Một số phương pháp giải bài toán biên đối với phương trình song điều hoà và kiểu song điều hoà

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN


LÊ TÙNG SƠN



MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁPGIẢI BÀI TOÁN BIÊN
ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA
VÀ KIỂU SONG ĐIỀU HÒA


Chuyên ngành: Toán học tính toán
Mã số: 62.46.30.01



TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC








HÀ NỘI - 2009

DANH MỤC CÔNG TRÌNH
ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN

[1] Đặng Quang Á, Lê Tùng Sơn (2001), Xây dựng nghiệm giải tích của
một bài toán biên đối với phương trình song điều hoà, Tạp chí Khoa
học và Công nghệ, Đại học Thái Nguyên, 4(20), 66-71.
[2] Dang Quang A, Le Tung Son (2006), Iterative method for solving a
boundary value problem for biharmonic type equation, Tạp chí Tin
học và Điều khiển học, Vol 22, No 3, 229-234.
[3] Dang Quang A, Le Tung Son (2007), Iterative method for solving
a mixed boundary value problem for biharmonic equation, In
book: Advances in Deterministic and Stochastic Analysis, Eds. N.
M. Chuong et al. World Scientific Publishing Co. 103-113.
[4] Dang Quang A, Le Tung Son (2009), Iterative method for solving a
problem with mixed boundary conditions for biharmonic equation,
Advances in Applied Mathematics and Mechanics, (AAMM). Vol.
1, No. 5, 683-698 (online).
[5] Lê Tùng Sơn (2007), Xây dựng toán tử biên - miền cho một bài
toán biên đối với phương trình kiểu song điề
u hoà, Tạp chí
Khoa học và Công nghệ, Đại học Thái Nguyên, 1(41), 14-17.
[6] Vũ Vinh Quang, Lê Tùng Sơn (2008), Phương pháp lặp giải bài
toán biên hỗn hợp giữa phương trình elliptic và phương trình
song điều hoà, Tạp chí Khoa học và Công nghệ, Đại học Thái
Nguyên, 3(47), 80-87.
Các kết quả chính của luận án được báo cáo tại
- “Second International Conference on Abstract and Applied
Analysis”, ICAAA -05, Quy Nhơn, 4-6/9/2005.
- Hội thảo Toàn Quốc lần thứ II về “Các ứng dụng Toán học”,
Đại học Bách khoa, Hà Nội, 23-25/12/2005.
-
Hội thảo Khoa học Quốc gia lần thứ III “Nghiên cứu cơ bản và

ứng dụng Công nghệ thông tin”, FAIR 2007, Đại học Nha Trang,
9-10/8/2007.
- Seminar của Viện Toán học.
- Seminar của khoa Toán - Cơ - Tin, ĐHKHTN - ĐHQGHN.
- Hội đồng Khoa học Viện CNTT.
Luận án được hoàn thành tại Viện Công nghệ Thông tin
Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam


Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. Đặng Quang Á
PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn


Phản biện 1: GS. TSKH Lê Ngọc Lăng

Phản biện 2: PGS. TS Nguyễn Đình Sang

Phản biện 3: PGS. TS Hoàng Văn Lai



Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Nhà
nước tại hội trường Viện Công Nghệ Thông tin -
Việ
n Khoa học và Công nghệ Việt Nam
vào hồi 14giờ, ngày 31 tháng 8 nảm 2009

Có thể tìm hiểu luận án tại:
Thư viện Quốc gia Việt Nam
Thư Viện Viện Công nghệ Thông tin
Thư viện Trường Đại học Sư phạm-Đaị học Thái Nguyên





1
MỞ ĐẦU
Phương pháp số được phát triển trong hướng giải quyết vấn đề
tìm nghiệm xấp xỉ cho các bài toán biên đối với phương trình đạo hàm
riêng. Nhiều bài toán trong cơ học, vật lý, kỹ thuật, dẫn đến việc giải
phương trình song điều hoà

ufΔ=
2
. (1)
Các bài toán dẫn đến phương trình (1) đã và đang thu hút sự quan
tâm của nhiều nhà nghiên cứu. Đã có nhiều hướng tiếp cận khác
nhau. Giải bài toán song điều hoà hai chiều có phương pháp hàm
Green, phương pháp hàm phức và một số phương pháp gần đúng giải
tích như phương pháp chuỗi Fourier, phương pháp Ritz, phương pháp
Bubnov - Galerkin,… Trong đó, các vấn đề định tính cũng như các
đánh giá về độ phức tạp của khối lượng tính toán của các ph
ương
pháp nói trên chưa được đề cập đến.
Trong những năm gần đây, nhiều phương pháp mới hữu hiệu

hơn cho việc giải phương trình (1) đã được nghiên cứu và phát triển
như phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân, phương
pháp phương trình tích phân biên và phần tử biên, phương pháp bình
phương cực tiểu, phương pháp nghiệm cơ bản…
Các phương trình kiểu song điều hoà

()
ubu f b ,Δ+ = >
2
0 (2)

()
uaubu f a ,bΔ−Δ+ = > >
2
00 (3)
mô tả sự uốn của bản trên nền đàn hồi cũng đã được Benzine,
Katsikadelis và Kallivokas giải bằng phương pháp tích phân biên.
Ý tưởng đưa việc giải bài toán Dirichlet cho phương trình song
điều hòa về dãy các bài toán đối với phương trình Poisson thực hiện
đầu tiên bởi Palsev (1966), Meller (1968), Dorodnitsyn (1971)…
Năm 1992, Abramov và Ulijanova đã đề xuất một phương pháp lặp


2
đưa một bài toán Dirichlet về dãy các bài toán cấp hai và dự đoán
phương pháp lặp này sẽ hội tụ nhưng chưa chứng minh được về mặt
lý thuyết. Tác giả Đặng Quang Á, khi nghiên cứu việc tìm nghiệm
xấp xỉ cho các bài toán biên, trong các năm: 1994, đối với phương
trình
2

uaubu f
ε
Δ
−Δ+ = với điều kiện biên
12
u
ug, g
n
Γ
Γ
∂
=
=
∂

trên miền giới nội
m
R
Ω
⊂ , trong đó
2
000 4 0,a ,b ,a b
εε
>≥≥ − ≥
.
1998, vẫn đối với bài toán trên trong trường hợp
2
40ab
ε
−

< với các
điều kiện biên
00
u
u,
n
Γ
Γ
∂
=
=
∂
và
12
ug,ug
ΓΓ
=
Δ=
. 1999, đối
với phương trình
2
uf,x ,
Δ
=∈Ω với điều kiện biên hỗn hợp
2
1
0 0 0
u
u, ,u
n

