GIÁO ÁN ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9

Giỏo ỏn ụn thi HSG Toỏn 9 Giỏo viờn: Viờn nh Nguyt
tuần 1 Ngy son: 09/09/2011
Ngy dy:
Căn bậc hai. hằng đẳng thức
2
A A
=
I. Mc tiờu:
- Bit c /n, phõn bit cỏch tỡm CBH, CBHSH ca mt s thc.
- Hiu v tỡm c kx ca
A

- Cú k nng khai trin HT
2
A A=
, vn dng rỳt gn c biu thc.
II. Cỏc ti liu h tr:
1. SGK Toỏn 9 tp 1
2. SBT Toỏn 9 tp 1
3. Bi tp nõng cao v mt s chuyờn Toỏn 9
III. NI DUNG
* m thoi, hot ng cỏ nhõn.
1. Lớ thuyt
Cn bc hai ca mt s a khụng õm l mt s x sao cho
2
x
= a.
S a > 0 cú hai CBH l
a
v
a

.
S a

0 ,
a
c gi l CBHSH ca a.
a, b l cỏc s khụng õm, a < b


a
<
b
.

A
xỏc nh (hay cú ngha)

A

0 (A l mt biu thc i s).
2. Bi tp
Bi 1 Tỡm CBH, CBHSH ca nhng s sau: 25; 3; 5; 17; 23, 81, 144; 225; 324; 289.
Gii
CBH ca 25; 3; 5; 17; 23; 81; 144; 225; 324; 289 ln lt l 5 v -5;
3
v -
3
;
5

v -
5
;
17
v -
17
;
23
v
23
; 9 v -9; 12 v -12; 15 v -15; 18 v -18; 17 v -17.
CBHSH ca nhng s sau: 25; 3; 5; 17; 23, 81, 144; 225; 324; 289 ln lt l 5;
3
;
5
;
17
;
23
; 9; 12; 15; 18; 17.
Bi 2. Tớnh:
a)
9
;
4
25
;
2
3
;

2
6
;
2
( 6)
;
25
16



;
9
25


.
b)
2
5
;
2
( 7)
;
2
3
4


ữ

ữ

;
2
3
4

ữ

.
c)
4
5
;
4
(2)
.
( S dng HT
2
A A=
).
Gii
a)
9 3=
;
4 2
25 5
=
;
2

3 3 =
;
2
6
khụng xỏc nh;
1
Giáo án ôn thi HSG Toán 9 Giáo viên: Viên Ánh Nguyệt

2
( 6) 6− − = −
;
25 5
16 4
−
− = −
−
;
9 3
25 5
−
− =
.
b)
2
5 5=
;
2
( 7) 7− =
;
2

3 3
4 4
 
− = −
 ÷
 ÷
 
;
2
3 3
4 4
 
=
 ÷
 
.
c)
4
5 25=
;
4
(2)−
không xác định.
Bài 3. So sánh các cặp số sau:
a) 10 và
3
;
10
và 3;
3 5

và
5 3
;
b) -2
5
và -5
2
;
3
và
16
2
.
( Sử dụng a, b là các số không âm, a < b
⇔
a
<
b
).
Giải
a) * 10 và
3
10
100 3 10 3= > ⇒ >
*
10
và 3

10 9 3 10 3> = ⇒ >
*

3 5
và
5 3

3 5 9.5 45= =


5 3 25.3 75= =

45 75
< ⇒
3 5
<
5 3
b) *-2
5
và -5
2
-2
5 4.5 20= − = −

-5
2 25.2 50= − = −

20 50 20 50 20 50< ⇒ < ⇒ − > −
2 5 5 2⇒ − > −
*
3
và
16

2

3
16
8
2
< =
Bµi 4 . TÝnh:
a)
2
(3 2)+
;
2
(2 3)−
.
b)
2
a
(a
≥
0);
4
2 a−
(a < 0) ;
2
2 x−
.

2
6 9x x− +

( x > 3);
2 2 2
3 4
( )
( 0; 0; )
a b a b
b a a b
bc a
−
> ≠ <
.
c)
2
(2 5)+
;
2
(3 15)−
;
3 2 2+
;
4 2 3+
.
( Chú ý điều kiện của các chữ trong biểu thức )
Giải
a)
2
(3 2) 9 2 6 2 11 6 2+ = + + = +
;

2

(2 3) 4 3 4 3 7 4 3− = + − = −
.
2
Giỏo ỏn ụn thi HSG Toỏn 9 Giỏo viờn: Viờn nh Nguyt
b)
2
a
=a;

4 2
2 2a a =
;

( )
2
2
6 9 3 3 3x x x x x + = = =
;

2 2 2 2
3 4 3 2 3
( ) ( )
.
a b a b a b b a b a
bc a bc a c

= =
.
c)
2

(2 5) 2 5+ = +
;

( )
2
4 2 3 3 2 3 1 3 1 3 1+ = + + = + = +
.
Bài 5 . Tìm điều kiện xác định của các CTBH sau:
a)
3a
;
2a
;
3 6a +
;
2 5a
.
b)
2
2 1a
;
2
2 1a


;
3 4
5
a

.
c)
2
2x
;
2
2 1x +
.
d)
2
2 x
;
2
1
2x x+
.
( Chú ý ĐK để biểu thức dới căn không âm, mẫu khác 0).
Gii
a)
3a
xỏc nh khi v ch khi
0a

;

2a
xỏc nh khi v ch khi
2a

;

3 6a +
xỏc nh khi v ch khi
2a

;

2 5a
xỏc nh khi v ch khi
5
2
a
.
b)
2
2 1a
xỏc nh khi v ch khi
1
2
a >
;

2 2
2 1 1 2a a
=

xỏc nh khi v ch khi
1
2
a <

;

3 4 4 3
5 5
a a
=

xỏc nh khi v ch khi
4
3
a
.
c)
2
2x
khụng xỏc nh vi mi giỏ tr ca
x

Ă
;

2
2 1x +
xỏc nh vi mi giỏ tr ca
x

Ă
.
d)
( ) ( )

2
2 2 2x x x = +
xỏc nh
2 2x
;

( ) ( )
2
1 1
1 2
2
x x
x x
=
+
+
xỏc nh
1x
>
.
Bài 6. Tìm x biết:
a)
2
16 0x =
;
2
9 0x + =
.
b)
5x =

