logic toán và cơ sở logic của kiến thức môn toán trung học phổ thông

1

MỞ ĐẦU 2
1. Lí do chọn đề tài 3
2. Mục đích nghiên cứu 3
3. Nhiệm vụ nghiên cứu 3
4. Giả thiết khoa học 4
5. Đối tƣợng nghiên cứu 4
6. Phƣơng pháp nghiên cứu 4
7. Đóng góp của khóa luận 4
8. Cấu trúc của khóa luận 4
Chƣơng 1. SƠ LƢỢC VỀ LOGIC TOÁN XÂY DỰNG THEO NGỮ NGHĨA . 4
1.1. Đại số mệnh đề 5
1.1.1. Mệnh đề và các phép toán mệnh đề 5
1.1.2. Công thức của đại số mệnh đề 10
1.1.3. Các quy tắc suy luận của đại số mệnh đề. 17
1.2. Đại cƣơng về đại số vị từ 18
1.2.1. Vị từ và các phép toán vị từ 20
1.2.2. Công thức của đại số vị từ 21
1.2.3. Các quy tắc suy luận của đại số vị từ 22
1.3. Cơ sở logic toán trong môn Toán phổ thông 23
1.3.1. Một số yếu tố logic toán trong môn Toán tiểu học 23
1.3.2. Kiến thức logic toán trong môn Toán trung học cơ sở 23
1.3.3. Kiến thức logic toán trong môn Toán trung học phổ thông 24
1.3.4. Vấn đề chứng minh các kết luận trong môn Toán trung học phổ thông
25
1.3.5. Vấn đề phát triển tƣ duy logic cho hoc sinh 26
Chƣơng 2: GIỚI THIỆU LÔGIC TOÁN XÂY DỰNG BẰNG PHƢƠNG PHÁP
TIÊN ĐỀ 30
2.1. Giới thiệu hệ toán mệnh đề. 30

2.1.1. Kí hiệu nguyên thủy và quy tắc xây dựng công thức. 30

2
2.1.2. Các tiên đề. 31
2.2. Giới thiệu hệ toán vị từ. 32
2.2.1. Các kí hiệu nguyên thủy và quy tắc xây dựng công thức. 32
2.2.2. Các tiên đề và các quy tắc dẫn ra công thức đúng. 33
2.3. Phƣơng pháp tiên đề với việc xây dựng các lý thuyết toán học. 33
2.3.1. Sơ lƣợc lịch sử ra đời của phƣơng pháp tiên đề. 33
2.3.2. Hệ tiên đề của một số lí thuyết toán học. 35
2.3.3. Các hệ tiên đề đƣợc dùng để xây dựng kiến thức hình học ở trƣờng
phổ thông. 40
KẾT LUẬN 46
TÀI LIỆU THAM KHẢO 47

3
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Phong trào cải cách giáo dục toán học đƣợc khởi xƣớng từ đầu thể kỉ XX
đã đặt ra vấn đề phải làm giảm khoảng cách giữa nội dung môn Toán trong nhà
trƣờng với thành tựu phát triển của Toán học. Một số nhà lí luận dạy học đã đƣa
ra ý kiến cho rằng: cần phải đƣa một số kiến thức toán học hiện đại vào giảng
dạy trong các trƣờng phổ thông. Tuy nhiên, thực tiễn giáo dục đã cho thấy mọi
sự cố gắng cải cách một cách triệt để nội dung dạy học môn Toán trong các
trƣờng phổ thông đều không mang lại hiệu quả. Từ thực tế đó, xu hƣớng chung
đƣợc mọi ngƣời thừa nhận là nội dung môn Toán ở trƣờng phổ thông chủ yếu
vẫn bao gồm các tri thức toán học truyền thống nhƣng cần đƣợc trình bày dƣới
sự soi sáng của toán học hiện đại. Với quan điểm đó không cần đƣa nhiều kiến
thức toán hiện đại vào chƣơng trình dạy học mà vẫn làm cho kiến thức môn
Toán tiếp cận đƣợc với xu thế phát triển của Toán học.
Với cƣơng vị là một sinh viên chuyên ngành Sƣ phạm Toán sắp rời giảng
đƣờng đại học cùng lòng yêu thích bộ môn, tôi muốn đóng góp công sức nhỏ bé
của mình giúp bạn đọc nắm vững nội dung, mối liên hệ logic giữa Toán phổ
thông với toán học Cao cấp. Chính điều đó đã thôi thúc tôi làm khóa luận với đề
tài: “Logic Toán và cơ sở logic của kiến thức môn Toán Trung học phổ
thông”.
2. Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu mối liên hệ logic toán phổ thông với toán cao cấp cho sinh viên
ĐHSP Toán trƣờng Đại học Tây Bắc.
- Nâng cao sự hiểu biết và hiệu quả học tập của bản thân.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày kiến thức cơ sở về logic Toán và những yếu tố của logic toán có
mặt trong hệ thống kiến thức môn toán Trung học phổ thông.


4
4. Giả thiết khoa học
Nếu sinh viên có thể nắm vững các kiến thức Toán cao cấp và hiểu rõ mối
liên hệ của nó với các kiến thức Toán Phổ thông thì họ có thể giảng dạy tốt hơn
sau khi ra trƣờng.
5. Đối tƣợng nghiên cứu
- Nghiên cứu nội dung môn toán cao cấp đã đƣợc dạy ở trƣờng Đại học
Tây Bắc.
- Nghiên cứu nội dung, mối liên hệ logic toán và cơ sở logic Toán của kiến
thức môn toán phổ thông.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu tài liệu.
- Phân tích, tổng hợp các kiến thức.
- Kinh nghiệm bản thân, trao đổi thảo luận với giáo viên hƣớng dẫn.
7. Đóng góp của khóa luận
Khóa luận sau khi hoàn thành sẽ làm tài liệu tham khảo cho sinh viên
chuyên ngành Toán trƣờng Đại học Tây Bắc.
8. Cấu trúc của khóa luận
Khóa luận gồm phần mở đầu, phần nội dung gồm 2 chƣơng và phần kết
luận. Phần nội dung bao gồm các chƣơng sau:
Chƣơng 1: Sơ lƣợc về logic toán xây dựng theo ngữ nghĩa.
Chƣơng 2: Giới thiệu logic toán xây dựng bằng phƣơng pháp tiên đề.