Γ
Γ
Γ
∂
=
=Δ =
∂
, đã đạt được các kết quả: phân rã bài
toán đang xét về dãy các bài toán cấp hai, chứng minh được sự hội tụ
của dãy lặp đề xuất, chỉ ra tốc độ hội tụ và cách lựa chọn tham số lặp
tối ưu. Trong đó tác giả đã đưa ra và chứng minh một Định lí về sự
hội tụ của dãy lặp giải lặp phương trình toán tử
Au=f khi toán tử A là
tuyến tính, đối xứng, dương, hoàn toàn liên tục. Theo hướng nghiên
cứu trên, trong các năm 2006, 2007, 2008, là các kết quả nghiên cứu
của Đặng Quang Á, Lê Tùng Sơn đối với một số bài toán biên,…
Trên cơ sở đó, tác giả Đặng Quang Á, bằng các kết quả nghiên cứu
liên tục từ 1994 đến nay đã đặt nền móng cho việc tìm kiếm một
phương pháp chung nghiên cứu sự hội tụ của các quá trình lặp đưa
các bài toán cấp cao về dãy các bài toán cấ
p hai.
Theo hướng nghiên cứu của Abramova, Ulijanova và Đặng Quang Á
đã đề xuất, luận án trình bày các kết quả nghiên cứu về lý thuyết và
thực nghiệm tính toán của phương pháp tìm nghiệm cho một số bài
toán biên đối với phương trình song điều hoà và phương trình kiểu
song điều hoà nhờ công cụ hỗ trợ là toán tử biên hoặc toán tử biên -
miền và sơ đồ lặp hai lớp của Samarski- Nikolaev.


3

Luận án bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung, phần kết
luận và tài liệu tham khảo.

Chương 1. Trình bày hệ thống các kiến thức chuẩn bị, các kết
quả bổ trợ, gồm một số kiến thức cơ bản về không gian Sobolev, định
tính của bài toán biên đối với phương trình elliptic cấp hai, đối với
phương trình kiểu song điều hòa, phương pháp lặp hai lớp giải
phương trình toán tử, sự hội tụ của các sơ đồ lặp, thuật toán thu gọn
khối lượng tính toán giả
i số bài toán elliptic cấp hai.
Chương 2. Nghiên cứu phương pháp tìm nghiệm giải tích cho
bài toán biên đối với phương trình song điều hòa, gồm đề xuất
phương pháp và các kết quả nghiên cứu khi áp dụng phương pháp
cho mô hình toán của một bài toán Vật lý: mô tả sự uốn của bản
mỏng với biên bị ngàm đàn hồi.
Chương 3. Nghiên cứu phương pháp tìm nghiệm số trị cho bài
toán biên đối với phương trình song điều hoà và phương trình kiểu
song điều hoà với điều kiện biên không hỗn hợp và hỗn hợp, gồm đề
xuất phương pháp, các kết quả nghiên cứu khi áp dụng phương pháp
đã đề xuất cho một số bài toán biên, trong đó có một bài toán là mô
hình toán học của bài toán Thuỷ động học đã được các nhà Vật lý Mỹ
công bố
trên Physical Review E 71, 041608 năm 2005. Phương pháp
cũng được áp dụng cho bài toán nhiễu.
Các thực nghiệm trình bày trong luận án được thực hiện trên
máy tính PC trong môi trường MATLAB.
Chương 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Dựa trên các tài liệu của các tác giả R. Adams, J. P. Aubin,
G.I. Marchuk, D. Cioranescu, Đ. Q. Á, J. L. Lions, E. Magenes,

A. Samarski, E. S. Nikolaev, trong chương 1 trình bày một số kiến


4
thức cơ bản, các kết quả được sử dụng và làm cơ sở cho các kết quả
nghiên cứu trình bày trong chương 2 và chương 3, bao gồm

1.1. Không gian Sobolev
- Định nghĩa và một số tính chất trong các không gian
()
L Ω
p
,
(
)
Ω
m,p
W ,
(
)
Ω
m
H ,
(
)
Ω
s
H ,
(
)

H
−
Ω
1
,
(
)
H
−
∂
Ω
/12
.
- Định lý nhúng, vết của hàm trên biên và Định lý vết, công thức
Green, bất đẳng thức Poincare cùng với các khái niệm hằng số vết
(
)
γ
Ω
C
, hằng số Poincare C
Ω
.
1.2. Tổng quan ngắn về bài toán biên đối với phương trình đạo
hàm riêng tuyến tính cấp hai và cấp bốn
Các kiến thức trong phần này bao gồm:
- Bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng tuyến tính
cấp 2 và cấp 4.
- Các định nghĩa về bài toán Dirichlet, bài toán Neumann, bài
toán Robin, bài toán biên đối với phương trình kiểu song điều hòa.

- Định lí Lax - Milgram và các Định lí về sự duy nhất nghiệm
của các bài toán biến phân trừu tượng cho các bài toán trên.
1.3. Phương pháp lặp hai lớp giải phương trình toán tử
Việc tìm nghiệm xấp xỉ cho một bài toán biên được đưa về giải
lặp phương trình toán tử bởi sơ đồ lặp hai lớp của Samarski -
Nikolaev có dạng chuẩn như sau

+
+
−
+= =
τ
1
1
01
kk
kk
k
yy
B
Ay f , k , , (1.1)
với xấp xỉ ban đầu
y
0
cho trước. Ba trường hợp đặc biệt của (1.1) là
sơ đồ lặp hiện, sơ đồ lặp ẩn và sơ đồ lặp dừng. Nếu (1.1) là sơ đồ lặp
dừng, đã có các kết luận về điều kiện đủ cho sự hội tụ của (1.1).

Trong trường hợp (1.1) là sơ đồ lặp hiện, nếu lựa chọn tập tham số

5
τ
ττ
12 n
, , , bởi tập tham số Chebyshev thì có thể cực tiểu hoá được
tổng số phép lặp.
1.4. Phương pháp sai phân giải phương trình elliptic cấp hai
Xét bài toán
(
)()
() ()
−
Δ= ∈Ω
⎧
⎪
⎨
=∈∂Ω
⎪
⎩
ux f x,x ,
B
ux gx, x ,
(1.2)
trong đó
Ω là hình chữ nhật có kích thước L
1
, L
2
, B là toán tử biên với

giả thiết bài toán (1.2) có nghiệm duy nhất.

Phủ Ω bởi lưới
()
{
}
Ω= = = =00
kh ij
x
ik; jh i ,M ; j ,N . Với ==
12
L
L
k;h
M
N
, khi đó:
Nếu (1.2) là bài toán Dirichlet thì nó luôn được đưa về hệ
phương trình véc tơ 3 điểm dạng


−+
−
+−= ≤≤−
⎧
⎨
==
⎩
11
00

11
jijj
NN
YCYYF;jN,
YF;Y F.
(1.3)
Nếu (1.2) là bài toán Neumann thì nó được đưa về hệ phương
trình véc tơ 3 điểm dạng

−+
−
⎧
−=
⎪
−
+−= ≤≤−
⎨
⎪
−+=
⎩
010
11
1
2
11
2
jijj
NNN
CY Y F ,
YCYYF;jN,

YCYF,
(1.4)
trong đó
C là ma trận ba đường chéo trội, F
j
là các véc tơ giá trị của
nghiệm trên một hàng,
F
0
và F
N
là các véc tơ điều kiện biên. Giả thiết
=>20
n
N,n, xuất phát từ phương pháp khử chẵn lẻ, các tác giả
Samaski, Nikolaev đã đưa ra các thuật thu gọn khối lượng tính toán
giải các hệ phương trình (1.3), (1.4) với độ phức tạp tính toán là
O(MNlogN).
Kết luận. Nội dung chương 1 là những kiến thức, kết quả quan trọng
làm cơ sở cho việc nghiên cứu các kết quả được trình bày trong
chương 2 và chương 3 của luận án.