;
3
2
x =
;
2 2 0x =
.
3
Giáo án ôn thi HSG Toán 9 Giáo viên: Viên Ánh Nguyệt
c)
2 0
3
x
− + =
;
2
4
x
=
.
Giải
a) *PT:
2
16 0x − =
2
16 4x x⇔ = ⇔ = ±

Vậy tập nghiệm của pt là
{ }
4S = ±

.
*PT:
2
9 0x + =
Vì
2 2
0, 9 9 0x x x≥ ∀ ∈ ⇒ + ≥ > ⇒¡
pt vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của pt là
S = ∅
.
b) *PT:
5x =
25x
⇔ =

Vậy tập nghiệm của pt là
{ }
25S =
.
*PT:
3 3 9
2 2 4
x x x− = − ⇔ = ⇔ =
Vậy tập nghiệm của pt là
9
4
S
 
=

 
 
.
*PT:
2 2 0x − =
2 2 1 1x x x⇔ = ⇔ = ⇔ =
Vậy tập nghiệm của pt là
{ }
1S =
.
c) *PT:
2 0 6 0 6 36
3
x
x x x− + = ⇔ − + = ⇔ = ⇔ =
Vậy tập nghiệm của pt là
{ }
36S =
.
*PT:
2
4
x
=
(ĐKXĐ:
0x
>
)

2 1 1

4 2 4
2 4
x x x
x
= ⇒ = ⇔ = ⇔ =
(TM ĐKXĐ).
Bµi 7. Ph©n tÝch thµnh nh©n tö:
a)
2
5x −
; 3 + 2x (x < 0).
b)
2
3 16x−
.
c)
4 2 3±
;
7 2 6±
.
( Rót ra H§T
2
( 1) 2 ( 1)a a a+ ± = +
)
Giải
a) *
( ) ( ) ( )
2 2
5 5 5 5x x x x− = − = − +
;

* 3 + 2x
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
3 2 3 2 3 2x x x= − = − +
b)
( ) ( )
2
3 16 3 4 3 4x x x− = − +
c) *
( )
2
4 2 3 3 2 3 1 3 1± = ± + = ±
;
*
( )
2
7 2 6 6 2 6 1 6 1± = ± + = ±
.
Bµi 8. Rót gän:
a)
( , 0; )
a b
a b a b
a b
−
> ≠
−
( Chó ý sö dông H§T
2 2
( )( )A B A B A B− = + −

).
4
Giáo án ôn thi HSG Toán 9 Giáo viên: Viên Ánh Nguyệt
b)
4 7 4 3+ +
;
5 3 5 48 10 7 4 3+ + − +
.
c)
2 1 2 1( 1)x x x x x+ − + − − ≥
.
(Chó ý sö dông H§T
2
( 1) 2 ( 1)a a a+ ± = +
vµ H§T
2
A A=
).
Giải
a)
( ) ( )
a b a b
a b
a b
a b a b
− +
−
= = +
− −
.

b) *
( )
2
4 7 4 3 4 4 4 3 3 4 2 3 4 2 3 6 3+ + = + + + = + + = + + = +
;
*
( )
5 3 5 48 10 7 4 3 5 3 5 48 10 2 3 5 3 5 48 20 10 3
+ + − + = + + − + = + + − +

( ) ( )
2
5 3 5 28 10 3 5 3 5 5 3 5 3 5 5 3= + + + = + + + = + + +

5 3 25 5 3 30 4 3= + + + = −
.
c)
2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1x x x x x x x x+ − + − − = − + − + + − − − +

( ) ( )
2 2
1 1 1 1 1 1 1 1x x x x= − + + − − = − + + − −

*Trường hợp 1:
1 1 0 1 1 1 1 2x x x x− − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥
, pt  trở thành:

1 1 1 1 2 1x x x− + + − − = −
*Trường hợp 2:
1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 2x x x x− − ≤ ⇔ ≤ − ≤ ⇔ ≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤

, pt  trở
thành:
( )
1 1 1 1 2x x− + − − − =
Bµi 9. Gi¶i c¸c PT sau:
a)
2
4 4 3x x− + =
;
2
12 2x − =
.
b)
2
2 1 1x x x− + = −
.
c)
5 5 1x x− + − =
(Xét ĐK
∃⇒
pt vô nghiệm);

2
2 1 1x x x+ + = +
( áp dụng:
0( 0)A B
A B
A B
≥ ≥


= ⇔

=

).
d)
2 2
9 6 9 0x x x− + − + =
(áp dụng:
0
0
0
A
A B
B
=

+ = ⇔

=

) .
e)
2 2
4 4 0x x− − + =
( ĐK, chuyển vế, bình phương 2 vế);

2 2 2
4 5 4 8 4 9 0x x x x x x− + + − + + − + =
(

1 4 5 3 5VT ≥ + + = +
;
2
( 2) 0 2x x− = ⇔ =
)

2 2 2
2 4 3 3 6 7 2 2x x x x x x− + + − + = − +
(đánh giá tương tự).
Giải
a) *PT
( )
2
2
4 4 3 2 3 2 3x x x x− + = ⇔ − = ⇔ − =
2 3
2 3
x
x
− =

⇔

− = −

5
1
x
x
=


⇔

= −

Vậy tập nghiệm của pt là
{ }
1;5S = −
5
Giáo án ôn thi HSG Toán 9 Giáo viên: Viên Ánh Nguyệt
*PT
2 2 2
12 2 12 4 16 4x x x x− = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ±
Vậy tập nghiệm của pt là
{ }
4S = ±
.
b)
( )
2
2
2 1 1 1 1 1 1 1 0 1x x x x x x x x x− + = − ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ − ≥ ⇔ ≥
.
c) *PT
5 5 1x x− + − =

ĐKXĐ:
5 0
5
5 0

x
x
x
− ≥

⇔ =

− ≥

Thay
5x =
vào pt đã cho, ta được
0 0 1+ =
(vô lí)
Vậy tập nghiệm của pt đã cho là
S = ∅
.
*PT
2
2 2
1 0 1
2 1 1
2 1 1 0
x x
x x x
x x x x x
+ ≥ ≥ −
 
+ + = + ⇔ ⇔
 

+ + = + + =
 

1
0
0
1
1
x
x
x
x
x
≥ −

=


⇔ ⇔
=



= −



= −



Vậy tập nghiệm của pt đã cho là
{ }
1;0S = −
.
d)
2
2 2
2
3
9 0
9 6 9 0 3
3
6 9 0
x
x
x x x x
x
x x
= ±

