SKKN ứng dụng số phức vào giải toán hình học phẳng ở THPT

MỤC LỤC
Trang 1
MỞ ĐẦU
Số phức xuất hiện từ thể kỷ XIX do nhu cầu phát triển của Toán học
về giải những phương trình đại số. Từ khi ra đời số phức đã thúc đẩy toán học
tiến lên mạnh mẽ và giải quyết được nhiều vấn đề của khoa học và kỹ thuật . Đối
với học sinh bậc THPT thì số phức là một nội dung còn mới mẻ, với thời lượng
không nhiều, học sinh mới chỉ biết được những kiến thức rất cơ bản của số
phức, việc khai thác các ứng dụng của số phức còn hạn chế, đặc biệt là việc sử
dụng số phức như một phương tiện để giải các bài toán Hình học phẳng là một
vấn đề khó, đòi hỏi học sinh phải có năng lực giải toán nhất định, biết vận dụng
1
kiến thức đa dạng của toán học.
Mặc dù sách giáo khoa Giải tích lớp 12 đã đưa bài tập ứng dụng Số
phức vào giải toán hình học phẳng nhưng còn rất ít. Với những lí do trên, tôi
chọn đề tài nghiên cứu là: “Ứng dụng số phức vào giải toán Hình học phẳng”.

Chương 1: SỐ PHỨC
Chương này trình bày lịch sử hình thành số phức, định nghĩa, các phép
toán và tính chất của số phức.
1.1 Lịch sử hình thành khái niệm số phức
Lịch sử số phức bắt đầu từ thế kỉ thứ XVI. Đó là thời kì Phục hưng của
toán học châu Âu sau đêm trường trung cổ. Các đại lượng ảo
2
1, 1, 1b a b
− − + −
xuất hiện đầu tiên từ thế kỉ XVI trong các công trình của
của các nhà toán học Italy “Nghệ thuật vĩ đại hay là về các quy tắc của đại số”
(1545) của G. Cardano (1501 – 1576) và “Đại số” (1572) của R. Bombelli (1530
– 1572). Nhà toán học Đức Felix Klein (1849 – 1925) đã đánh giá công trình của
G. Cardano như sau: “Tác phẩm quý giá đến tột đỉnh này đã chứa đựng mầm

mống của đại số hiện đại và nó vượt xa tầm của toán học thời cổ đại”.
Khi giải phương trình bậc hai Cardano và Bombelli đã đưa vào xét kí hiệu
1−
là lời giải hình thức của phương trình
2
1 0x
+ =
.
Xét biểu thức
1b −
là nghiệm hình thức của phương trình
2 2
0x b
+ =
. Khi đó
biểu thức tổng quát hơn có dạng
1, 0a b b+ − ≠
có thể xem là nghiệm hình
thức của phương trình
2 2
( ) 0x a b− + =
.
Về sau biểu thức dạng
1, 0a b b
+ − ≠
xuất hiện trong quá trình giải
phương trình bậc hai, bậc ba (công thức Cardano) được gọi là đại lượng “ảo” và
sau đó được Gauss gọi là số phức và thường được kí hiệu là
a ib
+

, trong đó kí
hiệu
: 1i = −
được L.Euler đưa vào (năm 1777) gọi là đơn vị “ảo”.
Quá trình thừa nhận số phức như một công cụ quý giá của toán học đã
diễn ra rất chậm chạp. Ngay tên gọi và kí hiệu
: 1i = −
là đơn vị ảo cũng đã gây
nên nhiều nỗi băn khoăn, thắc mắc từ đó dẫn đến khủng hoảng niềm tin vì nó
không có gì chung với số - một công cụ của phép đếm, mặc dù người ta vẫn
xem nó là một kí hiệu trừu tượng thỏa mãn định nghĩa
2
1i = −
.
Sự khủng hoảng niềm tin càng trở nên sâu sắc hơn bởi việc chuyển một
cách thiếu cân nhắc và thiếu thận trọng một số quy tắc của đại số thông thường
cho các số phức đã sản sinh ra những nghịch lí khó chịu. Chẳng hạn như nghịch
lí sau đây: vì
1i = −
nên
2
1i = −
, nhưng đồng thời bằng cách sử dụng các quy
tắc thông thường của phép toán khai căn bậc hai lại thu được
2 2
1 1 ( 1)( 1) ( 1) 1 1i
= − − = − − = − = =
Như vậy
1 1
− =

.
3
Ta nhấn mạnh lại rằng hệ thức
2
1i = −
là định nghĩa số mới
i
cho phép
ta đưa vào xét số phức. Điều đó có nghĩa rằng hệ thức đó không thể chứng minh,
nó chỉ là quy ước.
Tuy vậy, cũng có người muốn chứng minh hệ thức đó. Trong cuốn sách
“phương pháp tọa độ” của mình, viện sĩ L.S. Pointriagin đã mô tả lại chứng
minh đó như sau:
Đầu tiên người ta lấy nửa đường tròn với đường kính AB. Từ điểm R tùy
ý của nửa đường tròn hạ đường vuông góc RS là trung bình nhân giữa các độ dài
của các đoạn AS và SB. Vì nói đến độ dài nên sẽ không sai sót lớn khi nói rằng
bình phương đoạn RS bằng tích các đoạn thẳng AS và BS. Bây giờ, trở về với
mặt phẳng phức, kí hiệu điểm -1 là A, điểm +1 là B và điểm
i
là R. Khi đó S sẽ
là điểm 0. Tác giả của phép chứng minh đã lập luận như sau:
Đoạn thẳng RS là
i
, đoạn thẳng AS là -1 và SB là +1. Như vậy theo định lí
vừa nhắc lại ở trên ta có
2
( 1)( 1) 1i = − + = −
Thật đáng tiếc là phép chứng minh kì lạ này vẫn được viết trong sách và giảng
dạy ở một số trường phổ thông trước thế chiến thứ II.
Lịch sử toán học cũng ghi lại rằng Cardano cũng đã nhắc đến các nghiệm

phức nhưng lại gọi chúng là các nghiệm “ngụy biện”. Chẳng hạn khi giải hệ
phương trình
10
50
x y
xy
+ =


