SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT CHO HỌC SINH LỚP 9 TRƯỜNG THCS YÊN CÁT

A. ĐẶT VẤN ĐỀ.
Dạng toán về hàm số bậc nhất là một trong những dạng tốn cơ bản của
chương trình toán 9. Trong những năm gần đây dạng toán này chiếm tỉ lệ đáng
kể trong các đề thi tuyển sinh vào THPT.
Với mục đích thứ nhất là rèn luyện khả năng làm các bài tập cơ bản của
dạng toán, trước mỗi bài tập tôi đã cho học sinh nhắc lại các kiến thức cơ bản,
đồng thời người thầy giáo, cô giáo cũng phải gợi ý và cung cấp cho học sinh
cách giải. Trên cơ sở đó học sinh tìm ra cách giải hợp lý nhất. Phát hiện ra được
cách giải tương tự và khái quát phương pháp đường lối chung. Từ đó với mỗi
bài tốn cụ thể các em biết nên áp dụng bài toán tổng quát nào và áp dụng vào
các bài toán tương tự.
Điều mong muốn thứ hai đó là mong muốn đưa thêm các dạng tốn bồi
dưỡng cho học sinh khá giỏi. Cung cấp thêm cho các em các cách làm các dạng
toán mới, phức tạp hơn giúp các em có kiến thức tổng quát hơn về dạng toán
này, bổ trợ cho việc thi vào các trường THPT chuyên.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN:
Toán học là bộ môn khoa học được coi là chủ lực, bởi trước hết Tốn học
hình thành cho các em tính chính xác, tính hệ thống, tính khoa học và tính logic,
… vì thế nếu chất lượng dạy và học tốn được nâng cao thì có nghĩa là chúng ta
tiếp cận với nền kinh tế tri thức khoa học hiện đại, giàu tính nhân văn của nhân
loại.
Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụng
thiết bị, đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp dạy
và học tốn nói riêng trong trường THCS hiện nay là tích cực hố hoạt động học
tập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo của học sinh, khơi dậy và phát triển khả
năng tự học, nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện
và hình thành kĩ năng vận dụng kiến thức một cách khoa học, sáng tạo vào thực
tiễn.
Trong q trình giảng dạy tốn cần thường xun rèn luyện cho học sinh
các phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa lớn lao đối với việc học tập, rèn luyện và tu

dưỡng trong cuộc sống của học sinh.
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ:
Trong chương trình Đại số lớp 9, dạng toán về hàm số bậc nhất là một
trong những nội dung quan trọng, việc áp dụng của dạng toán này rất phong phú,
đa dạng. Qua thực tế giảng dạy nhiều năm, cũng như qua việc theo dõi kết quả
bài kiểm tra, bài thi của học sinh lớp 9, kết quả thi học giỏi cấp huyện, kết quả
1


thi vào các trường THPT chuyên, việc làm các bài tốn về hàm số bậc nhất là
khơng khó, nhưng vẫn còn nhiều học sinh làm sai hoặc chưa thực hiện được,
chưa nắm vững chắc các phương pháp giải, chưa vận dụng kĩ năng biến đổi một
cách linh hoạt, sáng tạo vào từng bài toán cụ thể.
Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh
tháo gỡ và giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời
nâng cao chất lượng bộ môn nên bản thân đã chọn đề tài:“ RÈN LUYỆN CÁC
DẠNG TOÁN VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT CHO HỌC SINH LỚP 9 TRƯỜNG
THCS YÊN CÁT ”
1) Thuận lợi: Năm học 2011 - 2012, 2012 – 2013, 2013 - 2014 được sự
chỉ đạo của Ban giám hiệu nhà trường trong các hoạt động đặc biệt trong họat
động chuyên môn, luôn tạo mọi điều kiện cho giáo viên phấn đấu, học tập và
nghiên cứu, phát huy các phương pháp dạy học đổi mới sáng tạo nhất. Bên cạnh
đó các mơn học khác đã có học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh nên nhà trường
luôn khuyến khích các giáo viên dạy tốn và học sinh phải năng động tìm tịi, tư
duy sáng tạo trong việc dạy và học toán. Mặt khác các cấp uỷ Đảng chính
quyền, các bậc phụ huynh, Hội khuyến học đã có phần quan tâm động viên hơn
đối với sự nghiệp giáo dục của nhà trường.
2) Khó khăn: Bên cạnh những mặt thuận lợi cũng có nhiều những khó
khăn như: Do điều kiện khách quan của nhà trường chưa thực hiện việc dạy học
buổi 2 thường xuyên, các lớp bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi theo một trình tự

có hệ thống từ các lớp nhỏ đến lớp lớn chưa được liên tục. Phòng thư việc của
nhà trường còn nghèo nàn, do đó việc tìm tịi sách đọc là vấn đề hạn chế. Chính
vì vậy để các em học tốt mơn tốn, làm tốt các dạng tốn khác nhau thì giáo viên
cần phải phân chia các dạng bài tập và hướng dẫn cụ thể cho các em, điều đó càng
khiến tơi tâm huyết tìm tịi nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm này.
III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN.
1) Điều tra cơ bản.
Qua thời gian giảng dạy trực tiếp trên lớp, dạy học buổi 2 tại trường, bồi
dưỡng cho học sinh khá giỏi các khóa học sinh đã ra trường (khi chưa áp dụng
đề tài tơi đưa ra), tơi thấy chỉ có 10% các em làm được đa số các dạng toán về
hàm số bậc nhất (có các bài tập khó), 40% học sinh làm được các dạng toán cơ
bản về hàm số bậc nhất và 50% cịn lại khơng làm hết được các dạng toán cơ
bản về hàm số (chỉ làm được một vài dạng).
2) Quá trình thực hiện: Xuất phát từ điều mong muốn học sinh nắm
vững cách làm các dạng tốn về hàm số bậc nhất tơi đưa ra các dạng toán về
hàm số bậc nhất sau:
2