− =

− + − + = ⇔ ⇔ ⇔ =
 
=
− + =


Vậy tập nghiệm của pt đã cho là
{ }

3S =
.
e) *PT
2
2 2 2 2
2
2
4 0
4 4 0 4 4
4 1
5
x
x
x x x x
x
x
= ±


− =
− − + = ⇔ − = − ⇔ ⇔


− =
= ±



Vậy tập nghiệm của pt đã cho là
{ }

2; 5S = ± ±
.
*PT
2 2 2
4 5 4 8 4 9 0x x x x x x− + + − + + − + =


2 2 2
4 4 1 4 4 4 4 4 5VT x x x x x x= − + + + − + + + − + +

( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 2 4 2 5x x x= − + + − + + − +
1 4 5 3 5≥ + + = +

0VP =

VT VP⇒ >
Vậy tập nghiệm của pt đã cho là
S = ∅
.
Bài tập về nhà:
Bµi 1 . Tính:
a)
( )
2
2 3+
;
( )
2

3 2−
.
b)
6
3 x
;
2
(2 )x−
.
c)
2
2 1x x+ +
;
2
4( 2)a −
(a < 2);
2
(3 11)−
;
4
9( 5)x −
;
2 2 2
( 2 )b a ab b+ +
(b > 0).
d)
11 6 2−
;
28 10 3−
.

Bµi 2 . T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña c¸c CTBH sau:
a)
3a−
;
5 a−
;
4 2a−
;
7 3a−
.
b)
2
2x
;
4
3 b−
;
2
1 8 16b b− +
.
6
Giáo án ôn thi HSG Toán 9 Giáo viên: Viên Ánh Nguyệt
c)
2
5
1x
−
+
.
d)

2
5 3
x
x −
;
2
4 4 1x x− + −
.
Bµi 3. T×m x biÕt:
a)
2
1
9
x =
;
2
16 0x− + =
.
b)
1
2
x =
;
5x− = −
.
c)
3
2
x
=

;
1
0
2
x− =
.
Bµi 4. Ph©n tÝch thµnh nh©n tö:
a) 7 - x (x > 0).
b) x - 9 (x > 0).
c)
3 2 2±
;
6 2 5±
.
Bµi 5. Rót gän:
a)
13 30 2 9 4 2+ + +
.
b)
2 1
( 0; 1)
1
x x
x x
x
− +
≥ ≠
−
.
Bµi 6. Gi¶i c¸c PT sau:

a)
x x=
;
2
6 9 3x x− + =
;
b)
2
10 25 3x x x− + = +
.
c)
2 2 2
9 6 2 45 30 9 6 9 8x x x x x x− + + − + = − +

(
2 2 2
(3 1) 1 5(3 1) 4 9 (3 1)x x x− + + − + = − −
; vt
≥
3; vp
3
≤

⇒
x = 1/3) .
7
Giỏo ỏn ụn thi HSG Toỏn 9 Giỏo viờn: Viờn nh Nguyt
tuần 2 Ngy son: 09/09/2011
Ngy dy:
Hệ thức giữa cạnh và đờng cao trong tam giác

vuông
I. Mc tiờu:
- Bit c 4 h thc gia cnh v ng cao trong tam giỏc vuụng.
- Hiu c h thng cỏc h thc gia cnh v ng cao trong tam giỏc vuụng.
- Cú k nng vn dng cỏc h thc ú vo lm c bi thp c bn tớnh toỏn cỏc
di ca cỏc yu t trong tam giỏc vuụng.
II. Cỏc ti liu h tr:
1. SGK Toỏn 9 tp 1
2. SBT Toỏn 9 tp 1
3. Bi tp nõng cao v mt s chuyờn Toỏn 9
III. NI DUNG
* m thoi, hot ng cỏ nhõn.
1. Lớ thuyt
H thc gia cnh v ng cao trong tam giỏc vuụng:


2 ,
2 ,
2 2 2
.
.
b a b
c a c
a b c
=
=
= +

2 , ,
2 2 2

. .
.
1 1 1
a h b c
h b c
h b c
=
=
= +
2. Bi tp
Bi 1. Tỡm x, y trong cỏc hỡnh v sau:
a) b) c)

6
2
y
x
B
H
C
A
8
B
C
H
A
B
C
H
A

B
C
H
A
x y
14
16
x
y
7
9
c
b
bc
a
Giáo án ôn thi HSG Toán 9 Giáo viên: Viên Ánh Nguyệt
d) e)
3
4
AB
AC
=
g)

5
y
y
x
x
H

B
A
C
Giải
a)
2
2
14
14 .16 12,25
16
y y= ⇒ = =

16 12,25 3,75x = − =
b)
( )
2
2 2 6 16 4x x= + = ⇒ =

( )
2
6 2 6 48 48 4 3 6,928y x= + = ⇒ = = ≈
c)
2 2 2
7 9 49 81 130 130 11, 402y y= + = + = ⇒ = ≈

7.9 63
7.9 5,525
130
xy x
y

= ⇒ = = ≈
d)
2
2
3
3 2 4,5
2
x x= ⇒ = =

2 2 2
3 4,5 9 20, 25 29,25 29,25 5,408y y= + = + = ⇒ = ≈
e)
3 15 3 15.4
20
4 4 3
AB
AC
AC AC
= ⇔ = ⇒ = =

2 2 2
15 20 625 625 25y y= + = ⇒ = =

15.20 15.20
15.20 12
25
xy x
y
= ⇒ = = =
g)

2
5 . 5x x x= ⇔ =

( ) ( )
2
5 . 5 5 .5 50 50 5 2 7,071x x y y y y+ = ⇔ = + = ⇒ = = ≈
Bài 2. Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có
độ dài là 3
và 4.Tính các yếu tố còn lại của tam giác vuông này.
Giải
9
B
C
H
A
B
C
H
A
x
y
3
2
x
y
15
Giáo án ôn thi HSG Toán 9 Giáo viên: Viên Ánh Nguyệt

B
C

H
A
2
3.4 12 12 2 3 3,464z z= = ⇒ = = ≈
2 2 2
3 9 12 21 21 4,583x z x= + = + = ⇒ = ≈
2 2 2
4 16 12 28 28 5,292y z y= + = + = ⇒ = ≈
Bài 3. Cho một tam giác vuông. Biết tỉ số hai cạnh góc vuônglà 3 : 4 và cạnh huyền
là 125 cm, Tính độ dài các cạnh góc vuông và hình chiếu của các cạnh góc vuông trên
cạnh huyền.
Giải

B
C
H
A
3 3
4 4
b c
b
c
= ⇒ =
2
2
2 2 2
3 25
4 16
c c
b c c

 
+ = + =
 ÷
 
2
2 2 2
25
125 25 250000 10000
16
c
c c⇒ = ⇔ = ⇔ =
100c
⇒ =
(cm)
3.100
75
4
b = =
2 2
75
' 45
125
b
b
a
= = =
( )
' ' 125 45 80c a b cm= − = − =
Bài 4. Cho tam giác MNP vuông tại M, kẻ đường cao MH. Biết hai hình chiếu của
hai cạnh góc vuông là 7 và 12. Tính các yếu tố còn lại của tam giác vuông đó.