=

Cardano đã tìm được nghiệm
5 5± −
và ông đã gọi nghiệm này là “âm thuần
túy” và thậm chí còn gọi là “nghiệm âm ngụy biện”.
Có lẽ tên gọi “ảo” là di sản vĩnh cửu của “một thời ngây thơ đáng trân
trọng của số học”.
Thậm chí đối với nhiều nhà bác học lớn thế kỉ XVIII bản chất đại số và
bản chất hình học của các đại lượng ảo không được hình dung một cách rõ ràng
mà còn đầy bí ẩn. Chẳng hạn, lịch sử cũng ghi lại rằng I. Newton đã không thừa
4
nhận cá đại lượng ảo và không xem các đại lượng ảo thuộc vào các khái niệm
số, còn G. Leibniz thì thốt lên rằng: “Các đại lượng ảo – đó là nơi ẩn náu đẹp đẽ
huyền diệu đối với tinh thần của đấng tối cao, đó dường như một giống lưỡng cư
sống ở một chốn nào đó giữa cái có thật và cái không có thật”.
Người đầu tiên nhìn thấy lợi ích do đưa số phức vào toán học mang lại
chính là nhà toán học Italy R. Bombelli. Trong cuốn “Đại số” (1572) ông đã
định nghĩa các phép tính số học trên các đại lượng ảo và do đó ông đã sáng tạo
nên lí thuyết các số “ảo”.
Thuật ngữ số phức được dùng đầu tiên bởi K. Gauss (năm 1831). Vào thế

kỉ XVII – XVIII nhiều nhà toán học khác cũng đã nghiên cứu các tính chất của
đại lượng ảo (số phức) và khảo sát các ứng dụng của chúng. Chẳng hạn L. Euler
(1777 – 1855) nhà toán học Đức mở rộng khái niệm logarit cho số phức bất kì
(1738), còn A. Moivre (1667 – 1754) nhà toán học Anh nghiên cứu và giải bài
toán căn bậc tự nhiên đối với số phức (1736).
Sự nghi ngờ đối với số ảo (số phức) chỉ tiêu tan khi nhà toán học người
Nauy là C.Wessel đưa ra sự minh họa hình học về số phức và các phép toán
trên chúng trong công trình công bố năm 1799. Đôi khi phép biểu diễn minh họa
số phức cũng được gọi là “sơ đố Argand” để ghi nhận công lao của nhà toán học
Thụy Sỹ R. Argand – người thu được kết quả như của Wessel một cách độc lập.
Lí thuyết thuần túy số học đối với các số phức với tư cách là các cặp số
thực có thứ tự (a,b),
,a R b R
∈ ∈
được xây dựng bởi nhà toán học Ailen là
W.Hamilton (1837). Ở đây đơn vị “ảo”
i
chỉ đơn giản là một cặp số thực có thứ
tự - cặp (0;1), tức là đơn vị “ảo” được lí giải một cách hiện thực.
Cho đến thế kỉ thứ XIX, Gauss mới thành công trong việc luận chứng một
cách vững chắc khái niệm số phức. Tên tuổi của Gauss cũng gắn liền với phép
chứng minh chính xác đầu tiên đối với định lí cơ bản của Đại số khẳng định
rằng trong trường số phức C mọi phương trình đa thức đều có nghiệm.
Bản chất đại số của số phức thể hiện ở chỗ số phức là phần tử của trường
mở rộng (đại số) C của trường số thực R thu được bằng phép ghép đại số cho R
nghiệm
i
của phương trình
5

2
1 0x
+ =
.
Với định lí cơ bản của Đại số, Gauss đã chứng minh được trường C trở
thành trường đóng đại số. Điều đó có nghĩa là khi xét các nghiệm của phương
trình đại số trong trường này ta không thu được thêm số mới. Đương nhiên
trường số thực R (và do đó cả trường hữu tỉ Q) không có tính chất đóng đại số.
Chẳng hạn, phương trình với hệ số thực có thể không có nghiệm thực.
Nhìn lại hơn 2500 năm từ thời Pythagor tới giờ, con đường phát triển
khái niệm về số có thể tóm tắt bởi
N Z Q R C
→ → → →
với các bao hàm thức:
N Z Q R C
⊂ ⊂ ⊂ ⊂
.
Bằng các kết quả sâu sắc trong các công trình của các nhà toán học
K.Weierstrass, G.Frobenius, B.Peirce người ta mới nhận ra rằng mọi cố gắng
mở rộng tập số phức theo con đường trên đều không có kết quả khả quan.
K.Weierstrass đã chứng minh tập hợp số phức C không thể mở rộng thành tập
hợp rộng hơn bằng cách ghép thêm số mới để trong tập hợp số rộng hơn thu
được vẫn bảo toàn mọi phép tính và mọi quy luật của các phép toán đã đúng
trong tập hợp số phức.
Nhìn lại lịch sử lâu dài của sự phát triển khái niệm số ta thấy rằng cứ mỗi
lần khi đưa vào những số mới các nhà toán học cũng đồng thời đưa vào các quy
tgawcs thực hiện các phép toán trên chúng. Đồng thời với điều đó các nhà Toán
học luôn luôn cố gắng bảo toàn các quy luật số học cơ bản (luật giao hoán của
phép cộng và phép nhân, luật kết hợp và luật phân bố, luật sắp xếp tuyến tính
của tập hợp số). Tuy nhiên sự bảo toàn đó không phải khi nào cũng thực hiện

