SKKN một số phương pháp giải các bài toán về tỉ lệ thức trong chương trình toán lớp 7

Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
o0o
SƠ YẾU LÝ LỊCH
Họ và tên: VŨ THỊ LAN
Ngày, tháng, năm sinh: 06/ 04 / 1980
Năm vào nghành: 2002
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Cao Viên
Trình độ chuyên môn: Đại học toán
Hệ đào tạo : Chính quy
Bộ môn giảng dạy: Môn toán
Ngoại ngữ: Anh văn
Trình độ chính trị: Sơ cấp
Khen thưởng :
- Giáo viên giỏi cấp cơ sở năm học 2002 – 2003
- Giáo viên giỏi cấp cơ sở năm học 2003 – 2004
- Giáo viên giỏi cấp cơ sở năm học 2006 – 2007
- Giáo viên giỏi cấp cơ sở năm học 2007 – 2008
- Giáo viên giỏi cấp cơ sở năm học 2009 – 2010
- Sáng kiến kinh nghiệm cấp tỉnh năm học 2003 -2004
- Sáng kiến kinh nghiệm loại C cấp thành phố năm học 2007 – 2008
- Sáng kiến kinh nghiệm loại B cấp thành phố năm học 2009 – 2010
Tác giả : Vũ Thị Lan Trường THCS Cao Viên

1
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
PHẦN THỨ NHẤT
A. MỞ ĐẦU
1.Lý do ch ọ n đề tài

a, Cơ sở lí luận:
Tri thức khoa học của nhân loại càng ngày càng đòi hỏi cao. Chính vì vậy,
việc giảng dạy trong nhà trường phổ thông ngày càng đòi hỏi nâng cao chất
lượng toàn diện, đào tạo thế hệ trẻ cho đất nước có tri thức cơ bản, một phẩm
chất nhân cách, có khả năng tư duy, sáng tạo, tư duy độc lập, tính tích cực nắm
bắt nhanh tri thức khoa học. Môn Toán là môn học góp phần tạo ra những yêu
cầu đó. Việc hình thành năng lực giải Toán cho học sinh trung học cơ sở là việc
làm chính không thể thiếu được của người thầy, rèn luyện cho các em có khả
năng tư duy sáng tạo, nắm chắc kiến thức cơ bản, gây được hứng thú cho các em
yêu thích môn Toán. Môn Toán có vị trí đặc biệt quan trọng trong trường phổ
thông, có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí
tuệ .Toán học là một môn khoa học gây nhiều hứng thú cho học sinh, nó là một
môn học không thể thiếu trong quá trình học tập, nghiên cứu và cả trong cuộc
sống hàng ngày. Một nhà toán học có nói: “Toán học được xem như là một
khoa học chứng minh”.
Thật vậy, do tính chất trừu tượng, tính chính xác, tư duy suy luận logic.
Toán học được coi là "môn thể thao trí tuệ" rèn luyện cho học sinh trí thông
minh, sáng tạo. Trong các môn học ở trường phổ thông, Toán học được coi như
là một môn học cơ bản, là nền tảng để các em phát huy được năng lực bản thân,
góp phần tạo điều kiện để các em học tốt các môn khoa học tự nhiên khác.
Vậy dạy như thế nào để học sinh không những nắm chắc kiến thức cơ bản
một cách có hệ thống mà còn phải được nâng cao phát triển để các em có hứng
thú say mê học tập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô luôn đặt ra cho mình. Tuy
nhiên để học tốt môn toán thì người giáo viên phải biết chắt lọc nội dung kiến
Tác giả : Vũ Thị Lan Trường THCS Cao Viên

2
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
thức, phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng và phát triển thành tổng
quát giúp học sinh có thể phát triển tư duy toán học, làm cho các em trở lên yêu