Giải

t
7
12
x
h
y
M
N
H
P
7 12 19t = + =
7.12 84 9,165h = = ≈
2 2 2
12 12 84 228 15,1y h= + = + = ≈
2 2
7 49 84 133 11,533x h= + = + = ≈
Bài 5. Cho tam giác PRK vuông tại R. Kẻ đường cao RH, biết đường cao RH = 5,
một hình chiếu
là 7. Tính các yếu tố còn lại của tam giác vuông đó.
Giải
10
x
y
z
3
4
b’
c’

b
c
125cm
Giáo án ôn thi HSG Toán 9 Giáo viên: Viên Ánh Nguyệt

t
x
7
y
5
z
R
P
H
K
2
5
3,571
7
x
= ≈
3,571 7 10,571t ≈ + =
2 2
7 5 74 8,602z = + = ≈
2 2
5 3,571 6,144y ≈ + ≈
Bài tập về nhà.
Bài 1. Cho tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 5 và 7. Kẻ đường
cao ứng với cạnh huyền. Tính đường cao và hai đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh
huyền.

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, biết
5
6
AB
AC
=
. đường cao AH = 30 cm. Tính
HB, HC?
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Biết hai cạnh góc vuông là
7 và 8. Tính các yếu tố còn lại của tam giác vuông đó.
tuÇn 3 Ngày soạn:
Ngày dạy:
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC
BẬC HAI
I. Mục tiêu:
- Biết định nghĩa vá các tính chất về căn bậc hai.
- HS được củng cố các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai .
- Có kĩ năng vận dụng tính toán, rút gọn được biểu thức chứa căn thức bậc hai.
II. Các tài liệu hổ trợ:
1. SGK Toán 9 tập 1
2. SBT Toán 9 tập 1
3. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 9
III. NỘI DUNG
* Đàm thoại, hoạt động cá nhân.
1. Lí thuyết
Căn bậc hai của một số a không âm là một số x sao cho
2
x
= a.
Số a > 0 có hai CBH là

a
và
a−
.
Số a
≥
0 ,
a
được gọi là CBHSH của a.
a, b là các số không âm, a < b
⇔

a
<
b
.

A
xác định (hay có nghĩa)
⇔
A
≥
0 (A là một biểu thức đại số).
Các công thức biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai.
2. Bài tập
Bµi 1. TÝnh.
11
Giáo án ôn thi HSG Toán 9 Giáo viên: Viên Ánh Nguyệt
a)
20 5−

;
2 5 80 125− +
;
3 12 27 108− +
;
2 45 80 125+ −
;

75 48 300+ −
;
1
2 20 18 6 200
2
+ − −
;

0,09 0,64 0,81 0,01 0,16 0,25
+ + − − −
.
b)
10. 40
;
5. 45
;
8. 18. 98
;
2 3
. 6
3 2
 

+
 ÷
 ÷
 
.
c)
45.80
;
75.48
;
( 12 27 3) 3+ −
;
9 1
2 2
2 2
 
+ −
 ÷
 ÷
 
.
d)
( ) ( )
2 1 2 1+ −
;
7 4. 4 7+ −
;
3 5 2 . 3 5 2− + + +
.
e)

3
3
;
2
2 1−
;
3 3
3
+
;
2 3
2 3
−
+
;
3 2
3 2
−
+
.
g)
2 2
2 1
−
−
;
3 2 2 3
2 3
−
−

.
h)
12 2 35+
;
8 60+
;
17 12 2−
.
Giải
a) *
20 5 2 5 5 5− = − =
;
*
2 5 80 125 2 5 4 5 5 5 3 5− + = − + =
;
*
3 12 27 108 6 3 3 3 6 3 9 3− + = − + =
;
*
2 45 80 125 6 5 4 5 5 5 5 5+ − = + − =
;
*
75 48 300 5 3 4 3 10 3 3+ − = + − = −
;
*
1
2 20 18 6 200 4 5 3 2 3 2 10 2 4 5 10 2
2
+ − − = + − − = −
;

*
0,09 0,64 0,81 0,01 0,16 0,25 0,3 0,8 0,9 0,1 0,4 0,5 1,2
+ + − − − = − − − − − =
.
b) *
10. 40 400 20= =
;
*
5. 45 225 15= =
;
*
8. 18. 98 2 2.3 2.7 2 84 2= =
;
*
2 3 2 3
. 6 . 6 5
3 2
6
 
+
+ = =
 ÷
 ÷
 
.
c) *
45.80 9.5.16.5 60= =
;
*
75.48 25.3.16.3 60= =

;
*
( 12 27 3) 3 (2 3 3 3 3) 3 4.3 12+ − = + − = =
;
*
9 1 9 1 2. 2
2 2 . 2 3 1 2 2
2 2
2
 
+ −
+ − = = + − =
 ÷
 ÷
 
.
d) *
( ) ( ) ( )
2
2
2 1 2 1 2 1 2 1 1+ − = − = − =
;
*
( )
2
2
7 4. 4 7 4 7 16 7 9 3+ − = − = − = =
;
12
Giáo án ôn thi HSG Toán 9 Giáo viên: Viên Ánh Nguyệt

*
3 5 2 . 3 5 2− + + +
Vì
3 5 2 0− + <
nên biểu thức trên không xác định.
e) *
3
3
3
=
;
*
( )
2 2 1
2
2 2 2
2 1
2 1
+
= = +
−
−
;
*
3 3
3 1
3
+
= +
;

*
( )
2
2 3
2 3
4 3 4 3 7 4 3
4 3
2 3
−
−
= = + − = −
−
+
;
*
( )
2
3 2
3 2 5 2 6
3 2
−
= − = −
+
.
g) *
2 2
2
2 1
−
=