Cho hai hàm số y = ax + b có đồ thị là (d1) và y = a'x + b' có đồ thị là (d2)
(a, a' ≠ 0 )
2.1. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP:
1. Vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b:
Bước 1: Xác định giao điểm với trục tung : A(0;b)
(cho x = 0 rồi thay vào hàm số để tìm giá trị của y)
−b

Bước 2: Xác định giao điểm với trục hoành: B( a ;0 )
( cho y = 0 rồi thay vào hàm số tìm được x)
Bước 3: Vẽ điểm A, B trên hệ trục tọa độ Oxy. Đường thẳng qua A và B

là đồ thị cần vẽ.
Lưu ý: Để vẽ đồ thị hàm số y = ax + b . Ta vẽ hai đồ thị y1 = ax + b với
x≥

−b
−b
và đồ thị y2 = −ax − b với x <
hoặc xét giá trị đặc biệt
a
a

2. Đồ thị (d1) đi qua điểm A(x0;y0) ( hay điểm A (x0;y0) thuộc đồ thị )
⇔ y0 = ax0 + b
3. Hàm số y = ax + b có:
a>0 ⇒
+ Hàm số đồng biến
+ Đường thẳng tạo với t ia Ox góc nhọn
a<0 ⇒
+ Hàm số nghịch biến
+ Đường thẳng tạo với t ia Ox góc tù
4. Các vị trí giữa hai đường thẳng (d1) và (d2)
(d1) cắt (d2) ⇔ a ≠ a'
 a = a,

(d1 ) / /(d2 ) ⇔ 
,
b ≠ b

 a = a,


⇔
(d1) trùng (d2)
,
b = b

(d1) ⊥ ( d2 ) ⇔ a . a' = -1

5. Muốn tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d1) và (d2) ta giải hệ
phương trình sau:
a x + b = y

 ,
,
a x + b = y


Nghiệm (x0;y0) tìm được là tọa độ giao điểm của hai

đường thẳng d1 và d2
6. Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(xa;ya) và B(xb;yb):
Bước 1: Thay tọa độ hai điểm A, B vào đường thẳng y = ax + b ta được
3


 a x a + b = ya

,
,
 a x b + b = yb


hệ phương trình : 

Bước 2: Giải hệ phương trình ( ẩn a và b ) ta có: a = a0 và b = b0
Vậy phương trình đi qua hai điểm A(xa;ya) và B(xb;yb) là: y = a0 x + b0
7. Muốn tìm điều kiện để (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục tung ta giải
hệ phương trình:

 a ≠ a,


,
b = b


8. Muốn tìm điều kiện để (d1) cắt (d2) tại một điểm nằm trên trục hoành
ta tiến hành theo 3 bước sau:
 −b 
;0 ÷
 a 
 − b, 
Bước 2: Tìm giao điểm của (d2) với trục hoành: B  , ;0 ÷
 a


Bước 1: Tìm giao điểm của (d1) với trục hồnh: A 

−b −b
Bước 3: Tìm điều kiện để a ≠ a' và giải phương trình: = ,
a

,

a

9. Tìm điều kiện để (d1) cắt (d2) tại một điểm có hồnh độ là m
Bước 1: Tìm điều kiện để a ≠ a' (*)
Bước 2: Thay x = m vào (d1) hoặc (d2) để tìm y = y0
Bước 3: Thay x = m và y = y0 vào phương trình đường thẳng cịn
lại. Kết hợp với (*) ta có điều kiện cần tìm.
10. Tìm điều kiện để (d1) cắt (d2) tại điểm có tung độ
y0: Bước 1: Tìm điều kiện để a ≠ a' (*)
Bước 2: Thay y0 vào (d1) hoặc (d2) ta tìm được x0 tương ứng
Bước 3: Thay x = x0 và y = y0 vào đường thẳng còn lại. Kết hợp
với (*) ta có điều kiện cần tìm.
11. Tìm điều kiện để (d1) cắt (d2) tại điể m thuộc góc phần tư thứ nhất:
a x + b = y

,
,
a x + b = y


Bước 1: Giải hệ phương trình: 

ta được nghiệm

(x0;y0)
 x0 > 0


Bước 2: Tìm điều kiện thỏa mãn  y0 > 0

,
a ≠ a

12. Tìm điều kiện để (d1) cắt (d2) tại điể m thuộc góc phần tư …
Tương tự bài toán 11, chỉ thay đổi bước 2
4


 x0 < 0

+ Góc phần tư thứ hai  y0 > 0

,
a ≠ a
 x0 < 0

+ Góc phần tư thứ ba  y0 < 0

,
a ≠ a
 x0 > 0

+ Góc phần tư thứ tư  y0 < 0

,
a ≠ a

13. Tìm điều kiện để (d1) cắt (d2) tại 1 điểm có tọa độ nguyên:

a x + b = y

,
,
a x + b = y


Bước 1: Giải hệ phương trình: 

ta được nghiệm (x0;y0)