thích toán hơn từ đó các em có ý thức học tập đảm bảo yêu cầu của thời đại mới.
b)Cơ sở thực tiễn:
Là một giáo viên dược phân công giảng dạy lớp 7A, 7C với đối tượng
học sinh khá giỏi, các em có tư duy nhạy bén và nhu cầu hiểu biết ngày càng
cao, làm thế nào để phát huy được hết khả năng của các em đó là trách nhiệm
của các giáo viên chúng ta. Qua giảng dạy chương trình toán lớp 7 tôi nhận thấy
đề tài về Tỉ lệ thức là một đề tài thật lý thú, phong phú đa dạng không thể thiếu ở
môn đại số lớp 7.
Việc giải bài toán về tỉ lệ thức là một dạng toán hay, với mong muốn cung
cấp cho các em một số phương pháp giải các bài toán về tỷ lệ thức, giúp các em
làm bài tập tốt hơn nhằm tích cực hoá hoạt động học tập, phát triển tư duy, do đó
trong năm học này tôi chọn đề tài “Một số phương pháp giải các bài toán về tỉ
lệ thức”để thực hiện trong chương trình toán lớp 7.
2)Mục đích nghiên cứu
- Các phương pháp thường dùng để giải các bài toán về tỉ lệ thức
- Rèn kĩ năng vận dụng kiến thức khi giải bài toán về tỉ lệ thức, học sinh nắm
vững kiến thức, biết vận dụng vào giải bài tập, vận dụng trong hình học 8 phần
Định Lí Ta-let và tam giác đồng dạng.
- Củng cố và hướng dẫn học sinh làm bài tập nhằm nâng cao chất lượng giờ
dạy, nhằm nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ cho bản thân, thông qua đó
giới thiệu cho bạn bè đồng nghiệp tham khảo vận dụng vào quá trình giảng dạy
môn Toán ở trường THCS đạt hiệu quả cao.
- Học sinh tự giác chủ động tìm tòi, phát hiện giải quyết nhiệm vụ nhận thức
Tác giả : Vũ Thị Lan Trường THCS Cao Viên

3
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
và có ý thức vận dụng linh hoạt sáng tạo các kiến thức kỹ năng đã thu nhận
được.
3.Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Nhiệm vụ khái quát: Nêu những phương pháp giải bài toán tỉ lệ thức theo
chương trình mới.
- Nhiêm vụ cụ thể:
- Tìm hiểu thực trạng học sinh.
- Những phương pháp thực hiện.
- Những chuyển biến sau khi áp dụng.
- Bài học kinh nghiệm.
4. Đối tượng nghiên cứu.
- Đề tài nghiên cứu qua các tiết dạy về tỷ lệ thức trong SGK toán 7 tập 1, qua
định hướng đổi mới phương pháp dạy toán 7.
- Đối tượng khảo sát: HS lớp 7A, 7C trường THCS Cao Viên.
5.Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu SGK, sách tham khảo.
- Phương pháp kiểm tra, thực hành.
- Phương pháp phát vấn ,đàm thoại nghiên cứu vấn đề.
- Tổng kết kinh nghiệm của bản thân và của đồng nghiệp khi dạy phần “tỉ lệ
thức”
Tác giả : Vũ Thị Lan Trường THCS Cao Viên

4
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
PHẦN THỨ HAI
B.NỘI DUNG
I.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU.
I. 1 . Đặc điểm tình hình lớp :
Lớp 7A, 7C có số lượng học sinh không đồng đều về mặt nhận thức gây
khó khăn cho giáo viên trong việc lựa chọn phương pháp phù hợp.Nhiều học
sinh có hoàn cảnh khó khăn do đó việc đầu tư về thời gian và sách vở bị hạn chế
và ảnh hưởng không nhỏ đến nhận thức và sự phát triển tư duy của các em. Đa
số các em hay thoả mãn trong học tập, các em cho rằng chỉ cần học thuộc lòng

các kiến thức trong SGK là đủ. Chính vì vậy mà các em tiếp thu kiến thức một
cách thụ động, không tự mày mò, khám phá kiến thức mới.
H u h t các em u h p t p khi gi i các b i t p d ng n y.ầ ế đề ấ ấ ả à ậ ạ à
VD: L i gi i c a em Lê Th Thu - L p 7A ờ ả ủ ị ớ
(B i 62 trang 31 – SGK NXBGD – 2003): Tìm hai s x, y bi t:à ố ế

; 10
2 5
x y
xy
= =
HS giải: Ta có:
459.5y
189.2x
9
10
90
5.2
xy
5
y
2
x
==
==→
====
Lời giải đúng: Đặt




=
=
→==
k5y
k2x
k
5
y
2
x
Tác giả : Vũ Thị Lan Trường THCS Cao Viên

5
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
Mà xy = 90  2k . 5k = 90 10k
2
= 90
k
2
= 9 



