Chuyên đề ôn thi đại học, cao đẳng hình học không gian
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (9.74 MB, 154 trang )
Tổng hợp lí thuyết và bài tập hình học không gian.
Chủ biên : Trương Minh Vương
1
Email:
CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
- Tài liệu được dùng cho học sinh ôn thi ĐH – CĐ (đặc biệt là khối lớp 12)
- Tài liệu được biên soạn theo cấu trúc đề thi của Bộ GD&ĐT năm 2015.
- Tài liệu được trình bày theo bố cục như sau:
A. Phần 1
Lý thuyết căn bản
1.1 Phương pháp tọa độ trong không gian
1.2 Khối đa diện
B. Phần 2
Các dạng bài tập và phương pháp giải
C. Phần 3
Bài tập ví dụ cụ thể có lời giải chi tiết
D. Phần 4
Giới thiệu một số câu hỏi trong đề thi Đại
học – Cao đẳng
Tuy mình đã cố gắng hết sức nhƣng cũng không thể tránh đƣợc những sai xót
nhất định.
Rất mong các bạn gửi những phần sai xót về địa chỉ email:
Xin trân thành cám ơn!!!
Chúc các bạn có một kỳ thi tuyển sinh an toàn, nghiêm túc và đạt hiệu quả tốt
nhất!
Thái Nguyên, ngày 09/11/2014
Chủ biên:
Trương Minh Vương
Tổng hợp lí thuyết và bài tập hình học không gian.
Chủ biên : Trương Minh Vương
2
Email:
A. LÝ THUYẾT CĂN BẢN
1.1 Phƣơng pháp tọa độ trong không gian
I. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ
A. Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau với ba vectơ đơn
vị
,,i j k
1i j k
.
B.
1 2 3 1 2 3
;; aa a a a a i a j a k
; M(x;y;z)
OM xi y j zk
C. Tọa độ của vectơ: cho
( ; ; ), ( '; '; ')u x y z v x y z
1.
'; '; 'u v x x y y z z
2.
'; '; 'u v x x y y z z
3.
( ; ; )ku kx ky kz
4.
. ' ' 'u v xx yy zz
5.
' ' ' 0u v xx yy zz
6.
2 2 2
u x y z
7.
' ' ; ' ' ; ' ';;
' ' ' ' ' '
yz y z zx z x xy x y
y z z x x y
uv
y z z x x y
8.
,uv
cùng phương
[ , ] 0uv
9.
cos ,
.
.
uv
uv
uv
.
D. Tọa độ của điểm: cho A(x
A
;y
A
;z
A
), B(x
B
;y
B
;z
B
)
1.
( ; ; )
B A B A B A
AB x x y y z z
2.
2 2 2
( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB x x y y z z
3.G là trọng tâm tam giác ABC ta có:
x
G
=
3
A B C
xxx
;y
G
=
3
A B C
yyy
; z
G
=
3
A B C
zzz
4. M chia AB theo tỉ số k:
; ; ;
1 1 1
A B A B A B
M M M
x kx y ky z kz
x y z
k k k
Đặc biệt: M là trung điểm của AB:
; ; .
2 2 2
A B A B A B
M M M
x x y y z z
xzy
5. ABC là một tam giác
AB AC
0
khi đó S=
1
2
AB AC
6. ABCD là một tứ diện
AB AC
.
AD
0, V
ABCD
=
1
,
6
AB AC AD
, V
ABCD
=
1
.
3
BCD
Sh
(h là
đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A)
II. PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG & MẶT
O
z
x
y
Tổng hợp lí thuyết và bài tập hình học không gian.
Chủ biên : Trương Minh Vương
3
Email:
I. Mặt phẳng
Mặt phẳng
được xác định bởi: M(x
0
;y
0
;z
0
),
( ; ; )n A B C
. Phương trình tổng quát
của mặt phẳng
: Ax+By+Cz+D=0, tìm D từ Ax
0
+By
0
+Cz
0
+D=0
hay A(x-x
0
)+B(y-y
0
)+C(z-z
0
)=0 Ax+By+Cz+D=0.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Vectơ
0n
được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) nếu giá của
vectơ
n
vuông góc với mặt phẳng (P).
Chú ý:
- Nếu
n
là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) thì k.
n
với
0k
cũng là
vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
- Nếu hai vectơ
1 2 3 1 2 3
; ; , ; ;a a a a b b b b
không cùng phương và giá của
chúng song song với một mặt phẳng (P) hoặc nằm trên mặt phẳng (P) thì vectơ
, n a b
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Phƣơng trình tổng quát của mặt phẳng.
- Mỗi mặt phẳng đều có phương trình tổng quát có dạng Ax+By+Cz+D=0
với
2 2 2
0A B C
.
- Nếu mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là Ax+By+Cz+D=0 thì
mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là
;;n A B C
.
- Mặt phẳng (P) đi qua điểm
0 0 0 0
;;M x y z
với vectơ pháp tuyến
;;n A B C
có phương trình là:
0 0 0
A x x B y y C z z 0
.
Phƣơng trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
Nếu mặt phẳng (P) cắt ba trục tọa độ tại A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) thì
phương trình mặt phẳng (P) là:
1
x y z
a b c
với
. . 0abc
.
một số mặt phẳng thƣờng gặp:
a/ Mặt phẳng (Oxy): z=0; mặt phẳng (Oxz): y=0; mặt phẳng (Oyz): x=0.
b/ Mặt phẳng đi qua ba điểm A,B,C: có
()
[ , ]
ABC
n AB AC
c/
nn
d/
nu
và ngược lại e/
d
d
uu
f/
d
d
nu
.