5
Chƣơng 1. SƠ LƢỢC VỀ LOGIC TOÁN XÂY DỰNG
THEO NGỮ NGHĨA
Nghiên cứu logic toán thông qua ngữ nghĩa là chúng ta dựa vào nội dung
các phát biểu và đối chiếu với thực tiễn để khẳng định tính đúng hay sai của phát
biểu đó. Trình bày logic toán theo ngữ nghĩa bao gồm hai phần chính là đại số
mệnh đề và đại số vị từ. Sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu một cách sơ lƣợc về hai
phần này để có những hiểu biết cơ bản về logic toán giúp cho việc phân tích các
yếu tố logic toán trong kiến thức môn Toán phổ thông.
1.1 . Đại số mệnh đề
1.1.1. Mệnh đề và các phép toán mệnh đề
1.1.1.1. Khái niệm mệnh đề
Đại số mệnh đề bắt đầu với khái niệm mệnh đề. Đó là những phát biểu mà
ta có thể xác định đƣợc nó đúng hay sai. Một mệnh đề chỉ đúng hoặc sai mà
không thể vừa đúng vừa sai. Việc phân định đúng hay sai là dựa vào nội dung
phát biểu và đối chiếu với thực tiễn. Chú ý rằng, thực tiễn nói đến ở đây bao
gồm thực tiễn trong đời sống sinh hoạt bình thƣờng và cả thực tiễn khoa học, tức
là những tri thức khoa học đã đƣợc xác định.
Vậy, mệnh đề là một khẳng định có tính đúng hoặc sai. Không có mệnh đề
vừa đúng vừa sai, những câu cảm thán, những câu nghi vấn, câu mệnh lệnh,…
không là mệnh đề.
Để kí hiệu các mệnh đề ta dùng các chữ cái
, , , a b c
Trong đại số mệnh đề,
ngƣời ta không quan tâm đến cấu trúc ngữ pháp của các mệnh đề mà chỉ quan
tâm đến tính “đúng” hoặc “sai". Nhƣ vậy, ngữ nghĩa ở đây chỉ đƣợc sử dụng để

xác định giá trị đúng hay sai của mệnh đề (thƣờng đƣợc gọi là giá trị chân lí của
mệnh đề). Nếu
a
là mệnh đề đúng thì ta nói nó có giá trị chân lí bằng
1
, kí hiệu
là
( ) 1Ga
, nếu b là mệnh đề sai thì ta nói nó có giá trị chân lí bằng 0, kí hiệu
là
( ) 0Gb
.
Chẳng hạn, các câu:
+) “Hà Nội là thủ đô của nƣớc Việt Nam” là mệnh đề đúng.

6
+) “1 lớn hơn 2” là mệnh đề sai.
+) “15 là số lẻ” là mệnh đề đúng.
Các câu: “2 nhân 2 bằng mấy?” ; “Anh tốt nghiệp phổ thông năm nào?” ; “Bộ
phim này hay quá”, đều không phải là mệnh đề.
Chú ý:
1. Trong thực tế ta gặp những mệnh đề mở mà giá trị đúng, sai của nó phụ
thuộc vào những điều kiện nhất định (thời gian, địa điểm). Nó đúng ở thời gian,
địa điểm này nhƣng sai ở thời gian, địa điểm khác. Song ở bất kì thời điểm nào,
địa điểm nào nó cũng luôn có giá trị chân lí đúng hoặc sai. Chẳng hạn:
+) Sinh viên năm thứ nhất đang tập quân sự.
+) Năng suất lúa năm nay cao hơn năm ngoái.
+) 12 giờ trƣa hôm nay tôi đang ở Hà Nội.
2. Để kí hiệu a là mệnh đề “
2 3 5

” ta viết :
"2 3 5"  a

3. Ta thừa nhận các luật sau đây của logic mệnh đề:
a) Luật bài trung: Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai, không có mệnh
đề nào không đúng cũng không sai.
b) Luật mâu thuẫn (hay còn gọi là luật phi mâu thuẫn): Không có mệnh
đề nào vừa đúng lại vừa sai.
1.1.1.2. Các phép toán mệnh đề
a) Phép phủ định
Phủ định của mệnh đề a là một mệnh đề, kí hiệu
a
, đúng khi
a
sai và sai
khi a đúng. Bảng giá trị chân lí của phép phủ định đƣợc cho bởi bảng sau:
a

a

1
0
0
1
Ví dụ:
+) Mệnh đề
a
“Số 30 chia hết cho 4” ta thiết lập đƣợc mệnh đề
a
= “Số 30 không chia hết cho 4”.

+) Mệnh đề
b
“Nhôm là một kim loại” ta thiết lập đƣợc mệnh đề

7
b
= “Nhôm không phải là kim loại”.
Chú ý: Phủ định của một mệnh đề có nhiều cách diễn đạt khác nhau, chẳng hạn:
“Nhôm không phải là kim loại”
“Không phải nhôm là kim loại”
“Nói nhôm là kim loại không đúng”.
b) Phép hội
Hội của hai mênh đề
a
,
b
là một mệnh đề
c
, đọc là
a
và
b
, kí hiệu
c a b
, đúng khi cả hai mệnh đề
a
,
b
cùng đúng và sai trong các trƣờng hợp
còn lại. Bảng giá trị chân lí của phép hội nhƣ sau:

a

b

c a b

1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0

Ví dụ:
Từ hai mệnh đề:
a
= “Mỗi năm có 12 tháng”,
b
= “Mỗi năm có 4 mùa”
ta thiết lập mệnh đề
c
= “Mỗi năm có 12 tháng và 4 mùa”
Mệnh đề c là hội của hai mệnh đề a và b đã cho.
Chú ý:

1. Đề thiết lập hội của hai mệnh đề
a
,
b
ta ghép hai mệnh đề đó bởi liên
từ “và” hay bởi liên từ khác cùng loại. Những liên từ đó là: mà, song, đồng thời,
vẫn… hoặc dấu phẩy hoặc không dùng liên từ gì.
2. Phép hội có tính chất giao hoán, tính chất kết hợp và có
p p p
;
1pp
;
00p
;
0pp
.
c) Phép tuyển
Tuyển của hai mệnh đề
a
;
b
là một mệnh đề
c
, đọc là
a
hoặc
b
, kí hiệu
c a b
, đúng khi ít nhất một trong hai mệnh đề

a
,
b
là đúng và sai khi cả hai
mệnh đề
a
,
b
cùng sai. Bảng giá trị chân lí của phép tuyển

8
a

b

c

1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0

Ví dụ:
Từ hai mệnh đề
a
= “Mỗi năm có 12 tháng”,
b
= “Mỗi năm có 52 tuần”
ta thiết lập mệnh đề
c
= “Mỗi năm có 12 tháng hoặc 52 tuần”.
Mệnh đề c là tuyển của hai mệnh đề đã cho.
Chú ý:
1. Để thiết lập tuyển của hai mệnh đề
a
,
b
ta ghép hai mệnh đề đó bởi
liên từ “hoặc” hay một liên từ khác cùng loại.
2. Khi thiết lập tuyển của nhiều mệnh đề, ta dùng dấu chấm phẩy thay cho
liên từ “hoặc”.
Chẳng hạn: “Số có tận cùng bằng 0; 2; 4; 6 hoặc 8 thì chia hết cho 2”
3. Phép tuyển có tính chất giao hoán, tính chất kết hợp và có
p p p
;
0pp
;
11p
;
1pp
.
4. Ngoài ra giữa phép tuyển và phép hội còn có tính chất phân phối.