6
Chương 2
PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM GIẢI TÍCH
CỦA BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HOÀ
2.1. Lược đồ chung
Xét bài toán biên đối với phương trình song điều hoà

(
)
(
)
() ()
2
01
⎧
Δ= ∈Ω
⎪
⎨
=∈∂Ω=Γ=
⎪
⎩
jj
ux f x, x ,
B
ux g x,x ,j ,,
(2.1)
trong đó
Ω
là một miền giới nội trong
n
R
có biên
Γ
đủ trơn, Δ là
toán tử Laplace,
j
B

là các toán tử biên,
(
)
(
)
j
f
x, g x
là các hàm cho
trước. Giả sử (2.1) là giải được, tức nghiệm ( )
uux
=
tồn tại và đủ
trơn. Nội dung lược đồ bao gồm
- Đưa bài toán (2.1) về một phương trình toán tử xác định trên
biên
Γ của Ω.
- Nghiên cứu các tính chất của toán tử.
- Tìm một cơ sở trực chuẩn của
(
)
2
Γ
L là dãy các hàm riêng của
toán tử.
- Biểu diễn nghiệm của bài toán (2.1) qua dãy các hàm riêng vừa
tìm được.
2.2. Nghiệm giải tích của một bài toán biên đối với phương trình
song điều hoà
Xét bài toán biên đối với phương trình song điều hòa

2
1
00
−
Δ= ∈Ω
∂
=
∈Γ Δ + = ∈Γ
∂
u f , x ,
u
u , x , u q , x ,
n
μ
(2.2)


7
trong đó
Ω là một miền giới nội trong
2
R
có biên Γ đủ trơn, Δ là toán
tử Laplace,
μ
là tham số không âm,
1
q
−

là một hàm số dương, n là
vecto pháp tuyến ngoài của biên
Γ. Bài toán (2.2) mô tả sự uốn của
bản mỏng với biên bị ngàm đàn hồi. Đặt
Δ=uv và kí hiệu
0
Γ
=
vv,
từ bài toán (2.2), ta nhận được dãy 2 bài toán đối với phương trình
Poisson
0
vf, x ,
vv, x ,
Δ
=∈Ω
⎧
⎨
=
∈Γ
⎩
và
0
uv, x ,
u, x.
Δ
=∈Ω
⎧
⎨
=

∈Γ
⎩

Đưa vào toán tử biên
B được xác định bởi công thức
Γ
∂
=
∂
0
u
Bv
n
cho
việc tìm
v
0
, khi đó bài toán (2.2) được đưa về phương trình toán tử
0
=Sv F với vế phải F hoàn toàn xác định, trong đó SqIB
μ
=
+ , I là
toán tử đơn vị.
Các tính chất của
S được thể hiện thông qua các tính chất của
toán tử
B bởi định lý
Định lí 2.1. Nếu
0

u
Bv
n
Γ
∂
=
∂
,
()
vL∈Γ
2
0
thì
i) B là toán tử đối xứng, dương trong không gian Hilbert
(
)
2
Γ
L
với tích vô hướng
(
)
()
L
v,v v.vd
Γ
Γ
=Γ
∫
2

.
ii) B là toán tử tuyến tính, hoàn toàn liên tục, ánh xạ không gian
(
)
Γ
s
H vào
(
)
1+
Γ
s
H,
(
)
Γ
s
H là không gian Sobolev, 0≥s .
Xét Ω là một hình tròn bán kính R, sử dụng phương pháp toạ độ
cực, khi đó toán tử B có biểu diễn
(
)
(
)
00
Ω
=Γ
∫
s
B

vKs,svsd, trong đó

()
(
)
(
)
Ω
∂∂
=⋅
∂ν ∂ν
∫
ss
G s,x G s,x
K
s,s dx,



8

()
()
()
22
2
2
22
2cos
1

2
2cos
ϕ
ϕ
π
ϕ
ϕ
+
−−
=
+− −
rr
R
Rrr
Gx,x ln
rr rr
,
(
)
Gx,x là hàm Green của toán tử Laplace,
s
s
,
ν
ν
lần lượt là các
véc tơ pháp tuyến ngoài của biên
Γ
tại các điểm s và
s

. Khi đó
tìm được dãy

0
1cos sin
2
nn
nn
e,e,g
R
RR
ψ
ψ
⎧
⎫
== =
⎨
⎬
ππ π
⎩⎭
,
n = 1, 2, các hàm riêng của toán tử B ứng với các giá trị riêng
()
0
,
221
n
RR
n
λλ

==
+
dương, dần tới 0 là một cơ sở trực chuẩn của
không gian
(
)
2
Γ
L . Với giả thiết q = 1,
μ
> 0, giả sử vế phải F có khai
triển qua cơ sở
{
}
0 nn
e,e,g là
()
00
1
∞
=
=+ +
∑
nn n n
n
F
ae ae bg , tìm hàm
biên
v
0

dưới dạng
()
000
1
ααβ
∞
=
=+ +
∑
nn n n
n
ve eg
, trong đó
0
α
αβ
nn
,,
là
các hệ số chưa biết. Sau khi tính toán, rút gọn, ta thu được
()
0
1
cos sin
2
nn
n
A
FAnBn
ψ

ψ
∞
=
=+ +
∑
,
()
()
22
00
2
0
1
2
=−
∫
R
AcrrRrdr,
R


()
22
2
0
1
21
⎛⎞
=−
⎜⎟

+
⎝⎠
∫
n
R
nn
r
Ac(r)r(Rr)dr,
Rn R


()
22
2
0
1
21
⎛⎞
=−
⎜⎟
+
⎝⎠
∫
n
R
nn
r
B
d(r)r(R r ) dr.
Rn R

()
() ()
00
0
2
===
++
+
πππ
ααβ
μλ μλ
μλ
nnnn
nn
RRR
A
,A,B
,


9

()
0
00
1
0
2
∞

=
⎛⎞
⎛⎞
=++
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
++
+
⎝⎠
⎝⎠
∑
π
μλ μλ
μλ
nn
nn
n
nn
AAB
vR e e g
.
Vì vậy nghiệm
(
)
ux của bài toán (2.2) được tính bởi công thức

