Mô hình toán dành trong kỹ thuật cơ khí

Chương 3. MÔ HÌNH TOÁN
I. KHÁI NIỆM:
Sơ lược về phép biến đổi Laplace:
- Mơ hình thường được biểu diễn dưới dạng hệ các
phương trình vi phân.
- Dùng phép biến đổi Laplace ⇒ về các PT đại số ⇒
giải như Pt đại số.
- Dùng phép bíến đổi ngược tìm lại các nghiệm của
chính hệ PT ban đầu.
II. PHÉP BI ẾN ĐỔI LAPLACE
1.Tìm ảnh của hàm
a. Các đònh nghóa cơ bản: Giả sử hàm f(x) thoả mãn
các điều kiện sau:
- F(t) = 0 khi t < 0
- F(t) < Me
Sot
khi t > 0 và So là hằng số thực nào
đó
- Trên đoạn hữu hạn [a,b] bất kỳ của nửa trục
dương ot, hàm f(t) thoả mãn các điều kiện Đirilê,
tức là:
- Bò chặn
- Hoặc liên tục, hoặc chỉ có một số hữu hạn
điểm gián đoạn loại I;
- Có một số hữu hạn cực trò.
Các hàm như vậy trong phép tính toán tử gọi là hàm
được mô tả theo Laplaxơ hay là hàm nguyên mẫu
(nguyên mẫu)
Giả sử có p = α + βi là tham số phức, đồng thời Rep
= α ≥ S
1

≥ S
o
với các điều kiện nói trên, tích phân
( )
dttfe
pt
∫
∞
−
0
hội tụ và là hàm của p
( ) ( ) ( )
tfLpfdttfe
pt
==
∫
∞
−
0
tích phân này gọi là tích phân Laplace, còn hàm của
biến phức p gọi là biến đổi Laplace của hàm f(t) hay
ảnh Laplace f(t) hay ảnh f(t).
ký hiệu
( )
pf
là ảnh của hàm nguyên mẫu f(t)
( )
pf
= L {f(t)} hay
( )

pf
→f(t)
ta qui ước giá trò của hàm nguyên mẫu f(t) tại
điểm gián đoạn loại I t
o
bằng nửa tổng số các giá
trò giới hạn của nó từ phía trái và phía phải của
điểm đó.
( )
( ) ( )
2
00
++−
=
oo
o
tftLf
tf
( ) ( )
pftf
÷
khi thoả mãn điều kiện này sự tương
ứng giữa
( ) ( )
tfpf
÷
nguyên mẫu và ảnh có các tính
chất sau:
( ) ( )
pftf

→
có sự tương ứng 1:1 tức là mỗi
nguyên mẫu ứng với ảnh duy nhất và ngược lại.
( ) ( )
tfpf
→
tổ hợp tuyến tính bất kỳ của một
số hữu hạn các nguyên mẫu có ảnh là tổ hợp tuyến
tính tương ứng các ảnh của chúng.
Nếu
( ) ( )
tfpf
kk
÷
(k = 1, 2, …… n) thì
( ) ( )
∑
=
=
∑
=
=
→
nk
k
kk
nk
k
k
k

tfcpfc
11
Tính chất của phép biến đổi Laplasse.
a) Af(t) + Bg(t)
→
.
AF(p) + BF(p)
b) f(λt)
λ
1
.
→
F(
λ
p
)
c) e
α
tf
(t)
→
.
F(p - α)
d) f ′(t)
→
.
pF(p) - f(0)
f
(n)
(t)

→
.
pnF(p) – p
(n – 1)
(0) - p
′
(n-2)
f′(0) – p
(n – 1)
(0)
nếu f(t)
→
.
F(p); g(t) =
∫
t
0
dt)t(f
thì g(t)
→
.

p
pF )(
e) f(t)
→
.
F(p) thì – tf(t)
→
.