Bước 2: Tìm điều kiện để x0 ∈ Z , y0 ∈ Z và a ≠ a'
14. Chứng minh đồ thị y = ax + b luôn đi qua một điể m cố định với mọi
tham số m:
Bước 1: Giả sử đồ thị hàm số y = ax+b luôn đi qua điể m A(x0;y0) với mọi
m
Bước 2: Thay A(x0;y0) vào phương trình y = ax + b ta được y0 = ax0 + b (*)
Bước 3: Biến đổi (*) về dạng: A . m + B = 0 ( A, B là các biểu thức chứa
x0 và y0)
( Xem m là ẩn ; A, B là các hệ số thì phương trình A . m + B = 0 luôn
luôn đúng khi A = 0 và B = 0 )
A = 0
ta tìm được x0 và y0.
B = 0

Bước 4: Giải hệ phương trình: 

15. Tìm m để 3 đường thẳng (d1): y = ax + b
(d2): y = a'x + b'
(d3): y = a"x + b"

đồng quy ( cùng đi qua một điểm )
Bước 1: Tìm điều kiện để a ≠ a' ≠ a"
Bước 2: + Nếu b = b' thì ta tìm điều kiện m để b" = b hoặc b" = b'
( trường hợp hoặc b' = b" hoặc b = b" ta tìm tương tự )
+ Nếu b ≠ b' ≠ b". Ta giải hệ phương trình khơng chứa tham số
m
5


a x + b = y

,
,
a x + b = y


VD: Giải hệ phương trình 

ta được nghiệm (x0;y0)

Thay (x0;y0) vào (d3) được y0 = a"x0 + b". Từ đó tìm được m
16. Tìm m để đồ thị hàm số y = ax + b tạo với hai trục tọa độ tam giác
cân:
Bước 1: Tìm giao điểm với trục tung A(0:b), giao điểm với trục
−b



hồnh  a ;0 ÷




Bước 2 : Giải phương trình b =

−b
ta tìm được m
a

17. Tìm điều kiện của m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường
thẳng y = ax + b (d) có giá trị lớn nhất:
Bước 1: Tìm điểm cố định A(x0;y0) mà đồ thị ln đi qua
(theo bài tốn 14)
Bước 2: Tìm giao điểm của (d) với trục tung B(0:b)
−b



Tìm giao điể m của (d) với trục hoành C  a ;0 ÷



Bước 3: Vì khoảng cách từ O đến đường thẳng lớn nhất khi OA ⊥ BC.
Nên áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OBC với đường cao
1
1
1
=
+
(*)
2

2
OA
OB OC 2

OA có:

Tính OA, OB, OC và thay vào hệ thức (*) ta tìm được m.
Lưu ý: + Ở bước 3 ta có thể lập phương trình đường thẳng OA . Từ đó tìm
điều kịên của m để đường thẳng OA vng góc với đường thẳng y = ax + b
+ Ta có thể tính OA, OB, OC bằng định lý Pi-ta-go hoặc vận dụng cơng
thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng tọa dộ Oxy
VD: A(xa;ya) và B(xb;yb) thì AB = ( xa − xb ) 2 + ( ya − yb ) 2

A(xa; ya)
B(xb; yb)
O
6


18. Tìm điều kiện của tham số m để 3 điểm A(xa;ya), B(xb;yb), C(xc;yc)
thẳng hàng:
Bước 1: Lập phương trình đường thẳng AB ( hoặc AC, BC ) theo bài toán
6.
Bước 2: Thay tọa độ điểm còn lại vào đường thẳng vừa lập ta tìm được giá
trị của tham số m.
2.2. CÁCH TIẾN HÀNH
Khi dạy về chuyên đề này với mỗi tiết dạy tôi đưa ra từ một đến hai dạng
bài tập theo thứ tự:
- Nêu phương pháp làm bài tập tổng quát.
- Đưa ra các ví dụ minh họa để làm rõ phương pháp, cách làm dạng bài

tập này: có thể giáo viên cùng học sinh làm bài tập (giáo viên định hướng, làm
các bước cơ bản rồi yêu cầu học sinh làm tiếp), hoặc giáo viên hướng dẫn học
sinh trong một số bước biến đổi cơ bản rồi yêu cầu học sinh làm bài, sau đó giáo
viên kiểm tra lại.
- Ra thêm bài tập yêu cầu học sinh tự làm.
Sau từ ba đến bốn tiết dạy tiến hành luyện tập để ơn tập các dạng tốn vừa
học nhằm nắm bắt mức độ tiếp thu, ghi nhớ, áp dụng của học sinh, từ đó có
hướng điều chỉnh mức độ bài tập, cách truyền đạt, thời gian luyện tập từng dạng
cho phù hợp.
Trong quá trình làm các bài tập giáo viên có thể đưa ra thêm các cách giải
khác nhau phù hợp với bài tập để bài toán được giải quyết một cách ngắn gọn,
khoa học, có thể khuyến khích học sinh tìm tịi thêm cách làm khác trước khi
giáo viên đưa cách giải khác.
2.3. MỘT SỐ VÍ DỤ:
1. Cho hà m số y = 2mx + m - 1 có đồ thị là (d1)
Tìm m để:
a. Hàm số đồng biến ; hàm số nghịch biến ?
b. (d1) đi qua điểm A(1;2)?
c. (d1) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2?
d. (d1) cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ bằng -1?
e. (d1) cắt đường thẳng y = x + 1 tại một điểm trên trục tung; trên trục hoành ?
f. (d1) cắt đường thẳng y = 3x - 2 tại điể m có hồnh độ bằng 2?
g. ( d1) cắt đường thẳng y = x -5 tại điểm có tung độ bằng -3?
h. (d1) cắt đường thẳng 2x - y = 1?
7