(
) ()()
Ω

=−
∫
ux Gx,xvxdx,

với
() ()()
(
)
()
0
ΩΓ
∂
=
−−Γ
∂
∫∫
ν
s
s
Gx,s
x
Gx,x f xdx v sdv
.
Trong hệ tọa độ cực đã cho, cơ sở
{
}
0 nn
e,e,g là dãy các hàm riêng
của toán tử Laplace - Beltrami
2

2
u
ϕ
Γ
∂
−Δ = −
∂
ứng với các giá trị
riêng
2
0
012
n
,n,n, ,
λλ
=== Khi đó, nếu
(
)
32
0
−
∈
Ω≥
s/
f
H,s,
thì
(
)
1s

FH
−
∈Ω, do đó
(
)
()
21
22
1
s
nn
n
Rn A B
π
∞
−
=
+
<+∞
∑
. Mặt khác,
với
0
μ
∀≥ ta có
()
()
(
)
()

(
)
()
2
2
1
22 21
222 22 22
111
ss

nn nn nn
n
nnn
s
nABnABnAB
μ
∞∞∞
−−
+
===
+≤ +≤ +
∑∑∑
,
nên
()
0
s
vH∈Γ, vì vậy
(

)
52s/
uH .
+
∈Ω
Kết luận. Công đoạn tìm ra và một cơ sở trực chuẩn của không gian
2
L( )
Γ
là các hàm riêng của toán tử B đóng vai trò hết sức quan
trọng và phải trải qua nhiều phép tính phức tạp, mặt khác, trong suôt
quá trình tính toán, đòi hỏi các tích phân phải được tường minh. Các
khó khăn trên cho thấy, phương pháp này chỉ áp dụng mang tính khả
thi cho một lớp khá hẹp các bài toán biên đối với phương trình song
điều hoà (2.1). Các kết quả của chương 1 được công bố trong [1].


10
Chương 3
PHƯƠNG PHÁP SỐ TÌM NGHIỆM SỐ TRỊ CỦA
BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU
HOÀ VÀ PHƯƠNG TRÌNH KIỂU SONG ĐIỀU HOÀ
3.1. Lược đồ chung
Xét bài toán
=
⎧
Δ−Δ+ = ∈Ω
⎪
⎨
=∈ΓΓ=Γ= =

⎪
⎩
2
1
01 1
U
n
ji ji i i
i
uaubu f,x ,
B
u g , x , , j , , i , ,m.
(3.1)
trong đó
Δ là toán tử Laplace, Ω là miền giới nội trong
(
)
≥Γ2
n
R
,n , là biên đủ trơn của Ω, a, b là các hằng số không âm,
f, g
ji
là các hàm cho trước. Với m = 1, (3.1) là bài toán biên với điều
kiện biên không hỗn hợp, với
m ≠ 1, (3.1) là bài toán biên với điều
kiện biên hỗn hợp. Giả sử bài toán (3.1) là giải được. Để tìm nghiệm
số trị cho bài toán (3.1), trước hết, ta phân rã bài toán (3.1) về dãy các
bài toán cấp hai, sau đó đưa bài toán (3.1) về phương trình toán tử
biên hoặc toán tử biên - miền dạng

S
ω
= F , (3.2)
trong đó vế phải
F được xác định qua các dữ kiện vế phải của (3.1).
Sử dụng sơ đồ lặp hai lớp

(
)
(
)
()
+
−
+= =
1
012
kk
k
S
F, k , , , ,
ωω
ω
τ
(3.3)
tiến hành giải lặp phương tình toán tử (3.2) cho việc tìm nghiệm xấp
xỉ của bài toán (3.1), ở đây
τ
là tham số lặp.

Tiến hành nghiên cứu các tính chất của toán tử
S. Khi đó, nếu
-
S là toán tử tuyến tính đối xứng dương và hoàn toàn liên tục
hoặc là toán tử tuyến tính, đối xứng, xác định dương thì sơ đồ lặp
(3.3) sẽ hội tụ về nghiệm gốc
u(x) của bài toán (3.1).


11
-
S là toán tử tuyến tính, đối xứng, dương thì sử dụng kỹ thuật
ngoại suy theo tham số, tức là gây nhiễu điều kiện biên của (3.1) bởi
tham số bé
δ
, đưa phương trình (3.2) về dạng

S
δ
ω
δ
= F , (3.4)
trong đó
S
δ

là toán tử tuyến tính, đối xứng, xác định dương được xác
lập từ
S trên các không gian tương ứng. Khi đó, sơ đồ lặp (3.3) được
sử dụng với sự có mặt của tham số bé

δ
.
Từ (3.3), đưa ra quá trình lặp và công thức đánh giá sai số giữa
hai bước lặp kề nhau.
Bước cuối là tiến hành thực nghiệm kết quả trên máy tính đối
với một số trường hợp cụ thể cho trước của hàm
u. Quá trình thực
nghiệm này vẫn được tiến hành kể cả trong trường hợp các tính chất
của
S chưa được chứng minh.
3.2. Nghiệm số trị của một bài toán biên đối với phương trình kiểu
song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp
Xét bài toán biên với điều kiện biên hỗn hợp sau

ΓΓ
Γ
Δ+ = ∈Ω
∂
==Δ=
∂
2
1
2
12
ubu f, x ,
u
ug, g, u g,
n
(3.5)
trong đó

Ω là miền giới nội trong
n
R
, (n ≥ 2) có biên Γ là liên tục
Lipschits,
Γ = Γ
1
∪ Γ
2
(xem hình 1)
n là véc tơ pháp tuyến ngoài của Γ,
b là hằng số dương.
Giả sử nghiệm của bài toán trên tồn tại và đủ trơn.
3.2.1. Phương trình toán tử biên - miền của bài toán gốc
Đặt Δu = v,
ϕ
= -bu và ký hiệu
1
0Γ
=vv, bài toán (3.5) được đưa về
các bài toán cấp hai
Ω
Γ
2
Γ
1
Hình 1


12

01
22
Δ
=+ ∈Ω
⎧
⎪
=
∈Γ
⎨
⎪
=
∈Γ
⎩
ϕ
v f , x ,
v v , x ,
v g , x ,
và
Δ
=∈Ω
⎧
⎨
=
∈Γ
⎩
u v, x ,
u g, x ,
(3.6)
trong đó

v
0
và
ϕ
là các hàm chưa biết. Để tìm v
0
,
ϕ
, đưa vào toán tử
B được xác định trên không gian
(
)
(
)
Γ
×Ω
22
1
LL bởi công thức
B:
ω

→
B
ω
,
ω
=
0
⎛⎞

⎜⎟
⎝⎠
ϕ
v
, B
ω
=
1
Γ
∂
⎛⎞
⎜⎟
∂
⎜⎟
⎜⎟
+
⎝⎠
ϕ
u
b
n
bu
, (3. 7)
khi đó bài toán (3. 5) được đưa về phương trình toán tử sau

B
ω
= F , (3. 8)
trong đó
F =

1
2
1
2
Γ
⎛⎞∂
⎛⎞
−
⎜⎟
⎜⎟
∂
⎝⎠
⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠
ν
u
bg
bu
, (3. 9)
u
2
là nghiệm tìm được từ các bài toán dưới đây

2
21
22 2
0
Δ

=∈Ω
⎧
⎪
=
∈Γ
⎨
⎪
=
∈Γ
⎩
vf, x ,
v , x ,
vg, x ,
và
22
2
Δ
=∈Ω
⎧
⎨
=
∈Γ
⎩
u v , x ,
u g, x .