được, ví dụ như khi xây dựng trường số phức người ta không bảo toàn được luật
sắp xếp tuyến tính vốn có trong trường số thực.
Tổng kết lịch sử toàn bộ quá trình phát triển khái niệm số, nhà toán học
Đức L.Kronecker (1823 - 1891) đã viết:
“Thượng đế đã tạo ra số tự nhiên, còn tất cả các loại số còn lại đều là công
trình sáng tạo của con người”
Có thể nói rằng với khẳng định bất hủ này, L.Kronecker đã xác định nền
móng vững chắc cho tòa lâu đài toán học tráng lệ , mà con người đang sở hữu.
6
1.2 Khái niệm số phức
Ta biết rằng trường số thực
¡
nhận được bằng cách làm “đầy” trường
số hữu tỉ
¤
, mà nó được xây dựng từ vành số nguyên
¢
. Việc làm đầy xuất
phát từ sự nghiên cứu các phương trình đại số với hệ số hữu tỉ và giới hạn của
các dãy số hữu tỉ. Tuy nhiên trường
¡
vẫn không đầy đủ, bởi vì ngay cả
phương trình đơn giản

2
1 0 (1)x + =

cũng không có nghiệm trong
¡
. Còn trong giải tích nếu chỉ giới hạn trong

¡
,
người ta không thể giải thích được tại sao hàm
2
1
( )
1
f x
x
=
+
không thể khai
triển được thành chuỗi lũy thừa trên toàn bộ đường thẳng.
Với lí do trên, buộc ta phải tìm kiếm trường K nào đó chứa
¡
như một
trường con sao cho tối thiểu phương trình (1) có nghiệm. Ở đây ta nói
¡
là
trường con của K nếu các phép toán trên
¡
được cảm sinh bởi các phép toán
trên K.
1.2.1 Xây dựng trường số phức
Giả sử trường
£
chứa
¡
như một trường con mà phương trình
2

1 0x
+ =
có nghiệm trong nó, khi đó
£
phải có một phần tử i để
2
1i = −
. Vì
⊂
¡ £
nên
£
chứa tất cả các phần tử dạng
, ,a ib a b
+ ∈
¡
. Do đó, một cách tự
nhiên ta xét tập
£
các cặp số thực (a,b):
{( , ) : , }a b a b
= ∈
£ ¡
.
Sau đó đưa vào quan hệ bằng nhau và các phép toán sao cho với chúng
£
trở thành một trường chứa
¡
như một trường con (qua phép đồng nhất nào
đó). Các phép toán náy được dẫn dắt từ các phép toán của trường

¡
với chú ý
2
1i = −
i) Quan hệ bằng nhau:
( , ) ( , ) ,a b c d a c b d
= ⇔ = =
ii) Phép cộng:
( , ) ( , ) ( , )a b c d a c b d
+ = + +
iii) Phép nhân:
( , ).( , ) ( , )a b c d ac bd ad bc
= − +
Tập hợp
£
với quan hệ bằng nhau, các phép cộng và nhân xác định như
trên lập thành một trường thỏa mãn các điều kiện sau:
7
1)
¡
chứa trong
£
như một trường con (qua đồng nhất
a
∈
¡
với
( ,0)a
∈
£

)
2) Tồn tại nghiệm của phương trình
2
1 0x + =
trong
£
.
1.2.2 Định nghĩa
• Trường
£
được xây dựng như trên được gọi là trường số phức
• Mọi phần tử của
£
được gọi là số phức
• Vậy
z
∀ ∈
£
, ta có

( , ) (1,0) (0,1) , ,z a b a b a ib a b
= = + = + ∀ ∈
¡
Đây là dạng đại số của số phức z, trong đó
a được gọi là phần thực của số phức z, kí hiệu là Rez
b được gọi là phần ảo của số phức z kí hiệu là Imz
• Số phức liên hợp
Cho
, ,z a ib a b
= + ∀ ∈

¡
, khi đó
z a ib= − ∈ £
được gọi là số phức liên
hợp của số phức z, kí hiệu là
z
.
1.3 Các phép toán trên tập các số phức
1.3.1 Phép cộng
Ta gọi tổng của hai số phức
1 1 1 2 2 2
;z a ib z a ib
= + = +
là số phức
1 2 1 2
( ) ( ) (1)z a a i b b
= + + +

và được kí hiệu là
1 2
z z z
= +
.
Từ định nghĩa của phép cộng ta có các tính chất sau:
i) Kết hợp:
1 2 3 1 2 3
( ) ( )z z z z z z
+ + = + +
ii) Giao hoán:
1 2 2 1

z z z z
+ = +
Đặc biệt khi
1 2
;z z
là hai số thực thì định nghĩa (1) trùng với định nghĩa phép
cộng các số thực.
1.3.2 Phép trừ
Phép cộng trên có phép toán ngược, nghĩa là với hai số phức
1 1 1 2 2 2
;z a ib z a ib
= + = +
ta có thể tìm được số phức z sao cho
2 1
z z z
+ =
. Số
phức này gọi là hiệu của hai số phức
1
z
và
2
z
, kí hiệu là
1 2
z z z= −
, rõ ràng từ
8
định nghĩa ta có
1 2 1 2

( ) ( ) (2)z a a i b b
= − + −
1.3.3 Phép nhân
Ta gọi tích của hai số phức
1 1 1 2 2 2
;z a ib z a ib
= + = +
là số phức z xác
định bởi

1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) (3)z a a b b i a b b a
= − + +
Và kí hiệu là
1 2
z z z=
.
Từ định nghĩa ta có những tính chất sau:
i) Kết hợp
1 2 3 1 2 3
( ) ( )z z z z z z
=
.
ii) Giao hoán
1 2 2 1
z z z z=
.
iii) Phép nhân có tình phân phối với phép cộng
1 2 3 1 2 1 3
( )z z z z z z z

+ = +
.
Nếu
1
z
và
2
z
là hai số thực thì định nghĩa (3) trùng với định nghĩa
thông thường của phép nhân trong tập hợp các số thực.
Đặc biệt khi lấy
1 2
z z i
= =
từ định nghĩa (3) ta có
2
. 1i i i= = −
Rõ ràng với
1 1 1 2 2 2
;z a ib z a ib
= + = +
thì công thức (3) có được bằng cách nhân
thông thường (phép nhân trong tập hợp số thực) và thay
2
1i
= −
.
Chú ý:
2 2
. 0z z a b