−=
=
3k
3k
* Với k = 3  x = 2.3 = 6
y = 5.3=15
* Với k = -3  x = 2.(-3) = -6

y = 5.(-3) = -15
Vậy (x; y) = (6; 15); (-6; -15)
(H c sinh m c sai l m do ch a hi u rõ tính ch t ọ ắ ầ ư ể ấ của dãy tỉ số bằng nhau).
Qua m t th i gian tôi ã ti n h nh i u tra c b n v thu c k t qu nhộ ờ đ ế à đ ề ơ ả à đượ ế ả ư
sau:
+ L p 7A: S em l i h c b i, l i l m b i t p chi m kho ng 50%, s h cớ ố ườ ọ à ườ à à ậ ế ả ố ọ
sinh n m c ki n th c v bi t v n d ng v o b i t p chi m kho ng 30%.ắ đượ ế ứ à ế ậ ụ à à ậ ế ả
+ L p 7C: S em l i h c b i, l i l m b i t p chi m kho ng 85%, s h cớ ố ườ ọ à ườ à à ậ ế ả ố ọ
sinh n m c ki n th c v bi t v n d ng v o b i t p chi m kho ng 10%.ắ đượ ế ứ à ế ậ ụ à à ậ ế ả
I. 2 .Nguyên nhân:
Nguyên nhân c a v n trên l do các em ch a có ý th c t giác h củ ấ đề à ư ứ ự ọ
t p, ch a có k ho ch th i gian h p lý t h c nh , h c còn mang tính ch tậ ư ế ạ ờ ợ ự ọ ở à ọ ấ
l y i m, ch a n m v ng hi u sâu ki n th c toán h c, không t ôn luy nấ đ ể ư ắ ữ ể ế ứ ọ ự ệ
th ng xuyên m t cách h th ng, không ch u tìm tòi ki n th c m i qua sáchườ ộ ệ ố ị ế ứ ớ
nâng cao, sách tham kh o, còn hi n t ng d u d t, không ch u h c h i b nả ệ ượ ấ ố ị ọ ỏ ạ
bè, th y cô.ầ
ng tr c th c tr ng trên tôi th y c n ph i l m th n o kh c ph cĐứ ướ ự ạ ấ ầ ả à ế à để ắ ụ
tình tr ng trên nh m nâng cao ch t l ng h c sinh, l m cho h c sinh thíchạ ằ ấ ượ ọ à ọ
h c toán h n V y tôi thi t ngh t i c a tôi nghiên c u v v n n y lọ ơ ậ ế ĩ đề à ủ ứ ề ấ đề à à
b c i úng ướ đ đ
Tác giả : Vũ Thị Lan Trường THCS Cao Viên

6
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
n v i tình tr ng v s c h c c a h c sinh hi n nayđắ ớ ạ à ứ ọ ủ ọ ệ
II.BI N PH P GI I QUY T V N NGHIÊN C U.Ệ Á Ả Ế Ấ ĐỀ Ứ
t c hi u qu khi gi i các b i toán nói chung v gi i các b iĐể đạ đượ ệ ả ả à à ả à
toán v ề tỷ lệ thức nói riêng. Sau khi học xong tính chất của tỉ lệ thức, tôi đã cho
học sinh củng cố để nắm vững và hiểu thật sâu về định nghĩa, các tính chất cơ
bản, tính chất mở rộng của tỷ lệ thức, của dãy tỷ số bằng nhau, của đại lượng tỉ

lệ thuận và đại lượng tỉ lệ nghịch, sau đó cho học sinh làm một loạt những bài
toán cùng loại để tìm ra một định hướng, một quy luật nào đó để làm cơ sở cho
việc chọn lời giải, có thể minh hoạ điều đó bằng các dạng toán, bằng các bài toán
từ đơn giản đến phức tạp .
II 1. TỈ LỆ THỨC
1. Định nghĩa:
Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số
d
c
b
a
=
(hoặc a : b = c : d).
Các số a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các số hạng
ngoài hay còn gọi là ngoại tỉ, b và c là các số hạng trong hay còn gọi là trung tỉ.
2. Tính chất:
Tính chất 1: Nếu
d
c
b
a
=
thì
bcad
=
Tính chất 2: ( Điều kiện để 4 số lập thành các tỉ lệ thức)
Nếu
bcad
=
và a, b, c, d

0
≠
thì ta có các tỉ lệ thức sau:

d
c
b
a
=
;
d
b
c
a
=
;
a
c
b
d
=
;
a
b
c
d
=
Tác giả : Vũ Thị Lan Trường THCS Cao Viên

7

Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
Nhận xét: Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức còn
lại.
II 2. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
- Tính chất: Từ
d
c
b
a
=
suy ra:
db
ca
db
ca
d
c
b
a
−
−
=
+
+
==
- Tính chất trên còn mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau:

f
e
d

c
b
a
==
suy ra:

=
+−
+−
=
++
++
===
fdb
cba
fdb
cba
f
e
d
c
b
a
(giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa).
Chú ý: Khi có dãy tỉ số
532
cba
==
ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 5.
Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5