Các tính chất của
B được nghiên cứu trên không gian Hilbert
H = L
2

(Γ
1
) × L
2
(Ω) với tích vô hướng

(
)
()
(
)
()
22
1
00
LL
v,v ,
ϕϕ
Γ
Ω
+
1
00 1
vvd dx,
ϕϕ
ΓΩ
=Γ+
∫∫

trong đó

0
0
⎛⎞
⎛⎞
∈= =
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
ωω ω ω
ϕ
ϕ
v
v
, H, ,
.
Định lý 3.1. Với toán tử B được xác định bởi (3.7). Khi đó, trên
không gian Hilbert H, ta có

i) B là toán tử tuyến tính, đối xứng, dương.


13
ii) B được phân tích thành tổng của hai toán tử: một toán tử tuyến
tính, đối xứng, dương và hoàn toàn liên tục và một toán tử chiếu.
iii) B giới nội.
Theo kết quả trên thì =>0
*
BB . Do đó, trong trường hợp này,
ta sẽ gây nhiễu bài toán gốc cho việc tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán

ban đầu.
3.2.2. Nghiệm xấp xỉ của bài toán gốc qua bài toán nhiễu
Gây nhiễu bài toán (3.5) bởi tham số dương nhỏ
δ
, ta có bài toán
nhiễu sau

2
11 2 2
,
, , , , , .
ubu f x
u
ugx ub bgx ugx
n
δδ
δ
δδ δ
δ
Δ+ = ∈Ω
∂
= ∈Γ Δ + = ∈Γ Δ = ∈Γ
∂
(3.10)
Gọi
u, u
δ
lần lượt là nghiệm của bài toán (3.5) và (3.10).
Định lý 3.2. Giả sử
()

−
∈
Ω
4s
f
H,
(
)
−
∈Γ
12s/
gH ,
(
)
−
∈
Γ
32
11
s/
gH ,
()
−
∈Γ≥
52
22
4
s/
gH ;s
, khi đó nghiệm u

δ
của bài toán (3.10) được
khai triển dưới dạng tổng sau


1
0
1
5
0
2
+
=
=+ + ∈Ω≤≤−
∑
N
iN
i
i
uy y z,x , Ns ,
δδ
δδ

trong đó y
0
= u là nghiệm của bài toán (3.5), y
i
(i=1, 2, , N) là các
hàm không phụ thuộc vào
()

(
)
−−
∈Ω∈ Ω
si sN
i
,y H ,z H
δ
δ

và
()
Ω
≤
2
1
H
zC
δ
, C
1
không phụ thuộc vào
δ
.
Từ kết quả của Định lý 3.2, nghiệm xấp xỉ
E
U của bài toán (3.5)
được khai triển dưới dạng

1

1
N
E
i
i
i
Uu
δ
γ
+
=
=
∑
,
11
(1) .
!( 1 )!
NiN
i
i
iN i
γ
+
−+
−
=
+−
, (3.73)
(3.58)
(3.59)

(3.60)
(3.61)


14
i
u
δ
là nghiệm của bài toán (3.10) với tham số
i
δ
, (i = 1, 2, 3, , N+1) thỏa
mãn
()
2
1
2
EN
H
Uu C
δ
+
Ω
−≤
, u là nghiệm của bài toán (3.5), C
2
là hằng
không phụ thuộc vào
δ
.

3.2.3. Phép lặp giải bài toán nhiễu
Tiến hành tương tự như khi đưa bài toán (3.5) về phương trình toán
tử (3.8), bài toán nhiễu (3.10) được đưa về phương trình toán tử
B
δ
ω
δ
= F, (3.11)
với

ω
δ
=
0
v
δ
δ
ϕ
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
,
1
01
, ,
Γ
=Δ =− = +
δδ δ δδ
ϕ
δ

vu buBBP,
P
1
là phép chiếu lên thành phần thứ nhất của
ω
δ
, B được xác định
bởi (3.7) và
F được xác định bởi (3.9). Từ đó suy ra B
δ
giới nội và
B
δ
= B
δ
*
≥
δ
I, I là toán tử đơn vị. Sơ đồ lặp hai lớp giải phương trình
(3.11) được cho bởi công thức

11
1
0,1,
++
+
−
+=
δ
δδ

δ
δ
ωω
ω
τ
(k ) (k )
(k)
,k
BF, k = (3.12)
Sơ đồ lặp (3.12) có thể được hiện thực hóa bởi quá trình lặp sau
Bước 1. Cho giá trị xấp xỉ ban đầu cặp
() ()
(
)
00
0
v,
δδ
ϕ
.
Bước 2. Biết
(
)
0
k
v
δ
và
(
)

δ
ϕ
k
, k = 0, 1, , giải liên tiếp hai bài toán

() ()
()
()
⎧
Δ
=+ ∈Ω
⎪
⎪
=
∈Γ
⎨
⎪
=
∈Γ
⎪
⎩
01
22
kk
k
(k)
k
vf ,x,
vv,x,
vg, x,

δδ
δδ
δ
ϕ
và
() ()
()
⎧
Δ
=∈Ω
⎪
⎨
=
∈Γ
⎪
⎩


kk
k
uv,x,
ug,x.
δδ
δ
(3.13)
Bước 3. Tính xấp xỉ mới của
0
v
δ
và

δ
ϕ


() ()
+
+
⎛⎞
∂
=+ + − ∈Γ
⎜⎟
∂
⎝⎠
1
00 1 01 1
(k)
kk
(k)
,k
u
vv b vbg,x,
n
δ
δδδ δ
τδ
(3.14)

() ()
(
)

+
+
=
++∈Ω
1
() ()
,1
,.
kk
kk
k
bu x
δδδδδ
ϕϕτϕ
(3.15)