= + ≥
1.3.4 Phép chia
Phép toán nhân có phép toán ngược nếu ít nhất một trong hai số đó
khác không. Giả sử
2
0z ≠
. Khi đó ta có thể tìm được một số phức
z a ib= +
sao
cho
2 1
.z z z=
. Theo định nghĩa của phép nhân ta có hệ phương trình sau

2 2 1
2 2 1
(4)
a a b b a
b a a b b
− =


+ =

Vì
2
0z ≠
nghĩa là định thức của hệ Cramer khác 0 nên hệ phương trình trên
luôn luôn có một lời giải duy nhất. Số phức z có được này gọi là thương của hai
số phức z

1
và z
2
.
Giải hệ (4), ta được
9

1 2 1 2
2 2
2 2
1 2 1 2
2 2
2 2
(5)
a a bb
a
a b
b a a b
b
a b
+

=

+


−

=


+

Kí hiệu
1
2
z
z
z
=
.
Chú ý: Hệ thức (5) cũng có được bằng cách nhân
1
2
z
z
với
1
2
z
z
1.3.5 Lũy thừa bậc n
Tích của n lần số phức z được gọi là lũy thừa bậc n của số phức z. Kí hiệu
n
z
.
1.3.6 Căn bậc n
Số phức w được gọi là Căn bậc n của số phức z nếu
w
n

z=
. Kí hiệu
w
n
z=
.
1.3.7 Định lí
Với các số phức
1 2
, ,z z z
, ta có:
1 2 1 2
2 2
1 2 1 2
1 1
2
2
) ,
) ,
)
) . 0 ( , , )
)
Suy ra: , ,
)
) 2Re 2 ; 2 Im 2 ( , , )
i z z z
ii z z z
iii z z z z
iv z z a b z a ib a b
v z z z z

z z z
z z
vi
z
z
vii z z z a z z i z ib z a ib a b
λ λ λ
= ∀ ∈ ⊂
= ∀ ∈
+ = +
= + ≥ ∀ = + ∀ ∈
=
= ∀ ∈ ∀ ∈
 
=
 ÷
 
+ = = − = = ∀ = + ∀ ∈
¡ £
£
¡
¡ £
¡
1.4 Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức
1.4.1 Dạng lượng giác của số phức
Xét mặt phẳng tương ứng với hệ tọa độ Đềcác Oxy và ta biểu diễn một
số phức
, ,z a ib a b= + ∀ ∈¡
bởi một điểm có tọa độ (a,b). Như vậy các số
thực sẽ được biểu diễn bởi các điểm trên trục Ox, nó được gọi là trục thực, các

số thuần ảo được biểu diễn bởi các điểm trên trục Oy, nó được gọi là trục ảo.
10
Ngược lại, với mỗi điểm của mặt phẳng Oxy có tọa độ (a,b), ta đặt
tương ứng với một số phức
z a ib
= +
Vậy có sự tương ứng 1 -1 giữa tập hợp tất cả các số phức
£
với tập hợp tất
cả các điểm của một mặt phẳng.
Vì mỗi điểm có tọa độ (a,b) trong mặt phẳng tương ứng với một véc tơ
có bán kính véc tơ
2 2
r a b= +
và góc cực tương ứng
ϕ
. Do đó mỗi số phức z
có thể biểu diễn dưới dạng
( os isin )z r c
ϕ ϕ
= +
. Đây là dạng lượng giác của
số phức, trong đó r,
ϕ
lần lượt là bán kính cực và góc cực của số phức z. Bán
kính r gọi là modun của số phức z, kí hiệu
r z
=
. Góc cực
ϕ

gọi là argument
của số phức z, kí hiệu là
Argz
ϕ
=
11
Hình 1
Hình 2
Modun của số phức được xác định một cách duy nhất
2 2
0z a b= + ≥
.
Và argument của số phức được xác định với sai khác một bội của
2
π
.
ar 2 , ( ) 0
Ar
ar (2 1) , ( ) 0
b
ctg k k khi a
a
gz
b
ctg k k khi a
a
π
ϕ
π


+ ∈ >


= =


+ + ∈ <


¢
¢
Với
ar [- ; ]
2 2
b
ctg
a
π π
∈
là giá trị chính của hàm
arctg
.
1.4.2 Một số tính chất
Cho các số phức
( os isin )z r c
ϕ ϕ
= +
;

1 1 1 1

( os isin )z r c
ϕ ϕ
= +
;
2 2 2 2
( os isin )z r c
ϕ ϕ
= +
.
Ta có các tính chất sau:
1) Nếu
1 2
z z≡
thì modul của chúng trùng nhau và argument của chúng
1 2
;
ϕ ϕ
sai khác nhau một số nguyên lần
2
π
2) Tính chất của modun và argument
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
) . .
) Re
) Im
) Re Im
)
)

i z z z z
ii z z
iii z z
iv z z z
v z z z z
vi z z z z
=
≥
≥
≤ +
+ ≤ +
− ≤ −
3) Tích của hai số phức
1 2 1 1 1 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
. ( os isin ). ( os isin )
[( os os sin sin ) ( os sin sin os )]
[ os( ) sin( )]
z z z r c r c
rr c c i c c
rr c i
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
= = + +
= − + −
= + + +
Như vậy, tích
z

của hai số phức viết dưới dạng lượng giác
( os isin )z r c
ϕ ϕ
= +
,
12
ở đó
r
là tích của
1 2
rr
, hoặc
1 1 2 1 2
. .z z z z z=
; còn argument
ϕ
là tổng
1 2
( )
ϕ ϕ
+
của hai argument thừa số, hay nói cách khác
1 2 1 2
arg arg argz z z z= +
.
Bằng phương pháp quy nạp toán học dễ dàng chứng minh được
1 1 1 2 2 2
1 2 1 2 1 2
[ ( os isin )].[ ( os isin )] [ ( os isin )]
r [ os( ) sin( )]

n n n
n n n
r c r c r c
r r c i
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
+ + +
= + + + + + + +
Hoàn toàn tương tự ta có thể làm phép chia các số phức
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1
1 2 1 2 1 2 1 2
2
1
1 2 1 2
2
( os isin ) ( os isin )( os - isin )
= =
( os isin ) ( os isin )( os - isin )
[( os os sin sin ) (sin os os sin )]
[ os( ) sin( )]
z r c r c c
z r c r c c
r
c c i c c
r
r
c i
r