Sau khi h c sinh ã n m ch c c lý thuy t thì vi c v n d ng lýọ đ ắ ắ đượ ế ệ ậ ụ
thuy t v o gi i b i t p l vô cùng quan tr ng, do v y ng i ế à ả à ậ à ọ ậ ườ giáo viên không
ch n thu n cung c p l i gi i m quan tr ng h n l d y cho các em bi tỉ đơ ầ ấ ờ ả à ọ ơ à ạ ế
suy ngh tìm ra con ng h p lý gi i b i toán nh nh toán h c Pôlia ãĩ đườ ợ để ả à ư à ọ đ
nói “Tìm c cách gi i m t b i toán l m t i u phát minhđượ ả ộ à à ộ đ ề .”
Tuy nhiên khi gi i b i t p d ng n y tôi không mu n d ng l i nh ngả à ậ ạ à ố ừ ạ ở ữ
b i t p SGK m tôi mu n gi i thi u thêm m t s b i t p i n hình v m tà ậ à ố ớ ệ ộ ố à ậ đ ể à ộ
s ph ng pháp gi i các b i t p ó.ố ươ ả à ậ đ
Tác giả : Vũ Thị Lan Trường THCS Cao Viên

8
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
DẠNG I: LẬP TỈ LỆ THỨC:
Bài toán 1: Các tỉ số sau đây có lập thành các tỉ lệ thức hay không?
a) 0,5 : 15 và 0,15 : 50 b) 0,3 : 2,7 và 1,71 : 15,39
Giải:
a) Ta có: 0,5 : 15 =
0,5 1
15 30
=
và 0,15 : 50 =
0,15 3
50 1000
=
Vì
3 1
1000 30
≠
nên các tỉ số 0,5 : 15 và 0,15 : 50 không lập thành tỉ lệ thức

b) Ta có : 0,3 : 2,7 =
0,3 1
2,7 9
=
và 1,71 : 15,39 =
1,71 1
15,39 9
=
Suy ra: 0,3 : 2,7 = 1,71 : 15,39
Vậy 0,3 : 2,7 và 1,71 : 15,39 lập thành tỉ lệ thức.
Bài toán 2: Hãy lập tất cả các tỉ lệ thức có thể có được từ các số sau.
a) 0,16; 0,32; 0,4; 0,8 b) 1; 2; 4; 8
Giải:
( Sử dung tinh chất 2: điều kiện để 4 số lập thành tỉ lệ thức)
a) Ta có: 0,16 . 0,8 = 0,32 . 0,4 ( = 0,128)
Suy ra ta lập được các tỉ lệ thức sau:
0,16 0,4
0,32 0,8
=
;
0,16 0,32
0,4 0,8
=
;
0,32 0,8
0,16 0,4
=
;
0,4 0,8
0,16 0,32

=

b) Tương tự ta có : 1. 8 = 2 . 4( = 8)
Tác giả : Vũ Thị Lan Trường THCS Cao Viên

9
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
Suy ra ta lập được các tỉ lệ thức sau:
1 4
2 8
=
;
1 2
4 8
=
;
2 8
1 4
=
;
4 8
1 2
=

Bài tập áp dụng
Bài 1: Trong các tỉ số sau, hãy chọn các tỉ số thích hợp để lập thành một tỉ lệ
thức :
10:15;16 : ( 4);14 : 21; 5:15;12: ( 3); 1,2: 3,6
− − − −
Bài 2: Có thể lập được một tỉ lệ thức từ 4 trong các số sau không (mỗi số chọn

một lần). Nếu có lập được bao nhiêu tỉ lệ thức?
a) 3; 4 ;5 ;6 ;7 b) 1; 2; 4; 8; 16 c) 1; 3; 9; 27; 81; 243.
DẠNG II: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC.
Bài toán 1:Tìm x trong các tỉ lệ thức sau:
15
)
2 3
) 1,5: 4,5 : 0,3
x
a
b x
=
− =
Giải:
( Bài toán này các em có thể sử dung kiến thức tìm một thành phần chưa biết của
tỉ lệ thức : Nếu biết 3 trong 4 số hạng của tỷ lệ thức ta tìm được số hạng còn lại
trong tỷ lệ thức.

b
da
c
c
da
b
a
cb
d
d
cb
a

.
;
.
;
.
;
.
====
a) Ta có:

15 2.15 30
10
2 3 3 3
x
x
= ⇒ = = =

Tác giả : Vũ Thị Lan Trường THCS Cao Viên

10
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
Vậy x = 10
b) -1,5 : x = 4,5 : 0,3

⇒
4,5 . x = -1,5 . 0,3

⇒
4,5 . x = - 0,45

⇒
x = - 0,45 : 4,5

⇒
x = - 0,1 .
Vậy x = 0,1
Bài toán 2: Tìm hai số x và y biết
32
yx
=
và
20
=+
yx
Giải:
Cách 1: (Đặt ẩn phụ)
Đặt
k
yx
==
32
, suy ra:
kx 2
=
,
ky 3
=
Theo giả thiết:
4205203220
=⇒=⇒=+⇒=+

kkkkyx

Do đó:
84.2
==
x

124.3
==
y
KL:
12,8
==
yx
Cách 2 : ( Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau):
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
4
5
20
3232
==
+
+
==
yxyx
Do đó:
84
2
=⇒=
x

x
;
124
3
=⇒=
y
y
Tác giả : Vũ Thị Lan Trường THCS Cao Viên

11
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
KL:
12,8
==
yx
Cách 3: (phương pháp thế)
Từ giả thiết
3
2
32
y
x
yx
=⇒=

mà
1260520
3
2
20

=⇒=⇒=+⇒=+
yyy
y
yx
Do đó:
8
3
12.2
==
x
KL:
12,8
==
yx
Bài toán 3: Tìm x, y, z biết:

43
yx
=
,
53
zy
=
và
632
=+−
zyx
Giải:
Cách 1: Từ giả thiết:
12943

yxyx
=⇒=
(1) ;
201253
zyzy
=⇒=
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
20129
zyx
==
(*)
Ta có:
3
2
6
203618
32
2036
3
18
2
20129
==
+−
+−
======
zyxzyxzyx
( áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)
Do đó:

273
9
=⇒=
x
x

363
12
=⇒=
y
y

603
20
=⇒=
z
z
KL:
60,36,27
===
zyx
Tác giả : Vũ Thị Lan Trường THCS Cao Viên

12
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
Cách 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt
k
zyx
===
20129

( sau đó giải như cách 1
của VD1).
Cách 3: (phương pháp thế: ta tính x, y theo z)
Từ giả thiết:
5
3
53
z
y
zy
=⇒=
;
20
9
4
5
3
.3
4
3
43
z
z
y
x
yx
===⇒=


mà

6060
10
6
5
3
.3
20
9
.2632
=⇒=⇒=+−⇒=+−
z
z
z
zz
zyx
Suy ra:
36
5
60.3
==
y
,
27
20
60.9
==
x
KL:
60,36,27
===

zyx
Bài toán 4: Tìm hai số x, y biết rằng:
52
yx
=
và
40.
=
yx
Giải:
Cách 1: (đặt ẩn phụ)
Đặt
0
2 5
x y
k
= = ≠
, suy ra
kx 2
=
,
ky 5
=
Theo giả thiết:
244010405.240.
22
±=⇒=⇒=⇒=⇒=
kkkkkyx
+ Với
2

=
k
ta có:
42.2
==
x

102.5
==
y
+ Với
2
−=
k
ta có:
4)2.(2
−=−=
x
;
10)2.(5
−=−=
y
KL:
10,4 == yx
hoặc
10,4
−=−=
yx
Cách 2: ( sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)
Tác giả : Vũ Thị Lan Trường THCS Cao Viên

13
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
Hiển nhiên x
0
≠
Nhân cả hai vế của
52
yx
=
với x ta được:
8
5
40
52
2
===
xyx

4
16
2
±=⇒
=⇒
x
x
+ Với
4
=
x

ta có
10
2
5.4
52
4
==⇒=
y
y
+ Với
4
−=
x
ta có
10
2
5.4
52
4
−=
−
=⇒=
−
y
y
KL:
10,4
==
yx
hoặc

10,4
−=−=
yx
Cách 3: (phương pháp thế) làm tương tự cách 3 của ví dụ 1
Bài toán 5: Tìm x, y, z biết
a) 3x = 5y = 8z và x + y + z = 158
b) 2x = 3y; 5y = 7z và 3x + 5z - 7y = 60
c) 2x = 3y = 5z và x + y - z = 95
Giải:
Đối với bài toán 5 có vẻ khác lạ hơn so với các bài toán trên. Song tôi đã
nhắc các em lưu ý đến sự thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức giữa hai tích hoặc đến
tính chất của đẳng thức. Từ đó các em có hướng giải và chọn lời giải cho phù
hợp.
Cách 1: Dựa vào sự thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức giữa hai tích ta có lời giải
sau:
Ta có: 3x = 5y 
24
y
40
x
hay
8
1
.
3
y
8
1
.
5

x
3
y
5
x
==→=
Tác giả : Vũ Thị Lan Trường THCS Cao Viên

14
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
5y = 8z 
15
z
24
y
hay
3
1
.
5
z
3
1
.
8
y
5
z
8
y

==→=

2
79
158
152440
zyx
15
z
24
y
40
x
==
++
++
===
 x = 40 . 2 = 80
y = 24 . 2 = 48
z = 15 . 2 = 30
Vậy x = 80; y = 48; z = 30
Cách 2: Dựa vào tính chất của phép nhân của đẳng thức. Các em đã biết tìm bội
số chung nhỏ nhất của 3; 5; 8. Từ đó các em có lời giải của bài toán như sau:
Ta có BCNN(3; 5; 8) = 120
Từ 3x = 5y = 8z 
120
1
.z8
120
1