−
;
*
( )
3 2 3 2
3 2 2 3
6
2 3 2 3
−
−
= = −
− −
.
h) *
12 2 35 7 2 7. 5 5 7 5+ = + + = +
;
*
8 60 5 2. 5. 3 3 5 3+ = + + = +
;
*
17 12 2 9 2.3.2 2 8 3 2 2− = − + = −
.
Bài 2. Rút gọn
a)
3
9
a
a
−
−

;
5 4
1
a a
a
− +
−
;
5 6
3
a a
a
− +
−
.
b)
a a b b
ab
a b
+
−
+
(a > o; b > 0).
c)
1
:
a b b a
ab a b
+
−

( )
, 0;a b a b> ≠
.
d)
1 1
1 1
a a a a
a a
  
+ −
+ −
 ÷ ÷
 ÷ ÷
+ −
  

( )
0; 1a a≥ ≠
.
e)
1 1 4
4
2 2
x
x x
+ −
−
− +
(

0; 4x x≥ ≠
).
Giải
a)*
3 1
9
3
a
a
a
−
=
−
+
;
*
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 4 1 1 4
5 4 4 4 4
1 1 1
1
1 1
a a a a a
a a a a a a
a a a
a
a a
− − − − −
− + − − + −

= = = =
− − −
+
− +
;
13
Giáo án ôn thi HSG Toán 9 Giáo viên: Viên Ánh Nguyệt
*
( ) ( )
3 2
5 6
2
3 3
a a
a a
a
a a
− −
− +
= = −
− −
.
b)
( ) ( ) ( ) ( )
3 3
a b a b a ab b
a a b b
ab ab ab
a b a b a b
+ + − +

+
− = − = −
+ + +

( )
2
a b= −

c)
( )
( )
1
: .
ab a b
a b b a
a b a b
ab a b ab
+
+
= − = −
−
.
d)
( ) ( )
1 1 1 1 1
1 1
a a a a
a a a
a a
  

+ −
+ − = + − = −
 ÷ ÷
 ÷ ÷
+ −
  
.
e)
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 4 2 2 4 2 4 2
4
2 2 2
2 2 2 2
x x x
x
x x x
x x x x
+ + − − −
+ − = = =
−
− + +
− + − +
.
Bài tập về nhà:
Bµi 1. Tính:
a)
12 27−
;
3 2 5 8 2 50+ −
;

8 50 18− +
;
32 50 98 72− + −
;

52. 13
;
2. 162
;
5 18
.
8 5
;
b)
90.6,4
;
2,5.14,4
.
c)
( )
20 45 5 5− +
;
4 3 2. 4 3 2+ −
;
d)
5
3 20
;
3 2
2 1

−
−
;
5 3
5 2
−
+
;
15 6
2 5
−
−
;
e)
8 2 15+
;
9 4 2+
;
(Chú ý rút ra HĐT:
( )
2
2a ab b a b± + = ±
)
Bài 2. Rút gọn:
a)
2 1
1
a a
a
− +

−
;
4 4
4
a a
a
− +
−
;
b)
5 3 29 12 5− − −
;
c)
x y y x
xy
+
(x > 0; y > 0).
14
Giáo án ôn thi HSG Toán 9 Giáo viên: Viên Ánh Nguyệt
TuÇn 4. Ngày soạn:
Ngày dạy:
TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC
VUÔNG
I. Mục tiêu:
- Biết được các định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.
- Hiểu được tính chất tỉ số lượng giác của góc nhọn, các hệ thức giữa cạnh và góc
trong tam giác.
- Có kĩ năng vận dụng tính toán, tìm được tỉ số lượng giác của một góc, dựng một
góc biết tỉ số lượng giác của góc đó .
II. Các tài liệu hổ trợ:

1. SGK Toán 9 tập 1
2. SBT Toán 9 tập 1
3. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 9
III. NỘI DUNG
* Đàm thoại, hoạt động cá nhân, hoạt động nhóm.
1. Lí thuyết
* Định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn.
* Tính chất tỉ số lượng giác của góc nhọn.
+
0 sin , 1cos
α α
< <
;
2 2
sin 1cos
α α
+ =
;
sin : tancos
α α α
=
;
:sin coscos t
α α α
=
.
+ Nếu
α
và
β

là hai góc phụ nhau thì
sin cos
α β
=
;
tan cot
α β
=
+
tan .cot 1
α β
=
.
* Hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông.
2. Bài tập
15
Giáo án ôn thi HSG Toán 9 Giáo viên: Viên Ánh Nguyệt
Bµi 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 30cm góc B bằng
α
. Biết
5
tan
12
α
=
. Tính
cạch BC, AC.
Giải
?
?

30cm
C
B
A
( )
5
.tan 30. 12,5
12
AC AB cm
α
= = =
( )
2 2 2 2
30 12,5 32,5BC AB AC cm= + = + =
Bài 2: Dựng góc nhọn
α
biết :
a)
1
sin
2
α
=
;
b)
3
cot
4
α
=

.
Giải
a) *Cách dựng:
2
1
y
x
B
A
C
- Dựng
·
0
90xAy =
. Lấy 1 đoạn thẳng làm 1 đơn vị
độ dài.
- Dựng cung tròn (A; 1) cắt tia Ay tại điểm B.
- Dựng cung tròn (B; 2) cắt tia Ax tại điểm C.
- Nối B với C, ta được
·
ACB
α
=
là góc cần dựng.
*Chứng minh:
Ta có:
·
0
90xAy =
ABC

⇒ ∆
vuông tại A.
1
sin
2
AB
BC
α
⇒ = =
(đpcm)
b) *Cách dựng:
3
4
y
x
C
A
B
- Dựng
·
0
90xAy =
. Lấy 1 đoạn thẳng làm 1 đơn vị
độ dài.
- Dựng cung tròn (A; 4) cắt tia Ay tại điểm C.
- Dựng cung tròn (A; 3) cắt tia Ax tại điểm B.
- Nối B với C, ta được
·
ABC
α

=
là góc cần dựng.
*Chứng minh:
16
1 đơn vị
1 đơn vị
Giáo án ôn thi HSG Toán 9 Giáo viên: Viên Ánh Nguyệt
Ta có:
·
0
90xAy =
ABC⇒ ∆
vuông tại A.
3
cot
4
AB
AC
α
⇒ = =
(đpcm)
Bµi 3:
a) Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ nhỏ đến lớn :

0 0 0 ' 0 0
sin 35 ,cos28 ,sin 34 72 ,cos62 ,sin 45

b) Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ lớn đến nhỏ :

0 0 0 0 ' 0

tan 42 ,cot 71 ,tan38 ,cot 69 15 , tan 28

Giải
a)
0 0
cos28 sin 62
=
;
0 0
cos62 sin 28
=

⇒
0 0 ' 0 0 0
cos62 sin34 72 sin35 sin 45 cos28
< < < <
.
b)
0 0
cot 71 tan19g
=
;
0 ' 0
cot 69 15 tan 20 45'g =

⇒
0 0 0 0 ' 0
tan 42 tan 38 tan 28 cot 69 15 cot 71
> > > >
.