5. Giữa các phép toán phủ định, hội và tuyển còn liên hệ với nhau bởi luật
Đờ Moocgăng nhƣ sau:
;     p q p q p q p q
.
Với luật này, khi chứng tỏ một hội của hai mệnh đề là mệnh đề sai ta chỉ
cần chỉ ra một trong hai mệnh đề thành phần sai là đƣợc và để chứng tỏ tuyển
của hai mệnh đề là sai thì phải chứng tỏ cả hai mệnh đề thành phần đồng thời
sai.
d) Phép kéo theo
Mệnh đề a kéo theo b là một mệnh đề, kí hiệu là
ab
, sai khi
a
đúng mà
b
sai
và đúng trong các trƣờng hợp còn lại. Bảng giá trị chân lí của phép kéo theo


9
a

b

ab

1
1
1
1

0
0
0
1
1
0
0
1
Ví dụ:
Từ hai mệnh đề
a
= “Số tự nhiên
a
có tổng các chữ số chia hết cho 3”;
b
= “Số tự nhiên
a
chia hết cho 3”. Ta thiết lập mệnh đề
c
= “Nếu số tự nhiên
a
có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì nó chia hết cho 3”.
Mệnh đề
c
trong ví dụ trên là mệnh đề kéo theo thiết lập từ hai mệnh đề
a
;
b
.
Chú ý: Mệnh đề “

a
kéo theo
b
” thƣờng đƣợc diễn đạt dƣới nhiều hình thức
khác nhau, chẳng hạn: “nếu
a
thì
b
”; “
a
suy ra
b
”; “có
a
thì có
b
”.
e) Phép tương đương
Mệnh đề a tương đương b là một mệnh đề, kí hiệu là
ab
, đúng khi cả hai
mệnh đề
a
,
b
cùng đúng hoặc cùng sai và sai trong các trƣờng hợp còn lại.Bảng
giá trị chân lí của mệnh đề tƣơng đƣơng
a

b

ab

1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Ví dụ:
Từ hai mệnh đề
a
= “Số 45 có tận cùng bằng 5”;
b
= “Số 45 chia hết cho
5”. Ta thiết lập mệnh đề
c
= “Số 45 có tận cùng bằng 5 khi và chỉ khi nó chia
hết cho 5”.
Mệnh đề
c
trong ví dụ trên là mệnh đề tƣơng đƣơng đƣợc thiết lập từ hai
mệnh đề đã cho.
Chú ý: Mệnh đề “

a
tƣơng đƣơng
b
” còn đƣợc diễn đạt bằng nhiều hình thức
khác nhau, chẳng hạn: “
a
khi và chỉ khi
b
”; “
a
nếu và chỉ nếu
b
”.

10
1.1.2. Công thức của đại số mệnh đề
1.1.2.1. Khái niệm công thức của đại số mệnh đề
Giả sử cho
, , ,p q r
… là các biến mệnh đề. Từ các biến mệnh đề đó, sử
dụng các phép toán logic ,

,

,

,

ta lập đƣợc những mệnh đề mới,
phức tạp hơn nhƣ

qp
;
()p q r
… Từ các mệnh đề mới lập đƣợc, lại áp
dụng các phép toán logic, ta lại đƣợc các mệnh đề mới, chẳng hạn
()p p q
;
( ) ( )  p q q p
;
()p q r
;
( ) ( )  p q p r
… Cứ nhƣ vậy, ta xây dựng
đƣợc một dãy các kí hiệu gọi là công thức của logic mệnh đề.
Nhƣ vậy, mỗi công thức của logic mệnh đề là một dãy các kí hiệu thuộc ba loại:
+) Các mệnh đề sơ cấp
, , ,p q r
…
+) Các kí hiệu phép toán logic ,

,

,

,

.
+) Các dấu ngoặc ( ) chỉ thứ tự phép toán
Theo định nghĩa trên thì:
+) Bản thân các mệnh đề sơ cấp cũng là một công thức.

+) Nếu
,PQ
là những công thức thì
P
,
PQ
,
PQ
,
PQ
,
PQ
cũng
đều là công thức.
Nhận xét: Khái niệm công thức trong logic mệnh đề tƣơng tự nhƣ khái niệm
biểu thức đại số trong đại số.
Ví dụ 1: Xét công thức
()p q r
.
a. Khi thay
p
bằng mệnh đề “45 chia hết cho 3”

q
bằng mệnh đề “45 chia hết cho 5”

r
bằng mệnh đề “45 chia hết cho 15”
thì công thức
()p q r

trở thành mệnh đề “Nếu 45 chia hết cho 3 và 45 chia
hết cho 5 thì 45 chia hết cho 15”.
b. Nếu thay
p
bằng mệnh đề “45 chia hết cho 3”

q
bằng mệnh đề “45 chia hết cho 5”

r
bằng mệnh đề “45 chia hết cho 8”
thì công thức
()p q r
trở thành mệnh đề “Nếu 45 chia hết cho 3 và 45 chia

11
hết cho 5 thì 45 chia hết cho 8”.
1.1.2.2. Giá trị chân lí của công thức
Nhƣ trên đã thấy, khi thay
, , ,p q r
… trong công thức bởi các mệnh đề
cụ thể (tức là biết tính đúng sai của nó) thì công thức sẽ trở thành một mệnh đề
xác định. Giá trị chân lí của mệnh đề này phụ thuộc vào giá trị chân lí của các
mệnh đề
, , ,p q r
… và kết quả thực hiện của các phép tính logic.
Trở lại công thức
()p q r
trong ví dụ ở trên.
Trong trƣờng hợp a. ta có

1p
,
1q
, lúc đó
1pq
(theo định nghĩa
của phép hội), mặt khác
1r
. Nhƣ vậy, theo định nghĩa của phép kéo theo
(dòng 1 của bảng chân lí của phép kéo theo) mệnh đề
()p q r
là đúng, tức
là mệnh đề “Nếu
45
chia hết cho 3 và 45 chia hết cho 5 thì 45 chia hết cho 15”
là mệnh đề đúng.
Trong trƣờng hợp b. ta có
1p
,
1q
, lúc đó
1pq
(theo định nghĩa
của phép hội), mặt khác
0r
nên mệnh đề
()p q r
sai (dòng hai bảng chân
lí của phép kéo theo) nghĩa là mệnh đề “Nếu 45 chia hết cho 3 và 45 chia hết
cho 5 thì 45 chia hết cho 8” là mệnh đề sai.