F′(p)
Bảng ảnh của các hàm sơ cấp
STT F(t) khi t > 0
1 1
p
1
2
!n
t
n
1
1
+
n
p
( )
pf
3
t
e
α
α
−p
1
4 cosβt
22
β
+
p
p

5 sinβt
22
β
β
+
p
6
t
e
α
.sinβt
( )
2
2
β
α
ap
p
+
−
7
t
e
α
.cosβt
( )
2
2
β
+−

ap
p
8
t
n
e
n
t
α
!
( )
1
1
+
−
n
p
α
9 t. cosβt
( )
2
22
22
β
β
+
−
p
p
10 t. sinβt

( )
2
22
2
β
β
+
p
p
Ví dụ 1: Tìm ảnh của hàm f(x) = a
t
Giải:
a = e
lna
nên a
t
= e
t.lna
áp dụng công thức 3 ta
được F(p)
( )
ap
pf
ln
1
−
=
Ví dụ 2: Tìm ảnh của hàm f(t) = cos
3
t qua phép

biến đổi Laplace
Giải: Áp dụng công thức Ơle:
Cost =
2
itit
ee
−
+
Cos
3
t =
8
1
(eit + e-it)
3
=
8
1
(e
3it
+ 3e
2ite-it
+ 3eite
-2it
+ e
-3it
)
=
4
1

cos3t +
4
3
cost
=
4
1
2
33 itit
ee
−
+
+
4
3
2
itit
ee
−
+
=
8
1
(e
3it
+ 3 eit + 3e
-it
+ e
-3it
)

=
8
1
( e
3it
+ e
-3it
) +
8
3
( eit + e
-it
)
=
4
1
(
2
33 itit
ee
−
+
) +
4
3
(
2
itit
ee
−

+
)
=
4
1
cos3t +
4
3
cost
Áp dụng công thức (4) ta có:
F(p) =
4
1
9+p
p
+
4
3
1
2
+p
p
=
)9)(1(
)7(
22
2
++
+
pp

pp
2. Tìm hàm nguyên mẫu theo ảnh
Để tìm trong một số trường hợp đơn giản người ta tìm
bằng đònh lý thứ nhất và thứ hai.
Đònh ký khai triển thứ nhất:
F(x) = f(0) +
x
f
!1
)0(
'
+
2
''
!2
)0(
x
f
+ …
Đònh lý này dùng để tìm cực trò
Đònh lý khai triển thứ hai:
Cho phép tìm nguyên mẫu đối với các ảnh là các hàm
phân thức của p (tìm được f(t) nếu F(p) là hàm phân
thức)
F(t) =
)(
)(
pv
pu
Trong đó u, v là các đa thức của p với số bậc là m và n

tương ứng, m < n. Đa thức v(t) đều có thể khai triển
thành các thừa số có dạng:
V(p) = (p – p1)k1(s – s2)k2…(s – sr)kr
Trong dó k1 + k2 + …+ kr = r. Vì vậy ta có thể khai
triển F(p) thành tổng các phân tố sơ cấp dạng:
1
,
)(
+−
−
skj
pj
pjp
A
j =
r,1
, s =
j
k,1
Hàm F(p) được viết dưới dạng:
F(p) =
∑
=
∑
=
+−
−
r
i
k

s
sk
j
is
j
j
pp
A
1 1
1
)(
Lúc này f(t) được xác đònh theo công thức sau:
a) Nếu mẫu số v(p) có nghiệm bội
F(t) =
∑
=
∑
=
r
i
k
p
j
j
A
1 1
b)Nếu mẫu số có nghiệm đơn f(t) =
pjt
n
j

i
j
e
pv
pu
∑
=1
)(
)(
Ví dụ1:
Cho F(p) =
5
2
+− pp
p
.Tìm f(t)?
Giải: Ta có: F(p)
→
.
f(t)
52
2
+− pp
p
=
4)1(
11
2
+−
+−

p
p
=
4)1(
1
2
+−
−
p
p
+
4)1(
1
2
+−p
4)1(
1
2
+−
−
p
p
→
.
etcos2t (công thức 7)
2
)1(
1
−p
=

2
1
4)1(
2
2
+−p

→
.
etsin2t
Ví dụ 2:
Cho F(p) =
)8(
1
3
−p
. Tìm f(t)
Giải:
)8(
1
3
−p
=
)2( −p
A
+
42
2
++
+

pp
CBp
Xác đònh A, B, C
)8(
1
3
−p
=
8
)2)(()42(
3
2
−
−++++
p
pCBpppA
→ 1 = A(p
2
+ 2p + 4) + (Bp + C)(p – 2)
= Ap
2
+ 2pA + 4A + Bp
2
– 2Bp + Cp -2C
= (A + B) p
2
+ p(2A + C – 2B) + 4A – 2C
Ta được hệ:






=−
=−+
=+
124
022
0
CA
BCA
BA
⇒ giải hệ ta có:
A =
12
1
; B =
12
1
−
; C =
3
1
−
⇒
)8(
1
3
−p
=

)2(12
1
−p
-
12
1
22
)3()1(
3)1(
++
++
p
p
→ f(t) =
12
1
e
2t
-
12
1
e
-t
{ }
tt 3sin33cos +
c) Phép nhân chập các hàm
F(t) =
τττ
dff
t

)()1(
2
0
1
−
∫
Phép nhân này không đổi khi ta hoán vò vò trí f
1
và f
2

do đó, tính chập đối xứng với các hàm nhân chập.
Ảnh của tính chập 2 nguyên mẫu bằng tích các ảnh
của chúng:
)()()()1(
212
0
1
pfpfdff
t
+−
∫
τττ
Bài tập :
Tìm nguyên hàm mẫu của hàm
23
)2()1(
)(
+−
=

pp
p
pf
Giải:
Khai triển
)( pf
thành các phân thức đơn giản có dạng
)2(2)2()1(
)1()1(
)(
2,21,23,1
2
2,1
3
1,1
+
+
+
+
−
+
−
+
−
=
p
A
p
A
p

A
p
A
p
A
pf
Sử dụng công thức (2)
{ }
9
1
)2(
lim)()1(lim
!0
1
2
1
3
1
1,1
=
+
=−=
→→
p
p
pfpA
pp
{ }







+
=−=
→
2
3
1
2,1
)2(
lim)()1(lim
!1
1
p
p
dp
d
pfp
dp
d
A
p
=











+
−






+
=
+
−
+
→
3232
1
)21(
2
)21(
1
)2(
2
)2(
1
lim

p
p
p
p
=
27
1
27
2
9
1
=−
{ }






+
=−=
→→
22
2
2
3
2
2
1
3,1

)2(
lim
2
1
)()1(lim
!2
1
p
p
dp
d
pfp
dp
d
A
pp
=
27
1
)2(
6
)2(
4
lim
2
1
33
1
−
=







+
+
+
−
→
p
p
p
p
{ }






−
=+=
−→−→
3
2
2
2
1,2

)1(
lim)()2(lim
!0
1
p
p
dp
d
pfpA
pp
=






−
−
−
−→
43
2
)1(
3
)1(
1
lim
p
p

p
p
=
27
1
)3(
6
)3(
1
lim
43
2
=






−
−
−
−
−→p
Vậy







+
+
+
+
−
−
−
+
−
=
2
1
)2(
2
1
1
)1(
1
)1(
3
27
1
)(
223
p
p
p
pp
pf

Áp dụng công thức (3) và 8 bảng ảnh của hàm
→






++−+=
−− ttttt
eteeteettf
222
2
2
3
27
1
)(
=
tt
e
t
e
tt
2
2
27
12
54
223

−
+
+
−+
3. Áp dụng phép tính toán tử để giải một số phương
trình vi phân và tích phân
Nếu cho phương trình vi phân tuyến tính cấp n với hệ
số hằng sốy
(n)
+ a
1
y
(n-1)
+ …+ any = f(y) mà vế phải f(t)
là hàm nguyên mẫu thì nghiệm của phương trình này
thõa mãn các điều kiện ban đầu tùy ý dạng y
(0)
=
y(0) ,y′(0) = y′
(0)
, …y(n-1)(0) = y0(n-1) (*tức là nghiệm
của bài toán côsi tùy ý, đặt cho phương trình này với
các điều kiện ban đàu tại t = 0 cũng sẽ là hàm nguyên
mẫu. Ký hiệu ảnh của nghiệm đó là
)p(y
, ta tìm ảnh
của vế trái, phương trình vi phân xuất phát và so sánh
với ảnh của hàm f(t) , ta đi đến phương trình ảnh hóa .
Phương trình ảnh hóa luôn luôn là một phương trình
đại số tuyến tính đối với