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
+ +
+ +
= + + −
= − + −
Do đó,
1
1 1
1 2
2 2 2
àarg arg arg
z
z z
v z z
z z z
= = −
Bây giờ có thể dễ dàng biểu diễn tích
của hai số phức
1 2
z z z=
, với
1 1 1 1
( os isin )z r c
ϕ ϕ
= +
;
2 2 2 2

( os isin )z r c
ϕ ϕ
= +

là một điểm với bán kính véc tơ
1 2
rr
và argument
1 2
ϕ ϕ
+
.
13
Hình 3
1.4.3 Công thức Moivre
Cho một số phức bất kì dưới dạng lượng giác
( os isin )z r c
ϕ ϕ
= +
, theo công
thức ở trên ta có
[ ( os isin )] ( osn isin ),
n n n
z r c r c n n N
ϕ ϕ ϕ ϕ
= + = + ∀ ∈
Công thức trên được gọi là công thức Moivre.
Công thức Moivre cũng đúng khi
n
là các số nguyên âm. Thật vậy:

1 1
1
[ os( ) isin( )]
( os isin )
z r c
r c
ϕ ϕ
ϕ ϕ
− −
= = − + −
+
Và:
1 1
( ) [ ( os( ) isin( ))]
[ os( ) isin( )]
n n n
n
z z r c
r c n n
ϕ ϕ
ϕ ϕ
− − −
−
= = − + −
= − + −
Dựa vào công thức Moivre ta định nghĩa căn bậc n của số phức:
Cho
( os isin )z r c
ϕ ϕ
= +

, căn bậc n của số phức z là một số phức biểu
diễn dưới dạng lượng giác
w ( os isin )c
ρ θ θ
= +
, sao cho
w
n
z=
, hay
[ ( os isin )] ( os isin )
n
c r c
ρ θ θ ϕ ϕ
+ = +
.
Theo công thức Moivre, ta có
n
r
ρ
=
, suy ra
n
p r=
, Còn argument
n
θ
và
ϕ
sai khác nhau , hay

2 ,( )n k k Z
θ ϕ π
= + ∈
. Vậy
2k
n
ϕ π
θ
+
=
.
Ngược lại, khi ta nâng bậc mũ n số
2 2
w ( os isin ), ( ),
n
k k
r c k Z
n n
ϕ π ϕ π
+ +
= + ∈
thì ta được
z
. Như vậy:
2 2
( os isin ) ( os isin ),
n
n
k k
r c r c

n n
ϕ π ϕ π
ϕ ϕ
+ +
+ = +
với
0,1,2, , 1k n= −
sẽ nhận được
n
giá trị khác nhau cho
n
z
.
Mỗi giá trị của
n
z
tạo thành cấp số cộng với công bội
2
n
π
, và số hạng
14
đầu
n
ϕ
(tương ứng k=0).
Do tính chu kì của hàm
sin ;cosx x
với
1k n> +

thì những giá trị của
n
z
lại lặp lại một trong
n
giá trị ban đầu.
Do đó, căn bậc
n
của một số phức
có đúng
n
giá trị khác nhau. Những số
này biểu diễn như đỉnh của
n
đa giác đều
nằm trên đường tròn với tâm là gốc tọa độ
và bán kính là
n
z
.
1.4.4 Dạng mũ của số phức
Để đơn giản cách viết số phức ta đặt

os isin
i
c e
ϕ
ϕ ϕ
±
± =

dạng lượng giác được biến đổi thành dạng mũ
i
z re
ϕ
=
đó là dạng số mũ của số phức
0z ≠
.
Dễ dàng chứng minh rằng nếu
1 2
1 1 2 2
;
i i
z re z r e
ϕ ϕ
= =
thì :
1 2)
1 2 )
(
1 2 1 2
(
1 1
2
2 2
1. ;
2. ; 0
i
i
z z r r e

z r
e r
z r
ϕ ϕ
ϕ ϕ
+
−
=
= ≠
Phép nâng số phức
( os isin )z a ib r c
ϕ ϕ
= + = +
lên lũy thữa bậc n của
số phức được thực hiện theo công thức Moivre
n n in
z r e
ϕ
=
15
Hình 4
2
w ; 0;1; ; 1
k
i
n n
n
k
z re k n
ϕ π

+
= = = −
Chương 2: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI TOÁN HÌNH HỌC
PHẲNG
Chương này trình bày phương pháp giải toán, mô tả một số kết quả của
hình học phẳng bằng ngôn ngữ số phức và ba ứng dụng của số phức vào giải
toán hình học.
2.1 Phương pháp giải toán
Khi giải các bài toán trong hình học phẳng ta đồng nhất số phức
z x iy
= +
với điểm M(x,y) trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Descartes
Oxy, và gọi z là tọa vị của điểm M (đối với hệ tọa độ đó); kí hiệu M(z), hoặc kí
hiệu đơn giản hơn là M; đồng thời cũng đồng nhất số phức
z x iy
= +
với véc tơ
OM
uuur
trong đó điểm đầu O là gốc tọa độ, điểm cuối M là điểm biểu diễn số phức
16
z, vì vậy nếu nói M có tọa vị z thì cũng nói véc tơ
OM
uuur
có tọa vị z. Nhờ vậy,
nếu A(z), B(z’) thì véc tơ
AB OB OA
= −
uur uur uur
có tọa vị (z’ -z), hoặc kí hiệu là (A-B),

và
| |AB
uur
= |z’ – z| (hay
| |AB
uur
=|A-B|). Do đó trong mặt phẳng phức C, phương
trình đường tròn tâm tại điểm M
0
(z
0
), bán kính R là |z – z
0
| = R hay
( )
0
cos isinz z R t t= + +
với tham số t biến thiên trong đoạn [0; 2
π
] hay một
phần của đoạn đó mà ta có toàn bộ đường tròn hay một cung tương ứng, còn
phương trình đường thẳng có dạng:
z x ib
= +
,
onsb c t
=
, đường thẳng song song với trục Ox
z a iy
= +

