sáng kiến kinh nghiệm lựa chọn hệ thống bài tập cho tiết luyện tập

LỰA CHỌN HỆ THỐNG BÀI TẬP CHO TIẾT LUYỆN TẬP
Nguyễn Văn Lực – THCS Cẩm Long
A. Vai trò, ý nghĩa của tiết luyện tập trong Dạy-Học Toán THCS
Tiết luyện tập toán có một vị trí hết sức quan trọng trong quá trình dạy học
toán trong chương trình giáo dục phổ thông. Nếu như tiết lý thuyết cung cấp cho
học sinh các kiến thức cơ bản ban đầu thì tiết luyện tập có tác dụng hoàn thiện các
kiến thức cơ bản đó, nâng cao lý thuyết trong chừng mực có thể, làm cho học sinh
nhớ và khắc sâu hơn những vấn đề lý thuyết đã học. Quan trọng hơn là trong tiết
luyện tập học sinh có điều kiện thực hành vận dụng các kiến thức đã học vào việc
giải các bài toán cụ thể, qua đó có tác dụng rèn luyện kỹ năng tính toán, kỹ năng
phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn các thao tác tư duy để phát triển năng lực sáng
tạo sau này.
Tiết luyện tập chủ yếu là hoạt động dạy - học giải toán. Việc giải toán có
nhiều ý nghĩa:
- Đó là hình thức tốt nhất dể củng cố, đào sâu, hệ thống hóa kiến thức và rèn
luyện kỹ năng. Trong nhiều trường hợp giải toán là hình thức tốt để dẫn dắt học
sinh tự mình đi đến kiến thức mới.
- Là một hình thức vận dụng những kiến thức đã học vào những vấn đề cụ
thể, thực tiễn.
- Là hình thức tốt nhất để giáo viên kiểm tra học sinh và học sinh tự kiểm tra
về năng lực, mức độ tiếp thu và vận dụng kiến thức đã học.
- Việc giải toán có tác dụng lớn gây hứng thú học tập cho học sinh, phát
triển trí tuệ và giáo dục, rèn luyện con người học sinh về rất nhiều mặt.
Vì vậy, trong tiết luyện tập ta phải xác định “ thầy luyện cái gì” và “ trò tập
cái gì”. Do đó việc lựa chọn hệ thống bài bài tập có ý nghĩa hết sức quan trọng.
Giáo viên cần chú ý đến tác dụng nhiều mặt của hệ thống bài tập lựa chọn. Thực tế
cho thấy nhiều giáo viên thường chưa chú ý phát huy tác dụng giáo dục, tác dụng
phát triển của bài toán, chưa hiểu hết dụng ý của từng bài tập sau mỗi tiết lý thuyết
hay ôn tập chương trong sách giáo khoa do đó chưa biết lựa chọn hệ thống bài tập
phù hợp mà chỉ chú trọng cho học sinh làm nhiều bài toán trong sách giáo khoa,
sách bài tập để củng cố các kiến thức đơn lẻ. Để phát huy tính tích cực, sáng tạo và

gây hứng thú cho học sinh cần chú trọng nhiều đến việc lựa chọn xây dựng hệ
thống bài toán hay trong các tiết luyện tập chứ không nhất thiết chạy theo số lượng
bài tập hoặc phải lấy y nguyên bài tập sách giáo khoa hay sách bài tập. Lựa chọn,
xây dựng hệ thống bài tập là khâu rất quan trọng để tạo nên hiệu quả của tiết luyện
tập toán.
1
B. Xây dựng hệ thống bài tập cho tiết luyện tập và quy trình soạn bài
I. Nghiên cứu tài liệu
- Nghiên cứu lại phần lý thuyết mà học sinh đã được học. Xác định rõ kiến thức
cơ bản và trọng tâm, kiến thức cần nâng cao hoặc mở rộng cho phép. Liên hệ kiến
thức với thực tiễn cuộc sống.
- Nghiên cứu các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham
khảo khác và tự mình trả lời các câu hỏi:
+ Các bài toán này có những cách giải nào?
+ Cách giải nào hay hơn? Ý nghĩa của từng cách giải đó?
+ Ý đồ của tác giả đưa ra bài toán này để làm gì?
+ Mục đích và tác dụng của từng bài tập như thế nào? Học sinh giải bài tập này
củng cố được kiến thức gì, rèn luyện được những kỹ năng nào?
+ Các bài tập này có liên quan gì với nhau không ? Có liên quan với những bài tập
trước không ?
- Ngoài ra giáo viên cần nghiên cứu các bài tập trong sách tham khảo khác và lựa
chọn xem có bài nào phù hợp với kiến thức cần luyện tập không?
II. Xác định mục tiêu, cấu trúc, phương pháp thực hiện tiết luyện tập
1. Mục tiêu:
Trên cơ sở nắm vững những kiến thức trọng tâm những kỹ năng cơ bản của tiết
học, giáo viên đề ra mục tiêu rõ ràng cụ thể, chi tiết phù hợp với đối tượng học
sinh
2. Cấu trúc:
Cần xác định xem có nên cho học sinh làm bài tập miệng không? Có cần chữa
bài HS đã được ra về nhà ở tiết trước không? Có ra thêm bài tập mới không? Thời