)( py
.
Xác đònh
)( py
từ phương trình đó ta tìm được nguyên
mẫu f(t).
Phương pháp chuyển về phương trình ảnh hóa đó
cũng cho phép ta dễ dàng tìm được nghiệm của
phương trình tích phân dạng:
∫
=−
t
tfdytk
0
)()(
τττ
∫
−+=
t
dytktfty
0
)()()()(
τττ
Trong đó k(t) và f(t) là các nguyên hàm mẫu vì tích
phân trong phương trình này là tích phân chập của các
hàm f(t) và k(t).
Ví dụ:Giải phương trình nguyên phân y′′ - 2y′ -3y = e
3t
Nếu y(0) = 0; y′(0) = 0
Giải: Ta chuyển về ảnh

3
1
)3)0((2)0()0(
'2
−
=−−−−−
p
yyypypyyp
Hay
3
1
32
2
−
=−−
p
yypyp
;
2
)3)(1(
1
−+
=
pp
y
Khai triển phân thức hữu tỷ này thành các phân thức
đơn giản
13
)3()3)(1(
1

22
+
+
−
+
−
=
−+
p
C
p
B
p
A
pp
2
2
2
)3)(1(
)3()1)(3()1(
)3)(1(
1
−+
−++−++
=
−+ pp
pCppBpA
pp
→ 1 = A(p + 1) + B(p – 3)(p + 1) + C(p-3)
2

Cho p = -1, ta được 1 = 16C tức C =
16
1
Cho p = 3, ta được 1 = 4A tức C =
4
1
So sánh các hệ số của p
2
0 = B + C
B = - C = -
16
1
Do đó
)1(16
1
)3(16
1
)3(4
1
2
+
+
−
−
−
=
ppp
y
ttt
eetey

−
+−=
16
1
16
1
4
1
33
Ví dụ 2:
Giải phương trình tích phân
∫
+=
t
0
1ydty
Giải: Ta lập phương trình ảnh hóa
pp
y
y
1
+=
;
1)1( =−py
;
1
1
−
≠
p

y
→ y = et
Bài tập:
Giải phương trình tích phân
∫
−−−
t
tdtty
0
cos1)sin(
ττ
Giải hệ phương trình :







++=
+=
12
2
yx
dt
dy
yx
dt
dx
III. HÀM TRUYỀN: dùng để giải phương trình vi

phân
1. Đònh nghóa và công dụng
Nếu lập tỷ số giữa hàm số thời gian của đại lượng ra
và hàm số thời gian của đại lượng vào dưới dạng
toán tử Laplace ta có hàm số truyền sau:
( ) ( )
( )
( )
ϕ
j
v
r
e
A
a
pF
pF
wWpW
===
trong đó
A
a
: tỉ số biên độ dao động của tín hiệu vào
ϕ
: góc lệch pha của tín hiệu ra so với tín hiệu
vào
w: tần số của tín hiệu đưa vào hệ
Sau khi xây dựng hàm truyền trong khoảng tần số
rộng, ta có đồ thò đặc trưng tần số, sau đó có thể so
sánh với đồ thò đặc trưng tần số đã biết của các mô

hình điều hình phối hợp các mô hình khác nhau (trên
cơ sở mô hình cấu trúc) có thể đánh giá được các hàm
số truyền thực của các thiết bò thực.
Ví dụ: lập hàm truyền của thiết bò dòng chảy có
cánh khuấy
Đặt v
s
: vận tốc thể tích; c
v
: thành phần vào
c
r
: thành phần ra; k: hằng số vận tốc của
phản ứng
v: thể tích thiết bò;
τ
: thời gian
theo cân bằng vật liệu ta có:
τ
d
dc
vcvkcvcv
r
rrsvs
=−−

(3.II.1) dùng phép
biến đổi Laplace ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
ppcvpcvkpcvpcv

rrrsvs
=−−
(3.II.2)
trong đó: p: tham số phức dùng trong toán tử
Laplace
lấy tỉ số giữa đầu ra và đầu vào ta có:
( )
( )






++
=
pk
v
v
vv
pc
pc
s
s
v
r
'
'
.
v

s’
:vận tốc thể tích của
chất lỏng
lấy hằng số thời gian
'
1
s
v
v
=
τ
( )
( )








