Chuyên đề Ôn Thi Đại Học Tích phân-Hay
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (187.91 KB, 14 trang )
Tích phân
Kiến thức cơ bản
1. Công thức Niutơn Laipnit: Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) trên đoạn
[ ]
ba;
. Ta có:
).()()()( aFbFxFdxxf
b
a
b
a
==
Chú ý: Tích phân
b
a
dxxf )(
chỉ phụ thuộc vào f, a, b mà không phụ thuộc vào cách kí hiệu biến số
tích phân. Vì vậy ta có thể viết:
F(b) F(a) =
===
b
a
b
a
b
a
duufdttfdxxf ...)()()((
.
2. Các tính chất của tích phân
Giả sử các hàm số f(x), g(x) liên tục trên khoảng K và a,b,c là ba điểm của khoảng K. Ta có:
* Tính chất 1:
.0)(
=
a
a
dxxf
* Tính chất 2:
..)()(
=
a
b
b
a
dxxfdxxf
* Tính chất 3:
..,)()(
=
b
a
b
a
Rkdxxfkdxxkf
* Tính chất 4:
[ ]
.)()()()(
=
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf
* Tính chất 5:
+=
c
a
b
c
b
a
dxxfdxxfdxxf .)()()(
* Tính chất 6: Nếu f(x)
[ ]
bax ;,0
b
a
dxxf .0)(
* Tính chất 8: Nếu
[ ]
b
a
b
a
dxxgdxxfbaxxgxf .)()(;),()(
* Tính chất 9: Nếu
[ ]
b
a
abMdxxfabmbaxMxfm ).()()(;,)(
Bài toán 1. Tích phân của hàm số đa thức và hữu tỷ
I. Kiến thức áp dụng
1. Công thức 1:
)1(,.
1
1
+
+
=
+
C
x
dxx
2. Công thức 2:
;.ln
1
+=
Cxdx
x
II. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1. Tính tích phân sau
.
1
53
))54()
3
1
2
1
0
3
1
dx
x
x
IbdxxxIa
+
+
=+=
Bài giải
a) I
1
=
1
0
2
4
52
4
+
xx
x
=
4
13
;
b) I
2
=
[ ]
.2ln26)1ln(23)
1
2
3(
3
1
3
1
+=++=
+
+
xxdx
x
Ví dụ 2. Tính tích phân sau: I =
4
3
2
.
4x
dx
Bài giải
Ta có: I =
.3
5
ln
4
1
2
2
ln
4
1
)
2
1
2
1
(
4
1
4
3
4
1
=
+
=
+
x
x
dx
xx
.
Ví dụ 3. Tính tích phân sau:
;
)1)(13(
1
)
76
)
2
1
22
2
3
2
2
dx
xxxx
x
Jb
xx
dx
Ia
++++
=
+
=
Bài giải
a) I =
.4
9
ln
7
1
7
1
ln
8
1
)
7
1
1
1
(
8
1
3
2
3
2
=
+
=
+
x
x
dx
xx
;
b) J =
=
++++
dx
x
x
x
x
x
2
1
2
)1
1
)(3
1
(
1
1
)5ln
2
7
(ln
2
1
)3
1
ln()1
1
ln(
2
1
)1
1
)(3
1
(
)
1
(
2
1
2
1
=
++++=
++++
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xd
Ví dụ 4. ĐHSP.TPHCM-2000:Tính tích phân sau: I =
++
+
1
0
2
.
65
114
dx
xx
x
;
Bài giải
Cách 1: I =
[ ]
.
2
3
ln3
3
4
ln.)2ln(3)3ln(...)
3
1
2
1
(3
3
4
)3)(2(
3)2(4
1
0
1
0
1
0
+=+++==
+
+
+
+
=
++
++
xxdx
xxx
dx
xx
x
Cách 2: (Phơng pháp hệ số bất định)
Đặt:
.3;2,
32ã
65
114
2
+
+
+
=
++
+
x
x
b
x
a
xx
x
65
23)(
)3)(2(
)2()3(
65
114
22
++
+++
=
++
+++
=
++
+
xx
baxba
xx
xbxa
xx
x
=
=
=+
=+
1
3
1123
4
b
a
ba
ba
;
Khi đó: I =
[ ]
2
3
ln3
3
4
ln)3ln()2ln(3)
3
1
2
3
(
1
0
1
0
+=+++=
+
+
+
xxdx
xx
.
Ví dụ 5. ĐHYHN-2000. Tính tích phân sau: I =
+
2
1
2
2
.