.y5
120
1
.x3
==
Hay
2
79
158
152440
zyx
15
z
24
y
40
x
==
++
++
===
 (Tương tự như trên có )
Vậy x = 80; y = 48; z = 30
Cách 3: Tôi đã đặt vấn đề: Hãy viết tích giữa hai số thành 1 thương. Điều đó đã
hướng cho các em tìm ra cách giải sau:
Từ 3x = 5y = 8z 
240
120
79
158

8
1
5
1
3
1
zyx
8
1
z
5
1
y
3
1
x
==
++
++
===
 x =
80240.
3
1
=
y =
48240.
5
1
=

Tác giả : Vũ Thị Lan Trường THCS Cao Viên

15
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
z =
30240.
8
1
=
Vậy x = 80; y = 48; z = 30
Qua ba hướng giải trên, đã giúp các em có công cụ để giải toán và từ đó
các em sẽ lựa chọn lời giải nào phù hợp, dễ hiểu, logic. Cũng từ đó giúp các em
phát huy thêm hướng giải khác và vận dụng để giải các phần b và c.
Để giải được phần b có điều hơi khác phần a một chút yêu cầu các em phải
có tư duy một chút để tạo lên tích trung gian như sau:
+ Từ 2x = 3y  2x.5 = 3y.5 hay 10x = 15y (1)
+ Từ 5y = 7z  5y.3 = 7z.3 hay 15y = 21z (2)
 Từ (1) và (2) ta có: 10x = 15y = 21z

840
210
15
60
15
1
.7
21
1
.5
10

1
.3
y7z5x3
21
1
z
15
1
y
10
1
x
==
−+
−+
===
 x =
84840.
10
1
=
y =
56840.
15
1
=
z =
40840.
21
1

=
Vậy x = 84; y = 56; z = 40.
Kết quả thu được: Các em đã tìm hướng giải cho phần c và tự cho được ví dụ về
dạng toán này.
Bài toán 5. Tìm x, y, z biết rằng
a)
12zy2xvµ
2
2z
3
2y
5
1x
=−+
−
=
−
=
−
Tác giả : Vũ Thị Lan Trường THCS Cao Viên

16
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
\ b)
50zy3x2vµ
4
3z
3
2y
2

1x
=−+
−
=
−
=
−
Để tìm được lời giải của bài toán này tôi cho các em nhận xét xem làm thế nào
để xuất hiện được tổng x + 2y - z = 12 hoặc 2x + 3y - z = 50 hoặc2x + 3y- 5z
=10
Với phương pháp phân tích, hệ thống hoá đã giúp cho các em nhìn ra ngay và có
hướng đi cụ thể.
Cách 1: Dựa vào tính chất của phân số và tính chất của dãy số bằng nhau có lời
giải của bài toán như sau:
a) Ta có :
1 2 2 2( 2) 2 4
5 3 2 2.3 6
x y z y y
− − − − −
= = = =

1 2 4 ( 2) 2 3 12 3
1
5 6 2 9 9
x y z x y z
− + − − − + − − −
= = = =
+ −
 x - 1 = 5  x = 6
x - 2 = 3  y = 5

z - 2 = 2  z =4
Cách 2: Dùng phương pháp đặt giá trị của tỷ số ta có lời giải sau:
Đặt
k
2
2z
3
2y
5
1x
=
−
=
−
=
−
 x - 1 = 5k  x = 5k + 1
y - 2 = 3k  y = 3k + 2
z - 2 = 2k  z = 2k + 2
Ta có: x + 2y - z = 12  2k + 1 + 2(3k + 2) - (2k + 2) = 12
 9k + 3 = 12
Tác giả : Vũ Thị Lan Trường THCS Cao Viên

17
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
 k = 1
Vậy x = 5 . 1 + 1 = 6
y = 3 . 1 + 2 = 5
z = 2 . 1 + 2 = 4
Với các phương pháp cụ thể của từng hướng đi các em đã vận dụng để tự

giải phần (b) và của bài toán 5.
Bài toán 6: Tìm x, y, z biết rằng:
zyx
1
z
3yx
y
2zx
x
1zy
++
=
−+
=
++
=
++
Đối với bài toán 6 có vẻ hơi khác lạ. Vậy ta sẽ phải khởi đầu từ đâu? đi từ
kiến thức nào? Điều đó yêu cầu các em phải tư duy có chọn lọc để xuất hiện
x + y + z. Tôi đã gợi ý cho các em đi từ ba tỷ số đầu để xuất hiện dãy tỷ số bằng
nhau và đã có lời giải của bài toán như sau:
Giải:
Điều kiện : x, y, z ≠ 0
Ta có:
2
zyx
)zyx(2
zyx
3yx2zx1zy
z