,
onsa c t
=
, đường thẳng song song với trục Oy
z x iy
= +
,
tany x
ϕ
=
,
ϕ
là số đo góc định hướng hợp bởi đường thẳng và tia
Ox.
Sau đó nhờ phép chuyển tương ứng điểm hình học hay điểm phức M
thành vectơ
OM
uuur
(O là gốc tọa độ), chuyển khoảng cách giữa hai điểm phức
B A−
thành độ dài vectơ
AB
uur
, bình phương modul của điểm phức
2
M M .M
=
thành vô hướng vectơ
2
OM

uuur
ta sẽ nhận được lời giải thông thường
của bài toán đã cho, một lời giải không ứng dụng số phức.
Nhờ đó ta nhận được lời giải thông thường của bài toán đã cho.
2.2 Mô tả một số kết quả của hình học phẳng bằng ngôn ngữ số phức
Cho trước hai điểm M(m), N(n). Khi đó, độ dài đoạn
( )
MN n m d m;n
= − =
. Trong mặt phẳng cho trước đoạn thẳng AB. Khi đó, điểm
M chia đoạn thẳng AB theo tỷ số
{ }
1k \∈¡
khi và chỉ khi
MA kMB=
uuur uuur
,
( )
a m k. b m
− = −
trong đó a, b và m là tọa vị các điểm A, B và M theo thứ tự đó.
Từ đó, nếu kí hiệu
[ ]
AB
là chỉ đoạn thẳng AB, kí hiệu (AB) là chỉ
đường thẳng AB, kí hiệu
[
)
AB
là chỉ tia AB, ta có các kết quả sau

Cho trước hai điểm
( ) ( )
A a ,B b
phân biệt và điểm
( )
M m
. Khi đó
[ ]
( )
[ ]
( ) ( )
0 0 1 1 1M AB t : z m t. b m t ; : m t a tb
∈ ⇔ ∃ ≥ − = − ⇔ ∃ ∈ = − +
17
( ) ( ) ( ) ( )
1 2M AB t : m a t. b a t : m t a tb
∈ ⇔ ∃ ∈ − = − ⇔ ∃ ∈ = − +
¡ ¡
Định lý 2.1. Cho trước hai điểm
( ) ( )
A a ,B b
phân biệt và điểm
( )
M m
. Khi đó,
các mệnh đề sau tương đương
[
)
( )
( ) ( )

0 1
M AB
t : m t a tb
arg m a arg b a
m a
t
b a
+
• ∈
• ∃ > = − +
• − = −
−
• = ∈
−
¡
Từ đó, để ý rằng
t t t= ∀ ∈¡
, ta thu được phương trình của đường
thẳng đi qua hai điểm
( ) ( )
1 1 2 2
W w ,W w
là

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 1 2 1
0 3z w . w w z w . w w− − − − − =

2.2.1 Góc giữa hai đường thẳng
Trong mặt phẳng phức, cho hai điểm

( ) ( )
1 1 2 2
M z ,M z
và
1 2
k k
arg z ,k ,
α
= =
. Khi đó, do
( ) ( ) ( )
( )
1 1 2 2
2Ox,OM OM ,OM Ox,OM mod
π
+ ≡
uur uuuur uuuur uuuur uur uuuur
nên
( ) ( ) ( )
( )
1 2 2 1
2OM ,OM Ox,OM Ox,OM mod
π
≡ −
uuuur uuuur uur uuuur uur uuuur

hay góc định hướng tạo bởi tia
1
OM

với tia
2
OM

bằng
2
1
z
arg
z
.
Từ đó, nếu cho bốn điểm phân biệt
( )
1 2 3 4
k k
M z ,k , , ,=
thì góc định hướng tạo bởi đường
thẳng
1 3
M M
với
2 4
M M
bằng
4 2
3 1
z z
arg
z z
−

−
.
Định lý 2.2. Hai tam giác ABC và A'B'C' đồng dạng cùng hướng khi và chỉ khi
c a c' a'
b a b' a'
− −
=
− −
Và hai tam giác ABC và A'B'C' đồng dạng ngược hướng khi và chỉ khi
c a c' a'
b a
b' a'
− −
=
−
−
18
Hình 5
2.2.2 Tích vô hướng của hai số phức
Trong mặt phẳng phức cho hai điểm
( ) ( )
1 1 2 2
M z ,M z
. Khi đó
·
1 2 1 2 1 2
OM .OM OM .OM .cosM OM=
uuuur uuuur
Nếu
k

z
có modul bằng
k
r
và có argument bằng
k
α
thì

( ) ( )
1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2
OM .OM r .r .cos r r cos cos sin sin
α α α α α α
= − = +
uuuur uuuur
Do đó
( )
1 2 1 2 1 2
1
2
z ;z . z .z z .z= +
Từ đó suy ra
1 2 1 2
z ;z z ;z=
và do đó
1 2
z ;z ∈ ¡
. Tích vô hướng của hai số
phức cũng có tính chất như tích vô hướng của hai vectơ. Ngoài ra
1 2 1 2 1 2 1 2

z ; zz z. z ;z và zz ;z z. z ;z
= =
.
Nhận xét 2.1. 1. Trong mặt phẳng phức cho hai điểm
( ) ( )
1 1 2 2
M z ,M z
. Khi đó
1 2
z ;z
bằng phương tích của O với đường tròn đường kính
1 2
M M
.
• Nếu
( ) ( ) ( ) ( )
A a ,B b ,C c ,D d
là bốn điểm phân biệt của mặt phẳng phức,
thì
0 0
b a
AB CD b a;d c Re
d c
−
 