Tổng hợp lí thuyết và bài tập hình học không gian.
Chủ biên : Trương Minh Vương
4
Email:
II. Đƣờng thẳng
IV.
Đƣờng cong
Đường thẳng được xác định bởi: M(x
0
;y
0
;z
0
),
u
=(a;b;c)
i.Phương trình tham số:
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
;
ii.Phương trình chính tắc:
0 0 0
x x y y z z
a b c
iii.Đường thẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng:
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
A x B y C z D
A x B y C z D
trong đó
1 1 1 1
( ; ; )n A B C
,
2 2 2 2
( ; ; )n A B C
là hai VTPT và VTCP
12
[]u n n
.
†Chú ý: a/ Đường thẳng Ox:
0
0
y
z
; Oy:
0
0
x
z
; Oz:
0
0
x
y
b/ (AB):
AB
u AB
; c/
1
2
12
uu
; d/
1
2
12
un
.
III. Góc-
Kh/C
Góc giữa hai đường thẳng
*cos(,’)=cos
=
.'
.'
uu
uu
;
Góc giữa hai mp
*cos(
,
’)=cos=
.'
.'
nn
nn
;
Góc giữa đường thẳng và
mp *sin(,
)=sin=
.
.
nu
nu
.
KHOẢNG CÁCH
Cho M (x
M
;y
M
;z
M
),
:Ax+By+Cz+D=0,:M
0
(x
0
;y
0
;z
0
),
u
,
’ M’
0
(x
0
';y
0
';z
0
'),
'u
* Khoảng cách từ M đến mặt phẳng : d(M,
)=
2 2 2
M M M
Ax By CZ D
A B C
* Khoảng cách từ M đến đường thẳng : d(M,)=
1
[ , ]MM u
u
* Khoảng cách giữa hai đường thẳng: d(,’)=
00
[ , ']. '
[ , ']
u u M M
uu
III. PHƢƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Mặt cầu (S)I(a;b;c),bán kính R
Dạng 1: (x-a)
2
+(y-b)
2
+(z-c)
2
=R
2
(S)
Dạng 2: x
2
+y
2
+z
2
-2ax-2by-2cz+d=0 khi đó R=
2 2 2
a b c d
1. d(I,
)>R:
(S)=
2. d(I,
)=R:
(S)=M (M gọi là tiếp điểm)
*Điều kiện để mặt phẳng
tiếp xúc mặt cầu (S): d(I, )=R (mặt phẳng
là tiếp diện của
mặt cầu (S) tại M khi đó
n
=
IM
)
3. Nếu d(I,
)<R thì
sẽ cắt mc(S) theo đường tròn (C) có phương trình là giao của
và
Tổng hợp lí thuyết và bài tập hình học không gian.
Chủ biên : Trương Minh Vương
5
Email:
(S). Để tìm tâm H và bán kính r của (C) ta làm như sau:
a. Tìm r =
22
- ( , )R d I
b. Tìm H: +Viết phương trình đường thẳng qua I, vuông góc với
+H=
(toạ độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình với
)
1.2 Khối đa diện
a/ Giữa hai đƣờng thẳng:
Góc giữa hai đường thẳng a, b trong không gian là góc giữa
hai đường thẳng a’, b’ cùng đi qua O và lần lượt song song với
a và b.
*)
00
0 , 90ab
*)
0
//
( , ) 0
ab
ab
ab
*)
0
( , ) 90a b a b
b/ Giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng:
( ,( )) ( , ')a P a a
trong đó a’ là hình chiếu của a lên (P).
c/ Giữa hai mặt phẳng.
- Gọi
là giao tuyến của (P) và (Q) và
I
- đường thẳng
()aP
và vuông góc với
tại I
- đường thẳng
()bQ
và vuông góc với
tại I
Khi đó: (a,b) = ((P),(Q))
CÔNG THỨC TÍNH TOÁN THƯỜNG DÙNG
1. Hệ thức lƣợng trong tam giác vuông
*)
2 2 2
a b c
*)
2
.'c ac
*)
a h b c
*)
sin cos
b
BC
a
*)
tan cot
b
BC
a
*)
2
.'b ab
*)
2
'. 'h b c
*)
2 2 2
1 1 1
h b c
*)
sin cos
c
CB
a
tan cot
c
CB
b
2) Hế thức lƣợng trong tam giác bất kỳ
a
b
b'
a'
O
a
a'
P
H
O
A
a
b
Q
P
I
Tổng hợp lí thuyết và bài tập hình học không gian.
Chủ biên : Trương Minh Vương
6
Email:
a) Định lý côsin:
2 2 2
2 cosa b c bc A
b) Định lý sin:
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
(R: bán kính dường trong ngoại tiếp
ABC)
3) Công thức tính diện tích tam giác
(1):
1 1 1
. . .
2 2 2
a b c
S a h bh ch
(3):
4
abc
S
R
(5):
( )( )( )S p p a p b p c
(2):
1 1 1
sin sin sin
2 2 2
S ab C bc A ac B
(4):
,
2
abc
S pr p
(r: bán kính đường tròn nội tiếp)
Chú ý: Nếu
ABC vuông tại A, thì
1
.