Tổng quát: Cho
12
( , , )
n
S p p p
là công thức chứa n mệnh đề
12
, ,
n
p p p
.
Khi thay
12
, ,
n
p p p
bằng các mệnh đề cụ thể (cũng có nghĩa là khi gán cho
12
, ,
n
p p p
các giá trị 0 và 1) thì công thức
12
( , , )
n
S p p p
trở thành một mệnh
đề xác định và có một giá trị chân lí xác định. Giá trị chân lí này là giá trị của
công thức ứng với bộ giá trị
12

( , , )
n
p p p
đã cho. Nó có thể tính đƣợc bằng
cách lập bảng giá trị chân lí của công thức.
Ví dụ 2: Lập bảng chân lí của công thức
( ) ( )  p q p q
.
p

q

p

q

pq

p

q

( ) ( )  p q p q

0
0
1
1
0
1

1
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1

12
Qua bảng chân lí này ta có thể nói:
Khi
p
là mệnh đề đúng,
q
là mệnh đề sai thì mệnh đề

( ) ( )  p q p q

là mệnh đề sai (dòng 3).
Khi
p
là mệnh đề sai,
q
là mềnh đề sai thì
( ) ( )  p q p q
lại là mệnh
đề đúng (dòng 1).
Chú ý:
+) Khi lập bảng chân lí ta phải nêu đầy đủ tất cả các bộ giá trị có thể có
của bộ các mệnh đề.
+) Với công thức chứa hai biến mệnh đề nhƣ trên bảng chân lí gồm 4
dòng vì mỗi mệnh đề nhận 2 giá trị 0 hoặc 1 nên có
2 2 4
bộ giá trị
+) Với công thức chứa 3 mệnh đề ta phải lập bảng chân lí gồm
3
2 2 2 2 8   
dòng, và nếu công thức chứa n mệnh đề thì bảng giá trị chân lí
có
2
n
dòng.
*) Sự bằng nhau của hai công thức:
Hai công thức
A
và

B
đƣợc gọi là bằng nhau và kí hiệu
AB
nếu giá trị
của chúng tại mọi bộ giá trị của biến đều nhƣ nhau. Kí hiệu
AB
, trong đó
A

và
B
là các công thức của đại số mệnh đề cũng đƣợc gọi là một đẳng thức. Nhƣ
vậy, hai công thức bằng nhau về mặt hình thức chúng có thể đƣợc viết bởi các
phép toán và cấu tạo khác nhau, miễn là chúng nhận giá trị nhƣ nhau tại mọi bộ
giá trị của các biến.
Ta có thể kiểm tra hay chứng minh sự bằng nhau của hai công thức của
đại số mệnh đề bằng cách lập bảng giá trị chân lí của chúng và so sánh các giá
trị tƣơng ứng của hai công thức đó. Tuy nhiên, đây không phải là cách duy nhất
mà ngƣời ta còn có những cách khác, chẳng hạn sử dụng phép biến đổi tƣơng
đƣơng nhƣ trình bày ngay sau đây.
1.1.2.3. Biến đổi tƣơng đƣơng các công thức của đại số mệnh đề
Việc thay thế một công thức của đại số mệnh đề bởi một công thức bằng
công thức đó đƣợc gọi là phép biến đổi đồng nhất hay phép biến đổi tƣơng
đƣơng. Ngƣời ta thƣờng dùng các công thức bằng nhau để biểu thị các tính chất
của phép toán. Sau đây chúng ta liệt kê một số tính chất của các phép toán mệnh

13
đề dƣới dạng các đẳng thức.
Những đẳng thức này thƣờng đƣợc sử dụng để chứng minh các công
thức bằng nhau hay đƣa một công thức về dạng nào đó bằng các phép biến đổi

tƣơng đƣơng. Việc kiểm tra lại sự đúng đắn của các đẳng thức đƣợc thực hiện
bằng cách lập bảng giá trị chân lí hoặc một vài nhận xét đơn giản sau
+
pp

+ Tính chất giao hoán của phép hội, tuyển:
  p q q p
,
  p q q p

+ Tính chất kết hợp của phép hôi, tuyển:
( ) ( )    p q r p q r
,
( ) ( )    p q r p q r

+ Tính chất phân phối của phép hội đối với phép tuyền:
( ) ( ) ( )     p q r p q p r

+ Tính chất phân phối của phép tuyển đối với phép hội:
( ) ( ) ( )     p q r p q p r

+
  p q p q

+ Luật Đờ Moocgăng:
pq
=
p



q
;
pq
=
p



q
.
1.1.2.4. Dạng chuẩn tắc của công thức
Tích sơ cấp (Hội sơ cấp): Ta gọi một công thức có dạng hội các biến
mệnh đề hoặc phủ định của biến mệnh đề là một tích sơ cấp.
Chẳng hạn:
p q r
;
p q r
;
p q r
; … là các tích sơ cấp.
Dạng chuẩn tắc tuyển: Một công thức gọi là có dạng chuẩn tắc tuyển nếu
nó biểu thị ở dạng tuyển của các tích sơ cấp. Kí hiệu “dạng chuẩn tắc tuyển” là
CT – dạng.
Chẳng hạn: (
p q r
)

(
p q r

)

(
p q r
) là công thức có dạng
chuẩn tắc tuyển.
Mệnh đề:
“Mọi công thức của đại số mệnh đề luôn biến đổi tƣơng đƣơng đƣợc về
dạng chuẩn tắc tuyển”.
Tuyển sơ cấp: Ta gọi một công thức có dạng tuyển của các biến mệnh đề

14
hoặc phủ định của biến mệnh đề là một tuyển sơ cấp.
Dạng chuẩn tắc hội: Một công thức gọi là dạng chuẩn tắc hội nếu nó
biểu thị ở dạng hội của các tuyển sơ cấp. Kí hiệu “dạng chuẩn tắc hội” là CH –
dạng.
Mệnh đề:
“Mọi công thức của đại số mệnh đề luôn biến đổi tƣơng đƣơng đƣợc về
dạng chuẩn tắc hội”.
Tích sơ cấp đầy đủ của n biến mệnh đề: Xét các công thức của
n
biến
mệnh đề
12
, ,
n
p p p
. Ta gọi một công thức có dạng hội của các biến mệnh đề
hoặc phủ định của biến mệnh đề sao cho với mỗi
i

, trong công thức có mặt
i
p

hoặc
i
p
nhƣng không đồng thời có mặt cả hai, không lặp lại hai lần với một kí
hiệu biến là một tích sơ cấp đầy đủ của
n
biến mệnh đề. Với
n
biến mệnh đề ta
lập đƣợc đúng
2
n
tích sơ cấp đầy đủ.
Dạng chuẩn tắc tuyển hoàn toàn: Một công thức được nói là có dạng
chuẩn tắc tuyển hoàn toàn nếu nó là tuyển của các tích sơ cấp đầy đủ.
Mệnh đề:
“Một công thức không hằng sai của đại số mệnh đề luôn biến đổi tƣơng
đƣơng đƣợc về dạng chuẩn tắc tuyển hoàn toàn”.
Tuyển sơ cấp đầy đủ của n biến mệnh đề: Xét các công thức của
n
biến
mệnh đề
12
, ,
n
p p p

. Ta gọi một công thức dạng tuyển của các biến mệnh đề
hoặc phủ định của biến mệnh đề sao cho với mỗi
i
, trong công thức có mặt
i
p

hoặc
i
p
nhƣng không đồng thời có mặt cả hai, không lặp lại hai lần một kí hiệu
biến là một tuyển sơ cấp đầy đủ của
n
biến mệnh đề. Với
n
biến mềnh đề ta lập
đƣợc đúng
2
n
tuyển sơ cấp đầy đủ.
Dạng chuẩn tắc hội hoàn toàn: Một công thức được nói là có dạng
chuẩn tắc hội hoàn toàn nếu nó là hội của các tuyến sơ cấp đầy đủ.
Ví dụ:
“Một công thức không hằng đúng của đại số mệnh đề luôn biến đổi tƣơng
đƣơng đƣợc về dạng chuẩn tắc hội hoàn toàn”.