1
3

i. (d1) song song với đường thẳng y = − x + 1 ?
j. (d1) trùng với đường thẳng -2x - y = 5 ?
k. (d1) vng góc với đường thẳng x - y = 2 ?
2. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d1): y = 3x - 2
(d2): 2y - x =
1
3. Cho hai đường thẳng (d1) : y = (m - 1)x + 2m (d2) : y = mx + 2
Tìm m để (d1) cắt (d2) tại một điể m thuộc góc phần tư thứ hai
4. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d): y = mx - m + 1
lớn nhất ?
5. Tìm m để 3 đường thẳng sau đồng quy:
(d2): y = x – 1
(d3): y = (m - 1)x + 2
(d1) : y = 2x – 3
Hướng dẫn giải:
1. a. Ta có : a = 2m
Hàm số đồng biến ⇔ 2m > 0 ⇔ m > 0
Hàm số nghịch biến ⇔ 2m < 0 ⇔ m < 0
b. (d1) đi qua điểm A(1;2) ⇔ 2 = 2m.1 + m – 1 ⇔ 3m = 3 ⇔ m = 1
c. (d1) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2 ⇔ b = -2
⇔ m – 1 = -2 ⇔ m = -1
d. (d1) cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ bằng -1
−

⇔

−

m −1
= −1 ( m ≠ 0 ) ⇔ − m + 1 = −2 m ⇔ m = −1

2m

b
= −1
a

⇔

e. +) (d1) cắt đường thẳng y = x + 1 tại một điểm trên trục tung:
(d1): y = 2mx + m - 1 (m ≠ 0)
(d2): y = x + 1
1

2 m ≠ 1
m ≠
⇔
(d1) cắt (d2) tại điểm trên trục tung ⇔ 
2 ⇔m=2
m − 1 = 1  m = 2


+) (d1) cắt đường thẳng y = x + 1 tại một điểm trên trục hoành:
1
2

(d1) cắt đường thẳng y = x + 1 ⇔ 2m ≠ 1 ⇔ m ≠ (*)
Đường thẳng y = x + 1 cắt trục hoành tại điểm B(-1; 0)
Để (d1) cắt đường thẳng y = x + 1 tại một điểm trên trục hoành thì điểm
B ∈ (d1) ⇔ 0 = 2m.(-1) + m – 1 ⇔ m = -1 (thỏa mãn điều kiện(*) )
Vậy (d1) cắt đường thẳng y = x + 1 tại một điểm trên trục hoành khi m = -1

f. (d1) cắt đường thẳng y = 3x - 2 tại điể m có hồnh độ bằng 2
3
2

(d1) cắt đường thẳng y = 3x - 2 ⇔ 2m ≠ 3 ⇔ m ≠ (*)
8


Gọi điể m có hồnh độ bằng 2 là A(2;y0)
Vì A(2;y0) thuộc y = 3x - 2 nên y0 = 3.2 - 2 = 4 . Do đó A(2;4)
Vì A(2;4) thuộc (d1) nên 4 = 2m . 2 + m - 1 ⇔ 5m = 5 ⇔ m = 1
(thỏa mãn điều kiện(*) )
Vậy (d1) cắt đường thẳng y = 3x - 2 tại một điểm có hồnh bằng 2 khi m = 1.
g. ( d1) cắt đường thẳng y = x -5 tại điểm có tung độ bằng -3:
1
2

(d1) cắt đường thẳng y = x - 5 ⇔ 2m ≠ 1 ⇔ m ≠ (*)
Gọi điể m có tung độ bằng -3 là B(x0; -3)
Vì B(x0; -3) thuộc y = x - 5 nên -3 = x0 - 5 ⇔ x0 = 2 . Do đó B(2; -3)
Vì B(2; -3) thuộc d1 nên -3 = 2m . 2 + m - 1 ⇔ 5m = -2 ⇔ m = −2 5
(thỏa mãn điều kiện(*) )
Vậy ( d1) cắt đường thẳng y = x -5 tại điểm có tung độ bằng -3 khi m=

−2
5

h. (d1): y = 2mx + m - 1 cắt đường thẳng 2x - y = 1 ⇔ y = 2x – 1
khi 2m ≠ 2 ⇔ m ≠ 1
1

3

i. (d1): y = 2mx + m - 1 song song với đường thẳng y = − x + 1 khi
1
1


1
2 m = −
m = −
3 ⇔
6 ⇔ m=−

6
m − 1 ≠ 1
m ≠ 2



j. (d1): y = 2mx + m - 1 trùng với đường thẳng -2x - y = 5 ⇔ y = -2x - 5
 2 m = −2
 m = −1
⇔
(v« nghiƯm )
 m − 1 = −5
 m = −4

khi 

Vậy (d1) không thể trùng với với đường thẳng -2x - y = 5.

k. (d1) vng góc với đường thẳng x - y = 2:
(d2) : x - y = 2 ⇔ y = x - 2
(d1): y = 2mx + m – 1
(d1) ⊥ ( d2) ⇔ 2m. 1 = -1 ⇔ m = −1 2
2. Tọa độ giao điểm của 2 đồ thị là nghiệ m của hệ phương trình:
 y = 3x − 2
3 x − y = 2
x = 1
⇔
⇔

2 y − x = 1
− x + 2 y = 1  y = 1

Vậy tọa độ độ giao điểm của (d1): y = 3x – 2 ; (d2): 2y - x = 1 là A(1 ; 1)
3. Cho hai đường thẳng (d1): y = (m - 1)x + 2m (d2): y = mx + 2
Tọa độ giao điểm của 2 đồ thị là nghiệ m của hệ phương trình:
9


 y = ( m − 1) x + 2 m
 x = 2m − 2

⇔

2
 y = mx + 2
 y = 2m − 2m + 2


Để (d1) cắt (d2) tại một điể m thuộc góc phần tư thứ hai thì
m < 1
 x = 2m − 2 < 0