2
S AB AC
Nếu
ABC đều cạnh a thì
2
33
,
42
aa
Sh
4) Công thức tính diện tích các hình khác
a) Hình vuông cạnh a: S = a
2
b) Hình chữ nhật: S = dài x rộng
c) Hình thoi: S = nửa tích hai đường chéo
d) Hình thang: S = [(Đáy lớn + Đáy nhỏ) x Chiều cao] chia 2
e) Hình bình hàng: S = Đáy x Chiều cao
g) Hình tròn:
2
.SR
h) Tứ giác có hai đường chéo x, y vuông góc: 2S = x.y
5) Chú ý:
Đường chéo của hình vuông cạnh a là:
2a
Đường chéo của hình lập phương cạnh a là:
3a
Đường chéo của hình hộp chữ nhật cạnh a, b, c là:
2 2 2
abc
II) CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng toán 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Cách 1: Ta tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng. Khi đó giao tuyến là đường thẳng đi
qua hai điểm chung đó
Cách 2: Sử dụng hệ quả của định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng (Định lý 2.SGK.Tr57)
Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của
chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng
đó.
Cách 3: Sử dụng định lí 2. SGK. Tr61 và hệ quả của nó
- Định lí: Cho đường thẳng a song song mp(P). mp(Q) chứa a và cắt (P) theo giao tuyến là
Tổng hợp lí thuyết và bài tập hình học không gian.
Chủ biên : Trương Minh Vương
7
Email:
b thì b song song với a.
- Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến
của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
Cách 4: Sử dụng định lí 3. SGK. Tr67.
Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt
phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.
*) Chú ý: Phương pháp chung sử dụng cách 2, 3, 4 là:
- Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng
- Các định lí, hệ quả ở cách 2, 3, 4 cho ta phương của giao tuyến theo một đường
thẳng. Từ đó xác định được giao tuyến
Dạng toán 2: Tìm giao điểm của đƣờng thẳng và mặt phẳng
Tìm giao điểm của đường thẳng đó với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng kia
Dạng toán 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đƣờng thẳng đồng quy
- CM ba điểm thẳng hàng ta CM chúng cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt
- CM ba đường thẳng đồng quy ta CM giao điểm của hai đường thẳng này là điểm chung của hai
mặt phẳng phân biệt mà giao tuyến là đường thẳng thứ 3
Dạng toán 4: Tìm thiết diện của một mặt phẳng và một hình
- Xác định các giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của hình
- Xác định giao điểm của các giao tuyến với các cạnh của hình đến khi ta thu được một đa giác
khép kin, đa giác khép kín đó chính là thiết diện.
Dạng toán 5: Chứng minh hai đƣờng thẳng song song
Cách 1: Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng rồi áp dụng phương pháp chứng minh song
song trong hình học phẳng (đường trung bình, định lí talét đảo,…)
Cách 2: Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba
Cách 3: Áp dụng các định lí về giao tuyến (Cách 2, 3, 4 – Bài toán 1)
Cách 4: CM hai đường thẳng đó cùng vuông góc với một mặt phẳng
Dạng toán 6: Chứng minh đƣờng thẳng song song với mặt phẳng
Cách 1: Áp dụng định lí: Đường thẳng d không nằm trong (P) và d song song với một đường
thẳng d’ nằm trong (P) thì d song song với (P).
Cách 2: CM đường không nằm trong mặt và CM đường thẳng và mặt phẳng đó cùng song song
hoặc cùng vuông góc với một đường thẳng hoặc một mặt phẳng.
Dạng toán 7: Chứng minh hai mặt phẳng song song
Cách 1: Áp dụng định lí: Một mp(P) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và hai đường thẳng này
cùng song song với mp(Q) thì (P) song song với (Q)
Cách 2: CM hai mặt phẳng này phân biệt và CM hai mặt phẳng đó cùng song song hoặc cùng
vuông góc với một đường thẳng hoặc một mặt phẳng
Tổng hợp lí thuyết và bài tập hình học không gian.
Chủ biên : Trương Minh Vương
8
Email:
Bài toán 8: Chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc
Cách 1:
()
()
dP
da
aP
Cách 2: Áp dụng định lí ba đường vuông góc: Cho đường thẳng a không vuông góc với mp(P),
đường thẳng b nằm trong (P), a’ là h.c.v.g của a lên (P).
Khi đó:
'b a b a
Cách 3:
/ /( )
()
aP
ba
bP
Cách 4:
//ab
da
db
Bài toán 9: Chứng minh đƣờng thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P)
Cách 1: Ta CM a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mp(P)
Cách 2:
//
()
()
ab
Pa
Pb
Cách 3:
( ) / /( )
()
()
PQ
aP
aQ
Cách 4: CM a là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với (P)
Cách 5:
( ) ( )
()
( ),
PQ
aP
a Q a
Bài toán 10: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
Ta CM mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia
()
( ) ( )
()
aP
PQ
aQ
hoặc
()
()
bQ
bP
Bài toán 11: Xác định góc giữa đƣờng thẳng a và mp(P)
Cách 1: Là góc giữa a và hình chiếu a’ của a lên (P)
Cách 2: Là góc giữa a và đường thẳng b, với b//(P)
Chú ý: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng không bao giờ tù
Bài toán 12: Xác định góc giữa hai mặt phẳng (P), (Q)
Cách 1: - Xác định giao tuyến d của (P) và (Q)
- Xác định đường thằng a thỏa mãn: a
(P), a
d
- Xác định đường thẳng b thỏa mãn: b
(Q), b
d
Khi đó góc giữa (P) và (Q) là góc giữa a và b
Tổng hợp lí thuyết và bài tập hình học không gian.