15
Khi đó
+(1)
0
k
v
δ
được tính theo (3.14),
δ
ϕ
+(1)k
được tính theo (3.15) sẽ
thoả mãn (3.12).

3.2.4. Một số thực nghiệm và kết quả
Chọn trước nghiệm chính xác của bài toán gốc, các thực nghiệm
nhằm kiểm tra sự hội tụ của quá trình lặp (3.13)-(3.15) về nghiệm
gốc. Miền
Ω là hình vuông đơn vị. Chọn tham số lặp =
+
2
20752.
τ
δ
,
tham số nhiễu
δ
=
1/3
ε
.
(
)
=
2
Oh
ε
, h là bước lưới. Trong các bảng liệt
kê kết quả thực nghiệm,
Error =|| ||
E
Uu
∞
− , K

i
lần lượt là số lần lặp
cho việc tìm
i
u
δ
, i = 1, 2, 3.
B1. u = (x
2
-1) (y
2
-1)
Lưới K
1
K
2
K
3
Err T/g (s)
16 x 16
32 x 32
64 x 64
13
23
42
19
37
70
24
48

93
0.0023
0.0007
0.0003
0.88
4.95
42.51
B2. u = sin(
π
x)sin(
π
y)
Lưới K
1
K
2
K
3
Error T/g (s)
16 x 16
32 x 32
64 x 64
10
17
27
16
26
39
21
33

47
0.0050
0.0013
0.0003
0.78
3.52
23.59
Nhận xét. Nếu cho
δ
= 0 thì quá trình lặp (3.13)-(3.15) không hội tụ
nữa. Điều đó càng chứng tỏ vì sao ta phải gây nhiễu bài toán (3.5)
bởi tham số nhiễu
δ
dương đủ bé và ngoại suy nghiệm của nó theo
δ
.
Các kết quả trong 3.2 được công bố trong [3].


16
3.3. Nghiệm số trị của một bài toán biên đối với phương trình song
điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp
Mô hình toán của bài toán Thuỷ động học trong Physical Review E 71,
041608 như sau

(
)
Γ
Γ
Γ

ΓΓΓ
Γ
Γ
Δ= ∈Ω
∂∂Δ ∂
== = =−Δ
∂∂ ∂
∂∂Δ ∂
=
== =Δ =Δ=
∂∂ ∂
2
1
2
455
3
4
2
0
0
00 0
top
u,x,y ,
uu u
, u U , U b u,
xx y
uu u
, u , b u, u u ,
xx y
(3.16)

trong đó
Δ là toán tử Laplace, Ω là hình chữ nhật có biên
Γ=Γ ∪Γ ∪Γ ∪Γ ∪Γ
12345
được mô tả trong hình 2,







Hình 2

U
top
, U là các hàm cho trước, b là hằng số không âm,
<< >
12
00al,l .
Tổng quát, chúng tôi xét bài toán

(
)
Γ
Γ Γ
Γ
Γ
ΓΓΓ
Γ

Γ
Δ= ∈Ω
∂∂Δ ∂ ∂
===+Δ==
∂∂ ∂ ∂
∂Δ ∂
==−Δ==Δ=
∂∂
2
1 3
2
1
455
3
4
2
123 45
67 87 9
uf,x,y ,
uu u u
g, g, u g, b u g, g,
xx y x
uu
g , u g , b u g , u g , u g ,
xy
(3.17)

Ω
y
l

2
Γ
1
Γ
5
a
Γ
4
l
1

Γ
2
Γ
3
x


17
trong đó các dữ kiện miền
Ω
và hệ số b của bài toán (3.16) trong bài
toán (3.17) không thay đổi.
3.3.1. Phương trình toán tử biên của bài toán gốc
Đặt Δu = v và kí hiệu
ΓΓ
Δ=Δ=
24
ug,uh, g, h là các hàm chưa
biết. Đưa vào một toán tử biên

B xác định trên không gian
()
Γ∪Γ
2
24
L bởi công thức
Γ∪Γ
∂
=
∂
4
0
2
u
S
v
n
(3.18)
cho việc tìm
g và h, trong đó
()
()
∈
Γ
⎧
⎪
=
⎨
∈
Γ

⎪
⎩
0
2
4
gx,y ,
v
hx,y .

Các tính chất của toán tử
B được thể hiện trong Bổ đề sau
Bổ đề 3.1. Trong không gian Hilbert
(
)
=Γ∪Γ
2
24
HL với tích vô
hướng
(
)
(
)
Γ∪Γ
=
Γ∈Γ∪Γ
∫
24
2
00 00 0 0 2 4

H
v,v v.vd , v,v L , S được xác
định bởi
(3.18) là một toán tử tuyến tính, đối xứng, dương và
hoàn toàn liên tục, ánh xạ từ không gian
(
)
Γ
∪Γ
24
s
H vào không
gian
()
+
Γ∪Γ ≥
1
24
0
s
H, s.
()
Γ∪Γ
24
s
H là không gian Sobolev.
Bài toán (3.17) được đưa về phương trình toán tử

=
0

Bv
ψ
, (3.19)
trong đó
∂
=−
∂
2
u
,
n
ψϕ

()
()
∈Γ
⎧
⎪
=
⎨
−∈Γ
⎪
⎩
42
84
g, x,y ,
g, x,y ,
ϕ

2

u
là nghiệm tìm được từ các bài toán

()
Γ∪Γ
Γ
Γ
Γ
Δ= ∈Ω
∂
==
∂
∂
==
∂
24
1
5
3
2
2
22
2
62 9
0
vf, x,y ,
v
g, v ,
x
v

g, v g,
x
và
(
)
Γ
Γ
Γ∪Γ
Γ
Δ= ∈Ω
∂
==
∂
∂
==
∂
2
1
45
3
22
2
12 3
2
52 7
uv, x,y ,
u
g, u g,
x
u

g, u g,
x



18
B = S + bI, I là toán tử đơn vị, S được xác định bởi (3.18).
Định lý 3.3. Trên không gian Hilbert
(
)
=
Γ∪Γ
2
24
HL với tích vô
hướng được xác định trong Bổ đề
3.1, nếu b > 0 thì B cho bởi (3.19)
là một toán tử tuyến tính, đối xứng, xác định dương và giới nội.
3.3.2. Phép lặp giải bài toán gốc
Sơ đồ lặp hai lớp cho việc giải phương trình toán tử (3.19) tìm
nghiệm xấp xỉ của bài toán (3.17) như sau

(
)
(
)
()
()
ψ
τ

+
−
++ = =
kk
k
vv
S
bI v , k , , ,
1
00
0
01 (3.20)
trong đó
τ
là tham số lặp. Theo kết quả của Định lí 3.3 và Bổ đề 3.1
thì trong cả hai trường hợp, áp dụng Định lí 1 trong [48] với
b > 0 và
áp dụng Bổ đề 1 trong [20] với
b = 0, sơ đồ lặp (3.20) đều hội tụ về
nghiệm gốc của bài toán (3.17).
Định lý 3.4. Sơ đồ lặp (3.20) được thực hiện bởi quá trình lặp qua
các bước sau
Bước 1. Cho xấp xỉ ban đầu của
(
)
(
)
∈
Γ∪Γ
0