gian dự kiến cho các bài tập như thế nào? Lựa chọn những bài tập nào, bài nào
trước bài nào sau,
3. Phương pháp:
Lựa chọn cách thể hiện như thế nào? Có cho học sinh hoạt động nhóm không?
Thiết kế bài tập như thế nào thì gây được hứng thú cho học sinh? Câu hỏi như
thế nào gây sự chú ý, tìm tòi sáng tạo ở các em?
Có cần sử dụng công nghệ thông tin không? Dự kiến bài tập cho học sinh yếu,
trung bình, khá giỏi như thế nào?
Khi dạy tiết luyện tập cần lưu ý:
- Đừng biến tiết luyện tập thành tiết chữa bài tập. Tiết luyện tập phải là tiết dạy
cách suy nghĩ tìm tòi phương pháp giải toán.
2
- Đừng đưa quá nhiều bài tập trong tiết luyện tập. Nên chọn một số lượng bài
vừa đủ để có điều kiện khắc sâu kiến thức được vận dụng và phát triển
các năng lực tư duy cần thiết trong giải toán.
- Nên sắp xếp các bài tập thành một chùm bài có liên quan với nhau nếu có thể
- Trong tiết luyện tập có bài giải chi tiết, có bài giải vắn tắt. Giáo viên cần chú ý
hướng dẫn học sinh trong cách trình bày lời giải.
- Hãy để học sinh có thời gian làm quen với bài toán, nghiên cứu tìm tòi lời giải
bài toán và để học sinh hưởng niềm vui khi tự mình tìm ra chìa khoá lời giải.
Sau khi nghiên cứu kỹ tài liệu, xác định mục tiêu, cấu trúc, phương pháp thực hiện
mới xây dựng hệ thống bài tập cho tiết luyện tập.
III. Xây dựng hệ thống bài tập phù hợp
Hệ thống bài tập cần dựa vào mục tiêu, cấu trúc, phương pháp mà giáo viên
đã lựa chọn. Để thực hiện được ý tưởng của mình giáo viên cần xác định rõ
phương pháp thể hiện như thế nào? Tùy theo mỗi tiết luyện tập mà giáo viên có thể
lựa chọn hệ thống bài tập cho phù hợp. Có thể phân ra các dạng tiết luyện tập như
sau:
1. Đối với tiết luyện tập chú trọng về kỹ năng thực hành, vận dụng quy
tắc, áp dụng tính chất cơ bản, khắc sâu khái niệm

Đây là dạng tiết luyện tập chiếm tỷ trọng nhiều nhất trong chương trình toán
trung học cơ sở. Nên xây dựng hệ thống bài tập từ cơ bản đến nâng cao một cách
hợp lý, phù hợp với trình độ học sinh và cách thể hiện có thể thay đổi để gây hứng
thú cho các em. Chẳng hạn luyện tập về các phép tính thì không phải chỉ luyện tập
về các bài tập thực hiện phép tính, mà giáo viên có thể xây dựng các bài tập tìm x,
các bài tập có lời văn liên quan đến các kiến thức thực tế quen thuộc, cũng có thể
tính giá trị các biểu thức ứng với các chữ cái rồi điền vào ô trống để nhận được
một thông điệp từ giáo viên gửi đến học sinh. Các ô chữ có thể là lời nhắn nhủ đối
với người học sinh như: Chăm chỉ, cẩn thận, cũng có thể là ô chữ về danh nhân
văn hóa, các nhà toán học, các lãnh tụ, qua đó gây sự chú ý hứng thú học tập cho
học sinh hơn nữa hình thành ở các em ý thức học tập tốt hay góp phần hình thành
nhân cách cho các em. Tốt nhất giáo viên chỉ lấy ý tưởng bài tập trong sách mà
thay vào đó những con số phù hợp hơn với học sinh lớp mình gây sự tò mò của các
em làm cho các em tập trung hơn trong quá trình luyện tập bởi thực trạng hiện nay
ở các nhà trường là học sinh rất lười học, không chú ý trong các tiết dạy nếu giáo
viên không có sự thay đổi. Nếu chú trọng về khái niệm giáo viên nên xây dựng hệ
thống bài tập bao gồm cả trắc nghiệm khách quan và tự luận. Nên đưa vào các bài
trắc nghiệm nhiễu để khắc sâu kiến thức giúp các em tránh các nhầm lẫn thường
3
mắc phải. Cuối giờ học có thể dùng bản đồ tư duy giúp các em hệ thống các dạng
bài tập liên quan đến kiến thức khái niệm đó bởi hình ảnh giúp các em nhớ kiến
thức lâu hơn.
Sau đây ta đề cập đến một số cách lựa chọn hệ thống bài tập của một số tiết luyện
tập :
Ví dụ: Tiết 86 (Số học 6) - LUYỆN TẬP
(§ 10; 11: Phép nhân phân số, tính chất của phép nhân phân số)
I. Mục tiêu
- HS củng cố và khắc sâu quy tắc nhân phân số và các tính chất cơ bản của
phép nhân phân số
- Học sinh có kỹ năng vận dụng các tính chất trên để thực hiện các phép tính hợp

lý
- Học sinh có ý thức quan sát đặc điểm các phân số để vận dụng các tính chất cơ
bản của phép nhân phân số
II. Bài tập có thể chọn để luyện tập
Bài 1:(Dựa vào ý tưởng bài 79; 80 SGK nhưng thay đổi ô chữ và thay đổi một số
phép tính)
Tính các biểu thức sau rồi viết chữ tương ứng với đáp số đúng vào các ô trống. Sau
đó hãy đọc ô chữ và đoán xem cô muốn nhắn gửi tới các em điều gì qua ô chữ
này?

13
.2
3
O =

3 1
.
5 3
L =
−

3
5.
10
T
−
=

3 7 2 12
4 2 11 22

R
−
  
= + +
 ÷ ÷
  
6 1 3
. .0.
11 7 29
Y
−
=

2 5 14
.
7 7 25
U = +

7 36
.
6 14
G =
−

16
.1
17
N
−
=

1
5−
0
3
2
−
24
35
3
2
−
-2
26
3
16
17
−
-3
Bài 2: Tính bằng cách hợp lý:

5 8 11
. .
11 3 5
A
− −
=
4

4 1 5 1
. .