3yx
y
2zx
x
1zy
=
++
++
=
++
−+++++++
=
−+
=
++
=
++

2
zyx
1
=
++
 x + y + z =
5,0
2
1
=
x + y = 0,5 – z
y + z = 0,5 – x

x + z = 0,5 – y
Thay các giá trị vừa tìm của x, y, z vào dãy tỷ số trên, ta có:
Tác giả : Vũ Thị Lan Trường THCS Cao Viên

18
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
+)
1 0,5 1
2 2
y z x
x x
+ + − +
= ⇒ =

 0,5 - x + 1 = 2x
 1,5 = 3x
 x = 0,5
+)
2 0,5 2
2
x z y
y y
+ + − +
⇒ =
 2,5 - y = 2y
 2,5 = 3y
 y =
6
5
+)

3 0,5 3
2 2
x y z
z z
+ − − −
= ⇒ =
 -2,5 - z = 2z
 -2,5 = 3z
 z =
6
5
−
Vậy (x; y; z) = ( 0,5;
6
5
; -
6
5
)
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Tìm các số x, y, z biết rằng:
a)
21610
zyx
==
và
2825
=−+
zyx
b)

43
yx
=
,
75
zy
=
và
12432
=−+
zyx

c)
5
4
4
3
3
2 zyx
==
và
49
=++
zyx
d)
32
yx
=
và
54

=
xy

Tác giả : Vũ Thị Lan Trường THCS Cao Viên

19
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
e)
35
yx
=
và
4
22
=−
yx
f)
zyx
yx
z
xz
y
zy
x
++=
−+
=
++
=
++

211
Bài 2: Tìm các số x, y, z biết rằng:
a)
zyyx 57,23
==
và
32
=+−
zyx
b)
4
3
3
2
2
1
−
=
−
=
−
zyx
và
5032
=−+
zyx

c)
zyx 532
==

và
95
=−+
zyx
d)
532
zyx
==
và
810
=
xyz
DẠNG 3. CHỨNG MINH TỶ LỆ THỨC
Việc hệ thống hoá, khái quát hoá các kiến thức của tỷ lệ thức còn có vai trò rất
quan trọng trong việc chứng minh tỷ lệ thức, với hệ thống các bài tập từ đơn giản
đến phức tạp, từ cụ thể, cơ bản đến kiến thức trừu tượng, mở rộng đã cho các em
rất nhiều hướng để giải quyết tốt yêu cầu của bài toán.
Để chứng minh tỉ lệ thức:
D
C
B
A
=
ta thường dùng một số phương pháp sau:
Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng A. D = B.C
Phương pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số
B
A
và
D

C
có cùng giá trị.
Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức.
Một số kiến thức cần chú ý:
+)
)0(
≠=
n
nb
na
b
a
+)
nn
d
c
b
a
d
c
b
a






=







⇒=
Tác giả : Vũ Thị Lan Trường THCS Cao Viên

20
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
Bài toán 1: Cho tỷ lệ thức:
1
≠=
d
c
b
a
với a, b, c, d
≠
0
Chứng minh :
c
dc
a
ba
−
=
−
Giải
Cách 1: Từ

cbda
d
c
b
a

=⇒=

Xét tích
cbcacba ) (
−=−

Thay
adcdacacbadacb ).( ).(
−=−=−⇒=
Vậy
c
dc
a
ba
adccba
−
=
−
⇒−=− ).().(
Như vậy để chứng minh:
c
dc
a
ba

−
=
−
ta phải có đẳng thức
adccba ).().(
−=−
.
Cách 2 : Đặt
kdckbak
d
c
b
a
.;.
==⇒==
Xét
k
k
kb
kb
kb
bkb
a
ba 1
.
)1(
.
.
−
=

−
=
−
=
−
(1)
Và
k
k
kd
kd
kd
dkd
c
dc 1
.
)1(
.
.
−
=
−
=
−
=
−
(2)
Tác giả : Vũ Thị Lan Trường THCS Cao Viên

21

Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
Từ (1) và (2)
c
dc
a
ba
−
=
−
⇒
Trong cách này ta chứng minh tỉ số:
c
dc
a
ba
−
=
−
nhờ tỉ số thứ ba. Để có
tỉ số thứ ba ta đặt giá trị tỉ số đã cho bằng giá trị k. Từ đó tính giá trị của một số
hạng theo k.
Cách 3: Từ tỉ số
d
b
c
a
d
c
b
a

=⇒=
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
a
ba
c
dc
dc
ba
c
a
dc
ba
d
b
c
a
−
=
−
⇒
−
−
=⇒
−
−
==
hay
c
dc
a

ba
−
=
−
Trong cách này sử dụng hoán vị trung tỉ rồi áp dụng tính chất của dãy tỉ số
bằng nhau rồi lại hoán vị ngoại tỉ một lần nữa.
Cách 4:
Từ
c
d
a
b
d
c
b
a
=⇒=
Xét
d
dc
c
d
a
b
a
b
a
ba
−
=−=−⇒−=