Chủ biên : Trương Minh Vương
9
Email:
Cách 2: Là góc giữa hai đường thẳng a và b, với a
(P) và b
(Q)
Bài toán 13: Xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, đƣờng thẳng
- Xác định h.c.v.g của điểm lên mp, đường thẳng
- Khoảng cách là đoạn nối điểm cho với hình chiếu của nó
Bài toán 14: Khoảng cách giữa đƣờng thẳng a và mặt phẳng (P) song song
- Lấy M thuộc a.
-
( ,( )) ( ,( ))d a P d M P
Bài toán 15: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P), (Q)
- Lấy M thuốc (P)
- d((P),(Q)) = d(M, (Q))
Bài toán 16: Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau
Cách 1:
()
( , ) ( ,( ))
( ) / /
Pb
d a b d a P
Pa
Cách 2:
()
( ) ( , ) (( ),( ))
( ) / /( )
Pa
Q b d a b d P Q
PQ
Cách 3: Xác định độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
Cho a, b chéo nhau
d a M
d b N
Thì - d: đường vuông góc chung
- MN: đoạn vuông góc chung
Bài toán 17: Công thức tính thể tích khối đa diện
1) Thể tích khối lập phương:
3
Va
(a kích thước cạnh)
2) Thể tích khối hộp chữ nhật:
V a b c
(a, b, c kích thước ba cạnh)
3) Thể tích khối lăng trụ:
.V B h
(B: diện tích đáy, h: chiều cao)
4) Thể tích khối chóp:
1
.
3
V B h
(B: diện tích đáy, h: chiều cao)
Bài toán 18: Khối tròn xoay
1) Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay:
xq
S rl
(r: bán kính đường trong đáy,
l: đường sinh)
Tổng hợp lí thuyết và bài tập hình học không gian.
Chủ biên : Trương Minh Vương
10
Email:
2) Thể tích khối nón tròn xoay:
2
1
3
V r h
(r: bán kính đường trong đáy, h: chiều cao)
3) Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay:
2
xq
S rl
4) Thể tích khối trụ tròn xoay:
2
V r h
Bài toán 19: Khối cầu
1) Diện tích:
2
4Sr
(r: bán kính mặt cầu)
2) Thể tích:
3
4
3
Vr
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP &PHƢƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1
Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
0 0 0 0
;;M x y z
và vuông
góc với đƣờng thẳng d.
a. Phƣơng pháp
- Mặt phẳng (P) đi qua điểm
0 0 0 0
;;M x y z
.
- Do mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến
là
Pd
na
.
- Phương trình mặt phẳng (P) có dạng:
0 0 0
A x x B y y C z z 0
b. Bài tập áp dụng
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mp(P) qua điểm M(2;2;-1) và
vuông góc với đường thẳng d có phương trình tham số
x 1 2 t
y 3t
z2
.
Bài giải
- Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;2;-1).
- Do mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến
là
Pd
n a 2; 3;0
.
- Phương trình mặt phẳng
0 0 0
(P): A x x B y y C z z 0
.
Tổng hợp lí thuyết và bài tập hình học không gian.
Chủ biên : Trương Minh Vương
11
Email:
2 x 2 3 y 2 0 z 1 0
2x 4 3y 6 0
2x 3y 2 0
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;1;1), B(3;3;3). Viết phương trình
mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Bài giải
- Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
- Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB
I 2;2;2
.
- Mặt phẳng (P) qua điểm I(2;2;2).
- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
P
n AB 2;2;2
.
- Phương trình mặt phẳng
0 0 0
(P): A x x B y y C z z 0
x 2 2 y 2 2 z 2 0
x+y+z-6=0
c. Bài tập luyện tập
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
A(0;2;-1) và vuông góc với đường thẳng d có phương trình chính tắc là
x 1 y 2 z
1 2 2
.
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9).
1. Viết phương trình mặt phẳng (Q) vuông góc với BC tại B.
2. Viết phương trình mặt phẳng
đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với
AB.
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là:
2 2 2
1 2 3 32x y z
. Viết phương trình mặt phẳng
đi qua tâm mặt cầu (S) và
vuông góc với trục Ox.
Dạng 2
Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
0 0 0 0
;;M x y z
và
song song với mặt phẳng (Q).
a. Phƣơng pháp.
- Mặt phẳng (P) đi qua điểm
0 0 0 0
;;M x y z
.
- Do mặt phẳng (P) song song mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng (P) có vectơ pháp
tuyến là:
PQ
nn
.
Tổng hợp lí thuyết và bài tập hình học không gian.
Chủ biên : Trương Minh Vương
12
Email:
- Phương trình mặt phẳng (P):
0 0 0
A x x B y y C z z 0
.
b. Bài tập áp dụng.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
A(1;2;3) và song song với mặt phẳng (Q) có phương trình tổng quát là: 2x+2y+z=0.
Bài giải
- Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;2;3).
- Do mặt phẳng (P) song song mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là:
PQ
n n 2;2;1
.
- Phương trình mặt phẳng
0 0 0
(P): A x x B y y C z z 0
x 1 2 y 2 1 z 3 0
x 2 2y 4 z 3 0
x 2y z 9 0
Cách khác:
- Do mặt phẳng (P) song song mặt phẳng (Q) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng
x 2y z D 0, D 0.
- Vì mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;2;3) nên:
2.2 3 D 0 D 9.
- Do đó phương trình mặt phẳng (P) là:
x 2y z 9 0
.
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Viết
phương trình mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ và song song với mặt phẳng (ABC).