++
=
pk
pc
pc
v
r
1
1

1
1
τ
τ
( )
( )
1
1
11
++
=
kppc
pc
v
r
ττ
(3.II.3)
nếu không có phản ứng hoá học thì
( )
1
1
1
+
=
p
pW
τ
hàm số này tương đương với hàm
truyền của mô hình trộn lý tưởng
thông thường

v
r
c
c
trong trạng thái ổn đònh, khi p
0≈
→
(3.II.3) viết thành
( )
( )
1
1
0
0
1
+
=
kc
c
v
r
τ
(3.II.4)
so với hàm truyền của thiết bò khuấy trộn hoàn
toàn (bảng) thấy rằng phương trình động lực học của
phản ứng bậc nhất trong trạng thái ổn đònh có thể có
được bằng cách thay thế p bởi k vào hàm truyền từ đó
mở ra con đường đánh giá động học quá trình theo các
đặc trưng tần số.
2. Các mô hình toán học điều khiển bởi cấu trúc

dòng trong thiết bò
Mọi mô hình toán học của các dòng trong thiết bò
khác nhau có thể phân tích thành một số mô hình
mẫu.
Mô hình trộn lý tưởng
Trong mô hình này vật chất phân bố đều trong cả
dòng, sự phụ thuộc giữa nồng độ của vật chất trong
dòng ở cửa vào c
v
và cửa ra c
r
:
( ) ( )
rvrv
s
r
cc
L
v
cc
v
v
d
dc
−=−=
τ
(3.II.5)
Thời gian lưu phân bố của hệ có dạng:
( )
τ

τ
τττ
ττ
τ
d
e
de
v
v
dc
v
v
s
s
/
−
−
==
(3.II.6)
Trong đó
τ
là thời gian lưu lại trung bình của hệ
Mô hình Hàm Chú ý
truyền
Trộn lý tưởng
1.
1
+
p
τ

's
v
v
=
τ
trong đó v:
thể tích thiết bò
v
s’
: vận tốc
thể tích của chất
lỏng
Thiết bò trộn
lý tưởng có
thể tích bằng
nhau
( )
m
p 1.
1
+
τ
s
r
v
v
=
τ
III. MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH CHUYỂN ĐỘNG
CÁC LIÊN HP MÁY NÔNG NGHIỆP

Khi tính toán động học và thống kê cần xây dựng
mô hình các liên hợp máy nông nghiệp và xem như hệ
động học nhiều chiều. Thường được xây dựng dạng
phương trình chuyển động nhằm phân tích quy luật
chuyển động của liên hợp máy đối với bề mặt làm
việc và môi trường tác động nhằm xác đònh tính bền
vững, tính ổn đònh khi chuyển động. Thường dùng
phương pháp Lagrange để xây dựng mô hình. Nếu
xem sự tuyến tính là gần đúng, xét các chuyển động
diễn ra gần vò trí cân bằng phương trình Lagrange
hạng hai:
j
jj
Q
q
T
q
T
dt
d
=
∂
∂
−
∂
∂

(j = 1, 2,…… k) (3.4)
Trong đó:
( )

tq
j
,,qT T
j

=
là biểu thức động năng của
hệ trong toạ độ suy rộng
k: bậc tự do
phương trình (3.4) có thể thay bằng phương trình vi
phân gần đúng:
( )
0
1,
=∆+∆+∆
∑
=
k
mj
mjmmjmmjm
qcqbqa

(3.5)
nếu ngoại lực Q
m
được xác đònh bởi tác dụng vào f
i
thì
phương trình (3.5) có dạng:
( )

m
k
mj
mjmmjmmjm
Qqcqbqa
∆=∆+∆+∆
∑
=
1,

trong đó q
j
và
j
q

: toạ độ tổng quát và vận tốc của nó
m
q
∆
và
m
q

∆
: sai lệch toạ độ suy rộng và vận tốc
của chúng khỏi giá trò cân bằng
a
jm
, b

jm
, c
jm
: hằng số
giả thiết phương trình liên kết của hệ không chứa
những yếu tố vận tốc của chuyển động, hoặc có chứa
yếu tố ấy nhưng có thể phân tích lên được để có
phương trình liên kết.
Bài toán xây dựng mô hình toán học tuyến tính
chuyển động của liên hợp máy (của những dao động
nhỏ được trình bày như sau: cho liên hợp máy dưới
dạng động lực học có phương trình liên kết hệ số bằng
số hữu hạn k của bậc tự do và bằng véc tơ q = {q
1
, q
2
,
… q
k
} của hệ toạ độ (dao động động thẳng và quay với
hệ quán tính toạ độ).
Véc tơ ngoại lực F = {f
1
, f
2
, ……, f
n
} là tác động vào.
Ngoài ra những ngoại lực tổng quát vào hệ không thể
biểu diễn bằng giải tích nhưng chúng là những hàm

của ngoại lực f
i
. Trong trường hợp đó véc tơ q trong
mô hình chuyển động của liên hợp máy được xem như
trạng thái pha của nó trong không gian k chiều.
Ta có :
( )
nniim
ffffffffQQ

