Phương pháp nhân liên hợp

Chuyên đề: Giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp
lượng liên hợp
Đầu tiên, ta cần hiểu phương pháp lượng liên hợp để giải phương trình vô tỷ được thực hiện như thế
nào?. Mục đích của việc dùng phương pháp lượng liên hợp là để trục căn thức ở tử tạo ra nhân tử
chung. Nhưng trước hết, việc ta nhóm các hạng tử để tạo ra nhân tử chung là thủ thuật quan trọng
trong phương pháp này. Để nhóm nhân tử chung một cách chính xác thì trước hết chúng ta cần nhẩm
nghiệm hoặc đoán nghiệm. Chính vì vậy mà tôi xin trình bày một số phương pháp nhẩm nghiệm và đoán
nghiệm trước khi nêu ra các thủ thuật giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp lượng liên hợp như
sau:
1. Dùng máy tính bỏ túi để giải nghiệm của phương trình:
Phương pháp này khá quen thuộc đối với các bạn học sinh đã từng học casio.
Ví dụ: Nhẩm nghiệm của phương trình:

Đầu tiên ta cần nhập vào máy tính bỏ túi:

Ta thay ẩn thành ẩn trong máy tính bỏ túi. Rồi bấm Shift →Solve (Nút Solve-Calc nằm ngay
phía dưới nút Shift). Chờ khoảng 1 phút nếu phương trình đơn giản. Với những phương trình
phức tạp thì có thể phải chờ 2 đến 5 phút.
Sau khi máy tính giải ra nghiệm, ta nhận thấy phương trình trên có nghiệm . Để kiểm tra
phương trình trên còn sót nghiệm hay không ta tiếp tục nhập:

Rồi lại tiếp tục bấm Shift→Solve.
2. Dùng tính chất số học để đoán nghiệm của phương trình:
Vẫn dùng phương trình trên làm ví dụ, ta nhận xét vế phải của phương trình là 1 số nguyên.
Chính vì vậy mà ta đưa ra dự đoán các số trong căn thức phải là số chính phương và bé hơn 7.
Vì vậy ta có thể cho mỗi căn thức bằng các số từ 1→7 và giải từng vế căn thức. Ví dụ như:
Cho và rồi giải lần lượt từng phương trình. Nhưng nếu cả 2
vế đều là căn thức thì phương pháp này sẽ không hiệu quả.
3. Thế thử một vài nghiệm vào phương trình đã cho để đoán nghiệm
Dựa vào điều kiện của bài toán, ta sẽ lần lượt thế các nghiệm gần gũi như -3,-2,-1,0,1,2,3 vào
phương trình để tìm xem số nào là nghiệm của phương trình. Đôi khi với một chút nhạy bén, ta

có thể dễ dàng nhẩm ngay nghiệm của phương trình nếu đó là nghiệm đẹp.

Đây là những cách nhẩm nghiệm và đoán nghiệm theo kinh nghiệm của tôi. Sau đây tôi xin trình
bày về 1 số kĩ thuật giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp nhân lượng liên hợp


* Ý tưởng của phương pháp lượng liên hợp thường dùng:



1. Kĩ thuật thêm bớt và tách hạng tử:
a) Thêm bớt và tách số:
Ở phương pháp này, chúng ta sẽ thêm bớt hạng tử hoặc tách hạng tử sẵn có để dung phương
pháp lượng liên hợp để giải phương trình:
VD1: Giải phương trình:

Giải
Dễ thấy là nghiệm của phương trình.
Do với thì và nên ta sẽ tách số 7 thành 4+3 để tạo
thành nhân tử chung
Vậy ta có:




Do nên phương trình nên phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là
VD2: Giải phương trình:
(ĐH_KD00)
Giải

Nhẩm nghiệm ta thấy là nghiệm của phương trình
Với thì và nên ta sẽ tách số 2 thành 5-3 để tạo thành nhân tử
chung



Ta cần biện luận phương trình (1).
Do


Do đó phương trình (1) vô nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là
VD3: Giải phương trình:

Giải
Đánh giá phương trình, ta thấy phương trình có dạng hằng đẳng thức nên ta sẽ biến
đổi phương trình theo hằng đẳng thức để biểu thức gọn hơn. Thật vậy từ phương trình đầu
ta có biểu thức gọn hơn như sau:

Đến đây, ta có thể dễ dàng nhẩm nghiệm hơn. Thật vậy, nhẩm nghiệm của phương trình ta
có phương trình có nghiệm là . Đối với căn bậc ba, ta cũng làm tương tự như căn bậc
hai. Với thì và . Vậy ta tách số 2 thành 8-6.




Do đây là căn thức bậc ba nên việc biện luận phương trình (1) sẽ có phần phức tạp hơn.
Điển hình, ta có thể biện luận phương trình (1) như sau:

Vậy dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Vậy phương trình trên có tập nghiệm là
VD4: Giải phương trình:

(Đề chọn HSG lớp 9 tỉnh Thái Bình)
Giải
Đây là bài toán lớp 9 nhưng nếu khai thác cách giải theo lượng liên hợp ta sẽ có 1 cách giải thú vị
Ta thấy vế phải có dạng hằng đẳng thức nên ta sẽ thu gọn phương trình để dễ dàng
nhẩm nghiệm.

Đến đây ta có thể dựa vào dễ dàng đoán nghiệm là nghiệm của phương trình.