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Biết hai cạnh góc vuông là 7
và 8. Tính các yếu tố còn lại của tam giác vuông đó.
Giải
?
?
?
?
7
8
H
B
C
A
2 2
7 8 113 10,63BC = + = ≈
72
4,61
113
BH = ≈
10,63 4,61 6,02HC BC BH= − ≈ − =
. 7.8
5, 268
113
AB AC
AH
BC
= = ≈
Bài 5: Cho tam giác PRK vuông tại R, kẻ đường cao RH. Biết đường cao RH là 5 và
một hình chiếu là 7. Tính các yếu tố còn lại của tam giác vuông đó.
Giải

?
5
?
?
7
?
H
P
K
R
2
5
3,571
7
PH = ≈
3,571 7 10,571PK PH HK= + ≈ + =
2 2
5 7 74 8,602RK = + = ≈
2 2 2
10,571 74 6,144RP PK RK= − ≈ − ≈
Bài 6: Tính giá trị biểu thức:

2 0 0 2 0 0
cos 52 sin 45 sin 52 cos 45A
= +

0 2 0 2 0 0
sin 45 cos 47 sin 47 cos45B
= +
Giải

17
Giáo án ôn thi HSG Toán 9 Giáo viên: Viên Ánh Nguyệt

2 0 0 2 0 0
cos 52 sin 45 sin 52 sin 45A
= +

( )
0 2 0 2 0 0
sin 45 cos 52 sin 52 sin 45
= + =
2
2
=

0 2 0 2 0 0
sin 45 cos 47 sin 47 sin 45B
= +

( )
0 2 0 2 0 0
sin 45 cos 47 sin 47 sin 45
= + =
2
2
=
Bài 7 Cho tam giác ABC vuông ở A, góc C bằng
0
30
, BC = 10 cm.

a) Tính AB, AC.
b) Kẻ từ A các đường thẳng AM, AN lần lượt vuông góc với các đường phân giác
trong và ngoài của góc B. CMR:
MN // BC; MN =
1
2
BC
c) Tam giác MAB đồng dạng với tam giác ABC. Tìm tỉ số đồng dạng.
Giải

10cm
?
?
N
M
C
A
B
a)
0
10.sin 30 5AB = =

0
10.cos30 8,66AC = ≈
b) Ta có: BM và BN lần lượt là đường phân giác trong và ngoài của
µ
B
(gt)

BM BN⇒ ⊥

·
0
90MBN⇒ =
Mà
· ·
0 0
90 , 90 (gt)AMB AMB= =
BMAN
⇒
là hình chữ nhật.
·
·
NMB ABM⇒ =
Mặt khác:
·
·
·
1
2
ABM MBC ABC⇒ = =
(gt)
· ·
NMB MBC⇒ =
/ /MN BC
⇒
(vì có 2 góc so le trong bằng nhau)
*
BMAN
là hình chữ nhật

AB NM
⇒ =
Mà
10
5
2 2
BC
AB = = =
2
BC
NM⇒ =
(đpcm)
18
Giáo án ôn thi HSG Toán 9 Giáo viên: Viên Ánh Nguyệt
c) Xét
MAB∆
và
ABC∆
có:
·
·
0
90AMB BAC= =
·
·
µ
·
0 0 0
0
90 90 30

30
2 2 2
ABC C
ABM BCA
− −
= = = = =

⇒
MAB∆
=
ABC∆
(g.g)
Bài tập về nhà.
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH. Tính
sin ,sinB C
trong các
trường hợp sau:
a) AB = 13 ; BH = 5.
b) BH = 3 ; CH = 4.
Bài 2: Dựng góc nhọn
α
biết : a)
2
cos
3
α
=
; b)
4
tan

5
α
=
Bµi 3:
a) Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ nhỏ đến lớn :

0 0 ' 0 0 0
cos37 ,cos65 30 ,sin 72 ,cos59 ,sin 47

b) Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ lớn đến nhỏ :

0 0 0 ' 0 0
cot 57 , 46 ,cot 73 43 , 64 ,cot 75g tg g tg g

Bài 4: Cho tam giác MNP vuông tại M, kẻ đường cao MH. Biết hai hình chiếu của hai
cạnh góc vuông là 7 và 12. Tính các yếu tố còn lại của tam giác vuông đó.
Bµi 5: T×m
sin ,cot ,g tg
α α α
biÕt
1
cos
5
α
=
19
Giỏo ỏn ụn thi HSG Toỏn 9 Giỏo viờn: Viờn nh Nguyt
tuần 5 Ngy son:
Ngy dy:

rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai.
I. Mc tiờu:
- Bit nh ngha v tớnh cht v cn bc hai.
- Hiu c cỏc phộp bin i n gin biu thc cha cn thc bc hai.
- Cú k nng vn dng tớnh toỏn, rỳt gn c biu thc cú cha cn thc bc hai.
II. Cỏc ti liu h tr:
1. SGK Toỏn 9 tp 1
2. SBT Toỏn 9 tp 1
3. Bi tp nõng cao v mt s chuyờn Toỏn 9
III. NI DUNG
* m thoi, hot ng cỏ nhõn.
1. Lớ thuyt
* Cỏch tỡm KX ca cỏc cn thc, phõn thc.
- Biu thc di cn khụng õm.
- Mu thc khỏc 0.
* Phõn tớch a thc thnh nhõn t thnh tho.
* Nm vng th t thc hin cỏc phộp tớnh.
( )
[ ]
{ }
.
;
,: ,
n
a ì +
v cỏc
phộp tớnh v n thc, a thc, phõn thc, cn thc.
* Vn dng linh hot cỏc HT:
2
( 1) 2 ( 1)a a a

+ = +
;
( )
2
2a ab b a b
+ =

( ) ( )
a a b b a b a ab b = +m
;
( ) ( )
a b a b a b = +
.
20
Giáo án ôn thi HSG Toán 9 Giáo viên: Viên Ánh Nguyệt
2. Bài tập Rút gọn các biểu thức sau:
1
1 1 1 1 1
:
1 1 1 1 1
A
x x x x x
   