2
024
vL
.
Bước 2. Biết
(
)
=
0
01
k
v,k ,, , giải liên tiếp hai bài toán
()
()
() ()
() () ()
ΓΓ
Γ∪Γ Γ
⎧
Δ= ∈Ω
⎪
⎪
∂∂
⎪
==
⎨
∂∂
⎪
⎪
==

⎪
⎩
13
24 5
26
09
k
kk
kkk
vf, x,y,
vv
g, g,
xx
vv,vg,
và
() ()
()
() ()
() ()
ΓΓ
ΓΓ∪Γ
⎧
Δ= ∈Ω
⎪
⎪
∂∂
⎪
==
⎨
∂∂

⎪
⎪
==
⎪
⎩
13
245
15
37
kk
kk
kk
uv, x,y ,
uu
g, g,
xx
ug, u g.
(3.21)
Bước 3. Tính xấp xỉ mới

() ()
()
()
()
+
⎛⎞
∂
=
+− − ∈Γ∪Γ
⎜⎟

⎜⎟
∂
⎝⎠
1
00 0 24
k
kk k
u
vv bv,x,y
n
τϕ
. (3.22)
Trong trường hợp
b > 0, ta có định lí sau về sự hội tụ của sơ đồ
lặp (3.20)
và đánh giá sai số của nghiệm xấp xỉ.


19
Định lý 3.5. Giả sử b > 0 và giả sử u là nghiệm của bài toán (3.17),
khi đó sơ đồ lặp
(3.20) (hoặc tương ứng là quá trình lặp (3.21) -
(3.22)
hội tụ nếu
<
<+01/S b
τ
. Trong trường hợp nếu
=
+

1
2
bS/
τ
thì nghiệm xấp xỉ
(
)
k
u
thỏa mãn đánh giá
()
()
Ω
−≤=
7
2
1
12
k
k
H
u u C ,k , ,
ρ
, trong đó
−
==
++
1
1
b

, .
bS
ξ
ρξ
ξ

3.3.3. Một số thực nghiệm và kết quả
Miền Ω chọn làm thực nghiệm là hình vuông đơn vị. Các hàm u
được chọn trước làm nghiệm chính xác của bài toán gốc. Vị trí điểm
phân chia tiếp giáp biên
Γ
4
và Γ
5
được cho cụ thể trong mỗi thực
nghiệm qua giá trị của
a. Miền Ω được phủ bởi hai cỡ bước lưới
−
=
6
2h và
−
=
7
2h . Trong các bảng liệt kê kết quả thực nghiệm, K là
số lần lặp thực hiện thuật toán, sai số
()
∞
=−
k

E
rror u u . Tiêu chuẩn
dừng lặp
() ()
(
)
+
∞
−≤=
1
2
kk
uu Oh
ε
.
B1.
-6
1
2
2
=+ = =
yx
uxe ye, a , h B2.
−
=+ = =
6
3
2
4
yx

uxe ye, a , h
b
K Err T/g (s)
2
0.5
0.02
0.001
0
4
5
9
10
10
1.18e - 5
5.60e - 5
5.11e - 4
5.50e - 4
5.64e - 4
1.92
2.31
3.72
4.08
4.06


b
K Err T/g (s)
2
0.5
0.02

0.001
0
4
5
10
10
10
1.12e - 5
5.58e - 5
3.27e - 4
5.21e - 4
5.34e - 4
1.91
2.27
4.04
4.02
4.03


20
B3.
-6
1
sin sin 2
2
=
==uxy, a, h B4.
-7
1
sin sin 2

2
=
==uxy, a, h
b
K
2
0.5
0.02
0.001
0
4
5
9
11
11

Nhận xét
. Qua các thực nghiệm, ta nhận thấy tốc độ hội tụ của sơ đồ
lặp (3.20) phụ thuộc vào độ lớn của tham số
b và phụ thuộc không
nhiều vào vị trí của điểm tiếp giáp phân chia biên
Γ
4
và
Γ
5
. Trên thực
tế, việc tính
S
hoặc ước lượng được

S
là một việc làm rất khó, để
bước đầu khắc phục khó khăn này, thông qua con đường thực
nghiệm, chúng tôi nhận thấy nếu lựa chọn giá trị
1
+0.4
=
*
τ
b
thì
những giá trị này của
*
τ
là tốt hơn cả cho quá trình lặp (3.21) - (3.22)
so với những giá trị khác của
τ
. Trong quá trình thực nghiệm, khi sai
phân hóa, toán tử vi phân
S được thay thế bởi toán tử sai phân S
h
thì
S
h
luôn xác định dương, tức là ta luôn có
≤
≤Δ >0
hhhh
IS I,
δ

δ
.
Chính vì vậy, trong mỗi thực nghiệm, quá trình lặp (3.21) - (3.22)
luôn hội tụ với bất kỳ giá trị
≥ 0b .
Các kết quả trong 3.3 được công bố trong [4].
3.4. Nghiệm số trị của một bài toán biên đối với phương trình
kiểu song điều hòa với điều kiện biên không hỗn hợp
Xét bài toán với điều kiện biên không hỗn hợp sau
b
K Err T/g (s)
2
0.5
0.02
0.001
0
3
4
7
8
8
1.14e - 5
6.27e - 5
3.35e - 4
3.03e - 4
3.10e - 4
1.56
1.98
2.96
3.32

3.36


21

Γ
Γ
⎧
Δ−Δ+ = ∈Ω
⎪
⎪
⎨
∂Δ
⎪
==∈Γ
⎪
∂
⎩
uaubu f,x ,
u
ug, g,x,
n
2
01
(3.23)
trong đó
Δ là toán tử Laplace, Ω là miền giới nội trong
n
R
có biên

Γ đủ trơn, n là vectơ pháp tuyến ngoài của
Γ
, a, b là các hằng số
dương. Giả sử đối với bài toán (3.23), nghiệm
u(x) tồn tại và đủ trơn.
3.4.1. Phương trình toán tử của bài toán gốc
Đặt Δu = v,
ϕ
= - bu , bài toán (3.23) được đưa về hai bài toán
cấp hai


Δ− = + ∈Ω
⎧
⎪
∂
⎨
=
∈Γ
⎪
∂
⎩
1
vav f ,x ,
v
g, x ,
n
ϕ
và
Δ= ∈Ω

⎧
⎨
=
∈Γ
⎩
0
uv,x ,
ug,x .
(3.24)
Để tìm
ϕ
, đưa vào toán tử B xác định trên
(
)
Ω
2
L cho bởi công thức
B
ϕ
= bu , (3.25)
khi đó , ta nhận được phương trình toán tử của bài toán (3.24)

S
ϕ
= F , (3.26)
trong đó
F = -bu
2
,

S = I + B , u
2
là nghiệm tìm được từ các bài toán

Δ− = ∈Ω
⎧
⎪
∂
⎨
=
∈Γ
⎪
∂
⎩
22
2
1
vav f,x ,
v
g, x ,
n
,
Δ= ∈Ω
⎧
⎨
=
∈Γ
⎩
22
20

uv,x ,
ug,x ,

I là toán tử đơn vị, với vế phải F hoàn toàn xác định.
3.4.2. Xây dựng phép lặp tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán gốc
Sử dụng sơ đồ lặp hai lớp cho bởi công thức