127
dx
xx
x
;
Bài giải
Cách 1. Phân tích:
I =
dx
xxx
dx
xx
xxx
+
+=
+++
2
1
2
1
2
)
3
1
4
1
(9
4
7
1
)4)(3(
9)3(7127
=
[ ]
2
1
ln9
3
2
ln1613ln94ln16
2
1
+=+
xxx
.
Cách 2. (Phơng pháp hệ số bất định)
Đặt:
=
=
+
+=
+
16
9
...
43ã
1
127
2
2
b
a
x
b
x
a
xx
x
(Bạn đọc tự làm)
Ví dụ 6. ĐHNT-2000. Tính tích phân sau:
a)
.
92
103
)
1
23
1
0
2
2
2
0
2
2
dx
xx
xx
Jbdx
xx
xx
I
++
++
=
++
++
=
Bài giải
a) I =
[ ]
+=+++=
++
+
+
2
0
2
0
2
2
7ln2)1ln()
1
12
1( xxxdx
xx
x
.
b) J =
3
4
ln
2
1
1)92ln(
2
1
)
92
1
1(
1
0
1
0
2
2
+=
+++=
++
+
+
xxxdx
xx
x
.
Ví dụ 7.ĐHNT-1999. Tính tích phân sau: I =
++
1
0
22
.
)23( xx
dx
.
Bài giải
I =
++
+
+
+
=
+
+
1
0
1
0
22
2
)2)(1(
2
)2(
1
)1(
1
)
2
1
1
1
( dx
xx
xx
dx
xx
=
3
4
ln2
3
2
3
4
ln2
3
1
2
1
2
1
1
2
1
ln2
2
1
1
1
1
0
=+=
+
+
+
+
+
x
x
xx
.
Ví dụ 8. ĐHTN 2001. Tính tích phân sau: I =
+
++
51
1
24
2
1
1
dx
xx
x
Bài giải
Ta có: I =
=
++
+ 51
1
2
2
2
1
1
1
1
dx
x
x
x
...
1
1
1
1
ln
2
1
...
1)
1
(
)
1
(
1)
1
(
1
1
51
1
51
1
2
51
1
2
2
=
++
+
==
+
+
=
+
+
++
x
x
x
x
x
x
x
xd
dx
x
x
x
III. Bài tập áp dụng
1)
;
23
B ;
)1(
.
0
1
2
3
2
9
2
+
=
=
xx
dx
x
dxx
A
2)
;
)1(
B ;
1
.22(
4
2
10
3
2
1
3
2
=
+
+
=
x
dxx
x
dxxx
A
;
)1()3(
D
;
65
).116102(
1
0
22
1
1
2
23
++
=
+
+
=
xx
dx
xx
dxxxx
C
3)
;
23
)47(
B ;
65
).63(
0
1
3
1
1
23
23
+
=
+
++
=
xx
dxx
xxx
dxxxx
A
4)
;
34
B ;
2
2
1
24
2
1
23
++
=
++
=
xx
dx
xxx
dx
A
5)
;
)4(
.
B ;
).14(
1
0
28
3
2
1
34
23
=
+
=
x
dxx
xx
dxxxx
A
6)
;
)1.(
).1(
B ;
)1(
3
1
4
4
2
1
26
+
=
+
=
xx
dxx
xx
dx
A
7) (CĐSP HN 2000):
+
+
=
3
0
2
2
.
1
23
dx
x
x
I
8) (ĐHNL TPHCM 1995)
++
=
1
0
2
65xx
dx
I
9) (ĐHKT TPHCM 1994)
+
=
1
0
3
.
)21(
dx
x
x
I
10) (ĐHNT HN 2000)
++
+++
=
1
0
2
23
92
).1102(
xx
dxxxx
I
11) (ĐHSP TPHCM 2000)
++
+
=
1
0
2
65
).114(
xx
dxx
I
12) (ĐHXD HN 2000)
+
=
1
0
3
1
.3
x
dx
I
13) (ĐH MĐC 1995 )
++
=
1
0
24
34xx
dx
I
14) (ĐHQG HN 1995). Xác định các hằng số A,B,C để
21
)1(23
333
23
2
+
+
+
=
+
++
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Tính
dx
xx
xx
I .
23
333
3
2
+
++
=
15) (ĐHTM 1995)
+
=
1
0
2
5
1
.
x
dxx
I
16) (ĐH Thái Nguyên 1997)
x
x
dxx
I
+=
+
=
x
1
t: HD
1
).1(
2
1
4
2
17) Xác định các hằng số A,B để
1
)1()1(
2
22
+
+
+
=
+
+
x
B
x
A
x
x
Tính
dx
x
x
I .