1 3


y = 2m 2 − 2 m + 2 > 0 ⇔ m 2 − m + + > 0(∀m) ⇔ m < 1

4 4
m − 1 ≠ m


 −1 ≠ 0


4. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d): y = mx - m + 1
lớn nhất
Tìm điể m cố định thuộc (d): y = mx - m + 1
Giả sử A(x0;y0) thuộc (d): y = mx - m + 1 nên:
y0 = mx0 - m + 1 ⇔ m(x0 -1) - y0 + 1 = 0 (*)
x −1 = 0

x = 1

0
0
Phương trình (*) đúng với mọi giá trị của m ⇔ − y + 1 = 0 ⇔  y = 1
 0
 0

Vậy đường thẳng y = mx - m + 1 luôn đi qua điểm cố định A(1;1)
b

m −1

Gọi giao điể m của (d) với trục hoành là B( − a ; 0) hay B( m ; 0)
Gọi giao điể m của d với trục tung là C(0;b) = C(0;1-m)
Ta có:

OA2 = 12 + 12 = 2 OB2 =

(m − 1)2
m2

OC2 = (1 – m)2

Khoảng cách từ O đến đường thẳng (d) lớn nhất khi d ⊥ OA tại A
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông OBC, đường cao OA có:
1
1
1
=
+
2
2
OA
OB OC 2

2

⇔

1
m
1
=
+
2
2 (m − 1) (1 − m)2

⇔ m2 + 2m + 1 = 0 ⇔ (m + 1)2 = 0 ⇔ m = -1

Vậy với m = -1 thì khoảng cách từ O đến đường thẳng (d): y = mx - m +
1 lớn nhất.
5. Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là nghiệm của hệ phương trình:
y = 2x − 3 x = 2
⇔

y = x −1
y = 1

Để (d1), (d2) và (d3) đồng quy thì đường thẳng (d3): y = (m - 1)x + 2m phải đi
qua điểm (2;1) ⇔ 1 = (m – 1).2 + 2m ⇔ 4m = 3 ⇔ m = 3 4
Vậy với m = 3 4 thì d1, d2 và d3 đồng quy.
2.4. Bài tập tương tự:
10


Để học sinh nắm vững các dạng toán đã được nêu ở trên thì giáo viên cần

phải tìm tịi, cung cấp thêm cho học sinh nhiều bài toán để học sinh rèn luyện,
những bài tập rèn luyện là những bài toán tương tự với những bài toán đã làm và
các dạng toán mà giáo viên đã hệ thống cho học sinh.
1. Cho đường thẳng (d1): y = ax + b. Xác định giá trị a, b biết rằng (d1)
song song với đường phân giác của góc phần tư thứ hai và đi qua điểm A(1;2)
2. Chứng minh rằng ba đường thẳng sau đồng quy:
(d1): y = x + 1

(d2): y = 3x - 2

1

(d3): y = 2x - 2
3. Tìm a, b để hai dường thẳng (a + 2)x - by = 2 và ax - y = b cắt nhau tại
điểm M(2;-1)
4. Tìm m để ba điểm sau thẳng hàng:
A(2;1)
B(-2;2)
C(m - 1; m)
5. Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = 3mx = 2m - 1 luôn đi qua một
điểm cố định A với mọi m. Tìm tọa độ của điểm A.
6. Cho hai đường thẳng (d1): y = (m2 + 2m)x và (d2): y = ax (a ≠ 0)
a. Định a để (d2) đi qua A(3;-1)
b. Tìm các giá trị của m để (d1) ⊥ (d2) (ở câu a)
7. Cho hà m số (d1): y = ax + b
a. Tìm a và b biết đồ thị hàm số đi qua M(-1;1) và N(2;4)
b. Xác định m để đồ thị hàm số (d2): y = (2m2 - m)x + m2 + m là
một đường thẳng song song với đường thẳng (d1) tìm được ở câu c. Vẽ
(d2) ứng với m vừa tìm được.
d. Gọi A là điểm trên đường thẳng (d1) có hồnh độ bằng 2.

Tìm phương trình đường thẳng (d3) đi qua A và vng góc với 2
đường thẳng (d1), (d2). Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2)
8. Cho điể m A(1;1) và hai đường thẳng (d1): y = x - 1
(d2): y = 4x - 2
Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt các đường thẳng (d1), (d2)
tạo thành tam giác vng.
9. Tìm m để hai đường thẳng y = x - 1 và y = 2mx + 1 cắt nhau tại điểm
có tung độ là 3
10.Tìm m để hai đường thẳng y = mx + 1 và y = 2x + 3 cắt nhau tại
một điểm có tọa độ nguyên
11. Cho hà m số y = x + 1 − x
a. Vẽ đồ thị hàm số.
b. Tìm GTNN của hà m số
12. Trên một hệ trục tọa độ vng góc có độ dài đơn vị là cm.
a. Vẽ đồ thị hàm số y = x + 2 + 3 − x
b. Gọi d là đường thẳng có phương trình y = m cắt đồ thị
11


y = x + 2 + 3 − x thành một hình thang. Tìm m để diện tích hình thang bằng

28cm

2

MỞ RỘNG CÁC DẠNG TOÁN KHI ĐÃ HỌC VỀ HÀM SỐ BẬC HAI

y = a x 2 ( a ≠ 0 ) CĨ ĐỒ THỊ LÀ (P) VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Trong một số đề thi vào THPT của một số năm học có đưa ra các dạng bài