Bài giải
- Mặt phẳng (P) qua điểm O(0;0;0).
- Tính
AB 1;1;0 , AC 1;0;1 .
- Mặt phẳng (ABC) có vectơ pháp tuyến là:
ABC
n AB,AC 1;1;1
.
- Do mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (ABC) nên mặt phẳng (P) có vectơ pháp
tuyến là:
P
n AB,AC 1;1;1
.
- Phương trình mặt phẳng
0 0 0
(P): A x x B y y C z z 0
x 0 1 y 0 1 z 0 0.
x+y+z=0.
c. Bài tập luyện tập.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;-
2;0) và song song với mp (Q) có phương trình: 2x-3y+4z-9=0.
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
B(1;2;3) và song song với mặt phẳng (Oxy).
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(-7;9;1), B(2;-3;2),
C(5;0;4), D(6;2;5). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm D và song song với mặt phẳng
(ABC).
Tổng hợp lí thuyết và bài tập hình học không gian.
Chủ biên : Trương Minh Vương
13
Email:
Dạng 3
Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
a. Phƣơng pháp.
- Mặt phẳng (P) đi qua điểm
0 0 0
;;A x y z
.
- Do mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C nên mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
P
n AB,AC
.
- Phương trình mặt phẳng (P) có dạng:
0 0 0
A x x B y y C z z 0
.
b. Bài tập áp dụng.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm
A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1).
Bài giải
- Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;0;0).
- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
P
n AB,AC
.
Với
AB 1;1;0 .
AC 1;0;1 .
P
n AB,AC 1;1;1
.
- Phương trình mặt phẳng
0 0 0
(P): A x x B y y C z z 0
.
x 1 1 y 0 1 z 0 0.
x 1 y z 0.
x y z 1 0.
Cách khác: Ta có thể áp dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
- Do ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) nằm trên ba trục tọa độ nên mặt phẳng (P) có
phương trình là:
o
1 1 x+y+z-1=0
1 1 1
x y z x y z
a b c
.
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình:
2 2 2
x y z 2x 4y z 0
. Gọi A, B, C lần lượt là giao điểm (khác gốc tọa độ) của mặt cầu (S)
với các trục Ox, Oy, Oz. Viết phương trình mặt phẳng
đi qua ba điểm A, B, C.
Bài giải
Tìm A.
- Vì
Ox A x;0;0A
.
Tổng hợp lí thuyết và bài tập hình học không gian.
Chủ biên : Trương Minh Vương
14
Email:
- Do
2
0
S 2 0 2;0;0
2
x
A x x A
x
.
Tìm B.
- Vì
Oy 0;y;0
.
- Do
2
0
S y 4 0 0; 4;0
4
y
y
y
.
Tìm C.
- Vì
C Oz C 0;0;z
.
- Do
2
0
C S z 0 C 0;0; 1
1
z
z
z
.
Do ba điểm A(-2;0;0), B(0;-4;0), C(0;0;-1) nằm trên ba trục tọa độ nên mặt phẳng (P) có
phương trình là:
1
1
241
x+y+4z+4=0
x y z
a b c
x y z
.
c. Bài tập áp dụng.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1;1), B(2;4;5), C(4;1;2). Viết
phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C.
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có đỉnh A(1;0;-2), trung điểm
đoạn thẳng AB là I(-1;1;4) và trọng tâm là G(9;1;2). Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm K(1;2;3), đường thẳng d có phương trình
tham số:
x 1 t
y 1 t
z 2t
và mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát:
x+y-2z-4=0. Gọi H là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình mặt
phẳng (OHK).
Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;-3;4). Gọi A, B, C lần lượt là hình
chiếu vuông góc của M lên các trục tọa độ. Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của
điểm M(2;3;-5) lên các mặt phẳng tọa độ. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm I, J, K.
Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(-7;9;1), B(2;-3;2),
C(5;0;4), D(6;2;5). Gọi G là trọng tâm tứ diện và I là điểm cách đều các đỉnh của tứ diện. Viết
phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm B, G, I.
Dạng 4
Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và chứa đƣờng thẳng d
Tổng hợp lí thuyết và bài tập hình học không gian.
Chủ biên : Trương Minh Vương
15
Email:
không đi qua A.
a. Phƣơng pháp.
- Mặt phẳng (P) đi qua điểm A.
- Chọn một điểm
0 0 0 0
;;M x y z
thuộc đường thẳng d.
- Do mặt phẳng (P) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d nên mặt phẳng (P)
có vectơ pháp tuyến là:
Pd
n MA,a
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
0 0 0
A x x B y y C z z 0
.
b. Bài tập áp dụng.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số
1
2
2
xt
yt
zt
và điểm A(1;3;2). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và chứa đường thẳng d.
Bài giải
- Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;3;2).
- Đường thẳng d đi điểm M(1;0;2) và có vectơ chỉ phương là
1;2;1
d
a
.
- Ta có
0;3;0MA
.
- Do mặt phẳng (P) đi qua A và chứa đường thẳng d nên mặt phẳng (P) có vectơ pháp
tuyến là:
Pd
n MA,a 3;0; 3
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
0 0 0
A x x B y y C z z 0
.
3 1 0 3 3 2 0
3 3 3 6 0
3 3 3 0
10
x y z
xz
xz
xz
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
A(2;1;1) và chứa trục Ox.
Bài giải
- Mặt phẳng (P) đi qua điểm O(0;0;0).
- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là:
P
n OA,i
.
- Với
2;1;1
1;0;0
OA
i
.