15
1.1.2.5. Hệ đầy đủ các phép toán của đại số mệnh đề
Khi xây dựng công thức của đại số mệnh đề ta sử dụng năm phép toán là
phủ định, hội, tuyển, kéo theo, tƣơng đƣơng. Thậm chí có thể sử dụng cả những

phép toán khác mà ta chƣa nói đến ở đây. Tuy nhiên, khi xét đến dạng chuẩn tắc
tuyển hay dạng chuẩn tắc hội ta nhận thấy rằng có thể biến đổi tƣơng đƣơng các
công thức này về dạng chỉ sử dụng đến phép phủ định, phép hội và phép tuyển.
Nhƣ vậy, chỉ cần ba phép toán này là biểu diễn đƣợc mọi công thức của đại số
mệnh đề.
Định nghĩa: Ta gọi một tập hợp
S
gồm các phép toán mệnh đề nào đó là
một hệ đầy đủ các phép toán của đại số mệnh đề nếu mọi công thức của đại số
mệnh đề đều biến đổi tƣơng đƣơng đƣợc về dạng chỉ sử dụng các phép toán có
trong
S
.
Hiển nhiên hệ
S
= {phủ định, hội, tuyển, kéo theo, tƣơng đƣơng} là một
hệ đầy đủ. Sử dụng các mệnh đề về dạng chuẩn tắc tuyển và dạng chuẩn tắc hội
ta đi đến khẳng định hệ
1
S
= {phủ định, hội, tuyển} cũng là hệ đầy đủ. Bằng
cách sử dụng các đẳng thức chuyển đổi phép toán mệnh đề p

q =
pq
và
p

q =
pq

, ta có các hệ
2
S
= {phủ định, hội} và hệ
3
S
= {phủ định, tuyển}
cũng đầy đủ. Từ đẳng thức
  p q p q
, ta cũng có
()  p q p q
, nên hệ
4
S
= {phủ định, kéo theo} cũng là hệ đầy đủ. Nhƣ vậy, chỉ cần sử dụng một số
ít phép toán thích hợp là có thể biểu thị đƣợc tất cả các công thức của đại số
mệnh đề.
1.1.2.6. Công thức đối ngẫu
Nhƣ trên ta thấy có thể biến đổi một công thức bất kì của đại số mệnh đề
về dạng chuẩn tắc, nghĩa là về dạng trong đó chỉ có các phép toán phủ định, hội
và tuyển.
Định nghĩa: Giả sử
( , , , )A p q r
là công thức chỉ chứa các phép toán
phủ định, hội, tuyển.
Nếu trong công thức
( , , , )A p q r
ta thay phép hội bởi tuyển và ngƣợc
lại thay tuyển bởi hội thì công thức mới nhận đƣợc sau phép thay thế đó gọi là

16
công thức đối ngẫu của công thức
A
và kí hiệu bởi
A

Phép biến đổi từ
A
sang
A

gọi là phép đối ngẫu. Ta cũng nói phép hội và phép tuyển là hai phép đối
ngẫu của nhau.
Ví dụ:
Công thức đối ngẫu của công thức
( ) ( )   p q p q r
là
( ) ( )   p q p q r
.
Chú ý: Nếu

A
là đối ngẫu của
A
thì
A
là đối ngẫu của

A
. Vì thế ta gọi

A
và

A
là hai công thức đối ngẫu nhau. Công thức đối ngẫu của công thức dạng
chuẩn tắc tuyển gọi là công thức dạng chuẩn tắc hội.
Dùng khái niệm công thức đối ngẫu ta có thể mở rộng công thức Đờ Moocgăng
đã biết về sự phủ định của hội và tuyển:
  p q p q
,
  p q p q
.
Xét công thức
( , , , )A p q r
chỉ chứa các phép toán phủ định, hội, tuyển.
Áp dụng công thức trên đồng thời sử dụng luật phân phối của phép hội với phép
tuyển và của phép tuyển đối với phép hội, ta thấy rằng muốn phủ định công thức
A
, trƣớc hết trong
A
ta thay dấu hội, tuyển lần lƣợt bởi dấu tuyển, hội sau đó
trong công thức nhận đƣợc thay
, , p q r
tƣơng ứng bởi
, , ,p q r
.
Nhƣ vậy ta có:
*
( , , , ) ( , , , )S p q r S p q r
. Đó là nội dung của định lí sau đây:

Định lí: Cho
( , , , )A p q r
là một công thức ở dạng chỉ chứa các phép toán
phủ định, hội, tuyển. Khi đó ta có đẳng thức
*
( , , , ) ( , , , )S p q r S p q r

Ví dụ 1: Tìm phủ định của công thức
()p q r
.
Giải: Trƣớc hết ta có công thức đối ngẫu của
()p q r
là
()p q r

Trong công thức đối ngẫu thay các mệnh đề bởi phủ định của nó ta đƣợc công
thức
()p q r
. Vậy
()  p q r

()p q r
.
Ví dụ 2: Tìm phủ định của công thức
pq
.
Giải: Ta có
  p q p q
nên
pq

   p q p q
.
1.1.2.7. Luật của đại số mệnh đề
Cho công thức
A
. Ta gọi:
a)
A
là công thức hằng đúng, nếu nó luôn nhận giá trị chân lí bằng 1 với

17
mọi hệ chân lí gán cho các biến mệnh đề có mặt trong công thức đó.
b)
A
là công thức hằng sai, nếu nó luôn nhận giá trị chân lí bằng 0 với
mọi hệ chân lí gán cho các biến mệnh đề có mặt trong công thức đó.
Công thức đƣợc gọi là thực hiện đƣợc nếu tồn tại ít nhất một bộ giá trị của
các biến sao cho giá trị tƣơng ứng của công thức là 1.
Công thức hằng đúng của đại số mệnh đề còn dƣợc goi là luật của đại số
mệnh đề.
Một số luật thƣờng gặp của đại số mệnh đề:
- Luật đồng nhất:
pq