9 5 9 5
B
− −
= +

1 4 5 1
. .
9 5 9 5
C
− −
= +

20 4 20 5
. .
9 11 11 9
D = +
Bài 3: ( Bài 83 SGK toán 6 tập 2 trang 41). Lúc 6 giờ 50 phút bạn Việt đi xe đạp
từ A để đến B với vận tốc 15km/h. Lúc 7 giờ 10 phút bạn Nam đi xe đạp từ B để
đến A với vận tốc 12km/h. Hai bạn gặp nhau ở C lúc 7 giờ 30 phút. Tính quãng
đường AB.
Ý tưởng để đưa ra hệ thống bài tập trên
Bài 1: Lấy ý tưởng từ bài 79; 80 SGK nhưng thay đổi một số phép tính nhằm
luyện tập về phép nhân phân số với phân số, nhân số nguyên với phân số, nhân
phân số với 1, nhân phân số với 0, kết hợp phép nhân và phép cộng Tiết này
được thực hiện vào tháng 3 với chủ đề “ TIẾN BƯỚC LÊN ĐOÀN” nên đưa ra ô chữ
“Lý Tự Trọng” nhằm giới thiệu cho học sinh về một trong những nhà cách mạng
trẻ tuổi nhất của Việt Nam, người đầu tiên thành lập đoàn Thanh niên Cộng sản
Đông Dương. Hơn nữa anh là người con của quê hương Hà Tĩnh chúng ta. Từ đó
giáo dục các em phát huy truyền thống cách mạng của cha anh, cố gắng học tập để
xây dựng quê hương đất nước đền đáp công ơn các anh hùng liệt sỹ đã hy sinh cho

chúng ta cuộc sống tươi đẹp hôm nay.
(Giáo viên có thể tham khảo thêm về Lý Tự Trọng để giới thiệu với học sinh).
Lý Tự Trọng tên thật là Lê Văn Trọng, còn được gọi là Huy (sinh ngày 20 tháng 10 năm 1914
[1]
-1931) là một
trong những nhà cách mạng trẻ tuổi nhất của Việt Nam. Lý Tự Trọng quê gốc ở xã Thạch Minh, huyện Thạch Hà,
tỉnh Hà Tĩnh. Năm 1929, Lý Tự Trọng về nước hoạt động với nhiệm vụ thành lập đoàn Thanh niên Cộng sản Đông
Dương và làm liên lạc cho xứ uỷ Nam Kì với Đảng Cộng sản Việt Nam. Ngày 9 tháng 2 năm 1931, trong buổi mít
tinh kỉ niệm một năm cuộc khởi nghĩa Yên Bái tổ chức tại Sài Gòn, khi mật thám đến đàn áp, Lý Tự Trọng đã bắn
chết thanh tra mật thám Le Grand, ông bị bắt và kết án tử hình vào ngày 20 tháng 11 năm 1931 khi ông mới 17
tuổi. Nhà thờ Lý Tự Trọng được xây trên nền nhà tổ tiên của dòng họ Lê tại xã Thạch Minh, huyện Thạch Hà,
tỉnh Hà Tĩnh cũng là ngôi nhà của cụ Lê Văn Tăng là em trai của Lý Tự Trọng .Tên của anh đã được đặt cho tên
của một giải thưởng của Trung ương Đoàn TNCS Hồ Chí Minh trao tặng cho thanh niên )
Bài 2: Xây dựng với ý tưởng học sinh có kỹ năng vận dụng các tính chất cơ bản
của phân số để thực hiện các phép tính hợp lý. Học sinh có ý thức quan sát đặc
điểm các phân số để vận dụng các tính chất cơ bản của phép nhân phân số. Câu a)
áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp. Câu b) áp dụng trực tiếp tính chất phân
phối của phép nhân đối với phép cộng. Câu c) nếu để ý quan sát sẽ thấy ngay mối
liên hệ với câu b). Câu d) áp dụng tư tưởng câu c). Kết quả ở câu a là
8
3
; Kết quả ở
5
câu b, c là
1
5
; Kết quả ở câu d là
20
11
. Nếu xem tử là ngày, mẫu là tháng thì các kết

quả đó nói về một số ngày lễ trong năm.
Bài 3: Củng cố về phép nhân phân phân số, mối liên hệ giữa các đại lượng trong
bài toán chuyển động.
Để bài toán hấp dẫn, gây hứng thú cho học sinh hơn qua đó cung cấp cho các em
một số hiểu biết khác giáo viên có thể thay đổi số liệu và đối tượng chuyển động
dựa vào một số kiến thức thực tế sau:
Vận tốc chuyển động tối đa của một số con vật là: Rùa: 0,4m/h; Ngựa thi: 60km/h;
Voi: 20km/h; Sư tử: 80 km/h; Bồ câu đưa thư: 117 km/h; Đại bàng: 160 km/h.
Tùy tình hình thực tế của mỗi lớp mà giáo viên lựa chọn hình thức truyền đạt cho
hợp lý: Có thể dùng máy chiếu, chia nhóm học tập, phát phiếu học tập mới có
thể đảm bảo thời gian.
Ví dụ: Tiết 12 (Đại số 7) - LUYỆN TẬP (§ 8: Tính chất dãy tỷ số bằng nhau)
I. Mục tiêu
- Củng cố các tính chất của tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
- Luyện kỹ năng lập dãy tỷ số bằng nhau, tìm các thành phần chưa biết trong dãy tỷ
số bằng nhau và khả năng vận dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau.
II. Bài tập có thể chọn để luyện tập
Bài 1.Tìm các số a,b,c biết:
a)
2 3 4
a b c
= =
và
2 3 20a b c
+ − = −
b)
;
2 3
a b
=

4 5
b c
=
và
10a b c
+ − =
Bài 2 (Bài 78 - trang 22 - Sách Bài tập toán 7 tập 1):
So sánh các số a; b; c biết rằng:
= =
a b c
b c a
Bài 3 ( Bài 62 SGK): Tìm hai số x; y biết rằng:

2 5
x y
=
và
10xy =
Bài 4 (Bài 84-trang 22- Sách Bài tập toán 7 tập 1):
CMR Nếu
2
a bc
=
( Với
a b
≠
và
a c≠
) thì

+ +
=
− −
a b c a
a b c a
Bài 5 (Bài 64 SGK): Số học sinh bốn khối 6, 7, 8, 9 tỉ lệ với các số 9, 8, 7, 6. Biết
rằng số học sinh khối 9 ít hơn số học sinh khối 7 là 70 học sinh. Tính số học sinh
mỗi khối?
6
Bài hướng dẫn về nhà: (Bài 8.6-trang 23- Sách Bài tập toán 7 tập 1)
Biết rằng:
− −−
= =
bz cy ay bxcx az
a b c
Hãy chứng minh x : y : z = a : b : c
Một số chú ý và hướng khai thác bài toán cho học sinh khá giỏi
Ta nhận thấy các bài trên đều có nhiều cách giải
Đối với bài 1 có một số học sinh khi sử dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau thường
trình bày không đúng ở dấu “=” và dấu “
⇒
”.
Bài 2 (Bài 78 - trang 22 - Sách Bài tập toán 7 tập 1):
So sánh các số a; b; c biết rằng:
= =
a b c
b c a
Sách bài tập ( trang 51) đã hướng dẫn:

+ +

= = = = ⇒ = =
+ +
a b c a b c
1 a b c
b c a b c a
Phân tích: Phần hướng dẫn giải trong SBT (trang 51) đã áp dụng tính chất
dãy tỷ số bằng nhau nhưng quên điều kiện “giả thiết rằng các tỷ số đều có nghĩa”.
Ở đây đã xuất hiện tỷ số mới mà ta chưa chắc chắn rằng mẫu của chúng khác 0. Để
lời giải trọn vẹn có các đề xuất bổ sung như sau:
Cách 1: Vì
= =
a b c
b c a
nên
0abc ≠
. Trong 3 số a; b; c luôn tồn tại hai số cùng dấu.
Không mất tính tổng quát giả sử a và b cùng dấu. Khi đó
>
a
0
b
. Kết hợp với
= =
a b c
b c a
suy ra b và c cùng dấu. Vậy a, b, c cùng dấu nên
0a b c+ + ≠
. Áp dụng
tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có:
+ +

= = = = ⇒ = =
+ +
a b c a b c
1 a b c
b c a b c a
Nhận xét: Ta có thể đề xuất nhiều cách giải khác cho bài tập này mà tránh được
phần chứng minh
0a b c+ + ≠
. Chẳng hạn:
Cách 2: Vì
= =
a b c
b c a
nên
0abc
≠
. Đặt
= =
a b c
b c a
= k => a = bk; b = ck ; c = ak
⇒
abc = abck
3
=> k
3
= 1 ( Do
0abc ≠
) => k = 1
⇒

a = b = c
Cách 3 : Vì
= =
a b c
b c a
nên
0abc
≠
. Đặt
= =
a b c
b c a
= k => k
3
=
a b c
. .
b c a
=
=
abc
1
bca
⇒
k =
1
⇒
a = b= c
Mở rộng bài toán
Bài 1.1: So sánh các số

1
a
;
2
a
; ;
2013
a

7
biết rằng:
= = = = =
3 2012 2013
1 2
2 3 4 2013 1
a a a
a a

a a a a a
Nhận xét: Cả 3 cách trên đều áp dụng để giải được bài này.
Bài 1.2: Cho
= = = = =
3 2011 2012
1 2
2 3 4 2012 1
a a a
a a

a a a a a
và

=
2012
a 2013.

Tính
1
a
;
2
a
; ;
2012
a

Nhận xét: Nên áp dụng cách 2 hoặc cách 3 ở trên để giải bài này.
Bài 1.3: So sánh các số
1
a
;
2
a
; ;
n
a

biết rằng:
−
= = = = =
3
1 2 n 1 n

2 3 4 n 1
a
a a a a

a a a a a
Nhận xét: Nên áp dụng cách 2 hoặc cách 3 ở trên để giải bài này và
xét cho hai trường hợp n chẵn và n lẻ
Bài 1.4: Cho các số a; b; c; d thỏa mãn:
= = =
a b c d
b c d a
Tính giá trị của biểu thức:
2 2 3 3 2 3 3 4
2 2012 2013
( )( )( )( )( )( )a b b c c a a b b c c a
P
a b c
+ + + − − −
=
Chú ý: Có thể đặt nhiều bài toán dựa trên cơ sở bài 2
Bài 3.(Bài 62 SGK): Tìm hai số x; y biết rằng:

2 5
x y
=
và
10xy =
Một số HS đã sai lầm khi áp dụng tương tự như tính chất dãy tỷ số bằng nhau như
sau:
Từ

2 5
x y
=

⇒

. 10
1
2 5 2.5 10
x y x y
= = = =
Từ đó tính được x = 2; y = 5.
( Thực chất không có tính chất trên)
GV có thể thay đổi hình thức bài này như sau:
Khi giải Bài 62(SGK): Tìm hai số x ; y biết rằng:

2 5
x y
=
và
10xy =
Một bạn đã giải như sau:
Từ
2 5
x y
=
Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có:
. 10
1
2 5 2.5 10

x y x y
= = = =
Từ đó x = 2.1 = 2
8
y = 5.1 = 5
Theo em lời giải đã đúng chưa? Vì sao? Nếu chưa em hãy giải lại cho đúng!
Bài 4 (Bài 84 - trang 22 - Sách BT toán 7 tập 1):
Chứng minh rằng nếu
2
a bc
=
(với
a b≠
và
a c≠
) thì
+ +
=
− −
a b c a
a b c a
Sách bài tập (trang 52) hướng dẫn như sau:
2
a b a b a b a b c a
a bc
c a c a c a a b c a
+ − + +
= ⇒ = = = ⇒ =
+ − − −

Phân tích: Phần hướng dẫn giải trong sách bài tập đã áp dụng tính chất tỉ lệ thức
và dãy tỷ số bằng nhau nhưng quên điều kiện “giả thiết rằng các tỷ số đều có
nghĩa”. Ở đây đã xuất hiện tỷ số mới mà ta chưa chác chắn rằng mẫu của chúng
khác 0. Để lời giải trọn vẹn có thể đề xuất bổ sung như sau:
Cách 1:

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
a bc a bc bc a
a ab ac bc ac bc a ab
a a b c a b c a b a a b
a b c a a b c a
= ⇒ − = −
⇒ − + − = + − −
⇒ − + − = + − +
⇒ − + = + −


a b c a
a b c a
+ +
⇒ =
− −
( Do
a b
≠
và
a c≠

)
Cách 2:
2
a bc
=
nên nếu c = 0 thì a = 0 trái gt
a c≠
nếu a = 0 thì c = 0 hoặc b = 0 trái gt
a b≠
và
a c≠
Vậy a và c khác 0.
Từ
2
a b
a bc
c a
= ⇒ =
. Đặt
a b
k
c a
= =
(
0k
≠
) Suy ra a=ck; b=ak