- Suy ra:
P
n OA,i 0;1; 1
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
0 0 0
A x x B y y C z z 0
.
Tổng hợp lí thuyết và bài tập hình học không gian.
Chủ biên : Trương Minh Vương
16
Email:
x 1 0 1 0 0
0
yz
yz
c. Bài tập luyện tập.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình chính tắc là
11
1 2 3
x y z
và điểm B(1;-3;2). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua B và chứa đường
thẳng d.
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (
) đi qua điểm M(-
2;1;-3) và chứa trục Oy.
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm E(3;-
1;0) và chứa trục Oz.
Dạng 5
Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) đi qua qua hai điểm A, B và vuông
góc với mặt phẳng (Q).
a. Phƣơng pháp.
- Mặt phẳng (P) đi qua điểm A.
- Do mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (Q) nên
mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là:
PQ
n AB,n
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
0 0 0
A x x B y y C z z 0
.
b. Bài tập áp dụng.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm
A(3;-2;5), B(1;-1;3) và vuông góc với mặt phẳng (Q): x-3y+2z+4=0.
Bài giải
- Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(3;-2;5).
- Do mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (Q) nên
mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là:
PQ
n AB,n
.
- Với
2;1; 2
1; 3;2
Q
AB
n
, suy ra
PQ
n AB,n 4;2;5
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
0 0 0
A x x B y y C z z 0
.
Tổng hợp lí thuyết và bài tập hình học không gian.
Chủ biên : Trương Minh Vương
17
Email:
4 3 2 2 5 5 0
4 12 2 4 5 25 0
4 2 5 9 0
x y z
x y z
x y z
c. Bài tập luyện tập.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm
A(2;-1;4), B(3;2;-1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): x+y+2z-3=0.
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (
) đi qua hai điểm
M(2;1;1), N(3;2;2) và vuông góc với mặt phẳng (
): x+2y-5z-3=0.
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm
E(1;-2;2), F(-3;1;2) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x+y-z+6=0.
Dạng 6
Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) chứa đƣờng thẳng d và vuông góc
với mặt phẳng (Q).
a. Phƣơng pháp.
- Chọn một điểm M(
0 0 0
;;x y z
) thuộc đường thẳng d.
- Do mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (Q) nên
mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là:
P d Q
n a ,n
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
0 0 0
A x x B y y C z z 0
.
b. Bài tập áp dụng.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số là:
1
2
2
xt
yt
zt
và mặt phẳng (Q) có phương trình tổng quát 2x-y+3=0. Viết phương trình tổng quát
của mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (Q).
Bài giải
- Chọn điểm M(1;0;2) thuộc đường thẳng d.
- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là:
1;2;1
d
a
.
- Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến là:
2; 1;0
Q
n
.
- Do mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng
Tổng hợp lí thuyết và bài tập hình học không gian.
Chủ biên : Trương Minh Vương
18
Email:
(P) có vectơ pháp tuyến là:
P d Q
n a ,n 1;2; 5
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
0 0 0
A x x B y y C z z 0
.
1 1 2 0 5 2 0.
2 5 9 0.
x y z
x y z
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số là:
11
1 2 1
x y z
và mặt phẳng (Q) có phương trình tổng quát
x+y+z+10=0. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc
với mặt phẳng (Q).
Bài giải
- Chọn điểm M(1;0;-1) thuộc đường thẳng d.
- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là:
1;2;1
d
a
.
- Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến là:
1;1;1
Q
n
.
- Do mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng
(P) có vectơ pháp tuyến là:
P d Q
n a ,n 1;0; 1
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
0 0 0
A x x B y y C z z 0
.
1 1 0 0 1 1 0.
2 0.
x y z
xz
c. Bài tập luyện tập.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số là:
12
1
2
xt
yt
zt
và mặt phẳng (Q) có phương trình tổng quát 2x+z+1=0. Viết phương trình tổng quát
của mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (Q).
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số là:
2
1 2 3
x y z
và mặt phẳng (Q) có phương trình tổng quát
x-2y-z+9=0. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc
với mặt phẳng (Q).
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và
vuông góc với mặt phẳng (Q): 4x+y+3z-8=0.
Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Oz và
vuông góc với mặt phẳng (P): 5x-3y-2z+7=0.
Tổng hợp lí thuyết và bài tập hình học không gian.
Chủ biên : Trương Minh Vương
19
Email:
Dạng 7
Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) chứa đƣờng thẳng d và song song
với đƣờng thẳng d’.
a. Phƣơng pháp.
- Chọn một điểm M(
0 0 0
;;x y z
) thuộc đường thẳng d.
- Do mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và và song song với đường thẳng d’
nên mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là:
P d d'
n a ,a
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
0 0 0
A x x B y y C z z 0
.
b. Bài tập áp dụng.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số là:
3
1
22
xt
yt
zt
và đường thẳng d’ có phương trình tham số là :
'
2 3 '
2'
xt
yt
zt
. Viết phương trình tổng
quát của mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d’.
Bài giải
- Chọn điểm M(3;1;2) thuộc đường thẳng d.
- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là:
1; 1;2
d
a
.
- Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương là:
'
1;3;2
d
a
.
- Do mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d’ nên mặt phẳng
(P) có vectơ pháp tuyến là:
P d d'
n a ,a 8; 4;2
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
0 0 0
A x x B y y C z z 0
.
3 4 1 2 2 0.
4 2 24 0.