⊥ ⇔ − − = ⇔ =
 ÷
−
 
2.2.3 Công thức tính diện tích tam giác

Diện tích của tam giác ABC định hướng, với các đỉnh
( ) ( ) ( )
A a ,B b ,C c

được tính theo công thức
1
1
4
1
a a
i
S b b
c c
=
Do đó
( ) ( ) ( )
A a ,B b ,C c
thẳng hàng khi và chỉ khi
1
1 0
1
a a
b b
c c
=
.
2.2.4 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ điểm
( )
0

M z
đến đường thẳng
0: .z .z
α α β
∆ + + =
bằng
19
( )
0 0
2
.z .z
d M ,
.
α α β
α α
+ +
∆ =
2.2.5 Đường tròn
Đường tròn tâm
( )
0 0
M z
bán kính R là tập hợp những điểm M(z) sao
cho
0 0
M M R hay z z R= − =
tức là
2
0 0 0 0
0zz z z z z z z R− − + − =

.
Từ đó mọi đường tròn đều có phương trình dạng
0zz z z
α α β
+ + + =
, trong đó
,
α β
∈ ∈
£ ¡
. Đường tròn này có tâm với tọa vị
α
−
, bán kính
R
αα β
= −
.
2.2.6 Mô tả các phép biến hình phẳng bằng ngôn ngữ số phức
Phép dời hình.
Phép tịnh tiến. Phép tịnh tiến theo véc-tơ
( )
v v
=
r
là phép biến hình
biến điểm M(z) thành điểm M'(z') sao cho
MM ' v.=
uuuur r
Do đó, biểu thức của phép

tịnh tiến là
( )
z' f z z v
= = +
Phép quay. Phép quay tâm
( )
0 0
M z
góc quay
α
là phép biến hình biến
M(z) thành điểm M'(z') mà
( )
( )
0 0 0 0
2M M M M ' và M M ;M M ' mod
α π
= ≡
uuuuur uuuuuur
. Từ đó,
biểu thức của phép quay là
( )
0 0
i.
z' z e z z
α
− = −
Phép đối xứng trục. Phép đối xứng qua đường thẳng
l
là phép biến

hình biến mỗi điểm M(z) thành điểm M'(z') sao cho
l
là trung trực của MM'. Từ
đó
•
Phép đối xứng qua trục thực:
( )
z' f z z= =
•
Phép đối xứng qua trục ảo:
( )
z' f z z= = −
•
Do
( ) ( ) ( )
2 Ox; Ox;OM Ox;OM '= +
uur r uur uuur uur uuuur
l
( ở đây
( )
0
z=
r
l
) nên phép đối
xứng qua đường thẳng
l
đi qua gốc tọa độ O và điểm
2
0

i.
z e
α
=
có biểu thức
( )
i.
z' f z e z
α
= =
.
20
Từ đó, nếu
( )
v
T∆ =
r
l
với
( )
0
v z=
r
thì phép đối xứng qua
∆
có biểu
thức
0
2
i.

z' e z z
α
= +


Phép vị tự.
Phép vị tự tâm
( )
0
C z
, tỷ số
r
∗
∈ ¡
là phép biến hình biến mỗi điểm
M(z) thành điểm M'(z') mà
CM ' r.CM
=
uuuur uuur
. Do đó, có biểu thức
( )
0 0
z' r. z z z= − +
.
2.2.7 Điều kiện thẳng hàng, vuông góc và cùng nằm trên một đường tròn
Định lý 2.3. Ba điểm
( ) ( )
( )
1 1 2 2 3 3
M z ,M z ,M z

thẳng hàng khi và chỉ khi
3 1
2 1
z z
z z
∗
−
∈
−
¡
hay
3 1
2 1
0
z z
Im
z z
 
−
=
 ÷
−
 
.
Định lý 2.4. Bốn điểm
( )
1 2 3 4
k k
M z ,k , , ,=
cùng nằm trên một đường thẳng hay

đường tròn khi và chỉ khi
3 2 3 4
1 2 1 4
z z z z
:
z z z z
− −
∈
− −
¡
Hệ quả 2.1. Bốn điểm
( )
1 2 3 4
k k
M z ,k , , ,=
cùng nằm trên một đường thẳng khi
21
Hình 6
Hình 7
và chỉ khi
3 2 3 4
1 2 1 4
z z z z
và
z z z z
− −
∈ ∈
− −
¡ ¡
Bốn điểm

( )
1 2 3 4
k k
M z ,k , , ,=
cùng nằm trên một đường tròn khi và chỉ
khi
3 2 3 4 3 2 3 4
1 2 1 4 1 2 1 4
z z z z z z z z
: nhung và
z z z z z z z z
− − − −
∈ ∉ ∉
− − − −
¡ ¡ ¡
.
2.2.8 Tích ngoài của hai số phức
Trong mặt phẳng phức cho hai điểm
( ) ( )
1 1 2 2
M z ,M z
. Khi đó
·
1 2 1 1 1 2
OM OM OM . OM .sinM OM× =
uuuur uuuur uuuur uuuur
Nếu
k
z
có modul bằng

k
r
, và có argument bằng
k
α
thì
( ) ( )
1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1
OM OM rr .sin r r . sin cos cos sin
α α α α α α
× = − = −
uuuur uuuur
Do đó
( )
1 2 1 2 1 2
2
i
z z z .z z .z× = −
. Từ đó, do
1 2 1 2
z z z z× = ×
nên suy ra
1 2
0Im z z
× =
.
Tích ngoài của hai số phức cũng có các tích chất như tích ngoài của hai véc-tơ
trong mặt phẳng, ngoài ra
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2

zz z z. z z và z zz z. z z
× = × × = ×
.
Chương này mô tả một số kết quả của hình học phẳng bằng ngôn ngữ
số phức và ba ứng dụng của số phức vào giải toán hình học phẳng.
2.3 Ứng dụng số phức giải toán chứng minh hình học và tính toán
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC. Trên BC lấy các điểm E và F sao cho
( )
1
1EB k EC,FB FC k
k
= = ≠
uur uuur uur uuur
.
1) Tính
AE,AF , EF theo AB,AC.
uuur uuur uuur uur uuur
2) Chứng minh các tam giác ABC, AEF có cùng trọng tâm.
3) Trên AB lấy điểm D, trên AC lấy điểm I sao cho
DA kDB, IC kIA.= =
uuur uuur uur uur