Biện luận phương trình ta thấy: và đều là hàm
tăng nên:



Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là
Một số bài tập tự luyện:


1)
2)
3)
4)

6)

b) Thêm bớt và tách ẩn:
Ở phương pháp này, chúng ta sẽ nhẩm nghiệm và tách ẩn để dùng lượng liên hợp vì đôi khi
với kĩ thuật tách và thêm bớt số, ta sẽ bị sót nghiệm. Ý tưởng của phương pháp này là dùng
ẩn như vai trò của số sau khi đã nhẩm nghiệm.
VD5:Giải phương trình:
(ĐH_KD06)
Giải

Nhẩm nghiệm ta thấy là nghiệm của phương trình.
Ta thử kĩ thuật tách số với phương trình này. Từ phương trình đầu, ta có:



Tới đây ta biện luận phương trình . Ta nhận xét rằng với ĐKXĐ trên thì:


Từ 2 đánh giá trên, ta nhận thấy phương trình vẫn còn nghiệm.Vậy việc thêm bớt số đã
làm cho cách giải của chúng ta sót nghiệm.Nếu quy đồng phương trình , ta lại phải giải
phương trình khá phức tạp là . Chính vì thế mà ta thấy rằng việc thêm
bớt số trong việc giải phương trình này là không toàn vẹn. Vậy ta cần suy nghĩ đến việc dùng
ẩn để thay thế số. Thật vậy, từ phương trình đầu ta có:



Tới đây ta có thể giải tiếp tục phương trình dễ dàng, ngắn gọn:

Kết hợp với điều kiện trên, vậy ta có thể kết luận phương trình có nghiệm duy nhất là
*Nhận xét: Tuy phương trình này có nghiệm duy nhất là nhưng lại có thêm 2 nghiệm
ngoại lai nên việc biện luận phương trình sẽ khá khó khăn. Vậy ta nên để ý rằng. Việc
dùng phương pháp thêm bớt và tách ẩn được dùng khi phương trình ngoài nghiệm duy nhất
còn có thể có nghiệm ngoại lai hoặc các nghiệm khác.
VD6:Giải phương trình:

Giải
Tương tự với phương trình này. Nhẩm nghiệm, ta thấy phương trình này có nghiệm là
Ta sẽ sử dụng kĩ thuật tách ẩn và theo nghiệm đã dự đoán để có thể nhân lượng liên hợp.Từ
đề bài ta có:










Vậy phương trình trên có tập nghiệm là
VD7: Giải phương trình:

Giải

Nhẩm nghiệm ta thấy là nghiệm của phương trình. Vậy ta có:

Với ta có thể dễ dàng chứng minh .

Vậy phương trình có tập nghiệm là
Bây giờ ta sẽ kết hợp cả 2 phương pháp. Sau đây là 1 ví dụ khó hơn:


VD8: Giải phương trình:

Giải
Đầu tiên, ta cần xét điều kiện của phương trình này:



Đoán nghiệm, ta thấy là nghiệm của phương trình
Do đề bài khá phức tạp nên ta sẽ khai triển hằng đẳng thức ra và thu gọn để xem ta có thể
tách các biến như thế nào cho phù hợp. Thật vậy, từ đề bài ta có:

Nhận xét rằng mỗi vế căn đều có đặc điểm riêng. thì có đi kèm.
thì có tương xứng. Vậy ta sẽ tách phương trình như sau:


Tới đây ta lưu ý rằng ta có các số hạng đầu của vế đã được nhân lượng liên hợp có cùng số
hạng với vế phải. Vậy ta sẽ thử tách vế phải để cho ra . Vậy ta có vế
phải là:

Tới đây ta nhận thấy vế phải có nên ta sẽ nhóm với căn thức tương ứng bên vế trái
có đi kèm và áp dụng nhân lượng liên hợp, ta có:

Do đó ta có nhân tử chung là . Vậy ta có nghiệm là




Ta dễ thấy từ phương trình rằng là hàm số đồng biến và luôn giảm khi tăng.

Vậy phương trình .
Đến đây ta có thể kết luận nghiệm của phương trình trên là
*Nhận xét: Đây là 1 bài khá thú vị vì ta đoán nghiệm từ 1 nghiệm ngoại lai. Việc đoán được
nghiệm ngoại lai này là do ta thấy có tích nên với thì đẳng
thức đó bằng . Vậy ta thử thế vào phương trình và tính toán ra thì hiển nhiên
là nghiệm của phương trình dù nó chỉ là nghiệm ngoại lai nhưng đó là cơ sở để ta tách các
hạng tử để nhân lượng liên hợp.
2. Kĩ thuật ghép đối xứng
Đối với kĩ thuật ghép đối xứng, ta sẽ nhóm lần lượt từng hạng tử của 2 vế để ghép được 1
nhân tử chung hợp lý.
VD9: Giải phương trình:

Giải

Đối với kĩ thuật áp dụng vào một số bài tập, việc đoán nghiệm có thể không cần thiết vì ta sẽ
nhóm từng hạng tử của 2 vế với nhau để tạo ra nhân tử chung. Thật vậy, ta có thể thấy:
và
Vậy ta có thể dễ dàng thấy được nhân tử chung cần nhóm là và không cần nhẩm
nghiệm. Do đó ta có thể giải bài phương trình này như sau. Từ phương trình đầu, ta có:

Tới đây ta dễ dàng thấy phương trình vô nghiệm do với
Vậy nghiệm của phương trình là
VD10: Giải phương trình:

Giải

Vẫn áp dụng kĩ thuật ghép đối xứng, ta có:




Do phương trình vô nghiệm nên ta có thể kết luận nghiệm của phương trình là