- Luật bài trung:
pp

- Luật phi mâu thuẫn :
pp

Mệnh đề: Cho
A
và
B
là các công thức của đại số mệnh đề. Khi đó có đẳng
thức
AB
khi và chỉ khi có luật
AB
.
Chú ý:
( ) ( )    A B A B B A
. Do đó có các đẳng thức
AB
khi và chỉ
khi có cả hai luật
AB
và
BA
.
1.1.3. Các quy tắc suy luận của đại số mệnh đề
Định nghĩa: Cho
12
, , ,
n
A A A
và
B
là những công thức của đại số mệnh
đề (chứa các biến mệnh đề nào đó). Ta nói một quy tắc suy luận với tiên đề là

12
, , ,
n
A A A
và kết luận
B
nếu ứng với mọi bộ giá trị của các biến sao cho tất cả
các công thức
12
, , ,
n
A A A
đều nhận giá trị chân lí bằng 1 ta có
B
cũng nhận giá
trị chân lí bằng 1. Khi đó ta sử dụng kí hiệu
12
, , ,
n
A A A
B

Từ định nghĩa ta có các nhận xét sau:
+ Khi xét một quy tắc suy luận ta không quan tâm đến các bộ giá trị của
các biến mà ít nhất một trong các công thức
12
, , ,
n
A A A
nhận giá trị 0.

+ Khi công thức B là hằng đúng thì bất cứ các công thức
12
, , ,
n
A A A
nào
cũng có quy tắc suy luận
12
, , ,
n
A A A
B
.
Định lí: Cho
12
, , ,
n
A A A
và
B
là những công thức của đại số mệnh đề. Khi đó

18
ta có quy tắc suy luận
12
, , ,
n
A A A
B
khi và chỉ khi có luật

12
   
n
A A A B
.
Danh sách các quy tắc suy luận của đại số mệnh đề thƣờng đƣợc sử dụng trong
giải toán:
+ Quy tắc kết luận:
, A A B
B

+ Quy tắc bắc cầu:
,

A B B C
AC
hoặc
1 2 2 3 1
1
, , ,

  

nn
n
A A A A A A
AA

+ Quy tăc suy luận phản đảo:



AB
BA

+ Quy tắc suy luận phản chứng :
  

B A C C
AB

+ Quy tắc hoán vị giả thiết:
()
()


A B C
B A C

+ Quy tắc tách giả thiết:
()


A B C
A B C

+ Quy tắc nhập giả thiết:
()

A B C
A B C

+ Quy tắc suy luận loại trừ:
,A B A
B

+ Một số quy tắc khác:
,,
; ; ;
   
      
A A B C D A B C D
B A A C B D A C B D


;
( ) ( ) ( ) ( )

       
A B A C
A C A B C B C A B C

1.2. Đại cƣơng về đại số vị từ
1.2.1. Vị từ và các phép toán vị từ
1.2.1.1. Vị từ, miền đúng của vị từ
Định nghĩa: Giả sử
D
là một tập cho trƣớc. Ta gọi mỗi ánh xạ
: f D I
, trong đó
{0,1}I

, là một vị từ (hàm mệnh đề) trên tập hợp
D
.
Ngƣời ta thƣờng dùng một chữ, chẳng hạn chữ
x
, để chỉ một biến nhận giá trị

19
trên tập hợp
D
. Nhƣ vậy, một vị từ trên tập hợp
D
là một phát biểu
f
về mối
quan hệ của tập hợp
D
sao cho với mỗi
x
thuộc
D
,
()fx
là một mệnh đề (tức
là
()fx
là một phát biểu đúng hoặc một phát biểu sai). Biến
x
đƣợc gọi là biến
tử (để phân biệt với mệnh đề).

Xét một vị từ
: f D I

- Tập hợp
{x D| f(x) =1}
đƣợc gọi là miền đúng của vị từ
f
và kí hiệu
là
Ef
hay
()Ef x
.
- Tập hợp
\ ( )D f x
đƣợc gọi là miền sai của vị từ
f
.
- Một vị từ trên tập hợp
D
đƣợc gọi là vị từ hằng đúng nếu miền đúng
của nó là
D
.
- Một vị từ trên tập hợp
D
đƣợc gọi là vị từ hằng sai nếu miền đúng của
nó là tập hợp rỗng.
1.2.1.2. Các phép toán vị từ
Cho các vị từ

()fx
,
()gx
trên tập hợp
D
. Kí hiệu
()Ef x
,
()Eg x
là các
miền đúng của chúng. Ta có các định nghĩa:
- Phép phủ định: Phủ định của vị từ
()fx
là vị từ trên tập hợp
D
nhận tập hợp
\ ( )D Ef x
làm miền đúng. Phủ định của vị từ
()fx
đƣợc kí hiệu là
()fx
.
Nhƣ vậy ta có
( ) \ ( )E f x D Ef x
.
- Phép hội: Hội của các vị từ
()fx
và
()gx
là vị từ trên

D
, kí hiệu là
( ) ( )f x g x
, nhận
( ) ( )Ef x Eg x
làm miền đúng.
Nhƣ vậy,
( ( ) ( )) ( ) ( )  E f x g x Ef x Eg x
.
- Phép tuyển: Tuyển của
()fx
với
()gx
, kí hiệu là
( ) ( )f x g x
, là một vị từ
trên
D
nhận
( ) ( )Ef x Eg x
làm miền đúng.
Ta cũng có
( ( ) ( )) ( ) ( )  E f x g x Ef x Eg x
.
- Phép kéo theo: Vị từ
()fx
kéo theo
()gx
đƣợc định nghĩa là
( ) ( )f x g x

và
kí hiệu là
( ) ( )f x g x
.
Rõ ràng,
( ( ) ( )) ( \ ( )) ( )  E f x g x D Ef x Eg x
.
- Phép tương đương: Vị từ
()fx
tƣơng đƣơng với
()gx
đƣợc xác định nghĩa là

20
( ( ) ( )) ( ( ) ( ))  f x g x g x f x
và kí hiệu là
( ) ( )f x g x
.
Ta cũng có:
( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))E f x g x E f x g x E g x f x    


(( \ ( )) ( )) (( \ ( )) ( ))D Ef x Eg x D Eg x Ef x   
.
Nhận xét:
+ Nếu
()fx
là phủ định của vị từ
()fx
thì

()fx
là phủ định của
()fx
.
+ Phép hội vị từ có tính chất giao hoán, kết hợp.
+ Phép tuyển vị từ có tính chất giao hoán, kết hợp.
+ Phép hội vị từ phân phối đối với phép tuyển vị từ.
+ Phép tuyển vị từ phân phối đối với phép hội vị từ.
+ Với mọi vị từ
()fx
trên tập
D
luôn có
( ) ( )f x f x
là một vị từ hằng
đúng và
( ) ( )f x f x
là một vị tự hằng sai.
+ Với các vị tự
()fx
và
()gx
trên
D
ta có