,, ,, ,,,,
2211
=
(3.7)
phân tích (3.7) ra dãy Taylo ta có
( )
( )






+∆
∂
∂
++∆
∂
∂
+∆

∂
∂
γ
+=
=
+
=γ
∑
1nm
m
2
2
1
1
n
1
0
m
0
2
0
1
m21
Rx
x
F
x
x
F
x

x
F
!
1
X, ,X,XF
X, ,X,XF
(3.8)
với hàm liên tục F(X
1
,X
2
,……,X
m
)
có đạo hàm liên tục tại một điểm
( )
00
2
0
1
, ,,
m
XXXC
trong đó
1
0
11
XXX
∆+=
2

0
22
XXX
∆+=
mmm
XXX
∆+=
0
số mũ luỹ thừa
γ
theo nguyên tắc đại số. Ví dụ với
hàm 3 biến F(X
1
,X
2
,X
3
) và trong công thức (3.8) chỉ
tính số hạng bậc nhất và bậc hai vô cùng bé
2=γ

ta sẽ có:
32
32
2
2
1
21
2
2

1
21
2
2
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
3
3
2
2
1
1
1
3
3
2
2
1

1
XX
XX
F
2
1
XX
XX
F
2
1
XX
XX
F
2
1
X
X
F
2
1
X
X
F
2
1
X
X
F
2

1
X
X
F
X
X
F
X
X
F
X
X
F
X
X
F
X
X
F
!
1
∆∆
∂∂
∂
+∆∆
∂∂
∂
+∆∆
∂∂
∂

+
+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=
=






∆
∂
∂

+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
γ
∑
λ
=γ
đạo hàm riêng được tính tại điểm
( )
00
2
0
1
, ,
m
XXXC

nên = const nếu trong công thức (3.8) chỉ gồm các vô
cùng bé bậc nhất đối với số gia
F
∆
của hàm
F(X
1
,X
2
,X

3
) sẽ có dạng:
F
∆
= F(X
1
,X
2
,……X
m
) -
( )
∑
=
∆
∂
∂
=
m
j
j
j
m
X
X
F
XXXF
1
00
2

0
1
, ,
(3.9)
tương tự với số gia
m
Q
∆
của hàm (3.7) ta nhận được:
n
n
m2
2
m
1
1
mnn2211m
fm fm
fmfdm fdmfdmQ
∆++∆+
∆+∆++∆+∆=∆

∑
=
∑
=
∆+∆=∆
n
i
im

n
i
iim
fmfdmQ
i
11

(3.10)
Trong đó:
1
1
f
Q
dm

∂
∂
=
2
2
f
Q
dm

∂
∂
=
,……,
n
n

f
Q
dm

∂
∂
=
1
1
f
Q
mm
∂
∂
=
2
2
f
Q
mm
∂
∂
=
,……,
n
n
f
Q
mm
∂

∂
=
(3.11)
thay giá trò
m
Q
∆
vào (3.6) ta có
( )
( )
∑∑
==
∆+∆=∆+∆+∆
n
1i
i
i
mii
k
1m,j
mjmmjmmjm
fmfdmqcqbqa



(3.12)
khi xét những dao động thẳng hoặc quay của liên hợp
máy, cơ cấu làm việc dưới tác dụng của lực và momen
gây nhiễu thường tiến hành đồng thời mô hình chuyển
động một chiều. Nếu có một đại lượng f vào và một