( )
( )

a b ck ak c a k c a
a b ck ak c a k c a
+ + + +
⇒ = = =
− − − −
( Do
0k
≠
;
a b
≠
và
a c≠
)
Vậy
a b c a
a b c a
+ +
=
− −
Bài hướng dẫn về nhà : (Bài 8.6 - trang 23 - Sách BT toán 7 tập 1):
Biết rằng:
− −−
= =
bz cy ay bxcx az
a b c
Hãy chứng minh: x : y : z = a : b : c
Sách bài tập (trang 52) hướng dẫn như sau:

− − − − −−

= = = = = = =
+ +
bz cy ay bx bzx cyx cxy azy azy bxzcx az 0
0
a b c ax by cz ax by cz
9
Suy ra bz = cy
z y
c b
⇒ =
; cx = az
x z
a c
⇒ =
Từ đó suy ra
= =
yx z
a b c
hay x : y : z = a : b : c
Phân tích: Phần hướng dẫn giải trong sách bài tập (trang 53) đã áp dụng tính
chất dãy tỷ số bằng nhau nhưng quên điều kiện “giả thiết rằng các tỷ số đều có
nghĩa”. Ở đây đã xuất hiện tỷ số mới mà ta chưa chắc chắn rằng mẫu của chúng
khác 0. Có thể đề xuất lời giải như sau:
Từ giả thiết suy ra a, b, c khác 0 do đó
+ + ≠
2 2 2
a b c 0

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

− − − −− −
= = = = = = =
+ +
2 2 2 2 2 2
bz cy ay bx bza cya ayc bxccx az cxb azb 0
0
a b c
a b c a b c
Suy ra bz = cy
z y
c b
⇒ =
; cx = az
x z
a c
⇒ =
Từ đó suy ra
= =
yx z
a b c
hay x : y : z = a : b : c
Kiến nghị: Từ các bài toán trên giáo viên cần lưu ý học sinh đức tính cẩn
thận, chặt chẽ trong làm toán. Nhắc nhở các em khi sử dụng sách tham khảo nếu
xem lời giải phải suy nghĩ kỹ. Tránh tình trạng nghĩ rằng hướng dẫn trong sách
luôn đúng. Khi soạn bài giáo viên cũng cần chú ý để tránh nhầm lẫn. Có thể mở
rộng bài toán theo nhiều hình thức khác để phát huy tính sáng tạo của học sinh
giỏi.
Ý tưởng để đưa ra hệ thống bài tập trên
+) Các bài trên đều là các bài trong sách giáo khoa, sách bài tập phù hợp với mục
tiêu đặt ra

+) Các bài này có nhiều cách giải, học sinh thường mắc sai lầm
+) Bài 2 có nhiều hướng mở rộng nâng cao phát huy tính sáng tạo của học sinh giỏi
+) Bài 2, bài 4, bài hướng dẫn về nhà lấy nguyên đề trong sách bài tập nhưng
hướng dẫn giải trong sách lại thiếu chính xác nên chúng ta đưa ra để học sinh thấy
cần cẩn thận hơn khi sử dụng và xem hướng dẫn giải trong sách bài tập.
+) Bài 5 đưa ra với ý tưởng học sinh chuyển được từ bài toán có lời văn sang dạng
bài 1. Giáo viên có thể thay số liệu cho phù hợp với số học sinh trường mình làm
cho bài học thêm sinh động .
Ví dụ:
Tiết 5 (Đại số 8) - LUYỆN TẬP
(§3. Những hằng đẳng thức đáng nhớ)
I . Mục tiêu:
10
- Củng cố kiến thức về các hằng đẳng thức: Bình phương của một tổng, bình
phương của một hiệu, hiệu hai bình phương.
- Vận dụng thành thạo các hằng đẳng thức trên vào giải toán.
II. Bài tập có thể chọn để luyện tập
Bài 1: Áp dụng hằng đẳng thức đã học hãy khai triển các biểu thức sau:
a)
( )
2
m n−
e)
( )
2
2 1a −
b)
( )
2
2x y+

f)
( )
2
5a b+ + 
 
c) (x - 3y)(x + 3y) g)
( )
2
a b c+ +
d)
2
1
2
a
 
+
 ÷
 
h)
( )
2
a b c+ −
Bài 2: Áp dụng hằng đẳng thức đã học hãy viết đa thức sau dưới dạng bình
phương của một tổng hay một hiệu:
a)
2 2
2x xy y− +
e)
2
9 6 1x x− +

b)
2 2
2. .5 5x x+ +
f)
2
2
1
9 3
x x
+ +
c)
2
1
4
b b+ +
g)
( ) ( )
2
2 3 2. 2 3 1x y x y+ + + +
d)
2
4 4 1a a− +
h)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 1 2. 2 1 2 2x x x x+ − + − + −
Bài 3: Tính nhanh:
a)
2 2
41 2.41.59 59+ +

d) 101
2
b)
2 2
2012 2012.24 12− +
e) 199
2
c) 99.101 f) 47.53
Bài 4 (Bài 23 SGK ): Chứng minh rằng

( ) ( )
2 2
4a b a b ab+ = − +


( ) ( )
2 2
4a b a b ab− = + −
Áp dụng:
1. Tính
( )
2
a b−
biết
7a b
+ =
và
12ab
=
2. Tính

( )
2
a b+
biết
20a b
− =
và
3ab
=

Để thực hiện được cả 4 bài trên giáo viên có thể chia nhóm và dùng phiếu
học tập để tiết kiệm thời gian.
Các dạng toán khai thác cho học sinh khá giỏi:
1. Lấy ý tưởng vận dụng bài 1g,h:
11
1a) Cho
a b c m+ + =
;
2 2 2
a b c n+ + =
. Tính
?ab bc ca+ + =
1b) Cho
a b c m+ + =
;
ab bc ca n+ + =
. Tính
2 2 2
?a b c+ + =
1c) Khai triển biểu thức sau:

( )
2
2 2 2
a b c+ +
;
( )
2
ab bc ca+ +
1d) Cho
0a b c+ + =
;
2 2 2
2a b c+ + =
. Tính
4 4 4
?a b c+ + =
1e) Cho
a b c m+ − =
;
2 2 2
a b c n+ + =
. Tính
?ab bc ca− − =
1f) Cho
a b c m− − =
;
ab bc ca n− + =
. Tính
2 2 2
?a b c+ + =

( Các giá trị m, n ở trên do giáo viên tự lấy theo ý tưởng của mình )
2.Lấy ý tưởng vận dụng bài 2:
2a. Tìm x biết :
a)
2
9 6 1 9x x− + =
b)
2
9 6 3 0x x− − =
c)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 1 2. 2 1 2 2 1x x x x+ − + − + − =
2b. Chứng tỏ rằng biểu thức sau luôn dương
a)
2
1
2
b b+ +
b)
( )
2 2
2x y xy+ − +
( )
2
9 6 2x x− +
c)
2
10 6 2 2x x xy− − +
d)

( )
2
2
3 3 3x y x y y+ − − + +
3. Ý tưởng vận dụng bài 3:
3a. Tính nhanh:
a)
2
1995 19975+
b)
( )
2
2012 12. 2012.2 12− −
c)
101.99 102.98 103.97 104.96 105.95+ + + +
d)
2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 99 100− + − + + −
3b. So sánh bằng cách hợp lý biểu thức A và B với:
a)
2008.2012A =
và
2007.2013B =
b)
( ) ( ) ( ) ( )
2 4 8 64
3 2 1 2 1 2 1 2 1A = + + + +
và
128
2B =

4.Ý tưởng vận dụng bài 4: Tính các số a; b biết:
a) a + b = 7 và a.b = 12
b) a - b = 20 và a.b = 3
c) a
2
+ b
2
= 74 và a.b = 35
12
Còn nhiều hướng khác để đưa ra các dạng nâng cao cho học sinh khá giỏi.
Tùy vào khả năng của học sinh mà giáo viên có thể lựa chọn ra một số dạng bài tập
để hướng dẫn về nhà chứ không thể ôm đồm đưa hết được tất cả các bài.
Ý tưởng để đưa ra hệ thống bài tập trên
+ Các bài trên đều củng cố, khắc sâu các hằng đẳng thức đã học ở tiết trước.
+ Bài 1 gồm bài 25(SGK) và bổ sung thêm một số câu giúp các em nhớ lại các
hằng đẳng thức theo chiều thuận đã học và phát triển các công thức đó ở dạng tổng
quát hơn.
+ Bài 2 dựa trên ý tưởng bài 21(SGK) và bổ sung thêm một số câu giúp các em
hoàn thiện việc tư duy theo chiều ngược lại.
+ Bài 3 dựa trên ý tưởng bài 22 (SGK) và bổ sung thêm một số câu làm phong phú
thêm các dạng. Từ đó phần nào học sinh thấy được lợi ích của các hằng đẳng thức
đã học.
+ Bài 4 Giữ nguyên bài tập 23 (SGK) với ý tưởng học sinh được củng cố cách
trình bày bài chứng minh đẳng thức và thấy được mối liên hệ giữa tổng, hiệu tích
của hai số. Học sinh khá giỏi dựa vào bài này sẽ thấy được nếu biết 2 trong ba giá
trị: tổng, hiệu, tích của hai số thì ta sẽ tính được giá trị còn lại và cũng tính được 2
số đó.
+ Các phần bổ sung thêm với ý tưởng giúp học sinh nhận ra các hằng đẳng thức
này dù nó tồn tại ở “dạng chữ” (bài 1a; 2a; bài 4), “ dạng số”(Bài 3);
“ dạng chữ và số hỗn hợp” (bài 1b,c,d,e; bài 2b,c,d,e,f); hay dạng bình phương của

các biểu thức phức tạp hơn (Bài 1f,g,h; bài 2g,h). Mong muốn của giáo viên là học
sinh nắm chắc các hằng đẳng thức đã học, đọc ngược cũng được, đọc xuôi cũng
được, thay đổi vị trí các số hạng cũng đọc được.
Tuy nhiên cũng tùy vào khả năng của học sinh mà giáo viên có thể xây dựng hệ
thống bài tập nâng cao thêm hay dễ hơn chút ít cho phù hợp đối tượng nhưng tất cả
đều hướng tới mục tiêu đã nói ở trên.
2. Đối với tiết luyện tập về các thuật toán
Giáo viên có thể xây dựng hệ thống bài tập liên quan đến thuật toán nhưng hấp
dẫn với học sinh hơn. Các thuật toán được khắc sâu nhắc lại bằng cách trả lời
miệng trong quá trình chữa bài.
Ví dụ:
Tiết 36 (Số học 6) - LUYỆN TẬP
(§ 18. Bội số chung nhỏ nhất)
I. Mục tiêu
- HS củng cố và khắc sâu các kiến thức về tìm BCNN.
13
- HS được củng cố cách tìm bội chung thông qua tìm BCNN.
- Vận dụng tìm BC và BCNN trong các bài toán thực tế.
II. Bài tập có thể chọn để luyện tập
Bài 1: Bài tập 156 (SGK): Tìm số tự nhiên x biết rằng:
x