( ( ) ( )) \ ( ( ) ( )) \ ( ( ) ( ))    E f x g x D E f x g x D Ef x Eg x


( \ ( )) ( \ ( )) ( ) ( )   D Ef x D Eg x E f x Eg x

( ( ) ( ))E f x g x
.
Do đó :
( ) ( ) ( ) ( )  f x g x f x g x
.
1.2.1.3. Lƣợng từ
a. Lượng từ tồn tại
()

Xét các hàm mệnh đề xác định trên tập số tự nhiên: “Số
x
thỏa mãn đẳng
thức
10x
”; “Số
x
thỏa mãn bất đẳng thức
23x
”.
Khi đặt từ “tồn tại” trƣớc câu trên ta đƣợc các câu sau: “Tồn tại số
x
thỏa
mãn đẳng thức
10x
” đây là một mệnh đề đúng, vì có số 1 thỏa mãn
10x
. “Tồn tại số tự nhiên
x

thỏa mãn bất đẳng thức
23x
” sai vì không
có số tự nhiên nào lớn hơn 2 nhỏ hơn 3. Nhƣ vây, việc đặt từ “tồn tại” trƣớc một
hàm mệnh đề đã biến mệnh đề đó thành một mệnh đề hoàn toàn xác định.
Tổng quát: Giả sử
()fx
là hàm mệnh đề trên tập
X
. Đặt lƣợng từ “tồn
tại” trƣớc hàm mệnh đề
()fx
ta có mệnh đề “tồn tại
x
sao cho
()fx
”. Ta kí
hiệu mệnh đề này là
()fx
hay
( )( ( ))x X f x
.

21
Chú ý :
1)
Mệnh đề
()fx
đúng khi và chỉ khi miền đúng của hàm mệnh đề
()fx

khác rỗng.
2)
Khi miền đúng của hàm mệnh đề
()fx
là tập rỗng thì mệnh đề
()fx

sai.
b. Lượng từ với mọi
()

Tƣơng tự nhƣ trên, việc đặt từ “với mọi” trƣớc mỗi hàm mệnh đề biến hàm
mệnh đề thành một hàm mệnh đề xác định.
Chẳng hạn, khi đặt từ “với mọi” trƣớc các hàm mệnh đề xác định trên : “
x
có
tính chất
2
10x
”; “
x
có tính chất
2
3 2 0  xx
”. Ta đƣợc mệnh đề: “với
mọi
x
có tính chất
2

10x
”, mệnh đề đúng ; “với mọi
x
có tính chất
2
3 2 0  xx
”, mệnh đề sai.
Tổng quát: Giả sử
()fx
là hàm mệnh đề trên tập
X
. Đặt lƣợng từ “với
mọi” trƣớc hàm mệnh đề
()fx
ta có mệnh đề “với mọi
x
có
()fx
”. Ta kí hiệu
mệnh đề này là
()fx
hay
( )( ( ))x X f x
.
Chú ý :
1)
Mệnh đề
()fx
đúng khi và chỉ khi miền đúng của hàm mệnh đề
()fx

là toàn bộ tập
X
.
2)
Trƣờng hợp ngƣợc lại thì mệnh đề
()fx
sai.
1.2.2. Công thức của đại số vị từ
Các dãy kí hiệu đƣợc tạo thành sau một số hữu hạn bƣớc sử dụng các quy
tắc
( ),(2 ),(3 ),(4 )i i i i
dƣới đây mới đƣợc gọi là công thức của đại số vị từ.
()i
Các biến mệnh đề, các vị từ với số biến tử hay giá trị của biến tử kèm theo là
công thức sơ cấp. Trong công thức sơ cấp mọi biến tử nếu có đều là biến tự do.
(2 )i
Nếu
A
là một công thức thì
A
cũng là công thức
(3 )i
Nếu công thức
()Ax
chứa biến tử
x
tự do biến thiên trên
D
(
A

còn có thể
chứa các biến tử khác) thì
()x DA x
và
()x DA x
cũng là công thức.
(4 )i
Nếu
,AB
là những công thức sao cho không có biến tử nào tự do trong

22
công thức này lại bị ràng buộc trong công thức kia thì
AB
,
AB
,
AB
,
AB
cũng là công thức.
Các đẳng thức biểu thị tính chất các phép toán vị từ trên một miền
D
nào đó :
1.
( ) ( )f x f x

2.
( ) ( ) ( ) ( )  f x g x g x f x
;

3.
( ) ( ) ( ) ( )  f x g x g x f x
;
4.
( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( )    f x g x h x f x g x h x
;
5.
( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( )    f x g x h x f x g x h x
;
6.
( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))     f x g x h x f x g x f x h x
;
7.
( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))     f x g x h x f x g x f x h x
.
Một số luật của đại số vị từ :
1.
( ) ( ) 1;f x f x

2.
( ) ( ) ( ) 1;f x f x g x  

3.
( ( ) ( )) ( ) ( ) 1;     f x g x x f x x g x

4.
( ) ( )) ( ( ) ( )) 1;      xf x xg x x f x g x

5.
( ) ( ) ( ( ) ( )) 1;      xf x xg x x f x g x

6.
( , ) ( , ) 1;     x yf x y y xf x y
( ( ) ( )) ( ) ( ) 1;      x f x g x xf x xg x

7.
( ) ( ) 1;   xf x x f x

8.
( ) ( ) 1.   xf x x f x

1.2.3. Các quy tắc suy luận của đại số vị từ
Khái niệm quy tắc suy luận của đại số vị từ đƣợc hiểu tƣơng tự nhƣ trong
đại số mệnh đề.
Định nghĩa: Cho
12
, , ,
n
A A A
và
B
là những công thức của đại số vị từ
sao cho không có biến nào tự do trong công thức này lại bị ràng buộc trong công
thức kia. Khi đó ta nói có quy tắc suy luận của đại số vị từ với tiền đề là
12
, , ,
n
A A A
và kết luận B nếu có luật
12

1    
n
A A A B
.
Các quy tắc suy luận của đại số mệnh đề vẫn còn đúng đối với đại số vị từ

23
nếu khi vận dụng không vi phạm các quy tắc lập ra công thức. Dựa vào định
nghĩa quy tắc suy luận và các luật của đại số vị từ ta suy ra các quy tắc suy luận
sau (các vị từ đƣợc giả thiết có biến tử biến thiên trên tập hợp
D
)
( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )
; ; ; ;
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))
     
     
f x f x g x x f x g x xf x xg x
f x g x f x xf x xg x x f x g x

1.3. Cơ sở logic toán trong môn Toán phổ thông
1.3.1. Một số yếu tố logic toán trong môn Toán Tiểu học
Trong môn Toán tiểu học không có kiến thức logic nào đƣợc trình bày
một cách tƣờng minh, tổng quát. Tuy nhiên, việc hình thành cho học sinh nhận
thức đƣợc sự đúng, sai và thói quen suy nghĩ, thao tác và diễn đạt đúng là cần
thiết ngay từ những lớp học đầu tiên. Việc làm cho học sinh hiểu đúng nội dung
kiến thức toán là yêu cầu đầu tiên trong dạy học ở mọi bậc học, cấp học. Đối với
bậc tiểu học, nhiều kiến thức toán đƣợc hình thành bằng con đƣờng quy nạp
không hoàn toàn, dựa vào yếu tố trực quan chƣa thể đòi hỏi có sự chính xác cao.
Tuy nhiên, các ví dụ đƣa ra phải đầy đủ và chính xác đề hạn chế việc học sinh

