BC bằng nửa khoang cách từ E tới A
Hướng dẫn:
Cách 1: Lấy I,J lần lượt là trung điểm EA và EB
Cách 2: Lấy R, S sao cho R, S lần lượt là điểm đối xứng của O qua AC và BC
Cách 3: KẻBx//AE và Ay//BE , Bx cắt Ay tại Q( hoặc lấy Q sao cho Q là điểm đối
xứng của C qua O).

Cách 4: Lấy D là trung điểm của EC.
Bài 4: Cho
∆
ABC; AB> AC;
∠
A=α , trên AB lấy D sao cho AC=BD. lấy E là trung
điểm của BC ; F là trung điểm của AD. Tính
∠
DEF?
Hướng dẫn:
Cách 1: Nối AE , lấy A' sao cho E là trung điểm AA'.
Cách 2: Lấy D' sao cho E là trung điểm của DD'
Cách 3: Nối D với C , lấy I là trung điểm của DC
Người thực hiên: Lê Thị Hồng Vân - Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
15
Cách 4: Lấy C' sao cho F là trung điểm CC'.
Cách 5: Lấy K là trung điểm AB.
4. Kết quả thực nghiệm
III. KẾT QUẢ THỰC HIỆN.
Trong quá trình dạy hình học 7 tôi áp dụng chuyên đề không chỉ dạy và bồi
dưỡng cho học sinh giỏi mà còn cho cả học sinh đại trà. Đặc biệt đối với học sinh khối
7, chứng minh hình học bước đầu đối với các em còn mới lạ, tương đối khó, đòi hỏi tư
duy cao nên lúc đầu nhiều em còn rất ngại học hình, hầu như học sinh chỉ có ý thức
làm bài được một cách đã thoả mãn với chính mình, rất ngại khó khi suy nghĩ cách
khác hoặc tiếp thu cách của bạn. Các em chưa thấy được tác dụng mạnh của việc nhìn
bài toán dưới nhiều góc độ sẽ củng cố được kiến thức của mình, rèn luyện được tính
tư duy sáng tao, tính kiên trì trong khi học toán.
Song qua một thời gian kiên trì áp dụng chuyên đề và dạy học sinh theo ý tưởng trên
đến nay hầu hết các em đã tham gia, hưởng ứng một cách tích cực, chủ động, vận
dụng kiến thức khi làm thành thạo một số dạng bài có liên quan từ dễ đến khó. Do đó

trong giờ học được các em hưởng ứng nhiệt tình, có nhiều phát hiện cách giải độc đáo.
Thực tế tôi đã sử dụng vào giảng dạy cho lớp 7B, 7D năm học 2008-2009 thì
kết quả cho thấy đều có ý thức thi đua nhau, rất hào hứng phát biểu các cách làm của
mình. Còn đối với bồi dưỡng học sinh giỏi thì 90% học sinh có thể tìm được 2 cách
trở lên.
Và một điều quan trọng hơn cả là sau khi áp dụng chuyên đề này tôi thấy tinh
thần học tập, khả năng tự nghiên cứu toán học của các em được phát huy một cách
tích cực không những nắm vững kiến thức trong SGK các em còn có cố gắng trong
việc tìm hiểu giải các bài toán khó sách nâng cao, báo toán học.
Qua thực tế tôi thấy , việc khai thác bài toán giúp cho học sinh định hướng tìm
ra lời giải 1 bài táon hình học là một vấn đề rất quan trọng và không thể thiếu được
trong khi giảng dạy moon hình học lớp 7. Chính vì vậy tôi cũng xin mạnh dạn có
những khuyến nghị mong PGD tổ chức nhiều hơn nữa các chuyên đề cụm liên trường,
Người thực hiên: Lê Thị Hồng Vân - Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
16
các chuyên đề, để giáo viên được trao đổi và học hỏi kinh nghiệm, tạo hiệu quả
giảng dạy-học tập cao nhất .
Hiện nay SGD không tổ chức thi HSG các môn cho khối 6-7-8 song tôi cũng mong
muốn PGD tổ chức thi HSG huyện các môn cho các khối này, không chỉ tạo động lực
cho các em học sinh say mê học môn mà mình yêu thích mà còn là động lực cho giáo
viên có cơ hội, ý thức tự học, tự nghiên cứu trang bị cho kiến thức của mình sâu rộng
hơn.
III. KẾT LUẬN
Sau một thời gian nghiêm túc thực hiện với sự giúp đỡ của đồng nghiệp tôi đã
hoàn thành chuyên đề: " Hướng dẫn tìm tòi, khai thác lời giải từ một bài toán" với
mong muốn tạo cho học sinảìen cho học sinh tính kiên trì và có khả năng sáng tạo khi
làm bài và thấy được sự phong phú, đa dạng của toán học. Do thời gian không cho
phép , kinh nghiệm cá nhân còn hạn chế nên chuyên đề không tránh khỏi nhiều khiếm
khuyết . Rất mong được sự chỉ bảo, góp ý của đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Vĩnh bảo-Ngày 6 tháng 2 năm 2009
Người viết:
Lê Thị Hồng Vân
Người thực hiên: Lê Thị Hồng Vân - Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
17
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1- Một số vấn đề đổi mới phương pháp dạy học môn toán môn toán ở trường THCS-
Bộ giáo dục và đào tạo
2- Sách giáo khoa toán 7 - sách bài tập toán 7 - Tập1
2. Tuyển chọn 400 bài tập toán 7- Nguễn Anh Dũng
4- Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán- Bùi Văn Tuyên
5- Nâng cao và phát triển toán 6- Vũ Hữu Bình.
6. Giúp em học giỏi toán cấp II- Lê Hải Châu
MỤC LỤC
Người thực hiên: Lê Thị Hồng Vân - Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
18
Trang
A. Đặt vấn đề 1
B. Phần nội dung 2
I. Cơ sở lí luận 2
II. Cơ sở thực tiễn 2
III. Các giải pháp thực hiện 3
PhầnA Bài toán 3
Phần B. Một số bài tập 12
III. Kết quả thực hiện 14
C. Kết luận 15
Tài liệu tham khảo 16
Người thực hiên: Lê Thị Hồng Vân - Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
19