4 2 12 0
x y z
x y z
x y z
c. Bài tập luyện tập.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình chính tắc là:
12
2 2 1
x y z
và đường thẳng d’ có phương trình tham số là :
2
53
4
xt
yt
z
. Viết phương trình
tổng quát của mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d’.
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình chính tắc là:
Tổng hợp lí thuyết và bài tập hình học không gian.
Chủ biên : Trương Minh Vương
20
Email:
12
2 1 1
x y z
và đường thẳng d’ có phương trình chính tắc là :
54
2 3 1
x y z
. Viết phương
trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d’.
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1),
D(1;1;1).
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và song song với đường thẳng
CD.
2. Viết phương trình mặt phẳng
chứa đường thẳng BC và song song với đường thẳng
AD.
Dạng 8
Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) chứa đƣờng thẳng d và đƣờng thẳng d’.
a. Phƣơng pháp.
- Chọn một điểm M(
0 0 0
;;x y z
) thuộc đường thẳng d.
- Do mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đường thẳng d’ nên mặt phẳng (P)
có vectơ pháp tuyến là:
P d d'
n a ,a
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
0 0 0
A x x B y y C z z 0
.
b. Bài tập áp dụng.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số là:
12
2
13
xt
yt
zt
và đường thẳng d’ có phương trình tham số là:
2'
1 2 '
1'
xt
yt
zt
. Viết phương trình tổng
quát của mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đường thẳng d’.
Bài giải
- Chọn điểm M(1;2;-1) thuộc đường thẳng d.
- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là:
2;1;3
d
a
.
- Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương là:
'
1;2;1
d
a
.
- Do mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đường thẳng d’ nên mặt phẳng
(P) có vectơ pháp tuyến là:
P d d'
n a ,a 5;1;3
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
0 0 0
A x x B y y C z z 0
.
1 1 2 3 1 0.
x+y+3z+6=0.
x y z
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số là:
Tổng hợp lí thuyết và bài tập hình học không gian.
Chủ biên : Trương Minh Vương
21
Email:
12
2
xt
yt
zt
và đường thẳng d’ có phương trình tham số là :
1 4 '
1 2 '
2'
xt
yt
zt
. Viết phương trình tổng
quát của mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đường thẳng d’.
Bài giải
- Chọn điểm A(1;0;2) thuộc đường thẳng d.
- Chọn điểm B(1;1;0) thuộc đường thẳng d’.
- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là:
2;1;1
d
a
.
- Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương là:
'
4;2;2
d
a
.
- Nhận thấy
'
2
dd
aa
và điểm A thuộc d nhưng không thuộc d’ nên đường thẳng d song
song với đường thẳng d’.
- Tính
0;1; 2AB
.
- Do mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đường thẳng d’ nên mặt phẳng (P) có vectơ
pháp tuyến là:
Pd
n AB,a 3; 4; 2
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
0 0 0
A x x B y y C z z 0
.
1 4 0 2 2 0.
3 3 4 2 4 0
x-4y-2z+1=0.
x y z
x y z
c. Bài tập luyện tập.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số là:
0
1
1
x
y
zt
và đường thẳng d’ có phương trình tham số là :
2 2 '
1
0
xt
y
z
. Viết phương trình tổng
quát của mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đường thẳng d’.
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình chính tắc là:
1 2 4
2 1 3
x y z
và đường thẳng d’ có phương trình tham số là :
1
23
xt
yt
zt
. Viết phương
trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đường thẳng d’.
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số là:
2
13
xt
yt
zt
và đường thẳng d’ có phương trình tham số là :
3'
2 9 '
1 3 '
xt
yt
zt
. Viết phương trình tổng
quát của mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đường thẳng d’.
Dạng 9
Tổng hợp lí thuyết và bài tập hình học không gian.
Chủ biên : Trương Minh Vương
22
Email:
Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với
mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (R).
a. Phƣơng pháp.
- Mặt phẳng (P) đi qua điểm M.
- Do mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (R) nên mặt
phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là:
P Q R
n n ,n
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
0 0 0
A x x B y y C z z 0
.
b. Bài tập áp dụng.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q) có phương trình tổng quát là
x+y+z+1=0, mặt phẳng (R) có phương trình tổng quát là 2x-y-3=0 và điểm M(1;2;1). Viết
phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (R).
Bài giải
- Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;1).
- Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến là:
1;1;1
Q
n
.
- Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến là:
2; 1;0
Q
n
.
- Do mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (R) nên mặt
phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là:.
P Q R
n n ,n 1;2; 3
- Phương trình mặt phẳng (P):
0 0 0
A x x B y y C z z 0
.
1 1 2 2 3 1 0.
2 3 2 0.
x y z
x y z
c. Bài tập áp dụng.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q) có phương trình tổng quát là
2x+y+z+1=0, mặt phẳng (R) có phương trình tổng quát là x-2y+z+4=0 và điểm M(1;0;-1). Viết
phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (R).
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2) và mặt
phẳng (Q) có phương trình tổng quát là x+2z+10=0. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M(-2;1;-3) và vuông góc với mặt phẳng (Q) và mp(ABC).
Dạng 10
Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) thỏa điều kiện cho trƣớc và tiếp xúc
với một mặt cầu cho trƣớc.
a. Phƣơng pháp.
Tổng hợp lí thuyết và bài tập hình học không gian.
Chủ biên : Trương Minh Vương
23
Email:
- Phương trình mp(P) có dạng
Ax+By+Cz+D=0
với
2 2 2
0A B C
.
- Từ điều kiện cho trước ta tìm được vectơ pháp tuyến
;;
P
n A B C
của mặt
phẳng (P).