nhận thức sai lệch về bản chất kiến thức. Đồng thời với hình thành kiến thức
toán cho học sinh, việc làm cho học sinh hiểu đƣợc ý nghĩa và cách sử dụng các
từ nối logic ngay từ bậc tiểu học là rất cần thiết. Trên cơ sở đó thƣờng xuyên tập
luyện cho học sinh hoạt động ngôn ngữ, đặc biệt là tập luyện thói quen lập luận
có căn cứ là điều đảm bảo cho sự phát triển vững chắc về sau. Mặc dù yếu tố
chứng minh ở bậc tiểu học chƣa đặt ra sự nghiêm ngặt, nhƣng dƣới dạng giải
thích cho hành vi, sự lựa chọn, phân tích các sự kiện, là những cơ hội để tập
luyện những thao tác tƣ duy logic cho học sinh.
1.3.2. Kiến thức logic toán trong môn Toán Trung học cơ sở
Ở cấp trung học cơ sở, yếu tố suy diễn đƣợc đƣa vào khá sớm. Mặc dù số
tiết không nhiều, nhƣng các kiến thức hình học ở lớp 6 trình bày theo tinh thần
phƣơng pháp tiên đề đã nói lên điều đó. Các yếu tố logic trong môn Toán trung
học cơ sở đƣợc thể hiện ở những điểm sau đây:

24
- Hiểu đúng nghĩa của các thuật ngữ, kí hiệu toán học.
- Biết thừa nhận tính đúng đắn của các tính chất cơ bản của các khái niệm
hình học cơ bản ở lớp 6. Biết nghĩa và sử dụng đúng một số thuật ngữ biểu thị
các khái niệm hình học ở lớp 6.
- Nắm đƣợc khái niệm định lí và chứng minh định lí, cấu trúc của một
định lí, ghi đƣợc giả thiết, kết luận của định lí. Nắm đƣợc tiên đề Ơclit, phát biểu
và nắm đƣợc cách chứng minh các định lí trong chƣơng trình toán 7, 8, 9.
- Hiểu đƣợc khái niệm hai phƣơng trình tƣơng đƣơng; hai bất phƣơng
trình, hệ phƣơng trình tƣơng đƣơng. Hiểu và vận dụng các quy tắc chuyển vế và
quy tắc nhân vào giải phƣơng trình, bất phƣơng trình. Vận dụng các phƣơng
pháp giải hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn.
1.3.3. Kiến thức logic toán trong môn Toán Trung học phổ thông
Một số kiến thức toán đƣợc đƣa vào giảng dạy tƣờng minh và trình bày
trong sách Đại số 10. Nội dung cụ thể gồm các kiến thức sau đây :
Mệnh đề: Mỗi mệnh đề phải đúng hoặc sai. Một mệnh đề không thể vừa

đúng vừa sai.
Mệnh đề chứa biến: Khái niệm mệnh đề chứa biến đƣợc giới thiệu qua
các ví dụ. Thực chất khái niệm mệnh đề chứa biến chính là vị từ hay hàm mệnh
đề. Thuật ngữ mệnh đề chứa biến chỉ là một tên gọi mang tính nôm na cho một
khái niệm khoa học. Sự xuất hiện của khái niệm mệnh đề chứa biến (hàm mệnh
đề) trong môn Toán chƣa nhiều. Thực chất sách Đại số 10 chỉ giới thiệu khái
niệm mệnh đề chứa biến một cách đơn giản khi đƣa ra khái niệm phƣơng trình
và bất phƣơng trình. Các khái niệm nhƣ miền đúng, phép toán trên các mệnh đề
chứa biến, đều không đƣợc giới thiệu. Chƣơng trình toán trung học phổ thông
cũng có giới thiệu một số phép toán mệnh đề với cách trình bày đơn giản, không
đòi hỏi tính chặt chẽ nhƣ trong các giáo trình về logic toán.
+ Phủ định của một mệnh đề.
+ Mệnh đề kéo theo.
+ Mệnh đề đảo.

25
+ Hai mệnh đề tương đương.
+ Kí hiệu

và


+ Phú định của phát biểu có

và


Những kiến thức về logic đƣợc sử dụng trong lập luận chứng minh ở trƣờng
trung học phổ thông đã đƣợc đặt ra với yêu cầu cao. Cần làm cho học sinh biết
các thuật ngữ điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ, và biết thực

hiện chứng minh các mệnh đề toán học với lập luận có căn cứ đầy đủ.
1.3.4. Vấn đề chứng minh các kết luận trong môn Toán Trung học phổ
thông
1.3.4.1. Lƣợc đồ chứng minh
Giả sử cho trƣớc giả thiết
A
và yêu cầu chứng minh kết luận
B
. Khi đó
để chứng minh
B
ta cần thiết lập một dãy các suy luận
10


  
nn
B B B
,
trong đó
0
B
chính là
B
và
n
B
là
A
cùng với các kiến thức (những điều đúng) đã

có. Trong dãy suy luận này mỗi
1i
B
là một điều kiện đủ của
i
B

( 1, , )in
.
Nhƣ vậy mỗi cách thiết lập đƣợc dãy
0
, ,
n
BB
trong đó
i
B
là điều kiện đủ của
1i
B
nhƣ trên là một cách chứng minh kết luận B. Bởi vì một kết luận
1i
B
có thể
có nhiều điều kiện đủ, nên có thể có nhiều cách chứng minh. Trên thực tế, khi
tìm cách chứng minh một kết luận ta thƣờng gặp những khó khăn là không biết
bắt đầu từ kiến thức nào, khai thác các giả thiết nào. Có một gợi ý là nên bắt đầu
từ việc phân tích điều phải chứng minh. Phải chia tách điều phải chứng minh
thành hội của những thành phần đơn giản nhất có thể đƣợc và thiết lập việc
chứng minh cho mỗi thành phần đƣợc tách ra đó. Việc tìm cách chứng minh mỗi

vấn đề đƣợc tách ra đó có thể vận dụng phƣơng pháp phân tích đi lên (hay còn
gọi là phép suy ngƣợc) đƣợc trình bày dƣới đây.
1.3.4.2. Phƣơng pháp suy ngƣợc để phát hiện cách chứng minh một kết luận
Để chứng minh một kết luận
A
nào đó ta cần tìm một điều kiện đủ của
A
. Thông thƣờng, cùng một kết luân
A
có thể có nhiều điều kiện đủ. Trong các
điều kiện đủ đó ta chỉ cần chọn lấy một điều kiện, kí hiệu là
1
A
. Lập luận của