đại lượng ra q = y thì phương trình (3.12) có dạng: (j,m
= 1 ; n = 1)
fmfdycybya
∆+∆=∆+∆+∆
1111111111


hoặc
fkfyyTyT
∆+∆=∆+∆+∆
11111
2
2


τ
(3.13)
Trong đó
11
11
2
2
c
a
T
=
11
11
1
c

b
T =
11
11
11
c
d
=
τ
11
11
11
c
m
k
=
phương trình (3.13) mô tả những dao động nhỏ của
liên hợp máy, những cơ cấu làm việc dưới tác dụng
của các lực và mô men nhiễu khác nhau, chúng được
gây bởi:
- chuyển động theo bề mặt
- lực cản của môi trường (đất, cây trồng,…)
các hằng số T
2
, T
1
có thứ nguyên thời gian thể hiện
tính chất quán tính (T
2
)

và tính chất chống rung (T
1
)
của hệ. Trong chuyển động đều khi vận tốc và gia tốc
các điểm của hệ bằng không, từ công thức (3.13) ta
có:
oo
fky ∆=∆
11
(3.14)
k
11
: hệ số khuyếch đại
11
τ
: có thứ nguyên thời gian thể hiện ảnh
hưởng vận tôc biến thiên của nhiễu đến dao động của
hệ
y
∆
trong thực tế cho phép chọn
11
τ
= 0 (3.13)
có dạng:
fkyyTyT
∆=∆+∆+∆
111
2

2

(3.15)
khi
0
=∆
f
ta có:
02
2
=∆+∆+∆+∆
ykyyny

(3.16)
trong đó:
2
2
1
2T
T
n
=
2
1
T
k
=
T
2
đặc trưng cho chu kỳ dao động tự do của hệ động

lực học. Tần số dao động tự do là
2
2
T
π
IV. MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH LIÊN HP MÁY
NÔNG NGHIỆP VÀ QUÁ TRÌNH LÀM VIỆC
CỦA CHÚNG
Mô hình tuyến tính động lực học và quá trình làm
việc của chúng với một tín hiệu vào và một tín hiệu ra
có dạng:
( )
( )
( ) ( )
∑
−
=
=+
1
1
n
i
i
i
n
AbftXatX
(3.17)
Y(t) = C.X(t) (3.18)
Trong đó: a
i

(i = 0, 1, ……, n – 1
Và b : hệ số của mô hình
f(t): chấn động kiểm tra được
c: ma trận hệ số
hoặc được viết dưới dạng:
( ) ( ) ( )
tBFtAXtX +=

(3.19)
Y(t) = C.X(t) (3.20)
Trong đó A, B là ma trận hệ số:
=
A
110
0
0



0
1
0
0
−
−−−
n
aaa
b
B 0
0

=
C = {c
1
, 0,……0}
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
'
21
, ,,
T
n
tXtXtXtX
=
( ) ( )
tXtX
=
1
( ) ( )
tXtX
ii
=+1
i = {1, 2, …, n – 1}
T’: dấu chuyển vò
Giả sử ma trận (A, B) điều khiển được, cặp (C, A)
quan sát được
Dùng phép biến đổi Laplace đối với (3.19) và
(3.20) và giải phương trình theo biến X(s), ta có hàm
truyền của liên hợp máy nông nghiệp:
W(s) = C(SI – A)
-1

.B (3.21)
Trong đó: S = iw là số phức
I là ma trận đơn vò
Từ phương trình (3.17) đến (3.21) ta có hàm truyền
của liên hợp máy trong điều kiện làm việc bình
thường với tín hiệu vào là F và tín hiệu ra là Y
( )
∑
−
=
+
=
1
1
n
i
ii
n
SaS
b
sW
(3.22)
Ví dụ: nghiên cứu động lực học của liên hợp cày
tời và công cụ làm đất trên ruộng lầy, phương trình vi
phân của chuyển động tương đối của hệ có thể viết:
( ) ( )
( ) ( )
tF
M
tXw

dt
tdX
k
dt
tXd
c
1
2
2
2
=++
(3.23)
Trong đó F(t): lực cản chuyển động công cụ trong đất
quá trình ngẫu nhiên dừng
X(t): chuyển động tương đối của công cụ hoặc
biên dạng tuyến tính của tời dưới tác động của tải
trọng
k: hệ số tắt dần của dao động
w: tần số dao động của hệ tời s
-1
M
c
w
c
=
L
ES
c =
Trong đó c: độ cứng của tời có chiều dài L
E: modun đàn hồi của tời

S: diện tích mặt cắt ngang của tời
M: hệ số
Tương ứng với hàm truyền ta có:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
tF
M
tX
tX
k
w
tX
tX
tX
c






+













−
−
=






−
1
2
1
2
2
1
0
'
1
0