- Do mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên khoảng cách từ tâm I của mặt
cầu (S) đến mặt phẳng (P) bằng bán kính R. Từ điều kiện này ta tính được D.
b. Bài tập áp dụng.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): 2x+2y+z-1=0 và mặt cầu (S):
2 2 2
x-1 y 2 z 3 9
. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) và
tiếp xúc với mặt cầu (S).
Bài giải
- Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và bán kính R=3.
- Do mặt phẳng (P) song song mặt phẳng (Q) nên phương trình mặt phẳng
(P) có dạng 2x+2y+z+D=0 với D
-1.
- Mặt khác, do mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên:
,
2.1 2.2 3
3 9 9
9
9 9 0
9 9 18
d I P R
D
D
DD
DD
- Với D=0, phương trình mặt phẳng (P) là 2x+2y+z = 0.
- Với D=-18, phương trình mặt phẳng (P) là 2x+2y+z-18 = 0
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số là
22
92
xt
yt
zt
và mặt cầu (S)
2 2 2
x-1 y 1 z 1 9
. Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông
góc với đường thẳng d và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Bài giải
- Mặt cầu (S) có tâm I(1;1;1) và bán kính R=3.
- Phương trình mp(P) có dạng
Ax+By+Cz+D=0
với
2 2 2
0A B C
.
- Do mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng (P) có
vectơ pháp tuyến là
2;1;2
Pd
na
.
- Phương trình mặt phẳng (P) có dạng 2x+y+2z+D=0.
- Mặt khác, do mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên:
,
2.1 1 2.1
3
9
5 9 4
59
5 9 14
d I P R
D
DD
D
DD
- Với D=4, phương trình mặt phẳng (P) là 2x+y+2z+4 = 0.
Tổng hợp lí thuyết và bài tập hình học không gian.
Chủ biên : Trương Minh Vương
24
Email:
- Với D=-14, phương trình mặt phẳng (P) là 2x+y+2z-14 = 0
c. Bài tập luyện tập.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): 2x+2y+z-1=0 và mặt cầu (S) có
tâm I(1;2;0) bán kính R=3. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) và tiếp
xúc với mặt cầu (S).
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là
16x-15y-12z-75=0 và mặt cầu (S):
2 2 2
x-1 y 2 z 3 4
.
Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số là
62
4
12
xt
yt
zt
và mặt cầu (S)
2 2 2
x y z 2x 4y 6z 2 0
. Viết phương trình mặt phẳng (P)
vuông góc với đường thẳng d và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt
cầu (S):
2 2 2
10 2 26 170 0x y z x y z
và song song với hai đường thẳng d:
5 2 x=-7+3t'
1 3 , d': y=-1-2t'
13 2 z=8
xt
yt
zt
.
Dạng 11
Phƣơng pháp tính khoảng cách trong không gian
Bài tập 1: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a,
SA=a. Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB).
Giải:
\S.ABCD là hình chóp đều nên SO (ABCD). Qua O kẻ OI vuông góc với AB
B
C
D
A
S
H
I
O
Tổng hợp lí thuyết và bài tập hình học không gian.
Chủ biên : Trương Minh Vương
25
Email:
(SOI) (SAB). Kẻ OH SI OH (SAB) d(O;(SAB)) = OH
Ta có: AC = BD = a 2, OI =
a
2
. Xét SAO ta có: SO
2
= SA
2
- AO
2
=
a
2
2
Xét SOI:
1
OH
2
=
1
SO
2
+
1
OI
2
=
6
a
2
OH = a 6
Vậy: d(O; (SAB)) = a 6.
Bình luận:
1. Nếu thay giả thiết bài toán thành tính khoảng cách từ điểm C đến (SAB) ta sẻ làm như
thế nào:
- Ta vẫn tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB) rồi sử dụng bổ đề (*) để suy ra
d(C;(SAB))
Ta có:
d(C;(SAB))
d(O;(SAB))
=
CA
OA
= 2 d(C;(SAB)) = 2a 6
2. Nếu thay giả thiết bài toán thành tính khoảng cách từ điểm trung điểm K của SC đến
(SAB) ta sẻ làm như thế nào:
- Ta vẫn tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB) rồi sử dụng bổ đề (*) để suy ra
d(K;(SAB))
Ta có OK∥(SAB) d(K;(SAB)) = d(O;(SAB)) = a 6
Nhận xét: Qua bài tập trên ta có thể rút ra cách tính khoảng cách từ 1 điểm bất kì đến mặt
bên của khối chóp như sau:
- Tính khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh lên mặt đáy đến mp đó rồi sử dụng bổ đề (*) để
suy ra khoảng cách cần tính.
Bài tập 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=3a, BC=4a;
mp(SBC) vuông góc với mp(ABC). Biết SB=2a 3,
SBC=30
0
. Tính khoảng cách từ điểm
B đến mp(SAC) theo a.
Giải:
Kẻ SH BC SH (ABC). Xét SHB ta có: SH = SB.sin30
0
= a 3;
BH = SB.cos30
0
= 3a
Qua H kẻ HI AC tại I
(SHI) (SAC). Kẻ HK SI tại K
HK (SAC)
d(H;(SAC)) = HK
Ta có CHI∽CAB(g-g)
HI =
AB.CH
AC
=
3a
5
1
HK
2
=
1
HI
2
+
1
SH
2
=
28
9a
2
HK =
3a
2 7
d(H;(SAC)) =
3a
2 7
K
I
B
C
H
A
S