)1(
)2(
3
2
2
+
+
=
18 )
+
++
=
=
1
0
22
2
4
3
36
5
;
)1)(2(
1322
B ;
2
3
3
dx
xx
xx
xx
dxx
A
Bài toán 2. Phơng pháp đổi biến số
Dạng 1. Đặt x = u(t)
* x = sint, t
2
;
2
* x = tant, t
−∈
2
;
2
ππ
VÝ dô 1. TÝnh tÝch ph©n : I =
∫
−
3
0
2
;9 dxx
Bµi gi¶i
§Æt x = 3sint, t
−∈
2
;
2
ππ
* x = 0
⇒
t = 0
* x = 3
⇒
t =
2
π
⇒
dxxxdxxdxxdxx )2cos1(
2
9
cos9cos3.)sin1(99
222
+==−=−
⇒
I =
∫
+
2
0
)2cos1(
2
9
π
dxx
=
2
0
)2sin
2
1
(
2
9
π
xx
+
=
4
9
π
.
VÝ dô 2. TÝnh tÝch ph©n sau: I =
∫
−
4
2
2
4 dxxx
Bµi gi¶i
I =
∫∫
−−=+−−
4
2
2
4
2
2
;)2(4)44(4 dxxdxxx
§Æt x -2 = 2sint, t
−∈
2
;
2
ππ
* x = 0
⇒
t = 0
* x = 3
⇒
t =
2
π
⇒
dtttdttdtxdxx )2cos1(cos2cos2.)sin1(4)2(4
222
+==−=−−
⇒
I =
∫
==+
π
π
0
...)2cos1( dtt
.
⇒
Tæng qu¸t 1 :
∫
>=−
.0,
4
2
22
a
a
dxxa
π
Ph¬ng ph¸p : §Æt x = asint.
VÝ dô 3. §HSP1-2000. TÝnh tÝch ph©n : I =
∫
−
a
dxxax
0
222
;
víi a > 0.
Bµi gi¶i
§Æt x = asint. t
−∈
2
;
2
ππ
* x = 0
⇒
t = 0
* x = a
⇒
t =
2
π
⇒
x
2
dtt
a
tdt
a
tdxtatdxatatadxxa )4cos1(
8
2sin
4
cossincos.)sin1(.sin
4
2
4
224222222
−===−=−
⇒
I =
∫
=−
2
0
44
.
16
)4cos1(
8
π
π
a
dtt
a
VÝ dô 4. TÝnh tÝch ph©n : I =
∫
+
5
0
2
5
1
dx
x
Bµi gi¶i
§Æt x =
5
tant,
−∈
2
;
2
ππ
t
* x = 0
⇒
t = 0
* x =
5
⇒
t =
4
π
⇒
4
5
5
tan1
)tan1(5
5
1
4
0
4
0
2
2
5
0
2
π
π π
==
+
+
=
+
∫ ∫∫
dtdt
t
t
dx
x
⇒
Tæng qu¸t 2 :
∫
>=
+
a
a
a
dx
ax
0
22
.0,
4
1
π
Ph¬ng ph¸p : §Æt x = atant.
VÝ dô 5. TÝnh tÝch ph©n sau
;
1
:2000)
1
)
2
1
0
24
1
0
2
∫∫
++
=−
++
=
xx
xdx
JHVTCb
xx
dx
Ia
Bµi gi¶i
a) I =
∫
++
1
0
2
4
3
)
2
1
(x
dx
§Æt x+
.tan
2
3
2
1
t
=
−∈
2
;
2
ππ
t
* x = 0
⇒
t =
6
π
* x = 1
⇒
t =
3
π
⇒
I =
∫ ∫∫
==
+
+
=
++
3
6
3
6
2
2
1
0
2
12
3
2
3
tan1
)tan1(
2
3
4
3
)
2
1
(
π
π
π
π
π
dtdt
t
t
x
dx
.
b)§Æt x
2
+
ttan3
2
1
=
(Lµm t¬ng tù).
VÝ dô 6. TÝnh tÝch ph©n sau : I =
∫
−
2
1
0
4
1 x
dxx
Bµi gi¶i
§Æt x
2
= sint, t
−∈
2
;
2
ππ
* x = 0
⇒
t = 0
* x =
6
2
1
π
=⇒
t
⇒
xdx =
2
1
cosxdx ;
x
xx
cos
1
sin1
1
1
1
24
=
−
=
−
⇒
dx
x
xdx
2
1
1
4
=
−
⇒
I =
∫
=
6
0
122
1
π
π
dx