−
111

Vậy
c
dc
a
ba
−
=
−
Cách 5: Từ
c
d
a
b
d
c
b
a
=⇒=
Lấy 1 trừ từng vế của tỉ lệ thức:
Tác giả : Vũ Thị Lan Trường THCS Cao Viên

22
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
c
dc
a
ba

c
d
a
b
−
=
−
⇒−=−
11
Trong cách này, biến đổi đồng thời ngoại tỉ cho trung tỉ. Rồi lấy số 1 trừ
từng vế của tỉ lệ thức rồi biến đổi đẳng thức cần chứng minh
Cách 6: Từ tỉ lệ thức
cbda
d
c
b
a

=⇒=
. Ta có:
ca
dacb
ca
dacacbca
ca
adccba
c
dc
a
ba

.

.

.
).().(
+−
=
+−−
=
−−−
=
−
=
−
Mà
0
=
+−
⇒=
ac
adbc
cbda
vì
0,
≠
ca

c
dc

a
ba
c
dc
a
ba
−
=
−
⇒=
−
−
−
⇒
0
Trong cách này, từ tỉ lệ thức cần chứng minh ta chứng minh hiệu của hai tỉ số đó
bằng 0.
Tóm lại từ một tỉ lệ thức ta có thể suy ra tỉ lệ thức khác bằng cách chứng
minh theo nhiều cách khác nhau có thể sử dụng trong bài tập.
Bài toán 2: Cho tỷ lệ thức
cd
ab
dc
ba
=
+
+
22
22
Với

0,,,
≠
dcba
và
dc
±≠
Chứng minh :
d
c
b
a
=
hoặc
c
d
b
a
=
Cách 1: Ta sử dụng cách 6:
Vì
cd
ab
dc
ba
=
+
+
22
22
nên

2 2
2 2
0
a b ab
c d cd
+
− =
+
Tác giả : Vũ Thị Lan Trường THCS Cao Viên

23
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
0))((
0)()(
0)()(
0
)(
0
)(
)()(
2222
22
2222
22
2222
=−−⇔
=−−−⇔
=−−−⇔
=
+

−−+
⇔
=
+
+−+
⇔
dbacbcad
bcdadbbcadac
cdbabdabccda
cddc
abdabccdbcda
cddc
dcabcdba


c
d
b
a
bdacbdac
d
c
b
a
bcadbcad
=⇒=⇒=−
=⇒=⇒=−
0
0
Vậy

d
c
b
a
cd
ab
dc
ba
=⇒=
+
+
22
22
hoặc
c
d
b
a
=
Cách 2 : Từ
cd
ab
dc
ba
cd
ab
dc
ba
2
2

22
22
22
22
=
+
+
⇒=
+
+

Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có:

2
2
2
22
22
22
22
)(
)(
2
2







+
+
=
+
+
=
++
++
=
+
+
dc
ba
dc
ba
cddc
abba
dc
ba
(1)
và
2
2
2
22
22
22
22
)(
)(

2
2






−
−
=
−
−
=
−+
−+
=
+
+
dc
ba
dc
ba
cddc
abba
dc
ba
(2)
Từ (1) và (2)
22







−
−
=






+
+
⇒
dc
ba
dc
ba
Xét trường hợp :
dc
ba
dc
ba
−
−
=

+
+
Tác giả : Vũ Thị Lan Trường THCS Cao Viên

24
⇔
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
d
b
d
b
dcdc
baba
dc
ba
c
a
c
a
dcdc
baba
dc
ba
==
+−+
+−+
=
+
+

==
−++
−++
=
+
+
2
2
2
2
d
c
b
a
d
b
c
a
=⇒=⇒
Xét trường hợp :
dc
ab
dc
ba
dc
ba
−
−
=
−

−
−=
+
+
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2
2
2
2
a b b a a b b a b b
c d c d c d c d c c
a b b a a b b a a a
c d c d c d c d d d
+ − + + −
= = = =
+ − + + −
+ − + − +
= = = =
+ − + − +
c
d
b
a
c
b
d
a
=⇒=⇒
Bài toán 3: Cho tỉ lệ thức
d

c
b
a
=
. Chứng minh rằng:
22
22
dc
ba
cd
ab
−
−
=
Giải:
Cách 1: Từ giả thiết:
bcad
d
c
b
a
=⇒=
(1)
Ta có:
( )
adbdacbcabdabcdcab
−=−=−
2222
(2)

( )
bdbcacadcdbcdabacd .
2222
−=−=−
(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra:
( ) ( )
2222
bacddcab
−=−

⇒

22
22
dc
ba
cd
ab
−
−
=
(đpcm)
Tác giả : Vũ Thị Lan Trường THCS Cao Viên

25