Chứng minh
0AE BI CD
+ + =
uuur uur uuur r
.
Giải
22
1) Tính

AE
uuur
.
Ta viết
AE E A
= −
uuur
. Từ giả thiết
EB k EC=
uur uuur
( )
1
1
B E kC kE
k E kC B
kC B
E
k
⇔ − = −
⇔ − = −
−
⇔ =
−
Từ đó ta có
( )
1 1 1 1
k C A
kC B kC B kA A A B
E A A
k k k k

−
− − − + −
− = − = = +
− − − −

( ) ( )
1
1 1
k
B A C A
k k
= − − + −
− −

1
1 1
k
AE AB AC
k k
⇔ = − +
− −
uuur uur uuur
.
Tính
AF
uuur
Ta viết
AF F A= −
uuur
. Từ giả thiết

1
FB FC
k
=
uur uuur
( )
1
1
C F kB kF
k F kB C
kB C
F
k
⇔ − = −
⇔ − = −
−
⇔ =
−
Từ đó ta có
( )
1 1 1 1
k B A
kB C kB C kA A C A
F A A
k k k k
−
− − − + −
− = − = = − +
− − − −

( ) ( )
1
1 1
k
C A B A
k k
= − − + −
− −

1
1 1
k
AF AC AB
k k
⇔ = − +
− −
uuur uuur uur
.
Tính
EF
uuur
( )
1 1 1
1 1 1 1
k k k
EF AF AE AB AC AB AC
k k k k
+ +
 
= − = + − = −

 ÷
− − − −
 
uuur uuur uuur uur uuur uur uuur
2) Ta có
1
kC B
E
k
−
=
−
;
1
kB C
F
k
−
=
−
23
Suy ra
( ) ( )
1 1
kA kB kC A B C
kC B kB C
A E F A
k k
+ + − + +
− + −

+ + = + =
− −

( ) ( )
( )
1
1
k A B C
A B C
k
− + +
= = + +
−
Đẳng thức này chứng tỏ hai tam giác ABC và AEF có cùng trọng tâm.
3) Từ giả thiết
DA kDB, IC k IA= =
uuur uuur uur uur
ta tính được
1 1
kB A kA C
D ; I
k k
− −
= =
− −
Sử dụng
AE E A= −
uuur
đã tính ở câu 1) ta có
( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
0
1
AE BI CD E A I B D C
kC B kA A kA C kB B kB A kC C
k
k A B C k A B C A B C A B C
k
+ + = − + − + −
− − + + − − + + − − +
=
−
+ + − + + + + + − + +
= =
−
uuur uur uuur
Hệ thức
0AE BI CD
+ + =
uuur uur uuur r
được chứng minh.
Ví dụ 2. Cho lục giác đều ABCDEF, K là trung điểm của BD, M là trung điểm
của EF. Chứng minh AMK là tam giác đều.
Giải
Giả sử mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy sao cho gốc tọa độ O
trùng với đỉnh A của lục giác đều ABCDEF, trục hoành đi qua hai điểm A, D.
Gọi I là tâm lục giác đều ABCDEF. Ta nhận thấy tứ giác BCDI là hình thoi nên
K là trung điểm của CI. Ta có

C E=
.
24
Hình 8
( )
( )
( )
( ) ( )
0 0
0 0
30 30
30 30
C C cosarg C i sinargC C cos i sin
E E cosarg E i sinarg E E cos i sin
= + = +
 
= + = − + −
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0 0 0
0 0
0 0 0 0
60 60 30 60 30 60
30 30
60 60 60 60
C cos i sin C cos isin
E cos i sin E
F F cos isin I cos i sin

   
− + − = − + −
   
 
= − + − =
 
   
= − + − = − + −
   
Vì M là trung điểm của EF, K là trung điểm của CI, nên
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0
1 1
60 60 60 60
2 2
M E F C I cos i sin K cos i sin
   
= + = + − + − = − + −
   
Từ đó suy ra
·
0
60M K ,KAM= =
, do đó tam giác KAM cân ( AK=AM), và có
góc ở đỉnh
·
0
60KAM =
nên KAM là tam giác đều.

Ví dụ 3. (Bất đẳng thức Ptolemy). Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng ta luôn
có
AB.CD AD.BC AC.BD
+ ≥
. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A, B, C, D theo
thứ tự là đỉnh của một tứ một tứ giác lồi nội tiếp một đường tròn.
Giải
Xét mặt phẳng phức, gọi a, b, c, d là tọa vị các đỉnh A, B, C, D trong mặt phẳng
phức.
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
AB.CD AD.BC a d d c d a c b a d d c d a c b
AB.CD AD.BC c a d b AC.BD
+ = − × − + − × − ≥ − × − + − × −
⇔ + ≥ − − =
Dấu bằng xảy ra khi

( ) ( ) ( ) ( )
0b a d c t d a c b , t
− − = − − >
.
Khi đó
·
·
1d a d c d a d c
arg arg
b a t c b b a c b
hay DAB DCB
π

− − − −
   
= × ⇔ =
   
− − − −
   
= −
Vậy tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC với trọng tâm G và một điểm M bất kì trong mặt
25
Hình 9