()
(
)
()
()
+
−
++ = =
1
012
kk
k
I
B F, k , , , ,
ϕϕ
ϕ
τ
(3.27)
τ
là tham số lặp, giải lặp phương trình toán tử (3.26). Khi đó, việc tìm
nghiệm xấp xỉ cho bài toán (3.23) có thể được hiện thực hóa bởi quá
trình lặp sau
(3.5)

(3.6)
(3.7)


22
Bước 1. Cho xấp xỉ ban đầu
(
)
(
)
∈
Ω
0
2
L
ϕ
, chẳng hạn
(
)
=
0
0
ϕ
.
Bước 2. Biết
(
)
(
)
(

)
= 01
k
x
k , , ,
ϕ
, giải liên tiếp hai bài toán

() () ()
()
⎧
Δ
−=+ ∈Ω
⎪
⎨
∂
=
∈Γ
⎪
∂
⎩
kk k
k
vav f ,x,
v
g, x ,
n
ϕ
và
() ()

()
⎧
Δ
=∈Ω
⎪
⎨
=
∈Γ
⎪
⎩
0
kk
k
uv,x,
ug,x.
(3.28)
Bước 3. Tính xấp xỉ mới
(
)
(
)
(
)
(
)
+
=− −
1
1
kkk

bu
ϕτϕτ
. (3.29)
Việc tính
(
)
+
1k
ϕ
theo (3.29) sẽ thỏa mãn sơ đồ lặp (3.27).
3.2.3. Một số thực nghiệm và kết quả
Cũng như các thực nghiệm đã trình bày, các thực nghiệm trong phần
này nhằm kiểm tra sự hội tụ của sơ đồ lặp (3.27). Miền
Ω là hình vuông
đơn vị, các hàm
u được chọn trước làm nghiệm gốc của bài toán (3.23).
Trong các bảng liệt kê, K là số lần lặp thực hiện thuậtt toán, sai số
Error
=
∞
−
app
uu , u
app
là nghiệm xấp xỉ của quá trình tính toán.
B1. B2
44
0.25 0.25
11.5
=+++

==
22
uxy
a , b
xy

(
)()
sin sin=
==
11
uxy
a , b
ππ

Lưới K Err
T/g
(s)
32 × 32
64 × 64
128×128
256×256
2
2
2
3

0.0014
3.72e - 4
9.30e - 5

8.62e - 7
0.66
1.62
6.12
43.07

Nhận xét. Các kết quả trong bảng 1, 2, cho thấy: quá trình lặp (3.28)
- (3.29) đã được đề xuất hội tụ rất nhanh với tham số lặp
τ
= 1.
Cố định
τ
= 1, u = (x
2
- 1)
2
e
y
+ (y
2
- 1) e
x
, lưới 128 × 128, tiến
hành thực nghiệm trong các trường hợp cho các hệ số
a cố định, b
Lưới K Err
T/g
(s)
32 × 32
64 × 64

128×128
256×256
4
4
5
6
2.80e - 4
8.08e - 5
1.38e - 5
4.18e - 6
0.79
2.04
9.70
68.20


23
thay đổi và
b cố định, a thay đổi của phương trình
Δ−Δ+ =
2
uaubu f để thấy rõ hơn sự phụ thuộc của tốc độ hội tụ của
quá trình lặp (3.28) - (3.29) vào các hệ số
a, b. Kết quả được cho
trong bảng 3 và bảng 4.
B3. Số lần lặp trong trường hợp b thay đổi, cố định a = 1
b 1 3 5 7 9 11 13 15 16
K 4 7 10 14 20 29 46 95 177
B4. Số lần lặp trong trường hợp a thay đổi, cố định b = 1
a 2 1 0.8 0.6 0.4 0.3 0.15 0.13 0.12

K 4 5 6 7 9 12 41 88 236
Nhận xét. Từ bảng 3, 4, với tỉ số b/a
≤
5 thì quá trình lặp (3.28)-
(3.29) hội tụ khá tốt.
Các kết quả trong 3.4 được công bố trong [2].

KẾT LUẬN

Luận án đã trình bày các kết quả nghiên cứu về một phương pháp
số giải một số bài toán biên đối với phương trình song điều hoà và
phương trình kiểu song điều hoà với điều kiện biên không hỗn hợp và
điều kiện biên hỗn hợp. Đây là một hướng tiếp cận mới cho việc tìm
nghiệm của bài toán biên được dựa trên ý tưởng của A.A.Abramov,
V.I.Unijanova và Đặng Quang Á đề xuất: N
ếu phân rã được một bài
toán biên cấp cao về dãy các bài toán biên cấp hai và chứng tỏ được
sự hội tụ thì sẽ triệt để sử dụng được các kết quả và các thuật toán
hữu hiệu sẵn có.
Các kết quả mới của luận án
I. Đề xuất phương pháp tìm nghiệm giải tích của một bài toán biên
đối với phương trình song điều hoà với điều kiện biên không hỗn hợp
mô tả độ uốn của bản mỏng có biên bị ngàm đàn hồi.


24
II. Đề xuất và nghiên cứu hội tụ của phương pháp lặp tìm nghiệm xấp xỉ
cho một bài toán biên đối với phương trình kiểu song điều hòa với điều
kiện biên hỗn hợp dựa trên phương pháp gây nhiễu bài toán đang xét và
ngoại suy nghiệm theo tham số nhiễu.

III. Đề xuất và nghiên cứu hội tụ của phương pháp lặp tìm nghiệm xấp
xỉ cho một bài toán biên đối với phương trình song
điều hòa với điều
kiện biên hỗn hợp phức tạp mô tả một hiện tượng trong Vật lý Na nô.
Các thực nghiệm tính toán minh họa đã khẳng định các kết luận về
hội tụ đã được chứng minh bằng lí thuyết của hai bài toán trên.
IV. Nghiên cứu bằng thực nghiệm một bài toán đối với phương trình
kiểu song điều hòa với các điều kiện biên cho bởi hàm và
đạo hàm
cấp 3.
Các kết quả của luận án đã khẳng định tính ưu việt của phương
pháp khi giải quyết việc tìm nghiệm xấp xỉ cho lớp các bài toán biên
của phương trình elliptic với điều kiện biên không hỗn hợp và điều
kiện biên hỗn hợp.
Các hướng nghiên cứu tiếp theo
1. Áp dụng phương pháp cho các bài toán biên đối với phương
trình Elliptic cấp cao hơn. Chẳng hạn, phương trình tam điều hòa
hoặc kiểu tam điều hòa…
2. Áp dụng phương pháp cho các bài toán biên đối với phương
trình Parabolic và Hyperbolic.