tập về hàm số liên quan đến cả hàm số bậc nhất một ẩn và hàm số bậc hai
y = a x 2 ( a ≠ 0 ) . Để giải được các dạng bài tập này học sinh cần được cung cấp một
số dạng toán và các phương pháp giải cơ bản.
Q trình dạy các dạng tốn này cũng được tiến hành tương tự như dạy
các dạng toán đã đưa ra ở trên. Sau đây là một số dạng toán liên quan giữa hàm
2
số bậc nhất một ẩn và hàm số bậc hai y = a x ( a ≠ 0 ) cùng cách giải.
* MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP:
1. Chứng minh đường thẳng (d): y = ax + b luôn cắt (P) tại hai điể m phân biệt
2

Bước 1: Lập phương trình hồnh độ giao điểm: ax = ax + b
⇔ ax2 - ax - b = 0

Bước 2: Khẳng định (1) có ∆ > 0 ⇔ (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
2. Tìm giao điể m của (P) và đường thẳng y = ax + b

(1)

2

Bước 1: Lập phương trình hồnh độ giao điểm: ax = ax + b
⇔ ax2 - ax - b = 0

(2)

Bước 2: Giải phương trình (2)
- Phương trình (2) có một nghiệm ( hoặc hai nghiệ m ) thay vào (P)
hoặc phương trình đường thẳng y = ax + b ta được tọa độ giao điể m
của đường thẳng và (P).

3. Tìm m để (P) tiếp xúc với đường thẳng y = mx + b
2

Bước 1: Lập phương trình hồnh độ giao điểm: ax = mx + b
⇔ ax2 - mx - b = 0

2
2
Bước 2: Lập ∆ = (-m) + 4ab và tìm m với m + 4ab = 0
4. Viết phương trình đường thẳng đi qua A ( x0 ; y0 ) và tiếp xúc với (P):
Bước 1: Thay A(x0;y0) vào phương trình đường thẳng y = mx + n ta
được:
y0 = mx0 + n (1)
12


Bước 2: Lập phương trình hồnh độ giao điểm:
2
2
ax = mx + n ⇔ ax – mx - n = 0 có

∆

=0 ⇔

∆

2

= (-m) + 4an = 0 (2)

=
+
 y0   mx0   n

Bước 3: Từ (1) và (2) giải hệ phương trình: 

2
 m + 4an = 0

tìm được m; n.

Từ đó suy ra đường thẳng cần tìm
5. Tìm các điểm của (P) cách đều hai trục tọa độ Ox, Oy:
Bước 1: Gọi A(xa;ya) là điểm thuộc (P) và cách đều hai trục tọa độ. Khi
đó xa = ya
2
2
Bước 2: thay vào (P) được ya=a.x a 2 ⇔ ya = a. xa ⇔ xa = a. xa (5)
Giải phương trình (5) ta tìm được nghiệm xa
Từ đó suy ra các điểm cách đều hai trục tọa độ Ox, Oy là A(xa;ya)
6. Chứng Minh (P) luôn cắt đường thẳng y = mx + b tại một điểm cố định với
mọi giá trị của m:
Cách 1:
Bước 1: Lập phương trình hồnh độ giao điểm:

2

2

ax = mx + b ⇔ ax - mx - b = 0

(6)
Bước 2: Giải hoặc chỉ ra được phương trình (6) ln ln có một
nghiệm x1 = k với k là hằng số và suy ra giá trị y1 tương ứng.
Từ đó kết luận (P) ln cắt đường thẳng y = mx + b tại điểm (k;y1)
Cách 2:
Bước 1: Tìm điểm cố định A(x0;y0) của đường thẳng y = mx + b
Bước 2: Thay tọa độ A(x0;y0) vào (P) nếu thỏa mãn thì kết luận (P) ln
cắt đường thẳng y = mx + b tại một điểm cố định với mọi m.
7. Tìm tọa độ điểm A thuộc (P) sao cho tại A đường tiếp tuyến của (P) song
song với (d): y = a’x + b:
Bước 1: Tìm phương trình đường thẳng d1 song song với đường thẳng (d)
có dạng: d1: y = a’x + b’
Bước 3: Vì d1 tiếp xúc với (P) nên phương trình hồnh độ giao điểm:
2 ⇔
2
ax – a’x – b’ = 0 có nghiệ m kép (7)

a’x + b’ = ax

⇔

∆

2

= (-a’) + 4ab' = 0
Giải phương trình (8) và (7) tìm được tọa độ điểm A

(8)

* MỘT SỐ VÍ DỤ
Bài 1: Cho (P): y = x2
(d): y = -x + 2
13


Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P).
Giải
- Phương trình hồnh độ điểm chung của (P) và (d) là: x2 = -x + 2
⇔ x2 + x - 2 = 0
- Giải phương trình ta được: x1 = 1; x2 = -2
x1 = 1 ⇒ y1 = 12 = 1
x2 = -2 ⇒ y2 = (-2)2 = 4
Vậy toạ độ giao điểm của (d) và (P) là: (1; 1); (-2; 4)
Bài 2: Cho Parabol (P) y = ax2 tiếp xúc với đường thẳng (d): y = x - 1
a. Xác định hệ số a
b. Tìm toạ độ tiếp điểm của (d) và (P)
Giải
a. Phương trình hồnh độ của (P) và (d): ax2 = x - 1
⇔ ax2 – x + 1 = 0
∆ =1 - 4a
(P) tiếp xúc (d) ⇔ ∆ = 0 ⇒ 1 – 4a = 0 ⇒ a =