12; x

21; x

28 và 150 < x < 300
Bài 2: Dựa vào Bài tập 157 (SGK) nhưng thay đổi theo ý tưởng khác: Ba bạn
An, Hà, Nga học một trường nhưng ở 3 lớp khác nhau. An cứ 3 ngày phải trực nhật
một lần. Hà cứ 4 ngày phải trực nhật một lần. Nga cứ 12 ngày phải trực nhật một

lần. Hôm nay ngày 6 tháng 11 ba bạn cùng trực nhật. Vậy ngày tiếp theo ba bạn lại
cùng trực nhật là ngày mấy?
(Bài tập 157 (SGK): Hai bạn An và Bách học một trường nhưng ở 2 lớp khác
nhau. An cứ 10 ngày phải trực nhật một lần. Bách cứ 12 ngày lại phải trực nhật.
Lần đầu cả hai bạn trực nhật vào một ngày. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày thì hai
bạn lại trực nhật).
Để thay đổi không khí lớp học, có thể đưa ra bài:
Bài 3: Nhà ông Nông có bốn người con gái:
Liễu với Đào, chị Hải với Hà.
Lấy chồng cách trở phương xa,
Đi về thăm viếng mẹ cha còn chầy.
Liễu nhà gần ba ngày về một lượt,
Đào năm ngày lần lượt sẽ hay,
Hải xa đến bảy ngày chầy,
Hà xa con lại chín ngay một lần.
Bốn chị em lần lần lựa lựa
Hỏi mấy ngày một bữa gặp nhau?
Bài 4: Tìm số học sinh của một lớp biết rằng số đó là số tự nhiên nhỏ nhất khác
1 khi chia cho 2; 3; 4; 12; 18 đều dư 1.
(Có thể chọn các con số có ý nghĩa đối với từng lớp cho tiết học thêm sinh động)
Bài 5: (Thay đổi ý tưởng nhưng dựa vào nền thơ bài 169 sách giáo khoa)
Bé kia chăn vịt khác thường
Buộc đi cho được chẵn hàng mới ưa
Hàng 2 xếp thấy chưa vừa
Hàng 3 xếp vẫn còn thừa 2 con
Hàng 4 xếp cũng chưa tròn
Hàng 5 xếp thiếu 1 con mới đầy
14
Một con đàn khác về đây
Xếp thành hàng 7 đẹp thay

Bé kia vui sướng vỗ tay cười khì
Vịt bao nhiêu bạn tính đi!
Số vịt nhà bé tính khi ban đầu?
(Biết số vịt chưa đến 250 con)
Bài 169 sách giáo khoa như sau:
Bé kia chăn vịt khác thường
Buộc đi cho được chẵn hàng mới ưa
Hàng 2 xếp thấy chưa vừa
Hàng 3 xếp vẫn còn thừa 1 con
Hàng 4 xếp cũng chưa tròn
Hàng 5 xếp thiếu 1 con mới đầy
Xếp thành hàng 7 đẹp thay!
Vịt bao nhiêu ? Tính được ngay mới tài!
( Biết số vịt chưa đến 200 con)
Các dạng toán khai thác cho học sinh khá giỏi:
1. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết số đó chia cho 2; 3; 4; 12; 18 đều dư 1 nhưng số
đó chia hết cho 11.
2. Tìm 3 số tự nhiên nhỏ nhất biết số đó chia cho 2; 3; 4; 12; 18 đều dư 1 nhưng
số đó chia hết cho 11.
3. Tìm dạng tổng quát của các số tự nhiên biết số đó chia cho 2; 3; 4; 12; 18 đều
dư 1 nhưng số đó chia hết cho 11.
4. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết số đó chia cho 2 dư 1; chia 3 dư 2; chia 4 dư 3;
chia 12 dư 11; chia 18 dư 17.
5. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết số đó chia cho 2 dư 1; chia 3 dư 2; chia 4 dư 3;
chia 12 dư 11; chia 18 dư 17 nhưng số đó chia hết cho 13.
6. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết số đó cộng với 3 thì chia hết cho 2; số đó cộng
với 4 thì chia hết cho 3 ; số đó cộng với 5 thì chia hết cho 4; số đó cộng với 13 thì
chia hết cho 12; số đó cộng với 19 thì chia hết cho18.)
Tùy theo mức độ học sinh mà giáo viên có thể khai thác bài toán đến mức độ
nào. Không nhất thiết phải trình bày chi tiết tất cả các bài đã chọn để luyện tập

nhưng nhất thiết phải có hơn nửa số bài luyện tập phải trình bày thật chi tiết cho
học sinh.
Ý tưởng để đưa ra hệ thống bài tập trên
15
+ Tất cả các bài đều liên quan đến tìm bội chung nhỏ nhất
+ Bài 1, bài 3 tìm BCNN theo thuật toán.
+ Bài 2 tìm BCNN(3;4;12) trong trường hợp có số 12 chia hết cho cả 3 và 4
+ Bài 4 tìm BCNN(2,3,4,5,7) trong trường hợp các số nguyên tố cùng nhau
+ Bài 1 giữ nguyên như SGK
+ Bài 2 lấy lời văn và ý tưởng thực tế của SGK nhưng thay đổi số liệu và ý tưởng
tìm BCNN
+ Bài 4 dựa vào nền thơ bài 169 nhưng thay đổi số liệu và nội dung bài toán
3. Đối với các tiết luyện tập hình học
Giáo viên có thể chọn hệ thống bài tập theo một họ bài liên quan, cũng có thể
chọn bài tập có chung một hướng giải. Hay có thể sắp xếp các nhóm bài tập theo
mục đích luyện tập của giáo viên. Có thể chia các nhóm bài tập như sau:
+) Nhóm bài tập mà cần giáo viên làm mẫu để học sinh bắt chước (Cần chỉ rõ cho
học sinh chương trình hành động: bước một làm gì, bước hai làm gì Học sinh
tái hiện công việc vừa thực hiện qua các bài tập tương tự.
+) Nhóm bài tập mà giáo viên chỉ là người hướng dẫn, gợi ý cho học sinh hoạt
động cá nhân hoặc trao đổi nhóm nhỏ, tự tìm ra hướng giải quyết bài toán.
+) Nhóm bài tập học sinh tự lực làm bài trên cơ sở các bài tập đã thực hiện. Tùy
vào tình hình thực tế của các lớp học mà giáo viên cần có những lựa chọn bài
tập thích hợp không nhất thiết phải giải quyết tất cả các bài tập như nói ở trên.
Ví dụ:
Tiết 49 (Hình học 9) - LUYỆN TẬP (Về tứ giác nội tiếp)
I. Mục tiêu
- Củng cố định nghĩa tứ giác nội tiếp , tính chất của tứ giác nội tiếp
- Rèn kỹ năng vẽ hình, chứng minh, sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp để giải bài
tập