= + − +
 ÷  ÷
− + − + −
   

2
1 1 2

:
2
a a a a a
A
a
a a a a
 
− + +
= −
 ÷
 ÷
−
− +
 

3
1 2
1 :
1
1 1
x x
A
x
x x x x x
   
= + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+
− + − −

   

4
1 1 2
:
1
1 1
x
A
x
x x x x
 
 
= − +
 ÷
 ÷
 ÷
−
− − +
 
 

( )
5
2
:
a a b b b
A a b
a b a b
+

= − +
+ +

6
2 9 3 2 1
5 6 2 3
x x x
A
x x x x
− + +
= − −
− + − −

( Phương pháp: - Tìm ĐKXĐ(BT dưới căn có nghĩa, mẫu
≠
0).
- Rút gọn từng phân thức trong biểu thức (Nếu có thể).
- Biến đổi, rút gọn cả biểu thức.
- Kết luận)
Giải
( ) ( )
( )
( ) ( )
1
1 1
1 1 1
:
1
1 1 1 1
x x

x x
A
x
x x x x
+ − −
+ + −
= +
−
− + − +

( ) ( )
( ) ( )
1 1
2 1
.
2 1
1 1
x x
x x
x x
− +
= +
−
− +

( )
1 1 1 1
1
1
x x x x

x x
= + = =
− −
−

( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2
1 1 1 1
2
.
2
1 1
a a a a a a
a
A
a
a a a a
 
− + + + − +
−
 ÷
= −
 ÷
+
− +
 

( )
1 1
2 2 2 2 4
. .
2 2 2
a a a a
a a a a
a a a
a a
+ + − − +
− − −
= = =
+ + +


( ) ( )
( )
( )
3
1 1 2 1 1 2
: :
1 1
1 1 1 1
1 1
x x x x x x
A
x x
x x x x x
x x

 
 
+ + + +
 ÷
= − = −
 ÷
 ÷
 ÷
+ +
− + − + −
+ −
 
 


( )
( )
1 1 2 1 1 1
: .
1 1
1 1
1 1
x x x x x x x x x
x x
x x
x x
+ + + − + + + + +
= = =
+ +
− −

+ −

( ) ( ) ( )
( ) ( )
4
1 1
1 1 2 1 1
: .
1
1 1 1
x x
x x x x
A
x x x
x x x x
+ −
− − + + −
= = =
+
− + −

21
Giáo án ôn thi HSG Toán 9 Giáo viên: Viên Ánh Nguyệt
( )
( )
5
2
1 2
.
a ab b b a b

b a ab b
A a ab b
a b a b a b
a b
− + + +
+ −
= − + + = =
− − −
+

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
6
2 9 3 3 2 1 2
2 9 3 2 1
5 6 2 3
2 3
x x x x x
x x x
A
x x x x
x x
− − + − + + −
− + +
= − − =
− + − −
− −

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )

( ) ( )
2 1
2 2 2 1
3
2 3 2 3 2 3
x x
x x x x x x
x
x x x x x x
− +
− − − + − +
= = = =
−
− − − − − −

* Các dạng toán có sử dụng kết quả của bài toán rút gọn.
1. Tính giá trị của biểu thức sau khi rút gọn.
+ Hướng dẫn: - Nếu biếu thức đã rút gọn chứa căn, giá trị của biến chứa căn, ta biến
đổi giá trị của biến về dạng HĐT.
- Nếu giá trị của biến chứa căn ở mẫu, ta trục căn thức ở mẫu trước khi
thay vào biểu thức.
+ Ví dụ: Tính
1
A
khi
7 4 3x = +
. (ta biến đổi
( )
2
7 4 3 2 3+ = +

rồi hãy thay vào tính).
2. Tìm giá trị của biến để biểu thức đã rút gọn bằng một số.
+ Hướng dẫn: - Thực chất là giải PT A = a.
- Sau khi tìm x phải đối chiếu với ĐK đầu bài để KL.
+ Ví dụ: Tìm x để
4
5A =
. (Ta giải PT:
1
5
x
x
−
=
. ĐK:
0; 1x x> ≠
).
3. Tìm giá trị của biến để biểu thức đã rút gọn lớn hơn, hoặc bé hơn một
số (một biểu thức).
+ Hướng dẫn: - Thực chất là giải BPT A > a(P) ( hoặc A < a(P)).
- Sau khi tìm x phải đối chiếu với ĐK đầu bài để KL.
+ Ví dụ: Tìm x để
4
1A >
. (Ta giải BPT:
1
5
x
x
−

>
. ĐK:
0; 1x x> ≠
).
4. Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức đã rút gọn nhận giá trị
nguyên.
+ Hướng dẫn: - Tách phần nguyên, xét ước.
- Sau khi tìm x phải đối chiếu với ĐK đầu bài để KL.
+ Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của biến x để biểu thức
6
A
nhận giá trị nguyên.
( Ta có
6
1 4
1
3 3
x
A
x x
+
= = −
− −
.
6
A
nguyên
⇔
3x −
là ước của 4. Sau đó xét ước

của 4, rồi đối chiếu với ĐK để KL).
5. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức đã rút gọn.
+ Hướng dẫn: Có thể đánh giá bằng nhiều cách, tuỳ bài toán cụ thể mà ta chọn cách
nào đó cho phù hợp.
6. So sánh biểu thức đã rút gọn với một số hoặc một biểu thức.
+ Hướng dẫn: Xét hiệu A - m
22
Giáo án ôn thi HSG Toán 9 Giáo viên: Viên Ánh Nguyệt
- Nếu A - m > 0 thì A > m.
- Nếu A - m < 0 thì A < m.
- Nếu A - m = 0 thì A = m.
+ Ví dụ: So sánh
4
A
với 1 (Lập hiệu
1
1
x
x
−
−
, rồi xét xem hiệu này > 0; < 0; = 0
⇒
KL).
Bài tập về nhà:
Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau:
1
:
2
a a a a a

A
b a
a b a b a b ab
   
= + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
+ + + +
   
kq:
a b
ab a
+
−
2
1
1 1 :
1 1 1
a a a a a
A
a a a
  
+ − +
= + −
 ÷ ÷
 ÷ ÷
+ − −
  
kq:

( )
2
1 a−
3
1 1 8 3 2
: 1
9 1
3 1 3 1 3 1
x x x
A
x
x x x
   
− −
= − + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
− + +
   
kq:
3 1
x x
x
+
−
4
:
x x y y
x y

A xy
x y x y
 
+
−
= −
 ÷
 ÷
+ +
 
kq:
x y−
tuÇn 6 Ngày soạn:
Ngày dạy:
Bµi tËp tæng hîp
I. Mục tiêu:
- Biết định nghĩa và tính chất về căn bậc hai.
- Hiểu được các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai.
- Có kĩ năng vận dụng tính toán, rút gọn được biểu thức có chứa căn thức bậc hai.
II. Các tài liệu hổ trợ:
1. SGK Toán 9 tập 1
2. SBT Toán 9 tập 1
3. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 9
III. NỘI DUNG
* Đàm thoại, hoạt động cá nhân, hoạt động nhóm.
1. Lí thuyết
* Cách tìm ĐKXĐ của các căn thức, phân thức.
- Biểu thức dưới căn không âm.
- Mẫu thức khác 0.
* Phân tích đa thức thành nhân tử thành thạo.

* Nắm vững thứ tự thực hiện các phép tính.
( )
[ ]
{ }
.→ →
;
,: ,
n
a → × → + −
và các
phép tính về đơn thức, đa thức, phân thức, căn thức.
23
Giáo án ôn thi HSG Toán 9 Giáo viên: Viên Ánh Nguyệt
* Vận dụng linh hoạt các HĐT:
2
( 1) 2 ( 1)a a a
+ ± = +
;
( )
2
2a ab b a b
± + = ±

( ) ( )
a a b b a b a ab b± = ± +m
;
( ) ( )
a b a b a b− = − +
.
2. Bài tập

Bài 1. Cho biểu thức:
1 1 3
: 1
1
x x x x x
A
x x x x x
   
− + −
= − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− + +
   

a) Tìm ĐKXĐ của biểu thức A.
b) Rút gọn A.
c) Tính giá trị của biểu thức A khi
1
6 2 5
x =
−
d) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
e) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A bằng -3.
g) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A nhỏ hơn -1.
h) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A lớn hơn
2
1x
−
+

Giải
a) ĐKXĐ:
0x
>
.
b)
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
1 1 1 1 1 3
:
1
1 1
x x x x x x x x
A
x
x x x x
 
− + + + − + + − −
 ÷
= −
 ÷
+
− −
 

( ) ( )
( )

1 1 2 1
1 1
.
2 2 1
2 1
x x x x x x
x x
x x x
x x
+ + − − + +
+ +
= = =
− −
−
c) ĐKXĐ:
0x >
,
1x ≠
.

( )
2
1 1 1
6 2 5 5 2 5 1
5 1
x = = =
− − −
−
1
5 1

x⇒ =
−

( )
1
1
1 1 5 1 5
5 1
5 2 5
1
1 2 5
1 5 1
1
5 1
x
A
x
+
+ + −
−
= = = = = −
− −
− −
−
−
d) ĐKXĐ:
0x >
,
1x ≠
.

A nguyên
⇔
1 1 2 2
1
1 1 1
x x
A
x x x
+ − +
= = = +
− − −
nguyên
⇔
1x − ∈
Ư(2)
{ }
2; 1;1;2= − −
+) Với
1 2 1x x− = − ⇔ = −
(vô lí)
+) Với
1 1 0 0x x x− = − ⇔ = ⇔ =
(Không TMĐK)
+) Với
1 1 2 4x x x− = ⇔ = ⇔ =
(TMĐK)
+) Với
1 2 3 9x x x− = ⇔ = ⇔ =
(TMĐK)
Vậy với x=4; 9 thì A nhận giá trị nguyên.

e) ĐKXĐ:
0x >
,
1x ≠
.
24
Giáo án ôn thi HSG Toán 9 Giáo viên: Viên Ánh Nguyệt

1 1
3 3 3
1 1
x x
A
x x
+ +
= − ⇔ = − ⇔ = −
− −

( )
1 3 1x x⇒ + = − −

1 1
4 2
2 4
x x x⇔ = ⇔ = ⇔ =
(TMĐK)
g) ĐKXĐ:
0x >
,
1x ≠

.

1 1 1 2
1 1 0 0 0
1 1 1
x x x x
A
x x x
+ + + −
< − ⇔ + < ⇔ < ⇔ <
− − −

1 0 0 1 0 1x x x⇔ − < ⇔ < < ⇔ < <
h) ĐKXĐ:
0x >
,
1x ≠
.
2 1 2 1 2
0
1 1 1 1 1
x x
A
x x x x x
− + − +
> ⇔ > ⇔ + >
+ − + − +
( ) ( )
( ) ( )
2

1 2 1
0
1 1
x x
x x
+ + −
⇔ >
− +
2 1 2 2 4 1 2.2 4 5
0 0 0
1 1 1
x x x x x x x
x x x
+ + + − + − + + −
⇔ > ⇔ > ⇔ >
− − −
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 5 2 5 2 5
0 0
1 1
x x x
x x
+ − + − + +
⇔ > ⇔ >
− −
2 5
0
1
x

x
+ −
⇔ >
−
(Vì
2 5 0,x x+ + > ∀ ∈¡
)
+) Trường hợp 1:
2 5 0 9 4 5
1
1 0 1
x x
x
x x
 
+ − > > −
 
⇔ ⇔ >
 
− > >
 
 
+) Trường hợp 2:
2 5 0 0 9 4 5
0 9 4 5
1 0 1
x x
x
x x
 

+ − < < < −
 
⇔ ⇔ < < −
 
− < <
 
 
Kết hợp với điều
kiện đề bài, ta được
0 9 4 5x< < −
và
1x ≠
.
Bài 2. Cho biểu thức:
4 1 2
1 :
1 1
1
x x x
B
x x
x
 
−
= − +
 ÷
 ÷
− −
−
 

a) Tìm x để biểu thức B xác định.
b) Rút gọn B.
c) Tính giá trị của biểu thức B khi
11 6 2x = −
d) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức B nhận giá trị nguyên.
e) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức B bằng -2.
g) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức B âm.
h) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức B nhỏ hơn -2.
Giải
a) ĐKXĐ:
0x
≥
,
1x
≠
.
b)
( )
1 4 1 1 3 3
.
1
2 2
2
x x x x x x x
B
x
x x x
x x
− − + + − − −

= = =
−
− −
−
c) ĐKXĐ:
0x ≥
,
1x ≠
,
4x ≠
.
25