1
4

1
4

2

⇒ Phương trình (P): y = x

b. Phương trình hồnh độ điểm chung của (P) và (d) là:

1 2
x − x +1 = 0
4

x2 − 4 x + 4 = 0
∆' = 4 − 4 = 0 ⇒ x1 = x2 = 2
1
⇒ y = .22 = 1
4

Toạ độ tiếp điểm là: (2; 1)
Bài 3: Cho Parabol: y = x2. Xác định hệ số n để đường thẳng: y = 2x + n tiếp xúc
với (P). Tìm toạ độ tiếp điểm
Giải
- Phương trình hồnh độ điểm chung của (P) và (d ) là:
x2 = 2x + n ⇔ x2 - 2x – n = 0
∆' = 1 + n
(P) và (d) tiếp xúc ⇔ ∆' = 0 ⇒ 1 + n = 0 ⇒ n = −1

- Lúc đó phương trình đường thẳng là: y = 2x - 1
- Phương trình hồnh độ điểm chung là: x2 - 2x + 1 = 0
- Giải phương trình được: x1 = x2 = 1
⇒ y = 12 = 1
Toạ độ tiếp điểm là: (1; 1)
Bài 4: Cho Parabol: y = x2 và đường thẳng (d): y = x + n
a. Với giá trị nào của n thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

14


b. Xác định toạ độ giao điểm của (P) và (d) nếu n = 6
Giải
- Phương trình hồnh độ điểm chung của (P) và (d) là:
x2 = x + n ⇔ x2 – x – n = 0
∆=1 + 4n
- Do (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt ⇒ ∆ > 0
⇒ 1 + 4n > 0 ⇒ n > −

1
4

b. Thay n = 6 ta được: y = x + 6 (d)
- Phương trình hồnh độ điểm chung của (P) và (d ) là:
x2 = x - 6 ⇔ x2 – x – 6 = 0
∆=1 + 24 = 25
1+ 5
1− 5
= 3; x2 =
= −2
2
2
⇒ y1 = 9; y2 = 4
x1 =

Khi n = 6 toạ độ giao điểm là: (3; 9) và (-2; 4)
Bài 5: Cho (P): y = x2 lập phương trình đường thẳng (d) song song với đường
thẳng (d1): y = 2x và tiếp xúc với (P).

Giải
- Phương trình có dạng: y = ax + b
- Vì (d) song song d1 ⇒ a = 2
- Vì (d) tiếp xúc (P) ⇒ Phương trình hồnh độ điểm chung của (d) và (P) là:
x2 = 2x + b ⇔ x2 - 2x - b = 0
∆' = 1 + b
- Vì tiếp xúc ⇒ ∆'=0 ⇒ b = -1
Bài 6: Cho (P): y = x2 lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1;0) và tiếp
xúc với (P)
Giải
- Phương trình có dạng: y = ax + b
- Phương trình hồnh độ điểm chung của (P) và (d):
x2 = ax + b ⇔ x2 – ax – b = 0
∆=a2+4b
Vì (P) và (d) tiếp xúc ⇒ ∆ = 0 ⇒ a2 + 4b = 0(1)
(d) đi qua điêmr A (1;0) ⇒ a + b = 0 (2)
a + b = 0

Từ (1) và (2) ta có hệ: 

2
a + 4b = 0
a = 0 a = 4
;
Giải hệ ta được: 
b = 0 b = −4

Phương trình đường thẳng (d) là: y= 0; y = 4x - 4
15

x2
Bài 7: Cho (P): y = . Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A(-1;-2) và
4

tiếp xúc với (P). Tìm toạ độ tiếp điểm
Đáp số: y = x-1 toạ độ tiếp điểm là: (2;1)
y = -2x - 4 toạ độ tiếp điểm là: (-4;4)
Ta có thể vận dụng bài tốn lập phương trình đường thẳng và bài tốn tìm
giao điểm của hai đồ thị để giải bài toán sau
1
2

Bài 8: Cho (P): y = x 2 và điểm M(-1;2). Chứng minh đường thẳng đi qua điểm
M có hệ số góc là k ln cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi k.
Giải
- Phương trình đường thẳng có dạng: y = ax + b
- Vì hệ số góc là k ⇒ a = k
- Vì đường thẳng đi qua M(-1;2) ⇒ -k + b = 2 ⇒ b = 2 + k
- Đường thẳng đã cho là: y = kx + 2 + k
(d)
- Phương trình hồnh độ điểm chung của (d) và (P) là:
1 2
x = kx + 2 + k
2
⇔ x 2 − 2kx − 4 − 2k = 0
∆' = k 2 + 4 + 2k = k 2 + 2k + 1 + 3 = (k + 1) 2 + 3 > 0∀k

Do ∆'>0 ⇒ (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt
Bài 9 : Trong cùng hệ trục toạ độ vuông góc cho parabol (P) : y = -

1 2
x và
4

đường thẳng (D) : y = mx – 2m – 1
1) Vẽ (P)
2) Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P)
3) Chứng tỏ (D) luôn luôn qua điểm cố định A thuộc (P)
Giải :
1) Tự vẽ
2) Phương trình hồnh độ giao điểm của (D) và (P) là : -