- Giáo dục ý thức giải bài tập theo nhiều cách
II. Bài tập có thể chọn để luyện tập
Bài 1: (Bài 58 – SGK – tr90 và bổ sung thêm các câu c,d,e,g)
Cho tam giác đều ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A lấy điểm D
sao cho DB = DC và
·
·
1
DCB ACB
2
=
.
a) Chứng minh: ABDC là tứ giác nội tiếp.
b) Xác định tâm của đường tròn đi qua 4 điểm A, B, D, C.
16
c) Gọi giao điểm của AB và CD là M, giao điểm của AC và BD là N. Chứng
minh tứ giác MBCN nội tiếp.
d) Gọi E là trung điểm của MN. Chứng minh: A, D, E thẳng hàng. Trong
hình có bao nhiêu tứ giác nội tiếp ?
e) Chứng minh: AB . MB = NB . CD
g) Chứng minh: D là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BEC.
Bài 2: (Bài 59 – SGK – tr90 bổ sung thêm các câu c,d,e,g,h)
Cho hình bình hành ABCD. Đường tròn tâm O đi qua 3 đỉnh A, B, C cắt đường
thẳng CD tại P khác C.
a) Chứng minh: AP = AD
b) Kẻ AM vuông góc với DC, CK vuông góc với AD. AM cắt CK tại H.
Chứng minh H thuộc đường tròn (O)
Một số chú ý và hướng khai thác bài toán
Tùy vào mức độ của học sinh mà giáo viên có thể chọn một số câu trong
phần bổ sung để luyện tập, không nhất thiết chữa hết các câu trên. Mỗi câu có thể

có nhiều cách giải, giáo viên cho học sinh nhận xét trong mỗi trường hợp nên làm
theo cách nào thì hợp lý hơn.
Hư ớng dẫn giải bài tập 1:

a) Tứ giác ABDC nội tiếp?
Cách 1: Chứng minh:
·
·
0
ABD ACD 180+ =

⇒
Tứ giác ABDC
nội tiếp.
Cách 2: Chứng minh:
·
·
0
30BCD BAD= =

⇒
Tứ giác
ABDC nội tiếp
Cách 3: Chứng minh: 4 điểm A,B,D,C cách đều
trung điểm O của AD

⇒
Tứ giácABDC nội tiếp
b) Xác định tâm của đường tròn đi qua 4 điểm A, B, D, C.
Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giácABDC là trung

điểm của AD
c) Cách 1:
·
·
0
MBN MCN 90= =
⇒
Tứ giácABDC nội tiếp
Cách 2:
·
BNM
=
·
BCM
( Hoặc
·
·
BMC BNC=
)
⇒
Tứ giácABDC nội tiếp
17
Cách 3:
·
MNC
=
·
ABC
⇒
Tứ giácABDC nội tiếp

d) Cách 1: Chứng minh 3 điểm A,D,E thuộc trung trực của BC
Cách 2: Chứng minh AD là trung tuyến của ∆ cân AMN.
Cách 3: Chứng minh AD và AE là phân giác của MAN
⇒
A, D, E thẳng hàng
e) Chứng minh AB.MB = NB.CD
Cách 1: ∆ABD ∆NBM (g.g)
⇒
AB NB
BD BM
=
mà
BD CD
=
(gt)
⇒
AB.MB = NB.CD
Cách 2: ∆CND ∆BNA (g.g)
⇒
CD CN
AB NB
=
mà
BM CN
=
⇒
AB.MB = NB.CD
g) Chứng minh BD và CD là các tia phân giác của
·
CBE

và
·
BCE
. Từ đó
suy ra D là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CBE.
Hư ớng dẫn giải bài tập 2:

Có hai cách vẽ hình như trên nhưng cách giải tương tự nhau. Ở đây ta
khai thác bài toán theo hình thứ nhất.
a)
·
·
·
·
APD ABC ADC ADP= = =

APD⇒ ∆
cân
ở A nên AD = AP

b) Cách 1: Chứng minh
·
·
0
180HAB HCB+ =
⇒
Tứ giác ABCH nội tiếp nên H thuộc
đường tròn (O)
Cách 2: Chứng minh
·

·
0
180AHC ABC+ =
⇒
Tứ giác ABCH nội tiếp nên
18
H thuộc đường tròn (O).
Có thể bổ sung thêm cho bài 2 các
câu sau:
c) Kéo dài AP và BC cắt nhau tại E.
Chứng minh : tứ giác OPEB nội tiếp.
d) Chứng minh tứ giác AOCE nội tiếp.
e) Gọi I là giao điểm của AC và BP. Chứng minh tứ giác OICB nội tiếp.
g) Gọi Q, N lần lượt là trung điểm của AC và BP; F là hình chiếu vuông góc của
P trên AB. Chứng minh tứ giác QNFA là hình bình hành.
h) Cho
·
0
AOB 120=
,
·
0
POC 90=
. Tính diện tích tứ giác ABCP theo R.
Các câu c, d, e, g, h giáo viên có thể hướng dẫn cho học sinh về nhà
trình bày.
Ngoài ra giáo viên có thể cho học sinh về nhà khai thác bài toán theo
hướng sau:
Bài 1: ( Dựa vào đề bài 58 nhưng thay đổi giả thiết)
Cho tam giác đều ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác, D đối xứng với G qua

BC.
a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp
b) Hãy xác định tâm đường tròn đi qua 4 điểm A,B,D,C
Bài 2: ( Dựa vào đề bài 59 nhưng thay đổi giả thiết)
Cho hình bình hành ABCD. Trên đường thẳng CD xác định điểm P khác
C sao cho tứ giác ABCP nội tiếp. Chứng minh AP = AD
Ý tưởng để đưa ra hệ thống bài tập trên
+) Lấy ý tưởng từ hai bài tập trong sách giáo khoa
+) Hệ thống bài tập xây dựng theo nhóm bài toán liên quan với nhau.
+) Bài tập lựa chọn có nhiều cách giải giúp học sinh khắc sâu tính
chất cũng như cách chứng minh tứ giác nội tiếp
+) Các bài tập tương đối dễ phù hợp với đối tượng học sinh đại trà
+) Bài tập có nhiều hướng khai thác giúp học sinh hứng thú hơn và
phát huy khả năng sáng tạo của học sinh khá giỏi.
19