1 2
x = mx – 2m – 1
4

x2 + 4mx – 8m – 4 = 0 (1)
(D) tiếp xúc với (P) ⇔ phương trình (1) có nghiệm kép ⇔ ∆′ = 0
⇔ 4m2 + 8m + 4 = 0 ⇔ (2m + 2)2 = 0 ⇔ 2m + 2 = 0 ⇔ m = -1
Vậy m = -1 thì (D) tiếp xúc với (P)
3) Gọi A(x0 ; y0 ) là điểm cố định mà đường thẳng (D) ln đi qua
Khi đó phương trình : y0 = mx0 - 2m - 1 có nghiệm với mọi m
⇔ (x0 - 2)m – (y0 + 1) = 0 có nghiệm với mọi m
⇔

16


 x0 − 2 = 0

 x0 = 2
⇔ 
 y0 + 1 = 0
 y0 = −1

⇔

1
4

Suy ra điểm A( 2 ; -1).Thay x = 2 vào phương trình của (P) ta có y = - . 22 = - 1
Nên điểm A(2 ; -1) thuộc (P).Vậy đường thẳng (D) luôn đi qua điểm A( 2 ; -1)
cố định thuộc (P)

* BÀI TẬP ÁP DỤNG:
1. Viết phương trình đường thẳng đi qua A(2;1) và tiếp xúc với đồ thị
2
(P): y = 2x
2. Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng x - y = 1
2

và tiếp xúc với (P): y = -x
3. Tìm tọa độ giao điểm của (P): và đường thẳng y + x = 3
4. Tìm m để (P): y = 2x2 cắt đường thẳng y = 2x + m tại hai điể m A, B
có hồnh độ
xa; xb thỏa mãn: xa(1 + xa) + xb(xb + 1) = 2
1

1

2
5. Cho (P): y = 2 x và đường thẳng d: y = − 2 x + 2 . Tìm tọa độ của điểm
thuộc (P) sao cho tại đó đường tiếp tuyến của (P) song song với d
2
6. Cho (P): y = 2x . Tìm các điể m cách đều hai trục tọa độ OX và OY.
2
7. Tìm m để đường thẳng y = 2mx + 1 - 2m cắt (P): y = x tại hai điểm
2008
2008
phân biệt thỏa mãn x1 + x2 = 2

1

2
8. Cho (P): y = 4 x và đường thẳng d qua hai điểm A và B thuộc (P) có
hồnh độ lần lượt là 2 và -4
a. Vẽ đồ thị (P)
b. Viết phương trình đường thẳng d
c. Tìm điểm M trên cung AB của (P) sao cho tam giác MAB có diện tích
lớn nhất
Gợi ý: Diện tích ∆ MAB lớn nhất khi đường thẳng qua M song song với
d và tiếp xúc với (P)
2
9. Chứng minh rằng Parabol (P): y = x luôn cắt đường thẳng y = 2mx +
2m + 1 tại một điểm cố định với mọi giá trị của m.
2
10. Cho Para bol (P): y = x và điể m A(3;0). Điểm M có hồnh độ
bằng a thuộc (P). a. Tính khoảng cách AM theo a

17

b. Xác định a để cho AM có độ dài ngắn nhất
2

11.Tìm các điể m trên (P): y = x sao cho khoảng cách từ điểm đó đến
trục tung gấp
ba lần khoảng cách từ điểm đó đến trục hồnh.
12. Tìm m để (P) : y = x2 cắt đường thẳng (d) y = -2x + m tại hai điểm A,
B có hồnh độ xa, xb thảo mãn xa + xb = 4

IV. KIỂM NGHIỆM:
Trong thực tế giảng dạy trên lớp, dạy học buổi 2, việc bồi dưỡng học sinh
khá giỏi mơn tốn, ơn thi vào THPT, với cách làm trên đây đã mang lại hiệu quả
cao trong việc rèn luyện kỹ năng giải các dạng toán về hàm số bậc nhất cho học
sinh. Cụ thể khi tôi tổng hợp các dạng tốn này và dạy cho các khóa học sinh
mới ra trường có 70% các em học sinh đã làm được các dạng toán cơ bản về
hàm số bậc nhất, 20% các em học sinh đã làm được đa số các dạng tốn về hàm
số bậc nhất (có các bài tốn khó), 5% học sinh làm được các dạng tốn về hàm
số bậc nhất mà không cần sự gợi ý của giáo viên, có học sinh thi đậu vào các
trường THPT chuyên.
C. KẾT LUẬN.
Giảng dạy áp dụng sáng kiến trên đây đã mang lại hiệu quả của việc rèn
luyện các dạng toán cơ bản về hàm số trên lớp cũng như trong giảng dạy buổi 2,
thu được kết quả tốt trong bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn, ơn thi vào lớp 10.
Chính vì vậy mỗi giáo viên nói chung và bản thân tơi nói riêng cần hiểu rõ
khả năng tiếp thu bài của các đối tượng học sinh, phân chia được các dạng toán cụ
thể để đưa ra các dạng bài tập cho phù hợp giúp các em làm được và gây hứng thú
cho các em, từ đó sẽ dần dần nâng cao kiến thức từ dễ đến khó. Để làm được như
vậy đối với mỗi giáo viên cần tìm tịi tham khảo nhiều tài liệu để tìm ra các bài

toán hay, sát với các dạng toán đã phân chia để tung ra cho học sinh rèn luyện
các dạng bài tập đã được học.
Trên đây là vài kinh nghiệm nhỏ về việc bồi dưỡng các dạng toán về hàm
số bậc nhất. Rất mong bạn bè, thầy cơ giáo góp ý để tơi có nhiều kinh nghiệm
tốt hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn !.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Như Xuân, ngày 05 tháng 4 năm 2014
18


CAM KẾT KHƠNG COPY.
Người viết

Lê Huy Đơng

19